Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů

Transkript

1 Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů Biomechanika a lékařsképřístroje Projekt II LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze

2 Cvičná úloha Axiálnímechanickáodezva břišníaorty V laboratoři byl proveden experiment, kdy jsme zjišťovali odezvu vzorku břišní aorty na podélné zatížení. Cílem je stanovit konstitutivnímodel pro tuto odezvu.

3 Experiment Vzorek žena, let, 90h post mortem bez patologických změn měřením byly zjištěny tyto rozměry obvod: 35.94; 34.22; mm tloušťka stěny: 0.96 (opticky); 1.45; 1.41 mm (posuvkou)

4 Tahová zkouška Experiment

5 Experiment Vektory zjištěných dat λ[-] λ SD F [N]

6 Výpočtový model Deformace Tepna se zatížením protahovala, jak se choval poloměr? (1) Pro vysoký obsah vody, bývají měkké tkáně často modelovány jako nestlačitelné. (2) Ačkoliv jsou cévy obecně anisotropní, modelujme ji dnes jako isotropní protože: hlavním zdrojem anisotropie jsou kolagenní vlákna, která jsou (2a) vysoce zvlněná (2b) orientovány především obvodově. (3) Zkosy zanedbejme.

7 Výpočtový model Deformace Ve válcovém souřadném systému z toho plyne F λ 0 0 rr = 0 λ 0 ϑθ deformace 0 0 λ zz 0zkosy Isotropie Nestlačitelnost λ rr = λϑ Θ R r : Θ ϑ Z z λ λ λ = 1 λ = rr ϑθ zz ϑθ 1 λ zz r = λ ϑ Θ zz R ϑ = Θ z = λ Z h = λ rr H F λzz 1 = 0 0 λzz 0 0 λz

8 Výpočtový model Pozorovanénapětí σ EXP Napjatost modelujeme jako jednoosou P zz f f f = σzz = = A a oh σ zz f f 1 f f = = = = λzz oh λ Oλ H λ λ A A ϑθ rr ϑθ rr σ EXP zz = λ zz f A

9 Výpočtový model Modelováodezva napětí σ MOD Hyperelastický materiál Gentův model hustoty deformační energie W µ J 3 m ln I = Jm I = λ + λ + λ = λ + λ + λ rr ϑθ zz ( ) T W F σ = F p I F σ σ σ σ σ σ σ σ σ rr rϑ rz rϑ ϑϑ zϑ rz zϑ zz W 0 0 λrr λ rr W = λ 0 p ϑθ λ ϑθ 0 0 λ zz W 0 0 λzz

10 Výpočtový model Modelováodezva napětí σ MOD W λ 0 0 rr p λrr σ 0 0 rr W 0 σ 0 0 λ p 0 ϑϑ = ϑθ λϑ Θ 0 0 σ zz W 0 0 λ zz p λzz Určení p Zformulujte nějakou silovou okrajovou podmínku. Např.: Naše protahovaná céva byla zatížena nulovým transmurálním tlakem. λ Čili σ rr = 0 rr W p = λ rr 0

11 Výpočtový model Modelováodezva napětí σ MOD Nyní dosaďme z kinematických podmínek a je hotovo. λ rr = λϑ Θ λ λ λ = 1 λ = λ = rr ϑθ zz ϑθ rr 1 λ zz MOD σ = zz? σ zz = J 2 1 µ J λ m zz λzz 2 2 λ + 3 zz λzz m

12 Vyrovnánínaměřených dat Jak z pozorováníodhadneme µa J m? Předepnutí in situ

13 Vyrovnánínaměřených dat Vyrovnání pozorování modelem regresní analýza Nejčastějšízpůsob odhadu neznámých parametrůje pomocímetody nejmenších čtverců. Postup je takový, že optimalizujeme účelovou funkci Q (součet čtverců odchylek modelu a pozorování) tak, abychom získali odhady neznámých parametrů, které minimalizují Q. Ve světě, kde neexistují chyby měření a podmínky experimentu jsou dokonale kontrolovány, bychom v případě dokonalého modelu dospěli ke Q = 0. n EXP MOD (,,..., ) = 1 2 (,,..., k i i 1 2 k ) i= 1 ( ) Q a a a f f a a a 2

14 Vyrovnánínaměřených dat Vyrovnání pozorování modelem regresní analýza Často zavádíme váhové koeficienty w n EXP MOD ( α, α,..., α ) = ( α, α,..., α 1 2 k i i i 1 2 k ) Q w f f i= 1 ( ) Důvodem bývá buď to, že některá pozorování jsou jistější než jiná (jistějším přiřadíme vyšší váhu), nebo skutečnost, že účelová funkce obsahuje veličiny nestejných řádů či fyzikálních rozměrů. V takovém případě slouží váhy k normalizaci problému. 2

15 Vyrovnánínaměřených dat Minimum Q můžeme hledat jakkoliv třeba metodou pokusu a omylu. Velice užitečnéale býváoprášit znalosti matematickéanalýzy a úlohy o hledání extrému funkce více proměnných. Q Q Q = 0 = 0... = 0 α α α 1 2 k a 1, a 2,..., a k Existuje mnoho metod, od primitivního půlení vícerozměrných intervalů až po kombinace analýzy a metod umělé inteligence (expertních systémů). Důležitý je stupeň nelinearity (nelinearita parametrů α k ) a počet parametrů. MATLAB i MAPLE mají pro tyto úlohy předpřipravené příkazy.

16 Vyrovnánínaměřených dat Elongace aorty n ( µ ) ( σ σ ( µ )) 2 n EXP MOD EXP Q, J =, J = σ m zz, i zz, i m zz, i i= 1 i= 1 J 2 1 µ J λ m zz, i λ zz, i 2 2 λ + 3 zz, i λ zz, i m 2 Jedná se v naší úloze o lineární nebo nelineární problém? Je zjevné, že úloha je lineárnív µ(tak jak je v něm lineárnípředpis pro W) a nelineární(racionálnívýrazy) v J m.

17 Vyrovnánínaměřených dat Elongace aorty Pokud jste si jižsami neurčili, zde je vektor pozorovaných napětíurčených ze vztahu: λ zz F/S, kde S = obvod tloušťka sigma kpa

18 Vyrovnánínaměřených dat Elongace aorty Sestavením funkce Q a využitím příkazu NLPSolve s počátečním odhadem J m = 0.5 a µ = 10 kpa dostaneme (blízké počáteční odhady, zvláště při použití Newtonovy metody, bývají velice užitečné takové odhady ovšem nelze stanovit bez dobrého fyzikálního porozumění problému): Skutečnénapětí σ zz [kpa] J m = a µ= kpa λ zz [ ]

19 Vyrovnánínaměřených dat Ohodnocení úspěšnosti regrese Jde-li o lineární problém, bývá nejčastěji využíván výběrový lineární koeficient korelace R. R = n ( x x )( y y i i ) i= 1 ( n 1) S S x y R 1; 1

20 Vyrovnánínaměřených dat Ohodnocení úspěšnosti regrese Pro nelineární problém bývá nejčastěji využíván koeficient determinace. R = 1 n 2 i= 1 n i= 1 ( EXP MOD f f ) i i ( EXP EXP f f ) i i 2 2 Ten poměřuje modelem nevysvětlený rozptyl (residuální součet čtverců) celkovým rozptylem. Kdyby byla všechna variance pozorování vysvětlena modelem, nabyl by hodnoty 1. 2 R = 0985.

21 Vyrovnánínaměřených dat Ohodnocení úspěšnosti regrese Všechno, co lze o výsledku regrese usuzovat, je obsaženo v datech. Základem hodnocení je vždy analýza reziduí. most.ujep.cz/~popelka/statistika2011_7.pptx