Chyby nepřímých měření

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Chyby nepřímých měření"

Božena Tereza Horáková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 nepřímé měření: Chyby nepřímých měření chceme určit veličinu z hodnot jiných veličin na základě funkční vztahu máme změřené veličiny pomocí přímých měření (viz. dříve) včetně chyb: x±σ x, y±σ y,... známe vztah pro hledanou veličinu w=f x, y,... chceme spočítat střední hodnotu a její chybu w= w x, y,... ±σ w x, y,..

2 Chyby nepřímých měření-příklad Příklad: určení tíhového zrychlení g pomocí kyvadla. přímo změřená délka kyvadla l přímo změřená doba kmity T funkční závislost pro tíhové zrychlení určení odhadované průměrné hodnoty g dosazení určení chyby průměru méně triviální,..

3 Chyby nepřímých měření-příklad Jakou změnu g vyvolá změna T nebo l? závisí na velikosti změny ΔT,Δl závisí na síle závislosti g na T a l., tj. derivaci Pro malé změny ΔT,Δl pak lze psát

4 Chyby nepřímých měření Obecně pro neznámou veličinu w=f x, y,... x±σ x, y±σ y,... výpočet chyby tudíž tj. chyby se sčítají v kvadrátech...

5 Pro jednoduché w(x,y) násobení konstantou: w x, y =k x, k-konstanta prosté násobení chyby chyba součtu(rozdílu) w x, y =x± y součet kvadrátů absolutních chyb

6 Pro jednoduché w(x,y) součin: w x, y =x y sčítání kvadrátu relativních chyb, platí i pro podíl chyba mocniny (odmocniny) g x, y =x k

7 Chyby nepřímých měření-příklad Zpět k příkladu s kyvadlem ze vzorce pro chybu podílu a mocniny silnější závislost na chybě T je vhodné měřit T s dvojnásobnou přesností než l T =T 1 T 2 Pozor při měření rozdíl dvou velkých čísel = malé číslo chyba: součet dvou chyb nárůst relativní chyby

8 Maximální odhad chyby Chceme rychle a bezpečně odhadnout chyby nadhodnocené chyby nevadí (většinou... ), podhodnocené vadí většinou před měřením pro odhad potřebné přesnosti namísto: použijeme: nebo: σ w = σ w = ( ) 2 w σx x 2 + ( ) 2 w σy y w = w x x + w y y +... ( ) 2 w ( x) x 2 + ( ) 2 w ( y) y

9 Nepřímá měření příklad Měření hustoty tělesa podle 1. Tabulka změřených hodnot 2. Vyloučení hrubých chyb 3. Výpočet průměrů a chyb přímých měření 4. Určení průměru počítané veličiny ρ= m = g /cm3 V 5. Výpočet chyby podle vzorce pro podíl nepřímých měření σ ρ =0.122 g /cm 3 6. Zaokrouhlení ρ= m V m[g] V[cm^3] průměr chyba Tab. 1: Hmotnost a objem tělesa

10 Zobrazení dat Důležité pro získání přehledu o provedeném měření: zjištění závislostí odhalení chyb možná chyba... změřená vlastnost

11 Zobrazení dat Dovoluje srovnání dat s teorií Lze vyvrátit předpovědi různých teorii - lze pouze s pomocí dat

12 Kreslení grafů Osy: - nezávislá proměnná na vodorovnou osu, závislá na svislou osu. - popis: symboly veličin společně s jejich rozměry. - vhodně zvolená stupnice - hlavní a vedlejší dělení. Hlavní dílky stupnice vyznačeny číselným údajem. Stručný popis pod grafem začínající Obr. číslo. Písmo popisu je shodné s typem a velikostí písma běžného textu. Graf by měl být dostatečně velký (min. formát A5).

13 Kreslení grafů Zobrazované hodnoty VŽDY s chybami - Pokud je hodnota 13.6 ± 0.2 pak je bod v 13.6 a vertikální úsečka od Chyby mohou být asymetrické Body zobrazujte pomocí vhodných grafických symbolů (kříže, kolečko, čtvereček, diamant,...) a nekótujte je.

14 Kreslení grafů Body nespojujte, ale prokládejte očekávanou závislostí. V případě, že je potřeba aby graf obsahoval více závislostí, odlište tyto závislosti různým typem čáry (plná, čárkovaná, čerchovaná,...) a různým typem grafického symbolu. Data a křivky musí být označeny uvnitř obrázku. U každé křivky musí být uvedeno, jakou závislost představuje.

15 Kreslení grafů Popisky dat mohou být umístěny uvnitř grafu, popřípadě v popisu obrázku. Graf musí být čitelný i v černo-bílé verzi.

16 S patne pr ı klady

17 Špatné příklady

18 Obrázky a schemata Obdobná pravidla jako pro grafy. Obzvláště: Dostatečná velikost Pokud je obrázek okopírovaný(obkreslený), pak je nutné uvést zdroj odkazem [číslo] do soupisu literatury.

19 Linearizace závislostí Pro větší přehlednost je lepší zobrazovat lineární závislosti. Lze pak snadno opticky zkontrolovat. Příklady: 1. měření závislosti T periody kyvadla na jeho délce L: L T = 2π g, lepší je zobrazovat T 2 = 4π 2 L g 2. závislost indexu lomu n na vlnové délce světla λ: n = A + B λ 2, lepší je zobrazovat n jako funkci 1 λ 2

20 Linearizace závislostí Často je měřená závislost exponenciální (např. radioaktivní rozpad) N = N 0 e t/λ linearizace pomocí logaritmu: log 10 N = log 10 N 0 t λ log 10 e Špatně rozlišitelná část grafu s malými hodnotami N. Jsou skutečně obě závislosti exponenciální? Stejná data v obou případech, exponenciální škála na ose y. Pozor - chyby také vypadají jinak, i když jsou stejné.

21 Ukázka Takhle to pak vypadá doopravdy :

22 Zpracování výsledků měření početními metodami Velmi často měříme závislost jedné veličiny na druhé. Měření - soubor hodnot {y i, x i } a příslušných chyb. Pokud je x i+1 x i = konstanta, pak je měření ekvidistantní. Hledáme vyjádření závislosti y = f(x). Cíle zpracování dat: Optimální využití naměřených dat (metoda postupných měření), Určování závislosti veličin - Grafické vyrovnání - Skupinová metoda - Metody početní interpolace (lineární interpolace, Newtonův vzorec).

23 Metoda postupných měření Příklad: modul pružnosti v tahu - měření prodloužení l vzorku = 1 F E S, l 0-původní délka, S-průřez, F -síla. l l 0 l = 1 n 1 [(l 2 l 1 ) + (l 3 l 2 ) (l n l n 1 )] = ln l 1 n 1 pro vyšší přesnost lze použít l = 1 k [ ] ( lk+1 l n 1 k + l k+2 l 2 k ln l k k ) = 1 l k 2 i 2 k ) l i i=1 i=1 Rozptyl měřených hodnot se vypočte z rozptylu průměru l dělením číslem k, tj. platí σ l 2 = 1 [ k 2 (lk+1 l 1 ) 2 + (l k+2 l 2 ) (l n l k ) 2] l k

24 Grafické vyrovnání Proložení závislosti y(x) = A + Bx daty. Metoda podle oka Přibližně polovina bodů by měla ležet nad a polovina pod přímkou. B = y x

25 Skupinová metoda Pro proložení y(x) = A + Bx potřebuji dva body = Rozdělím data do dvou skupin. Postupně graficky vytvářím těžiště. Pokud je závislost pouze y(x) = Bx, stačí pouze jedna skupina, další bod je [0, 0].

26 Skupinová metoda Pro proložení y(x) = A + Bx potřebuji dva body = Rozdělím data do dvou skupin. Postupně graficky vytvářím těžiště. Pokud je závislost pouze y(x) = Bx, stačí pouze jedna skupina, další bod je [0, 0].

27 Skupinová metoda Pro proložení y(x) = A + Bx potřebuji dva body = Rozdělím data do dvou skupin. Postupně graficky vytvářím těžiště. Pokud je závislost pouze y(x) = Bx, stačí pouze jedna skupina, další bod je [0, 0].

28 Skupinová metoda Pro proložení y(x) = A + Bx potřebuji dva body = Rozdělím data do dvou skupin. Postupně graficky vytvářím těžiště. Pokud je závislost pouze y(x) = Bx, stačí pouze jedna skupina, další bod je [0, 0].

29 Metoda nejmenších čtverců Neznámější vyrovnávací(fitovací) metoda. y 1 ± σ 1, y 2 ± σ 2,..., y n ± σ n - experimentální hodnoty získané v bodech x 1, x 2,..., x n p 1, p 2,..., p k - neznámé parametry funkce y = f(x, p 1,..., p k ). Proložení křivky y = f(x, p 1,..., p k ) daty nalezení parametrů p 1, p 2,..., p k tak, aby křivka co nejlépe přiléhala k naměřeným bodům [x i, y i ]. Potřebuji kriterium kvality vyrovnání.

30 Metoda nejmenších čtverců Odchylky: Podmínka: ɛ i = y i y(x i, p 1,..., p k ) χ 2 = i ɛ 2 i σi 2 = min. - residuální součet čtverců = χ2 p i = 0, i = 1, 2,..., k. Nejčastější regresní funkce: y = a + bx y = a + bx + cx 2 y = p 0 + p 1 x + + p r x r y = a + b x y = ae bx lineární regrese kvadratická regrese polynomiální regrese hyperbolická regrese exponenciální regrese

31 Lineární regrese Metoda nejmenších čtverců pro regresní funkci y = a + bx. χ 2 = i σ 2 i (y i a bx i ) 2 Podmínka minimalizace při σ i σ j = σ: χ 2 a χ 2 b = 2 σ 2 = 2 σ 2 n (y i a bx i) = 0. i=1 n x i (y i a bx i) = 0. i=1 z toho plyne: an + b x i = y i a x i + b x 2 i = x i y i

32 Lineární regrese Výsledné parametry: a = x 2 i yi x i xi y i n x 2 i ( x i ) 2 b = n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2 Výsledné chyby parametrů: xi σ a = σ y n x 2 i ( x i ) 2, n σ b = σ y n x 2 i ( x i ) 2, kde σ y = 1 n (y i a bx i ) n 1 2 i=1

33 Nelineární regrese Nelineární regresní funkce - není lineární v parametrech p i. Příklad: y = 1 a + bϕ(x) z = 1 y z = a + bϕ(x) y = ce bϕ(x) z = ln y z = a + bϕ(x); a = ln c

34 Kvalita fitu K vyjádření kvality výsledného vyrovnání se často používá χ 2 test: n χ 2 (y i a bx i ) 2 = i=1 Pro dobrý fit by mělo být χ 2 n k, tj. χ 2 /(n k) 1, kde n k =počet měření - počet parametrů... počet stupňů volnosti. Pokud je χ 2 /(n k) > 1, pak proložená závislost nevystihuje změřená data. Pokud je χ 2 /(n k) < 1, pak jsme zvolili funkci s příliš mnoho parametry. Přesnost proložení neodpovídá chybám měření. σ 2 i

35 Kvalita fitu

36 Kvalita fitu

37 Kvalita fitu

38 Poznámky Další metody regrese: - minimalizace absolutní odchylky - maximum likelihood(bayesovské metody) - metoda momentů Nejčastěji používané programy: - MINUIT, ROOT, PAWm - GNUplot - lze částečně i v Excelu

39 Interpolace vs. extrapolace Interpolace - určení křivky mezi měřenými body Extrapolace - předpověď pro oblast mimo prováděné měření

Podobné dokumenty

Chceme určit hodnoty parametrů závislosti p 1,.., p n a to

Chceme určit hodnoty parametrů závislosti p 1,.., p n a to Zpracování výsledků měření početními metodami Měříme závislost jedné veličiny na druhé. Měření - soubor hodnot {y i, x i } a příslušných chyb. Hledáme vyjádření závislosti y = f(x; p 1,.., p n ). Chceme