Přímková a rovinná soustava sil

Transkript

1 Přímková a rovinná soustava sil

2 1) Souřadný systém - v prostoru - v rovině + y + 2) Síla P ( nebo F) - vektorová veličina - působiště velikost orientace

3 Soustavy sil - přehled Soustavy sil můžeme rodělit do následujících skupin: síly působící v jedné přímce rovinný svaek sil obecná soustava sil soustava rovnoběžných sil Typy řešení silových soustav: Skládání sil 1) Nahraení soustavy sil 2) Zrušení soustavy sil uvedení do rovnováhy oklad sil Řešení: Početně sestavujeme podmínky ekvivalence nebo rovnováhy Graficky složkový obraec Znaménková konvence síly působící doprava a dolů jsou kladné, moment otáčející proti u chodu hodinových ručiček je + + +

4 3) oklad síly v rovině Možnosti adání velikosti úhlu: síla pod úhlem γ - (k ose ) A γ P P P γ + až 36 +γ + Nebo (lit. prof.benda) + P = P. sin γ P = P. cos γ γ +γ až-18 až18 +

5 Příklad 1a roklad síly pod úhlem γ na složky v ose a oložte sílu P = 2kN, γ = 3 na složky P a P (ekvivalentně nahraďte sílu P silami P a P ). γ P P = P. sin γ = 1kN P = P. cos γ = 17,32kN P P oložte sílu P = 2kN, γ = 6 na složky P a P a porovnejte s předchoím příkladem. P γ P P P = P. sin γ P = P. cos γ = 17,32kN = 1kN

6 Příklad 1b roklad síly pod úhlem α na složky v ose a oložte sílu P = 2kN, α = 3 (úhel k ose ) na složky P a P a porovnejte s předchoími příklady. P α P P Příklad 2: P = 18kN Zadejte obecně sílu P obráku: a) Prostřednictvím P a úhlu γ: P= γ= P= P= α γ b) Prostřednictvím P a úhlu α: P= γ= P= P=

7 4) Statický moment síly k bodu síla P momentový střed - S rameno síly - r S r M S = P.r [Nm, knm] P naménko: proti u chodu hod.ruč. je + výsledný účinek na těleso je posun a otáčení

8 5) Výpočet statického síly P k počátku pomocí složek P a P r (kolmé rameno) Působiště síly P = bod A[, ] M = P. r (naménko podle u otáčení okolo bodu) M = P. - P. P P (odvoeno pro I.kvadrant, platí obecně) P

9 Příklad 3a a) Určete statický moment dané síly k počátku. P = 5kN, γ = 3, souřadnice působiště = 2,5m, = 1,5m. Sílu vykreslete v měřítku v souřadném systému. b) Dokažte odměřením ramene r Varignonovu větu, že statický moment síly P na rameni r je stejný jako statický moment jejích složek P a P na příslušných ramenech a. Spočtěte přesnou hodnotu ramene r. c) Posuňte sílu P do počátku a přidejte moment tak, aby účinek na soustavu ůstal achován Výsledky: a) M = -7,75kNm ( ) b) r = 1,415m r (kolmé rameno) c) P γ P P 7,75kNm γ P = 5kN

10 Příklad 3b - doma Určete statický moment dané síly k počátku. P = 5kN, γ = 3, souřadnice působiště = - 2,5m, = 1,5m. Porovnejte s předcháejícím příkladem, proč je statický moment větší?

11 6) Statický moment dvojice sil dvojice sil - rovnoběžné - opačně orientované - stejně velké P r P Moment dvojice sil: M = P.r [knm] moment je ke všem bodům v rovině stejný

12 7) Výslednice a rovnovážná síla Podmínky ekvivalence: (soustava sil je nahraena) 1. i, P = výslednice, M = moment k počátku 2. i, P = 3. M i, o = Pi,. i Pi,. i = M Podmínky rovnováhy: (soustava sil je rušena) P i 1., = Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných sil v ose pomocí P i 2., = Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných sil v ose pomocí M i o 3., = Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných momentů nebo momentů od rovnovážných sil M i, V rovině jsou 3 podmínky ekvivalence a 3 podmínky rovnováhy

13 Příklad Ekvivalentně nahraďte dvě obecně působící síly v rovině a výsledky vykreslete v obráku F 1 = 2kN, 1 = 3m, 1 = -3m, γ 1 = 1, F 2 = 4kN, 2 = -2m, 2 = 1m, γ 2 = 2 : a) pomocí,, M b) pomocí, γ, M c) pomocí, γ, ramene r 5.2 Zrušte účinek této obecné soustavy sil, rovnovážnou sílu vyjádřete pomocí jejích složek v ose, a, působícím v počátku. 5.1 a) pomocí,, M Nejdříve vykreslete síly v souř. systému, vykreslete i složky sil. V rovině obecně tři podmínky ekvivalence: 1. = P i, = 33,38 kn 2. = P i, = 34,12 kn 3. M = 4,2kNm M určete vorcem M = P i, i - P i, i (respektujte naménko souřadnic působiště) podle ů složek sil na příslušném rameni (respektujte otáčení a vdálenosti berte kladně) M

14 Příklad 5.1 b) b) pomocí, γ, M (odvodit předešlých výsledků) výslednice = 47,73kN = sin γ = / (pro 1.kvadrant, jinak odvodit vi př.7) γ = 44,37 M = 4,2 knm už náme M M γ

15 Příklad 5.1 c) c) pomocí, γ, ramene r (odvodit předešlých výsledků) výslednice = 47,73 kn γ = 44,37 M r γ γ M =.r r = M / =,84m

16 Příklad doma Zrušte účinek obecné soustavy sil (přidejte k soustavě rovnovážnou sílu nebo moment), rovnovážnou sílu vyjádřete pomoci složek síly a rovnovážný moment působí v počátku. Obecně 3 podmínky rovnováhy v rovině: P i 1., = P i 2., = M i o 3., = Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážné sily v ose Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážné sily v ose Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážného M 1. Pi = P1, + P2,, + = 2. Pi = P1, + P2,, + = ( ) P + P + M 3. M = P + P i, o 1, 1 2, 2 1, 1 2, 1 = = 33,38kN ( = 34,12 kn( skut. sm.) skut. sm.) M = 4,2kNm( skut. sm.)

17 Příklad 6 rovinná soustava rovnoběžných sil P 1, = P 3, = 5kN, P 2, = -18kN, (síly jsou rovnoběžné s osou, není třeba psát inde ), 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m (-ové souřadnice počátku = ) P 2 P 1 P a) nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí ) procháející počátkem a momentem M b) nahraďte soustavu sil poue jedinou silou výslednicí c) určete polohu výslednice vhledem k síle P 1 d) určete polohu výslednice vhledem k síle P 2 e) určete rovnovážnou sílu (ruší účinek soustavy sil) a její polohu vhledem k počátku

18 Příklad 6a) P 3 = P 1 = 5kN, P 2 = -18kN (síly jsou rovnoběžné s osou, není třeba psát inde ), 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m a) nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí ) procháející počátkem a momentem M Podmínky ekvivalence: 1. i, P = 2. i, P = Netřeba počítat všechny síly působí v ose M = 63kNm Výsledné řešení: = 8kN 3. M i, o = Pi,. i Pi,. i = M aději nepoužívejte vorec, ale kladné síly P i na ch ramenech i a respektujte otáčení M = P i. i

19 Příklad 6b) P 3 = P 1 = 5kN, P 2 = -18kN (síly jsou rovnoběžné s osou ) 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m b) nahraďte soustavu sil poue jedinou silou (výslednicí) na rameni r k počátku Výsledné řešení: = 8kN r = 7,88 m = 8kN M = 63kNm M =.r Le také jednoduše dle Varignonovy věty: M = M =.r r = M / = 7,88m P i i r = P i i = P i P i i

20 Příklad 6c) P 3 = P 1 = 5kN, P 2 = -18kN - (síly jsou rovnoběžné s osou ) 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m c) poloha výslednice (rameno r 1 ) vhledem k síle P 1 Pomocí Varignonovy věty: = P r i i r r1 = = 5, 875m 8 ovnice sestavena podle ů otáčení sil okolo působiště síly P 1. Pomocí odvoených vtahů: 1. Pi, = = = 8kN( skut. sm.) 2. M i, 1 = Pi,. i Pi,. i = M1 M 1, = = ( ) Nebo možná lépe: Pi. i = ((5 + ( 18) )) 47kNm / M1 / M1 = r1 r1 = = 5, 875m / / Výsledné řešení: r 1 = 5,88 m P 1 P = 8kN P 3 Tady je potřeba přemýšlet, na kterou stranu vykreslit výslednici, aby působila moment dané velikosti a u.

21 Příklad 6d) - úkol P 3 = P 1 = 5kN, P 2 = 18kN, γ 1 =γ 3 =, γ 2 = 18 - (síly jsou rovnoběžné s osou ) 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m (-ové souřadnice = ) d) polohu výslednice vhledem k síle P 2 Varignonova věta: r r 2 = P i r i 2 = P1 4 P3 8 r 2 = r 2 = 1,88 m P 2 P 1 P 3 = 8kN r2 = = 1, 88m 8 Síly v absolutní hodnotě, respektujeme otáčení +

22 Příklad 6e) - úkol P 3 = P 1 = 5kN, P 2 = -18kN - (všechny síly jsou rovnoběžné s osou, není potřeba inde u síly), 1 = 2m, 2 = 6m, 3 = 7m. d) rovnovážná síla a její poloha vhledem k počátku Podmínky rovnováhy: P 2 1. P i, + = Netřeba počítat všechny síly působí v ose P 1 P = 8kN 2. P i, + = r = 7,88 m 3. M i, = Pi,. i ( Pi,. i +. r ) = Poor na naménka, místo dosaení do rovnice le počítat podle u působení síly

23 Příklad 7 - síly procháející společným bodem - úkol Určete výslednici a rovnovážnou sílu rovinného svaku sil. P 1 = 5,kN; P 2 = 3,kN; P 3 = 2,kN; P 4 = 4,kN γ 1 = 135 ; γ 2 = 21 ; γ 3 = 315 ; γ 4 = 6 1) Určete složky výslednice. V rovině u paprsku sil poue dvě podmínky ekvivalence (součtové silové): 1. = P i, = 4,85 kn 2. = P i, = -2,719 kn Vykreslete v souřadném systému (vpravo nahoře) ponáte, do kterého kvadrantu směřuje výslednice. P 1 2) Dopočtěte výslednici, akreslete do obráku, podívejte se, kam výslednice směřuje (do kterého kvadrantu) 3) Určete ostrý úhel, který svírá výslednice např. s osou γ,ostrý = sin γ, ostry = I I / γ, ostrý = 56,337 P 2 γ 1 γ 2 P 3 γ 3 P 4 γ 4 4) Dopočtěte velikost úhlu od kladného u osy podle u výslednice (příslušného kvadrantu) γ =18-56,33=123,66 5) Na ákladě nalosti polohy výslednice určete i rovnovážnou sílu a akreslete do obráku. Můžete kusit spočítat novu jako samostatný úkol a použít podmínky rovnováhy. 6) Nakreslete složkový obraec, vynačte na něm výslednici i rovnovážnou sílu Výsledky: = = 4,98kN, γ = 123,66, γ = 33,66

24 Příklad 8 soustava obecných sil v rovině - úkol P 1 = 36kN, P 2 = 15kN, P 3 = 22kN; γ 1 = 27, γ 2 = 18, γ 3 = 15 1 = 1,5m, 1 = -1,5m; 2 = -2,5m, 2 = 4,m; 3 = 3,m, 3 = 4,8m a) nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí) a určete její polohu vhledem k počátku (, γ, d) b) určete rovnovážnou sílu ( ruší účinek soustavy sil) a její polohu vhledem k počátku (, γ, d) c) Nakreslete složkový obraec, vynačte na něm výslednici i rovnovážnou sílu Výsledky: = = 42,244kN d = 2,993 m γ = 216,285 γ = 36,285 P 1 P 2 γ 1 d γ 2 P 3 γ 3 γ γ