Kmitání. Obsah přednášky : tuhost pružiny, kmitání vlastní netlumené a tlumené, řazení pružin, ohybové kmitání vynucené kmitání

Transkript

1 Kitání Obsah přednášy : tuhost pružiny, itání vlastní netluené a tluené, řazení pružin, ohybové itání vynucené itání

2 Kitání S itavý pohybe se setáváe doslova na aždé rou. Koná jej struna hudebního nástroje, stožár eletricého vedení nebo třeba hřídel otoru. Podínou vzniu itavého pohybu je pružné uložení hotného objetu. Pojy hota a hotnost se zabýváe po celou Dynaiu a nebudee je tedy zde podrobněji rozebírat. Zaěříe se na vysvětlení pojů pružný, poddajný a tuhost. Poddajnost (nebo pružnost) je schopnost ěnit tvar pod vlive sil. Ačoliv tuto vlastnost ají všechny reálné ateriály, doposud jse ji nebrali v úvahu. Naopa zabývali jse se tzv. echaniou absolutně tuhých těles. Je-li deforace, způsobená silai, veli alá ve srovnání s rozěry tělesa, ůže být předpolad absolutně tuhého tělesa přijatelný. (Poje absolutně tuhé těleso byl zíněn na první přednášce.) Chcee-li se vša zabývat itání, bez uvažování poddajnosti se neobejdee. Kvantitativně tuto vlastnost ateriálu obvyle vyjadřujee veličinou, zvanou tuhost (převrácená hodnota poddajnosti).

3

4 tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu : - tuhost pružiny Anebo naopa : Zde : 3 8D n 4 G d 4 G d 8D n 3 G - odul pružnosti ve syu [Pa, MPa], vlastnost ateriálu, d - průěr drátu, z něhož je pružina svinuta [, ], D - průěr celé pružiny [, ], n - počet závitů pružiny [-]. Poznáa : Vzorec sá není v tuto chvíli důležitý. Lze jej nalézt v libovolných technicých tabulách a bylo by plýtvání ozovou apacitou učit se jej zpaěti. Slouží ná lepšíu pochopení poju tuhost.

5 tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu : - tuhost pružiny Anebo naopa : 3 8D n 4 G d 4 G d 8D n 3 Zavedee-li substituci : 4 G d 3 8D n ůžee jednoduše psát : nebo Zde tuhost vyjadřuje poěr ezi silou a deforací. uhost je vlastnost pružiny, závislá na ateriálu a rozěrech pružiny. - tuhost [N/, N/] N, Poznáa : Závislost síly a deforace = je lineární, avša jen v oezené rozsahu. Budee-li pružinu napínat víc a více, nejprve se závislost stane nelineární, pa se pružina natáhne, přestane být pružinou a stane se dráte. Naonec prasne. N

6 tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu : - tuhost pružiny Dále si připoenee záon ace a reace. Síla (zde odrá) je vnější ační silou, působící na pružinu. Proti ní působí stejně velá, opačně orientovaná reační síla (zde červená) - tzv. direční síla D. I pro direční sílu tedy platí : D Direční síla je odezva pružiny na deforaci (reace). D

7 tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu : Při deforaci pružiny působí síla na dráze, oná tedy práci. ato práce určuje potenciální energii deforované pružiny. - tuhost pružiny D y (y) = y Zatí jse se seznáili s potenciální energií ve forě polohové energie E P = g h. Deforací je v pružině rovněž auulovaná potenciální energie, jejíž veliost je rovna vyonané práci. Protože je spojena s deforací, bývá nazývána deforační energie. Při výpočtu nesíe zapoenout na sutečnost, že tažná síla není onstantní. K natažení pružiny o první ilietr je zapotřebí jen veli alé síly. K natažení o druhý ilietr je zapotřebí již poněud větší síly,..., teprve na onci natahování dosahuje síla onečné hodnoty :

8 tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu : Je-li : pa práce je : - tuhost pružiny D y (y) = y A anebo, je-li : pa práce je : y dy y ydy A Pozornéu čtenáři jistě neunine že výraz ½ představuje plochu trojúhelnía, lineární závislosti síly na prodloužení. Potenciální deforační energie natažené (nebo též stlačené) pružiny tedy je : E A P

9 druhy itání Kitavý pohyb budee rozlišovat podle dvou ritérií. I. Volné (vlastní) itání. Při itání na těleso nepůsobí žádná vnější síla. Volný neboli vlastní itání itá napřílad houpača s dítěte (sedí-li toto nehnutě), nebo ytarová struna poté co ji ytarista rozezní. Vynucené itání je neustále buzeno vnější působící silou. Vynucený itání itá např. nevyvážený rotor nebo prača v režiu ždíání - itání je neustále buzeno odstředivou silou.

10 hustá, visózní apalina druhy itání Kitavý pohyb budee rozlišovat podle dvou ritérií. Netluené itání není žádný luené itání je nějaý II. fyziální jeve brzděno - tlueno. fyziální jeve brzděno - tlueno. rvá neustále. Postupně vyizí. oto rozlišení je uělé. Ve sutečnosti neeistuje netluené itání, ve sutečnosti je aždé itání tluené. Poud vša je tluení alé, pa jej zanedbáváe a luvíe (trochu nepřesně) o netluené itání.

11 itání vlastní netluené s stupně volnosti vynucené tluené s více stupni volnosti

12 itání vlastní netluené s stupně volnosti lineární disrétní hoty vynucené tluené s více stupni volnosti nelineární ontinuu

13 itání vlastní netluené s stupně volnosti lineární disrétní hoty vynucené tluené s více stupni volnosti nelineární ontinuu

14 itání vlastní netluené s stupně volnosti lineární disrétní hoty vynucené tluené s více stupni volnosti nelineární ontinuu

15 vlastní netluené itání D = v, a Uvažuje těleso (absolutně tuhé) o hotnosti, vázané ráu pružinou o tuhosti (zanedbatelné hotnosti), teré á ožnost pohybu (bez tření) ve vodorovné sěru (souřadnice, rychlost v a zrychlení a). Při vychýlení na ně působí direční síla D = proti sěru vychýlení. Pohybová rovnice je : a a Provedee substituci : Naleznee řešení pohybové rovnice - lineární diferenciální rovnice II. řádu, hoogenní. C sin v C a C t cos sin t t Zde : je vlastní ruhová frevence [s - ], C a jsou integrační onstanty [, -], jejichž hodnotu určíe z počátečních podíne. D i

16 vlastní netluené itání Csin t t = / C v, a Časový průběh itání lze též popsat alternativně : Csin t Acos t Bsin t de : A C sin B Ccos v Integrační onstanty pa jsou : A B A A onečně : C A B arctan B C t Kitavý pohyb je vantitativně popsán dvěa supinai paraetrů. Paraetry, vyplývající ze substituce : f f vlastní ruhová frevence [s - ] Integrační onstanty : C aplituda [] fázový posuv [rad] vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu Určí se z počátečních podíne : t=... = - počáteční výchyla, v=v - počáteční rychlost. C v v C C sin cos arctan v

17 vlastní netluené itání Csin t t = / C v, a Časový průběh itání lze též popsat alternativně : Csin t Acos t Bsin t de : A C sin B Ccos v Integrační onstanty pa jsou : A B A A onečně : C A B arctan B C t Poznáa funci arctan. unce arctan á vždy dva ořeny. Např. : arctan(,5) = 6,6º ale též : arctan(,5) = 6,6º Nebo : arctan(-) = -45º ale též : arctan(-) = 35º Pozornéu čtenáři je jistě zřejé že oba ořeny jsou vůči sobě posunuty vždy o 8º. Každá alulača je naprograovaná ta, že vrací ten z obou ořenů, terý leží v intervalu -9º,9º. o vša neusí být správný výslede. O to, terý výslede je správný, rozhoduje znaéno čitatele A a jenovatele B. A> A< B< 9º,8º C B A B>,9º 8º,7º 7º,36º

18 vlastní tluené itání D = b B =b v v, a luení se projevuje ta, že proti sěru rychlosti působí tzv. tluící síla B. Její veliost ůže být různá podle fyziální příčiny tluení. Nejčastější druhy tluení vyvolávají tluící sílu závislou na rychlosti a to buď lineárně nebo vadraticy. Dále provedee řešení itavého pohybu při lineární, tzv. visózní tluení, dy tluící síla je přío úěrná rychlosti B = b v, de b je tzv. oeficient tluení. Kroě tluící síly na těleso působí, stejně jao u netlueného itání, direční síla D =. Ja již bylo zíněno, aždý reálný itavý pohyb je vždy tluený a dříve či později se zastaví. Příčin tluení ůže být více. Např. pohyb v odporující prostředí (vzduch, apalina). S tluení je spojena saotná deforace ateriálu (pružiny), při níž dochází přeěně alého nožství echanicé energie na energii tepelnou. outo druhu tluení říáe ateriálové tluení a je tařa všudypřítoné. Příčinou tluení ůže být i technicé zařízení - tluič, taový, jaý znáe třeba z autoobilu. Sybolicé znázornění tluení právě připoíná tluič. Musíe jej vša chápat pouze jao znázornění fatu že tluení je přítono. Jeho příčinou neusí být vždy technicé zařízení.

19 vlastní tluené itání D = b B =b v v, a t Řešení : Ce sin t t v Ce cos t sin t Zde : Pohybová rovnice : Substituce : a a D i b vlastní ruhová frevence netlueného itání [s - ] (v řešení není přío obsažena) b onstanta doznívání [s - ] vlastní ruhová frevence tlueného itání [s - ] B b f f vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu

20 vlastní tluené itání D = b B =b v v, a t Řešení : Ce sin t t v Ce cos t sin t Zde : Pohybová rovnice : Substituce : a a D i b vlastní ruhová frevence netlueného itání [s - ] (v řešení není přío obsažena) b onstanta doznívání [s - ] vlastní ruhová frevence tlueného itání [s - ] Je zřejé, že hodnota ůže být reálná (je-li >) ale též iaginární (je-li <). V první případě luvíe o tzv. podriticé tluení. outo druhu itání bude věnován celý další výlad. Ve druhé případě luvíe o tzv. nadriticé tluení. V toto případě se vůbec nerozvine itání a pohyb se utluí dříve, než by nastal první celý it. B b

21 vlastní tluené itání D = b B =b v v, a t Řešení : Ce sin t t v Ce cos t sin t Pohybová rovnice : Substituce : a a D i b B b Konečně C a jsou integrační onstanty, jejichž hodnotu určíe z počátečních podíne. Časovou závislost výchyly a rychlosti lze vyjádřit alternativně. e t v e A t cos t B sin t B Acos t B A sin t de : A C sin B Ccos jsou alternativní integrační onstanty. Řešení usí vyhovovat t=... = - počáteční výchyla, A počáteční podíná : v=v - počáteční rychlost. v B A Integrační onstanty pa jsou : v A A B C A B arctan B

22 vlastní tluené itání C perioda Ce Ce t = / Ce D = b B =b v t t t sin t v, a t Časový průběh výchyly je sinusova s eponenciálně lesající aplitudou. Na průběhu je bezprostředně vidět perioda a fázový posuv. Naopa integrační onstanta C na průběhu sinusovy patrná není. Kroě saotného průběhu výchyly (odrá sinusova) je zajíavý též průběh eponenciální obály C e - t (červená). V čase t= á hodnotu rovnou integrační onstantě C. Konstanta doznívání určuje rychlost polesu eponenciály. Její převrácená hodnota je tzv. časová onstanta t=/ (neplésti si s periodou!). V čase rovné jedno, troj nebo pětinásobu časové onstanty lesá hodnota na 37%, 5% nebo,7% integrační onstanty C. t t=t t=3 t t=5 t =37% C =5% C =,7% C t Pozor! Zde t je časová onstanta (ne perioda!)

23 sládání pružin V technicé prai se často setáe s obinování a různý sládání pružných členů. Proto je třeba uět správně stanovit výslednou tuhost pružného uložení. Uážee si dva záladní způsoby sládání pružných členů.

24 sládání pružin paralelní spojení (vedle sebe) D D D D C D D C C C Dvěa pružinai o tuhostech a je ráu vázána desa, na niž působí síla. Síla způsobí prodloužení obou pružin o shodnou délu. V pružinách vzninou direční síly D a D. Jejich prostý součet usí být v rovnováze se silou. Celová tuhost dvou paralelně spojených pružin je rovna prostéu součtu tuhostí obou pružin. paralelní spojení deforace je pro obě pružiny společná, direční síly D a D se sčítají

25 sládání pružin sériové spojení (za sebou) D D D + + C = + Dvě pružiny o tuhostech a jsou spojeny ta, že druhá je připojena první, na druhou pa působí síla. Vlive této síly se obě pružiny prodlouží o deforaci resp. (aždá jina). V obou natažených pružinách dále vzniají direční síly D a D. D D Neboli : D D Z rovnováhy sil v bodě spojení obou pružin, resp. v ístě působení síly, vyplývá : D D Celovou deforaci obou pružin C ůžee vyjádřit jao součet : sériové spojení deforace se sčítají, direční síly obou pružin D a D jsou stejná C Nebo po vyrácení = D = D : C C D D C C

26 sládání pružin sériové spojení (za sebou) Převrácená hodnota celové tuhosti dvou sériově spojených pružin je rovna prostéu součtu převrácených hodnot tuhostí obou pružin. D D D + + C = + C Z výrazu lze saozřejě vyjádřit přío celovou tuhost. C Nědy bývá zvye vyjadřovat poddajnost jao převrácenou hodnotu tuhosti. C Pa platí že celová poddajnost dvou sériově spojených pružin je rovna prostéu součtu poddajností jednotlivých pružin. C C sériové spojení deforace se sčítají, direční síly obou pružin D a D jsou stejná

27 sládání pružin paralelní spojení (vedle sebe) D D D D C D D C C C V lasifiaci spojení pružných členů, a následně ve výpočtu celové tuhosti, studenti často chybují. Spojení dle tohoto obrázu bývá občas, pouze pro svou vizuální podobnost, poládáno za sériové. Posoudíe-li vša podstatné rysy, snadno nahlédnee, že se jedná o spojení paralelní. paralelní spojení deforace je pro obě pružiny společná, direční síly D a D se sčítají

28 ohybové itání y 3 3E J V celé výladu jse za pružný člen, pružnou vazbu hotného objetu ráu, považovali vinutou spirálovou pružinu. o vša není zcela podínou. Pružný člene ůže být jaýoliv deforovatelný objet. D D ohyb ohyb ohyb y 3EJ 3 Uvažuje nosní, na jedné straně doonale vetnutý, na druhé straně zatížený silou. Vlive síly se nosní prohne. Průhyb y je přío úěrný síle. Dále pa je : - déla nosníu, E - odul pružnosti v tahu, J - průřezový oent setrvačnosti. Reací nosníu na prohnutí je síla D, stejně velá, opačně orientovaná než síla, tlačící onec nosníu vzhůru. Jde o analogii direční síly pružiny. Bude-li na onci nosníu hotný objet o hotnosti, bude se soustava chovat po všech stránách stejně jao na spirálové pružině. Vešerá uvedená odvození platí beze zěny.

29 ohybové itání Je-li pružný člene, pružnou vazbou hotného objetu ráu, ohýbaný nosní (libovolně uložený) hovoříe o ohybové itání. y D ohyb y D y 3 48 E J ohyb 48E J 3

30 Kitání vynucené D = b B =b v v, a pohybová rovnice a i a D B a bv b O vynucené itání luvíe tehdy, jestliže na těleso působí, roě direční síly D a tluící síly B (na teré pohlížíe jao na vnitřní síly), ještě nějaá jiná, vnější, tzv. budící síla. Další řešení je pa závislé na to, zda tato síla je onstantní nebo proěnná, poud je proěnná, ta jaá je její závislost na čase (nebo na jiné veličině). V toto učební ateriálu budou řešeny dva případy : Konstantní vnější síla : = onst, Vnější síla haronicého průběhu : = a sin(w t). t

31 itání při působení onstantní síly t hoogenni b partiular ni ateaticý přístup = onst v, a pohybová rovnice a i a D B a bv b onst Ce t sin t t partiular ni part part part onst b part part onst Ce t stat sin t t stat stat

32 itání při působení onstantní síly stat - volná déla staticá deforace rovnovážná poloha G staticé předpětí D stat y technicý přístup Nejprve proberee itání při působení onstantní síly =onst. outo onstantní silou bývá nejčastěji tíhová síla G, to vša jistě není podínou. Nejprve se seznáíe s další důležitý paraetre pružiny. Kroě tuhosti je to dále tzv. volná déla. Je to déla nezatížené pružiny. Vlive onstantní síly (např. tíhové) se pružina prodlouží o tzv. staticou deforaci (nebo taé staticé předpětí) : G stat Soustava se ustálí v tzv. rovnovážné poloze, v níž je tíhová síla v rovnováze s direční silou (nědy luvíe o staticé části direční síly). G D _ stat V rovnovážné poloze je počáte souřadného systéu (y=). Jestliže těleso z rovnovážné polohy vychýlíe (y>), direční síla již není v rovnováze s tíhovou silou. Můžee psát pohybovou rovnici : a i stat

33 itání při působení onstantní síly stat - volná déla staticá deforace rovnovážná poloha G D stat D dyn G y Pohybová rovnice : a i a G D _ cel a G a G y y G cel stat stat y a G stat y D stat D dyn = Připoenee-li si řešení rovnovážné polohy : G D _ stat Snadno nahlédnee, že pravá strana pohybové rovnice je rovna nule : y y Řešení této pohybové rovnice je v plné rozsahu shodné s řešení vlastního itání bez působení jaéoliv vnější síly (viz předchozí přednáša). stat

34 itání při působení onstantní síly stat - volná déla staticá deforace rovnovážná poloha G D stat D dyn G y Shrnutí : Saotné itání, tedy jeho frevenci, aplitudu a fázový posuv, řešíe jao by tato onstantní síla nepůsobila. Ovše rovnovážná poloha je dána nioliv volnou délou pružiny, ale staticou deforací. Počáte souřadného systéu (y=) je v rovnovážné poloze, dané staticou deforací (staticý předpětí). Z tohoto pohledu je logičtější řadit tento případ itání spíš vlastníu itání než vynucenéu itání. Chcee-li řešit naáhání, tedy jaou celovou silou je pružina napínána (např. vůli dienzování), usíe uvažovat obě složy zatížení - staticou i dynaicou. Nědy luvíe o superpozici staticého a dynaicého zatížení. D_ cel D_ cel D_ cel D_ stat stat G y D_ dyn y t t

35 haronicy proěnná budící síla - vlastní ruhová frevence [s - ] f - vlastní frevence [Hz] f Počet itů (vlastního itání) za seundu. - vlastní perioda [s] Doba jednoho itu. f = a sin(w t) v, a Při řešení haronicy buzeného itání je třeba veli přesně (a přísně) rozlišovat frevenční paraetry vlastního itání a budící síly. tyto paraetry se zásadně nesí ezi sebou zaěňovat Haronicy proěnná síla je charaterizována aplitudou a frevencí. a a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly (budící ruhová frevence) [s - ] f - frevence budící síly (budící frevence) [Hz] w Počet zěn budící síly f z ladné na zápornou a opačně za seundu. - perioda budící síly [s] Doba jedné zěny. f w t

36 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a b t (budící ruhová frevence) [s - ] a sin w Pohybová rovnice je nehoogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáe jao superpozici řešení hoogenního (nulová pravá strana) a partiulárního (odráží nenulovou pravou stranu). hoogenní řešení b ho integrační onstanty C a se určí z počátečních podíne b t Ce sin t hoogenní řešení - vlastní ruhová frevence t

37 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a b t (budící ruhová frevence) [s - ] a sin w Pohybová rovnice je nehoogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáe jao superpozici řešení hoogenního (nulová pravá strana) a partiulárního (odráží nenulovou pravou stranu). a partiulární řešení sin wt part w - ruhová frevence budící síly w partiulární řešení a aplituda a a fázový posuv partiulárního řešení budou disutovány dále t

38 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a b t (budící ruhová frevence) [s - ] a sin w Pohybová rovnice je nehoogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáe jao superpozici řešení hoogenního (nulová pravá strana) a partiulárního (odráží nenulovou pravou stranu). hoogenní řešení ho b t Ce sin t partiulární řešení sin wt t t ho part Ce sin t a sinw t part a a výsledné řešení hoogenní řešení partiulární řešení t

39 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a b t (budící ruhová frevence) [s - ] a sin w Průběh výchyly v čase vyazuje dva odlišné úsey. V první úseu je průběh sutečně superpozicí obou částí řešení - hoogenní i partiulární. Jde o složitý průběh terý je součte dvou haronicých průběhů o různých frevencích. outo úseu říáe přechodový děj. Vlastní itání (hoogenní řešení) je vždy tluené. Proto po odeznění vlastního itání je další průběh popsán již pouze partiulární řešení. outo úseu říáe ustálený stav. t t ho part Ce sin t a sinw t a výsledné řešení hoogenní řešení partiulární řešení přechodový děj ustálený stav t

40 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a b t (budící ruhová frevence) [s - ] a sin w Budee-li se dále zabývat již pouze ustálený stave, budee hledat paraetry partiulárního řešení - aplitudu a a fázový posuv. Zde je třeba upozornit na častou chybu studentů. Ani aplituda a ani fázový posuv nejsou integrační onstanty a jejich veliost se neurčí z počátečních podíne. Partiulární řešení a jeho derivace usí splňovat pohybovou rovnici. t a sinw t a a t a wcosw t w w t a w sinw t w arctan 8,, w Poznáa fázovéu posuvu : Čitatel ve výrazu pro fázový posuv je vždy ladný. Jenovatel ůže být ladný nebo záporný. o znaená že fázový posuv je vždy v I. nebo II. vadrantu. Kladný jenovatel - I. vadrant,,9º, záporný jenovatel - II. vadrant, 9º,8º.

41 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v b a sin wt sin wt t a a a w arctan w a a, w w t w (t) (t) a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly v, a (budící ruhová frevence) [s - ] yziální význa paraetrů itání : Aplituda a - aiální výchyla. ázový posuv : Ja průběh (t), ta průběh (t), jsou haronicé průběhy se stejnou ruhovou frevencí w a periodou. Průběh výchyly vša je poněud opožděn za průběhe síly. Výchyla dosahuje svého aia o něco později, než síla. oto časové zpoždění t je právě dáno fázový posuve. t poznáa : w t v toto vzorci usí být dosazeno v radiánech w

42 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v b a sin wt sin wt t a a a w arctan w w w v, a a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly (budící ruhová frevence) [s - ] Pro další řešení je užitečné definovat dva bezrozěrné paraetry : w Budící ruhovou frevenci resp. onstantu činitel naladění {éta} doznívání pa ůžee vyjádřit jao : w de poěrný útlu {sí} Výrazy pro aplitudu a fázový posuv pa (nědy bývá též označován b r ) ůžee psát v alternativní tvaru. a a arctan a stat staticá deforace

43 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v b a sin wt sin wt t a a a w arctan w w w v, a a stat a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly (budící ruhová frevence) [s - ] arctan Řešení pro tzv. netluené itání -, (přesněji álo tluené itání - <<, <<). a a a w Výchyla á stejnou fázi jao síla, aiu výchyly je-li w je ve stejné oažiu jao aiu síly. nebo Výchyla á opačnou fázi než síla, aiu výchyly 8 je-li w je ve stejné oažiu jao aiu síly ale v opačné sěru (těleso itá v protifázi proti síle). stat a

44 haronicy proěnná budící síla D = = a sin(w t) a t b B =b v b a sin wt sin wt t a a a w arctan w w w v, a a a a - aplituda budící síly [N] w - ruhová frevence budící síly (budící ruhová frevence) [s - ] arctan Řešení pro tzv. netluené itání -, (přesněji álo tluené itání - <<, <<). a a a w Alternativní vyjádření aplitudy netlueného itání. ázový posuv je za všech oolností nulový, v protifázi (w>, >) je aplituda záporná.

45 aplitudová a fázová charateristia Veli užitečná pro hlubší porozuění haronicy buzenéu itání je analýza přenosových vlastností soustavy, tedy závislosti paraetrů itání (aplituda a fázový posuv) na paraetrech budící síly (aplituda a frevence). vstup sin w t t a a, w itající soustava výstup t a sinw t a, a a w w w arctan w Závislost na aplitudě budící síly a je triviální. Aplituda výchyly a je přío úěrná aplitudě budící síly a. ázový posuv na aplitudě budící síly vůbec nezávisí. ěito závislosti se tedy nebudee dále zabývat. f a a f a funce neeistuje Hlubší pozornost věnujee závislosti aplitudy a a fázového posuvu vynuceného itání na frevenci, resp. ruhové frevenci budící síly w nebo na činiteli naladění. a fw yto závislosti se nazývají aplitudová a fázová charateristia. f w

46 aplitudová a fázová charateristia aplitudová charateristia a a a w a a w w proěnná proěnná Závislost aplitudy itání a na budící ruhové frevenci w, resp. na činiteli naladění se vyznačuje třei zajíavýi body.. w=, =. Aplituda je rovna tzv. staticé deforaci. a a stat st = > 3.. w,. zv. resonance. Aplituda nabývá etréně vysoých hodnot. Pro netluené itání (=) doonce při w=, =, narůstá nade všechny eze ( a ). Pro tluené itání (>) nabývá aplituda onečných, avša značně vysoých hodnot. res w w 3. w>>, >>. Liita výrazu pro a(). Pro značně vysoou budící frevenci (ve srovnání s vlastní frevencí) lesá aplituda nule.

47 aplitudová a fázová charateristia aplitudová charateristia a a a w a a = > w w! proěnná proěnná. w,. zv. resonance. Aplituda nabývá etréně vysoých hodnot. Pro netluené itání (=) doonce při w=, =, narůstá nade všechny eze ( a ). Pro tluené itání (>) nabývá aplituda onečných, avša značně vysoých hodnot. Maiu aplitudové charateristiy nastává při tzv. resonanční naladění : res edy poněud (ne příliš) <, w<. Maiu se od naladění = posouvá írně vlevo (více s narůstající tluení). st res w Hodnota resonanční aplitudy (aiu aplitudové charateristiy) pa je : st a _ res. resonance w

48 aplitudová a fázová charateristia aplitudová charateristia a a a w a a = > w w proěnná proěnná. w,. zv. resonance. Resonance je veli důležitý jev. Nastává tehdy, dyž budící frevence je číselně blízá vlastní frevenci. Projevuje se značně vysoou aplitudou itání a to i při poěrně alé síle. Resonance je jev obvyle negativní, protože vibrace jsou většinou u technicých zařízení nežádoucí. st res w Ve výjiečných případech, ta de naopa chcee dosáhnout vibrací (např. vibrační třídič sypého ateriálu), je resonance jev pozitivní, neboť uožňuje i při alé příonu dosáhnout značné aplitudy.. resonance w

49 aplitudová a fázová charateristia fázová charateristia w w arctan w arctan 8º = > 9º ázová charateristia je éně důležitá, a taé éně zajíavá, než aplitudová charateristia. Pro netluené itání (=) se průběh ění soe. Je-li : w <, <, pa =, je-li naopa : w >, >, pa = 8º = rad. U tlueného itání (>) á průběh podobný charater, je vša hladý, nioliv soový. w w