TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU"

Transkript

1 ROBUST 2004 c JČMF 2004 TESTY A ODHADY PARETOVA INDEXU Jan Pice Klíčová slova: Paretův index, rozdělení extrémních hodnot, sféra přitažlivosti, Hillův odhad. Abstrat:Nechť X 1, X 2,...jsounezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličiny sdistribučnífuncí Fanechť M n =max(x 1,..., X n ).Provětšinuobvylých distribučníchfuncívhodněstandardizovanámaxima M n onvergujívdistribucirozděleníextrémníchhodnot G γ.podlehodnotshapeparametru γ rozlišujeme tři záladní třídy distribučních funcí: γ > 0 Fréchetova třída, γ =0Gumbelovaaγ <0Weibullova.Zhledisaextrémníchudálostí je především zajímává třída Fréchetova, γ se v tomto ontextu často nazývá Paretovým indexem. V příspěvu se proto budeme zabývat semiparametricýmiodhady γpředevšímprotutotříduatestyoγ,zvláštěsebude jednatotestyhypotézy γ=0protialternativě γ >0,tj.náhodnývýběrje z rozdělení, terý patří do Gumbelovy třídy proti alternativě, že rozdělení je z Fréchetovy třídy. 1 Úvod Nechť X 1, X 2,...jsounezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličinysdistribučnífuncí F.Našepozornostvtomtočlánubudesoustředěnanaextremálníudálosti.Nechťtedy M n =max(x 1,..., X n ).Zřejmědistribuční funce M n je P(M n x)=p(x 1 x,..., X n x)=f n (x)s.j.. Jednodušejepotommožnéuázat,že M n x F s.j.pro n,de x F :=sup{x IR:F(x) <1}. Tato sutečnost nám neposytne příliš mnoho informace. Poud se inspirujeme centrální limitní větou, jistě je přirozené se zabývat standardizovanými maximy. Předpoládejme,žemůžemenajítposloupnostreálnýchčísel a n >0ab n ta,žeposloupnost(m n b n )/a n onvergujevdistribuci,t.j. P((M n b n )/a n x)=f n (a n x+b n ) G(x), n, (1) pro nějaou nedegenerovanou d.f. G(x) Jestliže podmína platí, říáme, že F je ve sféře přitažlivosti G(domain of attraction) F MDA(G). Přirozeně nás patrně napadnou otázy: ja vypadá G,jaépodmínymusí Fsplňovat,aby F MDA(G)ajavolit a n a b n.odpověďnatytozáladníotázymůžemenajítnapř.v[2].

2 276 Jan Pice Odpověď na první otázu známe už od rou 1928 Fisherova-Tippettova věta: Jestliže F MDA(G) potom G je typu jedné z následujících tří distribučních funcí: { 0, x 0 Fréchet Φ 1/γ (x)= exp ( x 1/γ), x >0 γ >0 { { } exp ( x) 1/γ, x 0 Weibull Ψ 1/γ (x)= 1 x >0 γ <0 Gumbel Λ(x)=exp( e x ), x IR. Po vhodné reparametrizaci můžeme tyto tři třídy charaterizovat jediným rozdělením zobecněnéným rozdělením extrémních hodnot(generalized Extreme Value Distribution) { ( ) exp (1+γx) 1/γ γ 0 G(x)=G γ (x)= exp( e x ) γ=0, de1+γx >0. Hodnota shape parametru γ > 0odpovídáFréchetovětřídě, γ =0 Gumbelově a γ < 0 Weibullově. Fisherova-Tippettova věta nám pa říá: jestliže vhodně standardizované maxima onvergují v distribuci nedegenerované limitě, potom limitní rozdělení musí být rozdělení extrémních hodnot. Poznamenejme, že G je určena jednoznačně až na parametr polohy a měříta. Je možné uázat, že v podstatě všechny běžně uvažované spojité rozdělení splňují podmínu(1). Nežsezaměřímenavolbu a n a b n připomeňmeněolipojmůzlasicé teorie extrémních událostí. Funce h(t)na(0, )jepravidelněseměnícífunce(regularlyvarying)v sindexem α IR(h R α ),jestliže h(xt) lim x h(x) = tα, t >0. Funce L(t)na(0, )jepomalu seměnící funce(slowlyvarying)v (L R 0 ),jestliže L(xt) lim =1, t >0. x L(x) V oblasti extrémních hodnot se často pracuje s vantilovou funcí chvostu ( U(t)=F ) =inf{y:f(y) 1 1/t}, t >0. t Věta1.1.a) F MDA(G γ )právědyž U(tx) U(t) lim = xγ 1 t a(t) γ proaždé x >0, ajenějaáladnáfunceaγ IR, a n = a(n), b n = U(n).

3 Testy a odhady Paretova indexu 277 b) F MDA(G γ ), γ >0právědyž proaždé x >0sγ>0,tj. U R γ (a n = U(n)). Důazadetailynapř.vdeHaanL.(1970). U(tx) lim t U(t) = xγ (2) Další a často používá charaterizace Fréchetovy třídy: F MDA(G γ ), γ > 0právědyž1 F(x) R 1/γ,tj. chvost rozdělení Fjepravidelněseměnícífuncev sindexem 1/γ 1 F(x)=x 1/γ L(x). (3) Statisticou inferenci v extremální statistice můžeme založit na záladě limitního rozdělení, tj. na zobecněném rozdělením extrémních hodnot např. pomocí metody maximální věrohodnosti. Uazuje se, že onvergence je vša velmi pomalá, proto je nutné hledat alternativní přístupy. V následujícím textu uážeme něteré možné semiparametricé přístupy. 2 Testy Případ F MDA(G 0 )jezajímavýpromnohoapliací,terésezabývajíextrémy. Důvodem je nejen jednodušší inference založená na Gumbelově sféře přitažlivosti, ale taé široá paleta rozdělení s exponenciální chvosty. Jao zástupce jmenujme normální, lognormální a gamma rozdělení. Na druhé straně opravdu extrémní události jsou modelovány pomocí rozdělení z Fréchetovy třídy. Je tedy určitě v praxi užitečné rozhodnout do jaé třídy rozdělení našich dat patří. To znamená uvažovat následující test oboustranné hypotézy (respetive anologicý jednostranný test) F MDA(G 0 ) protialternativě F MDA(G γ ) γ 0. (4) Asi nejpoužívanější test pro tuto situaci navrhli Hasofer A.M. and Wang Z. v roce Najdeme ho implementovaného v řadě softwarů pro statistiu extrémních událostí. Test jao většina semiparametricých postupů je založen na největších pořádových statistiách: ( ) 2 X X n +1:n W = ( 1) ( ) 2, X := 1 i=1 Xn i+1:n X X n i+1:n. (5) HasoferaWanguázali,žetestovástatistia W máasymptoticynormální rozdělenísestředníhodnotou µ arozptylem σ 2 µ = 1 ( 1), σ2 = i=1 4( 2) ( 1) 2 1 (+1)(+2)

4 278 Jan Pice Kriticý obor pro oboustrannou alternativu je potom dán následovně W > u 1 α/2, de W :=(W µ )/σ a u ε je ε-vantilnormálníhorozdělení. Při praticém provádění testu jistě narazíme na problém, ja zvolit vhodné. Poud budeme zvyšovat, zvýšíme sílu testu, ale na druhé straně zvyšujícísepodíl /nmáneblahývlivnachybui.druhu.volbasepastává dojistémíry alchymií,nicméněvliteratuřeexistujídoporučení,např.boos navrhuje /n=0.2pro50 n 500a/n=0.1pro500 < n 5000,Galambosradívolit =2 n. PodobnýtyptestunavrhliC.Neves,J.PiceaM.I.FragaAlves(2005). Jao testovou statistiu uvažují T,n= 1 X n:n X n :n log. (6) (X n i+1:n X n :n ) i=1 Uázali,žetestovástatistia T,n zanulovéhypotézyonvergujegumbelovurozdělení G(x)=exp( e x )ažetestjeonzistentní.nulováhypotéza jetedyzamítnutanaasymptoticéhladině α (0,1)jestliže T,n < g α/2 nebo T,n > g 1 α/2, de g ε označuje ε-vantil Gumbelova rozdělení, tj. g ε = log( log ε). Jao poslední přístup pro test(4) uveďme poměrně nedávný přístup J. Segerse a J.Teugelse(2001). Vychází z poměru uvažovaném Galtonem(1902): G n = X n:n X n 2:n X n 1:n X n 2:n Náhodnývýběrorozsahu njerozdělendo msupin m i=1 n i= n.važdé je spočítán poměr ξ i = X(i) n i:n i X (i) n i 2:n i X (i) n i 1:n i X (i) n i 2:n i, 1,, m Podle Serflinga(1980), Segers a Teugels navrhují užít testovou statistiu ( S m = 5 m 2 6x T(ξ i )), T(x):=1 m (1+x) 2, (7) i=1 auazují,žezanulovéhypotézyonvergujeχ 2 1rozdělenípro m. Nulová hypotéza je tedy zamítnuta na asymptoticé hladině α, je-li S m > χ 2 1 (1 α),de χ2 1 (ε)označuje ε-vantil χ2 rozdělenís1st.vol.

5 Testy a odhady Paretova indexu Numericá ilustrace Zusme ilustrovat chování výše uvedených testů na simulovaných datech a na jednom reálném příladu. Nejprve jsme uvažovali platnost nulové hypotézy(4), tj. jao zástupce z Gumbelovy sféry přitažlivosti jsme zvolili Gumbelovorozdělení F(x)=exp( e x ).Ztohotorozděleníjsmevygenerovali 1000 výběrorozsahu1000aprovedlivýšeuvedenétesty.naobr.1jsou zobrazeny výsledy ve formě relativního počtu zamítnutí nulové hypotézy na hladině α=0.05.testy(5)a(6)bylyprovedenypro =2,...,999(počet použitých nejvyšších pořádových statisti). Test(7) byl onstruován ta, ževýběrbylrozdělendo50(=m)bloůorozsahu20.obr.1vlastněilustrujeodhadchybyprvníhodruhu.jevidět,žeodhadtétochybyprotest (7) je praticy 0.05, poud přijmeme výše zmiňovaná doporučení pro volbu,potomtesty(5)a(6)majíodhadtaéblízý0.05.nicméněsezdá,že test(6)dovolívolitvětšírozsah anižbytomělovýraznývlivnachybui. druhu. Testovali jsme i jiná rozdělení z Gumbelovy sféry přitažlivosti i pro jiné rozsahy, charater řive byl podobný s jedinou výjimou a to exponenciálním rozdělením, pro teré odhad chyby prvního druhu byl stabilní(blízo hodnoty 0.05) praticy pro všechna možná Obráze1:Relativnípočetzamítnutí H 0 nahladině α=0.05progumbelovo rozdělení, T,n (plnáčára), W (tečovaně), S 50 (čerchovaně). Jao další zástupce pro ilustraci bylo zvoleno zobecněné Paretovo rozdělení F γ (x):=1+log G γ (x)=1 (1+γx) 1 γ { x 0 jestliže γ 0 pro 0 x 1 γ jestliže γ <0

6 280 Jan Pice Toto rozdělení závisí na parametru γ. Podle jeho hodnoty patří rozdělení do jedné z uvažovaných tříd. Opět byl 1000 rát generován výběr o rozsahu 1000 pro hodnoty γ = 2.0,-1.5,-1.0,-0.5,-0.25,-0.1,-0.01, 0.01, 0.1, 0.25, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0. Poud se opět zajímáme o relativní počet zamítnutí nulové hypotézy, pa v tomto ontextu dostáváme představu o síle testů. Naobr. 2vidímesrovnáníprovšechnytřitestyvzávislostina γdata. Testy(5)a(6)bylyprovedenypro =150,test(7)sm=50.Vevšechtřech případech ta bylo použito 150 hodnot(i dyž ne nutně stejných) power gamma Obráze2:Sílatestu: T 150,n (plná), W 150(čerchovaná), S 50 (tečovaná)na hladině α=0.05prozobecněnépareto(γ= 2.0,-1.5,-1.0,-0.5,-0.25,-0.1, -0.01,0.01,0.1,0.25,0.5,1.0,1.5,2.0),rozsah n=1000. Vidíme,žezhledisasílytestusenejlépechovátest(5),trochuhůře(6) a nejslabší je test(7). Ten byl nejslabší ve všech případech, teré jsme zoumali.testy(5)a(6)sepřílišnelišilyazáviselonaonrétnívolbě,rozdělení a rozsahu. Doladem toho může být např. obr. 3, terý zobrazuje závislost sílytestu navolbě prozobecněnéparetorozdělenísγ=1.0 Co se týče asymptoticých vlastností a předpoladů všechny tři testy jsou rovnocenné, na druhou stranu vidíme, že poud máme i poměrně velý rozsahdat,rozdílynajítmůžeme.nejslabšímtestemsezdábýtdojistémíry(7). Test(5)jevpraxipatrněnejpoužívanější,alezdáse,že(6)jeplněsrovnatelný. Podívejmesetéžnatestynareálnýchdatech.Vposlednídoběsevede disuse, že počasí nabývá extrémního chování. Jedním z mnoha charateristi tohoto chování počasí mohou být např. extrémní srážy. V Česé Republice jsou dispozici data na řadě stanic od rou Extrémní srážy můžeme

7 Testy a odhady Paretova indexu power Obráze3:Sílatestu: T,n (plnáčára), W (čerchovaná), S 20 (tečovaná)na hladině α=0.05provzávislostina,rozsah n=200prozobecněnépareto rozdělenísγ=1.0(vpravo) Obráze 4: Maximální třídenní úhrny sráže v letech ve Valašsém Meziříčí. třeba charaterizovat maximálními třídenními úhrny sráže v daném roce (taovétodatamělautordispozici).naobr.4vidímetytodataprostanici ve Valašsém Meziříčí. Velmi dobře je vidět výjimečný ro 1997, terý přinesl velé záplavy na Moravě. Je otázou pro další statisticé úvahy, jaý záladní model je pro tuto veličinu

8 282 Jan Pice (maximálními třídenními úhrny sráže v daném roce) vhodný, tj. Gumbelova nebo Fréchetova třída. Výsledy testů jsou graficy zobrazeny na obr. 5, de vodorovné čáry odpovídají příslušným 97.5%-ním vantilům pro oboustranný test. Vidíme, že zamítnutí nulové hypotézy je velmi problematicé, zamítáme pouzeprovětšíhodnoty atohlavnětestem(6),vidělijsmezesimulací,že větší nedávají dobré výsledy co se týče platnosti nulové hypotézy. Hlavnímproblémemtujevšavelmimalýpočetpozorování(n=40),terýje v apliacích týajících se extrému nedostatečný, ale bohužel v praxi častý Obráze5:SrážyveValašsémMeziříčí:Hodnoty T,40 (plná), W (tečovaná), S 8 (čerchovaná).vodorovnélinyoznačujípříslušnévantilyodpovídající α=0.05. Další testy, teré byly v poslední době onstruovány, uvažují hypotézy ohodnotáchparametru γ(ja těžé jsoutěžéchvosty)pro F MDA(G γ ), γ >0,viz[11],[16].OtěchtotestechbyloreferovánonaRobustu2000.Poud se budeme zabývat úvahami o hodnotách γ, pa mnohem bohatší je literatura věnovaná odhadům. Proto následující část tohoto příspěvu věnujeme právě jim. 3 Odhady Připomeňme,ževycházímeznáhodnéhovýběru X 1, X 2,...zrozdělenísneznámoudistribučnífuncí F.Poud F MDA(G γ ), γ >0,papatrně nejznámějšíodhadem γjehillůvodhadzrou1975[8]: H n ()= 1 1 log X (n i:n) log X (n :n). (8) i=0

9 Testy a odhady Paretova indexu 283 Uažme návrh jedné z možných cest jeho odvození. Vyjděme z charaterizace Fréchetovy třídy(2): U(tx) lim t U(t) = xγ,de U(t)=F 1 (1 1/t). Pozlogaritmovánídostanemelim t log U(t/x) log U(t)= γlog x. Výběrováverzevantilovéfuncechvostu U je U n (1/x)=Fn 1 (1 x)= X n(1 x),n,tj. U n ( n )=X n,na U n ( n x )=X n x,n.tedypro0<x<1je log X n x,n log X n,n = γlog x.potéintegrujme γ= γ 1 0 log xdx= lim Dostaneme ta možný odhad γ H n () = t 1 0 {logu(t/x) log U(t)} dx. (log X n x,n log X n,n ) dx = 1 log X (n i:n) log X (n :n) i=0 Hillův odhad je onzistentní, tvrzení najdeme např. v[13]. Věta 3.1. Je-li F MDA(G γ ), γ >0,potom H n () γvpravděpodobnosti, =(n), (n)/n 0(n ). Poud nás zajímá asymptoticé rozdělení odhadu, musíme lást další podmíny na distribuční funci, abychom byli schopní ho odvodit. Nejčastěji se uvažuje následující podmína(regular variation of second order): Nechť existuje A(t) funce onstantního znaména a parametr ρ lim t U(tx) U(t) xγ A(t) = x γ xρ 1 ρ (9) provšechna x >0. Věta 3.2. Nechť podmína(9) platí a nechť posloupnost = (n) je taová, že (n) a A(n/) 0,potom (Hn () γ) jeasymptoticynormálnísnulovoustředníhodnotouarozptylem γ 2.

10 284 Jan Pice (( M() (1) ) 2 ) 1, (10) M()=1+M() (1) M() (2) 1 de M() (j) = 1 ( ) j log X(Nn i+1:nn) log X (Nn :Nn). i=1 Alternativou momentového odhadu je Picandsův odhad[17] P()= 1 ( ) log2 log XNn +1:Nn X Nn 2+1:Nn. (11) X Nn 2+1:Nn X Nn 4+1:Nn Výše uvedené odhady jsou patrně nejznámější, v literatuře existuje obrovsé množství dalších odhadů: různá zobecnění Hillova odhadu, odhady založené naparametrudruhéhořádu ρ,viz(9)amnohoamnohodalšíchalternativ. Uveďmealespoňjedenpřílad,terývycházíz(9)auvažuje,že ρ= 1. NavrhlihoGomesaMartinvroce2002,viz[9]. GM()= 1 U i i=1 ( 1 i=1 ) i=1 iu (2i 1)U i i i=1 i(2i 1)U, i [ U i = i log X ] Nn i+1:nn, (12) X Nn i:nn Stejně jao u testů je problém volby, lze řešit podobnými doporučeními nebo se uvažují postupy založené na bootstrapu- viz např.[10]. Pouduvažujeme F MDA(G γ ), γlibovolné,palze analogicyodvodit Momentovýodhad[1] Poudsepodívámedodomácíchluhůahájů,taitadynajdemepříspěveeonstruciodhadůparametru γzapodmíny F MDA(G γ ), γ >0. Tyto odhady nejsou založeny přímo na pořádových statistiách na rozdíl od předcházejících. Vychází se opět z určité charaterizace Fréchetovy třídy: log(1 F(a)) lim =1. (13) a mloga Apliací l Hospitalova pravidla z von Mises podmíne(viz Embrechts a ol., Kap.3),dostaneme,že1 F(x) = x m L(x),cožjecharaterizaceuvedená v(3). Platí i opačná impliace. Principem spočívá v rozdělení výběru do supin, v aždé je spočtena nějaá jednoduchá statistia. Výsledný odhad je onstruován na záladě empiricé distribuční funce sledované statistiy.

11 Testy a odhady Paretova indexu 285 O prvním typu odhadu referovala na Robustu 2000 A. Fialová: Rozdělíme pozorování do N nepřerývajících se výběrů rozsahu n a určíme zde průměry ( X n (1),..., X n (N) ). Dostaneme pa náhodný výběr z rozdělení s distribuční (N) funcí F Xn (x)=ip( X n x).označíme F X n (x) = 1 N (j) N j=1 I[ X n x] empiricoudistribučnífuncízaloženouna( X n (1),..., X n (N) ). Vyberme posloupnost {a N } N=1, a N pro N vetvaru a N = N 1 δ m 0,spevným δ (0,1). Odhadparametru m=1/γjepotom de m N = m N (a N )I[0 < F (N) X n (a N ) <1]+m 0 I[ F (N) X n (a N )=0 nebo1], (14) m N (a)= ( ) (N) log 1 F X n (a), a >0. log a Odhad(14) je onzistentní a jeho asymptoticé rozdělení je normální, viz následující věty. Věta3.3. Nechť {X 1, X 2,...}jeposloupnostnezávislýchstejněrozdělených náhodnýchveličinsdistribučnífuncí F MDA(G γ ), γ >0ahustotou f(x)=0pro x <0a0 < f(x) < for x K f 0.Nechť m N jeodhad m. Potom m N m spravděpodobností 1, pro N. Věta 3.4. Za podmíne předcházející věty posloupnost ( )1 1 N 1 2 log F Xn (a N ) ( m 2 an N m+ log ) L (a N ) F Xn (a N ) log a N je asymptoticy normální N. Důazyobouvětlzenaléztv[4].NarozdílodHillova(aidalšíchvýše zmíněných) odhadů je asymptoticé rozdělení odvozeno za mnohem slabších předpoladů.bohuželvýsledevěty3.4obsahujepomaluměnícísefunci L, terou zpravidla neznáme, není proto možné jednoduše výsledu využít např. pro onstruci intervalových odhadů. Pro tento odhad musíme zvolit δ, což je vlastně podobná úloha jao je určení vhodného pro předcházející odhady, navícje všanutné zvolit m 0,cožvyžadujenějaoupočáteční informaci otom,jachvostrozdělenímůžebýt těžý.toponěudomezujeužití odhadu pro praticé problémy. Ilustrujme na simulovaných datech na chování odhadu právě v závislosti navolbě δ a m 0.JaomodeldatpoužijemeParetovorozdělení,teréje jedním z typicy používaných rozdělení pro popis extrémních událostí: ( ) 1/γ 1 F(x)=1, x 0 (15) 1+x

12 286 Jan Pice KonrétněbylasimulaceprovedenaproParetovorozdělenísγ=1,cožje i hodnota, terou chceme odhadnout. Výslede můžeme vidět na obr. 6, zteréhovyplývá,žepoudjezhruba δ <0.4jeodhadpoměrněstabilnía rozumný. Pro velé hodnoty δ odhad naprosto selhává. Zároveň je vidět, že čímhoršímámeapriorníinformaciosprávnéhodnotě γ=1/m,tímdostaneme horší výslede. estimate % 75% 50% 25% 1% estimate % 75% 50% 25% 1% delta m_0 Obráze 6: Závislost odhadu v 1000 simulovaných výběrech Paretova rozdělenísγ =1naparametru δprodané m 0 =1.5(vlevo)závislosthodnot odhadunaparametru m 0 pro δ=0.1(vpravo).uvedenyjsoumedián1,25, 75 a 99 percentily. Jurečová, Pice(2004) navrhli odhad vycházející z postupů pro testování hypotézyohodnotáchparametru γ pro F MDA(G γ ), γ > 0.Krátá poznáma o nich byla v předcházející apitole. Invertováním těchto testů (v duchu způsobu, terý užil Hodges a Lehmann v roce 1963) dostaneme odhad M N = 1 2 (M+ N + M N ), de M N =sup{s: 1 ˆF N (a N,s)) < N (1 δ) }, M + N =inf{s: 1 ˆF N (a N,s)) > N (1 δ) }. X (1) (n),...,x(n) (n) jsou odpovídající výběrová maxima N supin o rozsahu n, terévznilyrozdělenímpůvodníhonáhodnéhovýběru.jaoˆf N označujeme empiricoudistribučnífunciodpovídajícívýběrovýmmaximům, a N,m = (nn 1 δ ) 1/m,de0 < δ < 1 2 jeonstanta. Ilustrujme podobně jao u předcházejícího odhadu chování v závislosti na volbě δ. Jao model dat tentoráte použijeme Burrovo rozdělení, teré je dalším typicy používaným rozdělením pro popis extrémních událostí: ( F(x)=1 1 1+x 1/γ ) α, x 0 (16) KonrétněbylasimulaceprovedenaproBurrovorozdělenísγ=1, α=1, jedniča je opět hodnota, terou chceme odhadnout. Výslede můžeme vidět

13 Testy a odhady Paretova indexu 287 naobr.7,zteréhovyplývá,želepšívýslededostaneme,poudje δblízé 0.5. Neplatí to obecně, pro jiná rozdělení to může dopadne úplně opačně. Na druhou stranu volba δ není ta problematicá jao volba u Hillova odhadu, vizobr.8,denastejnýchdatechjespočítánhillůvodhad. odhad % 25% 50% 75% 95% delta Obráze 7: Závislost odhadu v 1000 simulovaných výběrech Burrova rozdělení s γ=1, α=1naparametru δ.uvedenyjsoumedián5,25,75a95percentily. odhad % 25% 50% 75% 95% Obráze 8: Hillův odhad v 1000 simulovaných výběrech o rozsahu 1000 v závislostina proburrovorozdělenísγ=1, α=1.uvedenyjsoumedián5, 25,75a95percentily.

14 288 Jan Pice Jurečová a Pice uázali v[12], že odhad je silně onzistentní. Asymptoticou normalitu odvodil Omela[15]. Odhad(16) potřebuje pouze volbu δ, což ho činí použitelnějším než odhad(14). I simulace dávájí poměrně dobré výsledy- viz dále, přesto vša musíme být v praticých apliacích velmi opatrní. Oba odhady nejsou invariatní vzhledem e změně měříta na rozdíl od odhadu Hillova(8), Picandsonova(11), momentového(10) i(12). Všechny zmíněné odhady nejsou invaritní vzhledem e změně polohy. Při mechanicémpoužitíodhadůtopotommůževést zajímavým výsledům. Byly proto uvažovány něteré modifiace Hillova odhadu, viz např.[3]. Nějaé poznámy, ja se s naznačeným problémem vypořádat pro odhad(16) učinil Omela[15]. 3.1 Numericá ilustrace V této části zusíme porovnat zmiňované odhady na simulovaných datech. Jao výchozí model použijeme dříve zmiňovaná rozdělení: Paretovo, Burrovo a zobecněné Paretovo. U všech tří rozdělení zvolíme shape parametr(γ = 1/m=1)ta,abychvostybyly stejnětěžé amohlitasledovatvliv rozdělení. U zobecněného Paretova zvolíme ještě další dvě hodnoty γ: 1/3 lehčía2 těžšíchvost. Zdanéhorozděleníjsmevygenerovali1000 výběrorozsahu1000aprovedli výše zmíněné odhady. Odhady(8),(11),(10) a(12) jsme spočítali pro =2,...,998.Proodhady(14)a(16)jsmeprovedlirozdělenído200supin (= N)po5hodnotách(= n)aspočítaliodhadpro δ=0.01,...,0.50sroem0.01,navícpro(14)za m 0 jsmezvolili sutečné 1/γ+1.Zaúčelem porovnání jsme pro aždé, respetive δ spočetli střední vadraticou chybu (MSE)avybralitaovouhodnotu (δ),dyjemseminimálníaspočítali nějaé výběrové charateristiy z tisíce zísaných hodnot odhadů. Výsledy najdemevtabulce1.odhad(14)jevníoznačenjaofjpa(16)jaojp. Tučně je zvýrazněna pro dané rozdělení minimální MSE mezi odhady. Můžeme si všimnout, že pro opravdu těžé chvosty, tj. pro všechny případy romě zobecněného Paretova rozdělení s γ = 1/3, dávají všechny odhady v průměru rozumné výsledy. Nejslabší se přesto zdá být odhad(14) a protože byly už něteré výhrady disutovány dříve, nelze ho doporučit pro praticé úlohy. Naopa odhad(16) je srovnatelný s lasicými, navíc pro lehčí chvosty dává často rozumnější výsledy než lasicé odhady. Zdá se tedy, že s ním lze pracovat minimálně jao vhodnou alternativou. Ztabulyjedálevidětadalšísimulaceprojinépřípadyarozdělenítojen potvrzují, že index lehčích chvostů se odhaduje mnohem hůře. Převapující je výslede Picandsova odhadu(alespoň pro autora tohoto příspěvu), protože tentoodhadbymělfungovatproodhadnejenvefréchetovětřídě,aleipro GumbelovuaWeibullovusférupřitažlivosti,tedyipro lehé chvosty.

15 Testy a odhady Paretova indexu 289 rozdělení metoda, δ MSE průměr medián rozptyl Pareto Hill = γ=1 Moment = Picands = Gomes = FJP δ = JP δ = Burr Hill = α=1 Moment = γ=1 Picands = Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=2 Picands = β=1 Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=1 Picands = β = 1 Gomes = FJP δ = JP δ = zobec. Hill = Pareto Moment = γ=1/3 Picands = β = 1 Gomes = FJP δ = JP δ = Tabula 1: Výběrové charateristiy odhadů Paretova indexu pro minimální MSE při 1000 opaování generování dat rozsahu 1000 pro různá rozdělení. Reference [1] Deers A.L.M, Einmahl J.H.J., de Haan L.(1989). A moment estimator for the index of an extreme value distribution. Ann. Statist. 17, [2] Embrechts P., Klüppelberg C., Miosch T.(1997). Modelling extremal events for insurance and finance. Springer-Verlag, Berlin.

16 290 Jan Pice [3] Fraga Alves M.I.(2001). A location invariant Hill-type estimator. Extremes,4(2), [4] Fialová A., Jurečová J., Pice J.(2004). Estimation of tail index based onsamplemean.revstat,2, [5]deHaanL.(1970).Onregularvariationanditsapplicationtothewea convergence of sample extremes. Mathematical Centre Tract 32, Amsterdam. [6] de Hann L., Stadtmüller U.(1996). Generalized regular variation of second order. J.Austral.Math.Soc.(A) 61, [7]HasoferA.M.,WangZ.(1992).Atestforextremevaluedomainofattraction.JASA,87, [8]HillB.M.(1975).Asimplegeneralapproachtoinferenceaboutthetailof a distribution. Ann. Statist. 3, [9] Gomes M.I., Martins M.J.(2002). Asymptotically unbiased estimators of the tail indexbased onthe externalestimation of thesecond order parameter.extremes5(1),5 31. [10] Gomez I., Oliviera O.(2001). The bootstrap methodology in statistics of extremes-choice of the optimal sample fraction. Extremes 4(4), [11]JurečováJ.,PiceJ.(2001).Aclassoftestsonthetailindex.Extremes, 4,(2), [12]JurečováJ.,PiceJ.(2004).Estimatesofthetailindexbasedonnonparametric tests. Theory and Applications of Recent Robust Methods, Birhauser, Basel, [13] Mason D.M.(1982). Laws of large numbers for sums of extreme values. Ann.Probab.10, [14]NevesC.,PiceJ.,FragaAlvesM.I.(2005).Thecontributionofthe maximum to the sum of excesses for testing max-domains of attractions. J. Statist. Planning Infer., v tisu. [15] Omela M.(2005). Asymptotic normality of the estimates of the tail index based on nonparametric tests. Zasláno. [16]PiceJ.,JurečováJ.(2001).Aclassoftestsonthetailindexusingthe modified extreme regression quantiles. Sborní onference ROBUST 00 (J.Antoch, G.Dohnal, eds.), JČMF Praha, [17] Picands J.(1975). Statistical inference using extreme order statistics. Ann.Statist. 3, [18] Segers J., Teugels J.(2001). Testing the Gumbel hypothesis by Galton s ratio. Extremes, 3:3, Poděování: Příspěve vznil za podpory Grantové agentury AV ČR projet B a výzumného záměru MSM Adresa: J. Pice, Katedra apliované matematiy, Technicá univerzita v Liberci, Hálova 6, Liberec

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Novohradské statistické dny ÚVOD Velká pozornost

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č. Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku 6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

MODELOVÁNÍ KATASTROFICKÝCH ŠKOD

MODELOVÁNÍ KATASTROFICKÝCH ŠKOD MODELOVÁNÍ KATASTROFICKÝCH ŠKOD MODELLING OF CATASTROPHIC LOSSES Viera Pacáková, Lukáš Kubec Abstract: Catastrophe modelling is a risk management tool that uses computer technology to help insurers, reinsurers

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY

TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2002, ISBN 80-85813-99-8, s. 242-253 TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

pracovní verze pren 13474 "Glass in Building", v níž je uveden postup výpočtu

pracovní verze pren 13474 Glass in Building, v níž je uveden postup výpočtu POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU NOSNÉ KONSTRUKCE ZE SKLA Horčičová I., Netušil M., Eliášová M. Česé vysoé učení technicé v Praze, faulta stavební Anotace Slo se v moderní architetuře stále

Více

DETEKCE LINEÁRNÍHO TRENDU V ROZPTYLU NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ

DETEKCE LINEÁRNÍHO TRENDU V ROZPTYLU NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ ROBUST 2004 c JČMF 2004 DETEKCE LINEÁRNÍHO TRENDU V ROZPTYLU NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ Luboš Prchal Klíčováslova:Detekcezměnyvrozptylu,regresev a L 2 normě,radioaktivní záření. Abstrakt: Tento příspěvek je

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické 1 Šifrování Kryptografie Každý z nás si určitě umí představit situaci, dy je důležité utajit obsah posílané zprávy ta aby ho byl schopen přečíst jen ten omu je určená a nido nepovolaný nebyl schopen zjistit

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS Roman Bisup, Anna Čermáová Anotace: Příspěve se zabývá prezentací principů učení jednoho onrétního typu neuronových sítí. Cílem práce

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Modelování a simulace regulátorů a čidel

Modelování a simulace regulátorů a čidel Modeloání a simulace regulátorů a čidel. Modeloání a simulace PI regulátoru Přenos PI regulátoru je yjádřen následujícím ztahem F( p) = ( + p ) p V Simulinu je tento blo obsažen nihoně prů. Bohužel použití

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

2. STAVBA PARTPROGRAMU

2. STAVBA PARTPROGRAMU Stavba partprogramu 2 2. STAVBA PARTPROGRAMU 2.1 Slovo partprogramu 2.1.1 Stavba slova Elementárním stavebním prvem partprogramu je tzv. slovo (instruce programu). Každé slovo sestává z písmene adresy

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Název: Chemická rovnováha II

Název: Chemická rovnováha II Název: Chemicá rovnováha II Autor: Mgr. Štěpán Miča Název šoly: Gymnázium Jana Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: chemie, fyzia Roční: 6. Tématicý cele: Chemicá rovnováha (fyziální

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE

SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE Series B The Jan Perner Transport Faculty 5 (1999) ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE Jiří

Více

Dekompoziční analýza příjmové nerovnosti v České republice

Dekompoziční analýza příjmové nerovnosti v České republice Deompoziční analýza příjmové nerovnosti v Česé republice Zdeňa MALÁ, Gabriela ČERVENÁ, Czech University of Life Sciences in Prague i Abstract The paper focuses on an analysis of income inequality of population

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné

Více

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů inové transformátory inové transformátory Při požadavu na transformaci impedancí v široém frevenčním pásmu, dy nelze obsáhnout požadovanou oblast mitočtů ani široopásmovými obvody, je třeba použít široopásmových

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011 Úvod náhodné procesy

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

ROBUST 2014 - PROGRAM NEDĚLE ODPOLEDNE oběd 12.00-13.00 oběd bude čekat i na ty, kteří přijedou později registrace 13.00-15.00 G. DOHNAL J.

ROBUST 2014 - PROGRAM NEDĚLE ODPOLEDNE oběd 12.00-13.00 oběd bude čekat i na ty, kteří přijedou později registrace 13.00-15.00 G. DOHNAL J. ROBUST 2014 - PROGRAM NEDĚLE ODPOLEDNE oběd 12.00-13.00 oběd bude čekat i na ty, kteří přijedou později registrace 13.00-15.00 G. DOHNAL J. Antoch 15.00-15.05 5 ROBUST 2014 : Zahájení I. Mizera 15.05-16.05

Více

Pavel Burda Jarmila Doležalová

Pavel Burda Jarmila Doležalová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Při rozhodování o splátkové společnosti se budeme řídit výší RPSN. Pro nákup zboží si zvolíme. Dl = >k=0

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Při rozhodování o splátkové společnosti se budeme řídit výší RPSN. Pro nákup zboží si zvolíme. Dl = >k=0 Úloha 4 - Koupě DVD reoréru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Mlaá roina si chce poříit DVD reorér v honotě 9 900,-Kč. Má možnost se rozhonout mezi třemi splátovými společnosti, teré mají násleující pomíny: a) První

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks

1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks 1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Řešení 5. série Úloha5. Vřaděje N žároveočíslovanýchpostupně 1až N.Kroem rozumímepřepnutí třížárove,jejichžčísla a, b, csplňují a + c = 2b.Určetevšechna

Více

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Ekonomický kapitál ekonomický kapitál- kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L- riziko,

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více