VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ"

Transkript

1 Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x R + } 2. Úloha smíšeě-celočíselého programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x Z +, y R + p } 3. Úloha celočíselého programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x Z + } 4. Úloha bivaletího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x B + } 5. Úloha smíšeě-celočíselého bivaletího programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x B +, y R + p }, B = {,1} VLASTNOSTI ÚLOH Možia přípustých řešeí úlohy IP: S = {x Z +, Ax b} Možia přípustých řešeí úlohy LP: P = {x R +, Ax b} Možiou přípustých řešeí je kovexí polyedr (pokud tato možia omezeá, azývá se polytop). Možia přípustých řešeí IP je průikem možiy přípustých řešeí LP a Z + : S = P Z +. (tzv. mřížové body). Bod x є R je kovexí kombiací bodů z možiy S, pokud existuje možia bodů {x 1, x 2,,x t } z S a t parametry λ 1, λ 2,, λ t є R takové, že i 1: x x 1 x 2 t t x i1 Kovexí obal možiy S je možia všech bodů, které jsou kovexí kombiací bodů z S: S cov(s) P. Je to ejmeší možia S, která celou možiu S obsahuje. Následující obrázek zachycuje možiu bodů a její kovexí obal. Zdroj: Platá erovost k možiě S je taková erovost, která obsahuje kovexí obal z možiy S a také body z možiy S: πx π, x S. Platých erovostí je ekoečě moho. Každá platá erovost je charakterizováa koeficiety (π, π ). Jestliže existuje λ > takové, že π λπ a π λπ, pak je platá erovost π x π silější ež platá erovost πx π. Maximálí platá erovost je taková platá erovost, ke které eexistuje silější platá erovost. {x R +, π x π } {x R +, πx π }. Leka Fiřtová (214)

2 Vlastosti úloh celočíselého programováí Opěrá erovost je taková erovost, pro kterou platí: x S, x, tz. existuje alespoň jede bod z možiy S, pro který je to splěo jako rovost. Fazeta (opěrá stěa) leží v kovexím obalu S a prochází krajem kovexího polyedru. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ Chceme formulovat platou erovost vzhledem k možiě S, která eí platá vzhledem k možiě P. Existuje ěkolik možostí, jak to udělat, apříklad zesilováí erovostí s využitím dělitelosti, liftig, fixig, přidáváí dalších platých erovostí či Gomoryho erovosti. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ S VYUŽITÍM DĚLITELNOSTI Diofatova věta říká: echť x x... x, celé, i,1,..., i Pak existuje celočíselé řešeí právě tehdy, když ejvětší společý dělitel koeficietů π 1, π 2 π dělí π. Máme-li erovost π 1x 1 + π 2x 2 π x π a ozačíme-li k ejvětšího dělitele π 1, π 2 π, můžeme zpřísit erovost tak, že ji vydělíme k a pravou strau pak zaokrouhlíme dolů (Chvátal-Gomoryho metoda). Například v rovici 3x 1 + 6x 2 14 je ejvětším společým dělitelem 3. Vydělíme-li celou rovici třemi a pravou strau zaokrouhlíme dolů, dostaeme zpřísěou erovost x 1 + 2x 2 4. LIFTING spočívá v zesilováí erovostí. Například: Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Pro i = 1, 2,, postupě astavujeme x i = 1 a zjišťujeme, o kolik ( b ) lze ještě sížit pravou stray erovice, aby edošlo ke změě možiy přípustých řešeí. Potom koeficiet u x i zvýšíme o b. Když astavíme x 1 = 1, pak lze úvodí erovost přepsat jako 5x 2 + 6x 3 + 8x 4 9. Můžeme sížit pravou strau o 1, aiž by se změila možia přípustých řešeí. Zvýšíme tedy koeficiet u x 1 o 1. Totéž uděláme pro zbylá x i. Výsledkem je liftovaá (zesíleá) erovost. V dalším příkladu můžeme zesílit erovost tak, že sížíme hodoty koeficietů celočíselých proměých a hodotu pravé stray. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Leka Fiřtová (214)

3 Vlastosti úloh celočíselého programováí FIXING spočívá také v úpravě existujících erovostí, a to pomocí zafixováí hodot určitých proměých. Například v úloze 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 15x 4 2, kde jsou všechy proměé biárí, emůže být ikdy x 4 rovo 1 (erovost by ikdy emohla být splěa), takže jej zafixujeme a ule. Naopak v úloze 2x 1 + 5x 2 + x 3 8x 4 7 s biárími proměými musí být x 1 = 1, jiak by emohla být erovost ikdy splěa, takže jej zafixujeme a 1. PŘIDÁVÁNÍ DALŠÍCH PLATNÝCH NEROVNOSTÍ Gomoryho řez: Máme rovici ve tvaru: j x j j 1 Zvolíme si libovolé celé kladé číslo d., j Koeficiety π j lze vyjádřit ve tvaru: j j d j, kde j, a π j je celočíselý d zbytek po děleí čísla π j číslem d z itervalu <; d). Rovici lze tedy přepsat jako : ( jd j) x j d d j1 j x j j x j j1 j1 Levá straa je celé číslo (celočíselý ásobek d). Proto i pravá straa musí být celé číslo, a to kladé: vpravo emůže být d, 2d jelikož záporé je zde pouze π, které je z defiice meší ež d, eboť jde o zbytek po celočíselém děleí pravé stray číselm d. Takže výraz j1 j x j a stejě tak výraz j1 Gomoryho zlomková erovost: j1 jx j. Platí tedy:, j x j Gomoryho celočíselá erovost: j x j j 1 Příklad: máme rovici 37x 1 68x x 3 + 1x 4 = 141, kde jsou všechy proměé celočíselé. Zvolíme d = 12. Pak 37 = , 68 = , 78 = , 1 = 12+1, 141 = Gomoryho zlomková erovost: x 1 + 4x 2 + 6x 3 + x 4 9 Gomoryho celočíselá erovost: 3x 1 6x 2 + 6x 3 11 Leka Fiřtová (214)

4 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEŠENÍ ÚLOH IP A MIP V určitých případech lze použít simplexovou metodu. V í získáme vektor hodot proměých jako B - 1 b. Pokud je b celočíselý vektor, pak celočíselost tohoto výrazu bude zajištěa tehdy, pokud je B -1 celočíselé. Platí, že: adj B B 1 det B B adj je adjugovaá matice báze, detb lze získat jako souči všech klíčových prvků od začátku výpočtu simplexovou metodou. Z tohoto vztahu je patré, že celočíselost bude zaručea pouze tehdy, pokud detb = ± 1. V opačém případě elze simplex použít. Předpokládejme, že strukturí koeficiety a hodoty pravých stra jsou celočíselé. Základí řešeí úlohy LP jsou celočíselá, jestliže pro všechy regulárí matice B platí, že detb = ± 1 (tz. matice B je uimodulárí). To platí apříklad pro tokové úlohy či dopraví problém. Pak lze použít simplexovou metodu. RELAXACE T Máme úlohu celočíselého programováí: zip max{ c x : x S}, S { x Z : Ax b} Relaxace úlohy celočíselého programováí je úloha: zr max{ zr( x) : x SR}, S SR, T c x zr (x) pro x S. Hodota zr je horím odhadem z IP. Lieárí relaxace je úloha LP bez podmíek celočíselosti: T 1) zlp max{ c x : x P}, P { x R : Ax b} T 2) zq max{ c x : x Q}, S { x Z : Ax b}, cov( S) Q Lagrageova relaxace je úloha, kterou získáme z úlohy IP tak, že soustavu omezeí Ax b rozdělíme a dvě soustavy, Ax b : 1 1 A x b m 1 omezujících podmíek 2 2 A x b m 2 omezujících podmíek, 1 1 a omezující podmíky A x b přesueme do účelové fukce: T T 1 1 m1 z(, x) c x ( b A x), x R, kde λ je vektor Lagrageových multiplikátorů. Lagrageova relaxace je tedy úloha ve tvaru LR(λ): 2 2 zlr( ) max{ z(, x) : A x b, x Z}. Výzam Lagrageovy relaxace je te, že když odstraíme erovosti 1 1 A x b z omezeí m1 úlohy při vhodé volbě těchto omezeí, je úloha LR(λ) sado řešitelá. Pro každé R je zlr() horím odhadem optimálí hodoty účelové fukce. Chtěli bychom přirozeě ajít co ejmeší číslo z LR() pro λ. Formulujeme tedy Lagrageovu duálí úlohu z LD mi z LR ( ). Leka Fiřtová (214)

5 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEZNÝCH NADROVIN Tyto metody se hodí pro IP a MIP (e pro bivaletí úlohy). Patří sem Gomoryho metoda. Uvažujme úlohu s možiou přípustých řešeí S { x Z : Ax b}. Možia přípustých řešeí této úlohy bez podmíek celočíselosti je P { x R : Ax b}. Všechy krají body možiy cov(s) jsou celočíselé, ale většiou růzé od krajích bodů možiy P. Platí: S cov(s) P. Chtěli bychom odstrait z možiy P body, ležící v P cov(s) tak, aby krají body vziklé možiy byly již celočíselé. To se dělá pomocí přidáváí platých erovostí vzhledem k S a cov(s). 1. Vyřešíme úlohu IP bez podmíek celočíselosti (lieárí relaxací), běžě simplexovou metodou. Pokud tak ajdeme celočíselé řešeí, výpočet kočí. 2. Pokud e, přidáme omezeí, které odříze z možiy přípustých řešeí ějakou podmožiu. Nesmíme však přitom přijít o žádé přípusté celočíselé řešeí. Vybereme proměou, jejíž hodota v optimálím řešeí esplňuje podmíku celočíselosti. Všechy hodoty pravých stra simplexové tabulky lze vyjádřit jako β i = [β i] + π i, kde [β i] je ejbližší ižší celé číslo k hodotě β i,, a π i je tedy z itervalu <; 1). Vezmeme řádek simplexové tabulky, kde je hodota π i ejvětší, a z tohoto řádku vytvoříme Gomoryho erovost j Nerovost vyrováme a rovici j m 1 j j m1 m 1, ( ). j x j, ( ) x x a přidáme ji do simplexové tabulky jako další řádek, přičemž proměá x +m+1 bude základí proměou v tomto ově přidaém řádku. 3. Protože hodota π je záporá, řešíme úlohu duálě simplexovou metodou do optima. Pak se opět podíváme, jestli je řešeí celočíselé. Pokud e, postup přidáme další erovost atd. až do alezeí celočíselého řešeí. Například mějme ásledující optimálí eceločíselé řešeí úlohy zákl. proměé x1 x2 x3 x4 bi x1 1 2/5-3/5 8/5 x2 1-1/5 4/5 11/5 zj 1/5 6/5 49/5 Zdroj: Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely (29). r 1 = 3/5 (8/5 = 1 + 3/5) a r 2 = 1/5, takže vezmeme prví řádek a vytvoříme omezeí ve tvaru 2/5x 3 2/5x 4 + x 5 = 3/5, které přidáme do tabulky. Ta se tudíž rozroste o jede řádek a jede sloupec. Dále řešíme duálě simplexovou metodou. Jde o epolyomiálí algoritmus a eí příliš efektiví, protože počet přidaých řádků a proměých rychle arůstá. Software většiou používá metodu větveí a mezí. Leka Fiřtová (214)

6 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODA VĚTVENÍ A MEZÍ Tato metoda patří mezi kombiatorické metody. Nejprve se vypočte optimálí řešeí bez uvažováí podmíek celočíselosti (simplexem). Pokud je celočíselé, výpočet kočí. Jiak se z možiy přípustých řešeí vytvoří dvě podmožiy, a to tak, že se vezme ěkterá eceločíselá proměá x k, a prví podmožia se rozšíří o podmíku x, zatímco druhá o podmíku k x 1 x. k x k k V každé z těchto podmoži se vypočte optimálí řešeí a případě se tyto podmožiy dále rozvětví atd. Zároveň se v každé vziklé větvi odvozuje horí mez (při maximalizaci) pro hodotu účelové fukce celočíselého řešeí. Každá větev musí být uzavřea jedím ze tří způsobů: 1. je v í alezeo řešeí vyhovující podmíkám celočíselosti, 2. eexistuje v í přípusté řešeí, 3. je v í alezeo eceločíselé řešeí, ale horí mez pro hodotu účelové fukce odvozeá z tohoto řešeí je ižší ež hodota účelové fukce celočíselého řešeí z dříve prohledaých větví. Algoritmus (uvažujeme maximalizačí úlohu) M posloupost, v íž se acházejí úlohy, které řešíme v jedotlivých větvích x*, z* - ejlepší alezeé celočíselé řešeí, ejlepší hodota účelové fukce 1. krok: počátečí astaveí M = {původí úloha bez podmíek celočíselosti} * z x* - eí defiováo 2. krok: výběr úlohy M je prázdá koec, tisk x*, z* M eí prázdá vybereme z poslouposti M posledí úlohu 3. krok: řešeí vybraé úlohy a) eexistuje přípusté řešeí odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok b) optimálí řešeí x, z : B1) z z* odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok B2) B3) z z*, x celé x*=x, z*=z odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok z z*, x eí celé 4. krok (větveí) 4. krok: větveí Zvolíme větvící proměou x k, jejíž hodota xk eí celé číslo do M přidáme kopii úlohy řešeé ve 3. kroku, ke které přidáme omezeí I: x k x k k k předposledí úloze v M, řešeé ve 3. kroku přidáme omezeí II: x x 1 2. krok k Leka Fiřtová (214)

7 Vlastosti úloh celočíselého programováí Existují růzé doplňující strategie ohledě toho, jakým způsobem procházet uzly stromu řešeí (v jaké poslouposti úlohy řešit). Mohou se vybrat uzly v pořadí, v jakém byly vytvářey (zleva doprava), ebo podle ejvyšší horí hraice účelové fukce, ebo se zpracovávají po vrstvách stromu (1. vrstva, pak 2. vrstva, ), výběr uzlů podle Existují i doplňující postupy pro výběr větvící proměé, apř. výběr proměé, která je ejblíže poloviě dvou celých čísel. Kombiací metody větveí a mezí a řezých adrovi je metoda Brach ad cut, metoda větveí a řezů. V í se přidávají řezy, dokud lze alézt platé omezeí, ebo do okamžiku, kdy přidáváí dalších řezů již emá výrazý vliv a hodotu účelové fukce, a pak ásleduje větveí. Díky tomu evzike tolik větví. Pro úlohy IP s velkým počtem proměých, kde je v optimálím řešeí je je malý podíl proměých eulový, se hodí metoda Brach ad Price, větveí a oceňováí. Leka Fiřtová (214)

8 Vlastosti úloh celočíselého programováí Leka Fiřtová (214)

9 Vlastosti úloh celočíselého programováí VÝPOČETNÍ SLOŽITOST ÚLOH Moho úloh většího rozsahu eumíme řešit v rozumém výpočetím čase. Rozsahem úlohy se rozumí počet proměých a počet omezeí, v teorii grafů pak počet uzlů a hra. Efektiví algoritmus je takový algoritmus, kterým dokážeme úlohu vyřešit v rozumém výpočetím čase. Výpočetí čas se měří počtem elemetárích operací fiktivího počítače. Výpočetí složitostí úlohy f() se myslí maximálí výpočetí čas pro všecha číselá zadáí úlohy o rozměru (čas se liší i podle kokrétích čísel v úloze). Přesý tvar fukce f() eí třeba zát, většiou zjišťujeme asymptotický charakter růstu fukce. Hledáme fukci g() = O(f()). To zameá, že existuje kostata c taková, že pro všecha přirozeá platí f() c g(). Pokud je g() apř. 2, 3, log(), je růst výpočetího času polyomiálí, jde o polyomiálí algoritmus. Pokud je g() apř. e,2,!, jde o epolyomiálí algoritmus. Například simplex epatří mezi polyomiálí algoritmy. g() = (O(f()) je tzv. Omikro otace, horí odhad. Dále se ěkdy používá Theta otace g() = (Θ(f()), což je průměrý odhad, či Omega otace g() = (Ω(f()), což je dolí odhad. g() = 1 = 3 = 5 = 7 2,1 s,3 s,5 s,7 s 3,1 s,27 s,125 s,343 s 5,1 s 24,3 s 5,2 mi 28 mi 2,1 s 17,9 mi 35,7 roků 37 mil. roků 3,59 s 6,5 roku 2,3 x 1 1 roků 1 13 mil. roků Výpočetí složitost. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Existují 4 základí třídy úloh: P, NP, NPC a NPH. Třídu P tvoří úlohy, pro které existuje polyomiálí algoritmus. Sem patří úlohy lieárího programováí, hledáí miimálí kostry grafu, maximálího toku, ejkratší cesty, přiřazovací problém či hledáí odpovědi a otázku, jestli v grafu existuje Eulerův cyklus. Třídu NP tvoří rozhodovací úlohy typu ANO/NE. Jsou to úlohy, pro které existuje edetermiistický polyomiálí algoritmus, který tuto úlohu řeší ve dvou fázích: 1. vygeeruje se áhodě ějaké řešeí, a jehož existeci se ptáme v daé úloze. 2. ověří se, jestli je toto řešeí hledaým řešeím daé úlohy, a to polyomiálím algoritmem. Tímto polyomiálím algoritmem tedy je ověříme, jestli vygeerovaé řešeí je právě tím řešeím, o jehož existeci se má rozhodout. Jde spíše o teoretickou kostrukci k vymezeí úloh NP. Patří sem apříklad otázka, jestli existuje Hamiltoův cyklus. Máme sezam hra a uzlů grafu. Vybereme ějaký sezam hra a ptáme se, jestli tvoří Hamiltoův cyklus. To lze ověřit polyomiálím algoritmem. K defiici úloh třídy NPC je třeba zavést pojem polyomiálí redukovatelost. Úloha A je polyomiálě redukovatelá a úlohu B, jestliže existuje zadáí úlohy B takové, že z výsledku řešeí úlohy B lze odvodit řešeí úlohy A. Toto odvozeí musí být realizováo polyomiálím algoritmem. Úloha A je speciálím případem úlohy B. Úloha B je obecější, a tedy i obtížější. Třída NPC obsahuje takové úlohy L z NP, pro kterou platí, že každá úloha z NP se dá redukovat a úlohu L. Je-li úloha A NP-úplá a úlohu A lze redukovat a úlohu B z NP, pak i B je NP-úplá úloha. Chceme-li dokázat, že úloha je NP-úplá, musíme ukázat, že tato úloha patří do třídy NP, a alézt NP-úplou úlohu, která se dá a daou úlohu redukovat (která je méě obtížá ež daá úloha). Patří sem apříklad úloha hledáí Hamiltoova cyklu, biárí forma úlohy batohu, set coverig problem Leka Fiřtová (214)

10 Vlastosti úloh celočíselého programováí Třída NPH je třída ejobtížějších úloh. Existuje-li pro úlohu ze třídy NPH polyomiálí algoritmus, pak je možé pomocí ěj polyomiálě vyřešit všechy úlohy z NP. Patří sem apříklad úloha obchodího cestujícího, batohu, Steierova stromu, celočíselé programováí. Zatím se eví, jestli NP = P ebo e (spíš asi e). Tahle otázka patří mezi Milleium Prize Problems. Kdo to vyřeší, dostae 1 USD. Pro zájemce viz Zdroj: Wikipedia.org Tedy: NP jsou všechy úlohy typu ANO/NE, u ichž můžeme v polyomiálím čase ověřit, zda áhodě vygeerovaé řešeí je hledaým řešeím úlohy. P jsou všechy úlohy, které mohou být v polyomiálím čase vyřešey. P jsou tedy podmožiou NP. Úloha z NP patří do NPC pouze tehdy, pokud se a i dá každý problém ze třídy NP redukovat (tz. pokud lze z řešeí této úlohy polyomiálě odvodit řešeí ostatích úloh v NP. To zároveň zameá, že pokud by ěkterou z úloh NPC bylo možé vyřešit polyomiálím algoritmem, pak by bylo možé vyřešit všechy úlohy v NP). NPH je skupia ejobtížějších úloh. Všechy NPC úlohy jsou zároveň NPH, ale e všechy NPH úlohy jsou NPC. ZDROJE: Ig. J. Fábry, Ph.D.: předášky 4EK314 Diskrétí modely, 211. Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely. Nakladatelství Oecoomica, Praha 29. Leka Fiřtová (214)

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj)

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj) Rozhodovací stromy Úloha klasifikace objektů do tříd. Top dow iductio of decisio trees (TDIDT) - metoda divide ad coquer (rozděl a pauj) metoda specializace v prostoru hypotéz stromů (postup shora dolů,

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje

Více

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ Ivestičí horizot IH: doba, po kterou má ivestor v daé ivestici vázáy své peíze. Při ivestici do dluhopisu jsme vystavei riziku změy výosů Uvažujme

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

UHK Fórum. Univerzita Hradec Králové Fakulta informatiky a managementu Informační management Databázové systémy II

UHK Fórum. Univerzita Hradec Králové Fakulta informatiky a managementu Informační management Databázové systémy II Popis fukcioality UHK Fóra pro předmět Databázové systémy II. Uiverzita Hradec Králové Fakulta iformatiky a maagemetu Iformačí maagemet Databázové systémy II uhkforum.mikmik.cz voborik@mikmik.cz Obsah

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

4.5.9 Vznik střídavého proudu

4.5.9 Vznik střídavého proudu 4.5.9 Vzik střídavého proudu Předpoklady: 4508 Miulá hodia: Pokud se v uzavřeém závitu měí magetický idukčí tok, idukuje se v ěm elektrické apětí =. Př. 1: Vodorově orietovaá smyčka se pohybuje rovoměrě

Více

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů Prezetace maturitího projektu a předmět iformatika Software pro tvorbu papírových modelů Adam Domiec 22. květa 200 Abstrakt Teto dokumet je o počítačovém programu pro ávrh papírových modelů. Popisuje jej

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

Instalační manuál inels Home Control

Instalační manuál inels Home Control OBSAH 1) Úvod... 3 2) Kofigurace chytré krabičky... 3 3) Nahráí aplikace do TV... 3 4) Nastaveí IP adresy do TV... 4 5) Nastaveí chytré krabičky pomocí SmartTV aplikace... 4 5.1) Půdorys (floorpla)...

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více