DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ TUHÉ TĚLESO

Transkript

1 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ TUHÉ TĚLSO Tuhé těleso je těleso, o teé latí, že libovolná síla ůsobící na těleso nezůsobí jeho defoaci, ale ůže ít ouze ohybový účine. Libovolná dvojice bodů ležících na tuhé tělesa á stále stejnou vzdálenost. Obsah Pois vlastností tuhého tělesa... Integální ois tuhého tělesa... Těžiště tělesa... Rovnovážná oloha tuhého tělesa... Posuvný ohyb tuhého tělesa... 3 Otáčivý ohyb tuhého tělesa... 3 Osa otáčení... 3 Moent setvačnosti... 4 Steineova věta... 4 Kobinovaný ohyb tuhého tělesa... 4 negie tuhého tělesa... 4 Potenciální enegie tuhého tělesa... 4 Kineticá enegie tuhého tělesa... 4 Kineticá enegie ři osuvné ohyb tělesa... 5 Kineticá enegie ři otáčivé ohyb tělesa... 5 Kineticá enegie ři obinované ohyb tělesa... 5 Páce a výon ři otáčení tuhého tělesa... 5 Páce... 5 ýon... 6 Pohybová ovnice ři otáčení tuhého tělesa... 6 Pois vlastností tuhého tělesa z y d, d x Integální ois tuhého tělesa Při integální oisu tuhého tělesa zavádíe jeho eleentání část veli alých ozěů (eleent tělesa) o hotnosti d a objeu d, ja uazuje ob.. Z eleentů se sládá těleso. Pa definujee hustotu tělesa d ρ =. () d 3 Jednota hustoty je [ ρ ] = g.. Mateaticý důslede řechodu od soustavy ob. Zavedení eleentání části tělesa onečného očtu hotných bodů e sojitý eleentů tělesa je řechod od součtu onečného očtu sčítanců integaci řes obje nebo hotnost tělesa, tedy Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso

2 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ n Pa hotnost tělesa (s řihlédnutí... d nebo... d. = d = ρ d ) učíe jao = d = ρ d. () Hybnost tělesa bude dána integací hybností d všech eleentů tělesa = d = de v je ychlost obecného eleentu tělesa Těžiště tělesa ρ v d, (3) Těžiště tělesa je oyslný bod o teý latí, že je do něj soustředěna vešeá hotnost a hybnost tělesa, tedy ve shodě s řechode od suace integaci T = ρ d, (4) Řešení ovnice (4) a (5) dostanee olohu těžiště T = ρ v d. (5) T = ρ d, (6) o hoogenní těleso, o něž latí ρ = onst, je oloha těžiště učena vztahe Těžiště ůže ležet i io těleso. = T d, (7) Rovnovážná oloha tuhého tělesa Rovnovážná oloha je oloha tuhého tělesa, ři níž je výslednice všech sil ůsobících na těleso nulová a výsledný oent všech sil je taé nulový. N F = F j j= = 0, (8) de N je očet sil ůsobících na těleso. M N M j j = = = 0, (9) Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso

3 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ Tyy ovnovážných oloh Stálá ovnovážná oloha (též stabilní) je oloha, o teou latí, že vychýlení z této olohy se těleso vací zět. Potenciální enegie tělesa ve stálé ovnovážné oloze je nejenší, ři vychýlení se zvětšuje ( 0). > atá ovnovážná oloha (též labilní) je oloha, o teou latí, že vychýlení z této olohy se těleso nevací zět. Potenciální enegie tělesa je ve vaté ovnovážné oloze je největší. ychýlení z vaté 0. olohy se otenciální enegie tělesa zenšuje ( ) < ob. olná ovnovážná oloha (též indifeentní) je oloha, o teou latí, že vychýlení tělesa se výslednice sil ani výsledný oent sil ůsobících na těleso neění ( = onst ). Posuvný ohyb tuhého tělesa Posuvný ohyb (nebo tanslace) je taový ohyb tuhého tělesa, ři teé všechny body 3 3 ω, ε ob. 3 Znázonění osuvného ohybu tělesa ob. 4 Znázonění otáčivého ohybu tělesa tělesa onají ohyb o stejných, ouze navzáje osunutých, tajetoiích. Rychlosti a zychlení jednotlivých bodů tělesa jsou ři osuvné ohybu stejné, oto lze zouání osuvného ohybu řevést na zouání ohybu jediného z bodu, nejčastěji těžiště. Otáčivý ohyb tuhého tělesa Rotace (nebo otáčivý ohyb) je taový ohyb tuhého tělesa, ři teé se všechny body tělesa otáčejí ole jedné solečné osy otáčení se stejnou úhlovou ychlostí. Tajetoiei jednotlivých bodů tělesa jsou soustředné užnice. Úhlové ychlosti a úhlová zychlení jednotlivých bodů tělesa jsou ři otáčivé ohybu stejné. Osa otáčení Osa otáčení je řía ole teé se těleso ři otáčivé ohybu otáčí. Body tělesa, teé na ose leží, zůstávají na svých ístech, jejich ychlost je nulová. Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso

4 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ Moent setvačnosti Po otáčivý ohyb tělesa ole osy otáčení zavádíe oent setvačnosti, teý definujee vztahe J = ρ d, (0) jeho jednota je [ J ] = g.. Moent setvačnosti je veličina, teá závisí na geoeticých vlastnostech tělesa a na uístění osy otace. Je-li těleso hoogenní, je jeho hustota ρ onstantní v celé jeho objeu ( ρ = onst). Poto lze ředchozí vyjádření zasat v jednodušší odobě J = ρ d. () ovnicích (0) a () je oěnná vzdálenost eleentu tělesa d od osy otace. zoce o výočet oentů setvačnosti něteých těles ůzný osá otace uvádí v saostatné studijní ateiálu zoce oentů setvačnosti. Steineova věta d J J T o oent setvačnosti tělesa vzhlede ose otáčení jdoucí io těžiště tělesa latí Steineova věta J + = JT d, () de J T je oent setvačnosti vzhlede ose jdoucí těžiště tělesa, je hotnost tělesa a d je olá vzdálenost těžiště od osy otáčení. negie tuhého tělesa Potenciální enegie tuhého tělesa Kobinovaný ohyb tuhého tělesa Kobinovaný ohyb tuhého tělesa je ohyb, ři něž se osa otace osouvá, tj. neění svůj sě a ole této osy těleso otuje. Potenciální enegie tuhého tělesa není učena ohybe, ale olohou tělesa, neozhoduje tedy zůsob ohybu. Poud jao olohu tělesa vybeee olohu jeho těžiště, lze otenciální enegii tuhého tělesa očítat stejně jao otenciální enegii hotného bodu, tedy, nař. o gavitační ole o těleso blízo Zeě ( h) = gh, (3) nebo o těleso daleo od Zeě s nulovou otenciální enegií v h Kineticá enegie tuhého tělesa Při výočtu ineticé enegie tělesa ozhoduje ty ohybu. Z ( h) = κ `. (4) R + h Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso

5 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ Kineticá enegie ři osuvné ohyb tělesa Kineticá enegie tuhého tělesa ři osuvné ohybu je stejná jao o hotný bod = vt, (5) de je hotnost celého tělesa a v T je ychlost těžiště tělesa. Kineticá enegie ři otáčivé ohyb tělesa Kineticá enegie tuhého tělesa ři otáčivé ohybu je ovna ω = J, (6) de J je oent setvačnosti tělesa vzhlede ose otáčení a ω je úhlová ychlost, se teou se těleso otáčí. Kineticá enegie ři obinované ohyb tělesa Kineticá enegie tuhého tělesa ři obinované ohybu je ovna + ω = v J, (7) de v je osuvná ychlost osy otace, je hotnost tělesa, J je oent setvačnosti tělesa vzhlede ose otáčení a ω je úhlová ychlost, se teou se těleso otáčí. Páce a výon ři otáčení tuhého tělesa Páce Předoládeje otáčení tělesa ole evné osy ja naznačuje ob. 5. levo je ohled na celé těleso, vavo je ohled na řez tělese olo na osu otáčení. eli alé ootočení tělesa odovídá zěně úhlové dáhy o d ϕ. eto oentu síly M o, teý je říčinou otáčení, veto úhlové ychlosti ω, veto úhlové dáhy ϕ a vetoy všech ostatních v otačních veličin leží v ose otace. Páce W oentu síly, ři otočení tělesa z očáteční úhlové olohy ϕ do onečné úhlové olohy ϕ bude ϕ W = M. d ϕ. (8) Je to odobný zůsob výočtu ja ři ob. 5 K oisu áce ři otáčení tělesa výočtu áce ři osuvné ohybu, s tí ozdíle, že tanslační veličiny nahazujee otačníi, viz Poovnání tanslačního a otačního ohybu. Páce řešená ovnicí (8) není oezena úhlovou dáhou otáčy, všechny úhlové dáhy ohou nabývat hodnot větších než π. ϕ Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso

6 DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ ýon ýon ři otáčení tuhého tělesa učíe z jeho definice dw M. d ϕ P = =, (9) dt dt tedy P = M.ω. (0) Pohybová ovnice ři otáčení tuhého tělesa ři otáčení tuhého tělesa ole evné osy lze odvodit jeho ohybovou ovnici ve tvau M = J. ε, () de J je oent setvačnosti tělesa osaný výše. Pavel Schaue (6) - tuhe_teleso