MECHANIKA I. Jaromír Švígler

Transkript

1 MECHNIK I Jaomí Švígle

2 OBSH Předmluva Rozdělení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní věta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové soustav Soustav sl o společném působšt náhada ekvvalence ovnováha plkace na hmotný bod 8 4 Obecné soustav sl Obecná ovnná soustava sl plkace na těleso v ovně 7 5 Obecná postoová soustava sl plkace na těleso v postou Těžště Vntřní statcké účnk 5 6 Rovnné soustav těles Statcké řešení soustav Soustav s ozubeným kol 46 Knematka 7 Knematka hmotného bodu Přímočaý pohb bodu a křvočaý pohb bodu 55 8 Knematka tělesa Rovnný pohb tělesa Posuvný pohb Rotační pohb Obecný pohb 64 9 Současné pohb tělesa 7 Střed křvost tajektoí a obálek 76 Knematcké řešení mechansmů Soustav s ozubeným kol 78 Řešení 85 LITERTUR [] Rosenbeg J: Statka Skptum VŠSE Plzeň 987 [] Rosenbeg J: Knematka Skptum VŠSE Plzeň 98 [] Bát V Rosenbeg J Jáč V: Knematka SNTL/L Paha 987 [4] Křen J: Řešené příklad ze statk Skptum VŠSE Plzeň 985 [5] Křen J: Řešené příklad z knematk Skptum VŠSE Plzeň 986 [6] Julš K Bepta R a kol: Mechanka I díl Statka a knematka Techncký původce 65 SNTL Paha 986

3 PŘEDMLUV Tento učební tet je učen studentům v kombnované fomě studa studujícím předmět Mechanka I kteý náleží k předmětům tvořícím základ znalostí nutných po pochopení a zvládnutí modelování technckých a příodních jevů a pocesů Předmět Mechanka I kteý je zaměřen na klasckou mechanku bodů soustav bodů tuhých těles a soustav jm vtvářených je ozdělen do dvou částí V pvní část věnované statce jsou uveden základní poznatk potřebné po slová řešení technckých a příodních jevů a duhá knematcká část se zabývá řešením pohbových stavů těchto jevů Poznatk jsou uváděn mamálně stučně převážně bez odvozování a důkazů ncméně se snaží zachtt všechn důležté a nezbtné znalost Látka je ozdělena do kaptol a v každé kaptole jsou k pobíanému tématu uveden řešené příklad Budu velm vděčen za jakékolv přpomínk k předkládanému tetu neboť jenom tak lze zlepšt jeho kvaltu Velké poděkování patří paní Janě Nocaové za její pečlvost a tpělvost př keslení obázků a gafcké úpavě uto

4 ROZDĚLENÍ ZÁKLDNÍ POJMY MECHNIKY Mechanku můžeme dělt podle ůzných hledsek a zřejmě se nám stejně nepodaří povést dělení plně uspokojující Přdžíme se poto dělení poněkud konzevatvního ale nám vhovujícího ozdělení kteé můžeme schematck zachtt následovně Mechanka klascká v << c kde c je chlost světla elatvní v c kvantová Mechanka tuhých těles poddajných těles hdomechanka temomechanka mechanka kontnua V našem kuzu se budeme zabývat klasckou mechankou tuhých těles kteou ještě dále ozdělíme Klascká mechanka tuhých těles statka knematka dnamka Řešení budeme povádět početně a gafck Př početním řešení mechanckých úloh budeme používat vektoový přístup ( M ) analtcký přístup ( E E W P ) k p Vekto jako sílu a moment M budeme značt špkou nad písmenem skalání velčn jako knematckou a potencální eneg E k E p pác W a výkon P písmen bez špk Budeme-l hovořt o velkost vektou použjeme samozřejmě písmeno bez špk ted např Základní pojm mechank tuhých těles V mechanckých úlohách budeme používat někteé ustálené pojm samozřejmě komě dalších jako hmota m [kg] posto R [m] čas t [s] 4 síla [N] Podle našeho dělení můžeme říc že knematka používá: statka používá: 4 dnamka používá: 4 4

5 STTIK ZÁKLDNÍ POJMY XIOMY STTIKY SÍL MOMENT SÍLY K BODU K OSE ZÁKLDNÍ POJMY Síl jmž ůzná tělesa č ůzné část téhož tělesa na sebe navzájem působí označujeme jako odpo tah tlak případně jako akce nebo eakce Přpomeňme že tíhová síla mg je slou akční! Po názonost uvedeme příklad sl Příklad duhů sl T < Nf T tečná síla Nf třecí síla R eakce kloubu S R B R C osová síla v podpěném putu a současně eakce ( eakční síla) v kloubech B C k konstanta pužn ξ podloužení pužn N tah (tlak) T smková síla vntřní statcké M ohbový moment účnk M N T slové účnk ekvvalentní působící akční síle Poznámka: Moment je na obázku smbolck znázoněn obloučkem takže není zakeslen jako vekto a poto nemá špku! XIOMY STTIKY Následující aom nazvěme je poučk jsou velm jednoduché a řadu z nch jž znáte ncméně jsou a budou základním stavebním pvk vašch znalostí statk Poto s je dobře zapamatujte Šest základních pouček po statku Účnek síl na těleso se nezmění kdž sílu na její nostelce lbovolně posuneme 5

6 Dvě síl skládáme ve výslednc podle zákona ovnoběžníka Poznámka: Gafckou konstukc můžeme smbolck vjádřt vektoovým zápsem V + Dvě síl mohou být v ovnováze jen tenkát leží-l na témže papsku jsou stejně velké a mají opačný smsl + ( ) 4 Tř síl mohou být v ovnováze jen tenkát leží-l v téže ovně pochází jedním bodem a položen za sebou tvoří uzavřený tojúhleník K soustavě sl lze přpojt lbovolnou jnou soustavu sl kteá je v ovnováze anž se změní působení pvé soustav K síle v bodě přpojím a v bodě Ω Působení původní síl se nezmění Poznámka: K tomuto obázku se vátíme u momentu dvojce sl a všmneme s M 6 Účnek tělesa na těleso B vvodí stejný ale opačný účnek tělesa B na těleso ť jde o sílu dvojc sl moment č o celou soustavu sl N B N B Odvozené poučk Tř síl v postou skládáme ve výslednc podle zákona ovnoběžnostěnu V + + 6

7 Ekvvalence Dvě soustav sl jsou ekvvalentní mají-l stejnou výslednc S + S + V Rovnováha Dvě soustav sl jsou v ovnováze kdž jejch výslednce se uší S + S + + V V 4 Rozklad Říkáme že jsme sílu ozložl ve složk kdž výsledncí složek je daná síla Mnmální počet složek síl v ovně jsou složk v postou složk SÍL Síla je vekto vázaný ke své nostelce a je po ní lbovolně posunutelný Je to klouzavý vekto Rozměovou jednotkou po sílu je Newton [N] působště síl nostelka p Skládání a ozklad síl Skládání sl blo zmíněno v základních poučkách po statku Rozkladem síl kteý je opačným dějem ke skládání sl získáme složk síl Pozo musíme dát na odlšení složk síl od půmětu síl tak jak je to patné po ůznoběžné přímk p p Opět platí jednoduché vztah + + cos ( π α ) složka síl ve směu p půmět síl do směu p Učení síl bchom mohl sílu jednoznačně učt potřebujeme k tomu jstý mnmální počet pvků Rovna Posto Potřebujeme pvk: α Potřebujeme 5 pvků: z α β 7

8 Vztah mez úhl u síl Po úhl kteé jsou mez slou jejím složkam z a jejím půmět I II do pvní a duhé půmětn můžeme psát tgonometcké vztah kteé plnou z pavoúhlých tojúhelníků cosα cosϕ cosψ cosε cosη cos β snϕ cosε snη z cosγ cosϕ snψ snε Úpavou vztahů na příklad dělením duhé ovnce ovncí pvní dostaneme tgϕ tgη cosψ Podobně povedeme-l dělení třetí ovnce ovncí pvní získáme ze třetích a čtvtých výazů další vztah tgε tg ψ cos η Takto můžeme postupovat dále podle toho kteé vztah jsou po nás potřebné Významnou technckou aplkací ozkládání sl na složk je řešení slových poměů u ozubených kol kde povádíme ozklad ve výpočtovém bodě P páu spoluzabíajících kol Výpočtový bod umsťujeme do středu šířk a délk zubu a zábě zubů dealzujeme do tohoto bodu Jednou slou neuvažujeme pasvní účnk působící mez bok zubů je síla nomálová ležící na nomále dotkového bodu Je to vžd síla eakční ted síla kteou působí spoluzabíající kolo na kolo kteé řešíme Naším úkolem je učt složk nomálové síl ve směu obvodovém ( T ) adálním ( R ) a aálním ( ) směu Příklad Čelní kola s přímým zub Dáno: M K Učt: T R Řez - Poznámka: Z daného koutícího momentu M K učíme nejdříve obvodovou tečnou ( T O ) složku ze vztahu M k T Pak jž můžeme učt adální složku R T tg α 8

9 a případně výslednou nomálovou sílu N T cosα V případě přímých zubů je Učování složek N je důležté po navazující řešení například po zjštění namáhání hřídele na kteém je kolo uloženo Příklad Čelní kola se škmým zub Dáno: z 7 Poznámka: m 4 Hovoříme o kolech se škmým zub ale ve o α skutečnost se jedná o zub šoubovtě o β 5 zakřvené Po lepší představu je pá P 4W spoluzabíajících zubů znázoněn odděleně n ot / mn Učt: O ŘEZ - R Mez poloměem oztečné kužnce a počtem zubů z platí vztah z m cos β kde m je modul a β je úhel sklonu šoubovce na oztečném válc Velkost úhlu záběu α je Z výkonu učíme nejdříve moment P 4 P M ω M & Nm ω π 9

10 Potom můžeme učt obvodovou sílu M M z m 59 cos β N Dále ještě učíme půmět síl N do ovn tečné k oztečnému válc I 4 7 N cos β a nní je jž možné vjádřt aální a adální složku nomálové síl N tgβ 58 N tgα 88 R I N a případně samotnou nomálovou sílu N N I cosα & 58 N kteou samozřejmě můžeme učt jako výslednc jejích jž učených složek R N Příklad Kuželová kola s přímým zub Jedná se o další tp ozubených kol jejchž os jsou ůznoběžné a opět chceme učt složk nomálové síl N Dáno: M k δ Učt: R ŘEZ - Z daného momentu učíme opět nejdříve obvodovou sílu M k a pak jž je možné vjádřt aální a adální složku výsledné nomálové síl tgα snδ R tgα cosδ a je-l to potřebné samotnou nomálovou sílu N cosα

11 MOMENT SÍLY M S momentem síl jste se jž seznáml dříve a běžně jste ho defnoval jako součn velkost síl a její kolmé vzdálenost od uvažovaného pevného bodu Ukážeme s nní obecnější defnc pomocí vektoového počtu Budeme ozlšovat dva případ Přpomeňme že ozměovou jednotkou po moment je [Nm] a že smě vektou momentu učíme podle pavdla pavé uk tak jak ho známe z vektoového násobení vektoů Moment síl k bodu Hovoříme-l o momentu síl k bodu máme na msl moment k ose kteá daným bodem pochází a je kolmá na ovnu položenou danou slou a tímto bodem Moment je učen vztahem M L j k z ( z z ) j( z z ) + k ( ) M M M z Vekto momentu splývá s osou pocházející bodem a jeho velkost je z M M M + M + M L L z Ještě jednou s přpomeneme že moment síl k bodu je oven momentu síl k ose tak jak je naznačeno na obázku vpavo Moment síl k ose O momentu síl k ose hovoříme jestlže osa je vzhledem k síle mmoběžná Postupujeme tak že učíme nejdříve moment M L k lbovolnému bodu L os o a potom tento moment pomítneme do os o M L Půmět vektou M L do os o povedeme pomocí skaláního součnu M e [ e M ] e [ e ( )] L kde e Velkost momentu v ose o je ted M cosδ M L Uvědomme s že síla nemá k ose o moment kdž osu o potíná kdž je s osou o ovnoběžná Stučně s můžeme pamatovat že moment síl k ose je oven půmětu vektou momentu této síl k lbovolnému bodu os do této os

12 Vagnonova věta Důležtá je následující věta podle kteé můžeme moment výsledné síl učt pomocí jejch složek Platnost vět plne hned z následujícího výpočtu momentu síl k ose M e o [ e M ] e L e e M [ e ( )] o Lze poto vslovt následující Vagnonovu větu Moment výslednce sl k lbovolné ose je oven algebackému součtu momentů jejích složek k této ose Příklad 4 Chceme učt moment síl k ose o ležící v bokosně Dáno: a b δ ϕ Učt: M Výpočet povedeme jak skaláně tak vektoově Nesmíme zapomenout že v jednoduchých úlohách je skalání postup mnohd chlejší avšak v úlohách postoových je tomu naopak Skaláně: M p Vektoově: M a o ( ) [ ] T o cosϕ cosδ a p ab a p p snα c b c c b ab M o cosϕ cosδ a + b Znaménko je (-) neboť oentujeme od síl k bodu! j k a z M M a z + a M z cosπ / M M o o o snα o ( ) Po velkost složk momentu M M o M o M b a cosϕ cosδ c cosα do os o platí cosπ / + M z cosα cosϕ cosδ a ab + b

13 Moment k ose o je dán součnem složk a kolmé vzdálenost Složk a z moment nemají! Poč? Odpověď naleznete na konc tetu Příklad 5 Učete moment síl k ose o ležící v násně Dáno: Učt: δ ϕ z α M o Jedná se o příklad podobný příkladu předcházejícímu a poto povedeme jenom řešení vektoové j k M z z z ( z ) j( z ) + k ( ) M z M M z Po jednotlvé složk síl můžeme psát Nní učíme dílčí moment cosϕ cosδ snϕ z cosϕ snδ M M M z ( cosϕ snδ z snϕ) ( z cosϕ cosδ cosϕ snδ ) cosϕ ( z cosδ snδ ) ( snϕ cosϕ cosδ ) Moment k ose o získáme jako půmět M do této os s jednotkovým vektoem s s M Po úpavě o s ( s M ) s M cosα + s M cos( π / α ) M M cosα + M snα o Moment dvojce sl M Moment dvojce sl nebo též jnak dvojcový moment je momentem dvou ovnoběžných stejně velkých a opačně oentovaných sl Nejpve s ted budeme pamatovat že dvojce sl jsou dvě stejně velké ale opačně oentované síl kteé leží na ovnoběžných nostelkách Popvé jsme se s touto kombnací sl setkal v šest základních poučkách po statku a nní učíme jejch moment k lbovolnému bodu L po kteý platí M L + ( ) ( )

14 Vdíme že výsledný moment závsí pouze na vzájemné vzdálenost obou sl takže volba bodu L je zcela lbovolná To je podstatný ozdíl vzhledem k momentu síl k bodu nebo k ose Můžeme poto vslovt následující důležtou vlastnost Moment dvojce sl je volný vekto není vázán k bodu nebo k ose Je možno ho ovnoběžně přesouvat Rozměovou jednotkou momentu dvojce sl je opět [Nm] Poznámka: Mez momentem dvojce sl a momentem síl panuje fomální shoda takže z výazu M L nepoznáme zda se jedná o moment síl č dvojce sl To plne z podstat řešené úloh nebo nám to musí být řečeno Skládání slových dvojc Z možnost paalelního přesouvání vektou dvojcového momentu vplývá následující významná vlastnost slových dvojc Slové dvojce skládáme tak že geometck sčítáme jejch dvojcové moment Moment dvojce sl k ose Zcela stejně jako jsme učoval moment síl k ose učujeme moment dvojce sl k ose Stuace je zřejmá z obázku podle kteého je složka momentu dvojce sl k ose o dána vztahem M o e [ e M ] kde M je vekto momentu dvojce sl kteý je kolmý na ovnu ρ položenou oběm slam ZÁKLDNÍ VĚT STTIKY Nní můžeme vslovt větu jejíž význam po statku je mmořádně důležtý a nepostadatelný Přeložíme-l sílu na ovnoběžnou nostelku musíme k této síle přpojt dvojcový moment ovný momentu původní síl k lbovolnému bodu nové nostelk Platí opačně! Sloučením dvojcového momentu a síl na něj kolmé dostaneme sílu na ovnoběžně posunuté nostelce Posunutí povedeme tak ab moment posunuté síl k lbovolnému bodu původní nostelk bl oven dvojcovému momentu Poznámka: Podívejte se na pátou základní poučku statk Na nové nostelce q přpojíte k původní síle novou soustavu sl a kteá je v ovnováze Novou sílu necháte a staá síla s novou slou vtvoří dvojcový moment M Tím vznkne nový útva M vznačený na obázku tmavě 4

15 PRÁCE VÝKON ÚČINNOST Potože se jedná o opakování jž známých pojmů povedeme pouze stučné shnutí hlavních P Nms poznatků Přpomeňme že ozměovou jednotkou páce W je [Nm] a výkonu [ ] Páce Síla Páce kteou vkoná síla př pohbu podél křvk k mez poloham I a II je dána vztahem W dw d Jedná se o skalání součn vektoů a d a poto musíme dát pozo na znaménko př násobení tak jak je naznačeno na pavé staně po ůzné uspořádání obou vektoů Moment Pác momentu učíme pomocí výše uvedeného vztahu po pác síl kdž příůstek dáh jedná se o otační pohb vjádříme vztahem d d ϕ dosadíme do výazu po pác a upavíme ϕ W d ( d ϕ ) d ϕ ( ) ϕ Po fomálním přepsání dostaneme výaz po pác vkonanou momentem síl ϕ W M d ϕ ϕ Jedná se o otační pohb a poto fzkální smsl má jenom složka momentu M do os o M W ϕ M e d ϕ M M ϕ dϕ Poznámka: Je užtečné zapamatovat s následující postup př výpočtu páce: zakeslíme obecnou polohu vznačíme ϕ d d zakeslíme všechn slové účnk a napíšeme vztah po dfeencál páce dw z podmínek ovnováh učíme příslušný slový účnek dosadíme do výazu po dw a ntegujeme 5

16 Výkon Okamžtý výkon je defnován vztahem dw P dt Síla Dosadíme-l za dfeencál páce vztah z předcházejícího oddílu můžeme výkon síl vjádřt jako P v Moment Podobně je tomu u momentu P M ω Účnnost Účnnost mechancké soustav posuzujeme podle přvedených a odvedených účnků v ω mechancká soustava v M deální stav: η M ω M ω M ω skutečnost: η < M ω > M ω přváděné účnk odváděné účnk Mez přvedeným a odvedeným výkonem ted platí elace M ω η M ω η M ω M ω odvedený výkon (výkon) přvedený výkon (příkon) V pa se často používá pouze jenom jeden zátěžný nebo hnací účnek Hnací účnek η M d M deální hnací účnek skutečný hnací účnek Zátěžný účnek M skutečný zátěžný účnek η M deální zátěžný účnek d Příklad 6 Chceme učt pác síl potřebnou k přemístění tělesa z poloh I do poloh II Dáno: m f b Učt: W Postup: Těleso konající posuvný pohb budeme uvažovat jako hmotný bod a napíšeme podmínk ovnováh vz následující kaptolu o soustavě sl pocházejících jedním bodem ze kteých učíme sílu potřebnou po přemístění tělesa 6

17 Po pác můžeme psát vztah W d cosα d Jedná se o soustavu sl pocházejících jedním bodem a poto píšeme dvě podmínk ovnováh : cosα Nf : N Q snα Ze duhé ovnce učíme N sn α + Q a dosadíme do pvní ovnce ( snα + Q) f cos α Po úpavě dostaneme Q f cosα f snα Nní můžeme dosadt do výazu po pác W Q f Q f cosα d Q f cosα f snα + fb fb d fb Q f d Q f f tgα f fb fb + d Q f ( ) + bf ln fb fb b d Příklad 7 Chceme učt pác síl kteá má stálou velkost a smě podél přímé dáh o o Dáno: N 5 m 6 m z m δ 6 ϕ 45 Učt: W Odpověď naleznete na konc tetu s ΩL Postup: Pác vpočítejte jako skalání součn dvou vektoů W d + + z z Výsledek: ) W 5 Nm B) W 6 Nm C) W 7 84 Nm 7

18 Příklad 8 Chceme učt velkost a smě momentu síl k ose Dáno: Učt: o o N α 6 γ 45 5 m z m M Odpověď naleznete na konc tetu Poznámka: Smě momentu je kladný jestlže vekto momentu má souhlasný smě s jednotkovým vektoem os ke kteé moment hledáme Výsledek: ) M 485 Nm B) M 5 Nm C) M 5 5 Nm SILOVÉ SOUSTVY V předcházející kaptole jsme se zabýval jednou zolovanou slou Nní se budeme věnovat soustavám sl a jejch základním vlastnostem Po větší přehlednost ozdělíme soustav sl na soustav ovnné a postoové a každou z nch ještě dále ozdělíme na soustavu sl pocházejících jedním bodem a na obecnou soustavu sl Schematck s toto uspořádání znázoníme následovně Soustava sl o společném působšt ovna posto Obecná soustava sl ovna posto SOUSTVY SIL O SPOLEČNÉM PŮSOBIŠTI V této kaptole jak jž samotný název napovídá uvedeme základní vlastnost soustav sl kteé pocházejí jedním bodem Všmněte s že zde a bude tomu tak v dalším výkladu neozlšujeme síl akční a eakční K tomuto odlšení přstoupíme pozděj v aplkacích na hmotný bod Postoová soustava sl pocházejících jedním bodem Po další výklad zavedeme pojm kteé budeme používat Jsou to: náhada ekvvalence ovnováha Náhada (výslednce) O náhadě slové soustav hovoříme kdž chceme síl nahadt jednou slou výsledncí po kteou platí 8

19 Je to ovnce vektoová kteou ozepíšeme do složek z z Důležté je že každou složkovou podmínku můžeme nahadt podmínkou momentovou ale opačně to nelze! Moment k lbovolné ose o učíme pomocí vět Vagnonov a samozřejmě vužjeme znalost získané v kaptole Moment síl k ose takže můžeme psát M o e [ e ( )] e[ e ( )] Ekvvalence O dvou slových soustavách Pj říkáme že jsou ekvvalentní mají-l stejnou náhadu Matematck toto tvzení zapíšeme smbolckým vztahem j P j Opět se jedná o vektoovou ovnc kteá představuje tř ovnce skalání j j P P j jz j j P Důsledkem uvedených ovností je následující tvzení Dvě slové soustav jsou ekvvalentní mají-l stejné půmět do tří nekomplanáních směů V našem případě jsou smě učen jednotkovým vekto j k Rovnováha Slová soustava je v ovnováze je-l ekvvalentní s nulovou náhadou ted má-l nulovou výslednc Musí poto platt a po ozepsání z Pojem ovnováh je nejdůležtější po paktckou aplkac na hmotný bod Síl označují ještě stále síl akční eakční avšak př psaní konkétních podmínek ovnováh jž budeme jak uvdíme tto síl od sebe odlšovat z 9

20 Rovnná soustava sl pocházejících jedním bodem Po soustavu sl kteé pocházejí jedním bodem a navíc leží v jedné ovně platí stejné úvah a závě jako po postoovou soustavu pocházející jedním bodem pouze s tím ozdílem že osa z neestuje To znamená že složkové ovnce ve směu os z se nepíší Příklad 9 Dáno: α β β Učt: P a P po ekvvalenc a ovnováhu Poznámka: Jedná se o ovnný případ a poto píšeme vžd dvě ovnce Smě sl P P na nostelkách p p zvolíme lbovolně Pokud skutečná síla bude mít smě opačný vjde nám př řešení znaménko mínus Ekvvalence Na nostelkách p p chceme učt síl P P kteé vtvoří ekvvalentní soustavu k původní soustavě sl Podmínk ekvvalence mají tva + β cosα P cos β P cos + β snα P sn β P sn Z ovnc učíme P P Úlohu můžeme řešt gafck skládáním sl Rovnováha Podmínk ovnováh mají následující tva + cosα + P cos β P cos β snα + P sn β + P sn β Opět učíme P P Příklad Dáno: α α Učt: Náhadu sl Řešení povedeme gafck a početně Gafcké řešení

21 Početní řešení Píšeme opět dvě podmínk náhad kteou můžeme smbolck zapsat vektoově α + cosα cos + α Po výslednou sílu platí snα sn + Síl na jedné nostelce Zvláštním případem soustav sl pocházející jedním bodem ať postoové nebo ovnné jsou síl ležící na jedné nostelce Všechn uvedené pojm zůstávají v platnost pouze vektoové ovnce jsou nahazen ovncem skaláním Po náhadu ekvvalenc a ovnováhu můžeme psát následující vztah náhada ekvvalence Pj ovnováha j PLIKCE N HMOTNÝ BOD ž dosud jsme hovořl o soustavě sl pocházejících jedním bodem anž bchom tomuto bodu přsoudl jakýkolv fzkální význam Uvažujme nní hmotný bod na kteý působí jedna z uvedených slových soustav Největší fzkální význam mají úloh kteé řeší ovnováhu bodu nebo její podmínk Ukážeme s nní případ kteé se mohou př řešení ovnováh hmotného bodu vsktnout Znovu s uvědomte že se jedná o aplkac teoe soustav sl o společném působšt na hmotný bod Rovnováha hmotného bodu v ovně Podmínkou ovnováh je Tato podmínka platí po všechna následující uložení bodu v ovně Síla je výsledncí akčních a eakčních sl Zde popvé začínáme ozlšovat síl akční kteé na bod působí a síl eakční kteé vznkají ve vazbě pokud se tato vazba vsktuje kteou je bod vázán ke svému okolí Bod v ovně může být podle uložení volný vázaný ke křvce nehbný (vázaný ke křvkám) volnost volnost volnost Nehbný bod U případu nehbného bodu s ukážeme ůzné způsob všetřování ovnováh

22 Příklad Dáno: Q l l α α Učt: Síl S S v putech Početní řešení složkovým podmínkam S cosα S cosα S snα + S snα Q Početní řešení momentovým podmínkam M : S l sn ( α + α ) Q l cosα M B : S l sn ( α + α ) Q l cosα Gafcké řešení Q + S + S Poznámka: U gafckého řešení keslíme síl a jejch nostelk kdežto u řešení početního používáme složk sl Gafcko-početní řešení S Q π sn + sn α ( α α ) S Q π sn + sn α ( α α ) Bod vázaný ke křvce Rozlšujeme jednak hladkou a dsnou křvku a u dsné křvk ještě dále dva pohbové stav a to pohb a kld Hladká křvka Podmínku ovnováh sl zapíšeme vektoovou ovncí + N kteou můžeme ozepsat do dvou složkových skaláních ovnc t N n Poznámka: U bodu vázaného ke křvce s výhodou používáme složk ve směu nomál a tečn

23 Dsná křvka a) pohb Stejně jako u předcházejícího případu vjádříme ovnováhu sl ovncí + R kteou ozepíšeme do složek ve směu tečn a nomál Nf t N n Po třecí úhel ϕ platí Nf tg ϕ f N b) kld Platí stejné ovnce jako u předcházejícího případu kd se bod pohboval ale s jedním důležtým ozdílem Složka T výsledné eakce R není třecí slou nýbž tečnou eakcí po kteou platí takže platí T Nf! α ϕ Příklad Dáno: l h h Q Q Q α Učt: Máme učt polohu ve kteé budou síl působící na bod ealzovaný objímkou v ovnováze Objímka koná posuvný pohb po hladké tč Píšeme dvě podmínk ovnováh Q snα + Q cosα Q cosα Q snα + Q snα Q cosα + N kde cosα + h cosα l ( l ) + h ze kteých učíme neznámé velčn N

24 Příklad U bodu vázaného k dsné křvce chceme učt sílu tak ab pohb bodu bl ovnoměný Dáno: Q α β f Učt: kd bude Napíšeme dvě podmínk ovnováh cos β + Nf Q snα sn β + N Q cosα Pomocí Cameova pavdla učíme neznámé N a N cos β Q snα ( cosα cos β snα sn β ) cos ( α + β ) sn β Q cosα Q Q cos β f cos β f sn β cos β f sn β sn β Q snα f ( snα f cosα ) Q cosα Q snα f cosα Q cos β f cos β f sn β cos β f sn β sn β Odpověď na otázku kd bude získáme z výazu po položíme-l snα f cosα Odtud je tgα f Příklad 4 Uvažujme dvě pužn spojené za sebou kteé tvoří slovou soustavu ležící na jedné nostelce Dáno: l l k k l Učt: po ovnováhu sílu S v místě Rovnovážná poloha pužn nastane v místě kde bude platt S S Po vjádření sl ( Po dosazení za l dostaneme ovnost k S k ) dostaneme k k l l l l l ( l ) k ( l l ) 4

25 ze kteé učíme k l + k ( l l ) k + k Nní chceme znát jak velkou sílu S musíme vnaložt př posunutí o po dosažení ovnováh Musí být splněna podmínka ovnováh S + S S Po dosazení za S a S dostaneme ( + ) k ( ) ( k ) S S + S k k Je užtečné s zapamatovat že výsledná tuhost dvou pužn př jejch následujícím uspořádání je dána uvedeným vztah k k k k k + k k + k Rovnováha hmotného bodu v postou Po ovnováhu platí stejná podmínka tj a potože se jedná o posto ozepsujeme vektoovou ovnc do skaláních ovnc Bod v postou může být podle uložení volný vázaný k ploše vázaný ke křvce nehbný (vázaný ke křvkám) volnost volnost volnost volnost Nehbný bod Příklad 5 Dáno: a b c ε δ Učt: S S S 5

26 Vektoovou podmínku ovnováh ozepíšeme do tří složkových ovnc : cosδ cosε S cosα S cos β : snδ S Po vjádření úhlů : S snα S sn β + cosδ snε z c cosα a + c cos β b c + c můžeme z ovnc vpočítat hledané síl S S S Bod vázaný ke křvce Příklad 6 Dáno: a b ϕ δ l k Q f Učt: po ovnováhu Podobně jako u ovnné úloh máme učt polohu objímk ve kteé budou síl působící na objímku kteá ealzuje bod v ovnováze Vedení objímk je hladké Rovnováhu sl vjádříme třem složkovým ovncem : cosϕ cosδ S cosα : snϕ + N Q + S cos β : cosϕ snδ + N + S cosγ z z 6

27 Vjádříme úhl cosα + a + b a cos β + a + b cosγ b + a + b a nní ještě potřebujeme učt podloužení pužn ξ tj sílu v pužně S k ξ Po tento účel s délk pužn v počáteční a v konečné poloze znázoníme ve zvláštním obázku ze kteého můžeme hned psát cosα l + ξ + a + b po úpavě l + ξ + + a b a konečně po podloužení dostaneme ξ + a + b l Nní můžeme ze složkových ovnc učt hledané neznámé N N z Poznámka: Pokud bchom uvažoval dsnou křvku musíme vzít do úvah tva vedení tak jak je uvedeno na vedlejším obázku vpavo neboť třecí síla b bla po oba případ odlšná 4 OBECNÉ SOUSTVY SIL V tomto oddílu budeme hovořt o obecné soustavě sl v ovně a v postou Jak samotný název vpovídá jedná se o soustavu sl kteé jsou v ovně nebo v postou lbovolně uspořádán Pojm náhada ekvvalence a ovnováha zavedené jž dříve u soustav sl pocházejících jedním bodem zůstávají v platnost zde Soustředíme se zejména na pojm náhada a ovnováha neboť ekvvalence dvou soustav sl je jak jsme jž dříve uvedl založena na skutečnost že dvě ekvvalentní soustav sl mají stejnou náhadu OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTV SIL Uvažujme soustavu sl n v ovně Chceme povést její náhadu a ovnováhu Náhada ovnné soustav sl Náhadu soustav sl povedeme v počátku souřadného sstému Ω Zcela stejně ale můžeme postupovat po lbovolně zvolený bod v ovně Slou a momentem v bodě Ω Použtím základní vět statk přesuneme síl do bodu Ω a přpojíme moment Můžeme ted psát následující tř skalání ovnce M cosα snα ( α snα ) cos 7

28 Velkost a smě síl vjádříme takto + tgα Z uvedených ovnc můžeme učt hledané velčn ovnné soustav sl M a dostaneme náhadu obecné Jednou slou Použjeme základní větu statk a sloučíme a M Dostaneme M posunutou o míu a To je náhada obecné ovnné soustav sl Nní je možné vslovt následující tvzení Obecnou ovnnou soustavu sl můžeme nahadt slou a dvojcovým momentem ve zvoleném bodu nebo jednou slou v jsté vzdálenost od počátku souřadncového sstému Gafcké učení výslednce obecné ovnné soustav sl Náhadu obecné soustav sl jednou slou můžeme povést také gafck pomocí pólového obazce Uvažujme síl a naším cílem je učt jejch výslednc V po kteou po ozepsání platí V + + Vektoový záps geometck ntepetujeme obazcem vpavo Nní potřebujeme učt polohu výslednce V To povedeme tak že k soustavě přpojíme dvě pomocné navzájem se ušící síl S S + jak je ukázáno ve složkovém obazc vpavo dole Tím vtvoříme tojúhelník sl kteé musí podle aonů statk pocházet jedním bodem vz slový obázek vlevo dole Postupným přechodem od pvního ke třetímu tojúhelníku získáme půsečík pólových papsků v levém obazc dole kteé jsou tvořen mšleným slam ( S ) ( S ) kteým musí pocházet výsledná síla V 8

29 Uvedený postup můžeme stučně vjádřt následujícím zápsem V + + S + ( ) S Z ovnce plne že V pochází půsečíkem S a S a je ovna součtu S + S Rovnováha ovnné soustav sl Jak jsme jž uvedl př učování náhad obecné ovnné soustav sl použl jsme k řešení tř ovnce Dvě z ovnc bl složkové a třetí ovnce bla momentová Tento počet ovnc jejch ozčlenění zůstává v platnost po další postup Rovnováha obecné ovnné soustav sl je vjádřena těmto třem ovncem cos α sn α ( cos α snα z ) V tomto případě jsou síl slam akčním eakčním Rovnná soustava ovnoběžných sl Jedná se o zvláštní případ obecné ovnné soustav sl kd všechn síl jsou ovnoběžné Z ovnoběžnost sl vplývá že po řešení náhad ovnováh případně ekvvalence nám postačí dvě ovnce Například po náhadu můžeme psát p cosα Z těchto ovnc učíme hledané p snα Příklad 7 Dáno: α Učt: Náhadu slové soustav v bodě Náhada sl v bodě musí splňovat tto podmínk cosα + snα ( ) + ( ) + snα ( ) + α M cos Po velkost výsledné síl platí ( cosα ) + ( α ) + sn Poznámka: Slové účnk v bodě nakeslíme zcela lbovolně neboť smě vjdou výpočtem 9

30 Příklad 8 Dáno: α Učt: Výslednc slové soustav tj α Poznámka: Všmněte s fomulace obou úloh Nní hledáme výslednc tj velkost a působště výsledné síl Gafcké řešení Gafcké řešení povedeme pomocí pólových papsků tak že síl vkeslíme v měřítku do složkového obazce a pólové papsk přeneseme do slového obazce Početní řešení Př početním řešení zvolíme míu úhel α vznačíme a tto zvolené velčn musí vhovovat vztahům cosα snα snα Velkost síl učíme známým způsobem ( cosα ) + ( α ) sn a po úhel α můžeme psát tgα snα cosα PLIKCE N TĚLESO V ROVINĚ Povedeme nní podobně jako tomu blo u soustav sl pocházejících jedním bodem aplkac teoe obecné ovnné soustav sl na těleso Z paktckého hledska má opět největší význam ovnováha tělesa a tou se budeme zabývat Stejně jako tomu blo u aplkace na hmotný bod budeme nní odlšovat síl akční od sl eakčních

31 Rovnováha tělesa v ovně Rovnováhu tělesa můžeme řešt bez pasvních odpoů s pasvním odpo Nejdříve s ale řekneme kolk stupňů volnost těleso v ovně může mít Stupně volnost tělesa v ovně Počet stupňů volnost tělesa znázoněného úsečkou B v ovně učujeme vazbovou ovncí σ Můžeme mít tto možnost: o volné těleso ( ϕ ) vázané těleso σ σ je počet vazeb (počet vazbových podmínek) Uložení tělesa v ovně Uložení tělesa v ovně ealzujeme knematckým dvojcem kteé jsou deální (bez pasvních odpoů) nebo eálné (s pasvním odpo) Ideální knematcké dvojce otační "" o σ ( R R nebo R α ) posuvná "p" o ( N nebo N N ) σ valvá "v" o σ ( NT ) Po tečnou eakc platí podmínka T Nf obecná "o" o σ ( N ) Poznámka: σ je počet vazbových podmínek a v závoce jsou uveden odpovídající vazbové síl

32 Reálné knematcké dvojce otační "" Moment čepového tření je dán vztahem M č R f č č kde f č je součntel čepového tření a č je polomě čepu posuvná "p" valvá "v" e je ameno valvého odpou a po tečnou eakc opět platí T Nf obecná "o" Rameno valvého odpou e často zanedbáváme Poznámka: Počet stupňů volnost je stejný jako u deálních knematckých dvojc Knematcké dvojce ještě doplníme Euleovým vztahem po tření vláken S S e f ψ Řešení ovnováh tělesa v ovně Rovnováhu tělesa můžeme řešt analtck - keslíme složk eakcí gafck - keslíme nostelk výsledných eakcí

33 Zejména po gafcké řešení s zapamatujte následující tř případ uvedení akčních sl působících na těleso do ovnováh: a) slou na dané přímce a slou pocházející daným bodem b) třem slam na třech daných nostelkách (metoda čtř sl nebo také metoda částečné výslednce) c) slou na dané přímce a slou ovnoběžnou s daným směem ad a) ad b) ad c) R + R + S + S + S + R + N + B Poznámka: Všechn uvedené případ můžeme řešt početně tak že vektoové podmínk ovnováh ozepíšeme do dvou složkových a jedné momentové ovnce Příklad 9 U nakesleného nosníku zatíženého slou chceme učt eakce v uložení Dáno: Učt: α a l R N B Z podmínek ovnováh R cos α R sn α + N N B l sn α B Řešíme ovnováhu tělesa se třením učíme hledané neznámé R R N B Příklad Dáno: Q G fč č Z podmínek ovnováh Učt: Reakce a sílu R G Q R + Poznámka: Pasvním účnkem Q fč č R + R je moment čepového tření učíme hledané neznámé R R

34 Příklad Dáno: Q e f α Učt: Použtím Euleova vztahu můžeme psát π f S Q e fα e S Příklad Dáno: Q q [ Nm ] Učt: Gafck eakce Postup: učíme výslednc V spojtého zatížení q učíme výslednc V a Q pomocí pólových papsků metodou částečné výslednce učíme síl v putech S S S4 Příklad Dáno: G α f f f Učt: Q tak ab břemeno klesalo ovnoměně Použjeme Euleův vztah ϕ π e f Q S ϕ + α a napíšeme podmínk ovnováh S snα + N f G + N S cosα N + N f S N f N f odkud učíme neznámé Q S N N 4

35 Příklad 4 Dáno: Q m fč č α Učt: potřebnou k vtažení břemene Z podmínek ovnováh cos α R + sn α R + mg + Q Q M č kde M č R R f + č č učíme R R Stuac př řešení nám komplkuje výaz po moment čepového tření kteý do řešení vnáší nelneatu Řešení nelneáního poblému povedeme buď přblžně lneazací nebo fzkální teací Řešení nelneáního poblému ) Lneazací použtím Ponceletova vztahu ( po R R ) R + R 96R + 4 R > ) zkální teací tak že nelneání člen převedeme do vektou pavé stan cosα snα R mg Q R Q + f R + R Řešení povádíme v postupných kocích kok po f č R R kok po f č R R kok po f č () () () ( ) ( ) ( ) č č?? 5 OBECNÁ PROSTOROVÁ SOUSTV SIL Postoovou soustavu sl n nelze nahadt jednou slou neboť nelze složt dvě mmoběžné síl bez přpojení momentu Budeme se opět zabývat náhadou a ovnováhou obecné postoové soustav sl 5

36 Náhada postoové soustav sl Postupujeme zcela stejně jako u obecné ovnné soustav sl tj po náhadu v počátku Ω nebo v lbovolně zvoleném bodu přesouváme paalelně jednotlvé síl a přpojujeme dvojcové moment Dostaneme následující soustavu tří složkových a tří momentových ovnc z cosα cos β z cosγ cos α cos β z cos γ Velkost výsledné síl získáme jako absolutní hodnotu vektou + + z ( z z ) M M ( z ) M M M z M z + ( ) Po velkost momentu můžeme opět psát M cos λ M M cos μ M M z cos ν M M M + M + M z Můžeme poto vslovt následující tvzení Obecnou postoovou soustavu sl lze nahadt výslednou slou a dvojcovým momentem M Po lbovolnou polohu počátku Ω dostaneme stejnou výslednc ale ůzný moment M Potože výsledná síla je vžd stejná říkáme že je pvní vektoový nvaant obecné postoové soustav sl Pomítnutím vektou momentu M do směu síl dostaneme moment M Přeložíme nní sílu a moment M z bodu Ω do bodu Dvojcový moment M můžeme přesunout bez poblému avšak př posunutí síl je nutné podle základní vět statk přpojt moment takže v bodě budeme mít moment (znaménko (-) je dáno oentací polohového vektou ) M M / Po skaláním vnásobení vektoem dostaneme M ( M ) M ( ) M cos M 6 M 4748 Z poovnání obou skaláních výazů plne 6 δ

37 M M cosδ M cosδ konst Můžeme poto říc že M je duhý vektoový nvaant obecné postoové soustav sl Rovnováha postoové soustav sl b bla slová soustava v ovnováze musí být M ted musí být splněn ovnce z M M M z kteé tvoří 6 skaláních podmínek ovnováh Složkové podmínk lze nahadt momentovým podmínkam Přpomeneme s že zde opět a M představují účnk akční eakční ROVNOBĚŽNÉ SÍLY V PROSTORU Jedná se o zvláštní případ obecné postoové soustav sl kd všechn síl podobně jako tomu blo v ovně jsou ovnoběžné s jedním směem V techncké pa má tento případ velký význam jak uvdíme v následující kaptole věnované učování těžště Budeme se zabývat náhadou a ovnováhou Náhada Náhadu ovnoběžných sl v lbovolném bodě můžeme vjádřt vektoovým ovncem M M n kteé po ozepsání budou představovat tř skalání ovnce M M M M Jak vdíme z obázku povedl jsme ovnoběžné posunutí jednotlvých sl do zvoleného bodu a přpojl dvojcové moment Po náhadu píšeme ted tř podmínk z toho je jedna složková a dvě jsou momentové k osám kteé jsou kolmé na smě sl Potože je M můžeme opětovným použtím základní vět statk soustavu ovnoběžných sl v postou nahadt jednou výslednou slou tak jak uvdíme dále Rovnováha b blo dosaženo ovnováh musí být opět splněno že M ted musí platt M M z Můžeme poto říc že po ovnováhu píšeme opět tř podmínk a to jednu složkovou a dvě momentové 7

38 Středsko soustav ovnoběžných sl v postou Středsko soustav S je bod kteým pochází výslednce ovnoběžných sl v postou Uvažujme že jsme soustavu ovnoběžných sl nahadl jednou výslednou slou Vekto můžeme vjádřt jako součn jednotkového vektou a hodnot vektou ted e e b síla bla jednou výslednou slou musí platt s Po dosazení za vekto sl z předcházejícího vztahu dostaneme e e s Potože e se vsktuje na obou stanách ovnce musí platt s odkud získáme polohový vekto středska soustav s PLIKCE N TĚLESO V PROSTORU Podobně jako u obecné ovnné soustav sl budeme získané teoetcké poznatk aplkovat na těleso a to na jeho ovnováhu kteá má domnantní techncký význam Nejdříve se ale musíme zmínt o počtu stupňů volnost tělesa v postou a o způsobech jeho uložení Počet stupňů volnost tělesa v postou je dán vazbovou ovncí 6 σ kde σ je počet vazeb espektve počet stupňů volnost odebíaných vazbam Můžeme mít tto možnost volné těleso o 6 vázané těleso ( 6 σ ) o Uložení tělesa v postou Možností uložení tělesa v postou je celá řada a nelze je tak jednoduše uspořádat jako jsme to udělal po ovnný případ Uvedeme základní vazb tělesa k ámu a jejch kombnace a vaace nní ponecháme stanou 8

39 Vazba bodu tělesa k ámu Vazba ploch tělesa k (ploše) ámu nekonguentní ploch (nesplývající): dotk v bodě nebo v křvce o o σ σ Vazba křvk tělesa k ámu adální ložsko o σ 4 tvoří všší knematckou dvojc (ozubená kola) konguentní ploch (splývající): dotk ve všech bodech adaální ložsko posuvné uložení o o σ 5 σ 5 Příklad 5 Dáno: a b c d Učt: Reakce v úložných místech Po ovnováhu píšeme šest podmínek ovnováh R X R + R + R B C R + R z B z RC b b RB z d a RB d a ze kteých učíme šest eakcí R R R R R R Poznámka: Celkem jsme stanovl šest eakcí To znamená že těleso je uloženo nehbně 9 z B B z C

40 Příklad 6 Dáno: M α β λ μ ξ η l a b c Učt: Reakce Nejdříve vznačíme eakční síl ve vazbách Jsou to R R R N N S z Napíšeme šest podmínek ovnováh : cos α + R + N + S cosξ : cos β + R + N + S cosη : cos γ + Rz + S cosζ z M : M cos λ N l S cosη b S cosζ c M : M cos μ N l + S cosξ b + S cosζ a M : M cos ν S cosξ c + S cosη a z ze kteých učíme hledané eakční síl R R R N N S z Příklad 7 Dáno: Q ozmě Učt: Síl v závěsných lanech a ozhodnout kteý z výsledků B C je spávný Postup: K řešení použjeme momentové podmínk ovnováh k vznačeným osám o o Odpověd: a b ) S Q ( S + S ) S Q S Q s s a b B ) S S + S Q S ( S + S) S Q s s b a C ) S Q ( S + S) S Q S Q s s TĚŽIŠTĚ Vátíme se nní k soustavě ovnoběžných sl v postou a zejména k učování jeho středska V běžném žvotě často slýcháme nebo sam používáme pojem těžště Těžště je středsko ovnoběžných elementáních tíhových gavtačních sl Cílem této kaptol je ukázat učování těžšť ůzných geometckých objektů Naše úvah ozdělíme na těžště ovnných a postoových útvaů 4

41 Těžště ovnných útvaů Podle tvau ovnného útvau můžeme řešení povádět gafck početně z ekvvalence statckých momentů případně použtím Pappových vět nebo též jnak nazýváno Guldnova pavdla Gafck Chceme učt těžště desk daného tvau Postup: Útva se skládá z jednoduchých dílčích obazců jejchž těžště známe a umístíme do nch síl úměné jejch plochám ted ab π Potože kuh chbí sílu odečteme Pomocí pólového obazce nalezneme výslednc a její polohu Síl otočíme o π a postup zopakujeme V půsečíku svslé a vodoovné síl je těžště Pappov vět Pappov vět nebo též pod jným názvem Guldnovo pavdlo jsou dvě Po plochu a po objem Podle pvní Pappov vět učíme těžště půlkužnce neboť můžeme psát Plocha otačního tělesa je ovna součnu délk ovnné křvk a délk kužnce opsané těžštěm této křvk Objem otačního tělesa je oven součnu ploch ovnného obazce a délk kužnce opsané těžštěm tohoto obazce 4π π π T odkud je T π Podle duhé Pappov vět učíme těžště půlkuhu Po tento případ platí 4 π π 4 π T T π Ekvvalence statckých momentů Nejpve s musíme zapamatovat že statckým momentem ozumíme součn váh hmot obsahu ploch nebo délk křvk a vzdálenost omálně se podobá momentu síl avšak fzkálně má zcela jný význam Po nakeslený obazec platí že statcký moment obsahu ploch je oven součtu ploch elementáních obdélníků což můžeme zapsat výazem 4

42 b T d a Stučně můžeme ted vslovt následující tvzení Statcký moment celkové ploch je oven algebackému součtu statckých momentů elementáních ploch Potom po souřadnc těžště ploch je možné psát b f ( ) d b a T b kde d f ( ) d a f ( ) d a Platí následující věta: Těžště T ploch kteá je půmětem ploch je v půmětu těžště T ploch Příklad 8 Dáno: a b Učt: Těžště ploch ohančené pavoúhlým tojúhelníkem Př učování souřadnce statckých momentů T použjeme podmínku ekvvalence Potože platí ab a ab T d b můžeme výaz na pavé staně přepsat a dostaneme a a T b b a d a a odkud jž vjádříme souřadnc těžště ve směu os kteá je T a Po učení souřadnce T můžeme použít duhou Pappovu větu kdž s uvědomíme že otací kolem vznkne kužel Platí poto π ab ab π T b T Poznámka: Souřadnc T můžeme samozřejmě také učt pomocí Pappov vět neboť platí ab π a b π T a T 4

43 Příklad 9 Dáno: a b Učt: Těžště ploch ohančené čtvtelpsou Potože otací ploch čtvtelps vznknou objem polovn elpsodů uvedeme s nejdříve tto objem po naznačené smě otací Podle duhé Pappov vět můžeme po učení souřadnce T psát V π T kde π ab 4 V π a b 4 Po dosazení a úpavě dostaneme po T 4 π a b 4 a T π π ab π 4 Podobně po souřadnc T dostaneme 4 V π a b 4 V ab π V π T π ab 4 4 b V π ab T 4 π Těžště postoových útvaů Př učování těžšť postoových útvaů vcházíme vžd z ekvvalence statckých momentů Nejlépe bude kdž postup budeme demonstovat na konkétním případu učení těžště komolého kužele Podle podmínk ekvvalence statckých momentů můžeme psát V T dv Po komolý kužel můžeme napsat úměu h h kde a jsou obsah ploch ve vzdálenost a h od vcholu Objem komolého kužele můžeme vjádřt jako součet objemů elementáních válců h h V d h Po dosazení do pvní ovnce můžeme vjádřt souřadnc těžště T 4 4 h h dv h h V h h 4 h h 4

44 Příklad Dáno: a b Učt: Těžště polovn elpsodu Jedná se o učení těžště postoového útvau a poto vjdeme z podmínk ekvvalence statckých momentů a V T dv Celkový objem učíme jako součet elementáních objemů V a dv π d Z ovnce elps v osovém řezu vjádříme závslost ( ) a b a + b Po dosazení do pvní ovnce dostaneme T a dv dv a π π d d a b b d a a b b d a b a b a a b b a a 4 a 4 a b a b a 4 b a 8b a a a a 8 VNITŘNÍ STTICKÉ ÚČINKY Na konec vužjeme získaných znalostí o postoové soustavě sl k učení vntřních statckých účnků tělesa kteé se používají v předmětu pužnost a pevnost Vntřním statckým účnk nazýváme slové účnk kteým je namáhán zvolený řez tělesa Těmto účnk jsou síla a moment M Musíme s zapamatovat následující větu: Vntřní statcké účnk učujeme jako náhadu všech slových účnků působících po jedné staně řezu povedenou v jednom bodě ovn řezu Př učování vntřních statckých účnků postupujeme tak že nejdříve povedeme ovnováhu celého tělesa a z ovnovážných podmínek učíme eakční účnk Uvažujme že na těleso působí síl a Q kteé představují síl akční eakční Po ovnováhu musí poto platt j 44

45 + Q j j M + M Q j j Nní na vbaném místě tělesa povedeme mšlený řez a jednu z částí třeba pavou odejmeme Odstaněnou část nahadíme slou a dvojcovým momentem M a povedeme ovnováhu zblé část s přdaným slovým účnk M Nezáleží na tom kteou část po ovnováhu vbeeme Rozdíl bude jenom ve znaménkách slových účnků Po ovnováhu zblé levé část platí vztah + M + M odkud učíme hledané slové účnk M Složk těchto účnků označujeme M j N nomálná síla T smkové posouvající síl T z M K koutící moment M M z ohbové moment Příklad Dáno: Učt: Vntřní statcké účnk v místě Z ovnovážných podmínek cos α R R + N B sn α N B l sn α a učíme eakce R R N B Nní povedeme ovnováhu pavé část je to výhodnější a dostaneme vntřní statcké účnk v místě N T N M N ( l ) B B 45

46 6 ROVINNÉ SOUSTVY TĚLES SLOŽENÍ VYTVÁŘENÍ ROVINNÝCH SOUSTV Soustavou těles nazýváme seskupení alespoň tří těles Soustav dělíme na nepohblvé volnost pohblvé volnost mechansm volnost dfeencál Jednotlvá tělesa tvořící soustavu jsou navzájem spojena knematckým dvojcem Ukážeme s nní základní mechansm a nehbné skupn jejchž skládáním můžeme vtvářet mechansm a nehbné soustav s komplkovanější stuktuou Dříve než s základní soustav ukážeme naučíme se učovat stupeň volnost ovnných soustav Stupeň volnost ovnné soustav Počet stupňů volnost ovnné soustav učujeme ovncí vazbové závslost (n ) (+p+v) kde p v jsou jž dříve uvedené knematcké dvojce kteé soustavě odnímají každá volnost Obecná dvojce o odnímá º volnost Ukážeme s použtí na jednoduchých případech o ( ) ( ) Jedná se o tojkloubový nosník kteý je nejjednodušší nepohblvou soustavou ve statce Také jí nazýváme bnání skupnou Poznámka: Všmněte s ůzného zakeslení uložení členů na základním ámu kteý vžd označujeme číslem u obou případů Jedná se o fomální úpavu kteá nemění nc na skutečnost že se vžd jedná o otační knematckou dvojc 9 ( 5) Znaménko (-) znamená že se jedná o soustavu statck neučtou pvního stupně Bnání skupnu (5 + 6) lze přpojt k lbovolné soustavě anž se tím změní stupeň pohblvost této soustav a naopak odejmeme-l základní skupnu stupeň pohblvost se opět nezmění Přpojením bnáního členu (put 5) se stupeň pohblvost soustav zmenší o a obáceně 46

47 Základní mechansm Rozdělíme je podle počtu členů na mechansm čtřčlenné a tojčlené Čtřčlenné mechansm Klkový Whtwothův Pavoúhlá kulsa Čtřkloubový Tojčlenné mechansm Tto mechansm vžd obsahují obecnou dvojc Vačkový mechansmus Mechansmus ozubených kol zaoblený zvedák plochý zvedák Základní nehbné skupn Bnání skupna Tenání skupna Dvoutenání skupna 47

48 STTICKÉ ŘEŠENÍ SOUSTV Př řešení budeme ozlšovat soustav bez pasvních odpoů a soustav s pasvním odpo a dále řešení ozdělíme na početní a gafcké ŘEŠENÍ SOUSTV BEZ PSIVNÍCH ODPORŮ Před vlastním řešením s zapamatujeme že nezatížený bnání člen může mez dvěma těles B přenášet následující slové účnk Poznámka: Nezatíženým bnáním členem ozumíme že na tento člen nepůsobí žádná vnější síla Početní řešení soustav Řešení je stejné po pohblvé nepohblvé soustav a povádíme ho uvolňováním jednotlvých členů soustav Př řešení učujeme slové účnk ve vazbách ted eakce mez těles a v případě pohblvých soustav ještě slový účnek potřebný po dosažení ovnováh Kolk stupňů volnost má všetřovaná soustava tolk slových účnků musíme přpojt po ovnováhu (každý na ůzný člen!) Ukážeme s postup na konkétních případech Příklad Dáno: G Q a b c l Učt: Reakce Jedná se o nepohblvou soustavu a poto učujeme jenom síl ve vazbách Uvolníme člen a a po každý z nch napíšeme tř podmínk ovnováh člen člen Po člen dostaneme B + B b B a 48

49 a po člen B Q C + B C + G B l B b + Q c Z ovnc učíme hledané B B C C Poznámka: Sílu G působící ve stčníku B můžeme zahnout př uvolňování buď ke členu nebo Všmněte s že vloučením B B dostaneme ovnováhu mez vnějším slam a vnějším eakcem! Příklad Dáno: Q ozmě Učt: Reakce a M po ovnováhu Jedná se o pohblvou soustavu a poto musíme přpojt po ovnováhu vnější účnek kteým je moment M člen B B B a + B b + M člen člen 4 B C C + B + C Q C N B e + B b Q c N ( d + g) Ze získaných devít ovnc učíme hledané eakce a moment B B C C N M Gafcké řešení soustav Po gafcké řešení je velm užtečná znalost následujících vět Vnější síl a vnější eakce jsou v ovnováze Je-l soustava zatížena několka slam platí že výsledné eakce v každém jednotlvém kloubu se ovnají geometckému součtu dílčích eakcí nalezených po případ že každá ze sl b působla sama (pncp supepozce) Platí po soustav bez pasvních odpoů 49

50 Jestlže složka nějaké síl působí do kloubu na základním ámu pak se tímto kloubem přímo zachtí a nevvodí žádné jné eakce Poznámka: Po vlastní postup řešení je důležté vědět že: u gafckého řešení keslíme nostelk eakcí nkolv eakce samotné nebo jejch složk! př řešení vcházíme od nezatížených členů kde známe nostelk eakcí nepovádíme uvolňování! př gafckém řešení vžd musíme mít k dspozc výkes v měřítku Nepohblvé soustav Působí jedna síla Dáno: Učt: Reakce Působí více sl Řešení povedeme supepozční metodou Dáno: Učt: Reakce Řešení povedeme po každou sílu zvlášť a v jednotlvých stčnících povedeme geometcký součet dílčích eakcí Působí : Působí : Pohblvé soustav Řešení pohblvých soustav je shodné s řešením soustav nepohblvých s tím že navíc hledáme slový účnek po dosažení ovnováh Opět po každý člen soustav keslíme tojúhelník sl u metod částečné výslednce čtřúhelník sl Stuace je zřejmá z řešení následujících mechansmů kde je působící slou 5

51 Čtřkloubový mechansmus R + + S R + + RB S S + R R B + S + S + D 4 Whtwothův mechansmus + R + R + N R + N + S N + N + N Poznámka: Rovnováhu ovnoběžných sl N N N působících na člen 4 řešíme pomocí pólového obazce Složený mechansmus + N + R D N + R + C RB R S + R B + Řešení soustav s pasvním odpo Řešení můžeme opět povádět početně nebo gafck Př početním řešení používáme metodu uvolňování a uvažujeme eálné knematcké dvojce stejně jako u řešení gafckého kde ale nesmíme použít metodu supepozce Př gafckém řešení povedeme nejdříve řešení bez pasvních účnků a pak následně kd jž známe smě eakčních sl povedeme řešení s pasvním účnk M se budeme věnovat jenom řešení početnímu a stuac budeme demonstovat na příkladu Příklad 4 Dáno: m m m4 fč č č Učt: M eakce H Povedeme uvolnění jednotlvých členů člen 5

52 člen člen : R R m g S M M č H kde M č R fč č člen : S + S m g R S M č člen 4 S kde M č RB fč č člen 4: R B m4 g M č m g 4 Ze získaných ovnc učíme hledané neznámé M R R S S RB SOUSTVY S OZUBENÝMI KOLY Soustav s ozubeným kol můžeme ozdělt podle ůzných hledsek Použjeme-l hledsko uspořádání a počtu stupňů volnost můžeme schematck použít následující členění: soustav: ovnné předlohové sfécké planetové postoové dfeencální Ukážeme s tpcké uspořádání předlohové a planetové soustav Předlohová soustava Osa každého ozubeného kola je pevná Planetová soustava centální kolo satelt 4 unašeč 5 kounové kolo Řešení soustav s ozubeným kol Řešení předlohových soustav povádíme stejně jako u jných soustav není zde žádná zvláštnost Ukážeme s poto početní řešení u páu ozubených kol a u planetového soukolí s dvojtým sateltem Často píšeme jenom momentové podmínk ovnováh kdž nepotřebujeme eakce v uložení 5

53 Dáno: M m m α Učt: Reakce M Mez složkam síl N platí vztah R T tgα Kolo : R Kolo : B R + T m g B T m g M T M T Z uvedených ovnc můžeme učt B B M T Dáno: M n z z z z4 Učt: M n 4 4 Jedná se o planetové soukolí s dvojtým sateltem a řešení opět povedeme uvolněním jednotlvých členů Potože nehledáme eakce budeme po uvolněné člen psát jenom momentové podmínk ovnováh 5

54 Po jednotlvé člen můžeme psát následující momentové podmínk ovnováh M Poznámka: Rovnováhu členu povedeme tak že síl přeložíme do os sateltu a přpojíme dvojcové moment M ( + ) ( + ) 5 Ze duhé ovnce získáme M Ze třetí ovnce učíme hledaný moment na unašeč M 5 ( + ) ( + ) M 54

55 KINEMTIK 7 KINEMTIK HMOTNÉHO BODU Pohb bodu můžeme popsat vztah ( t) ( s) s s ( t) kde ( s) s ( t) jsou spojté a dfeencovatelné funkce a délka oblouku s je přozený paamet Rchlost a zchlení jsou defnován vztah d d dv v ms dt dt dt [ ms ] a [ ] Podle tajektoe dělíme pohb na přímočaý křvočaý ovnný postoový Přímočaý pohb po přímce p se směovým vektoem p můžeme popsat vektoovým vztahem p () t ( t ) [ ] Rovnný pohb v ovně kteá má nomálu n je učen výazem n [ () t ( t )] PŘÍMOČRÝ POHYB BODU Ztotožníme-l přímku p se souřadncovou osou bude platt p p a pohb můžeme popsat skaláním ovncem Po chlost a zchlení platí následující vztah v d dt a dv dt d dt ( v ) d d a dv d d { dt v v dv d d( v ) d kde zejména poslední výaz po zchlení je velm užtečný Přímočaý pohb bodu dělíme podle zchlení na a) a ovnoměný b) a konst ovnoměně zchlený zpožděný c) a konst neovnoměný 55