Statistická a simulační identifikace proporcionální soustavy 1. řádu

Transkript

1 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Statistická a simulační identifikace proporcionální soustavy. řádu MORÁVKA, Jan Ing., Ph.D., Třinecký inženýring, a.s., Divize realizace, Frýdecká 26, Třinec Staré Město, jan.moravka@tzi.trz.cz, Abstrakt: Cílem příspěvku je prezentovat kvalitu odhadů parametrů při statistické a simulační identifikaci dynamické proporcionální soustavy. řádu. Jako vstupní signál je uvažován jak klasický Heavisideův skok, tak i stacionární náhodný signál s Gaussovým rozdělením pravděpodobnosti (tzv. bílý šum). Výstup soustavy je zatížen aditivním náhodným (nezávislým, tj. nekorelovaným sám se sebou ani se vstupním signálem) poruchovým signálem s různým rozptylem. Je zde také analyzován vliv velikosti periody vzorkování a počtu vzorků na kvalitu odhadů parametrů soustavy. Pro statistickou identifikaci jsou použity kvalitní (s bohatou regresní diagnostikou) statistické programy EasyReg, Statgraphics a QC Expert. Simulační identifikace je provedena v simulačním programu 20sim. Oba přístupy jsou dokumentovány na příkladu z praxe při identifikaci systému primárního chlazení předlitků v zařízení pro plynulé odlévání oceli. Klíčová slova: identifikace, statistický a simulační přístup, proporcionální soustava Matematické modely soustavy Budeme uvažovat spojitou dynamickou proporcionální soustavu se setrvačností.řádu (Sp) a její diskrétní modely invariantní vzhledem k impulsní (vlevo) a přechodové (vpravo) funkci v následující konfiguraci a označení (u(t) = u, u T (t) = u T, y(t) = y, u(kt) = u k, y(kt) = y k ) obr.: Sp u k / (T s) y A/D A/D A/D A/D u u k Sp D/A y y k u u k u T Sp y y k Obr.. Spojitý model soustavy Sp a jeho diskrétní ekvivalenty Spojitý přenos, diferenční rovnice, jejich koeficienty a parametry spojité soustavy jsou uvedeny v tab. (odvozeno dle vztahů uvedených ve [VÍTEČEK, A. 988]):

2 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Tab.. Spojitý přenos a diskrétní modely soustavy Sp L-přenos G(s) k /(T.s ) impulsní funkci přechodové funkci Z-přenos invariantní k (A/D Sp A/D) (A/D, D/A Sp A/D) Gc(z) teoretický vztah Z{L - {G(s)} t=kt } (-z - ).Z{L - {G(s)/s} t=kt } Diferenční rovnice y k = c.y k- b.u k y k = c.y k- b.u k- Koeficienty b k /T k.(-c ) c 0 < exp(-t/t ) < Parametry T T = -T/ln(c ) k k = b.t k = b /(-c ) Poznámka: t čas (spojitý) [s], T perioda vzorkování [s] > 0, k násobek periody vzorkování = {0,,2, n} N 0, kt diskrétní čas [s], s komplexní proměnná spojité Laplaceovy (L) transformace, z komplexní proměnná diskrétní Z transformace, G(s) spojitý přenos soustavy v L-transformaci, A/D analogovo-digitální převodník (vzorkovač), D/A digitálně-analogový převodník (vzorkovač a tvarovač 0. řádu), Gc(z) diskrétní celkový (včetně A/D a D/A převodníků) přenos soustavy, u vstupní spojitá veličina soustavy [fyzikální jednotka], u T vstupní spojitá veličina soustavy za tvarovačem [fyzikální jednotka], y výstupní spojitá veličina soustavy [fyzikální jednotka], u k vstupní diskrétní veličina soustavy za vzorkovačem [fyzikální jednotka], y k výstupní diskrétní veličina soustavy za vzorkovačem [fyzikální jednotka], c, b koeficienty diferenční rovnice diskretizované soustavy Sp > 0, k (parametr) koeficient přenosu (zesílení) soustavy Sp [fyzikální jednotka] > 0, T časová konstanta soustavy Sp [s] > 0. 2 Simulační model soustavy Podle obecného simulačního schématu spojitého modelu soustavy Sp s aditivním působením poruchy na výstupu soustavy (obr.2): Sp u k / (T s) y s y Obr. 2. Obecné simulační schéma modelu byl v programu SIMULINK sestaven simulační program ve dvou variantách (script, m-file: Si_Spsx.m, kde x = k / p pro kontinuální / přechodový proces) obr.3, 4: v

3 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Simulační schéma identifikované soustavy Sp - kontinuální proces u0 sigma_u v u 5 mi_u sum_u u To Workspace2 0.0 sigma_v x' = AxBu y = CxDu Sp: k=2, T=0 ys ys sum_y To Workspace3 v To Workspace4 y To Workspace t y Clock To Workspace u_ ys_ Obr. 3. Simulační schéma modelu v programu SIMULINK kontinuální proces Simulační schéma identifikované soustavy Sp - přechodový proces un sigma_un v u uh sum_u u To Workspace2 0.2 sigma_v x' = AxBu y = CxDu Sp: k=2, T=0 ys ys sum_y To Workspace3 v To Workspace4 y To Workspace t y Clock To Workspace u_ ys_ Obr. 4. Simulační schéma modelu v programu SIMULINK přechodový proces Simulace spojitého modelu byla uskutečněna pro následující hodnoty parametrů: parametry soustavy: k = 2, T = 0 s, ys 0 = 0 metoda simulace: linsim(a, B, C, D, u, t, x0), x0 = ys 0, tolerance = 0.00 parametry simulace: kontinuální proces: krok integrace h = 0., doba simulace tf = 000 s, přechodový proces: h = 0.0, tf = 60 s (T 5.T ) vstupní signál: kontinuální proces: u ~ N(µ u, σ u ), µ u = y 0 /k = 5, σ u =, seed(u) = 357, přechodový proces: u jednotkový skok z hodnoty 5 na 0 v čase t = 0 s = T, zatížený šumem u n ~ N(µ un, σ un ), µ un = 0, σ un {0, 0., }, seed(u n ) = 357 porucha: v ~ N(0, σ v ), seed(v) = 735, kontinuální proces: σ v = {0, 0.00, 0.0} = {0 %, 0. %, %} σ u, přechodový proces: σ v = {0, 0.2, 2} = {0 %, %, 0 %} y perioda vzorkování: kontinuální i přechodový proces: T {0.,, 0} počet vzorků: kontinuální proces: n {25, 50, 00}, přechodový proces: n {7, 6, 60}. Integrační krok h byl v případě kontinuálního procesu zvolen rovný nejmenší periodě vzorkování T min = 0. s, v případě procesu přechodového rovný jeho desetině. Celková doba simulace byla u kontinuálního procesu tf = n max.t max = n max.t = 00.0 = 000 s, v případě přechodového procesu tf = (5).T = 60 s. Matice hodnot veličin X = [t, u, ys, v, y] byly uloženy do ASCII souborů:

4 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, u kontinuálního procesu se jmény Kn_Tv.dat (K... kontinuální, n... počet záznamů, T... perioda vzorkování, v... směrodatná odchylka poruchy výstupu {N, T, S}, N: v = 0.000, T: v = 0.00, S: v = 0.00), u přechodového procesu se jmény Pσ un _T_v.dat (P... přechodový, σ un... směrodatná odchylka šumové složky jednotkového skoku, T... perioda vzorkování, v... směrodatná odchylka poruchy výstupu {N, D, J}, N: v = 0.0, D: v = 0.2, J: v = 2.0). Soubory sloužily pro zobrazení a hlavně pro následnou identifikaci soustavy v simulačním a ve statistických programech. Příklad průběhů vygenerovaných signálů (vstup, výstup) soustavy v případě kontinuálního procesu (pro σ v = 0.00) je na obr.5. 0 u(t) y(t), sigma v = t [s] Obr. 5. Generované signály modelu u(t), y(t) (σ v = 0, 0.00) kontinuální proces Příklad průběhů vygenerovaných signálů (vstup, výstup) soustavy v případě přechodového procesu (pro σ un =, σ v = 0.2) je na obr.6. 5 u(t) y(t), sigma un =, sigma v = t [s] Obr. 6. Generované signály modelu u(t), y(t) (σ un =, σ v = 0.2) přechodový proces 3 Statistická identifikace soustavy Pro statistickou identifikaci soustavy byly použity dva dynamické (tj. s tzv. zpožděnými vstupně/výstupními proměnnými) diskrétní regresní modely vycházející z diskrétních modelů

5 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, soustavy Sp a simulačního modelu (který zahrnuje aditivní působení poruchy na výstup soustavy). Pro diskrétní model invariantní k impulsní funkci byla tedy uvažována (diskrétní) dynamická regresní rovnice (regresní model): y k = a) c y k b ( u ε, () k k a pro model invariantní vzhledem k přechodové funkci dynamická regresní rovnice: y ( a) c y b u ε, (2) k = k k k kde je k index vektorů hodnot proměnných, k = 2, 3,... n, a konstantní absolutní člen, a a k = const, ε reziduum, chyba odhadu výstupu a modelu, ε ~ N(µ ε, σ ε ), µ ε 0. Absolutní člen (a) v závorce vyjadřuje skutečnost, že by měl vyjít statisticky nevýznamný, jelikož diskrétní modely soustavy Sp jej neobsahují. Z určitých statistických důvodů je však velice vhodné absolutní člen vždy do regresních modelů zařazovat. Obecně tento člen vyjadřuje souhrnný vliv nezahrnutých vstupních veličin (regresorů), nelinearitu modelu nebo vychýlený odhad regresních koeficientů. Grafické znázornění obou regresních modelů a modelů soustavy v konfiguraci simulace (tyto dle čárkované šipky bez absolutního členu) je viditelné na obr.7: ε k a u k z - Σ ys k b y k z - c Obr. 7. Schéma dynamických regresních a diskrétních modelů (čárkovaně) Z obrázku je zřejmý rozdíl mezi regresním a simulačním modelem. Spojitý model a příslušné diskrétní simulační modely soustavy Sp obsahují na (výstupu) modelu nezávislou aditivní poruchu výstupu. U regresního modelu se vliv reziduí (poruchy) promítá přes zpětnou vazbu do modelu soustavy a do jeho výstupu. Tato skutečnost znamená, že výstup modelu je ovlivněn i předchozími hodnotami reziduí. 4 Simulační identifikace soustavy Simulační identifikace soustavy Sp byla uskutečněna pomocí metod tzv. dynamické optimalizace v simulačním programu 20-sim 2.3 Pro (shareware, University of Twente, Holandsko, 998) podle schématu (Si_Sp.mg3) obr.8: G criterium u y Obr. 8. Simulační schéma v programu 20-sim

6 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Simulační identifikace spojitého modelu Sp byla realizována pro následující nastavení a hodnoty parametrů (v tzv. experimentech): počáteční podmínky: výstup G = y_model (0) = 0, criterium = 0, k = 0.5, T = 5 časy simulace: t0 = 0, tf = n.t / 6.T pro kontinuální / přechodový proces integrační metoda: Runge-Kutta 4, h = T pro oba procesy optimalizační metoda: Broydon-Fletcher-Goldfarb-Shanno, tolerance = kritérium optimalizace: minimum součtu čtverců odchylek (MNČ) rozsah parametrů: k <0.2, 20>, T <, 00> soubory experimentů: k.*, p.* (sloupce t = 0, u =, y = 4 ze souborů dat), v_f.* 5 Přechodový proces 5. Statistická identifikace V tab.2, 3, 4 jsou uvedeny výsledky statistické identifikace soustavy při přechodovém vstupním procesu v programu EasyReg. Jsou uvedeny výsledky pro nejlepší (nejpřesnější, nejrobustnější) odhady parametrů soustavy, které vyšly pro regresní model invariantní vzhledem k přechodové funkci s absolutním členem: Tab. 2. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 0.0 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k (n = 7) T Tab. 3. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 0.2 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k (n = 7) T Tab. 4. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 2.0 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k -0.5! (n = 7) T

7 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Na obr.9 jsou průběhy veličin y, y_ model a reziduí lineárního regresního modelu pro data P D.dat (σ un =, T = s (n = 6), σ v = 0.2): Obr. 9. Průběhy veličin v programu EasyReg (pro data P D.dat) Hodnocení: Závislost odhadovaných parametrů na zhoršování podmínek identifikace, tj. růstu (rozptylu) vstupního šumu, periody vzorkování (= poklesu počtu hodnot) a (rozptylu) výstupního šumu není obecně jednoznačná. Zatímco koeficient přenosu k je systematicky podhodnocován (co signalizuje systematickou chybu metody MNČ u těchto dynamických regresních modelů), časová konstanta T je podle podmínek buď nadhodnocena nebo podhodnocena, či systematicky roste. Nejlepší případ (nejpřesnější odhad) nastává logicky pro nejlepší podmínky, tj. nulové hodnoty (rozptylů) obou šumů a minimální periodu vzorkování. Nejhorší odhad nastal pro maximální výstupní šum, maximální periodu vzorkování a paradoxně pro nulový vstupní šum. V tomto případě hodnota koeficientu přenosu dosáhla nereálné záporné hodnoty a časová konstanta byla asi o 50 % větší. Pro menší výstupní šumy přesnost odhadu koeficientu přenosu nepřesáhla 68 % a odhadu časové konstanty v absolutní hodnotě 58 %. Přístup statistické identifikace je u přechodových procesů použitelný pro menší výstupní šumy (do směrodatných odchylek řádově jednotky procent střední hodnoty výstupního signálu soustavy). 5.2 Simulační identifikace Výsledky simulační identifikace přechodového procesu v programu 20-sim jsou souhrnně uvedeny v tab.5, 6, 7:

8 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Tab. 5. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 0.0 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k (n = 7) T Tab. 6. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 0.2 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k (n = 7) T Tab. 7. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 2.0 σ un T (n) k (n = 60) T k (n = 6) T k (n = 7) T Na obr.0 jsou průběhy veličin u, y, a y model (G) pro data z textového souboru P_0_D.dat (σ un =, T = 0. s (n = 60), σ v = 0.2):

9 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, si_sp - p 25 A 25 B 25 C C B A u B y C y model B C A A 0 A 0 B 0 C 0 time 60 Obr. 0. Průběhy veličin v programu 20-sim (pro data P_0_D.dat) Hodnocení: Závislost odhadovaných parametrů na zhoršování podmínek identifikace je i v případě simulačního přístupu nejednoznačná. Koeficient přenosu k je spíše systematicky nadhodnocován (kromě jeho nejednoznačné závislosti na růstu vstupního šumu), časová konstanta T je podle podmínek buď nadhodnocena nebo podhodnocena, či systematicky roste. Nejlepší případ (nejpřesnější odhad) nastává pro podmínky: nulový vstupní šum, minimální perioda vzorkování a středně velký výstupní šum (σ v = 0.2). Nejhorší odhad logicky nastal pro maximální vstupní i výstupní šum a maximální periodu vzorkování. Oba parametry byly nadhodnoceny - koeficient přenosu asi o 9 % a časová konstanta až o 48 %. 5.3 Srovnání statistické a simulační identifikace při přechodovém procesu Pro přechodový vstupní proces poskytl přístup simulační identifikace lepší (tj. přesnější, robustnější, spolehlivější a reálné) odhady parametrů soustavy než přístup statistické identifikace. Absolutní chyby odhadu pro přístup simulační identifikace nepřekročily u koeficientu přenosu 0 % a u časové konstanty 50 %. Odhad koeficientu přenosu je tedy obecně přesnější (spolehlivější) než odhad časové konstanty. 6 Kontinuální proces 6. Statistická identifikace V tab.8, 9, 0 jsou uvedeny výsledky statistické identifikace soustavy v programu EasyReg při kontinuálním vstupním procesu. Jsou uvedeny výsledky pro nejlepší (nejpřesnější a nejrobustnější) odhady parametrů soustavy, které vyšly pro regresní model (paradoxně!) invariantní vzhledem k přechodové funkci bez absolutního členu:

10 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Tab. 8. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 0.0 n T k T T 85! 25! 636! k k T -986! -728! -899! Tab. 9. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 0.00 n T k T k T 84! 249! 642! 0 k T -200! -737! -94! Tab. 0. Výsledky statistické identifikace pro σ v = 0.0 n T k T k T.89 79! !.80 66! 0 k T -256! -835! -2070! Na obr. jsou zobrazeny časové průběhy veličin y, y_model a reziduí lineárního regresního modelu s absolutním členem popisujícím diskrétní model soustavy Sp invariantní k impulsní funkci pro data K00_0T.dat (n = 00, T = 0. s, σ v = 0.00):

11 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Obr.. Průběhy veličin v programu EasyReg (pro data K00_0T.dat) Hodnocení: Závislost odhadovaných parametrů na zhoršování podmínek identifikace, tj. poklesu počtu hodnot, růstu periody vzorkování a (rozptylu) výstupního šumu není obecně jednoznačná. Zajímavá je nezávislost koeficientu přenosu k na výstupním šumu a systematická závislost časové konstanty T na růstu periody vzorkování (roste) a na růstu výstupního šumu (klesá). Nejlepší případ (nejpřesnější odhad) nastává pro podmínky: maximální počet dat, minimální periodu vzorkování a maximální (!) rozptyl výstupního šumu. Nejhorší odhad očekávaně nastal pro minimální počet hodnot, maximální periodu vzorkování a maximální výstupní šum. Odhad koeficientu přenosu je robustní a jeho chyba nepřekročila ve všech případech v absolutní hodnotě 4 %. Odhad časové konstanty dosahoval pro větší periody vzorkování extrémně vysokých kladných a dokonce záporných (nereálných) hodnot. Pro malou periodu jeho chyba v absolutní hodnotě nepřekročila 25 %. Přístup statistické identifikace je u kontinuálních procesů použitelný pouze pro dostatečně malé periody vzorkování velikosti řádově jednotek procent časové konstanty soustavy. 6.2 Simulační identifikace Výsledky simulační identifikace kontinuálního procesu v programu 20-sim jsou souhrnně uvedeny v tab., 2, 3: Tab.. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 0.0 n T k T k T.84 00!.87 00! ! 0 k T 00! 00! 00!

12 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Tab. 2. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 0.00 n T k T T 00! 00! 00! k k T 00! 00! 00! Tab. 3. Výsledky simulační identifikace pro σ v = 0.0 n T k T k T 00! 00! 00! 0 k T 00! 00! 00! Pozn.: Hodnota 00! znamená, že simulační program dosáhl při optimalizačním hledání horní zadanou hranici rozsahu odhadu časové konstanty, tj. 00 s (= 0.T ). Na obr.2 jsou viditelné průběhy veličin u, y, a y model (G) pro data K00_0T.dat (n = 00, T = 0. s, σ v = 0.00): si_sp - k00_0t 30 A 0.05 B 0.05 C B C C A u B y C y_model B A A 0 A 9.8 B 9.8 C 0 time 0 Obr. 2. Průběhy veličin v programu 20-sim (pro data K00_0T.dat) Hodnocení: Závislost odhadovaných parametrů na zhoršování podmínek identifikace, tj. poklesu počtu hodnot, růstu periody vzorkování a (rozptylu) výstupního šumu není obecně jednoznačná. Zajímavá je nezávislost koeficientu přenosu k a časové konstanty T na výstupním šumu. Odhad koeficientu přenosu je robustní a jeho chyba nepřesáhla ve všech případech v absolutní hodnotě 8 %.

13 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Odhad časové konstanty metodou simulační identifikace byl přijatelný pouze pro nejmenší periodu vzorkování T = 0. (tj. T/T = %), kdy chyba nepřesáhla 0 %. Pro větší periody vzorkování odhad nekonvergoval a dosáhl horní zadané hranice. Přístup simulační identifikace je u kontinuálních procesů použitelný pouze pro dostatečně malé periody vzorkování velikosti řádově jednotek procent časové konstanty soustavy. 6.3 Srovnání statistické a simulační identifikace při kontinuálním procesu Pro kontinuální vstupní proces poskytl opět přístup simulační identifikace lepší (tj. přesnější, robustnější, spolehlivější a reálné) odhady parametrů soustavy než přístup statistické identifikace. Absolutní chyby odhadu pro oba (statistický/simulační) přístupy identifikace nepřekročily u koeficientu přenosu 4/8 % a u časové konstanty 25/0 %. Odhad koeficientu přenosu je tedy obecně přesnější (spolehlivější) než odhad časové konstanty. Odhad časové konstanty je přijatelný u obou přístupů pouze pro malé periody vzorkování velikosti řádově jednotek procent časové konstanty soustavy. 7 Identifikace reálné soustavy Pro dokumentaci obou přístupů byl zvolen praktický případ identifikace systému primárního chlazení (PCH) předlitků v zařízení pro plynulé odlévání oceli (ZPO) č. v Třineckých železárnách, a.s. Byly použity data vstupní veličiny rychlost lití v [cm/min] a výstupní veličiny průtok chladicí vody F [m 3 /h] v tavbě č na licím proudu č. (LP) vzorkované a archivované s periodou T = 5 s (textový soubor v_f.*) obr.3: v [ cm/min] Tavba LP F [m3/h] v F čas [s] Obr. 3. Průběhy veličin PCH v tavbě č na LP Výsledky identifikace oběma způsoby jsou uvedeny v tab.4:

14 XXVIII. ASR '2003 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, May 6, Tab. 4. Výsledky identifikace systému PCH Identifikace statistická simulační Poznámky Model impulsní přechodový max / min Abs. Člen ano ne ano ne - k T Z výsledků je vidět jistá neurčitost při identifikaci - odhadu parametrů soustavy Sp PCH pomocí různých přístupů a modelů. Poměr maximálních a minimálních hodnot odhadů koeficientu přenosů je až 8:, časových konstant asi 2:. Nejpodobnější odhady parametrů k simulačnímu přístupu poskytl u statistického přístupu regresní model invariantní vzhledem k přechodové funkci s absolutním členem, což odpovídá předchozím závěrům simulací na teoretickém modelu soustavy Sp. 8 Závěr Závěrem je možné konstatovat logické a celkem očekávané skutečnosti: Simulační identifikace je jednodušeji použitelná (ovšem pouze v případě, že máme k dispozici vhodný SW) a dává lepší (přesnější, robustnější a spolehlivější) odhady parametrů proporcionální dynamické soustavy. řádu Sp než metoda statistické identifikace. Statistická identifikace poskytla nejlepší odhady parametrů pro regresní model invariantní vzhledem k přechodové funkci a to bez absolutního členu u kontinuálních procesů a s absolutním členem u procesů přechodových. Identifikace pomocí vstupních přechodových procesů je spolehlivější než pomocí procesů kontinuálních (stacionárních ve střední hodnotě a rozptylu), která je použitelná u obou přístupů pouze pro malé periody vzorkování do velikosti řádově jednotek procent časové konstanty soustavy. Odhad koeficientu přenosu je robustní u obou přístupů a procesů. Odhad časové konstanty je citlivý na splnění podmínek relativně malé periody vzorkování a ne moc velkého výstupního šumu. Při splnění výše uvedených podmínek se nejmenší (nejhorší) přesnosti odhadů obou parametrů za použití obou identifikačních přístupů pohybovaly v rozmezí 8-63 %. Závislost přesnosti odhadovaných parametrů na zhoršování podmínek identifikace, tj. na růstu rozptylů šumů (na vstupu i výstupu), poklesu počtu hodnot a růstu periody vzorkování není obecně u obou přístupů jednoznačná. 9 Literatura ARLT, J Moderní metody modelování ekonomických časových řad.. vyd. Praha : Grada, s. ISBN CIPRA, J Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii.. vyd. Praha : SNTL/ALFA, 986, 248 s. VÍTEČEK, A Matematické metody automatického řízení (Transformace L a Z).. vyd. Ostrava : Katedra ATŘ FSE VŠB Ostrava, s. NOSKIEVIČ, P Modelování a identifikace systémů.. vyd. Ostrava : Montanex, s.