Popisná statistika. (Descriptive statistics)

Transkript

1 Popá tatta Decrptve tattc Výledem měřeí je oubor aměřeých hodot vytvářející datový oubor D { } V datovém ouboru e mohou vyytovat tytéž hodoty vícerát, zejméa tehdy, mají-l velčy drétí epojtou povahu počet rohlíů Poud chceme teto oubor dat blíže popat, použjeme ěterý z trumetů tzv popé tatty Váha Poud eí očeávaá valta jedotlvých pozorováí tejá, je užtečé j popat ezáporým čílem tzv vahou - Váha e vztahuje vždy jedomu, orétímu měřeí, proto j ezaměňujte četotí přílušého výledu Váha většou ouví adem tzv vtří ejtoty určeí hodoty orétího měřeí - δ : ~ δ Zušeot uazuje, že zavedeím vah e globálí charaterty ouboru obvyle změí je evýzamě, a proto eí je třeba předem rozmylet, zda váhy př výpočtech vůbec použjeme Váhy bychom eměl použít v případě, dy e uáže, že očeávaá ejtota jedotlvých měřeí v ouboru je výrazě meší, ež jejch celový rozptyl v rámc ouboru Naopa jme je pov použít poud jou delarováy, tedy zejméa př traformac měřeých velč ějaou eleárí fucí log, / ebo př ěterých robutích metodách zpracováí výledů Zaveďme umu vah a tředí váhu :, Míra polohy Nejzámější a ejpoužívaější mírou vztahující e e tředu tudovaého datového ouboru je tzv artmetcý průměr, čato je průměr arthmetc mea, mea, případě váhovaý průměr eghted mea:, Důležtou vlatotí průměru je fat, že: 0, rep 0 Geometrcý průměr geometrc mea: Harmocý průměr harmoc mea: Kvadratcý průměr quadratc mea: W G G H, H

2 , Pro další charaterty je vhodé oubor { } případě {, } eřadt podle velot Kvatl quatle určeý čílem p, 0<p< je čílo z tervalu <, >, pro ějž platí, že p hodot ouboru je meších ež a p větších Vážeý vatl eghted quatle e vztahuje vahám Poud je zoumaý oubor vzorem ějaého většího ouboru, pa vatl p je adem pravděpodobot, že ějaé áhodě vybraé čílo ze ouboru bude meší ež zvoleá hodota Rozdíl p a - p b pa udává ad pravděpodobot, že e taové čílo vyyte v tervalu < b, a > Je-l p vyjádřeo v procetech, pa e vatlu říá percetl percetle Zvláští výzam má vatl pro p 0,5 50 %, azývaý medá, prví vartl frt quartle - p 0,5 5 % a třetí vartl thrd quartle p 0,75 75 % Výše azačeý předp je je rámcový, pro algortmu výpočtu vatlů je uto být orétější Výhodé je tomu defovat tzv umulatví dtrbučí fuc, případě váhovaou umulatví dtrbučí fuc Φ, terá vyjadřuje závlot vatlu p a měřeé velčě Kumulatví dtrbučí fuce Φ je předtavováa lomeou čarou uzlovým body v {, p } Pro p platí: p /, p p - + / p + / pro < je hodota p rova ule, pro > je fuce rova Obdobě pa váhovaá umulatví dtrbučí fuc Φ je předtavováa lomeou čarou uzlovým body v {, p } Pro p platí: p /, p p /, pro < je hodota p rova ule, pro > je fuce rova Medá meda ~ ebo váhovaý medá je oblíbeá robutí míra polohy cetra ouboru, jež pratcy ezáví a výytu odlehlých bodů Z výše uvedeé defce fuce Φ plye, že je-l lché čílo m+, pa ~, je-l udé čílo m, pa ~ / m + m m Ořezaý průměr trmmed mea T D, p robutí ad polohy cetra je jtým ompromem mez artmetcým průměrem a medáem Jao parametr e používá velča p vyjádřeá zpravdla v procetech ejčatěj 0 % Ze eřazeý oubor dat odtraíme roudp/ ejvyšších a tejý počet ejžších hodot a ze zbytu vypočteme artmetcý průměr Pro p 0 jde o průměr, pro p 00% o medá U váhovaých velč je defce ořezaého průměru poěud vágí a proto e běžě epoužívá

3 Modu je-l ejčetěj zatoupeá hodota ebo hodota ejvětší vahou bývá u drétích výledů měřeí, ebo v určtých tervalech ejpohodlěj j lze odečít z htogramu vz 3 Míry rozptýleí, dtrbučí fuce Nejčatější mírou rozptýleí dat olem cetra je tazvaý rozptyl varace ebo měrodatá odchyla tadard devato, Cetrem rozptýleí je zde artmetcý průměr Doažte, že právě pro ěj abývá fucoál a a, rep a a, vého mma Robutí třídou měr rozptýleí je tzv tředí velot odchyly mea abolute devato MAD, repetve vážeá tředí velot odchyly eghted mea abolute devato WMAD, cetrovaá a, ejčatěj pa artmetcému průměru ebo medáu: Lze uázat, že pro mad a a mad a a ~ je hodota mada, rep mada, mmálí a Celové rozpětí total rage daý rozdílem mez ejvětším a ejmeší aměřeou hodotou Mezvartlí rozpětí terquartle rage, což je rozdíl mez 3 a vartlem louží jao robutí ad rozptýleí, eboť e vztahuje a vtří čát rozdělovací řvy Nejtrutvějším vyjádřeím dtrbučí fuce je u drétích velč tzv tyčový graf, v případě pojtých velč pa htogram htogram Celý terval porytý daty e rozdělí a vhodý počet h evdtatích tervalů a počítá e počet četot, repetve uma vah dat m přílušejících Grafcy e potom dtrbučí fuce zázorí loupcovým dagramem Doporučeý počet loupců pro měřeí udává turgeovo pravdlo: h + 3,3 log 3

4 4 Normálí rozděleí Výjmečé potaveí mez rozdělovacím fucem má tzv ormálí rozdělovací fuce, zvaá též Gauova fuce, odpovídají rozděleí zcela áhodých velč Fuce hutoty pravděpodobot f je ormovaá a a je popáa dvojcí parametrů µ a σ : µ f ep π σ σ Gauový Říp je příě ymetrcý podle oy µ, terážto hodota je oučaě artmetcým průměrem, medáem modem ouboru podřzujícímu e ormálímu rozděleí Lze uázat, že měrodatá odchyla je právě rova parametru popujícímu šířu ormálího rozděleí σ dperze, tedy: µ µ µ f d µ ep σ π σ σ d Kumulatví dtrbučí fuc lze výhodou popat pomocí pecálí tabelovaé fuce erf odpovídající gauovému rozděleí µ 0 a σ / : erf e t π 0 µ µ dt Φ erf + σ σ Něol charatert: v rozmezí ±σ e achází 68% případů, ±σ 95%, ±3σ 99,7% vartl e achází ve vzdáleot σ od cetra, mezvartlí rozpětí ta odpovídá,349 σ σ /06745 mad 483 mad 4 Odhad µ a σ K tomu, abychom dooale mohl zjtt oba parametry ormálího rozděleí σ a µ, bychom muel mít dpozc eoečě moho bodů Ve utečot máme dpozc je omezeý vzore celého ouboru, a pomocí dat tohoto vzoru můžeme aejvýš taovt ad obou parametrů, terý 4

5 5 je zatíže jtou eurčtotí Za předpoladu, že zoumaý oubor má ormálí rozděleí, pa lze uázat, že ejlepší ezávlý ad parametru σ je dá vztahem: σ σ Pomocí tohoto adu tředí vadratcé odchyly lze adout eurčtot taoveí parametru µ vlatě artmetcého průměru: ; σ µ δ µ 4 Odchyly od ormálího rozděleí, šmot a špčatot K popu rozdělovací řvy e obča používá ještě jemějšího popu, terý využívá Obecý momet -tého řádu momet of -th order:, Obecý cetrálí momet -tého řádu olem bodu a cetred momet of -th order: a m a m, Cetrem bývá ejčatěj artmetcý průměr, rep váhovaý artmetcý průměr Vdíme, že pro teto případ m 0 m 0, m Zavádíme teď ještě dvě bezrozměré charaterty: tzv šmot ee: a 3 m 3 / 3 a špčatot urto a 4 m 4 / 4 fuce Šmot ymetrcých fucí je ulová tedy ormálího rozděleí, charaterty tedy popuje míru aymetre fuce Charaterta a 4 přáší formac o tom, ja e vlatě body ocetrují olem průměru Je-l a 4 blízé 3, pa mluvíme o ouborech ormálí špčatotí, př a 4 < 3, hovoříme o ouborech plochých a př a 4 > 3 e mluví o ouborech špčatých

6 Za ejdělější átroj poouzeí odchyle pozorovaého rozděleí od ormálího rozděleí považuj graf ormálí pravděpodobot ormal probablty plot, do ěhož vyášíme umulatví dtrbučí fuc, přčemž oa pravděpodobotí vatlová je traformováa ta, aby e tam oubory ormálím rozděleím zobrazly jao přímy Je vhodé přtom body odpovídající a 3 vartlu proložt přímou a dutovat pa odchyly reálého rozložeí bodů od í V Matlabu je pro tuto úlohu příaz: ormplot 5 Úloha Výledem měřeí atmofércé etce z pozorováí omet a obervatoř alaté Pleo jou tyto hodoty etčích oefcetů ve vlové délce 46 m mag/vzdušou hmotu: 08± ±007 0±007 06± ± ±005 03± ± ±005 08± ±004 04± ± ± ±004 05±004 04±004 04± ± ±003 Itrumetářem popé tatty charaterzujte teto oubor, pecálě pa uveďte: a počet měřeí a jejch charater pojté, drétí? b taovte váhy jedotlvých měřeí a dutujte, zda je v tomto případě případé tyto váhy použít Bez ohledu a výlede úvahy počítejte všechy další úlohy ve dvou varatách vaham a bez ch c ad artmetcého průměru a jeho ejtotu za předpoladu ormálího rozděleí, harmocý, geometrcý, vadratcý průměr a medá, ořezaý průměr pro 0% a 0% je pro případ bez vah d mmálí a mamálí hodotu etce a celové rozpětí e rozptyl, měrodatou odchylu, ad rozptylu σ, tředí velot odchyly cetrem v artmetcém průměru a v medáu f graf umulatvích dtrbučí fuce a pomocí í taovte hodoty vartlů a mezvartlího rozpětí g Porovejte ady µ a σ pro ormálí rozděleí zíaé růzým metodam h Vypočtěte šmot a špčatot rozdělovací fuce a porovejte ormálím rozděleím Jaý je to typ ouboru? etrojte graf ormálího rozděleí a dutujte řešte bez vah pomocí taovte optmálí počet loupců v htogramu a etrojte jej Doporučuj loupce v htogramu cetrovat a áoby 0, j aděte modu rozděleí dutujte tvar rozdělovací fuce vědomím, že otatí loža etčího oefcetu ve 46 m způobeá Rayleghovým rozptylem a áhodých hlucích moleul vzduchu čí 0,6 mag/vzdušou hmotu 6

7 Itrumetářem popé tatty charaterzujte teto oubor, pecálě pa uveďte: a počet měřeí a jejch charater pojté, drétí? 0, pojté b taovte váhy jedotlvých měřeí a dutujte, zda je v tomto případě případé tyto váhy použít Bez ohledu a výlede úvahy počítejte všechy další úlohy ve dvou varatách vaham a bez ch eí případé použtí, tadardí odchyla je mohem větší, ež ejtota jedoho měřeí c ad artmetcého průměru a jeho ejtotu za předpoladu ormálího rozděleí mea 0,480±0,047; mea 0,50±0,045, harmocý 0,38, geometrcý 0,435, vadratcý průměr 0,55 a medá 0,45, ořezaý průměr pro 0% a 0% je pro případ bez vah: 0,474; 0,468 d mmálí a mamálí hodotu etce a celové rozpětí 0, až 0,97; 0,86 e rozptyl, měrodatou odchylu, ad rozptylu σ, tředí velot odchyly cetrem v artmetcém průměru a v medáu v artmetcém průměru: 0,047; 0,04; 0,0439; 0,0; e tředem v medáu: 0,448; 0,; 0,047; 0,7 f graf umulatvích dtrbučí fuce a pomocí í taovte hodoty vartlů a mezvartlího rozpětí terv 0,65 g Porovejte ady µ a σ pro ormálí rozděleí zíaé růzým metodam; σ 0,0; mad 0,56, madmed 0,46 h Vypočtěte šmot a špčatot rozdělovací fuce a porovejte ormálím rozděleím Jaý je to typ ouboru? etrojte graf ormálího rozděleí a dutujte řešte bez vah pomocí taovte optmálí počet loupců v htogramu a etrojte jej Doporučuj loupce v htogramu cetrovat a áoby 0, j aděte modu rozděleí dutujte tvar rozdělovací fuce vědomím, že otatí loža etčího oefcetu ve 46 m způobeá Rayleghovým rozptylem a áhodých hlucích moleul vzduchu čí 0,6 mag/vzdušou hmotu l 7