5. Na množině R řeš rovnici: 5 x 2 2 x Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 3 5

Transkript

1 I 16 VADRO (váha 80) E 1. Na obrázku vpravo je graf funkce g dané předpisem: y = a + b + c. Urči koeficienty a, b, c.. Zapiš definiční obor a obor hodnot funkce f na obrázku vpravo. f: y = 0, Na množině R řeš nerovnici: ( 1)( + 3) 9( + 3) 4. Tahač ujel dráhu 108 km. Protože jel průměrnou rychlostí o 3 km/h větší, než se původně předpokládalo, byl v cíli cesty o půl hodiny dříve. Jaká byla průměrná hodinová rychlost jízdy tahače? 5. Na množině R řeš rovnici: Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 11n 3 5 4n 1 3n. 3 3

2 Řešení: ad1) Graf funkce g na obrázku prochází např. body [0; ], [; ], [4; ]. To je dost bodů na to, abych mohl určit neznámé koeficienty a, b, c. Začnu číslem c. Průsečík grafu funkce g s osou y je [0; ], proto c =. To bylo snadné a mám bod. Nyní dosadím do předpisu funkce postupně body [; ] a [4; ]. Získám tak soustavu dvou lineárních rovnic o neznámých a, b. [; ]: a b 0 = 4a + b Vynásobím číslem. [4; ]: a 4 b 4 4 = 16a + 4b 0 = 8a 4b 4 = 16a + 4b Sečtu obě rovnice. 4 = 8a a = 0,5 Dopočítat b je hračka. Například z rovnice 0 = 4a + b. 0 = 4 0,5 b b = 1 ad) Definiční obor funkce f na obrázku je interval ; toho modrého knedlíku. Takže ji spočítám a hotovo., kde je -ová souřadnice Z obrázku je patrné, že y-ová souřadnice modrého knedlíku y = 1. Dosadím ji tedy do předpisu funkce a dopočítám. y 0, , ,5 4 1 D 4 4 0, D Pozn. ořen s mínusem v čitateli zlomku mě nezajímá. 0,5 Definiční obor funkce f na obrázku je interval ; Obor hodnot funkce f vyčtu přímo z obrázku. Evidentně je to interval takřka za nic. 6 ;. To je bod ad3) Vyřešit takovou nerovnici by neměl být problém. Roznásobit všechny závorky, seřadit všechno na jedné straně nerovnice, diskroš, kořeny, obrázek, závěr Ještě nerovnici vydělím dvěma D D 8

3 8 1, 1 = 3, = 5 b) Pozn. Způsob, jakým je nerovnice zadaná, přímo vybízí k použití fikanějšího postupu pro výpočet kořenů 1 a Nejprve nerovnici přepíšu na rovnici. Na obou stranách rovnice je součin, v obou případech je jedním z činitelů závorka ( + 3). To znamená, že kořen = 3 vynuluje obě strany rovnice, a tudíž musí být jedním z řešení této rovnice. Mám-li první kořen 1 = 3, můžu celou rovnici vydělit závorkou ( + 3). Dostanu lineární rovnici, kterou snadno vyřeším. 1 9 = 5 Buď jak buď, mám dva kořeny příslušné kvadratické rovnice 1 9 chcete-li, průsečíky grafu funkce y = 15 s osou. nebo, Graf funkce y = 15 připomíná údolíčko, neboť a = 1. Souřadnicovou osu protne v bodech [ 3; 0] a [5; 0]. Udělám si náčrt celé situace. Nerovnice má tvar Hledám tedy všechny hodnoty funkce y = 15 větší nebo rovny nule. Nebo ještě jinak hledám všechny body na parabole, které leží nad osou (nebo na ní). To jsou ty vyznačené na spodním obrázku červeně: Červeně vyznačeným bodům (respektive jejich -ovým souřadnicím) odpovídá sjednocení intervalů ; 3 a 5 ;, a to je také řešením dané nerovnice. Celkem tedy: ; 3 5; (obrázek je k získání bodu nezbytný)

4 ad4) líčem k úspěchu je správné označení neznámých veličin. v... původně plánovaná rychlost tahače (v km/h) t... původně plánovaná doba jízdy (v hodinách) dráha tahače (v km) = vt Z toho dále plyne: v nová rychlost tahače (v km/h) a současně to, na co se nás v úloze ptají t 0,5... nový čas (v hodinách) dráha tahače (v km) = (v + 3)(t 0,5) Dostal jsem tedy soustavu dvou rovnic: 108 = vt 108 = (v + 3)(t 0,5) Roznásobím pravou stranu. 108 = vt 108 = vt + 3t 0,5v 1,5 Z první rovnice plyne: vt = = t 0,5v 1,5 0 = 3t 0,5v 1,5 I když se mě úloha ptá na rychlost, vyjádřím z rovnice rychlost v, neboť to bude vypadat lépe. 0,5v = 3t 1,5 v = 6t = (6t 3)t 108 = 6t 3t 6t 3t 108 = 0 t t 36 = 0 Dosadím tuto rychlost do první rovnice a získám tak jednu kvadratickou rovnici o neznámé t. Vydělím třemi D D t 4,5 Pozn. Zajímá mne pouze kladný čas. 4 Na závěr spočítám průměrnou hodinovou rychlost jízdy (nové), tj. veličinu v + 3. v = 6t 3 v + 3 = 6t = 6 4,5 7 km/h Odpověď: Tahač jel průměrnou rychlostí 7 km/h. Pozn. Někde v půli příkladu mi došlo, že výhodnější by bylo označit novou rychlost jako v a nový čas jako t. Původně plánovaná rychlost by pak byla v 3, původně plánovaný čas t + 0,5. Vyjde to však tak jako tak.

5 ad5) Rovnice s odmocninami řešíme tak, že je umocňujeme tak dlouho, dokud odmocniny nezmizí. To však nelze dělat bez rozmyslu, protože člověk by taky mohl umocňovat rovnici do konce života a odmocnin by se stejně nezbavil Umocním, tady není nad čím dumat [POZOR, vlevo dle vzorce (a + b) ] Upravím. Ty čtyři odmocniny šoupnu napravo, vše ostatní směřuju nalevo Teď to znovu umocním. Vlevo opět dle vzorce A máme z toho obyčejnou kvadratickou rovnici D = A teď POZOR! V kroku prvním a čtvrtém (tj. při umocňování rovnice) jsem použil neekvivalentní úpravu, jelikož některá ze stran rovnice (v obou případech ta levá) mohla být záporná. Taková úprava vyžaduje provést zkoušku dosazením výsledku do ZADÁNÍ. Z pro 1. L = P: L P Z pro L = P: L = P Daná rovnice má na množině reálných čísel jediné řešení: = 11.

6 ad6) Jedná se o soustavu lineárních nerovnic o jedné neznámé. Vyřeším obě současně (nebo to aspoň zkusím). 11n 3 5 4n 1 3n Nerovnice násobím třemi n 3 11n 3 9n 5 Odečtu trojku a 9n od všech tří stran nerovnice. n Z druhé nerovnice ihned plyne n < 1, tedy ; n Ještě vyřeším tu první. n. 3n 6 n n 6 To jest interval ; 6. Oběma nerovnostem vyhovují všechna čísla patřící současně do obou intervalů, tj. čísla z intervalu ;1. celkem b) Za test lze obdržet celkem 17 bodů. lasifikace: bodů bodů bodů bodů