7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace"

Transkript

1 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší dokoale pozat chováí výběrového průměru X a výběrového rozptylu s. Musíme podotkout, že a rozdíl od skutečých parametrů µ ( středí hodota ) a s ( rozptyl ), které sou kostatami ( ovšem pro ás většiou ezámé ), sou výběrový průměr i výběrový rozptyl áhodé veličiy. Defiice 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace. Náhodou veličiu X defiovaou ako X = i= X i xi i= budeme azývat výběrovým průměrem. Jeho realizací bude hodota x =, symboly x i sou realizace áhodých výběrů. Defiice 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace. Náhodou veličiu s defiovaou ako s =. ( i ) ( ) X X (7.) i= azveme výběrovým rozptylem. Tvrzeí 7.3 Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace, která má středí hodotu rovou µ a směrodatou odchylku rovou s. Potom má výběrový průměr X středí hodotu µ a σ rozptyl rove. Důkaz: Xi E( Xi) i= i=. µ Středí hodota e lieárí tedy E( X) = E = = = µ, Počíteme dále rozptyl X tedy Xi VAR X i VAR( Xi) i= i= i=. σ σ VAR ( X ) = VAR = = = =. Z těchto vlastostí vyplývá, že čím větší bude rozsah výběru, tím se bude výběrový průměr více přimykat k skutečé středí hodotě µ. (7.)

2 Tvrzeí 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace, která má středí hodotu rovou µ a směrodatou odchylku rovou s. Potom výběrový rozptyl s má středí hodotu rovou s 3 a rozptyl rove výrazu VAR ( s ) =. µ. σ, kde µ e čtvrtý cetrálí momet populace. Důkaz: s =. ( Xi µ ). ( X µ ) =. ( Xi µ ). ( Xi µ ).( X µ ) i= = i=.( ) i Z těchto vztahů vyplývá, že E(s ) = s. Bez úmy a obecosti předpokládeme, že µ=. Potom platí, VAR(s ) = E( s E(s )) = E(s - s ) = E(s ). E(s ) + E(s ) = E(s ) - s. Bude pro výpočet rozptylu klíčové určit hodotu E(s ). X i i= E( s ) =. E X. X. E X. X. X. i = i + i i = ( ) i= ( ) i= i= i= =. E... Xi Xi Xi + X i ( ) i= i= i=, provedeme výpočet i= edotlivých čleů tohoto součtu:.čle:. ( ) E Xi = E Xi + E( Xi ). E( X ) =. µ +. σ. σ =. µ +. ( ). σ i= i= i.čle: E Xi. Xi = E X + + X + XiX. Xi = E Xi + i= i= i i= i= + E XiX. Xi =. µ +. ( ). σ i i=, protože druhý čle v součtu e rove ule. 3. čle: E Xi = E Xi + XiX = E Xi +. Xi. XiX + XiX = i= i= i i= i= i i =. µ +. (. ) σ (. ) σ. Celkově e tedy VAR(s ) rove µ + 3.( ). σ VAR ( s ) =.. µ +.( ). σ. µ.( ). σ + σ = ( ) 3 =. µ. σ. Tedy výběrový rozptyl má podobé vlastosti ako výběrový průměr, při zvětšuícím se počtu čleů áhodého výběru se stále těsěi přimyká ke skutečé hodotě s. Pokud bychom využili edo velmi výzamé tvrzeí teorie pravděpodobosti cetrálí limití

3 větu - získali bychom dokoce více iformací, výběrový průměr se bude stále více přibližovat k ormálímu rozděleí. Více si uvedeme v další části. 7. Tvar rozděleí výběrového průměru. V úvodí části této kapitoly sme uvedli ěkteré výzamé vlastosti výběrového průměru a rozptylu. Na ásleduícím příkladě budeme ilustrovat edu speciálí vlastost výběrového průměru estliže e populace ormálí ( lze i popsat ormálím rozděleím ) ebo estliže e počet čleů áhodého výběru dostatečě veliký, pak e rozděleí výběrových průměrů vždy zhruba ormálí. Příklad 7.5 V tomto příkladu budeme ilustrovat vlastosti výběrového průměru a výběrech postupě z alterativího rozděleí s pravděpodobostí,7 a a výběrech z Poissoova rozděleí s parametrem l =,7. Alterativí rozděleí Hodota průměru e rova,7. výběr prvku,8,7,6,5,,3,, výběr prvků,5,,5,,5,5,5,5,35,5,55,65,75,85,95,5

4 výběr 5 prvků,,,,8,6,,,,8,,,6,3,38,,5,56,6,68,7,8,86,9,98 výběr 5 prvků,8,7,6,5,,3,,,66667,6,33333,666667,,733333,366667,38,333333,866667,5, , Poissoovo rozděleí Hodota průměru e opět rova,7,7, ,866667,86,933333, výběr prvku,6,5,,3,,

5 výběr prvků,6,,,,8,6,,,,,3,,5,6,7,8,9,,,3,,5,6,7,8,9 výběr 5 prvků,8,7,6,5,,3,,,6,,8,,3,36,,8,5,6,66,7,78,8,9,96 výběr 5 prvků,5,,35,3,5,,5,,5,5,,6,,7,3,37,3,8,53,59,6,69,75,8,85,9,96 Na všech těchto grafech e vidět zřetelé přiblížeí k ormálímu rozděleí, dokoce i pro Poissoovo rozděleí, které má hodoty pravděpodobostí fukce v bodech eulových klesaící. Je tedy zřemé, že ormálí rozděleí e dobrým modelem pro zaky, které sou kvatitativího charakteru, za předpokladu, že záme typ rozděleí populace. Na předchozích grafech sou patré ěkteré zvláštosti : a) Všechy histogramy sou soustředěy kolem edé hodoty ( skutečého průměru )

6 b) Čím e větší áhodý výběr, tím e kocetrace kolem této hodoty větší c) S rostoucím počtem čleů áhodého výběru se daé histogramy stále více přibližuí k ormálímu rozděleí Provedeme li áhodý výběr z populace, získáme většiou hodoty velmi odlišé velikostí, takže výsledá hodota výběrového průměru bude mít hodotu poblíž skutečého středu původího rozděleí. Při velkém počtu takovýchto výběrových průměrů bude eich rozděleí užší ež původí rozděleí a bude se kocetrovat kolem steé hodoty. Můžeme tedy očekávat, že čím větší bude áhodý výběr tím blíže budeme k očekávaé středí hodotě a tím více bude daé rozděleí užší. V Tvrzeí 7.3 sme dokázali, že směrodatá odchylka výběrového průměru e rova směrodaté odchylce původí populace vyděleé druhou odmociou z počtu čleů výběru. Budeme li provádět výběr z malé populace, která má N čleů a pozorováí budeme provádět bez vraceí ( áhodé výběry iž ebudou ezávislé ), musíme provést eště korekci směrodaté odchylky výběrového rozděleí. Skutečou směrodatou odchylku zistíme tak, N že směrodatou odchylku výběrového průměru ásobíme koeficietem, kde e N počet prvků výběru. Všiměme si, že v případě = e koeficiet rove ; aopak estliže = N potom e koeficiet rove ule, což e v pořádku, eboť v tomto případě e výběr totožý s populací a tedy rozptyl výběrového průměru musí být rove ule. Jestliže N e mohem větší ež, e koeficiet přibližě rove ule a proto se emusí uvažovat! 7. Bodový odhad Náš cíl e zistit pro edotlivé parametry populace dobré odhady. Právě slovo dobré se budeme v této kapitole sažit ozřemit. Nedříve uvedeme sadu defiic, v ichž zavedeme základí pomy. Defiice 7.6 Nechť = { X,, X } e áhodý výběr z populace popsaé rozděleím f(x,q) ( popsaé pomocí hustoty ) a realizovaý hodotami x = { x,, x }. Potom každou fukci T = T( X,, X ) pomocí které budeme odhadovat ezámý parametr q populace, budeme azývat výběrovým odhadem parametru q. Každou takovouto fukci T azýváme také statistikou. Defiice 7.7 Nechť statistika T e odhadem parametru q, estliže platí E(T ) =, potom azýváme statistiku evychýleým odhadem parametru q. Jestliže platí E(T ) > q, pak azveme teto odhad kladě vychýleým. Jestliže platí E(T )< q azveme odhad záporě vychýleým. Příklad 7.8 Ověřme vlastosti odhadů X a s. Důkaz: Na základě tvrzeí 7.3 a 7. můžeme prohlásit, že X e evychýleým odhadem parametru m a s e evychýleým odhadem parametru s. Je zřemé, že při kostrukci odhadů parametrů q se zaměřueme především a odhady, které sou estraé. Vlastost estraosti e přirozeá, ale ze skupiy takovýchto odhadů e třeba vybrat takové odhady, které budou přirozeě co elepší. Ukazue se, že ako měřítko správosti volby odhadu e třeba split i ásleduící podmíku. Defiice 7.9 Odhad T parametru q budeme azývat kozistetím odhadem, estliže pro libovolé ε > platí

7 ( ) lim P T θ ε = (7.3) Teto požadavek a bodový odhad zaručue malou pravděpodobost velké chyby v odhadu parametru q, estliže e rozsah výběru dostatečě veliký. 7.3 Itervaly spolehlivosti Již v předchozí kapitole sme si obasili pricipy bodového odhadu parametru vyšetřovaé populace. Zistili sme, že takovéto odhady maí edu společou vlastost, závisí a áhodém výběru uskutečěém ve vyšetřovaé populaci. Proto se při zkoumáí ezámých parametrů populace zaměřueme a iý způsob odhadu, a itervalový odhad. Pricipem itervalového odhadu parametru základího souboru e ve většiě případů ěaký vhodý bodový odhad, který má vlastosti ěkteré zámé áhodé veličiy. Právě a takové áhodé veličiě e potom kostrukce tohoto itervalu závislá Itervalový odhad středí hodoty při zámé směrodaté odchylce populace V této a ásledé kapitole budeme předpokládat, že populace e ormálě rozložeá t. e popsáa ako rozděleí N( m, s ). V tomto případě e hodota s záma. Podle tvrzeí 7.3 σ e výběrový průměr X áhodá veličia se středí hodotou m a rozptylem. Dále z předpokladu ormality populace e možo vyvodit, že i výběrový průměr e typu ormálího rozděleí. Tedy σ X N µ, (7.) Toto zištěí má zásadí výzam pro kostrukci itervalu I, o kterém chceme tvrdit, že hledaá středí hodota m v ěm leží s předepsaou pravděpodobostí. Zvolíme li si pravděpodobost p, pak teto hledaý iterval bude σ σ X u + p., X + u + p., (7.5) kde hodota u + p e rova ( + p ) tému kvatilu ormovaému ormálímu rozděleí N(,). Tyto hodoty většiou odečítáme z tabulek distribučí fukce tohoto rozděleí. Takto zkostruovaému itervalu říkáme oboustraý iterval spolehlivosti pro středí hodotu ebo také α. % oboustraému itervalu spolehlivosti. Při běžé praxi se evíce používaí hodoty α rovy,9 ;,95 ;,99 ;,995. Příslušé kvatily k těmto hodotám uvádíme v ásleduící tabulce : Tabulka 7. p u +,9,65,95,96,99,58,995,8 p

8 Příklad 7. Výrobce určitého výrobku udává rozměr délky m se směrodatou odchylkou,5 metru. U 5 áhodě vybraých výrobků sme při přeměřeí zistili přesou délku a vypočetli sme výběrový průměr této délky. Předpokládeme, že rozměr výrobku e popsá ormálím rozděleím. a) Sestrome oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu m b) Sestrote pravostraý 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu m Řešeí: a) Využieme výraz (7.), kde postupě dosazueme hodoty X =,99; σ =,5; = 5; u,975 =,96, řešeím e tedy iterval:,97 < m <, b) Při kostrukci pravostraého itervalového odhadu hledáme iterval ( -, c ), který má steé vlastosti ako iterval oboustraý t. hodota m bude prvkem tohoto itervalu s předepsaou pravděpodobostí p. Teto iterval se potom sestroí podle ásleduícího předpisu σ, X + u p. (7.6) Pokud bychom chtěli sestroit levostraý itervalový odhad parametru m použili bychom steé metody a získali bychom iterval σ X u p., + (7.7) Pokud tedy chceme sestroit pravostraý itervalový odhad, dosazueme do vztahu (7.6) iž zámé hodoty a dále u,95 =,6. Získáme tedy ásleduící odhad - < m <,6 Příklad 7. Kolik rostli bychom museli vybrat, abychom odhadli středí hodotu výšky rostliy s přesostí a,5 cm a hladiě výzamosti 95%, předpokládáme li směrodatou odchylku výšky rostli 8 cm? Řešeí: Přesostí e v tomto případě myšlea velikost poloviy oboustraého itervalového odhadu, de tedy o číslo. σ = u + p (7.8) hledáme tedy přirozeé číslo takové, že platí u + p. σ. Dosadíme hodoty σ = 8; =,5; u,975 =,96získáme, 96.8 =983,96,5 tedy k dosažeí požadovaé přesosti bychom museli vybrat aspoň 98 rostli.

9 7.3. Itervalový odhad při ezámé směrodaté odchylce populace Ve většiě reálých situací budeme spíše postavei před situaci, kdy hodotu s ezáme, proto emůžeme také využít vzorců (7.5) (7.7). V této situaci si pomůžeme pomocí defiice studetova rozděleí, které bylo defiováo v podstatě ako podíl rozděleí N(,) a odmociy z rozděleí c. Jestliže toto tvrzeí využieme, platí X µ t (7.9). s Tohoto vztahu využieme pro kostrukci itervalových odhadů ezámé středí hodoty m : a) Oboustraý odhad: s s X t ;., X + t ;. + p + p (7.) b) Pravostraý odhad: s, X + t ; p. (7.) c) Levostraý odhad: s X t ; p., + (7.) Všiměme si, že v těchto itervalových odhadech používáme studetovo rozděleí ( defiovaé v kapitole 3. ), protože ale pracueme s výběrovou směrodatou odchylkou s a tím veseme do ašich výpočtů eistotu, e uté sížit počet stupňů volosti u tohoto rozděleí a -. Pro dostatečě velké ( > ) ahrazueme studetovo rozděleí rozděleím N(,). Příklad 7. Ve 36 prodeách byl akoupe vždy steý výrobek. Byla zištěa hodota výběrového průměru 8 7 Kč a hodota výběrové směrodaté odchylky 53 Kč. a) Sestrote oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro průměrou ceu výrobku b) Nalezěte mez, o které lze s 9% pravděpodobostí tvrdit, že i průměrá cea epřekročí. Řešeí: a) K vlastímu výpočtu použieme vztah (7.). Budeme potřebovat hodoty: X = 87; s = 53; = 36; t35;,975 =,39 tedy ,3. < µ < 87 +, ,67 < µ < 899,33 b) Protože pro hodotu m hledáme horí mez použieme vztahu (7.). Jediou hodotu, kterou potřebueme k výpočtu e t 35;,95 =, 69. Dosadíme tedy hodoty do vzorce a máme výsledek: m < 8 889,5. Příklad 7.3 Z ročíku byl vybrá áhodý výběr studetů a zištěy výsledky testů ze statistiky : 6,86,89, a 77. Vypočítete 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu celého ročíku. Řešeí:

10 Zistěme opět hodoty, které budeme potřebovat X = 7; s = 3,7; = ; t3;,975 = 3,8. Dosadíme tyto hodoty do vztahu (7.) a máme 56 < m < 9. Vidíme, že výsledý odhad e velmi široký, což e způsobeo tím, že výběr e velmi malý Itervalový odhad středí hodoty pro biomické rozděleí Protože biomické rozděleí Bi(;p) eí svým typem ormálí, e uto vycházet při kostrukci itervalových odhadů z iých předpokladů. Takovéto itervalové odhady můžeme kostruovat buď pomocí přiblížeí biomického rozděleí rozděleím beta ebo aproximací rozděleím ormálím. V této části se budeme zásadě zabývat aproximací ormálím rozděleím. Takovouto aproximaci můžeme provést tehdy, když platí.p.(-p) > 9 (7.3) Budeme tedy v dalším předpokládat, že e tato erovice splěa a potom e správým oboustraým itervalovým odhadem a hladiě výzamosti a: p.( p) p.( p) P u + α. < p< P+ u + α. (7.) hodota p e skutečá hodota parametru biomického rozděleí a hodota P e eí odhad. Protože takovýto oboustraý itervalový odhad parametru p závisí a tomto parametru samém používáme eště další aproximace P.( P) P.( P) P u + α. < p< P+ u + α. (7.5) Aby teto iterval byl dobrou aproximací, musí být rozsah výběru dostatečě velký, aby alespoň v 5 případech ev astal a v pěti případech eastal. Podobě ako v případě z části 7.3. můžeme provádět kostrukci levostraých a pravostraých itervalových odhadů. Použieme k tomu výsledky uvedeé ve vztazích (7.6) a (7.7). Na ásleduícím grafu sou vyesey případy odhadů horích a dolích mezí itervalů pro biomické rozděleí pro případ p=,7 a hodoty a =,95. Všiměme si. Itervaly takto sestroeé esou symetrické kolem hodoty P.,9,8,7,6,5,,3 = = = = = = =3 =3,,,5,,5,,5,3,35,,5,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95

11 Příklad 7. Může politická straa, pro kterou se vyslovilo při předvolebím výzkumu 6 z dotázaých, očekávat se spolehlivostí 95%, že by v této době ve volbách překročila 5% hraici? Řešeí: Náš úkol e odhadout hledaou pravděpodobost zdola, budeme proto provádět 6 levostraý itervalový odhad. Hodota P =,6 = a hodota u,95 =,65. Tedy P.( P) p> P uα., 6.(, 6) p >,6,65. =,6, =,8 Protože teto iterval obsahue i hodoty ižší ež,5, elze vyloučit, že straa získá meší preferece ež 5%. Příklad 7.5 Marketigová firma chce s 95% spolehlivostí odhadout podíl domácostí, které by měly záem a zavedeí kabelové televize. Jak velký rozsah áhodého výběru domácostí musí zvolit, aby ebyla 5%? Řešeí: Hledaý podíl domácostí ozačme p. Přípustá chyba e rova hodotě p.( p) u +α.. Jestliže parametr p ezáme musíme hodotu chyby odhadout tím, že zistíme, pro které hodoty bude evětší. Je možé zistit, že evětších hodot abývá pro p=,5. Tedy potom bude platit u +α.,5.,5,96.,5.,5 38 chyba,5 Je tedy uto oslovit aspoň 38 domácostí. Pokud bychom měli bližší iformace o hodotě p, mohli bychom počítat uvedeou hodotu přesěi.

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Aplikovaná statistika v průmyslu

Aplikovaná statistika v průmyslu Aplikovaá statistika v průmyslu Úvod... Popisá statistika... 3. Základí pomy... 3. Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem... 4.3 Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky... 5.4 Statistické

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

NMSA331 Matematická statistika 1

NMSA331 Matematická statistika 1 NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více