Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice"

Transkript

1 Eonenciální unkce, rovnice a nerovnice Mamut s korovou omáčkou (Eonenciální unkce) a) AN; b) NE; c) NE; d) AN; e) NE; ) NE; g) AN; h) NE a),; b),; c) ; d) ; e) ; ) e + b) D()= R; H ()=( ; ) ; P neeistuje ; P[ ; ] ; a) AN; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; ) NE; g) AN; h) NE; i) NE; j) NE D ()= R; H ()=( ; ) ; P neeistuje ; P[ ; ] ; a) NE; b) AN; c) NE; d) NE; e) NE; ) NE; g) AN; h) NE; i) NE; j) NE b), c), h) ()< ()< ()< ( )< ( ) : = e ; : = e ; : = e ; : =e a) rostoucí; b) rostoucí; c) klesající; d) klesající; e) rostoucí; ) rostoucí; g) klesající; h) rostoucí ( ) <( ) <( ) <( ) <( ) <( ) <( ) <( ) < < < < < <, < a) AN; b) NE; c) AN; d) NE; e) NE Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

2 b) a) D()=R; b) H()= ( ; ); c) B); d) B[ ; ] a) ( ; ); b) ; ) ; c) ( ; ); d) ; ) a) b), < ; c) <; d) ( ) <( ) ; e) ( ) <( ) ; ) =( ) ; o) e < e ( ) <e =( ) ; g) ( ) > ; h) ( ) < ; i) ( ) = ; j) ( ) >( ) ;, > ; k), < ; l) ( ) > ; ( ) m) e >; n), ; ) a) a ( ; ) ( ; ) ; b) a ( ; ) ( ; ) ; c) a e ( ; ) ; ; d) a ( ; ) ( ; ) ; e) a ( ; ) ( ; ) ; ) a ( ; ) ( ; ) ( ; ) a) a ( ; ) ; b) a ( ; ) ; c) a ( ; ) ; d) a ( ; ) a) P [ ; ]; b) P [ ;, ] Pro b N nemá úloha řešení (zadání úloh v. vdání). Pro b R je řešením hodnota b =. Základ eonenciální unkce je roven číslu, unkce je rostoucí. a = ; b = a) NE; b) AN; c) AN; d) AN; e) AN; ) AN a) NE; b) NE; c) AN; d) AN; e) NE a) : = ; b) D()={ ; ; ; ; ; } ; c) ( )= = ; ( )=, a) NE; b) AN; c) AN; d) NE; e) NE a) AN; b) NE; c) AN; d) NE Kdž jde o eníze (Eonenciální rovnice a nerovnice) a) AN; b) NE; c) AN; d) AN a) ; b) ; c) - ; d) c) = =( ) =( ) = e) NE; ) AN a) + e) K = { } ; ) K = { } g) K = { }; h) K ={ } ; d) ( ) a) =( ) = ( ) = ( ) = ; b) ; c) + ; d) + ; e) - ; ) { } { } ; g) K = ; h) K = ; i) K = a) K = { }; b) K ={} ( ) ; g) { } =( ) = = = = = ; b) = = ; a) AN; b) AN; c) NE; d) NE; e) NE; ) AN a) AN; b) NE; c) AN; d) NE; ; h) a) K = { }; b) K ={ }; c) K ={ } ; c) K = { }; d) K = { ; } c) b) a) K ={ }; b) K ={ }; c) K = ; d) K = { }; ; d) K = { } { } ; e) K ={ ; } ; ) K = ; ; - - P neeistuje; P ; - Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

3 c) b) a) AN; b) AN; c) NE; d) NE; e) AN a) K ={ }; b) K ={ } ; c) K = {} ; d) K = a) P[ ; ], gra unkce : P [ ; ], P [ ; ], gra unkce g: P ;, P ; ; b) P ;, gra unkce : P neeistuje, P [ ; ], gra unkce g: P neeistuje, P ; a) K ={ }; b) K = { ; }; c) K = { ; }; d) K ={ } ; b) K = {} ; d) K = ; e) K = {} ; ) K ={ }(Rovnici uvedenou v. vdání PS lze vřešit ouze omocí logaritmování. Pokud změníme v zadání v čitateli hodnotu na, má rovnice řešení K ={ }.) a) K = ( ; ) ; b) K = ( ; ; c) K = ) ; ; d) K = ; ) ; e) K = ( ; ); ) K =R; g) K = ; h) K = ( ; ) a) K = ( ; ) ; b) K = ( ; ) ( ; ) ; c) K = ( ; ); d) K = ( ; ) a) K ={ } ; c) K ={ } b) Vzorek dřeva je starý let. Poločas řeměn radionuklidu je minut. Logaritmické unkce, rovnice a nerovnice Země na kselo (Logaritmické unkce) b), d) a) AN, a =,; b) NE; c) AN, a = ; d) NE; e) NE; ) AN, a = e a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ) -; g) ; h) ; i) -; j) -; k) ; l) ; m) -; n) ; o) ; ) ; q) ; r) d) -, c) ; ) a) = ; b) = ; c) =,; d) = e a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = A =, ří. A = = D ()= R; H ()=( ; ) ; Funkce je klesající.; = D ( ) = ( ) H ( : log ; ; ; ) = R; Funkce - je klesající. b) d) a) NE; b) AN; c) AN; d) AN; e) NE D ()=( ; ) ; H ()= R; a) AN; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; ) AN; D ()=( ; ) ; H ()= R; a) NE; b) AN; c) NE; d) NE; e) NE; ) AN; g) NE; h) NE; i) NE; j) NE; k) NE g) NE; h) NE; i) NE; j) NE; k) NE a) rostoucí; b) rostoucí; c) rostoucí; d) klesající; e) rostoucí; ) klesající a) eonenciální; b) kladných reálných čísel; c) římk = ; d) a ( ; ); e) R; ) nerotíná osu a) ; b) ; c) ; d) Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

4 , ( )< ()< ()< ()< () a) log < log < log < log, < log, ; b) log, < log < log < log < log ; c) ln, < ln< ln < ln e < ln a) ( ; ) ;,,,,, b) ( ; ; c) ( ; ); d) ( ; a) log> log; b) log < ; c) log= log ; d) log > log ; e) log < ; ) log > log; g) log h) log > log ; i) lne =; j) ln e< log e; k) ln= log a) log < < log < ; b) log < < ln < e a) ( ; ) ; b) ( ; ); c) ( ; ) ; d) ( ; ) a) a (, ; ) ; b) a ( ; ) ( ; ) ; c) a ( ; ) ; d) Zadaná unkce není ro žádnou hodnotu arametru a deinována. c), d) : = log ( )+ < ; D ( )= ( ; ) ; D ( )=( ; ) ; D ( )=( ; ) a) AN; b) NE; c) AN; d) NE; e) NE; ) NE; g) NE A C B c) D ()= ( ; ) ; H ()= R Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

5 a) AN; b) AN; c) NE; d) NE a) NE; b) AN; c) AN; d) NE; e) NE a) H = ; b) H = ; c) H = Bez ravítka ani ránu (Vět o logaritmech) a) AN; b) NE; c) NE; d) NE; e) AN; ) NE a) ; b) ; c) ; d) -; e) -; ) ; g) -; h) ; i) ; j) e; k) ; l) a) log ; b) log ; c) log ; d) log ; e) log ; ) log ; g) log ; h) ln ; i) ln ; j) log, a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ) ; g) -; h) a) log ; b) log ; c) log ; d) log a) log ; b) log a) AN; b) AN; c) NE; d) NE; e) NE b), d) a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ) ; g) - a) log ; b) log ( + ); c) log ; d) log + ; e) log ( ) ; ) log - + ; g) log ; h) ln - a) ; b) ; c) log ; d) a), ; b) log, ; c) log, -, ; log log log d) log, ; a) ln, ; b) ln, ; c) ln, -, ; d) ln, a) ; b) c) b) a) log e ln ln ln ln Nebojme se logaritmů (Logaritmické rovnice a nerovnice) a) AN; b) AN; c) NE; d) NE; e) AN; ) AN; g) NE; h) NE a) = ; b) = ; c) =, ; d) = ; e) = ; ) = ; g) = ; h) = ; i) = ; j) = ; k) a = ; l) a = a) K = { }; b) K ={ } a) K ={ }; b) K ={ } a) K ={} ; b) K ={ }; c) K = ; d) K ={ } d) a) NE; ; c) K ={ } [ ; ] ; [ ; ] a) K ={ } b) NE; c) AN; d) NE; e) NE a) K ={ }; b) K ={ } ; d) K = {} a) K = { ; }; b) K ={ } ; ; b) K ={ ; }; c) K ={ } ; c) K ={ } ; ; d) K ={ } ; d) K = b) d) a) P[ ; ]; b) P[ ; ] P P ; a) K ={ }; b) K ={ } log log a) K ={ }; b) K ={ } a), ; b), a) K ={, ; } ; b) K ={, ; } a) b = ; b) a b c = log ( ) log a ; c) = + log a ; d) c = log b ; e) t T N I = log a, ; ) d = ln ; ří. jiná ekvivalentní vjádření výsledků a) ) N m I a) = D ()= H ()=( ) D ( : log ), R, ;, = ( ; ), H( ) = R; b) g : = + log Dg, ()= R, Hg ()=( ; ), Dg ( )=( ; ), Hg ( )= R ; c) h = ( + ) Dh ()= Hh ()= ( ) Dh ( : ln, R, ;, ) = ( ; ) (, Hh ) = log R ; d) i : =, Di ()= R, Hi ()=( ; ), Di ( ) = ( ) Hi ( ;, ) = R a) a = ; b) K = { } { } ; c) K = ; d) K ={ }; e) K ={ ; } ; ) K = + { }; g) K ={ ; }; h) K ={} a) K = ; ) ; b) K = ) ; ; c) K = ( e; ) ; d) K = (; a) K = ( ; ; b) K = ( ; a) K = ( ; ); b) K = ; ) ; c) K = ( e ; + e ) D ()=; ) Suma na účtu řekročí milion korun za let. Poloviční hodnota atmosérického tlaku oroti tlaku normálnímu je řibližně v nadmořské výšce m. Akustický výkon mluvící osob je - W. Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

6 Goniometrické unkce, rovnice a nerovnice Neodceňujte úhloměr! (blouková míra, jednotková kružnice) a) ; b) ; c) ; d) ; e), ; ), ; g), ; h), A ; B ; C ; D b) a) a =, b = ; b) a =, b = ; c) a =, b = ; d) a =, b = a) α ; ) ; b) α ; ; c) α ; ) ; d) α ; ) Velikost úhlu ve stuních Velikost úhlu v radiánech Velikost úhlu ve stuních, Velikost úhlu v radiánech a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ) a) =, ; b) =, ; c) =, ; d) =, ; e) =, ; ) =, c) a) α= + ; b) α= + ; c) α= ; d) α= Velikost orientovaného úhlu Počet otoček Smsl kladný - záorný kladný - záorný a) α= + ; b) α= + ; c) α= ; d) α= b) b), d) Velikost orientovaného úhlu Počet otoček Smsl kladný - záorný - kladný záorný a) α= BFA, α= ; b) β = ACB = FCB, β = ; c) γ = ACE = FCE, γ = ; d) δ= EDA, δ= ; e) ε= CED, ε= a = - α=,, rad;,, rad α ; β α= = a) ω= rad s ; b) ϕ ; c) t =, s a) s; b) Jednou jsi dole, odruhé nahoře (Goniometrické unkce sinus a kosinus) sin a =,; cos a = -, a = a = a = a = a = orientovaný úhel sin a cos a AA AB AC - AD - AA a) sin α>, cos α<, sin β<, cos β> ; b) sin α<, cos α<, sin β>, cos β> ; c) sin α>, cos α>, sin β>, cos β< ; d) sin α=, cos α<, sin β<, cos β> a) α ;, α ; ; b) α ;, α ; ; c) α ;, α ; ; d) α ( ; ), α ( ; ) a) b) a) a < b, sin a < sin b, cos a > cos b; b) a < b, sin a > sin b, cos a < cos b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

7 a) sin ; b) sin ; c) sin ; d) nelze ; e) sin ; ) sin = sin ; g) cos ; h) cos ; i) cos ; j) cos ; k) nelze; l) cos Velikost úhlu ve stuních Velikost úhlu v radiánech sin a cos a a) sin =,, sin =,, sin =, ; b) cos =,, cos =,, cos =, ; c) sin =,, sin =,, sin =, ; d) cos =,, cos =,, cos =, c) a), ; b) -, ; c), ; d), ; e) -, ; ) -, ; g), ; h), a) sin = sin = sin = sin ; b) sin = sin = sin = sin ; c) cos = cos = cos = cos ; d) cos = cos = cos = cos a) cos = cos( )= cos( ); b) cos = cos( )= cos( ); c) sin = sin( )= sin( ); d) sin = sin( )= sin( ) a) sin = sin =, cos = cos = ; b) sin = sin =, cos cos = = ; c) sin = sin =, cos = cos = ; d) sin = sin =, cos = cos = a) - ; b) ; c) ; d) + a) I I=,; ), I I= (,;, ; b) I I=,;, I I= ( ; ) a) cos( )= cos = cos < cos ; b) sin ( )< sin < sin < sin a) není eriodická unkce; b) není unkce; c) = ; d) = b) a) AN; b) NE; c) AN; d) AN; e) NE; ) NE D ()= R; H ()= ; ; a) NE; b) NE; c) AN; d) AN; e) AN; ) AN; g) AN; h) NE; i) NE; j) AN a) a) NE; b) NE; c) NE; d) NE (Pozn.: Pod ojmem erioda rozumíme nejmenší vhodné kladné číslo.); e) AN; ) AN Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

8 - - D ()= R; H ()= ; ; a) NE; b) NE; c) AN; d) AN; e) AN; ) AN; g) AN; h) NE; i) NE; j) AN = ( )= ( )= H ()= ; ; ; a) ; b) ; c) ; d) a) obor hodnot unkce; b) eriodu unkce; c) os ; d) os A ; B ; C ; D ; E A ; B ; C ; D c) d) a) b) S = j D ()= R; H ()= ; ; Funkce je eriodická s eriodou, je omezená shora hodnotou, je omezená zdola hodnotou -. Po sekundách má kulička výchlku cm. Maimální výchlka kuličk je cm. V čase ms je naětí V, v čase ms je naětí V. Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

9 Kdž zdání klame (Goniometrické unkce tangens a kotangens) ( ) a) = sin ; b) + k ; k Z; c) = cos ; d) k ; k Z cos sin Velikost úhlu ve stuních Velikost úhlu v radiánech sin a cos a tg a cotg a - - a) tg α ( ;, cotg α ( ;, tg β ( ; ), cotg β (; ; b) tg α (;, cotg α ( ; ), tg β ( ;, cotg β ( ; tg β t t α β cotg α cotg α α β t t tg β a) b) c) d) a neeistuje, b neeistuje t, β t, β β α α, t α t t t a) tg = tg = tg ; b) tg = tg ; c) tg = tg ; d) tg = tg ; e) tg = cotg ; ) cotg = cotg ; g) cotg = cotg ; h) cotg = cotg ; i) tg = tg = tg ; j) cotg = cotg = cotg a) tg < ; b) cotg > ; c) tg > ; d) cotg < ; e) tg cotg = ; ) tg cos > ; g) sin cotg ( ) < ; h) cos cotg < a) cotg < cotg ; b) tg > tg ; c) tg < cotg ; d) tg = cotg a), ; b) -, ; c), ; d), ; e) -, ; ) -, a) cos α=, tg α=, cotg α= ; b) sin α=, cos α=, cotg α= a) t b) t α β, Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

10 a) ; b) ; c) - ; d) - d) a) AN; b) NE; c) NE; d) AN; e) NE; ) AN c) - - { } ()= D ()= R + k, k Z; H R; a) NE; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; ) NE; g) NE; h) NE; i) AN ; A ; B žádná z nabízených možností; C ; D a) NE; b) AN; c) AN; d) AN; e) AN d) Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

11 - - - { } ()= D ()= R + k, k Z; H R; a) NE; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; ) NE; g) NE; h) NE; i) AN b) Hotel Harmonie (Goniometrické rovnice a nerovnice) c) a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ) a) = ; = ; = + k, k Z; = + k, k Z; b) = ; = ; = + k, k Z ; = + k, k Z ; c) = ; = ; = + k, k Z; = + k, k Z; d) = ; = ; = + k, k Z; e) = ; = ; = k, k Z; ) = ; = ; = + k, k Z a) = ; = + k, k Z; b) = ; = ; = + k, k Z; = + k, k Z; c) nemá řešení; d) = ; = + k, k Z; e) = ; = ; = + k, k Z; ) = ; = ; = + k, k Z a) + k, k Z ; + k, k Z; b) + k, k Z ; + k, k Z; c) + k, k Z; d) + k, k Z; + k, k Z a) + k, k Z; b) + k, k Z a) R{ k }, k Z; b) R { + k }, k Z ; c) R { + k ; + k }, k Z ; d) R k k { }, Z a) = + k, k Z; = + k, k Z; b) K = a) = + k, k Z; = + k, k Z ; b) = + k, k Z; c) = + k, k Z; d) k k, +, Z a) = + k, k Z ; = + k, k Z ; b) = + k, k Z; = + k, k Z ; c) = + k, k Z; d) = + k, k Z a) = + k, k Z; = + k, k Z; b) = + k, k Z; = k, k Z ; c) = + k k, Z; d) = + k, k Z P P ; ; [ ;, ] a) NE; b) NE; c) NE; d) NE; e) AN d), e) a) = k, k Z; b) = + k, k Z a) = + k, k Z; b) = k, k Z ; c) = k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z; d) = k, k Z; = + k, k Z; e) = + k k, Z; ) = + k, k Z; = + k, k Z a) = k, k Z; = + k, k Z; b) R{ k } k Z, ; c) = + k, k Z; d) = k, k Z; e) = + k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z ; ) = + k, k Z; + k, k Z; + k, k Z a) + k ; + k, k Z; b) ( + k ; + k ), k Z; c) R + k k { }, Z ; d) R + k k { }, Z ; e) + k + k k ( ; ), Z; ( ) ( ) ) + k ; + k ), k Z a) + k ; + k, k Z; b) + k ; + k, k Z; c) + k ; + k, k Z Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

12 ,, a) ( + k ; + k ), k Z; b) ( + k ;, + k ), k Z ( ) a) + k ; + k, k Z ; b) + k ; + k + k ; + k, k Z τ a) Zdravý člověk má telotu, C ve hodin a ve hodin.; b) Zdravý člověk má nejnižší telotu v hodin a nejvšší telotu ve hodin.; c) Zdravý člověk má nejvšší telotu, C a nejnižší telotu, C. a) Frekvence kmitů je Hz.; b) scilátor orvé dosáhne amlitud výchlk za s.; c) Výchlka je nulová za s.; d) Výchlka dosáhne olovin amlitud za s. Může za to Ptolemaios? (Goniometrické vzorce) a) cotg = ; b) tg cotg =; c) sin= sin cos ; d) sin = cos ; e) cos = cos sin ; ) cos = cos + sin tg a) cos α= ; tg α= ; cotg α= ; b) sin ; tg ; cotg α= α= α= a) cos ; odm.: R; b) sin + cos ;odm.: + k, k Z; c) sin ; odm.: k, k Z; d) tg ;odm.: + k, k Z a) ;odm.: + k, k Z ; b) sin ; odm.: R; c) tg ;odm.: + k, k Z; d) sin ;odm.: + k, k Z ; cos cos e) cos ; odm.: + k, k Z; ) ;odm.: + k, k Z; g) cos ; odm.: k, k Z; h) ;odm.: k, k Z; i) ;odm.: + k, k Z ; j) sin ;odm.: + k, k Z; k) ;odm.: k, k Z cos a) = + k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z; b) = + k, k Z; = + k, k Z; c) = + k, k Z; d) K = a) = + k k, Z; b) = + k, k Z; = + k, k Z a) ;odm.: + k, k Z ; cos cos + sin b) cos sin ;odm.: + k, k Z c) d) a) + ; b) - a) = + k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z; b) = k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z; c) = + k, k Z; d) = + k, k Z; = + k, k Z; e) + k, k Z; + k, k Z; ) = k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z a) = + k, k Z; = + k, k Z; b) = k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z = + k, k Z; = + k, k Z a) = + k, k Z; = + k, k Z; b) = + k k, Z; c) = k, k Z; = + k, k Z; d) = k, k Z; e) = k, k Z; = + k, k Z; = + k, k Z; ) = + k, k Z; = + k, k Z g = P [ ] P P P [ ] ; ; ; ; ; ; ; ; P [ ; ] Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

13 { } Řešení intervalu ; : K = [ ; ];[ ; ] a = ; a = Těleso se bude ohbovat rovnoměrně ři úhlu nakloněné rovin řibližně. a) Frekvence kmitů je Hz.; b) scilátor orvé dosáhne maimální rchlosti o s.; c) Rchlost bude nulová o s. Mezní úhel ro rozhraní sklo vzduch je řibližně. Trigonometrie obecného trojúhelníku Lomikare, Lomikare (Sinová a kosinová věta) a) AN; b) NE; c) NE; d) NE; e) AN; ) AN; g) NE; h) NE a) c, c m ; b) r, c m γ = ; a, cm; b, cm α ; β ; b, cm β o, c m b, cm; c, cm; α ; β a, cm; β t c, c m a) k C C v c b b a a c A B b) b, cm; α ; β ; γ ; b cm; α ; β ; γ b) c) KL, cm; LM, cm; KM, cm; LMK a) Pro a = cm úloha nemá řešení.; b) Pro a = cm má úloha jedno řešení, a to b, cm; β ; γ. AC + BD, c m CD, m Jak dlouhý je metr? (Užití sinové a kosinové vět) a) AN; b) AN; c) NE; d) AN; e) AN; ) NE a) b) c) d) F F F F F F F F F F F F F< F< F F< F< F F< F< F F= F= F a) b) F F F F F F Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

14 a) F F β δ α γ F A b) F N; c) Síla F svírá se sílou F úhel řibližně. Síla F svírá se sílou F úhel řibližně. F N F, N ; F, N Detektiv a zločinec od sebe budou řibližně, m. Mlýn a strom jsou od sebe řibližně, km. a) Plocha ískoviště je řibližně m.; b) bsah vodní loch je řibližně, m. A B C Sokol letí rchlostí řibližně, km h. Šišk jsou řibližně m nad zemí. Balón letí ve výšce řibližně m. a) a, cm; b= cm; β ; γ ; b) b, mm; c, m m; α ; β ; γ, m S=, a j S, m c) a) NE; b) AN; c) AN; d) NE F N; F N S, cm S, cm Klíč k úlohám v racovním sešitě Matematika ro střední škol. díl: Funkce II Nakladatelství Didaktis sol. s r. o.

Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice

Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice Eonenciální funkce, rovnice a nerovnice Mamut s korovou omáčkou (Eonenciální funkce) a) AN b) NE c) NE d) AN e) NE f) NE g) AN h) NE a), b), c) d) e) f) e+ b - - - D( f )=R H( f )=( ) P neeistuje P [ ]

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory Variace 1 Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory 1. Goniometrie a trigonometrie 2. Orientovaný úhel 2 3 4 3. Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1. 1617 2. 1611 3. 1622 4. 1614 5.

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka

Více

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1) Výsledky úloh. Úpravy výrazů.. +, + R.., a 0, a b.., a ± b, a b a b a +.. + a +, 0, a.., a 0; ± ; n + a.. a + b 9, > 0.7., a ± b a b m n.8., m 0, n 0, m n.9. a, a > 0 m + n.0., ;0; ;;.., k.. tg, k sin.

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Zadání. Goniometrie a trigonometrie GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 = /7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář. / 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Proseminář z matematiky pro fyziky

Proseminář z matematiky pro fyziky Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE OBECNÉHO ÚHLU

GONIOMETRICKÉ FUNKCE OBECNÉHO ÚHLU 2014 GONIOMETRICÉ FUNCE OBECNÉHO ÚHLU opis způsobu použití: teorie k samostudiu (i- learning) pro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vypracovala: Ivana

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ.. Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE DIFERENCIÁLNÍ POČET Deinice: Okolí O bodu nazývané poloměr okolí O. LIMITA

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Matematika - rovnice a nerovnice

Matematika - rovnice a nerovnice Operační program: Vzdělávání pro konkurenceschopnost Projekt: CZ.1.07/1.5.00/34.0906 EU peníze SŠPřZe Nový Jičín Číslo a název šablony klíčové aktivity: SADA DIGITÁLNÍCH UČEBNÍCH MATERIÁLŮ Šablona_číslo

Více

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY STŘEDNÍ P RŮMYSLOVÁ ŠKOLA, Praha 10, Na Třebešíně 22 TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 18 20 M/01 Informační technologie Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 2. Počet hodin 3 Počet hodin celkem: 102

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce 8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.

Více

SMART Notebook verze Aug

SMART Notebook verze Aug SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 8.9.2012 Pro ročník: 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova: funkce,

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí.

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Syntetická geometrie II

Syntetická geometrie II Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD

Více

= + = + = 105,3 137, ,3 137,8 cos37 46' m 84,5m Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m. 2 (úhel, který spolu svírají síly obou holčiček).

= + = + = 105,3 137, ,3 137,8 cos37 46' m 84,5m Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m. 2 (úhel, který spolu svírají síly obou holčiček). 4.4.4 Trigonometrie v praxi Předpoklady: 443 Nejdřív něco jednoduchého na začátek. Př. : vě přímé důlní chodby ústící do stejného místa svírají úhel α = 37 46' mají být spojeny chodbou, spojující bodu

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ..07/.5.00/34.045 Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9 ŠVP Podnikání RVP 64-4-L/5 Podnikání

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet.

Více

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

ÚLOHA Závaží pružin kmitá harmonicky amplituda = 2 cm, doba kmitu = 0,5 s. = 0 s rovnovážnou polohou vzh ru. Úkoly l :

ÚLOHA Závaží pružin kmitá harmonicky amplituda = 2 cm, doba kmitu = 0,5 s. = 0 s rovnovážnou polohou vzh ru. Úkoly l : ÚLOHA Závažíčko zavěšené na pružině kitá haronick tak, že: aplituda výchlk je 2 c, doba kitu je T 0,5 s. Předpokládáe, že včase t 0 s prochází závažíčko rovnovážnou polohou a sěřuje vzhůru. Úkol: a) Zjistíe

Více

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e) Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je

Více

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

GONIOMETRICKÉ ROVNICE -

GONIOMETRICKÉ ROVNICE - 1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více