A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti

Transkript

1 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky

2 Markovovy modely motivace Robot se pohybuje po dvou pásech, každý pás řídí jeden motor. Řídicí jednotka se občas porouchá (střední doba mezi poruchami je hodin). Lze ji opravit resetem, což trvá průměrně T s = min. Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba pásy funkční? Jaká je pravděpodobnost, že ani jeden nefunguje? Databázový server ukládá data na 4 discích zapojených do RAID 3. MTBF disků je 6 hodin a obnova dat při připojení nového disku trvá průměrně 2 hod. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat? Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat, pokud výměna disku trvá obsluze průměrně hod?

3 Markovovy modely rozdělení Prvek má n stavů, X(t) je stav v čase t Stav X(t) je náhodná proměnná Pravděpodobnost stavu i je P i (t) = P [(X(t) = i] Markovovská podmínka: P [X(t) = A n X(t n ) = A n, X(t n 2 ) = A n 2,..., X(t ) = A ] = P [X(t) = A n X(t n = A n )] Markovův model je definován A.6.3. C B.3 Stavy Množinou pravděpodobností přechodu mezi stavy λ t Markovův řetězec: Diskrétní stavy, Diskrétní čas Markovův proces: Diskrétní stavy, Spojitý čas A λ 2 t α t C B µ t

4 Markovovy procesy Prvek se dvěma stavy (funkční/nefunkční) Intenzita poruch λ je konstatní Prvek se neopravuje λ t λ t A B Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" V čase je systém ve stavu "A"

5 Markovův model Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" Předpokládejme, že je prvek ve stavu "A": S pravděpodobností λ t se stav změní na "B" S pravděpodobností λ t se stav nezmění Předpokládejme, že je prvek ve stavu "B": S pravděpodobností zůstane v tomto stavu. λ t A λ t B

6 Markovův model Stav "A" prvek je funkční Stav "B" prvek je rozbitý P A (t) pravděpodobnost, že je prvek ve stavu "A" λ t pravděpodobnost přechodu z "A"do "B" λ t A λ t B Pravěpodobnost, že v čase t + t budeme ve stavu "A"a "B": P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t)

7 Markovův model λ t λ t A B P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) Maticový zápis: [ ] PA (t + t) P B (t + t) [ ] PA (t + t) P B (t + t) [ λ t = λ t [ ] PA (t) = P P B (t) ] [ PA (t) P B (t) ] Matice P je matice pravděpodobností.

8 Odvození matice intenzit λ t λ t A B P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) Limita t : P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t)

9 Odvození matice intenzit λ t λ t A B Rovnice upravíme: Limita t : P A (t + t) = ( λ t)p A (t) P B (t + t) = λ tp A (t) + P B (t) P A (t + t) P A (t) t P B (t + t) P B (t) t = λp A (t) = λp A (t) P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t)

10 Odvození matice intenzit λ t λ t A B P A (t) = λp A (t) P B (t) = λp A (t) Maticový zápis: [ ] P A (t) P B (t) [ ] P A (t) P B (t) = [ λ λ = P [ PA (t) P B (t) ] [ PA (t) P B (t) ] ] Matice P je matice intenzit.

11 Markovův model Vývoj systému je popsán maticí pravděpodobností P [ ] [ ] [ ] PA (t + t) λ t PA (t) = P B (t + t) λ t P B (t) λ t A λ t nebo maticí intenzit P : [ ] [ P A (t) λ P = B (t) λ Počáteční podmínky: P A () =, P B () = Předpoklady: ] [ PA (t) P B (t) Nemůže nastat více jak jeden přechod najednou Pozn.: hromadná oprava/sloučení akcí je možné Stav "B"je tzv. absorbční stav. ] B

12 Markovův model Obecné řešení: P (t) = n c i x i e v it i= P (t) je vektor pravděpodobností stavů c i R je konstanta v i je vlastní číslo matice intenzit P x i je vlastní vektor matice P příslušející vlastnímu číslu v i

13 Systém s opravou Porucha nastává s intenzitou λ K opravě dojde s intenzitou µ Zápis s maticí pravděpodobností: [ ] [ PA (t + t) λ t µ t = P B (t + t) λ t µ t Zápis s maticí intenzit [ P A (t) P B (t) Poznámka: ] = [ λ µ λ µ ] [ PA (t) P B (t) λ t A λ t µ t ] [ PA (t) P B (t) ] ] B µ t µ = MTTR λ = MTBF

14 Systém s opravou Porucha nastává s intenzitou λ K opravě dojde s intenzitou µ [ ] [ P A (t) λ µ P = B (t) λ µ ] [ PA (t) P B (t) λ t ] A λ t µ t B µ t Vlastní čísla matice intenzit: v = (λ + µ), v 2 = Vlastní vektory: x = [, ] T, x 2 = [, λ µ ]T P (t) = c [ ] e (λ+µ)t + c 2 [ λ µ ] e t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t + c 2 λ µ

15 Systém s opravou λ t λ t µ t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t λ + c 2 µ Počáteční podmínky: P A () =, P B () =. A µ t B P A (t) = µ λ + µ + λ λ + µ e (λ+µ)t P B (t) = λ λ + µ λ λ + µ e (λ+µ)t Součinitel pohotovosti: lim t P A(t) = lim P B(t) = t µ λ + µ λ λ + µ P A = µ λ + µ = MTTF MTTR + MTTF

16 Systém s opravou λ t λ t µ t P A (t) = c e (λ+µ)t + c 2 P B (t) = c e (λ+µ)t λ + c 2 µ Počáteční podmínky: P A () =, P B () =. A µ t B P A (t) = P B (t) = µ λ + µ + λ λ + µ λ λ + µ e (λ+µ)t λ λ + µ e (λ+µ)t P A (t) P B (t) Graf pro: λ =.2, µ = time

17 Příklad paralelní obvod a b

18 Příklad paralelní obvod 2 a b a b λa t λ b t 3 b a λ b t λa t 4

19 Příklad paralelní obvod a b P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) = a b λa t λ b t λ a λ b λ a λ b λ b λ a λ b λ a 2 3 b a λ b t λa t 4 P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t)

20 Příklad paralelní obvod P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) = Vlastní čísla a vektory: λ a λ b λ a λ b λ b λ a λ b λ a P (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) x = (λ a + λ b ) x 2 = λ b x 3 = λ a x 4 = v = v 2 = v 3 = v 4 = Řešení soustavy: P (t) P 2 (t) P 3 (t) =c P 4 (t) e (λa+λ b)t +c 2 e λ bt +c 3 e λat +c 4 et

21 Příklad paralelní obvod Řešení soustavy: P (t) P 2 (t) P 3 (t) =c P 4 (t) e (λa+λ b)t +c 2 e λ bt +c 3 e λat +c 4 Konstanty c =, c 2 =, c 3 = a c 4 = určíme z počátečních podmínek. et P (t) = e (λa+λ b)t P 2 (t) = e (λa+λb)t + e λ bt P 3 (t) = e (λa+λb)t + e λat P 4 (t) = + e (λa+λb)t e λat e λ bt Pravděpodobnost, že systém funguje je R(t) = P (t) + P 2 (t) + P 3 (t) R(t) = e λat + e λbt e (λa+λ b)t

22 Slučování stavů Počet stavů rychle roste (k n ), pro n k stavových prvků Výpočet Mark. modelů vede na výpočet matic n n Časově náročné Pro zjednodušení lze některé stavy sloučit Stavy lze sloučit pokud Jejich výstupní hrany vedou do stejných uzlů se stejnými cenami Vstupní intenzity mohou být různé Pro nový stav platí: Vstupní pravděpodobnost je součet vstupních pravděpodobností sloučených stavů Výstupní pravděpodobností je výstupní pravděpodobností sloučených stavů

23 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit

24 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit

25 Slučování stavů příklad Dva dvou-stavové prvky, intenzita poruchy každého je λ. λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t λ t 2λ t λ t λ t λ t λ t Stavy a lze sloučit Výsledný model: 2λ t 2λ t λ t λ t

26 Příklad RAID 3 Databázový server ukládá data na 4 discích zapojených do RAID 3. MTBF disků je 6 hodin a obnova dat při připojení nového disku trvá průměrně 2 hod. Jaká je pravděpodobnost, že dojde ke ztrátě dat, pokud výměna disku trvá obsluze průměrně hod? 4λ t 3λ t µ t P = 4λ µ 4λ 3λ µ 3λ Jaké předpoklady musí platit, aby šel tento model použít?

27 Příklad RAID 3 Data se rozdělují na dva disky + paritu Při výpadku jednoho disku řadič může dopočítat chybějící data Při výpadku více než jednoho disku jsou data ztracena MTBF disků známo. Jak rychle se musejí kopírovat data? data controller HDD HDD2 HDD3 parita λ λ λ

28 Příklad RAID 3 Data se rozdělují na dva disky + paritu Při výpadku jednoho disku řadič může dopočítat chybějící data Při výpadku více než jednoho disku jsou data ztracena MTBF disků známo. Jak rychle se musejí kopírovat data? data controller HDD HDD2 HDD3 parita λ λ λ P = 3λ µ 3λ µ 2λ 2λ

29 Příklad RAID 3 Řešení: [ ] m x =, 2 + l m + l 2 + m l m, 2 + l m + l 2 m l 2 m 2 m [ ] m x 2 =, 2 + l m + l 2 m + l m, 2 + l m + l 2 + m + l 2 m 2 m x 3 = [,, ] v = m 2 + l m + l 2 + m + 5 l m v 2 = 2 + l m + l 2 m 5 l 2 v 3 = 2

30 Příklad RAID 3.8 p(x) p2(x) p3(x) kontrola ok stav m=., l=.

31 Příklad RAID 3.8 p(x) p2(x) p3(x) kontrola ok stav m=.5, l=.