=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

Transkript

1 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou polyomy Q( ) libovolých supňů, lze vyjádři ve vru P( ) = S( ) + R ( ) + + Rs ( ), Q( ) de S() je mohočle R (),,R s () jsou prciálí zlomy Fuci v ovém vru umíme iegrov Rozld prciálí zlomy Prciálí zlomy jsou speciálí rcioálí lomeé fuce Rozlišujeme ypy: M+ N ( + p+ A ( -), de Î N,, AÎ R, de Î N, M, N, p, qî R, p - q< 0 P( ) Kždou ryze lomeou fuci s reálými oeficiey R ( ) = lze ps jo souče Q( ) prciálích zlomů Kždému -ásobému reálému ořeu mohočleu Q() odpovídá v rozldu čleů prvího ypu, j A A A,,, - ( -) ( -) ždé l-ásobé dvojici ompleě sdružeých ořeů přísluší l zlomů druhého ypy, j M + N,, M l + N l ( l + p+ q + p+ Posup lezeí oeficieů rozldu: ) Zjisíme, zd je zdá fuce ryze lomeá Poud e, převedeme ji děleím souče polyomu ryze lomeé fuce ) Njdeme ořey polyomu ve jmeoveli 3) Npíšeme předpoládý vr rozldu ) Vyásobíme celou rovici rozldu fucí Q()

2 5) ) Dv polyomy se rovjí, jesliže jsou sejého supě mjí sejé oeficiey u sejým moci proměé Porováím ěcho oeficieů doseme podmíy pro čísl A, A,, B,, M, Tyo podmíy jsou vyjádřey sousvou lieárích rovic pro ezámé A, A, To sousv je vždy řešielá jedozčě b) Jesliže má jmeovel reálé ořey, je výhodé dosdi je do vzilé rovice Všechy čley s ezámými oeficiey ž jede oiž vymizí, sdo doseme z ždý ový oře jede ezámý oeficie Příld: Rozlože prciálí zlomy rcioálí lomeou fuci R ( ) = Iegrce prciálích zlomů s reálými ořey ve jmeoveli A Pro = : A l - + c - Pro ³ využijeme subsiuci dosáváme: -+ A - = d A = A = A + c= ( -) d - + (- )( -) + - c d Příld: Vypočěe iegrál - Iegrce prciálích zlomů s ompleími ořey ve jmeoveli Usdíme si práci ím, že do čiele prciálího zlomu píšeme míso derivci rojčleu + p+ q, bychom si usdili iegrováí, z ( M+ N + p+ B(+ = ( + p+ + ( + p+, de M = B N = B p+

3 B(+ Při iegrováí prvího zlomu ( ( + p+ ) pro = dosáváme: B(+ B l + p+ q ( + p+ + c B(+ + p+ q= d B Pro ³ : = B = + c + p+ q + p d - ( ) ( ) (- )( + p+ Při iegrováí druhého zlomu ( ( + p+ pro =: ó ô õ + p / = = + p+ q ( + p / ) + d ) doplíme rojčle + p+ q čverec: d + + p / = rcg + c, p de = q- Pro ³ : ( d + - = = = d p ( ) ( + ) ( + ) d posupě sižujeme supeň jmeovele (iegrál) zbývjící čás ( + ) (iegrál) počíáme meodou per pres 3+ Příld: Vypočěe iegrál d

4 INTEGRAE NĚKTERÝH SPEIÁLNÍH TYPŮ FUNKÍ Budeme se zbýv iegrály fucí, eré lze pomocí vhodých subsiucí převés iegrály z rcioálí lomeé fuce Jde o jisé výrzy s goiomericými fucemi resp s odmocimi Vesměs jde o iegrály vysyující se čso v plicích Iegrály obshující goiomericé fuce m Nejprve se podíváme iegrály ypu cos si d, de m, Î Z ) Poud je spoň jedo z čísel m, liché použijeme řešeí subsiuce: si =, cos =, Poud jsou obě liché, můžeme si vybr je- li m je- li liché liché d Příld: Vypočěe iegrál si ) Zbývá vyřeši přípd, dy jsou ob epoey sudé Poud jsou obě čísl m, ezáporá, je ejvýhodější použií vzorců pro dvojásobý úhel: - cos + cos si =, cos =, de Î R Je-li spoň jedo z čísel m, záporé, použijeme subsiuci: g= = rcg d + si Příld: Vypočěe iegrál cos d

5 Uiverzálí subsiuce g =, Î( -p,, = rcg, d, + - si =, cos = d + + m Uvedeá subsiuce převede iegrál cos si d, de m, Î Z iegrál z rcioálí lomeé fuce Vzhy vycházejí z prvoúhlého rojúhelíu, de úhel má velios /, velios přilehlé odvěsy je rov jedé Z defiice fuce ges vyplývá, že proilehlá odvěs má velios z Pyhgorovy věy dosáváme, že přepo má velios + Dále využijeme defiici fuce sius osius vzorce pro polovičí úhel doseme hledé vzhy 5 Příld: Vypočěe iegrál d + si Iegrály obshující odmociy Ircioálí fuce iegrujeme věšiou pomocí subsiučí meody ) Iegrd obshuje výrz + b, = osmosíme p dopočíáme difereciál: Î N, ³,, bî R Zvedeme subsiuci + b převedeme iegrál z rcioálí lomeé fuce Z éo rovosi ejprve - - b + b= Þ = d ) Obshuje-li iegrová fuce více odmoci s růzými odmocieli + b, + b,, zvádíme subsiuci + b=, de je ejmeší společý ásobe čísel,,, Příld: Vypočěe iegrál d

6 3) Iegrd obshuje výrz - b Subsiuce se v omo přípdě zývá goiomericá, proože ldeme b = si ebo b = cos, že cos d ebo b - si d b 35 Příld: Vypočěe iegrál d - 9 6