Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Transkript

1 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům jisté vlastnosti nebo jimiž stanovíme vztahy mezi předměty; je to (jazykový) výraz, o němž má smysl říci, že je pravdivý nebo nepravdivý. Například číslo 3 je sudé je nepravdivý výrok, naproti tomu sdělení přijď brzy domů, číslo Brno je modré, sin x > 0 výroky nejsou (druhé sdělení je nesmyslná snůška slov, třetí sdělení je tzv. výroková funkce s proměnnou x). Výrokům přiřazujeme tzv. pravdivostní hodnoty: je-li výrok pravdivý, má pravdivostní hodnotu 1, nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu 0. Složené výroky sestavujeme pomocí výrokotvorných částic spojek; jsou-li p, q výroky, definujeme: negace výroku p p, p, p opačný výrok konjunkce výroků p a q p q a, současně disjunkce výroků p a q p q nebo (nevylučovací!) implikace výroků p a q p q z p plyne q * ekvivalence výroků p a q p q p je ekvivalentní s q ** * p implikuje q, jestliže p pak q, q je nutná podmínka pro p, p je postačující podmínka pro q, ** p právě když q, p tehdy a jen tehdy když q, p když a jen když q, p je nutná a postačující podmínka pro q. Jednotlivé výrokové spojky mají specifické vlastnosti: například negací pravdivého výroku získáme výrok nepravdivý a naopak, konjunkce dvou výroků je pravdivá pouze v případě, jsou-li oba výroky pravdivé atd. Přehledněji vlastnosti jednotlivých výrokových spojek popíšeme pomocí pravdivostních hodnot: p p q p q p q p q p q

2 Stejně tak pomocí tabulky pravdivostních hodnot nejsnáze zjistíme, při jaké kombinaci elementárních výroků je pravdivý nebo nepravdivý komplikovanější výrok. Příklad 1.1: Vyšetříme výrok (p q) (p q). Řešení: p q q p q p q (p q) (p q) (p q) Daný výrok je tedy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li výroky p, q pravdivé nebo nepravdivé. Složitější výroky jsou někdy nepřehledné vzhledem k vysokému počtu závorek, které udávají pořadí, ve kterém se mají jednotlivé spojky aplikovat; proto užíváme konvenci o pořadí, jak silně spojky vážou elementární výroky. Pořadí je následující: negace, konjunkce a disjunkce, implikace a ekvivalence. Tedy např. místo píšeme a místo píšeme (p (q r)) ((p q) (p r)) p (q r) (p q) (p r), (( p) q) (p ( q)) p q p q. Viděli jsme, že některé složené výroky mohou mít takový tvar, že jsou vždy pravdivé bez ohledu na to, jsou-li jednotlivé elementární výroky, ze kterých je tento složený výrok sestaven, pravdivé nebo nepravdivé (tedy mají pravdivostní hodnotu 1 při libovolném vyhodnocení); takové výroky se nazývají tautologie; výrok, který je vždy nepravdivý (pro libovolné ohodnocení elementárních výroků má pravdivostní hodnotu 0), se nazývá kontradikce. 2

3 Uvedeme si některé další tautologie (jako cvičení prověřte, že se o tautologie skutečně jedná): (p q) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) ( p q) negace implikace De Morganova pravidla (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) ( p q) distributivita p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) dvojí negace p ( p) zákon vyloučeného třetího p p Až na poslední vztah mají všechny uvedené tautologie tvar ekvivalence; výroky napravo jsou pravdivé právě tehdy, když jsou pravdivé výroky nalevo. Pravdivostní hodnota složeného výroku se tedy nezmění, nahradíme-li dílčí výrok v něm vystupující výrokem s ním ekvivalentním (provedeme ekvivalentní úpravu). To nám umožňuje složité výroky postupně zjednodušovat. Příklad 1.2: Pomocí výše uvedených ekvivalentních úprav zjednodušíme výrok [(p q q) (p q)]: [(p q q) (p q)] (De Morganův vzorec) (p q q) (p q) (negace implikace) [(p q) q] (p q) (dvojí negace) (p q q) (p q) (p q) (p q) (distributivita) p (q q) p Výrokové funkce predikáty Představme si, že pro x R zkoumáme výraz x > 3. Tento výraz není výrok; stane se jím, až za x dosadíme některé konkrétní reálné číslo, a v závislosti na tom, které číslo zvolíme, bude pravdivý nebo nepravdivý. Takový výraz se nazývá výroková funkce (forma), také predikát. Výroková funkce obsahuje proměnné; proměnná se dá chápat 3

4 jako prázdné místo, kam lze dosazovat libovolné prvky z určité množiny, např R (C), která se nazývá přípustný obor dané proměnné. Po dosazení za všechny proměnné se predikát stane výrokem buď pravdivým nebo nepravdivým. Prvky množiny, pro něž je výrok pravdivý, tvoří obor pravdivosti výrokové formy. Příklad 1.3: x 2 N je predikát s přípustným oborem (například) R; dosadíme-li za x například π, 8, 3 2, dostaneme výroky π 2 N, 4 N, 3 4 N, z nichž druhý je pravdivý a první a třetí nepravdivý. Obor pravdivosti tvoří všechna kladná sudá čísla. Kvantifikátory Je-li V predikát obsahující proměnnou x (event. i další) pak výraz x (V ) nebo x : V x (V ) nebo x : V chápeme jako tvrzení existuje x tak, že platí V pro každé x platí V Přitom se nazývá existenční kvantifikátor, se nazývá všeobecný kvantifikátor. Poznamenejme, že ve výrazech s kvantifikátory často uvádíme přímo přípustný obor pro proměnnou; píšeme x M : V (x), x M : V (x). Jestliže predikát V obsahuje jedinou proměnnou x, je x (V ) resp. x (V ) výrok; říkáme, že proměnná x je vázaná kvantifikátorem. V opačném případě jde zase o predikát s tzv. volnou proměnnou a můžeme utvořit nové výrazy (predikáty, výroky) y x (V ), y x (V ) a podobně. Příklad 1.4: pravdivý výrok: Máme zjistit, který z následujících predikátů s proměnnou x R je a) x 2 b) x (x 2) c) x (x 2) d) x (x (, 2 x 2) Řešení: a) není výrok (proměnná x je volná); b) je nepravdivý výrok; lze najít číslo a R (např. a = 3) tak, že výrok a 2 je nepravdivý; c) je pravdivý výrok; stačí najít jedno konkrétní číslo a R (např. a = 0) tak, že výrok a 2 je pravdivý; 4

5 d) jedná se o pravdivý výrok, kterým definujeme interval. Kvantifikátory tedy můžeme řadit za sebou, přičemž na jejich pořadí záleží. Např. x R y R (x 2 = y) je jiný výrok než y R x R (x 2 = y) (první je pravdivý, druhý nepravdivý). Příklad 1.5: Máme vyšetřit pravdivost následujících výroků pro reálné proměnné x a y: a) x y (x < y) b) y x (x < y) Řešení: a) Výrok je pravdivý; stačí pro libovolné pevně zvolené x položit y = x + 1 výrok x < x + 1 je pravdivý pro každé reálné x. b) Výrok je nepravdivý; jeho pravdivost by znamenala, že existuje největší reálné číslo. ( není reálné číslo!) Při vyšetřování reálných čísel se osvědčilo zavést symbol R = R {, }. Použijeme-li toto označení, můžeme formulovat pravdivý výrok y R x R (x < y). Často potřebujeme utvořit negaci výroku s kvantifikátory. Užíváme přitom tyto ekvivalence: ( x M : V (x)) x M : V (x), ( x M : V (x)) x M : V (x). Příklad 1.6: [ x M : (P (x) Q(x))] x M : [P (x) Q(x)] x M : (P (x) Q(x)). 5

6 1.2 Matematická teorie a její výstavba Hlavním znakem současné matematiky je, že své jednotlivé discipliny buduje axiomaticky. Stručně lze tuto výstavbu charakterizovat takto: Výsledky svých bádání vyjadřuje každý obor v matematických větách, nové pojmy zavádí pomocí definic. Věty dokazuje pomocí dříve dokázaných vět prostředky matematické logiky, v definicích se vyskytují pojmy, které jsme definovali dříve. Důsledný postup v tomto směru, jemuž říkáme dedukce, předpokládá, že na začátku jsou tzv. primitivní neboli nedefinované pojmy a soubor vět, které přijímáme bez důkazu (prohlásíme je za pravdivé), tzv. axiómy. Výběr soustavy primitivních pojmů a axiomů není zcela libovolný, nýbrž se řídí různými hledisky; především účelem, za jakým je disciplina budována. Úlohu zde často hraje též intuice, která se opírá o zkušenost, pokus apod. Na systém axiomů klademe zejména požadavek bezespornosti (nemožnost odvodit výrok a současně jeho negaci), nezávislosti (žádný z axiomů nelze odvodit z ostatních logickou dedukcí) a úplnosti (každou větu teorie, která není axiomem, lze buď dokázat, nebo vyvrátit). Zatímco na požadavku bezespornosti vždy trváme, nebývají zbylé dva z různých důvodů splněny. Známým příkladem axiomatického vybudování takové teorie z historie matematiky je elementární geometrie v Euklidových Základech (asi r. 350 před n.l.). V knize se užívají primitivní pojmy jako bod, přímka, rovina, leží na apod., axiomatizují se základní geometrické vlastnosti. Slavný je pátý axiom - bodem mimo přímku lze vést právě jednu rovnoběžku - jehož nahrazením jiným axiomem dostaneme tzv. neeuklidovskou geometrii. Z pozdější doby uveďme jako příklad systém Peanových axiomů množiny přirozených čísel, které jsou základem pro vybudování aritmetiky reálných a komplexních čísel. Předpokládá se pouze znalost symbolů = (rovná se) a (nerovná se): 1. axiom: 1 je přirozené číslo 2. axiom: Ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno přirozené číslo n, které nazýváme následníkem čísla n. 3. axiom: Pro každé přirozené číslo n platí n axiom: Je-li n = m, je n = m. 5. axiom: Nechť číslo 1 má vlastnost V a nechť platí: má-li přirozené číslo n vlastnost V, má i následovník tohoto čísla vlastnost V. Potom všechna přirozená čísla mají vlastnost V (princip indukce). S uvedenými základními požadavky výstavby axiomatické teorie jsou spojeny ještě další otázky, např. otázka existence struktury (tzv. modelu), která soustavě axiomů vyhovuje. Technika - inženýra zpravidla nezajímá matematická teorie sama o sobě, ale jako prostředek k porozumění odborným disciplinám, kde se matematika užívá, a k řešení inženýrských úloh. I když se otázkami výstavby matematické teorie nebudeme podrobně zabývat, domníváme se, že základním prvkům výstavby musí v dostatečné míře rozumět každý, 6

7 kdo chce matematiku s úspěchem užívat. Proto pojednáme o základních prvcích výstavby každé matematické teorie. Strukturu vybudované matematické discipliny a do značné míry i její studium je možno stručně charakterizovat trojicí základních stavebních kamenů: definice, věta, důkaz. Definice vymezuje význam zaváděného pojmu příslušné discipliny pomocí známých, tj. dříve definovaných nebo primitivních pojmů. Může mít různou formu; častá je forma ekvivalence začínající slovy říkáme, že.... Příklad 1.7: Říkáme, že pravoúhelník je čtverec, právě když je rovnostranný. Jako ekvivalenci musíme chápat definici, i když je vyslovena formou implikace. Proto i definici pravoúhelník je čtverec, jestliže je rovnostranný musíme chápat tak, jak je uvedeno v předchozím příkladě. Někdy zavádíme nový pojem pomocí tzv. definiční rovnosti, např. ( Eulerovo číslo e := n. n) lim n + Dvojtečka před rovnítkem upozorňuje na to, že objekt na pravé straně (jehož existence byla již předtím dokázána) označujeme symbolem uvedeným na levé straně. Nepřípustná je tzv. definice v kruhu, tj. užijeme-li v definujícím výrazu pojem, který máme definovat. Definice musí být korektní, tj. musí být jednak zaručena existence objektu, který je definován, jednak musí umožnit jednoznačně rozhodnout, zda daný objekt má či nemá vlastnost, která se definuje. Definice nemůže být také ve sporu s již dříve zavedenými pojmy a s axiomy. Své výsledky formuluje matematická disciplina v pravdivých výrocích, které se nazývají věty (poučky, teorémy). Věty, které obsahují návod k provedení výpočtu nebo konstrukce, se nazývají též pravidla. Za větu dané teorie však nepovažujeme každý výrok, ale pouze takový, který má pro výstavbu teorie nebo její aplikaci určitý význam. Jsou to zejména výroky začínající obecným kvantifikátorem (obecné výroky) nebo existenčním kvantifikátorem (existenční výroky), případně výroky začínající některým číselným kvantifikátorem. Většina matematických vět, které mají charakter obecného výroku, je formulována jako implikace nebo ekvivalence. V implikaci tvaru p q se výrok p nazývá předpoklad, výrok q závěr. Říkáme, že p je postačující podmínkou pro q nebo též že q je nutná podmínka pro p. Příklad 1.8: Pro každé celé číslo platí: je-li dělitelné šesti, je dělitelné dvěma. Tato věta je obecným výrokem. Výrok číslo je dělitelné šesti je předpoklad, výrok číslo je dělitelné dvěma je závěr. První výrok je postačující podmínkou, druhý podmínkou nutnou. Tedy k tomu, aby celé číslo bylo dělitelné dvěma, stačí není však nutné aby bylo dělitelné šesti, k tomu, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je nutné ale nestačí aby bylo dělitelné dvěma. Symbolicky můžeme uvedenou větu zapsat takto: n Z : 6 n 2 n. (Čteme: jestliže šest dělí n, pak dvě dělí n.) 7

8 Při slovní formulaci matematických vět se však často odchylujeme od klasické formy implikace, tj. spojení jestliže..., pak..., vynecháváme obvykle obecný kvantifikátor, neuvádíme obor proměnných apod. To může zejména začátečníka splést a je proto vhodné, abychom si takovou větu převedli do přesné matematické řeči. Například věta v předchozím příkladu bývá častěji formulována takto: Číslo dělitelné šesti je dělitelné dvěma. Větě, v níž je předpoklad vyměněn za závěr, se říká věta obrácená. Ta ovšem nemusí platit. Například věta obrácená k poslední uvedené větě zní: Číslo dělitelné dvěma je dělitelné šesti. Je zřejmé, že neplatí. Větu, která má tvar implikace p q, můžeme též vyslovit ve tvaru q p, protože oba výroky jsou logicky ekvivalentní. Takto formulovaná věta se někdy nazývá obměněná věta k dané větě. Například k větě v předchozím příkladu obměněná věta zní není-li číslo dělitelné dvěma, není dělitelné šesti, která vyjadřuje totéž co věta původní. Má-li věta tvar ekvivalence, tedy výroku p q, je konjunkcí dvou implikací, tj. (p q) (q p), neboli konjunkcí dané věty a věty k ní obrácené. Podmínka p(q) je nutná a postačující pro platnost podmínky q(p). Větu často vyslovujeme ve tvaru p platí tehdy a jen tehdy, platí-li q nebo p platí, právě když platí q. Příklad 1.9: Věta sudé číslo je dělitelné pěti, právě když končí nulou je konjunkcí implikací jestliže je sudé číslo dělitelné pěti, pak končí nulou a jestliže celé číslo končí nulou, pak je sudé a dělitelné pěti. Podmínka sudé číslo je dělitelné pěti je nutná a postačující pro to, aby číslo končilo nulou a obráceně. Důkazem věty rozumíme logický proces, jehož účelem je prokázat pravdivost tvrzení (závěru) věty pomocí axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Důkazy mohou mít různou formu, nejčastějšími typy důkazu jsou důkaz přímý, důkaz nepřímý a důkaz úplnou indukcí. Při přímém důkazu věty mající tvar obecného výroku x M : P (x) Q(x) zpravidla postupujeme takto: Představíme si, že na místě proměnné x je libovolný prvek a M a dokazujeme výrok P (a) Q(a), čímž jsme vlastně vyloučili z dalších úvah obecný kvantifikátor. Najdeme konečnou posloupnost výroků p 1, p 2,..., p k takových, že každý z výroků je buď dříve dokázanou větou příp. axiomem, nebo předpokladem P (a). Jestliže z těchto výroků již plyne výrok Q(a), pak platí implikace P (a) Q(a). Jak tuto posloupnost zvolit, v tom zpravidla spočívá vtip důkazu. Předchozí popis vlastně znamená opakované použití odvozovacího pravidla Modus Ponens, které má následující tvar: Jsou-li pravdivé výroky p a p q, je pravdivý výrok q. Příklad 1.10: Dokážeme větu: Jestliže a 2 +b 2 = 1, pak ab 1. Přesněji formulováno, 2 jde o větu: Pro všechna reálná čísla a, b platí: Je-li a 2 + b 2 = 1, pak ab

9 Důkaz: Platí ( a b ) 2 0; přitom ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2 = a 2 2 ab + b 2, takže a 2 2 ab + b 2 0. Odtud 2 ab a 2 + b 2. protože podle předpokladu je a 2 + b 2 = 1, máme 2 ab 1, odkud ab 1 2. (V průběhu důkazu jsme použili známý vzorec pro (x y) 2, vlastnosti absolutní hodnoty a vlastnosti uspořádání.) Nepřímý důkaz implikace p q provádíme tak, že předpokládáme pravdivost její negace, tj. výroku p q a dokážeme nepravdivost této negace, tj. pravdivost výroku (p q) (podle logického zákona o vyloučeném třetím nemůže platit výrok a současně jeho negace). To můžeme udělat tak, že přímým důkazem dokážeme platnost jedné z těchto implikací, které jsou s posledním výrokem ekvivalentní: I. q p, II. p q p, III. p q q, IV. p q r r (r je libovolný výrok), V. p q s (s je libovolný známý pravdivý výrok). Implikaci I. známe jako větu obměněnou k dané větě, v případě IV. vede implikace k současné platnosti výroku a jeho negace, v případě V. k neplatnosti známého pravdivého výroku. V posledních dvou případech říkáme, že jsme došli ke sporu. Příklad 1.11: Dokažme větu: Jsou-li dvě přímky v rovině rovnoběžné s třetí, pak jsou rovnoběžné navzájem. Důkaz: přímky označme a, b, c, znak je znakem rovnoběžnosti. Je-li výrok p : a c b c, výrok q : a b, dokážeme nepřímo implikaci p q. předpokládejme tedy, že platí q : a b (tj. přímka a není rovnoběžná s přímkou b). Výrok q znamená že se přímky a, b protínají v jednom bodě; odtud a z výroku p plyne, že bodem lze vést k přímce dvě různé rovnoběžky, což je ve sporu s axiomem, že bodem lze vést k přímce jedinou rovnoběžku. Došli jsme tedy k (spornému) závěru, že p q s, kde s je uvedený axiom o rovnoběžkách. Úplnou (též matematickou) indukcí dokazujeme výrok tvaru n N, n n 0 : P (n), kde P (n) je výroková forma, n 0 přirozené číslo. Často bývá n 0 = 1. Princip důkazu spočívá na vlastnosti přirozených čísel, vyjádřené pátým Peanovým axiomem. Důkaz se provádí ve dvou krocích: I. Dokážeme, že věta je pravdivá pro n = n 0. II. Předpokládáme platnost věty pro přirozené číslo k n 0 a dokážeme její pravdivost i pro k + 1. Tím je dokázáno, že platí pro včechna přirozená čísla n n 0. Příklad 1.12: Dokažme, že platí rovnost n = 1 n(n + 1) pro všechna 2 přirozená n. Důkaz: I. Pro n = 1 rovnost zřejmě platí. II. Předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké přirozené k 1, tj k = 1 k(k+1), a dokažme, že platí i pro k+1, tj k+(k+1) = 1 (k+1)(k+2). Levou 2 2 stranu můžeme psát ve tvaru k +(k +1) = 1k(k +1)+(k +1) = 1 (k +1)(k +2) 2 2 a to je pravá strana dokazované rovnosti. 9

10 1.3 Množiny Ze střední školy je vám známo, že v matematice nazýváme jakýkoliv soubor či systém navzájem rozlišitelných objektů množinou. Množiny vymezujeme výčtem prvků nebo predikátem charakterizací (vlastností): Je-li V (x) predikát, potom symbol {x V (x)} označuje množinu všech prvků a, pro které je V (a) pravdivý výrok; někdy uvádíme obor přípustný pro proměnnou x a píšeme např.: {x R V (x)}. Příklad 1.13: {x R x 2} = (, 2, {0, 1, 2, 3, 4} = { x x je celé číslo a 0 x 4}. Značí-li A množinu jistých objektů a x je jeden z těchto předmětů, říkáme, že x je prvkem množiny A (x patří do A) a píšeme x A. Není-li y prvkem množiny A, píšeme y A. Počet prvků konečné množiny nazýváme mohutnost množiny a značíme symbolem A. V dalším textu zavedeme pojem mohutnosti i pro nekonečné nmožiny. Jestliže S je množina, jejíž prvky jsou opět množiny, nazýváme ji zpravidla systémem množin. Dvě množiny mají stejné prvky (tedy jsou si rovny), jestliže jsou charakterizovány ekvivalentními výroky: {x U(x)} = {x V (x)} x (U(x) V (x)). Operace s množinami Nechť A, B jsou množiny. Potom definujeme vztahy mezi množinami a operace s množinami pomocí následujících výroků: rovnost množin A = B x(x A x B) podmnožina A B x(x A x B) průnik množin x(x A B x A x B) sjednocení množin x(x A B x A x B) rozdíl množin x(x A \ B x A x B) Poznamemejme, že platí A = B A B B A. Je-li A B, označujeme množinu B\A symbolem A a nazýváme ji doplňkem (komplementem) množiny A v množině B. Tuto symboliku používáme především tehdy, zkoumáme-li komplementy více množin k jedné pevné množině, univerzu. 10

11 Příklad 1.14: Nechť A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 2, 4, 8} a X = {1, 2,..., 10}. Máme popsat výčtem prvků množiny (doplňky se rozumí vzhledem k X): A B, B C, A \ B, B \ A, A (B C), (A B) C, A B, A B. Řešení: A B = {x x A x B} = {1, 2, 3, 4, 6} B C = {x x B x C} = {2, 4} A \ B = {x x A x B} = {1, 3} B \ A = {x x B x A} = {6} A (B C) = {x x A x B C} = {1, 2, 3, 4} (A B) C = {x x A B x C} = {1, 2, 4, } A B = {x x X x A B} = {5, 7, 8, 9, 10} A = {x x X x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {x x X x B} = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10} A B = {x x A x B} = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Povšimněme si množin z předchozího příkladu ještě z jiné strany zkoumejme jejich mohutnosti. Zřejmě je A = 4, B = 3, C = 4, jistě ale A B A + B, protože prvky, které jsou společné oběma množinám, bychom počítali dvakrát. Zřejmě tedy platí A B = A + B A B. Na množinách A, B, C z předchozího příkladu můžeme demonstrovat zobecnění pravidla na tři množiny: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C : A = {1, 2, 3, 4}, A = 4, B = {2, 4, 6}, B = 3, C = {1, 2, 4, 8}, C = 4, A B = {2, 4}, A B = 2, A C = {1, 2, 4}, A C = 3, B C = {2, 4}, B C = 2, A B C = {2, 4}, A B C = 2, A B C = {1, 2, 3, 4, 6, 8}, A B C = 6, 11

12 a také A + B + C A B A C B C + A B C = = 6. Toto pravidlo zobecněné na n konečných množin se nazývá princip inkluze a exkluze. Příklad 1.15: V jistém podniku sestavili následující přehled o svých zaměstmamcích: V podniku pracuje celkem 250 mužů a 200 žem. Předepsanou kvalifikaci má 160 mužů a 140 žen. Do práce dojíždí 180 mužů a 100 žen. Kvalifikovaných mužů dojíždí 150, kvalifikovaných žen 20. Máme ukázat, že hlášení je nepravdivé. Řešení: Ukážeme, že podle tohoto hlášení by mohutnost množiny nekvalifikovaných nedojíždějících žen byla rovna 20. Množina neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. Tuto množinu značíme symbolem, výrok x (x ) je tedy nepravdivý. Prázdnou množinu můžeme definovat libovolnou kontradikcí, například = {x x A x A}. Prázdná množina má mnoho překvapivých vlastností, se kterými se setkáme později; některé jsou ověřeny v následujícím příkladu: Příklad 1.16: 1. Ukažme, že pro libovolnou množinu A platí A. 2. Prověřme pravdivost následujících výroků: a) b) c) { } d) { } Řešení: 1. Použijeme výrok definující podmnožinu: A x(x x A) x je nepravda, tedy implikace ve zkoumaném výroku je vždy pravdivá (nepravda cokoliv). 2. a) Prázdná množina nemá žádné prvky, tedy ani samu sebe. b) viz 1. pro A =. c) { } je množina zadaná výčtem prvků, jediný její prvek je ; tedy { }. d) viz 1. pro A = { }. V první části předchozího příkladu jsme ukázali, že pro každou množinu A platí A; podobně jistě platí A A pro každou množinu. O množinách, A říkáme, že jsou to nevlastní podmnožiny množiny A; všechny ostatní podmnožiny množiny A se nazývají vlastní. Množinu všech podmnožin dané množiny A nazýváme potenční množinou a označujeme P(A). Tedy P(A) := {X X A}. 12

13 Příklad 1.17: P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Ukážeme,že je-li A konečná množina, A = n, platí P(A) = 2 n : Podmnožinu o k prvcích (v množině A) můžeme utvořit ( n k) různými způsoby (je to počet kombinací k-té třídy z n prvků). Máme tedy ( n 0) podmnožin o 0 prvcích (což je ) ( n 1) jednoprvkových podmnožin ( n 2) dvouprvkových podmnožin ( n k). ( n n) k-prvkových podmnožin n-prvkových podmnožin Celkem (n ) + 0 ( ) n ( ) n + + k ( ) n = (1 + 1) n = 2 n. n Proto se také někdy množina všech podmnožin dané množiny A označuje symbolem 2 A. Příklad 1.18: Řešení: Pro množiny z příkladu 1.14 máme určit P(A C), P(B), P(A C) P(B) a P(A B C). A C = {1, 2, 4} P(A C) = {, {1}, {2}, {4}, {1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}}, P(B) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}, P(A C) P(B) = {, {2}, {4}, {2, 4}}; A B C = {2, 4}, P(A B C) = {, {2}, {4}, {2, 4}}. Věta 1.19: (Pravidla pro množinové operace) Jsou-li A, B, U množiny, A U, B U, U \ A = A, U \ B = B, platí: } A B = B A A B = B A komutativní zákony } A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C asociativní zákony } A (B C) = (A B) (A C A (B C) = (A B) (A C) distributivní zákony } A B = A B A B = A B De Morganova pravidla Kartézským součinem A B množin A, B (v tomto pořadí) nazýváme množinu A B = {(a, b) a A b B}. 13

14 Přitom (a, b) znamená uspořádanou dvojici prvků a, b. Je-li speciálně A = B, pak A A značíme A 2. Například R 2 bude značit množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel. Jsou-li A, B, A B neprázdné množiny, pak A B B A: Příklad 1.20: Nechť A = {1, 2}, B = {3}. Potom A B = {(1, 3), (2, 3)}, a B A = {(3, 1), (3, 2)}. Obecně zavádíme kartézský součin systému množin: A 1 A 2 A n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n }; (x 1, x 2,..., x n ) je uspořádaná n-tice. Je-li A 1 = A 2 = = A n = A, označujeme A A A =: A n. 14

15 2 Relace a operace na množině 2.1 Binární relace, zobrazení Binární relace Definice 2.1: Libovolnou množinu R, která je podmnožinou kartézského součinu množin A, B, tj. R A B, nazveme (binární) relací z A do B. Je-li A = B, R A 2, řekneme, že R je relace na množině A. Je-li (x, y) R, řekneme, že prvky x, y (v tomto pořadí!) jsou v relaci R. Inverzní relace R 1 B A k relaci R je definovaná vztahem (y, x) R 1 (x, y) R. Pro přehlednější charakterizaci relace se někdy používají jiné popisy, než výčtem dvojic, které jsou v relaci. Možnosti popisů ukážeme na příkladu: Příklad 2.2: Nechť A = {a 1, a 2 }, B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } a R = {(a 1, b 2 ), (a 1, b 3 ), (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 2, b 4 )}. maticový popis graf relace spojnicový popis b 1 b 2 b 3 b 4 a a Příklad 2.3: Nechť A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Potom R = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)} je relace z A do B, kterou můžeme interpretovat tak, že (x, y) R, právě když x dělí y. Přitom R 1 = {(4, 2), (6, 2), (8, 2), (3, 3), (6, 3), (9, 3), (4, 4), (8, 4)} a tuto relaci můžeme interpretovat tak, že (a, b) R 1, právě když a je dělitelné b. Relacím na množině se budeme věnovat podrobně později; na tomto místě si povšimneme blíže speciálního typu relací z jedné množiny do druhé, kterými jsou zobrazení (funkce). 15

16 Zobrazení (funkce) Definice 2.4: Nechť F A B je relace pro kterou platí: x A!y B : (x, y) F, neboli ke každému x A existuje právě jedno y B, pro které je (x, y) F. Potom řekneme, že F je zobrazení z A do B a píšeme F : A B, y = F (x). x se nazývá argument funkce F, y funkční hodnota. Příklad 2.5: Nechť A = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, B = {b 1, b 2, b 3 }. Máme zjistit, zda následující relace F 1, F 2 jsou zobrazení: F 1 = {(a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 2, b 1 ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 3 )}, F 2 = {(a 1, b 3 ), (a 2, b 2 ), (a 3, b 1 ), (a 4, b 2 )}. Řešení: F 1 není zobrazení, protože (a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ) F 1, F 2 je zobrazení. Definice 2.6: Zobrazení F : A B se nazývá surjekce (surjektivní zobrazení, zobrazení A na B), jestliže platí y B x A : y = F (x). Zobrazení F : A B se nazývá injekce (injektivní zobrazení, prosté zobrazení), jestliže platí x 1, x 2 A (x 1 x 2 F (x 1 ) F (x 2 )). Zobrazení F : A B se nazývá bijekce (bijektivní zobrazení, jednojednoznačné zobrazení), je-li současně surjekce a injekce. Jako cvičení dokažte větu: Věta 2.7: Zobrazení F : A B je bijektivní, právě když inverzní relace F 1 B A je zobrazení F 1 : B A. Definice 2.8: Zobrazení F 1 z předchozí věty se nazývá inverzní zobrazení. Pomocí zobrazení se definují mohutnosti nekonečných množin: 16

17 Definice 2.9: Nechť N značí množinu přirozených čísel. Řekneme, že množina A je spočetná, jestliže existuje bijekce F : N A. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná. Mohutnost spočetné množiny označujeme symbolem ℵ 0. (ℵ je první písmeno arabské abecedy alef.) Poznamenejme, že existence bijekce F : N A znamená, že prvky množiny A můžeme seřadit do posloupnosti označíme F (1) = a 1, F (2) = a 2,... a každé a A je podle předpokladu obrazem některého přirozeného čísla (a současně každé přirozené číslo k se na některé a k A zobrazí). Příklad 2.10: Množina všech sudých celých čísel A = {2, 4, 6,... } = {y y = 2x, x N} je spočetná hledaná bijekce má tvar F : N A, F (x) = 2x. Příklad 2.11: Ukážeme, že množina {x 0 < x < 1} = (0, 1) je nespočetná. Řešení: Předpokládejme, že tato množina je spočetná, tedy že existuje bijekce F : N (0, 1) a prvky intervalu (0, 1) můžeme seřadit do posloupnosti, tedy že platí (0, 1) = {x 1, x 2, x 3,... }. Každé číslo tohoto intervalu má dekadický rozvoj tvaru 0, a 1 a 2 a 3..., kde a i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Některá racionální čísla mají dva rozvoje např. 1 2 = 0, , ale také 1 2 = 0, (O prvním rozvoji říkáme, že je konečný nuly na konci obvykle nepíšeme, o druhém říkáme že je nekonečný.) V případě dvou možných rozvojů pro jedno číslo vezmeme v úvahu ten konečný. Napíšeme dekadické rozvoje předpokládané posloupnosti pod sebe: x 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 x 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 x 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 x 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 x 5 = 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 Zvolme reálné číslo y tvaru y = 0, b 1 b 2 b 3..., kde b k = { akk + 1, je-li a kk 9, 0 je-li a kk = 9. Zřejmě je y (0, 1), ale není prvkem naší posloupnosti, protože se od každého x i liší v i-té cifře. Proto se prvky intervalu (0, 1) nedají seřadit do posloupnosti, tedy požadovaná bijekce F : N (0, 1) neexistuje a tento interval je nespočetná množina. 17

18 Definice 2.12: je funkce Nechť A U, U univerzum. Charakteristická funkce množiny A χ A : U {0, 1}, χ A (x) = { 1 pro x A 0 pro x A Příklad 2.13: Nechť univerzum U = R množina všech reálných čísel, nechť Q je množina všech racionálních čísel. Potom klademe { 1 pro x racionální χ(x) := χ Q (x) = 0 pro x iracionální Relace na množině Definice 2.14: Binární relace R A A se nazývá relace na množině A. Vztah (x, y) R, zapisujeme ve tvaru xry (infix), nebo R(x, y) (prefix). Relace R na množině A se nazývá reflexivní, jestliže platí xrx x A, symetrická, jestliže xry yrx x, y A, antisymetrická, jestliže xry yrx x = y x, y A, tranzitivní, jestliže xry yrz xrz x, y, z A. Příklad 2.15: 1. Identická relace (relace rovnosti) na množině A je relace A = {(x, x) x A}. Značí se také symbolem id A. Je reflexivní, symetrická a tranzitivní. 2. Nechť M je množina a P(M) systém jejích podmnožin. Potom inkluze je relace na P(M) (A, B) A B), která je zřejmě reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. 3. Nechť N je množina přirozených čísel. Relace definovaná na N vztahem (m, n) m n je opět reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Ekvivalence a rozklady Definice 2.16: Systém A neprázdných podmnožin množiny A se nazývá rozklad množiny A, jestliže platí: 1. A i = A, 2. pro A i, A j A, i j je A i A j =. i Množiny systému A se nazývají třídy rozkladu. 18

19 Příklad 2.17: Uvažujme množinu A v sousedním obrázku. Potom A = {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 } je rozklad množiny A, A 1,..., A 6 jsou třídy rozkladu. Definice 2.18: Reflexivní, symetrická a tranzitivní relace ε na množině A se nazývá relace ekvivalence. Pro každý prvek a A položíme [a] := {x A x ε a}. Poznámka: Ekvivalenci obvykle značíme symboly, a píšeme místo a ε b raději a b atd. Věta 2.19: 1. a [a] Platí 2. [a] [b] [a] = [b]. Důkaz: Je-li x [a] [b], potom platí x a x b. Odtud ze symetrie plyne a x x b a odtud z tranzitivity dostaneme a b, neboli [a] = [b]. Systém množin {[a] a A} tedy tvoří rozklad na množině A indukovaný ekvivalencí. Naopak, je-li dán rozklad A množiny A, potom existuje ekvivalence, která tento rozklad indukuje: Stačí definovat x y x, y patří do téže třídy rozkladu A. Příklad 2.20: Nechť A = {a, b, c, d, e} a = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e)} je ekvivalence na A. Potom [a] = {a, b} = [b], [c] = {c}, [d] = {d, e} = [e]. Rozklad má tvar: a b }{{} }{{} c d}{{} e Příklad 2.21: Libovolné zobrazení F : A B indukuje na A ekvivalenci, tedy také rozklad, předpisem a 1, a 2 A : a 1 a 2 F (a 1 ) = F (a 2 ). Například charakteristická funkce χ z příkladu 2.13, χ Q : R {0, 1} vytvoří rozklad reálných čísel na racionální a iracionální. 19

20 Uspořádání Definice 2.22: Reflexivní, tranzitivní a antisymetrická relace A A se nazývá uspořádání. Platí tedy a a a b b c a c a b b a a = b. Říkáme, že (A, ) množina A vybavená relací uspořádání je uspořádaná množina. Uspořádání se obvykle označuje nesymetrickými symboly, a pod. Příklad 2.23: obrázku. Potom Uvažujme množinu M a její podmnožiny A, B, C, D, v následujícím ({M, A, B, C, D}, ) je uspořádaná množina. Uspořádání můžeme znázornit tzv. Hasseovým diagramem viz obrázek napravo. Definice 2.24: Buď (A, ) uspořádaná množina. Prvky a, b A se nazývají nesrovnatelné, jestliže neplatí ani a b, ani b a. Píšeme a b. Příklad 2.25: Prvky A, D z předchozího příkladu jsou nesrovnatelné neplatí ani A D, ani D A. Definice 2.26: Uspořádaná množina, ve které nejsou nesrovnatelné prvky, se nazývá řetězec resp. lineárně uspořádaná množina. Příklad 2.27: ({1, 2, 3, 4}, ) je řetězec; také (N, ) je řetězec. Definice 2.28: Nechť (M, ) je uspořádaná množina, B M. Prvek b M takový, že pro každé x B je x b (x b) se nazývá horní (dolní) ohraničení množiny B. Horní resp. dolní ohraničení množiny M se nazývají univerzální ohraničení nebo největší a nejmenší prvek. 20

21 Definice 2.29: Buď (M, ) uspořádaná množina, A M. 1. Prvek a M nazveme suprémem množiny A, jestliže (a) x A : x a (a je horní ohraničení) (b) ( x A : x a 1 ) a a 1 (a je nejmenší horní ohraničení). Píšeme a = sup A. 2. Prvek a M nazveme infimem množiny A, jestliže (a) x A : a x (a je dolní ohraničení) (b) ( x A : a 1 x) a 1 a (a je největší dolní ohraničení). Píšeme a = inf A. Příklad 2.30: Buď M = (R, ), a) A = (0, 1. Potom sup A = 1, inf A = 0. b) A = {x x = n+1, n N}. Potom inf A = 1, sup A = 2. n Suprémum a infimum dvouprvkových množin má svůj speciální název: Definice 2.31: Nechť a, b M, M uspořádaná množina. Potom 1. sup{a, b} =: a b se nazývá spojení 2. inf {a, b} =: a b se nazývá průsek prvků a, b. Uspořádaná množina, ve které každé dva prvky mají spojení a průsek, se nazývá svazově uspořádaná nebo krátce svaz. Příklad 2.32: množin. V následujícím obrázku jsou Hasseovy diagramy dvou uspořádaných V obrázku nalevo je svaz, zatímco napravo není svaz zde neexistuje d e a c d. 21

22 Příklad 2.33: Přitom Je-li M libovolná množina, potom (P(M), ) je svaz. { A B je spojení, A B je průsek. Věta 2.34: V každém svazu platí L 1 : x x = x, x x = x (idempotentnost) L 2 : x y = y x, x y = y x (komutativita) L 3 : L 4 : x (y z) = (x y) z x (y z) = (x y) z x (x y) = x x (x y) = x (asociativita) (absorbce) Důkaz: L 1 : Podle definice x y = inf{x, y}, tedy x x = inf{x} = x. Analogicky pro spojení. L 2 : x y = sup{x, y} = sup{y, x} = y x (na pořadí prvků v množině nezáleží). Analogicky pro průsek. L 3 : Položme v := x (y z), w := (x y) z). Ukážeme, že platí v w a současně w v. v = x (y z) v x a současně v y z, tedy současně platí v x, v y, v z. Odtud plyne v x y a současně v z, tedy v w. Opačná nerovnost se dokáže analogicky, stejně jako asociativita spojení. L 4 dokažte za cvičení. 22

23 2.2 Algebry s jednou a dvěma operacemi Binární operace na možině Definice 2.35: Zobrazení : A A A se nazývá binární operace na množině A. Pro (x, y) A A označujeme hodnotu této operace symbolem x y. Množina s jednou nebo více takovými operacemi se nazývá algebra. Algebry označujeme symboly (A, ), (A, +, ) a pod. Příklad 2.36: Najdeme všechny binární operace na množině A = {0, 1}. Řešení: Máme tedy najít všechna zobrazení A A A. Každé z těchto zobrazení je charakterizováno tím, které z prvků kartézského součinu A A se zobrazí na prvek 1 (zbývající se zobrazí na 0) tedy se jedná o charakteristické funkce všech podmnožin množiny A A a těch je právě tolik, kolik má tato množina podmnožin. Množina A A = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} má čtyři prvky, tedy má 2 4 = 16 podmnožin. Je třeba najít 16 různých funkcí, reprezentujících 16 různých operací, např. můžeme popsat tabulkou: můžeme popsat tabulkou: můžeme popsat tabulkou: tedy 0 o 1 0 = 0, 0 o 2 0 = 1, atd. 23

24 Definice 2.37: Nechť (A, ) je algebra, B A je taková podmnožina, že pro libovolné b 1, b 2 B je také b 1 b 2 B, tj. že B je podmnožina uzavřená k operaci. Potom se (B, ) nazývá podalgebra algebry (A, ). Příklad 2.38: podalgebrou. Uvažujme algebru ({0, 1}, o 3 ) z příkladu Potom ({0}, o 3 ) je její Příklad 2.39: Algebra reálných čísel s operací sečítání (R, +) je zřejmě podalgebrou algebry komplexních čísel s operací sečítání (C, +). Definice 2.40: Nechť (A 1, 1 ), (A 2, 2 ) jsou dvě algebry s jednou binární operací. Zobrazení f : A 1 A 2 je homomorfismus algeber (A 1, 1 ), (A 2, 2 ), jestliže platí ( x, y A 1 ) : f(x 1 y) = f(x) 2 f(y). Příklad 2.41: Položme A 1 = R, A 2 = (0, ), f : A 1 A 2 definujme předpisem f(x) = e x. Potom f je homomorfismus algeber (A 1, +) a (A 2, ): x, y R : f(x + y) = e x+y = e x e y = f(x) f(y). Grupa, těleso Definice 2.42: pro každé platí: Řekneme, že algebra (A, ) s jednou binární operací je grupa, jestliže G1) ( a, b, c A) : (a b) c = a (b c) (asociativita) G2) ( e A) ( a A) : a e = a = e a (neutrální prvek) G3) ( a A) ( a 1 A) : a a 1 = e = a 1 a (inverzní prvek) Jestliže v grupě pro operaci platí navíc ( a, b A) : a b = b a komutativita), řekneme, že je komutativní. Poznámka: Při aditivním zápisu grupové operace (A, +) se obvykle neutrální prvek e nazývá nulový a označuje symbolem 0 a inverzní prvek k prvku a se nazývá opačný a označuje symbolem a, při multiplikativním zápisu operace (A, ) se neutrální prvek nazývá jednotkový a označuje symbolem 1. Příklad 2.43: (Z, +), (R, +), (R \ {0}, ) jsou zřejmě komutativní grupy. 24

25 Příklad 2.44: Algebra ({0, 1}, +), kde + je o 3 z příkladu 2.36 je komutativní grupa: (+) je obvyklé sčítání dodefinované cyklicky : = 0. Komutativita je zřejmá (např. z tabulky), asociativitu prověříme (s využitím komutativity jen pro některé trojice). Neutrální prvek je 0, každý z prvků 0, 1 je sám k sobě opačný. Definice 2.45: Řekneme, že algebra (T, +, ) se dvěma binárními operacemi +, je těleso, jestliže platí: T1) (T, +) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0, T2) (T \ {0}, ) je grupa, T3) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c } distributivita. Příklad 2.46: 1. Těleso reálných čísel (R, +, ), 2. těleso komplexních čísel (R, +, ). Poznámka: Podalgebry grup resp. těles se nazývají podgrupy resp. podtělesa. Svaz jako algebra Věta 2.47: Algebra (S,, ) se dvěma binárními operacemi,, které splňují vztahy L 1 L 4 z věty 2.34, je svaz vzhledem k uspořádání zadaném předpisem x y x y = x (x y = y). Naopak každá uspořádaná možina, která je svazem ve smyslu definice 2.31, je algebra se dvěma binárními operacemi, kterými jsou spojení a průsek: x y = sup{x, y}, x y = inf{x, y}. Je tedy zřejmé, že není třeba rozlišovat, zda je svaz definován jako algebra, nebo jako uspořádaná množina říkáme, že je to svaz. Příklad 2.48: je inkluze. (P(X),, ) je algebraicky definovaný svaz, kde indukované uspořádání Poznámka: Podalgebra svazu se nazývá podsvaz. 25

26 Příklad 2.49: A = {0, a, b, c, d, 1} je uspořádaná množina, A 1 = {0, a, c, d, 1}, A 2 = {0, a, b, c, 1} její podmnožiny s indukovaným uspořádáním; Hasseovy diagramy jsou v následujícím obrázku: Jak se snadno přesvědčíme, všechny tři množiny jsou svazy. Vyšetříme, jedná-li se o podsvazy. Je třeba zjistit, zda s každými dvěma prvky v podmnožině je zde i jejich původní spojení a průsek. Zřejmě musíme vyšetřit pouze nesrovnatelné prvky (u srovnatelných je podmínka triviálně splněna). V A 1 jsou nesrovnatelné c a d: c d = { (v A1 ) = a (v A) = a v A 2 jsou nesrovnatelné c a b: c d = { (v A1 ) = 0 (v A) = 0 A 1 je podsvaz svazu A, c b = { (v A2 ) = 0, (v A) = d A 2 není podsvaz svazu A. Mějme dva svazy L a S a definujme na kartézském součinu L S následující operace: (l 1, s 1 ) (l 2, s 2 ) := (l 1 l 2, s 1 s 2 ), (l 1, s 1 ) (l 2, s 2 ) := (l 1 l 2, s 1 s 2 ). Potom (L S,, ) je svaz, který se nazývá direktní součin svazů L a S. Příklad 2.50: Nechť 2 je dvouprvkový řetězec. Potom 2 2 je v sousedním obrázku: 26

27 Distributivní svazy Uvažujme svaz podmnožin nějaké množiny s operacemi průniku a sjednocení (P(X),, ). Tento svaz kromě podmínek L 1 L 4 z věty?? splňuje tzv. distributivní zákony A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), naproti tomu svaz v následujícím obrázku distributivní zákony nesplňuje: c (b d) = c a = c (c b) (c d) = e d = d Definice 2.51: Svaz (L,, ) ve kterém platí distributivní zákony D : x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) x, y, z L se nazývá distributivní svaz. Jako cvičení ukažte, že v každém svazu platí: x (y z) (x y) (x z) x (y z) (x y) (x z) x, y, z L Komplementární svazy Definice 2.52: Existuje-li ve svazu (L,, ) nejmenší prvek 0 a největší prvek 1, tj. prvky, pro které platí x L : x 1 = x a současně x 1 = 1 a x L : x 0 = 0 a současně x 0 = x neboli 0 = inf L, 1 = sup L, řekneme, že (L,, ) je svaz s univerzálním ohraničením. Příklad 2.53: (N, ) je svaz, který nemá největší prvek; (Z, ) je svaz, který nemá ani největší ani nejmenší prvek. Konečné svazy jsou svazy s univerzálním ohraničením. 27

28 Definice 2.54: Nechť (L,, ) je svaz s univerzálním ohraničením. Nechť x L. Existuje-li prvek x L, pro který platí x x = 1, x x = 0, nazýváme ho komplementem prvku x. Komplement prvku nemusí být jediný: Příklad 2.55: Uvažujme množinu M = {1, 2, 3, 5, 30}, přičemž x y znamená největší společný dělitel čísel x, y v M, x y nejmenší společný násobek čísel x, y v M. Dostaneme svaz s Hasseovým diagramem v sousedním obrázku: Svaz není distributivní: 2 (3 5) = 2 1 = 2, ale (2 3) (2 5) = = 30. Svaz má zřejmě 0 a 1 0 = 1 a 1 = 30. Každý prvek tohoto svazu má komplement, ale např. 2 má dva komplementy 3 a 5: 2 3 = 2 5 = 1, 2 3 = 2 5 = 30. Platí ale věta: Věta 2.56: V distributivním svazu s univerzálním ohraničením má každý prvek nejvýš jeden komplement. Důkaz: Nechť a x = a y = 0 a x = } a y = 1. Potom x = x (a y) = (x a) (x y) = x y x = y. y = y (a x) = (y a) (y x) = y x Věta 2.57: V distributivním svazu tvoří všechny prvky mající komplement podsvaz. Důkaz: Nechť C L je množina prvků svazu L, které mají komplement. Nechť a, b C. Potom (a b) (a b ) = (a b a ) (a b b ) = 0 0 = 0, (a b) (a b ) = (a a b ) (b b a ) = 1 1 = 1. Definice 2.58: Svaz s univerzálním ohraničením, ve kterém má každý prvek komplement, se nazývá komplementární. Booleovy algebry Definice 2.59: Distributivní komplementární svaz se nazývá Booleova algebra. 28

29 Příklad 2.60: 1. (P(A),, ) je Booleova algebra: A = 1, = 0, M A : M = A \ M. 2. Dvouprvkový řetězec 2 = {a, b}, kde a b je Booleova algebra: a = 1, b = 0, 0 = 1, 1 = 0 atd. 3. Direktní součin 2 2 (viz příklad 2.49) je Booleova algebra: (a, a) = 1, (b, b) = ), (a, b) = (b, a) atd. Věta 2.61: V Booleově algebře (A,, ) platí a, b A: B 1 : (a ) = a (involuce) } (a b) B 2 : = a b (a b) = a b (de Morganova pravidla) B 3 : a b a b = 0 Důkaz: B 1 : z jednoznačnosti komplementu, B 2 : (a b) (a b ) = z distributivity = [(a b) a ] [(a b) b ] = z komutativity a asociativity = = [(a a ) b] [a (b b )] = (0 b) (a 0) = 0 0 = 0, analogicky (a b) (a b ) = [a a b ] [b a b ] = (1 b ) (a 1) = 1 1 = 1, B 3 : ( ) : (a b) a = a b, b = (a b) = a b a b = (a b) (a b ) = = asociativita a komutativita = (a a ) (b b ) = 0, ( ) : a b = 0 a b = (a b) 0 = (a b) (a b ) = distributivita = = [(a b) a] [(a b) b ] = 1. závorka absorbce = a (a b ) = absorbce = a. Poznámka: Booleova algebra je tedy algebra se dvěma binárními operacemi,, s jednou tzv. unární operací ( ), která každému prvku přiřazuje jeho komplement, a se dvěma význačnými prvky 0, 1 tedy (A,,,, 0, 1), která splňuje axiomy L 1 L 4, distributivní zákony a B 1, B 2. Homomorfismy Booleových algeber Je-li f : A B zobrazení, potom je f homomorfismus Booleových algeber (A,,,, 0 A, 1 A ) a (B,,,, 0 B, 1 B ), jestliže a, b A platí: f(a b) = f(a) f(b), f(a b) = f(a) f(b), f(a ) = (f(a)), f(0 A ) = 0 B, f(1 A ) = 1 B. 29

30 Příklad 2.62: 1 1 a 1 a je homomorfismus. Definice 2.63: platí: Prvek a Booleovy algebry (B,,,, 0, 1) se nazývá atom, jestliže x B : x a = a nebo x a = 0. (je-li x a, potom x = 0 nebo x = a) Poznámka: Nechť B je konečná Booleova algebra, x B, x 0. Potom existuje atom a takový, že a x (neboli a x = a). Platí 0 < x. Jestliže x není atom, existuje prvek a 1 tak, že 0 < a 1 < x. Podobně není-li a 1 atom, existuje a 2 tak, že 0 < a 2 < a 1 < x atd., tedy existuje posloupnost (a n) s vlastností x > a 1 > a 2 > > 0. Není-li žádné a n atom, je tato posloupnost nekonečná a to je spor. Věta 2.64: Každý nenulový prvek konečné Booleovy algebry se dá jediným způsobem vyjádřit jako spojení jejích atomů. Důkaz: Buď B konečná Booleova algebra, x B, x 0. Nechť A = {a 1, a 2,..., a n} = {a a je atom, a x}. Položme y = a 1 a 2 a n; ukážeme, že y = x. Zřejmě je y x, předpokládejme, že x y, tj. x y 0. Existuje tedy atom a x y, neboli platí a x a zároveň a y. Je-li a atom takový, že a x, je a y (podle definice y), ale a y, tedy a y y = 0, a proto a = 0, tj. a není atom a to je spor. Proto platí x y a odtud plyne x = y, neboli x je rovno spojení všech atomů menších nebo rovných x. Dokážeme jednoznačnost tohoto vyjádření: Buď x = b 1 b 2 b m. Potom i : b i x, tedy platí 0 b i = b i x = b i (a 1 a 2 a n) = (b i a 1 ) (b i a 2 ) (b i a n), tedy b i a j 0 pro některé j. Protože a j je atom, platí b i A i. Podobně se ukáže, že a j {b 1, b 2,..., b m} j. Důsledkem předchozí pomocné věty je následující důležité tvrzení o množinové reprezentaci konečných Booleových algeber: Věta 2.65: Nechť B je konečná Booleova algebra, A množina všech jejích atomů. Potom je B izomorfní s množinovou Booleovou algebrou (P(A),,,,, A) ( A označuje A = A \ A). 30

31 Důkaz: Položme h : B P(A), h(x) = {a A a x}. Podle předchozí věty je h bijekce; ukážeme, že je to homomorfismus. Nechť h(x) = {a 1,..., a n} = A 1, h(y) = {b 1,..., b m} = A 2. Potom x = a 1 a n, y = b 1 b m. Potom x y = a 1 a n b 1 b m a h(x y) = A 1 A 2 = h(x) h(y), x y = (a 1 { a n) (b 1 b m) = i,j (a i b j ). 0 pro ai b Ale a i b j = j,, tedy h(x y) = A a i pro a i = b 1 A 2 = h(x) h(y). j Označme h(x ) = A 3. Potom h(x } x ) = h(1) = A h(x x A ) = h(0) = 3 = A \ A 1. z Důsledek: 1. Každá konečná Booleova algebra má 2 k prvků (pro některé k N), 2. Dvě konečné Booleovy algebry o stejném počtu prvků jsou izomorfní. 31

32 3 Formální systém výrokové logiky 32

33 4 Lineární algebra Lineární algebra vznikla z potřeby řešit soustavy lineárních rovnic, a to někdy velmi rozsáhlé obsahující až tisíce rovnic. To vedlo k pojmu matice a determinantu a dále se ukázalo užitečné zavést abstraktní pojem vektorový (lineární) prostor, který má další hojné použití jak v samotné lineární algebře, tak v dalších matematických partiích i například ve fyzice. Připomeňme, že lineární rovnicí s neznámými x 1, x 2,... x n rozumíme rovnici tvaru a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n, b jsou čísla. Slovem lineární zdůrazňujeme, že neznámé x 1, x 2,..., x n jsou v rovnici obsaženy nejvýše v první mocnině, jsou násobeny číslem, a nejsou v žádném jiném vztahu. Soustava lineárních rovnic, tedy několik rovnic se stejnými neznámými, tvoří přirozený matematický model pro většinu tecnických problémů; např. v elektrotechnice pomocí nich řešíme elektrické sítě, ve statice tvoří základní matematický nástroj pro vyšetřování rovnovážných stavů. Dále se tyto soustavy vyskytují jako součást výpočetního postupu jiných matematických úloh; např. při řešení soustav diferenciálních a diferenčních rovnic užitím operátorového počtu (Laplaceovy resp. Z-transformace) nebo pomocí numerických metod. 33

34 4.1 Aritmetické vektory Nejdříve si všimneme jednořádkového schématu, tedy uspořádané n-tice čísel; zavedeme mezi nimi aritmetické operace, analogické operacím s čísly, a budeme studovat další jejich vlastnosti. Základní pojmy, aritmetické operace Definice 4.1: Nechť n je nějaké přirozené číslo. Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a 1, a 2, a 3,..., a n ) R n nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorem. Číslo a i, i = 1,..., n se nazývá i-tá složka vektoru a. O dvou vektorech a,b říkáme, že se rovnají a píšeme a = b, právě když se rovnají jejich odpovídající si složky, tedy když platí a i = b i i. Součtem a + b dvou n-rozměrných vektorů o složkách a i, b i nazýváme vektor c o složkách c i = a i + b i i. Součinem αa reálného čísla α s n-rozměrným vektorem a o složkách a i nazýváme vektor d o složkách d i = αa i, i = 1,..., n. Vektor, jehož všechny složky jsou rovny nule, nazýváme nulovým vektorem a značíme o. Místo ( 1)a píšeme a a místo a + ( b) píšeme a b a tento vektor nazýváme rozdílem vektorů a, b. Množinu všech reálných n-rozměrných aritmetických vektorů, v níž jsou definovány uvedené operace sečítání a násobení číslem, tedy (R n, +,.), krátce R n, nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad oborem reálných čísel. Snadno prověříme následující tvrzení: Věta 4.2: Pro operace v aritmetickém vektorovém prostoru platí následující pravidla: 1. a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) (komutativita a asociativita sečítání) 2. existuje takový vektor o (je to nulový vektor), že a + o = a, 3. α(a + b) = αa + αb (α + β)a = αa + βa (distributivita násobení číslem) 4. α(βa) = (αβ)a, 0 a = o, αo = o 5. rovnost αa = o nastane, právě když α = 0 nebo když a = o 6. (αa) = ( α)a = α( a) 34

35 Poznamenejme, že vztahy 1) a 2) znamenají, že (R n, +) je komutativní grupa s neutrálním prvkem o. Důkaz se provede využitím vlastností operací s čísly; např: 1. Nechť a = (a 1, a 2,... a n), b = (b 1, b 2,... b n). Potom a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,... a n + b n) = (b 1 + a 1, b 2 + a 2,... b n + a n) = b + a, protože výraz a k + b k je součet čísel, pro který platí komutativní zákon. Analogicky budeme postupovat při důkazu platnosti asociativního zákona pro součet aritmetických vektorů využitím asociativního zákona pro součet čísel jednotlivých souřadnic. 2. Nechť o = (o 1, o 2,... o n). Potom platí a + o = a (a 1 + o 1, a 2 + o 2,... a n + o n) = (a 1, a 2,... a n) a 1 + o 1 = a 1, a 2 + o 2 = a 2,... a n + o n = a n o 1 = o 2 = = o n = 0, tedy o je nulový vektor. Zbylé části věty dokažte podobně jako cvičení. Definice 4.3: 1. Skalárním součinem u v dvou n-rozměrných vektorů o složkách u i, v i, i = 1, 2,..., n nazýváme číslo definované vztahem u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. 2. Platí-li pro u, v V n : u v = 0, řekneme, že u a v jsou ortogonální. (Jedná se o zobecnění pojmu kolmost.) 3. Systém vektorů u 1, u 2,..., u k R n se nazývá ortogonální systém vektorů, jsouli tyto vektory po dvou ortogonální. Platí-li navíc u i u i = 1 i, říkáme, že systém je ortonormální. Příklad 4.4: a) Nechť a = (1, 0, 2), b = (3, 2, 0). Potom a + b = (4, 2, 2), 3a = (3, 0, 6) a a b = 3. b) Systém vektorů {i, j, k}, kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) tvoří zřejmě ortonormální systém vektorů. Vektory ve fyzice, geometrická reprezentace Obvykle se poprvé setkáme s pojmem vektoru v nějakém fyzikálním kontextu při studiu mechaniky, elektrických a magnetických polí atp. Zde se studují vektory v dvoj- a troj-dimenzionálním prostoru a odpovídají síle, rychlosti, pozici částice atd. Mají jednak velikost, jednak směr; mohou být zvětšovány (zmenšovány) pomocí multiplikativního faktoru, sečítány pomocí rovnoběžníkového pravidla; mezi vektory je definován skalární a vektorový součin atd. Určující charakteristiky fyzikálního vektoru velikost a směr motivují jeho reprezentaci 35