McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

Transkript

1 Tereza Burgetová McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie 11. prosince 2017

2 McNemarův test - motivace Analýza kontingenčních tabulek, kdy není cílem provést klasický test nezávislosti. Příklad: Před CT vyšetřením musí být pacienti ze zákona obeznámeni s riziky vyšetření (např. možné komplikace po vpichu kontrastní látky) a podepsat informovaný souhlas. Pacienti byli před vyšetřením dotázáni, na obavy z účinků vyšetření (VFN Praha, 2017). Po podepsání informovaného souhlasu a krátkého pohovoru s vyšetřujícím lékařem byli dotázáni znovu. Obavy po Obavy před Ano Ne Celkem Ano Ne Celkem Tabulka: Obavy pacientů z účinků CT vyšetření 2 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

3 McNemarův test - motivace Obavy po Obavy před Ano Ne Celkem Ano Ne Celkem Tabulka: Obavy pacientů z účinků CT vyšetření Změnilo podepisování informovaného souhlasu míru obav z vyšetření u pacientů? Obdoba párového t-testu u veličiny s diskrétním rozdělením. 3 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

4 McNemarův test Na souboru n náhodně vybraných objektů se sleduje přítomnost či nepřítomnost nějakého znaku. U celého souboru se poté provede nějaký zákrok a znovu se u každého objektu vyšetří přítomnost či nepřítomnost sledovaného znaku. před po zásahu zásahem 1 0 celkem 1 n 11 n 12 n 1+ 0 n 21 n 22 n 2+ celkem n +1 n +2 n Změnil zákrok pravděpodobnost výskytu znaku? 4 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

5 McNemarův test test tzv. shody marginálních pravděpodobností po zásahu před zásahem 1 0 celkem 1 p 11 p 12 p 1+ 0 p 21 p 22 p 2+ celkem p +1 p +2 1 Tabulka: Pravděpodobnosti pro McNemarův test H 0 : p 1+ = p +1 (změna výskytu znaku je náhodná) H A : p 1+ p +1 5 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

6 McNemarův test H 0 : p 1+ = p +1 je ekvivalentní hypotéze H 0 : p 12 = p 21 Testová statistika (za platnosti H 0 ): χ 2 = (n 12 n 21 ) 2 n 12 + n 21 as. χ 2 1 Dá se použít již při n 12 + n Při malých četnostech použijeme, že je za H 0 podmíněné rozdělení n 12 při daných n 11 a n 22 binomické: Bi(n 12 + n 21, 1 2 ). 6 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

7 Příklad Obavy po Obavy před Ano Ne Celkem Ano Ne Celkem Tabulka: Obavy pacientů z účinků CT vyšetření H 0 : Podepisování informovaného souhlasu nemá vliv na obavy z vyšetření u pacientů Testová statistika je rovna χ 2 = (n 12 n 21 ) 2 (18 148)2 = n 12 + n = 101,81. Hodnota je větší než χ 2 1 (0,05) = 3,84. Zamítáme hypotézu, že podepisovásní souhlasu nemá vliv na míru obav pacientů před vyšetřením. 7 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

8 Stuartův test také Test homogenity marginálních pravděpodobností zobecnění McNemarova testu pro více než 2 kategorie testujeme hypotézu H 0 : p 1+ = p +1,, p c+ = p +c Definujme d i = n i+ n +i, pro i = 1,..., c, d = (d 1,..., d c 1 ) T. Potom platí Ed i = n(p i+ p +i ) vard i = n[p i+ + p +i 2p ii (p i+ p +i ) 2 ] cov(d i, d j ) = n[p ij + p ji + (p i+ p +i )(p j+ p +j )] i j 8 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

9 Stuartův test Dále definujme matici V = (V ij ) (c 1) (c 1) : V ii = n i+ + n +i 2n ii, V ij = (n ij + n ji ), i j Věta (Stuart, 1955) Platí-li H 0, pak má veličina Q = d T V 1 d asymptoticky χ 2 c 1 rozdělení. 9 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

10 Stuartův test - příklad Agresti & Winner (1997) Evaluating agreement and disagreement among movie reviewers. Data jsou z období od dubna 1995 do září 1996 a představují hodnocení dvou filmových kritiků celkem 160 různých filmů. Ebert Siskel Celkem Celkem Tabulka: Hodnocení dvou filmových kritiků 10 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

11 Stuartův test - příklad Veličina Q = d T V 1 d je rovna 0,59. Hodnota je nižší než χ 2 2 (0,05) = 7,81 = nezamítáme hypotézu shody marginálních pravděpodobností Pravděpodobnostní rozdělení hodnocení filmů je stejné u obou kritiků. 11 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

12 Test symetrie Mějme kontingenční tabulku c c. Testujeme hypotézu symetrie H 0 : p ij = p ji pro všechny dvojice (i, j). Pokud c = 2, jedná se o McNemarův test. Pokud platí H 0, musí platit i p +i = p i+, což je nulová hypotéza u Stuartova testu shody marginálních pravděpodobností. 12 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

13 Test symetrie Analogicky jako u McNemarova testu, testová statistika je: χ 2 = i<j (n ij n ji ) 2 n ij + n ji as. χ 2 c(c 1)/2 Neznáme parametry v matici pravděpodobností za platnosti H 0 : prvky ležící na diagonále a nad ní (kromě p cc ), t.j. neznámých parametrů je c = c(c + 1)/2 1 = c 2 1 c(c + 1)/2 + 1 = c(c 1)/2 stupňů volnosti 13 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

14 Test symetrie - příklad F. Galton zjistil v 1000 případech barvy očí otce a jeho syna 1 - světle modrá 2 - modrozelená nebo šedá 3 - tmavě šedá nebo světle hnědá 4 - tmavě hnědá Barva očí otce Barva očí syna Celkem Celkem Tabulka: Barva očí otců a synů (Yule a Kendall 1950) 14 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

15 Test symetrie - příklad výpočtem podle vzorce dostaneme χ 2 = 19,56 χ 2 = i<j (n ij n ji ) 2 n ij + n ji χ 2 6 (0,05) = 12,59 = zamítáme hypotézu symetrie alespoň pro jednu dvojici (i, j) platí P(otec má barvu očí i,syn má barvu očí j ) P(otec má barvu očí j,syn má barvu očí i) 15 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

16 Stuartův test - stejný příklad Barva očí otce Barva očí syna Celkem Celkem Tabulka: Barva očí otců a synů (Yule a Kendall 1950) Veličina Q = d T V 1 d = 15,77 překračuje kritickou hodnotu χ 2 3 (0,05) = 7,81 = zamítneme hypotézu homogenity marginálních pravděpodobností synové mají jiné pravděpodobnostní rozdělení barvy očí než otcové 16 McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie

17 Zdroje Agresti & Winner (1997) Evaluating agreement and disagreement among movie reviewers. Chance, 10, Anděl, J.: Statistické metody. Matfyzpress, Praha, Bowker, A. H. (1948). A test for symmetry in contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 43(244), Stuart, A. (1955). A test for homogeneity of the marginal distributions in a two-way classification. Biometrika, 42(3/4), McNemarův test, Stuartův test, Test symetrie