Geometricky válcová momentová skořepina

Transkript

1 Geometricky válcová momentová skořepina Dalším typem tenkostěnnéo rotačně souměrnéo tělesa je geometricky válcová momentová skořepina. Typický souřadnicový systém je opět systém s osami z, r, a t. Geometricky válcová momentová skořepina

2 Střednicová ploca skořepiny se při zatížení mění z válcové na obecnou rotačně souměrnou plocu. Deformuje se v radiálním směru o posuv u a v axiálním směru o posuv w. Pro natočení platí: θ = du dr Přetvoření délková ε jsou obecně nenulová ve všec směrec, zkosy γ jsou nulové buď vlivem rotační souměrnosti, nebo je můžeme zanedbat díky tenkostěnnosti. Tenzor deformace: ε r 0 0 T ε = ( 0 ε z 0 ) 0 0 ε t Na uvolněný prvek působí v meridiánovém řezu napětí σt a napětí σz v radiálním řezu. Napětí radiální jsou u momentové skořepiny jakožto tenkostěnnéo tělesa opět nulová. Tenzor napětí: σ t 0 0 T σ = ( 0 σ z 0) Liniové výsledné vnitřní účinky (LVVÚ) jsou u této skořepiny momenty Mt a Mz a liniové normálové síly Nt a Nz a liniová posouvající síla Trz. Rovnice rovnováy V důsledku rotační souměrnosti jsou liniové síly funkcí pouze jedné proměnné z. Odvodit lze z rovnováy uvolněnéo prvku rovnice: dn z dz + p z = 0 dt rz dr N t r + p r = 0 dm z dz + T rz = 0 Podmínky statické ekvivalence pro určení napětí: M z = N z = T rz = xσ z dx σ z dx τ rz dx M t = N t = xσ t dx σ t dx Geometrické rovnice Geometrické rovnice uvádějí vzta mezi deformací a posuvy tělesa. Musíme je vyjádřit pomocí nezávislýc posuvů u a w. ε r (z, x) = du dr ε t (z, x) = u r

3 Výsledný posuv obecnéo bodu Q střednice je w Q = w R + w Qz a přetvoření Konstitutivní vztay ε z = dw Q dz = dw dz + dw Qz dz = dw dz x d u dz Hookův zákon ve tvaru pro napětí v souřadnicovém systému r, t, z. σ r = E 1 μ (ε r + με t ) σ t = E 1 μ (ε t + με r ) Diferenciální rovnice pro posuvy a její řešení Dosazením geometrickýc rovnic do konstitutivníc vztaů vyjádříme napětí jako funkce posuvů. Takto vyjádřená napětí pak dosadíme do rovnic statické ekvivalence a dostaneme vztay pro momenty: M z = B d u dz Kde B je tzv oybová tuost desky: M t = Bμ d u dz E 3 B = 1(1 μ ) A platí tedy: M t = μm z A pro normálové síly dostaneme: N z = E 1 μ (dw dz + μ u r ) N t = E 1 μ (u dw + μ r dz ) Integrací první rovnice rovnováy můžeme získat liniový výsledný vnitřní účinek Nz: N z = p z (z)dz + C 0 Třetí rovnici rovnováy derivujeme a dosadíme do drué, čímž vyloučíme posouvající sílu a získáme: d M z dz N t r + p r = 0 Do této rovnice dosadíme vzta pro moment Mz a získáme: B d4 u dz 4 N t r + p r = 0 N t = μn z + E u r Nakonec dostaneme diferenciální rovnici 4. řádu: d 4 u dz 4 + 4β4 u = 1 B [p r μ r (C 0 p z (z)dz)] kde β je 4 β = 3(1 μ ) r

4 Její řešení se skládá z omogennío a partikulárnío řešení: u = u + u p Homogenní řešení má tvar: u = e βz (C 1 sin βz + C cos βz) + e +βz (C 3 sin βz + C 4 cos βz) Partikulární řešení v případec, kdy funkce pr(z) a pz(z) jsou polynomy nejvýše třetío stupně, má vždy tvar: u p = r E [p r μ r (C 0 p z (z)dz)] Vzta pro druý posuv w (osový posuv střednicové plocy) bude (odvození ve skriptec): w = 1 μ N z E dz μ r udz Geometrické a silové okrajové podmínky Konstantu C0 musíme vyřešit z rovnice pro Nz, pro jistou známou odnotu Nz0. Ostatní konstanty musíme vyřešit z okrajovýc podmínek silovýc (pro posuvy a natočení) a geometrickýc (pro známé odnoty posouvající síly a momentu na koncíc skořepiny). Platí, že: θ = u M z = Bu T = Bu Příklady zapsání okrajovýc podmínek skořepiny Je-li zatížení nespojité nebo mění-li se tloušťka skořepiny nebo působí-li liniové síly i jinde než na okrajíc musíme skořepinu rozdělit na intervaly, podobně jako desku:

5 Vztay pro napětí Rozdělení skořepiny na intervaly Vyřešíme-li vztay pro posuv u(z), můžeme také vyjádřit závislosti Mz(z), Mt(z) a Nt(z). Extrémní odnoty napětí ve stěně momentové skořepiny se určí ze vztaů: σ z,ex = N z ± 6M z σ t,ex = N t ± 6M t Dlouá a krátká skořepina Řešení diferenciální rovnice pro posuvy má š členy u z (z) = e βz (C 1 sin βz + C cos βz) + e +βz (C 3 sin βz + C 4 cos βz) + u p (p r (z), p z (z)) První člen vyjadřuje průyb od zatížení na konci 1, má lokální carakter. Druý člen, který představuje průyb od zatížení na konci také. Třetí člen je popsán partikulárním integrálem a vyjadřuje průyb od plošnéo zatížení pr(z) a pz(z). Pro případ konstantnío zatížení je tento člen také konstantní.

6 Průběy tří členů řešení posuvů skořepiny Deformační carakteristiky a složky napětí od zatížení liniovými silami či momenty tedy mají lokální carakter a dosaují významnýc odnot jen v blízkém okolí zatížení. Využití této skutečnosti spočívá v rozdělení skořepiny na dvě části. Pro každou z nic pak lze psát řešení pouze s prvním a třetím členem, tedy: u z (z) = e βz (C 1 sin βz + C cos βz) + u p Rozdělení skořepiny Integrační konstanty C1 a C určujeme tedy z okrajovýc podmínek pouze jednoo konce skořepiny. To lze provést pouze pro dloué skořepiny. Budeme-li považovat odnoty veličin u, ϑ, Mz, T za nepodstatné pro

7 Dostaneme pro l0: z > ( π β 5 π 4 β ) Pro ocel je μ = 0,3 a pak l 0 = ( π 5π 4 ) 1 β = (π 5π 4 ) 4 r 3(1 μ ) l 0 = (1, 3,06) r Skořepina tedy musí mít alespoň délku l = l 0, aby mola být považována za dlouou, tedy: l = l 0 (,5 6) r Není-li skořepina dostatečně dlouá, docází k superpozici veličin u, ϑ, Mz, T a není možné oba konce řešit od sebe odděleně.