Numerická integrace. b a. sin 100 t dt
|
|
- Iveta Králová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě hodno funkce f v konečně mnoha uzlových bodech x,, x n 1 Pokud se aproximace ϕ na inervalu a, b liší od f nejvýše o ε, pak b I b ϕ() d = (f() ϕ()) d Příklad: a b a a b a f() ϕ() d (b a) ε sin 1 d je náročnou úlohou pro počíačové algebraické sysémy, ale z numerického hlediska není nijak zvlášť obížný Linearia: Inegrál závisí na inegrandu lineárně, proo odhad inegrálu závisí lineárně na f(x ),, f(x n 1 ): A = i<n w i f(x i ), Můžeme voli pouze uzlové body x,, x n 1 a jejich váhy w,, w n 1 Zjednodušení: Funkci f aproximujeme inerpolačním polynomem a, b rozdělíme na k inervalů a j, a j+1, j =,, k 1, kde a = a, a k = b V dílčích inervalech použijeme náhradu polynomem nízkého supně, vedoucí na zv jednoduchý vzorec, j odhad A j inegrálu Sečením dosaneme složený vzorec, j odhad I j = aj+1 a j f() d A = j<k A j inegrálu j<k I j = b a f() d Zjednodušení: Všechny dílčí inervaly mají sejnou délku H = b a k = a j+1 a j 1
2 Každý dílčí inerval lze lineární subsiucí převés na jednokový inerval, 1 Obecný případ dosaneme lineární subsiucí u = a j H, = a j + H u, I j = aj+1 a j f() d = 1 Newonovy-Coesovy vzorce Uzlové body ekvidisanní 11 Meoda levého odhadu H f(a j + H u) du = g j (u) = H f(a j + H u), g (m) j (u) = H m+1 f (m) (a j + H u) g j (u) du, Jediný uzlový bod v krajním bodě inervalu, u = ; g j nahradíme konsanou g j (u ) = g j () Jednoduchý vzorec: Složený vzorec: L = j<k L j = L j = H j<k g j () d = g j () = H f(a j ) f(a j ) = H j<k f(a + j H) Rovnocenný je odhad pro volbu u = 1, meoda pravého odhadu 1 Obdélníková meoda Uzlový bod ve sředu inervalu, u = 1/ Proložíme konsanu g j (u ) = g j (1/) Jednoduchý vzorec: Složený vzorec: R j = g j (1/) d = g j (1/) = H f(a j + H/) R = R j = H f(a j + H/) = H f(a 1/ + j H), j<k j<k j<k kde a 1/ = a + H/
3 1 Lichoběžníková meoda Dva uzlové body na krajích inervalu, u =, u 1 = 1 Proložíme lineární funkci, výsledkem bude plocha pod přímkou, neboli obsah lichoběžníka Jednoduchý vzorec: Složený vzorec: T = j<k T j = g j(u ) + g j (u 1 ) T j = H j<k f(a j ) + f(a j+1 ) = g j() + g j (1) = H = H f(a j) + f(a j+1 ) f(a) + f(b) f(a + j H) k 1 + j=1 14 Simpsonova meoda Tři uzlové body; dva na krajích inervalu, jeden uprosřed, u =, u 1 = 1/, u = 1 Proložíme kvadraický polynom a zinegrujeme Jednoduchý vzorec: S j = w g j (u ) + w 1 g j (u 1 ) + w g j (u ) = w g j () + w 1 g j (1/) + w g j (1)
4 Vzorec bude přesný, bude-li g j libovolný kvadraický polynom Speciálně pro g j (u) {1, u, u }: w + w 1 + w = 1 w 1 + w = 1 4 w 1 + w = 1 du = 1, u du = 1, u du = 1 To je sousava lineárních rovnic pro neznámé w, w 1, w, řešení: w = 1 6, w 1 =, w = 1 6 Jednoduchý vzorec: S j = g j (1/) d = 1 6 g j() + g j(1/) g j(1) = H 6 (f(a j) + 4 f(a j + H/) + f(a j+1 )) Složený vzorec: S = j<k S j = H 6 = H 6 kde a 1/ = a + H/ (pozor na meze sum!) ( k 1 f(a ) + f(a k ) + f(a j ) + 4 j=1 k 1 j= ( k 1 f(a) + f(b) + f(a + j H) + 4 j=1 ) f(a j + H/) k 1 j= ) f(a 1/ + j H), S = h (f(x ) + 4 f(x 1 ) + f(x ) + 4 f(x ) f(x k 1 ) + f(x k )), kde x i = a + i h jsou uzlové body (pro funkci f, nikoli g j ) a h = H/ je vzdálenos mezi sousedními uzlovými body Poče inervalů délky h musí bý sudý! 15 Obecné Newonovy-Coesovy vzorce oevřené (obdélníková meoda) uzavřené (lichoběžníková a Simpsonova meoda) polooevřené (meoda levého odhadu) 4
5 Odhad chyby numerické inegrace Zjednodušení: pro lichoběžníkovou meodu Předpokládejme, že g j má na inervalu, 1 spojiou druhou derivaci Funkci g j nahrazujeme lineárním polynomem ϕ j ; chyba inerpolace v bodě u je T j I j = g j (u) ϕ j (u) ϕ j (u) du max v,1 g j (v) max v,1 g j (v) (u ) (u 1), g j (u) du ϕ j (u) g j (u) du (u u ) du = max v,1 g j (v) = 1 1 max v,1 g j (v) = 1 1 H max f () a j,a j+1 ( 1 1 ) Vyjádříme pomocí M max a,b f (), T j I j 1 1 H M, složený vzorec T I k 1 H M, po náhradě konsanního součinu k H = b a 1 Řád meod inegrace T I (b a) M 1 Definice Nechť funkce A vyjadřuje výsledek inegrační meody v závislosi na délce kroku, I je správný výsledek Pokud exisuje ln A(H) I lim, H ln H nazývá se řád meody H Poznámka V logarimických souřadnicích má řád meody význam směrnice asympoy v Poznámka Časo se řád meody inegrace zavádí jako exponen u H v nejnižším obecně nenulovém členu Taylorova rozvoje chyby meody podle H v okolí bodu Věa Nechť funkce A vyjadřuje výsledek inegrační meody v závislosi na délce kroku, I je správný výsledek Nechť p je exponen u H v nejnižším nenulovém členu Taylorova rozvoje chyby meody podle H v okolí bodu Pokud má A spojiou p-ou derivaci v, pak p je řád meody ve smyslu Definice 1 Důkaz Taylorův rozvoj se zbykem v Lagrangeově varu lze psá A(H) = I + Hp p! A (p) (ξ(h)), kde ξ(h), H, akže lim ξ(h) = H A(p) () 5
6 H p ln A ln A(H) I (p) (ξ(h)) p! lim = lim = H ln H H ln H p ln H ln p! + ln A (p) (ξ(h)) = lim = H ln H ln p! + ln A (p) (ξ(h)) = p + lim H ln H Čiael posledního zlomku konverguje k ln p! + ln A (p) (), jmenovael k, celý zlomek k meoda horní odhad chyby řád levého odhadu 1 H 1 lichoběžníková 1 H obdélníková 4 H Simpsonova 4 88 H 4 4 = 18 h 4 4 Simpsonova meoda dává chybu nikoli řeího, ale čvrého řádu Je-li f, a edy i g j, polynom supně nejvýše, pak chyba inerpolace kvadraickým polynomem je úměrná Na hodnoě inegrálu se o neprojeví, neboť Příklad 1: W (u) = (u ) (u 1/) (u 1) W (u) du = e d s přesnosí ε = 1 6 Sanove posačující poče kroků pro jednolivé meody Pro k = me M p horní odhad H poče kroků 1 L e = = T 6 = R 6 = S 1 = 1 exp( ) d Gaussova meoda inegrace L = 91146, R = , T = 884, S = 8881, = Na inervalu 1, 1 volíme za uzlové body kořeny z,, z s 1 1, 1 zv Legendreových polynomů Lineární ransformací u = z + 1, z = u 1 dosaneme uzlové body u,, u s 1, 1 Uzlové body a jejich váhy w,, w s 1 jsou abelovány nebo raději počíány algorimem Volíme pouze jejich poče s a ím i řád meody 6
7 s uzlové body váhy 1 ± 1 = ± ± ± 7 ± 5 ± ± = ± = ± = ± = ± = ± jednoduchý vzorec: G s,j = i<s w i g j (u i ) = H i<s w i f(a j + H u i ) složený vzorec: G s = G s,j = H w i f(a j + H u i ) = H ( ) w i f(d i + j H), j<k j<k i<s i<s j<k kde d i = a + H u i a, a 1 Horní odhad chyby kde G s I (b a) (s!)4 M s (s + 1) ((s)!) Hs, M s max v a,b f (s) (v) Chyba meody je řádu s, díky volbě s uzlových bodů a s vah, j s paramerů V Newonových-Coesových vzorcích jsme volbou s vah (při daných uzlových bodech) dosali meody řádu s nebo s + 1 poče uzlových bodů horní odhad chyby řád 1 4 H 4 4 H H H H1 1 Příklad 1 (pokračování): s přesnosí ε = 1 6 e d A M p horní odhad H p kroků 1 L e = = T 6 = R 6 = S = G = G =
8 4 Richardsonova exrapolace Úloha: Správný výsledek nějakého výpoču je A() = lim A(H) Předpokládáme, že A má v okolí bodu H Taylorův rozvoj A(H) = A() + Hp p! A(p) () + Hr r! A(r) () +, kde p (řád meody) známe a r > p Z hodno funkce A v konečně mnoha nenulových bodech máme odhadnou A() Řešení: Zanedbáme členy řádů vyšších než p a aproximujeme A polynomem ϕ(h) = s + c H p, s, c R Ke sanovení s, c zvolíme uzlové body H, H/q, kde q 1: ϕ(h) = s + c H p = A(H), ( ) ( ) H ϕ q = s + c Hp H q p = A q To je regulární sousava dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé s, c, z nichž nás zajímá pouze s = ϕ(): ( ) (q p 1) s = q p A A(H), s = ( q p A ) H q H q A(H) q p 1 Odhad s hodnoy A() je zaížen pouze chybami vyšších řádů než p (zde řádu r) Časo q =, pak s = p A ( ) H A(H) p 1 5 Richardsonova exrapolace při inegraci Richardsonovou exrapolací dosaneme nový odhad Výraz B(H) = qp A( H q ) A(H) q p 1 A( H q ) A(H) q p 1 můžeme rovněž považova za odhad chyby výsledku A( H q ) Speciálně pro q = (meoda polovičního kroku): B(H) = p A( H ) A(H) p 1 = A( H q ) + A( H q ) A(H) q p 1 = I A( H q ) = A( H ) + A( H ) A(H) p 1 I A( H ) = A( H ) A(H) p 1 Pro lichoběžníkovou meodu lze doporuči q = 8
9 Polovina nových uzlových bodů (pro krok H/) se kryje se sarými (pro krok H); dosaneme odhad T ( H ) + T ( H ) T (H) = R(H) + T (H) shodný se Simpsonovou meodou Richardsonovou exrapolací lze zpřesni i Simpsonovu meodu, dosaneme odhad 6 řádu S( H ) + S( H ) S(H) 15 Richardsonovou exrapolací pro obdélníkovou meodu s polovičním krokem dosaneme odhad, kerý se však nehodí: R( H ) + R( H ) R(H), 9
10 Vhodnější je řeinový krok, q =, R( H ) + R( H ) R(H) 8 6 Rombergova meoda Vychází z více odhadů získaných lichoběžníkovou meodou pro kroky H, H/, H/4, Taylorův rozvoj chyby lichoběžníkové meody má nenulové pouze členy sudého řádu Proo se každou Richardsonovou exrapolací zvýší řád o dvě 1
11 řád k T ( H k ) S( H k ) k T (H) = T, k T ( H ) = T 1, T 1,1 4 k T ( H 4 ) = T, T,1 T, 8 k T ( H 8 ) = T, T,1 T, T, Obecně ve sloupci j + 1: T i,j = T i,j 1 + T i,j 1 T i 1,j 1 4 j 1 Za výsledek bereme T i,i, chyba je řádu i a odhadujeme ji zhruba výrazem T i,i 1 T i 1,i 1 nebo T i,i T i 1,i 1 Příklad 1 (pokračování): Výsledky Rombergovy meody pro dělení: řád k T ( H k ) S( H k ) S planými ciframi 8881 se shodují výsledky vyznačené kurzívou Příklad : Výsledky Rombergovy meody pro řád k T ( H k ) S( H k ) S planými ciframi se shodují výsledky vyznačené kurzívou π 7 Prakické sanovení poču inervalů z horního odhadu chyby meoda dvojího (nejčasěji polovičního) kroku Příklad 1 (pokračování): e d s počáeční volbou 4 inervalů sin 4 d, s počáeční volbou 1 inervalu dělení: s přesnosí ε = 1 6 Simpsonova meoda s krokem a 1: Odhad chyby medoou polovičního kroku je S() S(1) S(1) S() 15 e d = , = = 4578,
12 požadovaná chyba je zhruba 458 menší, což vyžaduje zvýši poče kroků v poměru alespoň = 77 Pro 4 a 8 menší krok, j pro 8 a 16 inervalů dělení: Odhad chyby posledního výsledku je S( 8 ) = , S( 16 ) = S( 16 ) S( 8 ) = (Již víme, že posačuje inervalů dělení) Richardsonova exrapolace: S( 16 ) + S( 16 ) S( 8 ) = , 15 Přesnější výsledek je Příklad : sin d s přesnosí ε = 1 8 Zkusíme 5-bodovou Gaussovu meodu (1 řádu) s krokem 1 a 1 : Odhad chyby medoou polovičního kroku je G 5 (1) = , G 5 ( 1 ) = G 5 ( 1 ) G 5(1) 1 1 = 4 1 7, požadovaná chyba je zhruba 4 menší, což vyžaduje zvýši poče kroků v poměru alespoň 1 4 = 15 Měl by edy sači menší krok, j 4 inervaly dělení: Odhad chyby posledního výsledku je G 5 ( 1 ) = G 5 ( 1 4 ) = G 5 ( 1 4 ) G 5( 1 ) 1 1 = , edy jen asi řikrá menší, ač se měl zmenši v poměru 1 = 14 Přesnější výsledek je Řešení obížnějších úloh úpravou zadání 81 Inegrace přes nekonečný inerval Příklad 4: e d s přesnosí ε = 1 6 I nekonečný obor inegrace lze (nelineární) subsiucí převés na konečný, 1, zde např = 1/u: e 1 u u du 1
13 Můžeme využí známé určié inegrály, např e d = e d }{{} π/ e d, Můžeme se omezi na konečný inerval a zbyek zanedba V našem případě lze použí odhad (se subsiucí x = u) x e d = e x e x u u du e x Pro x 85 je eno výraz menší než ε, akže sačí vypočía e x u du = e x x s přesnosí ε 85 e d 8 Omezení inervalu se může hodi, i když obor inegrace je konečný: Příklad 5: e d Simpsonovou meodou s 1 kroky: 4-bodovou Gaussovou meodou se 1 kroky: 481, 14, Dopusíme se chyby menší než ε = 5 1 7, snížíme-li horní mez na 85 Pak sačí Simpsonova meoda s kroky Přesnější výsledek je 8 Pomalu konvergenní inegrály Přičení známého určiého inegrálu Příklad (pokračování): může zásadně změni obížnos numerického výpoču: sin d Inegrand má v okolí nuly neomezenou derivaci V okolí nuly je sin, sin neomezená, ale známe d = Rozdíl sin Derivace je sice nadále má derivace omezené a jeho inegrace nečiní zvlášní poíže Výpoče 5-bodovou Gaussovu meodu (1 řádu) se dvěma a čyřmi inervaly dělení dává ( sin ) d = G 5 ( 1 ) = , G 5 ( 1 4 ) =
14 Odhad chyby meodou polovičního kroku: Přesnější výsledek je Výsledek původního zadání je (přesněji ) G 5 ( 1 4 ) G 5( 1 ) 1 1 sin d = = d + = = ( sin ) d Subsiuce funkcí, kerá má v odpovídajícím bodě c nulové derivace dosaečně mnoha řádů, např = c+u s, kde exponen s volíme raději vyšší než nižší Příklad (pokračování): sin d Subsiucí = u dosaneme sin d = sin u du 5-bodová Gaussova meoda (1 řádu) s jedním a dvěma inervaly dělení: G 5 (1) = , odhad chyby meodou polovičního kroku G 5 ( 1 ) = , G 5 ( 1 ) G 5(1) 1 1 = Chěli bychom, aby se inegrand v okolí problémového bodu blížil konsaně; mohli jsme použí éž subsiuci = u s dobrým výsledkem Příklad 6: 1 sin d s přesnosí 1 8 Omezení na konečný obor nepomůže, neboť např Hledaný inegrál není absoluně konvergenní Pořebujeme kde ovšem inegrál 1 sin d = = sin d = 19 sin π d = sin 1 sin d d π = , sin d byl rovněž problémový; využili jsme řešení příkladu Přesnější výsledek je
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
VíceSeznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci
VíceIMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,
IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Vícetransformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.
finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceParciální funkce a parciální derivace
Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceMatematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:
. Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceLaplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)
aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: 24-3-2 5:4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceDerivace funkce více proměnných
Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme
VíceT t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka
Analýza časových řad Klasický přísup k analýze ČŘ dekompozice časové řady - rozklad ČŘ na složky charakerizující různé druhy pohybů v ČŘ, keré umíme popsa a kvanifikova rend periodické kolísání cyklické
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY
Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-
VíceDiferenciální rovnice 1. řádu
Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou
Vícelistopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.
6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U
VíceVolba vhodného modelu trendu
8. Splinové funkce Trend mění v čase svůj charaker Nelze jej v sledovaném období popsa jedinou maemaickou křivkou aplikace echniky zv. splinových funkcí: o Řadu rozdělíme na několik úseků o V každém úseku
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceNumerické metody: aproximace funkcí
Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceEKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu
EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU
ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí
VíceBiologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8
Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
VíceNumerické metody: aproximace funkcí
Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceSkupinová obnova. Postup při skupinové obnově
Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceVzorce na integrování. 1. x s dx = xs+1. dx = ln x +C 3. e x dx = e x +C. 4. a x dx = ax. 14. sinhxdx = coshx+c. 15. coshxdx = sinhx+c.
Vzorce na inegrování. s d s+ s+. d ln. e d e. a d a lna, s 5. sind cos 6. cosd sin 7. cos d g 8. d cog sin 9. d arcsin arccos+k 0. + d arcg arccog+k. a + d a arcg a. + d ln(+ +. d ln +. sinhd cosh 5. coshd
VíceDERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y
Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D
VíceINTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování
INTEGRÁLNÍ POČET Primiivní unkce. Neurčiý inegrál Deinice. Jesliže pro unkce F einovné n oevřeném inervlu J plí F pro kžé J, říkáme, že F je primiivní unkcí k unkci n J. Vě. Je-li spojiá n J, pk k ní eisuje
VíceStatika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.
Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VícePasivní tvarovací obvody RC
Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :
VíceSTATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ
STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceVYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující
VíceAnalýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p
Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika přednášky LS 2006/07
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 SIMULACE numerické řešení diferenciálních rovnic simulační program idenifikace modelu Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic krokové meody pro řešení
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceVyužijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.
Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Vícex udává hodnotu směrnice tečny grafu
Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY
Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Více9 Viskoelastické modely
9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
Více4. Střední radiační teplota; poměr osálání,
Sálavé a průmyslové vyápění (60). Sřední radiační eploa; poměr osálání, operaivní a výsledná eploa.. 08 a.. 08 Ing. Jindřich Boháč TEPLOTY Sřední radiační eploa - r Sálavé vyápění = PŘEVÁŽNĚ sálavé vyápění
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 11. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 13 Vybrané ekonomické aplikace diferenciálního
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceDemografické projekce počtu žáků mateřských a základních škol pro malé územní celky
Demografické projekce poču žáků maeřských a základních škol pro malé územní celky Tomáš Fiala, Jika Langhamrová Kaedra demografie Fakula informaiky a saisiky Vysoká škola ekonomická v Praze Pořebná daa
Více1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici
34 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Předpoklady: 33 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb exisují analogické veličiny popisující pohyb po kružnici: rovnoměrný pohyb pojíko rovnoměrný pohyb
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceDynamika hmotného bodu. Petr Šidlof
Per Šidlof Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teorie kmiání Aranz/Bombardier (Norwegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udržení
Více1 - Úvod. Michael Šebek Automatické řízení
1 - Úvod Michael Šebek Auomaické řízení 2018 9-6-18 Základní názvosloví Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Objek: konkréní auo (amo) Sysém: určiá čás objeku, kerou se zabýváme, řídíme, Moor, sojka,
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceLS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle
Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS 2014 1 Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém,
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceNumerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Extrémy funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Více dimenzí Kombinatorika Lineární programování Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Snažíme se najít extrém funkce, at už jedné
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Více1. Vysvětlete pojmy systém a orientované informační vazby (uveďte příklady a protipříklady). 2. Uveďte formy vnějšího a vnitřního popisu systémů.
Soubor říkladů k individuálnímu rocvičení roblemaiky robírané v ředměech KKY/TŘ a KKY/AŘ Uozornění: Následující říklady však neokrývají veškerou roblemaiku robíranou v uvedených ředměech. Doazy, náměy,
Více