TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU"

Transkript

1 ROBUST 2004 c JČMF 2004 TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU Jan Pice Klíčová slova: Paretův index, rozdělení extrémních hodnot, sféra přitažlivosti, Hillův odhad. Abstrat:Nechť X 1, X 2,...jsounezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličiny sdistribučnífuncí Fanechť M n =max(x 1,..., X n ).Provětšinuobvylých distribučníchfuncívhodněstandardizovanámaxima M n onvergujívdistribucirozděleníextrémníchhodnot G γ.podlehodnotshapeparametru γ rozlišujeme tři záladní třídy distribučních funcí: γ > 0 Fréchetova třída, γ =0Gumbelovaaγ <0Weibullova.Zhledisaextrémníchudálostí je především zajímává třída Fréchetova, γ se v tomto ontextu často nazývá Paretovým indexem. V příspěvu se proto budeme zabývat semiparametricýmiodhady γpředevšímprotutotříduatestyoγ,zvláštěsebude jednatotestyhypotézy γ=0protialternativě γ >0,tj.náhodnývýběrje z rozdělení, terý patří do Gumbelovy třídy proti alternativě, že rozdělení je z Fréchetovy třídy. 1 Úvod Nechť X 1, X 2,...jsounezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličinysdistribučnífuncí F.Našepozornostvtomtočlánubudesoustředěnanaextremálníudálosti.Nechťtedy M n =max(x 1,..., X n ).Zřejmědistribuční funce M n je P(M n x)=p(x 1 x,..., X n x)=f n (x)s.j.. Jednodušejepotommožnéuázat,že M n x F s.j.pro n,de x F :=sup{x IR:F(x) <1}. Tato sutečnost nám neposytne příliš mnoho informace. Poud se inspirujeme centrální limitní větou, jistě je přirozené se zabývat standardizovanými maximy. Předpoládejme,žemůžemenajítposloupnostreálnýchčísel a n >0ab n ta,žeposloupnost(m n b n )/a n onvergujevdistribuci,t.j. P((M n b n )/a n x)=f n (a n x+b n ) G(x), n, (1) pro nějaou nedegenerovanou d.f. G(x) Jestliže podmína platí, říáme, že F je ve sféře přitažlivosti G(domain of attraction) F MDA(G). Přirozeně nás patrně napadnou otázy: ja vypadá G,jaépodmínymusí Fsplňovat,aby F MDA(G)ajavolit a n a b n.odpověďnatytozáladníotázymůžemenajítnapř.v[2].

2 276 Jan Pice Odpověď na první otázu známe už od rou 1928 Fisherova-Tippettova věta: Jestliže F MDA(G) potom G je typu jedné z následujících tří distribučních funcí: { 0, x 0 Fréchet Φ 1/γ (x)= exp ( x 1/γ), x >0 γ >0 { { } exp ( x) 1/γ, x 0 Weibull Ψ 1/γ (x)= 1 x >0 γ <0 Gumbel Λ(x)=exp( e x ), x IR. Po vhodné reparametrizaci můžeme tyto tři třídy charaterizovat jediným rozdělením zobecněnéným rozdělením extrémních hodnot(generalized Extreme Value Distribution) { ( ) exp (1+γx) 1/γ γ 0 G(x)=G γ (x)= exp( e x ) γ=0, de1+γx >0. Hodnota shape parametru γ > 0odpovídáFréchetovětřídě, γ =0 Gumbelově a γ < 0 Weibullově. Fisherova-Tippettova věta nám pa říá: jestliže vhodně standardizované maxima onvergují v distribuci nedegenerované limitě, potom limitní rozdělení musí být rozdělení extrémních hodnot. Poznamenejme, že G je určena jednoznačně až na parametr polohy a měříta. Je možné uázat, že v podstatě všechny běžně uvažované spojité rozdělení splňují podmínu(1). Nežsezaměřímenavolbu a n a b n připomeňmeněolipojmůzlasicé teorie extrémních událostí. Funce h(t)na(0, )jepravidelněseměnícífunce(regularlyvarying)v sindexem α IR(h R α ),jestliže h(xt) lim x h(x) = tα, t >0. Funce L(t)na(0, )jepomalu seměnící funce(slowlyvarying)v (L R 0 ),jestliže L(xt) lim =1, t >0. x L(x) V oblasti extrémních hodnot se často pracuje s vantilovou funcí chvostu ( U(t)=F ) =inf{y:f(y) 1 1/t}, t >0. t Věta1.1.a) F MDA(G γ )právědyž U(tx) U(t) lim = xγ 1 t a(t) γ proaždé x >0, ajenějaáladnáfunceaγ IR, a n = a(n), b n = U(n).

3 Testy a odhady Paretova indexu 277 b) F MDA(G γ ), γ >0právědyž proaždé x >0sγ>0,tj. U R γ (a n = U(n)). Důazadetailynapř.vdeHaanL.(1970). U(tx) lim t U(t) = xγ (2) Další a často používá charaterizace Fréchetovy třídy: F MDA(G γ ), γ > 0právědyž1 F(x) R 1/γ,tj. chvost rozdělení Fjepravidelněseměnícífuncev sindexem 1/γ 1 F(x)=x 1/γ L(x). (3) Statisticou inferenci v extremální statistice můžeme založit na záladě limitního rozdělení, tj. na zobecněném rozdělením extrémních hodnot např. pomocí metody maximální věrohodnosti. Uazuje se, že onvergence je vša velmi pomalá, proto je nutné hledat alternativní přístupy. V následujícím textu uážeme něteré možné semiparametricé přístupy. 2 Testy Případ F MDA(G 0 )jezajímavýpromnohoapliací,terésezabývajíextrémy. Důvodem je nejen jednodušší inference založená na Gumbelově sféře přitažlivosti, ale taé široá paleta rozdělení s exponenciální chvosty. Jao zástupce jmenujme normální, lognormální a gamma rozdělení. Na druhé straně opravdu extrémní události jsou modelovány pomocí rozdělení z Fréchetovy třídy. Je tedy určitě v praxi užitečné rozhodnout do jaé třídy rozdělení našich dat patří. To znamená uvažovat následující test oboustranné hypotézy (respetive anologicý jednostranný test) F MDA(G 0 ) protialternativě F MDA(G γ ) γ 0. (4) Asi nejpoužívanější test pro tuto situaci navrhli Hasofer A.M. and Wang Z. v roce Najdeme ho implementovaného v řadě softwarů pro statistiu extrémních událostí. Test jao většina semiparametricých postupů je založen na největších pořádových statistiách: ( ) 2 X X n +1:n W = ( 1) ( ) 2, X := 1 i=1 Xn i+1:n X X n i+1:n. (5) HasoferaWanguázali,žetestovástatistia W máasymptoticynormální rozdělenísestředníhodnotou µ arozptylem σ 2 µ = 1 ( 1), σ2 = i=1 4( 2) ( 1) 2 1 (+1)(+2)

4 278 Jan Pice Kriticý obor pro oboustrannou alternativu je potom dán následovně W > u 1 α/2, de W :=(W µ )/σ a u ε je ε-vantilnormálníhorozdělení. Při praticém provádění testu jistě narazíme na problém, ja zvolit vhodné. Poud budeme zvyšovat, zvýšíme sílu testu, ale na druhé straně zvyšujícísepodíl /nmáneblahývlivnachybui.druhu.volbasepastává dojistémíry alchymií,nicméněvliteratuřeexistujídoporučení,např.boos navrhuje /n=0.2pro50 n 500a/n=0.1pro500 < n 5000,Galambosradívolit =2 n. PodobnýtyptestunavrhliC.Neves,J.PiceaM.I.FragaAlves(2005). Jao testovou statistiu uvažují T,n= 1 X n:n X n :n log. (6) (X n i+1:n X n :n ) i=1 Uázali,žetestovástatistia T,n zanulovéhypotézyonvergujegumbelovurozdělení G(x)=exp( e x )ažetestjeonzistentní.nulováhypotéza jetedyzamítnutanaasymptoticéhladině α (0,1)jestliže T,n < g α/2 nebo T,n > g 1 α/2, de g ε označuje ε-vantil Gumbelova rozdělení, tj. g ε = log( log ε). Jao poslední přístup pro test(4) uveďme poměrně nedávný přístup J. Segerse a J.Teugelse(2001). Vychází z poměru uvažovaném Galtonem(1902): G n = X n:n X n 2:n X n 1:n X n 2:n Náhodnývýběrorozsahu njerozdělendo msupin m i=1 n i= n.važdé je spočítán poměr ξ i = X(i) n i:n i X (i) n i 2:n i X (i) n i 1:n i X (i) n i 2:n i, 1,, m Podle Serflinga(1980), Segers a Teugels navrhují užít testovou statistiu ( S m = 5 m 2 6x T(ξ i )), T(x):=1 m (1+x) 2, (7) i=1 auazují,žezanulovéhypotézyonvergujeχ 2 1rozdělenípro m. Nulová hypotéza je tedy zamítnuta na asymptoticé hladině α, je-li S m > χ 2 1 (1 α),de χ2 1 (ε)označuje ε-vantil χ2 rozdělenís1st.vol.

5 Testy a odhady Paretova indexu Numericá ilustrace Zusme ilustrovat chování výše uvedených testů na simulovaných datech a na jednom reálném příladu. Nejprve jsme uvažovali platnost nulové hypotézy(4), tj. jao zástupce z Gumbelovy sféry přitažlivosti jsme zvolili Gumbelovorozdělení F(x)=exp( e x ).Ztohotorozděleníjsmevygenerovali 1000 výběrorozsahu1000aprovedlivýšeuvedenétesty.naobr.1jsou zobrazeny výsledy ve formě relativního počtu zamítnutí nulové hypotézy na hladině α=0.05.testy(5)a(6)bylyprovedenypro =2,...,999(počet použitých nejvyšších pořádových statisti). Test(7) byl onstruován ta, ževýběrbylrozdělendo50(=m)bloůorozsahu20.obr.1vlastněilustrujeodhadchybyprvníhodruhu.jevidět,žeodhadtétochybyprotest (7) je praticy 0.05, poud přijmeme výše zmiňovaná doporučení pro volbu,potomtesty(5)a(6)majíodhadtaéblízý0.05.nicméněsezdá,že test(6)dovolívolitvětšírozsah anižbytomělovýraznývlivnachybui. druhu. Testovali jsme i jiná rozdělení z Gumbelovy sféry přitažlivosti i pro jiné rozsahy, charater řive byl podobný s jedinou výjimou a to exponenciálním rozdělením, pro teré odhad chyby prvního druhu byl stabilní(blízo hodnoty 0.05) praticy pro všechna možná Obráze1:Relativnípočetzamítnutí H 0 nahladině α=0.05progumbelovo rozdělení, T,n (plnáčára), W (tečovaně), S 50 (čerchovaně). Jao další zástupce pro ilustraci bylo zvoleno zobecněné Paretovo rozdělení F γ (x):=1+log G γ (x)=1 (1+γx) 1 γ { x 0 jestliže γ 0 pro 0 x 1 γ jestliže γ <0

6 280 Jan Pice Toto rozdělení závisí na parametru γ. Podle jeho hodnoty patří rozdělení do jedné z uvažovaných tříd. Opět byl 1000 rát generován výběr o rozsahu 1000 pro hodnoty γ = 2.0,-1.5,-1.0,-0.5,-0.25,-0.1,-0.01, 0.01, 0.1, 0.25, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0. Poud se opět zajímáme o relativní počet zamítnutí nulové hypotézy, pa v tomto ontextu dostáváme představu o síle testů. Naobr. 2vidímesrovnáníprovšechnytřitestyvzávislostina γdata. Testy(5)a(6)bylyprovedenypro =150,test(7)sm=50.Vevšechtřech případech ta bylo použito 150 hodnot(i dyž ne nutně stejných) power gamma Obráze2:Sílatestu: T 150,n (plná), W 150(čerchovaná), S 50 (tečovaná)na hladině α=0.05prozobecněnépareto(γ= 2.0,-1.5,-1.0,-0.5,-0.25,-0.1, -0.01,0.01,0.1,0.25,0.5,1.0,1.5,2.0),rozsah n=1000. Vidíme,žezhledisasílytestusenejlépechovátest(5),trochuhůře(6) a nejslabší je test(7). Ten byl nejslabší ve všech případech, teré jsme zoumali.testy(5)a(6)sepřílišnelišilyazáviselonaonrétnívolbě,rozdělení a rozsahu. Doladem toho může být např. obr. 3, terý zobrazuje závislost sílytestu navolbě prozobecněnéparetorozdělenísγ=1.0 Co se týče asymptoticých vlastností a předpoladů všechny tři testy jsou rovnocenné, na druhou stranu vidíme, že poud máme i poměrně velý rozsahdat,rozdílynajítmůžeme.nejslabšímtestemsezdábýtdojistémíry(7). Test(5)jevpraxipatrněnejpoužívanější,alezdáse,že(6)jeplněsrovnatelný. Podívejmesetéžnatestynareálnýchdatech.Vposlednídoběsevede disuse, že počasí nabývá extrémního chování. Jedním z mnoha charateristi tohoto chování počasí mohou být např. extrémní srážy. V Česé Republice jsou dispozici data na řadě stanic od rou Extrémní srážy můžeme

7 Testy a odhady Paretova indexu power Obráze3:Sílatestu: T,n (plnáčára), W (čerchovaná), S 20 (tečovaná)na hladině α=0.05provzávislostina,rozsah n=200prozobecněnépareto rozdělenísγ=1.0(vpravo) Obráze 4: Maximální třídenní úhrny sráže v letech ve Valašsém Meziříčí. třeba charaterizovat maximálními třídenními úhrny sráže v daném roce (taovétodatamělautordispozici).naobr.4vidímetytodataprostanici ve Valašsém Meziříčí. Velmi dobře je vidět výjimečný ro 1997, terý přinesl velé záplavy na Moravě. Je otázou pro další statisticé úvahy, jaý záladní model je pro tuto veličinu

8 282 Jan Pice (maximálními třídenními úhrny sráže v daném roce) vhodný, tj. Gumbelova nebo Fréchetova třída. Výsledy testů jsou graficy zobrazeny na obr. 5, de vodorovné čáry odpovídají příslušným 97.5%-ním vantilům pro oboustranný test. Vidíme, že zamítnutí nulové hypotézy je velmi problematicé, zamítáme pouzeprovětšíhodnoty atohlavnětestem(6),vidělijsmezesimulací,že větší nedávají dobré výsledy co se týče platnosti nulové hypotézy. Hlavnímproblémemtujevšavelmimalýpočetpozorování(n=40),terýje v apliacích týajících se extrému nedostatečný, ale bohužel v praxi častý Obráze5:SrážyveValašsémMeziříčí:Hodnoty T,40 (plná), W (tečovaná), S 8 (čerchovaná).vodorovnélinyoznačujípříslušnévantilyodpovídající α=0.05. Další testy, teré byly v poslední době onstruovány, uvažují hypotézy ohodnotáchparametru γ(ja těžé jsoutěžéchvosty)pro F MDA(G γ ), γ >0,viz[11],[16].OtěchtotestechbyloreferovánonaRobustu2000.Poud se budeme zabývat úvahami o hodnotách γ, pa mnohem bohatší je literatura věnovaná odhadům. Proto následující část tohoto příspěvu věnujeme právě jim. 3 Odhady Připomeňme,ževycházímeznáhodnéhovýběru X 1, X 2,...zrozdělenísneznámoudistribučnífuncí F.Poud F MDA(G γ ), γ >0,papatrně nejznámějšíodhadem γjehillůvodhadzrou1975[8]: H n ()= 1 1 log X (n i:n) log X (n :n). (8) i=0

9 Testy a odhady Paretova indexu 283 Uažme návrh jedné z možných cest jeho odvození. Vyjděme z charaterizace Fréchetovy třídy(2): U(tx) lim t U(t) = xγ,de U(t)=F 1 (1 1/t). Pozlogaritmovánídostanemelim t log U(t/x) log U(t)= γlog x. Výběrováverzevantilovéfuncechvostu U je U n (1/x)=Fn 1 (1 x)= X n(1 x),n,tj. U n ( n )=X n,na U n ( n x )=X n x,n.tedypro0<x<1je log X n x,n log X n,n = γlog x.potéintegrujme γ= γ 1 0 log xdx= lim Dostaneme ta možný odhad γ H n () = t 1 0 {logu(t/x) log U(t)} dx. (log X n x,n log X n,n ) dx = 1 log X (n i:n) log X (n :n) i=0 Hillův odhad je onzistentní, tvrzení najdeme např. v[13]. Věta 3.1. Je-li F MDA(G γ ), γ >0,potom H n () γvpravděpodobnosti, =(n), (n)/n 0(n ). Poud nás zajímá asymptoticé rozdělení odhadu, musíme lást další podmíny na distribuční funci, abychom byli schopní ho odvodit. Nejčastěji se uvažuje následující podmína(regular variation of second order): Nechť existuje A(t) funce onstantního znaména a parametr ρ lim t U(tx) U(t) xγ A(t) = x γ xρ 1 ρ (9) provšechna x >0. Věta 3.2. Nechť podmína(9) platí a nechť posloupnost = (n) je taová, že (n) a A(n/) 0,potom (Hn () γ) jeasymptoticynormálnísnulovoustředníhodnotouarozptylem γ 2.

10 284 Jan Pice (( M() (1) ) 2 ) 1, (10) M()=1+M() (1) M() (2) 1 de M() (j) = 1 ( ) j log X(Nn i+1:nn) log X (Nn :Nn). i=1 Alternativou momentového odhadu je Picandsův odhad[17] P()= 1 ( ) log2 log XNn +1:Nn X Nn 2+1:Nn. (11) X Nn 2+1:Nn X Nn 4+1:Nn Výše uvedené odhady jsou patrně nejznámější, v literatuře existuje obrovsé množství dalších odhadů: různá zobecnění Hillova odhadu, odhady založené naparametrudruhéhořádu ρ,viz(9)amnohoamnohodalšíchalternativ. Uveďmealespoňjedenpřílad,terývycházíz(9)auvažuje,že ρ= 1. NavrhlihoGomesaMartinvroce2002,viz[9]. GM()= 1 U i i=1 ( 1 i=1 ) i=1 iu (2i 1)U i i i=1 i(2i 1)U, i [ U i = i log X ] Nn i+1:nn, (12) X Nn i:nn Stejně jao u testů je problém volby, lze řešit podobnými doporučeními nebo se uvažují postupy založené na bootstrapu- viz např.[10]. Pouduvažujeme F MDA(G γ ), γlibovolné,palze analogicyodvodit Momentovýodhad[1] Poudsepodívámedodomácíchluhůahájů,taitadynajdemepříspěveeonstruciodhadůparametru γzapodmíny F MDA(G γ ), γ >0. Tyto odhady nejsou založeny přímo na pořádových statistiách na rozdíl od předcházejících. Vychází se opět z určité charaterizace Fréchetovy třídy: log(1 F(a)) lim =1. (13) a mloga Apliací l Hospitalova pravidla z von Mises podmíne(viz Embrechts a ol., Kap.3),dostaneme,že1 F(x) = x m L(x),cožjecharaterizaceuvedená v(3). Platí i opačná impliace. Principem spočívá v rozdělení výběru do supin, v aždé je spočtena nějaá jednoduchá statistia. Výsledný odhad je onstruován na záladě empiricé distribuční funce sledované statistiy.

11 Testy a odhady Paretova indexu 285 O prvním typu odhadu referovala na Robustu 2000 A. Fialová: Rozdělíme pozorování do N nepřerývajících se výběrů rozsahu n a určíme zde průměry ( X n (1),..., X n (N) ). Dostaneme pa náhodný výběr z rozdělení s distribuční (N) funcí F Xn (x)=ip( X n x).označíme F X n (x) = 1 N (j) N j=1 I[ X n x] empiricoudistribučnífuncízaloženouna( X n (1),..., X n (N) ). Vyberme posloupnost {a N } N=1, a N pro N vetvaru a N = N 1 δ m 0,spevným δ (0,1). Odhadparametru m=1/γjepotom de m N = m N (a N )I[0 < F (N) X n (a N ) <1]+m 0 I[ F (N) X n (a N )=0 nebo1], (14) m N (a)= ( ) (N) log 1 F X n (a), a >0. log a Odhad(14) je onzistentní a jeho asymptoticé rozdělení je normální, viz následující věty. Věta3.3. Nechť {X 1, X 2,...}jeposloupnostnezávislýchstejněrozdělených náhodnýchveličinsdistribučnífuncí F MDA(G γ ), γ >0ahustotou f(x)=0pro x <0a0 < f(x) < for x K f 0.Nechť m N jeodhad m. Potom m N m spravděpodobností 1, pro N. Věta 3.4. Za podmíne předcházející věty posloupnost ( )1 1 N 1 2 log F Xn (a N ) ( m 2 an N m+ log ) L (a N ) F Xn (a N ) log a N je asymptoticy normální N. Důazyobouvětlzenaléztv[4].NarozdílodHillova(aidalšíchvýše zmíněných) odhadů je asymptoticé rozdělení odvozeno za mnohem slabších předpoladů.bohuželvýsledevěty3.4obsahujepomaluměnícísefunci L, terou zpravidla neznáme, není proto možné jednoduše výsledu využít např. pro onstruci intervalových odhadů. Pro tento odhad musíme zvolit δ, což je vlastně podobná úloha jao je určení vhodného pro předcházející odhady, navícje všanutné zvolit m 0,cožvyžadujenějaoupočáteční informaci otom,jachvostrozdělenímůžebýt těžý.toponěudomezujeužití odhadu pro praticé problémy. Ilustrujme na simulovaných datech na chování odhadu právě v závislosti navolbě δ a m 0.JaomodeldatpoužijemeParetovorozdělení,teréje jedním z typicy používaných rozdělení pro popis extrémních událostí: ( ) 1/γ 1 F(x)=1, x 0 (15) 1+x

12 286 Jan Pice KonrétněbylasimulaceprovedenaproParetovorozdělenísγ=1,cožje i hodnota, terou chceme odhadnout. Výslede můžeme vidět na obr. 6, zteréhovyplývá,žepoudjezhruba δ <0.4jeodhadpoměrněstabilnía rozumný. Pro velé hodnoty δ odhad naprosto selhává. Zároveň je vidět, že čímhoršímámeapriorníinformaciosprávnéhodnotě γ=1/m,tímdostaneme horší výslede. estimate % 75% 50% 25% 1% estimate % 75% 50% 25% 1% delta m_0 Obráze 6: Závislost odhadu v 1000 simulovaných výběrech Paretova rozdělenísγ =1naparametru δprodané m 0 =1.5(vlevo)závislosthodnot odhadunaparametru m 0 pro δ=0.1(vpravo).uvedenyjsoumedián1,25, 75 a 99 percentily. Jurečová, Pice(2004) navrhli odhad vycházející z postupů pro testování hypotézyohodnotáchparametru γ pro F MDA(G γ ), γ > 0.Krátá poznáma o nich byla v předcházející apitole. Invertováním těchto testů (v duchu způsobu, terý užil Hodges a Lehmann v roce 1963) dostaneme odhad M N = 1 2 (M+ N + M N ), de M N =sup{s: 1 ˆF N (a N,s)) < N (1 δ) }, M + N =inf{s: 1 ˆF N (a N,s)) > N (1 δ) }. X (1) (n),...,x(n) (n) jsou odpovídající výběrová maxima N supin o rozsahu n, terévznilyrozdělenímpůvodníhonáhodnéhovýběru.jaoˆf N označujeme empiricoudistribučnífunciodpovídajícívýběrovýmmaximům, a N,m = (nn 1 δ ) 1/m,de0 < δ < 1 2 jeonstanta. Ilustrujme podobně jao u předcházejícího odhadu chování v závislosti na volbě δ. Jao model dat tentoráte použijeme Burrovo rozdělení, teré je dalším typicy používaným rozdělením pro popis extrémních událostí: ( F(x)=1 1 1+x 1/γ ) α, x 0 (16) KonrétněbylasimulaceprovedenaproBurrovorozdělenísγ=1, α=1, jedniča je opět hodnota, terou chceme odhadnout. Výslede můžeme vidět

13 Testy a odhady Paretova indexu 287 naobr.7,zteréhovyplývá,želepšívýslededostaneme,poudje δblízé 0.5. Neplatí to obecně, pro jiná rozdělení to může dopadne úplně opačně. Na druhou stranu volba δ není ta problematicá jao volba u Hillova odhadu, vizobr.8,denastejnýchdatechjespočítánhillůvodhad. odhad % 25% 50% 75% 95% delta Obráze 7: Závislost odhadu v 1000 simulovaných výběrech Burrova rozdělení s γ=1, α=1naparametru δ.uvedenyjsoumedián5,25,75a95percentily. odhad % 25% 50% 75% 95% Obráze 8: Hillův odhad v 1000 simulovaných výběrech o rozsahu 1000 v závislostina proburrovorozdělenísγ=1, α=1.uvedenyjsoumedián5, 25,75a95percentily.

14 288 Jan Pice Jurečová a Pice uázali v[12], že odhad je silně onzistentní. Asymptoticou normalitu odvodil Omela[15]. Odhad(16) potřebuje pouze volbu δ, což ho činí použitelnějším než odhad(14). I simulace dávájí poměrně dobré výsledy- viz dále, přesto vša musíme být v praticých apliacích velmi opatrní. Oba odhady nejsou invariatní vzhledem e změně měříta na rozdíl od odhadu Hillova(8), Picandsonova(11), momentového(10) i(12). Všechny zmíněné odhady nejsou invaritní vzhledem e změně polohy. Při mechanicémpoužitíodhadůtopotommůževést zajímavým výsledům. Byly proto uvažovány něteré modifiace Hillova odhadu, viz např.[3]. Nějaé poznámy, ja se s naznačeným problémem vypořádat pro odhad(16) učinil Omela[15]. 3.1 Numericá ilustrace V této části zusíme porovnat zmiňované odhady na simulovaných datech. Jao výchozí model použijeme dříve zmiňovaná rozdělení: Paretovo, Burrovo a zobecněné Paretovo. U všech tří rozdělení zvolíme shape parametr(γ = 1/m=1)ta,abychvostybyly stejnětěžé amohlitasledovatvliv rozdělení. U zobecněného Paretova zvolíme ještě další dvě hodnoty γ: 1/3 lehčía2 těžšíchvost. Zdanéhorozděleníjsmevygenerovali1000 výběrorozsahu1000aprovedli výše zmíněné odhady. Odhady(8),(11),(10) a(12) jsme spočítali pro =2,...,998.Proodhady(14)a(16)jsmeprovedlirozdělenído200supin (= N)po5hodnotách(= n)aspočítaliodhadpro δ=0.01,...,0.50sroem0.01,navícpro(14)za m 0 jsmezvolili sutečné 1/γ+1.Zaúčelem porovnání jsme pro aždé, respetive δ spočetli střední vadraticou chybu (MSE)avybralitaovouhodnotu (δ),dyjemseminimálníaspočítali nějaé výběrové charateristiy z tisíce zísaných hodnot odhadů. Výsledy najdemevtabulce1.odhad(14)jevníoznačenjaofjpa(16)jaojp. Tučně je zvýrazněna pro dané rozdělení minimální MSE mezi odhady. Můžeme si všimnout, že pro opravdu těžé chvosty, tj. pro všechny případy romě zobecněného Paretova rozdělení s γ = 1/3, dávají všechny odhady v průměru rozumné výsledy. Nejslabší se přesto zdá být odhad(14) a protože byly už něteré výhrady disutovány dříve, nelze ho doporučit pro praticé úlohy. Naopa odhad(16) je srovnatelný s lasicými, navíc pro lehčí chvosty dává často rozumnější výsledy než lasicé odhady. Zdá se tedy, že s ním lze pracovat minimálně jao vhodnou alternativou. Ztabulyjedálevidětadalšísimulaceprojinépřípadyarozdělenítojen potvrzují, že index lehčích chvostů se odhaduje mnohem hůře. Převapující je výslede Picandsova odhadu(alespoň pro autora tohoto příspěvu), protože tentoodhadbymělfungovatproodhadnejenvefréchetovětřídě,aleipro GumbelovuaWeibullovusférupřitažlivosti,tedyipro lehé chvosty.

15 Testy a odhady Paretova indexu 289 rozdělení metoda, δ MSE průměr medián rozptyl Pareto Hill = γ=1 Moment = Picands = Gomes = FJP δ = JP δ = Burr Hill = α=1 Moment = γ=1 Picands = Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=2 Picands = β=1 Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=1 Picands = β = 1 Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=1/3 Picands = β = 1 Gomes = FJP δ = JP δ = Tabula 1: Výběrové charateristiy odhadů Paretova indexu pro minimální MSE při 1000 opaování generování dat rozsahu 1000 pro různá rozdělení. Reference [1] Deers A.L.M, Einmahl J.H.J., de Haan L.(1989). A moment estimator for the index of an extreme value distribution. Ann. Statist. 17, [2] Embrechts P., Klüppelberg C., Miosch T.(1997). Modelling extremal events for insurance and finance. Springer-Verlag, Berlin.

16 290 Jan Pice [3] Fraga Alves M.I.(2001). A location invariant Hill-type estimator. Extremes,4(2), [4] Fialová A., Jurečová J., Pice J.(2004). Estimation of tail index based onsamplemean.revstat,2, [5]deHaanL.(1970).Onregularvariationanditsapplicationtothewea convergence of sample extremes. Mathematical Centre Tract 32, Amsterdam. [6] de Hann L., Stadtmüller U.(1996). Generalized regular variation of second order. J.Austral.Math.Soc.(A) 61, [7]HasoferA.M.,WangZ.(1992).Atestforextremevaluedomainofattraction.JASA,87, [8]HillB.M.(1975).Asimplegeneralapproachtoinferenceaboutthetailof a distribution. Ann. Statist. 3, [9] Gomes M.I., Martins M.J.(2002). Asymptotically unbiased estimators of the tail indexbased onthe externalestimation of thesecond order parameter.extremes5(1),5 31. [10] Gomez I., Oliviera O.(2001). The bootstrap methodology in statistics of extremes-choice of the optimal sample fraction. Extremes 4(4), [11]JurečováJ.,PiceJ.(2001).Aclassoftestsonthetailindex.Extremes, 4,(2), [12]JurečováJ.,PiceJ.(2004).Estimatesofthetailindexbasedonnonparametric tests. Theory and Applications of Recent Robust Methods, Birhauser, Basel, [13] Mason D.M.(1982). Laws of large numbers for sums of extreme values. Ann.Probab.10, [14]NevesC.,PiceJ.,FragaAlvesM.I.(2005).Thecontributionofthe maximum to the sum of excesses for testing max-domains of attractions. J. Statist. Planning Infer., v tisu. [15] Omela M.(2005). Asymptotic normality of the estimates of the tail index based on nonparametric tests. Zasláno. [16]PiceJ.,JurečováJ.(2001).Aclassoftestsonthetailindexusingthe modified extreme regression quantiles. Sborní onference ROBUST 00 (J.Antoch, G.Dohnal, eds.), JČMF Praha, [17] Picands J.(1975). Statistical inference using extreme order statistics. Ann.Statist. 3, [18] Segers J., Teugels J.(2001). Testing the Gumbel hypothesis by Galton s ratio. Extremes, 3:3, Poděování: Příspěve vznil za podpory Grantové agentury AV ČR projet B a výzumného záměru MSM Adresa: J. Pice, Katedra apliované matematiy, Technicá univerzita v Liberci, Hálova 6, Liberec

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Novohradské statistické dny ÚVOD Velká pozornost

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č. Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistia Přílady a otázy Petr Hebá a Hana Salsá GAUDEAMUS 2011 Autoři: prof. Ing. Petr Hebá, CSc. Autoři: prof. RNDr. Hana Salsá, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Tatiana Gavalcová, CSc.

Více

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v.

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v. Opakování Opakování: y o střední hodnotě normálního 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 výběrový t-test Šárka Hudecová Katedra a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Více

Intervalové Odhady Parametrů II Testování Hypotéz

Intervalové Odhady Parametrů II Testování Hypotéz Parametrů II Testování Hypotéz Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Úvod do Kalmanova filtru

Úvod do Kalmanova filtru Kalmanův filtr = odhadovač stavu systému Úvod do Kalmanova filtru KF dává dohromady model systému a měření. Model systému použije tomu, aby odhadl, ja bude stav vypadat a poté stav porovná se sutečným

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Stručný úvod do testování statistických hypotéz

Stručný úvod do testování statistických hypotéz Stručný úvod do testování statistických hypotéz 1. Formulujeme hypotézu (předpokládáme, že pozorovaný jev je pouze náhodný). 2. Zvolíme hladinu významnosti testu a, tj. riziko, s nímž jsme ochotni se smířit.

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku 6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody

Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 Dlouhodobé nahodilé Std Distribution: Gumbel Min. EV I Mean Requested: 140 Obtained: 141 Std Requested: 75.5 Obtained: 73.2-100 0 100 200 300 Mean Std Téma 4:

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY

TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2002, ISBN 80-85813-99-8, s. 242-253 TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové

Více

Cvičení 10. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 10. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 10 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33 1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II

FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II FUZZY ANALYSIS OF COMPLEX VAGUE SYSTEMS - II Miroslav Poorný Moravsá vysoá šola Olomouc, o.p.s., Ústav informatiy, miroslav.poorny@mvso.cz Abstrat:. Příspěve

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více

7 Regresní modely v analýze přežití

7 Regresní modely v analýze přežití 7 Regresní modely v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student rozumí významu regresního modelování dat o přežití 2. Student dokáže definovat pojmy poměr rizik a základní riziková funkce

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více