VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ"

Transkript

1 Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x R + } 2. Úloha smíšeě-celočíselého programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x Z +, y R + p } 3. Úloha celočíselého programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x Z + } 4. Úloha bivaletího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x B + } 5. Úloha smíšeě-celočíselého bivaletího programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x B +, y R + p }, B = {,1} VLASTNOSTI ÚLOH Možia přípustých řešeí úlohy IP: S = {x Z +, Ax b} Možia přípustých řešeí úlohy LP: P = {x R +, Ax b} Možiou přípustých řešeí je kovexí polyedr (pokud tato možia omezeá, azývá se polytop). Možia přípustých řešeí IP je průikem možiy přípustých řešeí LP a Z + : S = P Z +. (tzv. mřížové body). Bod x є R je kovexí kombiací bodů z možiy S, pokud existuje možia bodů {x 1, x 2,,x t } z S a t parametry λ 1, λ 2,, λ t є R takové, že i 1: x x 1 x 2 t t x i1 Kovexí obal možiy S je možia všech bodů, které jsou kovexí kombiací bodů z S: S cov(s) P. Je to ejmeší možia S, která celou možiu S obsahuje. Následující obrázek zachycuje možiu bodů a její kovexí obal. Zdroj: Platá erovost k možiě S je taková erovost, která obsahuje kovexí obal z možiy S a také body z možiy S: πx π, x S. Platých erovostí je ekoečě moho. Každá platá erovost je charakterizováa koeficiety (π, π ). Jestliže existuje λ > takové, že π λπ a π λπ, pak je platá erovost π x π silější ež platá erovost πx π. Maximálí platá erovost je taková platá erovost, ke které eexistuje silější platá erovost. {x R +, π x π } {x R +, πx π }. Leka Fiřtová (214)

2 Vlastosti úloh celočíselého programováí Opěrá erovost je taková erovost, pro kterou platí: x S, x, tz. existuje alespoň jede bod z možiy S, pro který je to splěo jako rovost. Fazeta (opěrá stěa) leží v kovexím obalu S a prochází krajem kovexího polyedru. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ Chceme formulovat platou erovost vzhledem k možiě S, která eí platá vzhledem k možiě P. Existuje ěkolik možostí, jak to udělat, apříklad zesilováí erovostí s využitím dělitelosti, liftig, fixig, přidáváí dalších platých erovostí či Gomoryho erovosti. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ S VYUŽITÍM DĚLITELNOSTI Diofatova věta říká: echť x x... x, celé, i,1,..., i Pak existuje celočíselé řešeí právě tehdy, když ejvětší společý dělitel koeficietů π 1, π 2 π dělí π. Máme-li erovost π 1x 1 + π 2x 2 π x π a ozačíme-li k ejvětšího dělitele π 1, π 2 π, můžeme zpřísit erovost tak, že ji vydělíme k a pravou strau pak zaokrouhlíme dolů (Chvátal-Gomoryho metoda). Například v rovici 3x 1 + 6x 2 14 je ejvětším společým dělitelem 3. Vydělíme-li celou rovici třemi a pravou strau zaokrouhlíme dolů, dostaeme zpřísěou erovost x 1 + 2x 2 4. LIFTING spočívá v zesilováí erovostí. Například: Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Pro i = 1, 2,, postupě astavujeme x i = 1 a zjišťujeme, o kolik ( b ) lze ještě sížit pravou stray erovice, aby edošlo ke změě možiy přípustých řešeí. Potom koeficiet u x i zvýšíme o b. Když astavíme x 1 = 1, pak lze úvodí erovost přepsat jako 5x 2 + 6x 3 + 8x 4 9. Můžeme sížit pravou strau o 1, aiž by se změila možia přípustých řešeí. Zvýšíme tedy koeficiet u x 1 o 1. Totéž uděláme pro zbylá x i. Výsledkem je liftovaá (zesíleá) erovost. V dalším příkladu můžeme zesílit erovost tak, že sížíme hodoty koeficietů celočíselých proměých a hodotu pravé stray. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Leka Fiřtová (214)

3 Vlastosti úloh celočíselého programováí FIXING spočívá také v úpravě existujících erovostí, a to pomocí zafixováí hodot určitých proměých. Například v úloze 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 15x 4 2, kde jsou všechy proměé biárí, emůže být ikdy x 4 rovo 1 (erovost by ikdy emohla být splěa), takže jej zafixujeme a ule. Naopak v úloze 2x 1 + 5x 2 + x 3 8x 4 7 s biárími proměými musí být x 1 = 1, jiak by emohla být erovost ikdy splěa, takže jej zafixujeme a 1. PŘIDÁVÁNÍ DALŠÍCH PLATNÝCH NEROVNOSTÍ Gomoryho řez: Máme rovici ve tvaru: j x j j 1 Zvolíme si libovolé celé kladé číslo d., j Koeficiety π j lze vyjádřit ve tvaru: j j d j, kde j, a π j je celočíselý d zbytek po děleí čísla π j číslem d z itervalu <; d). Rovici lze tedy přepsat jako : ( jd j) x j d d j1 j x j j x j j1 j1 Levá straa je celé číslo (celočíselý ásobek d). Proto i pravá straa musí být celé číslo, a to kladé: vpravo emůže být d, 2d jelikož záporé je zde pouze π, které je z defiice meší ež d, eboť jde o zbytek po celočíselém děleí pravé stray číselm d. Takže výraz j1 j x j a stejě tak výraz j1 Gomoryho zlomková erovost: j1 jx j. Platí tedy:, j x j Gomoryho celočíselá erovost: j x j j 1 Příklad: máme rovici 37x 1 68x x 3 + 1x 4 = 141, kde jsou všechy proměé celočíselé. Zvolíme d = 12. Pak 37 = , 68 = , 78 = , 1 = 12+1, 141 = Gomoryho zlomková erovost: x 1 + 4x 2 + 6x 3 + x 4 9 Gomoryho celočíselá erovost: 3x 1 6x 2 + 6x 3 11 Leka Fiřtová (214)

4 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEŠENÍ ÚLOH IP A MIP V určitých případech lze použít simplexovou metodu. V í získáme vektor hodot proměých jako B - 1 b. Pokud je b celočíselý vektor, pak celočíselost tohoto výrazu bude zajištěa tehdy, pokud je B -1 celočíselé. Platí, že: adj B B 1 det B B adj je adjugovaá matice báze, detb lze získat jako souči všech klíčových prvků od začátku výpočtu simplexovou metodou. Z tohoto vztahu je patré, že celočíselost bude zaručea pouze tehdy, pokud detb = ± 1. V opačém případě elze simplex použít. Předpokládejme, že strukturí koeficiety a hodoty pravých stra jsou celočíselé. Základí řešeí úlohy LP jsou celočíselá, jestliže pro všechy regulárí matice B platí, že detb = ± 1 (tz. matice B je uimodulárí). To platí apříklad pro tokové úlohy či dopraví problém. Pak lze použít simplexovou metodu. RELAXACE T Máme úlohu celočíselého programováí: zip max{ c x : x S}, S { x Z : Ax b} Relaxace úlohy celočíselého programováí je úloha: zr max{ zr( x) : x SR}, S SR, T c x zr (x) pro x S. Hodota zr je horím odhadem z IP. Lieárí relaxace je úloha LP bez podmíek celočíselosti: T 1) zlp max{ c x : x P}, P { x R : Ax b} T 2) zq max{ c x : x Q}, S { x Z : Ax b}, cov( S) Q Lagrageova relaxace je úloha, kterou získáme z úlohy IP tak, že soustavu omezeí Ax b rozdělíme a dvě soustavy, Ax b : 1 1 A x b m 1 omezujících podmíek 2 2 A x b m 2 omezujících podmíek, 1 1 a omezující podmíky A x b přesueme do účelové fukce: T T 1 1 m1 z(, x) c x ( b A x), x R, kde λ je vektor Lagrageových multiplikátorů. Lagrageova relaxace je tedy úloha ve tvaru LR(λ): 2 2 zlr( ) max{ z(, x) : A x b, x Z}. Výzam Lagrageovy relaxace je te, že když odstraíme erovosti 1 1 A x b z omezeí m1 úlohy při vhodé volbě těchto omezeí, je úloha LR(λ) sado řešitelá. Pro každé R je zlr() horím odhadem optimálí hodoty účelové fukce. Chtěli bychom přirozeě ajít co ejmeší číslo z LR() pro λ. Formulujeme tedy Lagrageovu duálí úlohu z LD mi z LR ( ). Leka Fiřtová (214)

5 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEZNÝCH NADROVIN Tyto metody se hodí pro IP a MIP (e pro bivaletí úlohy). Patří sem Gomoryho metoda. Uvažujme úlohu s možiou přípustých řešeí S { x Z : Ax b}. Možia přípustých řešeí této úlohy bez podmíek celočíselosti je P { x R : Ax b}. Všechy krají body možiy cov(s) jsou celočíselé, ale většiou růzé od krajích bodů možiy P. Platí: S cov(s) P. Chtěli bychom odstrait z možiy P body, ležící v P cov(s) tak, aby krají body vziklé možiy byly již celočíselé. To se dělá pomocí přidáváí platých erovostí vzhledem k S a cov(s). 1. Vyřešíme úlohu IP bez podmíek celočíselosti (lieárí relaxací), běžě simplexovou metodou. Pokud tak ajdeme celočíselé řešeí, výpočet kočí. 2. Pokud e, přidáme omezeí, které odříze z možiy přípustých řešeí ějakou podmožiu. Nesmíme však přitom přijít o žádé přípusté celočíselé řešeí. Vybereme proměou, jejíž hodota v optimálím řešeí esplňuje podmíku celočíselosti. Všechy hodoty pravých stra simplexové tabulky lze vyjádřit jako β i = [β i] + π i, kde [β i] je ejbližší ižší celé číslo k hodotě β i,, a π i je tedy z itervalu <; 1). Vezmeme řádek simplexové tabulky, kde je hodota π i ejvětší, a z tohoto řádku vytvoříme Gomoryho erovost j Nerovost vyrováme a rovici j m 1 j j m1 m 1, ( ). j x j, ( ) x x a přidáme ji do simplexové tabulky jako další řádek, přičemž proměá x +m+1 bude základí proměou v tomto ově přidaém řádku. 3. Protože hodota π je záporá, řešíme úlohu duálě simplexovou metodou do optima. Pak se opět podíváme, jestli je řešeí celočíselé. Pokud e, postup přidáme další erovost atd. až do alezeí celočíselého řešeí. Například mějme ásledující optimálí eceločíselé řešeí úlohy zákl. proměé x1 x2 x3 x4 bi x1 1 2/5-3/5 8/5 x2 1-1/5 4/5 11/5 zj 1/5 6/5 49/5 Zdroj: Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely (29). r 1 = 3/5 (8/5 = 1 + 3/5) a r 2 = 1/5, takže vezmeme prví řádek a vytvoříme omezeí ve tvaru 2/5x 3 2/5x 4 + x 5 = 3/5, které přidáme do tabulky. Ta se tudíž rozroste o jede řádek a jede sloupec. Dále řešíme duálě simplexovou metodou. Jde o epolyomiálí algoritmus a eí příliš efektiví, protože počet přidaých řádků a proměých rychle arůstá. Software většiou používá metodu větveí a mezí. Leka Fiřtová (214)

6 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODA VĚTVENÍ A MEZÍ Tato metoda patří mezi kombiatorické metody. Nejprve se vypočte optimálí řešeí bez uvažováí podmíek celočíselosti (simplexem). Pokud je celočíselé, výpočet kočí. Jiak se z možiy přípustých řešeí vytvoří dvě podmožiy, a to tak, že se vezme ěkterá eceločíselá proměá x k, a prví podmožia se rozšíří o podmíku x, zatímco druhá o podmíku k x 1 x. k x k k V každé z těchto podmoži se vypočte optimálí řešeí a případě se tyto podmožiy dále rozvětví atd. Zároveň se v každé vziklé větvi odvozuje horí mez (při maximalizaci) pro hodotu účelové fukce celočíselého řešeí. Každá větev musí být uzavřea jedím ze tří způsobů: 1. je v í alezeo řešeí vyhovující podmíkám celočíselosti, 2. eexistuje v í přípusté řešeí, 3. je v í alezeo eceločíselé řešeí, ale horí mez pro hodotu účelové fukce odvozeá z tohoto řešeí je ižší ež hodota účelové fukce celočíselého řešeí z dříve prohledaých větví. Algoritmus (uvažujeme maximalizačí úlohu) M posloupost, v íž se acházejí úlohy, které řešíme v jedotlivých větvích x*, z* - ejlepší alezeé celočíselé řešeí, ejlepší hodota účelové fukce 1. krok: počátečí astaveí M = {původí úloha bez podmíek celočíselosti} * z x* - eí defiováo 2. krok: výběr úlohy M je prázdá koec, tisk x*, z* M eí prázdá vybereme z poslouposti M posledí úlohu 3. krok: řešeí vybraé úlohy a) eexistuje přípusté řešeí odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok b) optimálí řešeí x, z : B1) z z* odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok B2) B3) z z*, x celé x*=x, z*=z odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok z z*, x eí celé 4. krok (větveí) 4. krok: větveí Zvolíme větvící proměou x k, jejíž hodota xk eí celé číslo do M přidáme kopii úlohy řešeé ve 3. kroku, ke které přidáme omezeí I: x k x k k k předposledí úloze v M, řešeé ve 3. kroku přidáme omezeí II: x x 1 2. krok k Leka Fiřtová (214)

7 Vlastosti úloh celočíselého programováí Existují růzé doplňující strategie ohledě toho, jakým způsobem procházet uzly stromu řešeí (v jaké poslouposti úlohy řešit). Mohou se vybrat uzly v pořadí, v jakém byly vytvářey (zleva doprava), ebo podle ejvyšší horí hraice účelové fukce, ebo se zpracovávají po vrstvách stromu (1. vrstva, pak 2. vrstva, ), výběr uzlů podle Existují i doplňující postupy pro výběr větvící proměé, apř. výběr proměé, která je ejblíže poloviě dvou celých čísel. Kombiací metody větveí a mezí a řezých adrovi je metoda Brach ad cut, metoda větveí a řezů. V í se přidávají řezy, dokud lze alézt platé omezeí, ebo do okamžiku, kdy přidáváí dalších řezů již emá výrazý vliv a hodotu účelové fukce, a pak ásleduje větveí. Díky tomu evzike tolik větví. Pro úlohy IP s velkým počtem proměých, kde je v optimálím řešeí je je malý podíl proměých eulový, se hodí metoda Brach ad Price, větveí a oceňováí. Leka Fiřtová (214)

8 Vlastosti úloh celočíselého programováí Leka Fiřtová (214)

9 Vlastosti úloh celočíselého programováí VÝPOČETNÍ SLOŽITOST ÚLOH Moho úloh většího rozsahu eumíme řešit v rozumém výpočetím čase. Rozsahem úlohy se rozumí počet proměých a počet omezeí, v teorii grafů pak počet uzlů a hra. Efektiví algoritmus je takový algoritmus, kterým dokážeme úlohu vyřešit v rozumém výpočetím čase. Výpočetí čas se měří počtem elemetárích operací fiktivího počítače. Výpočetí složitostí úlohy f() se myslí maximálí výpočetí čas pro všecha číselá zadáí úlohy o rozměru (čas se liší i podle kokrétích čísel v úloze). Přesý tvar fukce f() eí třeba zát, většiou zjišťujeme asymptotický charakter růstu fukce. Hledáme fukci g() = O(f()). To zameá, že existuje kostata c taková, že pro všecha přirozeá platí f() c g(). Pokud je g() apř. 2, 3, log(), je růst výpočetího času polyomiálí, jde o polyomiálí algoritmus. Pokud je g() apř. e,2,!, jde o epolyomiálí algoritmus. Například simplex epatří mezi polyomiálí algoritmy. g() = (O(f()) je tzv. Omikro otace, horí odhad. Dále se ěkdy používá Theta otace g() = (Θ(f()), což je průměrý odhad, či Omega otace g() = (Ω(f()), což je dolí odhad. g() = 1 = 3 = 5 = 7 2,1 s,3 s,5 s,7 s 3,1 s,27 s,125 s,343 s 5,1 s 24,3 s 5,2 mi 28 mi 2,1 s 17,9 mi 35,7 roků 37 mil. roků 3,59 s 6,5 roku 2,3 x 1 1 roků 1 13 mil. roků Výpočetí složitost. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Existují 4 základí třídy úloh: P, NP, NPC a NPH. Třídu P tvoří úlohy, pro které existuje polyomiálí algoritmus. Sem patří úlohy lieárího programováí, hledáí miimálí kostry grafu, maximálího toku, ejkratší cesty, přiřazovací problém či hledáí odpovědi a otázku, jestli v grafu existuje Eulerův cyklus. Třídu NP tvoří rozhodovací úlohy typu ANO/NE. Jsou to úlohy, pro které existuje edetermiistický polyomiálí algoritmus, který tuto úlohu řeší ve dvou fázích: 1. vygeeruje se áhodě ějaké řešeí, a jehož existeci se ptáme v daé úloze. 2. ověří se, jestli je toto řešeí hledaým řešeím daé úlohy, a to polyomiálím algoritmem. Tímto polyomiálím algoritmem tedy je ověříme, jestli vygeerovaé řešeí je právě tím řešeím, o jehož existeci se má rozhodout. Jde spíše o teoretickou kostrukci k vymezeí úloh NP. Patří sem apříklad otázka, jestli existuje Hamiltoův cyklus. Máme sezam hra a uzlů grafu. Vybereme ějaký sezam hra a ptáme se, jestli tvoří Hamiltoův cyklus. To lze ověřit polyomiálím algoritmem. K defiici úloh třídy NPC je třeba zavést pojem polyomiálí redukovatelost. Úloha A je polyomiálě redukovatelá a úlohu B, jestliže existuje zadáí úlohy B takové, že z výsledku řešeí úlohy B lze odvodit řešeí úlohy A. Toto odvozeí musí být realizováo polyomiálím algoritmem. Úloha A je speciálím případem úlohy B. Úloha B je obecější, a tedy i obtížější. Třída NPC obsahuje takové úlohy L z NP, pro kterou platí, že každá úloha z NP se dá redukovat a úlohu L. Je-li úloha A NP-úplá a úlohu A lze redukovat a úlohu B z NP, pak i B je NP-úplá úloha. Chceme-li dokázat, že úloha je NP-úplá, musíme ukázat, že tato úloha patří do třídy NP, a alézt NP-úplou úlohu, která se dá a daou úlohu redukovat (která je méě obtížá ež daá úloha). Patří sem apříklad úloha hledáí Hamiltoova cyklu, biárí forma úlohy batohu, set coverig problem Leka Fiřtová (214)

10 Vlastosti úloh celočíselého programováí Třída NPH je třída ejobtížějších úloh. Existuje-li pro úlohu ze třídy NPH polyomiálí algoritmus, pak je možé pomocí ěj polyomiálě vyřešit všechy úlohy z NP. Patří sem apříklad úloha obchodího cestujícího, batohu, Steierova stromu, celočíselé programováí. Zatím se eví, jestli NP = P ebo e (spíš asi e). Tahle otázka patří mezi Milleium Prize Problems. Kdo to vyřeší, dostae 1 USD. Pro zájemce viz Zdroj: Wikipedia.org Tedy: NP jsou všechy úlohy typu ANO/NE, u ichž můžeme v polyomiálím čase ověřit, zda áhodě vygeerovaé řešeí je hledaým řešeím úlohy. P jsou všechy úlohy, které mohou být v polyomiálím čase vyřešey. P jsou tedy podmožiou NP. Úloha z NP patří do NPC pouze tehdy, pokud se a i dá každý problém ze třídy NP redukovat (tz. pokud lze z řešeí této úlohy polyomiálě odvodit řešeí ostatích úloh v NP. To zároveň zameá, že pokud by ěkterou z úloh NPC bylo možé vyřešit polyomiálím algoritmem, pak by bylo možé vyřešit všechy úlohy v NP). NPH je skupia ejobtížějších úloh. Všechy NPC úlohy jsou zároveň NPH, ale e všechy NPH úlohy jsou NPC. ZDROJE: Ig. J. Fábry, Ph.D.: předášky 4EK314 Diskrétí modely, 211. Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely. Nakladatelství Oecoomica, Praha 29. Leka Fiřtová (214)

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Vyhledávání v tabulkách

Vyhledávání v tabulkách Vyhledáváí v tabulkách Tabulkou azveme možiu položek idetifikovatelých hodotou přístupového (idetifikačího) klíče (key, ID idetificator). Ve vodorovém směru se jedá o heterogeí pole, tz. že každá položka

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj)

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj) Rozhodovací stromy Úloha klasifikace objektů do tříd. Top dow iductio of decisio trees (TDIDT) - metoda divide ad coquer (rozděl a pauj) metoda specializace v prostoru hypotéz stromů (postup shora dolů,

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Programování v Matlabu

Programování v Matlabu Programováí v Matlabu Obsah: m-fukce a skripty; Krokováí laděí) fukcí/skriptů; Podmíěý příkaz; Cyklus s předem zámým počtem opakováí iteračí cyklus); Cyklus řízeý podmíkou Zoltá Szabó FBMI 2007 http://webzam.fbmi.cvut.cz/szabo/matlab/

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více