VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ"

Transkript

1 Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x R + } 2. Úloha smíšeě-celočíselého programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x Z +, y R + p } 3. Úloha celočíselého programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x Z + } 4. Úloha bivaletího programováí: max{c T x za podmíek Ax b, x B + } 5. Úloha smíšeě-celočíselého bivaletího programováí: max{c T x + d T y za podmíek Ax + Dy b, x B +, y R + p }, B = {,1} VLASTNOSTI ÚLOH Možia přípustých řešeí úlohy IP: S = {x Z +, Ax b} Možia přípustých řešeí úlohy LP: P = {x R +, Ax b} Možiou přípustých řešeí je kovexí polyedr (pokud tato možia omezeá, azývá se polytop). Možia přípustých řešeí IP je průikem možiy přípustých řešeí LP a Z + : S = P Z +. (tzv. mřížové body). Bod x є R je kovexí kombiací bodů z možiy S, pokud existuje možia bodů {x 1, x 2,,x t } z S a t parametry λ 1, λ 2,, λ t є R takové, že i 1: x x 1 x 2 t t x i1 Kovexí obal možiy S je možia všech bodů, které jsou kovexí kombiací bodů z S: S cov(s) P. Je to ejmeší možia S, která celou možiu S obsahuje. Následující obrázek zachycuje možiu bodů a její kovexí obal. Zdroj: Platá erovost k možiě S je taková erovost, která obsahuje kovexí obal z možiy S a také body z možiy S: πx π, x S. Platých erovostí je ekoečě moho. Každá platá erovost je charakterizováa koeficiety (π, π ). Jestliže existuje λ > takové, že π λπ a π λπ, pak je platá erovost π x π silější ež platá erovost πx π. Maximálí platá erovost je taková platá erovost, ke které eexistuje silější platá erovost. {x R +, π x π } {x R +, πx π }. Leka Fiřtová (214)

2 Vlastosti úloh celočíselého programováí Opěrá erovost je taková erovost, pro kterou platí: x S, x, tz. existuje alespoň jede bod z možiy S, pro který je to splěo jako rovost. Fazeta (opěrá stěa) leží v kovexím obalu S a prochází krajem kovexího polyedru. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ Chceme formulovat platou erovost vzhledem k možiě S, která eí platá vzhledem k možiě P. Existuje ěkolik možostí, jak to udělat, apříklad zesilováí erovostí s využitím dělitelosti, liftig, fixig, přidáváí dalších platých erovostí či Gomoryho erovosti. ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ S VYUŽITÍM DĚLITELNOSTI Diofatova věta říká: echť x x... x, celé, i,1,..., i Pak existuje celočíselé řešeí právě tehdy, když ejvětší společý dělitel koeficietů π 1, π 2 π dělí π. Máme-li erovost π 1x 1 + π 2x 2 π x π a ozačíme-li k ejvětšího dělitele π 1, π 2 π, můžeme zpřísit erovost tak, že ji vydělíme k a pravou strau pak zaokrouhlíme dolů (Chvátal-Gomoryho metoda). Například v rovici 3x 1 + 6x 2 14 je ejvětším společým dělitelem 3. Vydělíme-li celou rovici třemi a pravou strau zaokrouhlíme dolů, dostaeme zpřísěou erovost x 1 + 2x 2 4. LIFTING spočívá v zesilováí erovostí. Například: Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Pro i = 1, 2,, postupě astavujeme x i = 1 a zjišťujeme, o kolik ( b ) lze ještě sížit pravou stray erovice, aby edošlo ke změě možiy přípustých řešeí. Potom koeficiet u x i zvýšíme o b. Když astavíme x 1 = 1, pak lze úvodí erovost přepsat jako 5x 2 + 6x 3 + 8x 4 9. Můžeme sížit pravou strau o 1, aiž by se změila možia přípustých řešeí. Zvýšíme tedy koeficiet u x 1 o 1. Totéž uděláme pro zbylá x i. Výsledkem je liftovaá (zesíleá) erovost. V dalším příkladu můžeme zesílit erovost tak, že sížíme hodoty koeficietů celočíselých proměých a hodotu pravé stray. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Leka Fiřtová (214)

3 Vlastosti úloh celočíselého programováí FIXING spočívá také v úpravě existujících erovostí, a to pomocí zafixováí hodot určitých proměých. Například v úloze 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 15x 4 2, kde jsou všechy proměé biárí, emůže být ikdy x 4 rovo 1 (erovost by ikdy emohla být splěa), takže jej zafixujeme a ule. Naopak v úloze 2x 1 + 5x 2 + x 3 8x 4 7 s biárími proměými musí být x 1 = 1, jiak by emohla být erovost ikdy splěa, takže jej zafixujeme a 1. PŘIDÁVÁNÍ DALŠÍCH PLATNÝCH NEROVNOSTÍ Gomoryho řez: Máme rovici ve tvaru: j x j j 1 Zvolíme si libovolé celé kladé číslo d., j Koeficiety π j lze vyjádřit ve tvaru: j j d j, kde j, a π j je celočíselý d zbytek po děleí čísla π j číslem d z itervalu <; d). Rovici lze tedy přepsat jako : ( jd j) x j d d j1 j x j j x j j1 j1 Levá straa je celé číslo (celočíselý ásobek d). Proto i pravá straa musí být celé číslo, a to kladé: vpravo emůže být d, 2d jelikož záporé je zde pouze π, které je z defiice meší ež d, eboť jde o zbytek po celočíselém děleí pravé stray číselm d. Takže výraz j1 j x j a stejě tak výraz j1 Gomoryho zlomková erovost: j1 jx j. Platí tedy:, j x j Gomoryho celočíselá erovost: j x j j 1 Příklad: máme rovici 37x 1 68x x 3 + 1x 4 = 141, kde jsou všechy proměé celočíselé. Zvolíme d = 12. Pak 37 = , 68 = , 78 = , 1 = 12+1, 141 = Gomoryho zlomková erovost: x 1 + 4x 2 + 6x 3 + x 4 9 Gomoryho celočíselá erovost: 3x 1 6x 2 + 6x 3 11 Leka Fiřtová (214)

4 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEŠENÍ ÚLOH IP A MIP V určitých případech lze použít simplexovou metodu. V í získáme vektor hodot proměých jako B - 1 b. Pokud je b celočíselý vektor, pak celočíselost tohoto výrazu bude zajištěa tehdy, pokud je B -1 celočíselé. Platí, že: adj B B 1 det B B adj je adjugovaá matice báze, detb lze získat jako souči všech klíčových prvků od začátku výpočtu simplexovou metodou. Z tohoto vztahu je patré, že celočíselost bude zaručea pouze tehdy, pokud detb = ± 1. V opačém případě elze simplex použít. Předpokládejme, že strukturí koeficiety a hodoty pravých stra jsou celočíselé. Základí řešeí úlohy LP jsou celočíselá, jestliže pro všechy regulárí matice B platí, že detb = ± 1 (tz. matice B je uimodulárí). To platí apříklad pro tokové úlohy či dopraví problém. Pak lze použít simplexovou metodu. RELAXACE T Máme úlohu celočíselého programováí: zip max{ c x : x S}, S { x Z : Ax b} Relaxace úlohy celočíselého programováí je úloha: zr max{ zr( x) : x SR}, S SR, T c x zr (x) pro x S. Hodota zr je horím odhadem z IP. Lieárí relaxace je úloha LP bez podmíek celočíselosti: T 1) zlp max{ c x : x P}, P { x R : Ax b} T 2) zq max{ c x : x Q}, S { x Z : Ax b}, cov( S) Q Lagrageova relaxace je úloha, kterou získáme z úlohy IP tak, že soustavu omezeí Ax b rozdělíme a dvě soustavy, Ax b : 1 1 A x b m 1 omezujících podmíek 2 2 A x b m 2 omezujících podmíek, 1 1 a omezující podmíky A x b přesueme do účelové fukce: T T 1 1 m1 z(, x) c x ( b A x), x R, kde λ je vektor Lagrageových multiplikátorů. Lagrageova relaxace je tedy úloha ve tvaru LR(λ): 2 2 zlr( ) max{ z(, x) : A x b, x Z}. Výzam Lagrageovy relaxace je te, že když odstraíme erovosti 1 1 A x b z omezeí m1 úlohy při vhodé volbě těchto omezeí, je úloha LR(λ) sado řešitelá. Pro každé R je zlr() horím odhadem optimálí hodoty účelové fukce. Chtěli bychom přirozeě ajít co ejmeší číslo z LR() pro λ. Formulujeme tedy Lagrageovu duálí úlohu z LD mi z LR ( ). Leka Fiřtová (214)

5 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODY ŘEZNÝCH NADROVIN Tyto metody se hodí pro IP a MIP (e pro bivaletí úlohy). Patří sem Gomoryho metoda. Uvažujme úlohu s možiou přípustých řešeí S { x Z : Ax b}. Možia přípustých řešeí této úlohy bez podmíek celočíselosti je P { x R : Ax b}. Všechy krají body možiy cov(s) jsou celočíselé, ale většiou růzé od krajích bodů možiy P. Platí: S cov(s) P. Chtěli bychom odstrait z možiy P body, ležící v P cov(s) tak, aby krají body vziklé možiy byly již celočíselé. To se dělá pomocí přidáváí platých erovostí vzhledem k S a cov(s). 1. Vyřešíme úlohu IP bez podmíek celočíselosti (lieárí relaxací), běžě simplexovou metodou. Pokud tak ajdeme celočíselé řešeí, výpočet kočí. 2. Pokud e, přidáme omezeí, které odříze z možiy přípustých řešeí ějakou podmožiu. Nesmíme však přitom přijít o žádé přípusté celočíselé řešeí. Vybereme proměou, jejíž hodota v optimálím řešeí esplňuje podmíku celočíselosti. Všechy hodoty pravých stra simplexové tabulky lze vyjádřit jako β i = [β i] + π i, kde [β i] je ejbližší ižší celé číslo k hodotě β i,, a π i je tedy z itervalu <; 1). Vezmeme řádek simplexové tabulky, kde je hodota π i ejvětší, a z tohoto řádku vytvoříme Gomoryho erovost j Nerovost vyrováme a rovici j m 1 j j m1 m 1, ( ). j x j, ( ) x x a přidáme ji do simplexové tabulky jako další řádek, přičemž proměá x +m+1 bude základí proměou v tomto ově přidaém řádku. 3. Protože hodota π je záporá, řešíme úlohu duálě simplexovou metodou do optima. Pak se opět podíváme, jestli je řešeí celočíselé. Pokud e, postup přidáme další erovost atd. až do alezeí celočíselého řešeí. Například mějme ásledující optimálí eceločíselé řešeí úlohy zákl. proměé x1 x2 x3 x4 bi x1 1 2/5-3/5 8/5 x2 1-1/5 4/5 11/5 zj 1/5 6/5 49/5 Zdroj: Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely (29). r 1 = 3/5 (8/5 = 1 + 3/5) a r 2 = 1/5, takže vezmeme prví řádek a vytvoříme omezeí ve tvaru 2/5x 3 2/5x 4 + x 5 = 3/5, které přidáme do tabulky. Ta se tudíž rozroste o jede řádek a jede sloupec. Dále řešíme duálě simplexovou metodou. Jde o epolyomiálí algoritmus a eí příliš efektiví, protože počet přidaých řádků a proměých rychle arůstá. Software většiou používá metodu větveí a mezí. Leka Fiřtová (214)

6 Vlastosti úloh celočíselého programováí METODA VĚTVENÍ A MEZÍ Tato metoda patří mezi kombiatorické metody. Nejprve se vypočte optimálí řešeí bez uvažováí podmíek celočíselosti (simplexem). Pokud je celočíselé, výpočet kočí. Jiak se z možiy přípustých řešeí vytvoří dvě podmožiy, a to tak, že se vezme ěkterá eceločíselá proměá x k, a prví podmožia se rozšíří o podmíku x, zatímco druhá o podmíku k x 1 x. k x k k V každé z těchto podmoži se vypočte optimálí řešeí a případě se tyto podmožiy dále rozvětví atd. Zároveň se v každé vziklé větvi odvozuje horí mez (při maximalizaci) pro hodotu účelové fukce celočíselého řešeí. Každá větev musí být uzavřea jedím ze tří způsobů: 1. je v í alezeo řešeí vyhovující podmíkám celočíselosti, 2. eexistuje v í přípusté řešeí, 3. je v í alezeo eceločíselé řešeí, ale horí mez pro hodotu účelové fukce odvozeá z tohoto řešeí je ižší ež hodota účelové fukce celočíselého řešeí z dříve prohledaých větví. Algoritmus (uvažujeme maximalizačí úlohu) M posloupost, v íž se acházejí úlohy, které řešíme v jedotlivých větvích x*, z* - ejlepší alezeé celočíselé řešeí, ejlepší hodota účelové fukce 1. krok: počátečí astaveí M = {původí úloha bez podmíek celočíselosti} * z x* - eí defiováo 2. krok: výběr úlohy M je prázdá koec, tisk x*, z* M eí prázdá vybereme z poslouposti M posledí úlohu 3. krok: řešeí vybraé úlohy a) eexistuje přípusté řešeí odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok b) optimálí řešeí x, z : B1) z z* odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok B2) B3) z z*, x celé x*=x, z*=z odstraíme úlohu z poslouposti M 2. krok z z*, x eí celé 4. krok (větveí) 4. krok: větveí Zvolíme větvící proměou x k, jejíž hodota xk eí celé číslo do M přidáme kopii úlohy řešeé ve 3. kroku, ke které přidáme omezeí I: x k x k k k předposledí úloze v M, řešeé ve 3. kroku přidáme omezeí II: x x 1 2. krok k Leka Fiřtová (214)

7 Vlastosti úloh celočíselého programováí Existují růzé doplňující strategie ohledě toho, jakým způsobem procházet uzly stromu řešeí (v jaké poslouposti úlohy řešit). Mohou se vybrat uzly v pořadí, v jakém byly vytvářey (zleva doprava), ebo podle ejvyšší horí hraice účelové fukce, ebo se zpracovávají po vrstvách stromu (1. vrstva, pak 2. vrstva, ), výběr uzlů podle Existují i doplňující postupy pro výběr větvící proměé, apř. výběr proměé, která je ejblíže poloviě dvou celých čísel. Kombiací metody větveí a mezí a řezých adrovi je metoda Brach ad cut, metoda větveí a řezů. V í se přidávají řezy, dokud lze alézt platé omezeí, ebo do okamžiku, kdy přidáváí dalších řezů již emá výrazý vliv a hodotu účelové fukce, a pak ásleduje větveí. Díky tomu evzike tolik větví. Pro úlohy IP s velkým počtem proměých, kde je v optimálím řešeí je je malý podíl proměých eulový, se hodí metoda Brach ad Price, větveí a oceňováí. Leka Fiřtová (214)

8 Vlastosti úloh celočíselého programováí Leka Fiřtová (214)

9 Vlastosti úloh celočíselého programováí VÝPOČETNÍ SLOŽITOST ÚLOH Moho úloh většího rozsahu eumíme řešit v rozumém výpočetím čase. Rozsahem úlohy se rozumí počet proměých a počet omezeí, v teorii grafů pak počet uzlů a hra. Efektiví algoritmus je takový algoritmus, kterým dokážeme úlohu vyřešit v rozumém výpočetím čase. Výpočetí čas se měří počtem elemetárích operací fiktivího počítače. Výpočetí složitostí úlohy f() se myslí maximálí výpočetí čas pro všecha číselá zadáí úlohy o rozměru (čas se liší i podle kokrétích čísel v úloze). Přesý tvar fukce f() eí třeba zát, většiou zjišťujeme asymptotický charakter růstu fukce. Hledáme fukci g() = O(f()). To zameá, že existuje kostata c taková, že pro všecha přirozeá platí f() c g(). Pokud je g() apř. 2, 3, log(), je růst výpočetího času polyomiálí, jde o polyomiálí algoritmus. Pokud je g() apř. e,2,!, jde o epolyomiálí algoritmus. Například simplex epatří mezi polyomiálí algoritmy. g() = (O(f()) je tzv. Omikro otace, horí odhad. Dále se ěkdy používá Theta otace g() = (Θ(f()), což je průměrý odhad, či Omega otace g() = (Ω(f()), což je dolí odhad. g() = 1 = 3 = 5 = 7 2,1 s,3 s,5 s,7 s 3,1 s,27 s,125 s,343 s 5,1 s 24,3 s 5,2 mi 28 mi 2,1 s 17,9 mi 35,7 roků 37 mil. roků 3,59 s 6,5 roku 2,3 x 1 1 roků 1 13 mil. roků Výpočetí složitost. Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Diskrétí modely Existují 4 základí třídy úloh: P, NP, NPC a NPH. Třídu P tvoří úlohy, pro které existuje polyomiálí algoritmus. Sem patří úlohy lieárího programováí, hledáí miimálí kostry grafu, maximálího toku, ejkratší cesty, přiřazovací problém či hledáí odpovědi a otázku, jestli v grafu existuje Eulerův cyklus. Třídu NP tvoří rozhodovací úlohy typu ANO/NE. Jsou to úlohy, pro které existuje edetermiistický polyomiálí algoritmus, který tuto úlohu řeší ve dvou fázích: 1. vygeeruje se áhodě ějaké řešeí, a jehož existeci se ptáme v daé úloze. 2. ověří se, jestli je toto řešeí hledaým řešeím daé úlohy, a to polyomiálím algoritmem. Tímto polyomiálím algoritmem tedy je ověříme, jestli vygeerovaé řešeí je právě tím řešeím, o jehož existeci se má rozhodout. Jde spíše o teoretickou kostrukci k vymezeí úloh NP. Patří sem apříklad otázka, jestli existuje Hamiltoův cyklus. Máme sezam hra a uzlů grafu. Vybereme ějaký sezam hra a ptáme se, jestli tvoří Hamiltoův cyklus. To lze ověřit polyomiálím algoritmem. K defiici úloh třídy NPC je třeba zavést pojem polyomiálí redukovatelost. Úloha A je polyomiálě redukovatelá a úlohu B, jestliže existuje zadáí úlohy B takové, že z výsledku řešeí úlohy B lze odvodit řešeí úlohy A. Toto odvozeí musí být realizováo polyomiálím algoritmem. Úloha A je speciálím případem úlohy B. Úloha B je obecější, a tedy i obtížější. Třída NPC obsahuje takové úlohy L z NP, pro kterou platí, že každá úloha z NP se dá redukovat a úlohu L. Je-li úloha A NP-úplá a úlohu A lze redukovat a úlohu B z NP, pak i B je NP-úplá úloha. Chceme-li dokázat, že úloha je NP-úplá, musíme ukázat, že tato úloha patří do třídy NP, a alézt NP-úplou úlohu, která se dá a daou úlohu redukovat (která je méě obtížá ež daá úloha). Patří sem apříklad úloha hledáí Hamiltoova cyklu, biárí forma úlohy batohu, set coverig problem Leka Fiřtová (214)

10 Vlastosti úloh celočíselého programováí Třída NPH je třída ejobtížějších úloh. Existuje-li pro úlohu ze třídy NPH polyomiálí algoritmus, pak je možé pomocí ěj polyomiálě vyřešit všechy úlohy z NP. Patří sem apříklad úloha obchodího cestujícího, batohu, Steierova stromu, celočíselé programováí. Zatím se eví, jestli NP = P ebo e (spíš asi e). Tahle otázka patří mezi Milleium Prize Problems. Kdo to vyřeší, dostae 1 USD. Pro zájemce viz Zdroj: Wikipedia.org Tedy: NP jsou všechy úlohy typu ANO/NE, u ichž můžeme v polyomiálím čase ověřit, zda áhodě vygeerovaé řešeí je hledaým řešeím úlohy. P jsou všechy úlohy, které mohou být v polyomiálím čase vyřešey. P jsou tedy podmožiou NP. Úloha z NP patří do NPC pouze tehdy, pokud se a i dá každý problém ze třídy NP redukovat (tz. pokud lze z řešeí této úlohy polyomiálě odvodit řešeí ostatích úloh v NP. To zároveň zameá, že pokud by ěkterou z úloh NPC bylo možé vyřešit polyomiálím algoritmem, pak by bylo možé vyřešit všechy úlohy v NP). NPH je skupia ejobtížějších úloh. Všechy NPC úlohy jsou zároveň NPH, ale e všechy NPH úlohy jsou NPC. ZDROJE: Ig. J. Fábry, Ph.D.: předášky 4EK314 Diskrétí modely, 211. Jabloský, J., Lagová, M.: Lieárí modely. Nakladatelství Oecoomica, Praha 29. Leka Fiřtová (214)

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005 Patří slovo BUSINESS do zdravotictví?. 23. 6. 2005 Společost Deloitte Společost Deloitte v České republice má více ež 550 zaměstaců a kaceláře v Praze a Olomouci. Naše česká pobočka je součástí aší regioálí

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic Numerické metod řešeí diereciálíc rovic Numerical metods or solvig dieretial equatios Bc. Zdeěk Blata Diplomová práce 009 ABSTRAKT Tato práce se zabývá umerickými metodami řešeí občejýc diereciálíc rovic.

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více