Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Transkript

1 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 1 Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 2 Operace s macemi Podobne jako s c ıśly zava dıḿe i s maticemi poc etnı operace s pr ıślus ny mi pravidly. Rovnost mac: A = B Dve matice A = (a, ), B = (b, ) te hoz typu (m, n) jsou si rovny (pıś eme A = B), pra ve kdyz platı : a, = b,, i = 1, 2,, m ; j = 1, 2,, n, nebo-li a, = b, ; i, j. Symbol i, j c teme pro každé i, j. Z te to deinice a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı tyto vlastnosti ¹ rovnosti matic: 1. A = A relexivnost 2. A = B B = A symetrie 3. A = B B = C A = C tranzitivnost Kaz da rovnost mezi maticemi je struc ny m za pisem pra ve jedne soustavy rovnostı mezi pr ıślus ny mi prvky (c ıśly). Napr ıḱlad: x 1 + t x = 1 + t x = t x = t x 3 4t x = 3 4t ¹ Relace, ktera je relexivnı, symetricka a tranzitivnı, se nazy va ekvivalence.

3 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 3 Součin mace s číslem: k. A prvky jsou tıḿto c ıślem na sobeny. je matice stejne ho typu jako na sobena matice, jejıź vs echny Napr ıḱlad ( 2) = ( 2) 1 ( 2) ( 3) ( 2) 6 ( 2) 2 ( 2) 1 ( 2) 0 = Součet a rozdíl mac: A + B, A B. Součtem matic A = (a, ), B = (b, ) te hoz typu (m, n) rozumıḿe matici C = (c, ) stejne ho typu, jejıź prvky jsou: c, = a, + b,, i, j (pıś eme: C = A + B ). Analogicky rozdílem matic A a B te hoz typu rozumıḿe matici C = A B, pro kterou platı : c, = a, b,, i, j. Jinak r ec eno: rozdıĺ dvou matic urc ıḿe jako souc et te chto matic, z nichz druha je vyna sobena c ıślem 1. Napr ıḱlad =

4 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 4 Z uvedeny ch deinic a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı na sledujıćı vlastnosti ² pro libovolne matice A, B, C te hoz typu a libovolna c ıśla k, k, k : pro sc ı ta nı matic (kde 0 je nulova matice stejne ho typu jako matice A ) 1. A + B = B + A komutativnı za kon 2. A + (B + C) = (A + B) + C asociativnı za kon pro souc et matic 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A ( A) A + ( A) = ( A) + A = 0 Vztah c.4 c teme: Ke kaz de ( ) matici A existuje ( ) matice, kterou nazy va me maticı opac nou k matici A a oznac ujeme A, pro kterou platı ( : ), z e jejich souc et je nulova matice ( 0 ). pro na sobenı matic c ıślem: 5. 1 A = A 6. k (k A) = (k k ) A asociativnı za kon pro na sobenı matice c ıślem 7. (k + k ) A = k A + k A distributivnı za kony pro 8. k(a + B) = k A + k B na sobenı matice c ıślem ² Struktura vyhovujıćı poz adavku m se nazy va komutativní grupa vzhledem ke sčítání. Struktura vyhovujıćı vs em poz adavku m se nazy va vektorový prostor.

5 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 5 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.

6 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 6 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.

7 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 7 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.

8 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 8 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b a x + a y = b b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu. Násobení mac: A B. Souc inem matice A = (a, ) a matice B = (b, ) v daném pořadí je matice C = (c, ), pro jejıź prvky platı : c = i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p. a, b, pro kaz de Deinice r ıḱa, z e chceme-li urc it prvek souc inu dvou matic c,, musıḿe každý c len i. řádku první matice (vlevo levy index) vynásobit c lenem j. sloupce druhé matice (vpravo pravy index) se stejným pořadím ( prvnı prvnı + druhy druhy + + poslednı poslednı ) a tyto součiny sečíst. Pr ıḱlad na sobenı dvou matic: x y = x + 2y 4x + 5y Pomu z eme si napr ıḱlad takto zapsany m postupem: x y x + 2y 4x + 5y

9 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 9 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

10 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 10 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

11 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 11 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

12 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 12 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

13 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 13 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

14 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 14 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

15 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 15 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()

16 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 16 Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A.. A B = = () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () B A = = () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() ()

17 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Jiz z uvedene ho pr ıḱladu vidıḿe, z e pro na sobenı matic obecne neplatı komutativnı za kon (o za me ne c initelu ). Matice A je typu (2, 4), matice B je typu (4, 2). Proto: prvnı vypoc ı tany souc in A B je typu (2, 4 )( 4, 2) = (2, 2), kdez to druhy vypoc ı tany souc in B A je typu (4, 2 )( 2, 4) = (4, 4). 2. Je-li napr ıḱlad A typu (2, 4) a matice B je typu (4, 5), pak souc in A B existuje a je to matice typu (2, 4 )( 4, 5) = (2, 5), kdez to souc in B A vu bec nenı deinova n (neexistuje). 3. Násobení matic tedy nemá naprosto stejné vlastnosti, jako násobení čísel. Dals ı odlis nosti si uka z eme ve cvic enı k te to kapitole. 4. Jsou-li matice A, 0 (nulova ) a E (jednotkova ) čtvercové matice stejného řádu, platı : A 0 = 0 A = 0 a A E = E A = A, jak snadno zjistıḿe vyna sobenıḿ.

18 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 18 Vlastnos násobení mac Na sobenı matic da va pone kud odlis ne vy sledky, nez ktere dosta va me pr i na sobenı c ıśel, jak bylo naznac eno v pr edchozı pozna mce. Nechť A, B a C jsou matice a k c ıślo. Potom: 1. Obecně nepla komutavní zákon o za me ne c initelu. Tedy nelze předpokládat (viz prvnı a druhy bod pr edchozı pozna mky), z e vz dy platı A B = B A. Toto funguje pouze u c tvercovy ch matic. A navıć pouze u ne ktery ch. Tyto pak nazveme zaměnitelné. Spıś e platı : A B B A 2. Z rovnos A B = 0 nemu z eme usuzovat, z e A = 0 nebo B = 0. Pokud souc in dvou matic je roven nulove matici, nutne z toho neplyne, z e alespon jedna z nich je take nulova, jak je uka za no v pr ıḱladech 2. a) a Z rovnos A = A nemu z eme usuzovat, z e A = E nebo A = 0, jak je uka za no v pr ıḱladu 2. b) i kdyz r es enıḿ kvadraticke rovnice x = x je pra ve jednička a nula. 4. Při násobení mac nelze krát, jak je uka za no v pr ıḱladu (A B) C = A (B C) asociativnı za kon (o sdruz ova nı c initelu ). 6. k (A B) = (k A) B = A (k B) asociativnı za kon pro na sobenı souc inu matic c ıślem. 7. (A + B) C = A C + B C distributivnı za kon, kdy za vorka je vlevo. 8. A (B + C) = A B + A C distributivnı za kon, kdy za vorka je vpravo.

19 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 19 Cvičení 1. Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te 2 A B a A + 3 B. 2 A B = = = = A + 3 B = = = =

20 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Jsou da ny matice A = , B = Urc ete A B a B A. A B = = B A = = A B = B A Matice A a B jsou zame nitelne.

21 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te: a) A B b) A Řešení a) A B = = = 0 Z rovnosti A B = 0 nevyply va, z e by alespon jedna z matic A nebo B musela by t nulova. Nebo jinak: souc inem dvou nenulovy ch matic mu z e by t nulova matice. Řešení b) A = A A = = = A Z rovnosti A A = A ( A = A ) nevyply va, z e by matice A musela by t jednotkova nebo nulova.

22 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Jsou da ny matice A = , B = , C = Vypoc te te A B a A C. A B = = A C = = Z rovnosti A B = A C nelze c init za ve r, z e B = C. Při násobení matic proto nemůžeme krátit.

23 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te A B. A B = = = Jsou da ny matice C = , D = Vypoc te te C D. C D = =

24 Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Je da na matice A = Vypoc te te A. A = A A A A A = (A A) {(A A) A} = = = = = Jsou da ny matice B = , C = Vypoc te te B C C B. B C C B = = = =