M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

Transkript

1 M - Příprava na. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e =, Vlastnosti exponenciální funkce: 1 z 76

3 ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f(x) a > 1 z 76

4 z 76

5 7. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) Narýsujte graf funkce y = 0,5 x z 76

6 Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) a > 5 z 76

7 Narýsujte graf funkce y = 0,5 x z 76

8 z 76

9 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 8 z 76

10 Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady z 76

11 3. Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ) Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x z 76

12 Narýsuj graf funkce y = log1/3(x + ) z 76

13 11. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x z 76

14 z 76

15 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) z 76

16 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ) z 76

17 Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f(x) z 76

18 3. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: log a x = y Û x = a y [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený. 17 z 76

19 Příklad 1: Vypočtěte log 5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 y Odtud snadno zjistíme, že y = Příklad : Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí log z 16 = 3 Řešení Podle definice převedeme na výpočet z 3 = 16 Protože platí 16 = 6 3, pak z 3 = 6 3 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log 0,1x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10. ± Logaritmy - procvičovací příklady 18 z 76

20 , , , , , z 76

21 1. Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x = Určete log4 (log4 4) / , ,5 0 z 76

22 . Stanovte číslo x, platí-li log10 x = , / , ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: log a x = y loga x x = a (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (log a x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a y = a xy = a log log log a a a x y xy 1. Nelze logaritmovat součet log z (a + b) ¹ log z a + log z b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz: a = z b = z ab = z log log z z a b log ab z vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 ab = z log z ab = z log z a. z log b z = z log a+ log b z z 1 z 76

23 Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: log z ab = log z a + log z b Např.: 3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz: a = z b = z a = z b log z a log b log z z a b vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 a b = z a logz b = z z log z a log b z = z log a-log b z z a log z = log z a - log b Např.: z b 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz: a = z a n = z log z a log a z n = log n z a n.logz a ( z ) = z log z a n = n. log z a Např.: z 76

24 ± Věty o logaritmech - procvičovací příklady x = a 3.b.z x = 6 ab. ab 4 5z 3 z 76

25 Určete logzx, je-li a x = a x = abc x = ab/c x = a c b x = ( a - b). a. b 4 z 76

26 Určete logz x, je-li a. tga x = 3 3 b. c Určete logz x, je-li x = a. 4 b Určete logz x, je-li x = a 1/ b / z 76

27 x = a x = a 3 b (n+3) /z 3 3. Určete logz x, je-li 3 3 x =. a. a Určete logz x, je-li x = a -. b ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí): 1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: x æ 3 ö ç è 4 ø = z 76

28 Řešení: æ 3 ö ç è 4 ø æ 3 ö ç è 4 ø x x 3 = æ 3 ö = ç è 4 ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: = 0,5 3 x x Řešení: 3 x-3 x-3 3 = 7 x-3 x-3 7 = x - 3 x - 3 = x - 1 = 3x x = 1 Závěr: x = 1/11 Příklad 3: Řešte rovnici: x-1 x- x + + x -1 -.( = 448 ) = 448 x æ ö. ç + + = 448 è 4 8 ø x 7 6. = 7. 8 x 6 = 8. x 9 = Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 7 z 76

29 x x = 0 Řešení: x ( 3 ) x = 0 Zavedeme substituci y = 3 x Dostaneme rovnici: y + y - 3 = 0 (y - 1). (y + 3) = 0 y 1 = 1 y = -3 Vrátíme se zpět k zavedené substituci: a) 3 x = 1 3 x = 3 0 x 1 = 0 b) 3 x = -3 V tomto případě není řešení, protože 3 x je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 3 5x = 5 3x Řešení: Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme: log 3 5x = log 5 3x 5x. log 3 = 3x. log 5 x. (5log 3-3log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady z 76

30 . Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5 ö ç1 - è 9 ø 3-x -0,5 æ 9 ö = ç è 4 ø 3 x Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x.3 3 x 1 = 4 x ,5 9. Řešte rovnici: 5-3x 7-x 10 = V oboru reálných čísel řešte rovnici: 4 x + 3 x+ 3 = 4 x+ 3-3 x z 76

31 x 1 = x = log 3 / log Řešte rovnici: -x 56 0,5 = + 3 x Řešte rovnici: x x+ 4 x = 4-3 x V oboru reálných čísel řešte rovnici: x 9 = 3 x+ 3 x+ - 7-x x Řešte rovnici: 3x+ 1 x+ 3 5x+ 1. =. 1 x+ 0. Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 3. x 3 + -x = z 76

32 Řešte rovnici: x.4 x- = 8 x z 76

33 31. Řešte rovnici: æ 3 ö ç è 5 ø x 3 æ 5 ö = ç è 3 ø V oboru reálných čísel řešte rovnici: x-6 -x 4 log 7 = log Řešte rovnici: æ ç è 4 5 ö ø x+ 3 4x-1 æ15 ö. ç è 8 ø 1 = Řešte rovnici: x 3. 3 x+ 3m x x-3m = 7 Nemá řešení ± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru 3 z 76

34 Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice). Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici log x 3 - log x 4 + log x 5 = 8 Řešení: log x 3 - log x 4 + log x 5 = 8 3log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 100 Příklad : log x 3 Řešení: log x log x + 7 log x 1 + log x + 7 log x = = 0 3log x + 0,5.. log x log x + 64 = 0 33 z 76

35 3 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 3 log x = -64 log x = - x = 0,01 Příklad 3: 4 3 3log x + log x - log x Řešení: 4 3 3log x + log x - log x = 5 = 5 3log x + 4log x - (1/3)log x = 5 (0/3)log x = 5 log x = 0,75 x = ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady x = 3. log log 3 log x 4 = Řešte rovnici: log 3 x 4 - log = 11 5 x x = 10 = z 76

36 5. 1+ log x 3 = 10 log x x 1 = 0,01 x 3 = Nemá řešení x = z 76

37 / , z 76

38 , Řešte rovnici: , ± Stereometrie - Vzájemná poloha přímek a rovin Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) 37 z 76

39 Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. ± Odchylky a vzdálenosti - procvičovací příklady , , 5. 54, , ,5 cm 38 z 76

40 , , , , , , , z 76

41 , , , ,5 ± Komolý jehlan Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu. 40 z 76

42 ( S + S S S ) 1 V = v Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa. S = S 1 + S + S Q Příklad 1: Řešení: 41 z 76

43 ± Komolý kužel Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů. Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele. S S + S + = 1 S Q Příklad 1: 4 z 76

44 Řešení: Příklad : Řešení: ± Posloupnosti Posloupnosti Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel. Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí a n, b n,apod. a člen posloupnosti a.... člen posloupnosti 43 z 76

45 a člen posloupnosti... a člen posloupnosti a člen posloupnosti... a n... n-tý člen posloupnosti Posloupnost {a n} se zapisuje: Ohraničená posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} a číslo C > 0. Platí-li obecně pak, pak je posloupnost {a n} ohraničená. Rostoucí posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: 44 z 76

46 pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející. Klesající posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející. 45 z 76

47 Konečná posloupnost Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel. Například předpis pro n-tý člen bude {n - 1}, číslo k = 6. Nekonečná posloupnost 46 z 76

48 Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N. Zadání posloupnosti rekurentně Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně. ± Posloupnosti - procvičovací příklady 1. Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce 946. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 943 Posloupnost je rostoucí. 3. Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené. 95 Pouze poslední posloupnost je omezená. 4. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 938 n z 76

49 5. Stanovte n- tý člen posloupnosti: Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 955 Posloupnost je rostoucí. 8. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně 969 0; 1; ; 1; Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 951 Posloupnost je omezená. 1. Stanovte n-tý člen posloupnosti: z 76

50 13. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 950 Posloupnost je omezená. 15. Stanovte n-tý člen posloupnosti: Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 956 Posloupnost je rostoucí. 17. Stanovte n-tý člen posloupnosti: Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 944 Posloupnost je klesající. 49 z 76

51 0. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 954 přičemž hodnotu členu a 1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice Napište první čtyři členy této posloupnosti. 1; 1; 1/; 1/6 1. Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 958 Posloupnost není rostoucí ani klesající. 4. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. a n = 1 kde n je přirozené číslo Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem Stanovte n-tý člen posloupnosti: z 76

52 8. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem a n+1= - a n, přičemž a 1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n Stanovte n-tý člen posloupnosti: Stanovte n-tý člen posloupnosti: Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně 970 1; ; 1; 1; 0; Stanovte n-tý člen posloupnosti: Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 945 Posloupnost je omezená. 34. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 957 Posloupnost je nerostoucí. 35. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 968 přičemž hodnoty členů a 1, a udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a 1 < a. Určete prvních pět členů této posloupnosti. -14; 10; 34; 8; 51 z 76

53 36. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 949 Posloupnost je omezená. 37. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 967 ± Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost 1,, 3, 4, 5, 6,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 4, 6, 8, 10,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 3, 5, 7, 9,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 3/,, 5/,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1/ Ve všech uvedených případech platí, že a n+1= a n + d Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti. Definice: Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1 = a n + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n, nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme diferencí. Mějme obecně aritmetickou posloupnost a 1 a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d... a n = a 1 + (n - 1)d Věta 1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorec a n = a 1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo. Věta : Pro dva libovolné členy a r, a s aritmetické posloupnosti platí rovnost: a s = a r + (s - r)d Příklad 1: 5 z 76

54 První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen. Řešení: 40, 37, 34, 31, 8, 5,, 19, 16, 13, 10, 7,... a n = a 1 + (n - 1)d a 1= d Protože d = -3, pak a 1= (-3) = 7 Příklad : V aritmetické posloupnosti známe 10. a 0. člen. Jsou 5, -15 (po sobě). Určete d, a 1, a 50. Řešení: a 10= a 1 + 9d = 5 a 0= a d = Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a 1 = 61, d = -4 Pak stačí dopočítat a 50= (-4) = -135 Příklad 3: Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost. Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla. Řešení: a 1 = 3,7 a 11= 6,8 = 3,7 + 10d d = 0,31 3,7; 4,01; 4,3; 4,63; 4,94; 5,5; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80 Věta 3: V aritmetické posloupnosti {a n} platí pro součet s n jejích prvních n členů následující vzorec: n s + ( a ) n = 1 a n Příklad 4: Vypočtěte součet prvních n lichých čísel. Řešení: a 1 = 1 a n = 1 + (n - 1). = n - 1 s n n ( a + a ) = ( 1+ n - ) n n = 1 n 1 = 53 z 76

55 ± Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady řešení:. řešení: 3. řešení: z 76

56 Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 4 cm a objem kvádru je 31 cm 3? z 76

57 řešení je 4,. řešení je (-33) d = 0,5, a n+1= a n + 0,5, a 1 = (a + 1)/ z 76

58 řešení je 3, druhé řešení je ± Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost 1,, 4, 8, 16, 3,... Zde platí: a = a 1 a 3 = a atd. 1, 1/3, 1/9, 1/7,... Zde platí: a = (1/3)a 1 a 3 = (1/3)a atd. obecně a n = (1/3)a n-1 Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího. Definice: Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1 = a n. q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti. a = a 1. q a 3 = a. q = a 1. q a 4 = a 3. q = a 1. q z 76

59 .. a n = a 1. q n-1 Věta 1: Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec a n = a 1. q n-1, kde n je přirozené číslo. Věta : Pro libovolné dva členy a r, a s geometrické posloupnosti platí rovnost: a s = a r. q s-r Věta 3: Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {a n} je určen vzorcem: s n n q -1 = a1. q -1 kde q ¹ 1 Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu s n n 1- q = a1. 1- q Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a 1, a 1, a 1,... a pro součet prvních n členů pak platí: s n = n.a 1 Příklad 1: Je dáno a 8 = -40, a 9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost. Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient. Řešení: a 8 = a 1. q 7 = -40 a 9 = a 1. q 8 = Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a 1 = -5/16 Příklad : Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost. Řešení: n = 4 s n = 360 a 4 = 9. a 1. q q = a1. q -1 9.a 1.q = a 1. q Z druhé rovnice q 1 = +3 q = -3 Po dosazení do rovnice první dostáváme (a 1) 1 = 9 (a 1) = z 76

60 Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to: 9, 7, 81, 43-18, 54, -16, 486 ± Geometrická posloupnost - procvičovací příklady n = 4 s n = řešení: 1,, 4, 8. řešení: 8, 4,, 1 5. Doplňte zbývající čísla v tabulce: a 1 = 5, q = 59 z 76

61 Vložená čísla: 10, 0, 40, 80, 160, řešení: 16. řešení: / cm z 76

62 17. Doplňte zbývající čísla v tabulce: Úloha má tři řešení: s 10= a / a 1 = 6, q = ± Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 7 nebude totéž jako číslo 7. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 49 čísel, z nichž 61 z 76

63 musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budeme označovat písmenem k. Zapisovat budeme: V k(n)... čteme variace k-té třídy z n prvků C k(n)... čteme kombinace k-té třídy z n prvků P(n)... čteme permutace z n prvků V k(n)... čteme variace s opakováním k-té třídy z n prvků C k(n)... čteme kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků P (n)... čteme permutace s opakováním z n prvků Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí: 0! = 1 1! = 1! =. 1 = 3! = = 6 4! = = 4 5! = = n! = n. (n - 1). (n - ). (n - 3) S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad 1: Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: n n + 3! n +! n + 1 ( ) ( ) ( )! Řešení: n ( n + 3 )(. n - 3) = + - ( n + 3 )! ( n + )! ( n + 1 )! ( n + 3 )(. n + )! ( n + )! ( n + 1 )! n n ( n + ) 1 = + - = = ( n + )! ( n + )! ( n + 1 )! ( n + )! ( n + )! Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: ( n - ) ( n + ) Řešení: ( 3n + ) 1! 3! + 1! ( 3n + 4)! = 6 z 76

64 ( n -1)! ( 3n + 3 )! ( n -1)! ( 3n + 3 )! + = + = ( n + 1 )! ( 3n + 4 )! ( n + 1 ). n. ( n -1)! ( 3n + 4 )(. 3n + 3 )! 1 1 3n n. ( n + 1) n + 4n + 4 = + = = n. ( n + 1) ( 3n + 4) n. ( n + 1 )(. 3n + 4) n. ( n + 1 )(. 3n + 4) ( n + ) = n. ( n + 1 )(. 3n + 4) Příklad 3: Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + 3)! > (n + 1)! + (n + )! Řešení: n! + (n + 3)! - (n + 1)! - (n + )! > 0 n! + (n +3). (n + ). (n + 1). n! - (n + 1). n! - (n + ). (n + 1). n! > 0 n!. [1 + (n +3). (n + ). (n + 1) - (n + 1) - (n + ). (n + 1)] > 0 n!. (1 + n 3 + 5n + 6n +n + 5n n n - 3n - ) > 0 n!. ( n 3 + 5n + 7n + 4) > 0 Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění n 3 + 5n + 7n + 4 > 0 Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme ænö ç èk ø Čteme "en nad k". Platí: ænö ç = èk ø n! ( n - k)!. k! Vlastnosti kombinačních čísel: ænö n! ç = = n è1 ø ( n -1)!.1! ænö n! ç = = 1 ènø ( n - n)!. n! ænö n! ç = = 1 è0ø ( n - 0 )!.0! æ0ö 0! ç = = 1 è0ø ( 0-0 )!.0! ænö æn ö ç = ç èk ø èn - k ø = 63 z 76

65 ænö æn ö æn + 1ö ç + ç = ç èk ø èk + 1ø èk + 1ø æn ö n - k ænö ç =. ç èk + 1ø k + 1 èk ø Příklad 4: V přirozených číslech řešte rovnici: æ7ö æ x + ö æ5ö æ x + 1ö æ xö ç. ç - ç. ç = 10. ç è1 ø è x ø è3ø è x -1ø è0ø Řešení: æ7ö æ x + ö æ5ö æ x + 1ö æ xö ç. ç - ç. ç = 10. ç è1 ø è x ø è3ø è x -1ø è0ø ( x + )! 5! ( x + 1 )! = 10.1!. x!!.3!!. ( x -1)! 7. ( x + )(. x + 1) 5.4 ( x + 1 ). x -. = 10 14x + 4x + 8-0x - 0x = 40-6x + x - 1 = 0 3x - 11x + 6 = 0 x 1 = 3 x = /3 - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x = 3. ± Kombinatorika - procvičovací příklady z 76

66 z 76

67 z 76

68 , ± Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování prvků Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z n prvků. Budeme zapisovat: C k (n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž: ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - ( n k)!. k! Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad 1: 67 z 76

69 Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků 3; 5; 7; 9. Řešení: 1. způsob: Úvahou {3; 5} {3; 7} {3; 9} {5; 7} {5; 9} {7; 9}. způsob: Pomocí kombinatoriky n = 4 k = C (4) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - æ4ö 4! C( 4) = ç = èø 4 -!. C (4) = 6 ( n k)!. k! ( )! Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor. Řešení: n = 30 k = 3 C 3 (30) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø ( n - k)!. k! æ30ö 30! C3( 30) = ç = è3 ø 30-3!.3 C 3 (30) = ( )! Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem způsoby. Příklad 3: K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. Řešení: n = 6 k = C (6) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - ( n k)!. k! 68 z 76

70 C ( 6) C (6) = 15 æ6ö = ç = èø Počet utkání je 15. Příklad 4: 6! ( 6 - )!.! Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce Řešení: ad a) n = 10 k = C (10) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - æ10ö 10! C( 10) = ç = è ø 10 -!. C (10) = 45 ( n k)!. k! ( )! Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem 45 přímek. ad b) n 1 = 10 k = n = 4 p =? (celkový počet) p = C = ( n )- C ( n ) n! ( n - k)!. k! ( n - k) p = 1 p = 40 k ! æn1 ö æ 1 - n k + = ç ç èk ø èk n! - + 1!. k! 4! !.! ( 10 - )!.! ( ) ö + 1 = ø Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno 40 různých přímek. Příklad 5: Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Řešení: Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. 69 z 76

71 n 1 = = 5 k = n = 15 n 3 = 10 p =? (celkový počet) p = C = p = ( n )- C ( n )- C ( n ) n! æn1 ö æn = ç k - ç è ø èk n! ( n - k)!. k! ( n - k)!. k! ( n - k)!. k! 1 p = 150 k 1 1 5! - k - n ( 5 - )!.! ( 15 - )!.! ( 10 - )!.!! 15! k ! Celkem lze vytvořit 150 různých tanečních párů. ö æn - ç ø èk 3 ö = ø ± Kombinace bez opakování - procvičovací příklady z 76

72 z 76

73 ± Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme V k (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec: n! V k ( n) = ( n - k)! Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující: ænö V k ( n) = ç.k! èk ø Příklad 1: Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků 3, 5, 7, 9. Řešení: Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: 7 z 76

74 [3; 5; 7], [3; 5; 9], [3; 7; 5], [3; 7; 9], [3; 9; 5], [3; 9; 7], [5; 3; 7], [5; 3; 9], [5; 7; 3], [5; 7; 9], [5; 9; 3], [5; 9; 7], [7; 3; 5], [7; 3; 9], [7; 5; 3], [7; 5; 9], [7; 9; 3], [7; 9; 5], [9; 3; 5], [9; 3; 7], [9; 5; 3], [9; 5; 7], [9; 7; 3], [9; 7; 5] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n = 4 k = 3 V 3(4) =? n! V k ( n) = ( n - k)! 4! V ( 4) = = 4! 4-3! ( ) 3 = 4 Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je 4. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. Řešení: Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variacetřetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = 30 k = 3 V 3(30) =? n! V k ( n) = ( n - k)! 30! V ( 30) = = ! ( ) 3 = 4360 Shromáždění může zvolit výbor celkem způsoby. Příklad 3: Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou. Řešení: Přirozená čísla menší než 500 mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi 5, 6 a 7. n = 4 k 1 = 1 k = k 3 = 3 p =?... celkový počet čísel z 76

75 p = V 1(4) + V (4) + V 3(4)/4 æ4ö æ4ö æ4ö p = ç.1! + ç.! + ç.3!: 4 = = è1 ø èø è3ø Čísel splňujících dané podmínky je celkem. ± Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady ± Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: 74 z 76

76 Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P(n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec: P(n) = n! Příklad 1: Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Řešení: Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n = 3 P(3) =? P(n) = n! P(3) = 3! = 6 Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad : Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4 a 7. Řešení: Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticeferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n 1 = 5 n = 4 p =?... celkový počet p = n 1! - n! = 5! - 4! = 10-4 = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad 3: Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A Řešení: ad a) n = 5 75 z 76

77 p =? p = P(5) = 5! = 10 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 10. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n = 4 p =? p = P(4) = 4! = 4 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 4. ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n = 5 p =? p = p(5)/ = 5!/ = 60 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 60. ± Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady z 76

78 Obsah Exponenciální funkce 1 Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce 8 Logaritmická funkce - procvičovací příklady 9 Logaritmy 17 Logaritmy - procvičovací příklady 18 Věty o logaritmech 1 Věty o logaritmech - procvičovací příklady 3 Exponenciální rovnice 6 Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 Logaritmické rovnice 3 Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 34 Stereometrie - Vzájemná poloha přímek a rovin 37 Odchylky a vzdálenosti - procvičovací příklady 38 Komolý jehlan 40 Komolý kužel 4 Posloupnosti 43 Posloupnosti - procvičovací příklady 47 Aritmetická posloupnost 5 Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 54 Geometrická posloupnost 57 Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 59 Kombinatorika 61 Kombinatorika - procvičovací příklady 64 Kombinace bez opakování 67 Kombinace bez opakování - procvičovací příklady 70 Variace bez opakování prvků 7 Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady 74 Permutace bez opakování prvků 74 Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady :40:57 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (