Matematika pro informatiku 2

Transkript

1 Matematika pro informatiku 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 21. února 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová

2 Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny podgrupy v grupě zadané Cayleyho tabulkou: x y z x x y z y y z x z z x y Odpovědi zasílejte na adresu: alena.solcova@fit.cvut.cz. Do předmětu zprávy: Jméno, číslo skupiny, L Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 2

3 Studijní literatura Kolář, J., Štěpánková, O., Chytil, M.: Logika, algebry a grafy, SNTL Praha,1989 Velebil, J. : Diskrétní matematika, kap. 2, 3 Trlifaj, J.: Algebra I, Praha 2009 Drápal, A.: Teorie grup: základní aspekty, Karolinum, Praha Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 3

4 Základní vlastnosti grup Jednoznačnost neutrálního prvku Nechť neprázdná množina G s operací tvoří grupu. Podle vlastnosti V2 v této grupě existuje alespoň jeden neutrální prvek n. Důkaz: Pro n a pro libovolný prvek a є G platí n a = a, a n = a (1) Předpokládejme, že prvek n 1 є G je také neutrální v G. n 1 a = a, a n 1 = a (2) Protože rovnost (1) platí pro každý prvek a є G, dosadíme do (1) a = n 1, pak dostaneme n n 1 = n 1 (3) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 4

5 Věta o jednoznačnosti neutrálního prvku Podobně dosadíme do 2. rovnosti ve (2) n n 1 = n (4) Protože operace je jednoznačná, vyplývá z rovnosti levých stran n n 1 = n 1 (3) n n 1 = n (4) i rovnost n = n 1. Věta: Každá grupa obsahuje právě jeden neutrální prvek Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 5

6 Věta o jednoznačnosti inverzního prvku Věta: V každé grupě existuje ke každému prvku právě jeden inverzní prvek. Věta (o sdruženosti inverzního prvku): Pro každý prvek a є G platí, že a je inverzním prvkem ke svému inverznímu prvku a*, tedy že a є G: (a*)* = a Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 6

7 Věta o inverzi výsledku operace Věta: V libovolné grupě (G, ) platí a,b є G (a b)* = b* a* Důkaz: Nechť a, b jsou prvky grupy G. Položíme a b = c. Potom: (a b) (b* a*) = c (b* a*) = = (c b*) a* (podle asociativity) = = [(a b) b*] a* = [a (b b*)] a* (podle asociativity) = [(a n) a* (b* je inverzní k b) = = a a* (n je neutrální) = n (a* je inverzní k a) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 7

8 Důkaz věty o inverzi výsledku operace 2 Proto (a b) (b* a*) = n, tedy inverzní prvek (zprava) k (a b) je (b* a*). Podobně je třeba ověřit (b* a*) (a b) = n Z těchto dvou vztahů plyne, že b* a* je inverzní prvek vůči a b, tj. (a b)* = b* a* Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 8

9 Druhá definice grupy Nechť je na neprázdné množině G dána operace s vlastnostmi: a, b, c є G: a (b c) = (a b) c a, b, c є G x, y є G: a x = b, y a = b Potom řekneme, že množina G s operací tvoří grupu Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 9

10 Některé vlastnosti grupy v multiplikativním zápisu Věta: Jsou-li a,b,c libovolné prvky z (G,.), pak platí: (a -1 ) -1 = a (ab) -1 = b -1 a -1 ab = ac b = c ba = ca b = c Jediným řešením rovnic ax = b, ya = b jsou prvky x = a -1 b, y = b a Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 10

11 Podgrupy Příklad: (Z, +) je podgrupou v aditivní grupě (R, +). Proč? 1. Z je podmnožinou v R. 2. Součet dvou celých čísel je opět celé číslo. 3. (Z, +) je také grupou. Definice: Nechť (G,.) je grupa, neprázdná P je podmnožina v G. Řekneme, že podmnožina P G je uzavřená v G vzhledem k operaci., když a, b є P : a. b є P Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 11

12 Vlastnosti podgrup Kolik je v G jednotkových prvků? Věta: Jednotkový prvek podgrupy P grupy (G,.) je roven jednotkovému prvku celé grupy (G,.) Jaký je vztah mezi inverzními prvky G a P? Věta: Je-li (G,.) grupa, P její podgrupa, pak pro libovolný prvek platí, že inverzní prvek k a v (P,. ) se rovná inverznímu prvku k a v (G,.) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 12

13 Podstruktury (Substructures) Každá struktura může mít svou podstrukturu. (Subgroup) Podgrupa Necht G je grupa. Podgrupou grupy G rozumíme libovolnou podpologrupu H grupy G, takovou, že a -1 є H pro každou a є H. Normální podgrupa (Normal subgroup) Podgrupa H se nazývá normální, jestliže bhb -1 H pro každé b є G Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 13

14 Ekvivalentní definice podgrupy Definice: Je-li (G,.) grupa, pak neprázdná podmnožina P G je vzhledem k operaci. podgrupou v (G,. ) právě tehdy, má-li tyto vlastnosti: 1. P je uzavřená vzhledem k.. 2. Jednotkový prvek e grupy (G,. ) patří do P. 3. P obsahuje s každým prvkem a také jeho inverzní prvek a -1. Definice: Neprázdná podmnožina P grupy (G,. ) je vzhledem k operaci. podgrupou v (G,.) právě tehdy, když a, b є P: a -1 b є P Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 14

15 Poznámka Je-li G podgrupa a e její jednotkový prvek, pak ({e},. ) a (G,. ) jsou podgrupy v (G,.) Definice: ({e},. ) a (G,. ) nazýváme triviální podgrupy v grupě (G,. ). Každou jinou podgrupu (P,. ) v (G,. ) nazýváme netriviální. Pro libovolnou podgrupu (P,. ) grupy (G,. ) platí {e} P G, tedy ({e},. ) je nejmenší podgrupa a (G,. ) je největší podgrupa v grupě (G,.) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 15

16 Normální podgrupy a generátory Průnik libovolného systému (normálních) podgrup grupy G je opět (normální) podgrupa grupy G. Jestliže M G, pak průnik všech (normálních) podgrup grupy G obsahujících množinu M se nazývá (normální) podgrupa grupy G generovaná množinou M. M se nazývá množinou generátorů této podgrupy. Jestliže podgrupa generovaná množinou M je rovna grupě G, pak M se nazývá množinou generátorů grupy G Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 16

17 Homorfismus Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 17

18 Homomorfismus Jsou-li (G,.) (H,.) dvě grupy a zobrazení množiny G do množiny H takové, že pro všechny prvky g 1, g 2 є G platí (g 1. g 2 ) = (g 1 ). (g 2 ), říkáme, že je homomorfismus nebo homomorfní zobrazení Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 18

19 Vlastnosti homomorfismu Nechť je homomorfní zobrazení grupy (G,.) do grupy (H,.). Potom platí 1. Nechť e je jednotkový prvek v (G,.), potom (e) je jednotkový prvek v (H,.). 2. Pro všechna g є H, (g -1 ) = [ (g)] (G) je podgrupa v (H,. ). 4. Nechť e je jednotkový prvek v (H,.). Potom {g: gєg, (g) = e } je podgrupa v (G,. ). Nazývá se jádrem homomorfismu Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 19

20 Izomorfní zobrazení Je-li homomorfní zobrazení bijekce, nazýváme izomorfním zobrazením. Věta: Složení dvou homomorfních (izomorfních zobrazení je homomorfní (izomorfní) zobrazení. Zobrazení inverzní k izomorfnímu zobrazení je izomorfní zobrazení Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 20

21 Lagrangeova věta Věta: Řád konečné grupy je násobkem řádu každé její podgrupy. Důsledek: Řád každého prvku konečné grupy G je dělitelem řádu grupy G Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 21

22 Cyklická a konečně generovaná grupa Grupa, v níž existuje jednoprvková množina generátorů, se nazývá cyklická (cyclic group). Grupa, v níž existuje konečná množina generátorů, se nazývá konečně generovaná (finitely generated group) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 22

23 Vlastnosti cyklických grup Věta: Grupa (G,. ) je cyklická právě tehdy, když existuje prvek a є G takový, že každý prvek g є G je celočíselnou mocninou prvku a, tj. G = {, a -2, a -1, e, a, a 2, }. Příklad: Je-li n є N, pak cyklickou podgrupou v (Z, +) generovanou prvkem n je G n = {, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, } Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 23

24 Řád prvku Nechť a je prvek grupy (G,.). a) Jsou-li všechny celé mocniny prvku a vzájemně různé, potom říkáme, že a má nekonečný řád. b) Existují-li dvě různá čísla p, q taková, že a p = a q, a je-li n nejmenší přirozené číslo takové, že a n = e, pak říkáme, že a je konečného řádu n Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 24

25 Konečný řád prvku a? Buď jsou všechny prvky cyklické grupy vzájemně různé nebo existují alespoň dvě celá čísla p, q, p q taková, že a p = a q a p > q, pak a p-q = a p. a -q = a p. (a q ) -1 = a p. (a p ) -1 = e. Protože p-q je přirozené číslo, existuje také nejmenší přirozené číslo s vlastností a n = e. Příklad: Multiplikativní grupa Q 0+, pak všechny celé mocniny čísla 5 jsou navzájem různé. Naopak pro jakýkoli prvek kterékoli konečné grupy existuje jen konečný počet jeho různých mocnin, a proto se musí některé mocniny sobě rovnat Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 25

26 Prvky konečných řádů Věta: Je-li (G,. ) grupa a a є G prvek konečného řádu n, pak podgrupa generovaná prvkem a je cyklická grupa A = {e, a, a 2,, a n-1 }. Důkaz: Je zřejmé, že všechny prvky z A jsou navzájem různé. Kdyby totiž pro přirozená čísla k < n, j < n platilo a k = a j a j<k, pak a k-j = e, a přitom 0 < k-j < n, což by bylo ve sporu s tím, že a je řádu n. Proto stačí ukázat, že libovolná celá mocnina prvku a je rovna některému prvku z A Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 26

27 Pokračování důkazu věty o podgrupě generované jedním prvkem Víme, že libovolné celé číslo k lze napsat ve tvaru k = nq + r, kde q, r jsou celá čísla a 0 r < n (viz dělení celých čísel se zbytkem). Pak a k = a nq+r = a nq. a r = (a n ) q. a r = e q. a r = a r. Prvek a r přitom patří do A. Tedy pro prvek a konečného řádu n má cyklická podgrupa, která je tímto prvkem a generována, n prvků, tj. tato cyklická grupa je řádu n. Pro prvek b nekonečného řádu je příslušná cyklická grupa nekonečného řádu Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 27

28 Řád prvku a řád grupy Věta: Řád prvku a a grupy (G,.) je roven řádu cyklické podgrupy generované prvkem a. Věta: Je-li a prvek grupy (G,.), je-li a konečného řádu n a je-li k celé číslo, pak a k = e právě tehdy, když n je dělitelem čísla k Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 28

29 Důkaz věty o tom, kdy a k = e Číslo n je dělitelem čísla k právě tehdy, když existuje celé číslo x s vlastností k = nx. Je-li k = nx, pak a k = a nx = (a n ) x = e x = e. Obráceně, když a k = e, pak platí k = nq + r, kde q, r є Z a 0 r < n, tj. a nq+r. Tedy a k = a nq. a r = (a n ) q. a r. Prvky a k, (a n ) q jsou rovny e, proto platí e = e. a r, z čehož plyne a r = e, a protože r je celé nezáporné číslo menší než n, plyne z definice řádu prvku, že r = 0. Tedy dokázali jsme, že k = nq + 0 = nq Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 29

30 Šifrovací klíč a metoda RSA Šifrovací klíč posloupnost náhodně zvolených nul a jedniček Použijeme vlastnosti cyklické grupy mod 2 Klíč se stane zároveň dešifrovacím symetrický klíč Na množině G = {0, 1} definujeme operaci sčítání takto: = 0, = 1, = 1, = 0 Lze ověřit, že (G, +) tvoří grupu. Pro všechna u, v є G platí u + v + v = u + 0 = u, proto při dvojím použití symetrického klíče musí být dešifrovaná zpráva stejná jako původní. Metoda RSA je založena na použití cyklické grupy mod pq, kde p a q jsou velká prvočísla (časová náročnost). Generátory pseudonáhodných čísel lze definovat pomocí cyklické grupy mod 2 n Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 30

31 Uzly a jejich grupy S uzly se setkáváme na každém kroku. Číslo křížení uzlu na obrázku postupně 3 4 Na uzavřené smyčce neexistuje uzel s číslem křížení 1 a 2, číslu křížení 0 odpovídá tzv. triviální uzel, který vypadá jako nula Uzlové grupy prvky - orientované smyčky Příklad nekonečných nekomutativní ch grup Uplatnění při studiu struktury polymerů, kyselin DNA a dalších zauzlených molekul Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 31

32 Grupy zbytkových tříd GZT konečné grupy, které souvisí s číselnými grupami. Definice: Nechť Z je množina všech celých čísel a n je libovolné, ale pevné přirozené číslo. Řekneme, že čísla a, b jsou kongruentní podle modulu n, když a i b mají při dělení číslem n stejný zbytek. Píšeme pak a b (mod n). a b (mod n) právě tehdy, když a = nx 1 + z 1, b = nx 2 + z 2, x 1, x 2, z 1, z 2 є Z, 0 z 1 < n z 1 = z Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze

33 Jak určit, jsou-li dvě čísla kongruentní? Věta: Pro čísla a,b є Z platí a b (mod n) právě tehdy, když rozdíl a b je celočíselným násobkem n. Důkaz zřejmý. Příklad: (mod 7) = 14 a 7/ Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 33

34 Příklad Výhoda počítání se zbytkovými třídami Dokažte, že číslo je dělitelné číslem 36! Řešení: Dělitele 36 rozložíme na součin 4.9 a budeme postupovat podle jednotlivých modulů (-1) 17 = 1 1 = 0 (mod 4) (-1) = = 0 (mod 9) Dané číslo je dělitelné 4 a 9, tato čísla jsou nesoudělná, proto je číslo dělitelné též jejich součinem Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 34

35 Zbytkové třídy podle modulu n Definice: Podmnožiny v Z skládající se právě ze všech čísel, která při dělení číslem n mají stejný zbytek, nazveme zbytkové třídy podle modulu n. Množina zbytkových tříd podle modulu n je rozkladem množiny Z. Třídy jsou disjunktní a jejich počet je n. Každá zbytková třída podle modulu n je úplně určena libovolným svým prvkem. Různé zbytkové třídy nemohou mít žádné společné prvky. Vysvětlete! Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 35

36 Příklad: Všechny zbytkové třídy mod 5 0 = {, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, } 1 = {, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, } 2 = {, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, } 3 = {, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, } 4 = {, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, } Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 36

37 Skládání kongruencí Věta: Platí-li a a 1 (mod n), b b 1 (mod n), potom 1. a + b a 1 + b 1 (mod n) 2. a. b a 1. b 1 (mod n) Sečteme-li dvě čísla z některých zbytkových tříd podle modulu n, pak výsledek patří do některé zbytkové třídy podle modulu n. Sečteme-li však další dvě čísla, z těchto zbytkových tříd, patří jejich součet opět do stejné třídy, jako patřil součet původních čísel Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 37

38 Sčítání zbytkových tříd Jsou-li a, b dvě zbytkové třídy z množiny Z n, pak třídu a + b nazveme součtem tříd a, b a píšeme a + b = a + b. Příklad: Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} je množina zbytkových tříd podle modulu 5. Potom = 4, = 0, Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 38

39 Součin zbytkových tříd Jsou-li a, b zbytkové třídy z množiny Z n, pak třídu ab nazýváme součin zbytkových tříd a, b a píšeme ab = a. b Příklad: Pro třídy ze Z 5 platí např = = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 39

40 Vlastnosti operací na zbytkových třídách Věta: Je-li n libovolné přirozené číslo a Z n množina zbytkových tříd podle modulu n, pak (Z n, +) je konečná abelovská grupa řádu n. Třída 0 je neutrální prvek. Třída opačná k a = n a = -a inverzní prvek. Násobení zbytkových tříd složitější: Věta: Nechť n > 1 je přirozené číslo. Pak násobení. zbytkových tříd podle modulu n je asociativní a komutativní operace na Z n. Přitom v Z n existuje neutrální prvek vzhledem k., který je roven třídě 1. Pro třídu 0 neexistuje inverzní prvek. Není grupa! Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 40

41 (Z n \ {0}) a operace násobení Věta: Je-li n > 1 přirozené číslo, pak ((Zn \ {0}),.) je grupa (abelovská), právě tehdy, když n je prvočíslo. Tabulky pro násobení podle modulů 4 a Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 41

42 Samoopravující se kódy Rodná čísla od r donedávna byla byla dělitelná 11 pro kontrolu, zda se v nich nevyskytla chyba. Pro ověření správnosti u velkých datových souborů se používají různé kontrolní součty - příklad samodetekující se kódy. Jejich použitím můžeme zjistit, že v daném souboru dat se vyskytla chyba, i když obecně nevíme, který bit se přenesl (zobrazil) nesprávně. Teorie grup pomáhá tento nedostatek odstranit Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 42

43 Hammingova vzdálenost Hammingova vzdálenost dist(u,v) mezi vektory u = (u 1, u 2,, u k ) a v = (v 1, v 2,, v k ), u i, v i є {0,1} je počet míst, v nichž se u liší od v. Příklad: Pro k = 3 je dist(000,011) = 2 nebo dist (101,010) = 3 (dále budeme čárky mezi složkami vynechávat) Jednoduchý samoopravující kód můžeme zapsat pomocí 8 kódových slov, což jsou vektory délky k=7 ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 43

44 Samopravující se kódy - Hamming ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Nenulové prvky se zde posunují postupně cyklicky o 1 bit vpravo. První tři bity (cifry) každého slova jsou vzájemně různé. Žádná jiná trojice bitů již neexistuje. Můžeme si je představit jako souřadnice vrcholů jednotkové krychle. Zbylé 4 bity jsou voleny tak, aby Hammingova vzdálenost mezi libovolnými dvěma slovy byla Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 44

45 Hammingova vzdálenost a teorie grup Označme množinu všech 8 kódových slov s operací u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u 7 + v 7 ), kde jednotlivé složky sčítáme podle pravidel = 0, = 1, = 1, = 0. Tato operace je asociativní. Protože Hammingova vzdálenost každých dvou různých prvků z G je 4, jejich sečtením získáme kódové slovo složené ze 4 jedniček a 3 nul Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 45

46 Hammingova vzdálenost a teorie grup Prověříme, že sečtená slova patří opět do G. Např. ( ) = ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) Množina G s operací sčítání + tvoří (abelovskou) grupu, neutrální prvek je prvek ( ), každý prvek je sám k sobě inverzní Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 46

47 Jak probíhá přenos dat? První 3 bity přenášené informace se doplní o další 4 bity a kódové slovo se odešle. Pokud při přenosu informace dojde ke změně jednoho bitu, bude jeho Hammingova vzdálenost od původního kódového slova 1, zatímco od ostatních slov 3 nebo 5. Přijímající strana tak zjistí, který bit se špatnšě přenesl Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 47

48 Symetrická grupa permutací Nechť M je neprázdná množina. Všechny permutace (bijektivní neboli vzájemně jednoznačné zobrazení) množiny M (na sebe) tvoří grupu vzhledem k operaci skládání. Tato grupa se nazývá symetrická grupa S(M) (symmetric group). V případě, že množina M = {1, 2,, n}, budeme ji značit S n. Vyšetřete, zda platí: Grupa S(M) je komutativní, právě když počet prvků množiny je větší než Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 48

49 Symetrie krychle Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 49

50 Izomorfismus konečné grupy s grupou permutací Cayleyho věta: Každou konečnou grupu lze izomorfně zobrazit na grupu permutací. Felix Klein ukázal, že grupa symetrií dvacetistěnu a Galoisova grupa řešení rovnice 5. stupně je izomorfní Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 50

51 Fulleren C 60 Všechny symetrie molekuly fullerenu C 60 tvoří grupu. Molekula vypadá jako klasický fotbalový míč s 12 pravidelnými pětiúhelníky a 20 pravidelnými šestiúhelníky na povrchu. Symetriemi této molekuly jsou např. otočení o k. 72 stupňů kolem os procházejících středy protilehlých pětiúhelníkových stěn, tzv. pětičetné osy symetrie. Teorie grup slouží k pochopení stavby molekul a jejich vlastností. Fulleren byl objeven v roce 1985, v roce 1996 byla udělena Nobelova cena za chemii (R.F. Curl, R.E. Smalley, H.W. Kroto) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 51

52 Moderní teorie grup a Abelova cena Co je Monstrum? John Griggs Thompson, Jacques Tits Abelova cena pro rok 2008, $ (USD), za objevy v teorii neabelovských grup Klasifikace grup, celková délka důkazu (15000 stran, je založen na 500 článcích asi od 100 autorů redukce 4000 stran) Třída sporadických grup 26 grup, M 11, M 12, 22 z nich tvoří Štastnou rodinku Happy Family, zbývající 4 jsou Vyvrhelové, Pariahs Největší sporadická grupa Monstrum 1983 konečná grupa rotací v eukleidovském prostoru R , zkonstruoval Robert Griess z Univ. Michigan Řád je úctyhodný M, má 55 platných cifer. M = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 52

53 Lámejte si hlavu L2 1. Ověřte, zda dané zobrazení je homomorfismus: : (Z, +) (R, +), n = 2n Najděte všechna řešení kongruence 27x x + 8 (mod 7) Odpovědi zasílejte na alena.solcova@fit.cvut.cz Subjekt: Jméno, číslo skupiny, L Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 53