Úvod do teorie her. 6. Koaliční hry

Transkript

1 Úvod do teorie her 6. Koaliční hry Tomáš Kroupa ÚTIA AV ČR

2 Různé formy her Známé formy her jsou: rozvinutá, strategická, koaliční. Pro danou množinu hráčů N = {1,..., n} nazýváme libovolnou podmnožinu A N koalicí. Koaliční hry předpoklady Hráči mohou uzavírat závazné dohody, tedy vytvářet koalice. Koaliční dohody se týkají koordinace strategíı za účelem dosažení společného užitku a jeho alokace mezi hráče. Strategické aspekty ani rovnovážná řešení nejsou pro koaliční hry podstatné, nebot jsou součástí dohody mezi hráči. 1

3 Jaké situace modelují koaliční hry? Na trhu vznikne koalice interakcí prodávajícího s kupujícími. Při volbě je koalice množina voličů hlasujících pro návrh. Investoři sít ového projektu řeší problém, jak sdílet společné náklady. Teorii koaličních her lze použít např. k analýze stability vzniklé koalice nebo hlasovací síly účastníků volebního systému. 2

4 Definice koaliční hry Definice Necht N := {1,..., n}, n N, je množina hráčů a 2 N := {A A N}. Koaliční hra je dvojice (N, v), kde v je funkce splňující podmínku v( ) = 0. v : 2 N R Číslo v(a) lze interpretovat jako užitek anebo náklad spojený s tvorbou koalice. Koaliční hru často ztotožníme s koaliční funkcí v. Množina Γ všech koaličních funkcí na 2 N je lineární prostor, jehož dimenze je 2 n 1. 3

5 Vlastnosti koaličních her Definice Necht v Γ. Říkáme, že v je monotónní pokud v(a) v(b) pro A B, superaditivní pokud v(a B) v(a) + v(b) pro A B =, supermodulární pokud v(a B) + v(a B) v(a) + v(b), aditivní pokud v(a B) = v(a) + v(b) pro A B =. Aditivní hra je triviální, nebot užitek koalice A je v(a) = v({i}). Supermodulární (také: konvexní) hry mají příhodné matematické vlastnosti, nevyskytují se však ve všech praktických problémech. i A 4

6 Koaliční hry příklady Koňský trh Cyril vlastní koně, kterého chce prodat. Alice i Bob mají zájem koně koupit. Alice nabízí 90 a Bob 100. N = {1, 2, 3} v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) = v(n) = 100, v({i}) = v({2, 3}) = 0, i = 1, 2, 3. v je monotónní a superaditivní, ale není supermodulární. RB OSN Rada bezpečnosti OSN má 5 stálých členů a 10 nestálých. Usnesení je schváleno, pokud pro něj hlasují všichni stáĺı členové a alespoň 4 nestáĺı. N = {1,..., 5, 6,..., 15} v(a) = 1 pokud A {1,..., 5} a A 9, v(a) = 0 jinak. 5

7 Koaliční hry otázky 1. Jaké koalice ve hře vzniknou a jak si hráči mezi sebe rozděĺı užitek docílený jejich kooperací? 2. Jaké rozdělení užitku by hráčům připsal nezávislý posuzovatel? Možné odpovědi 1. Určit výslednou formaci koalic bývá velmi obtížné, ne-li nemožné. Většinou předpokládáme, že vznikne velká koalice N, tedy všichni hráči koordinují své akce a rozděĺı si užitek v(n). 2. Rozdělení užitků podle různých axiomů. 6

8 Řešení koaličních her jak se hráči poděĺı o koaliční užitek? Necht v Γ. Podílový vektor je vektor x = (x 1,..., x n ) R n. Definujme x(a) := i A x i, A N. Řekneme, že x R n je dosažitelný, pokud x(n) v(n). Definice Necht Ω Γ je množina koaličních her. Řešení pro množinu her Ω je multifunkce σ : v Ω σ(v) R n, kde každý x σ(v) je dosažitelný. Jaké řešení σ zvolit pro danou třídu her Ω? 7

9 Řešení koaličních her různé koncepty Různá řešení vystihují zvolené aspekty ekonomické racionality a férovosti, mohou být jedno- či víceznačná: jádro Shapleyho hodnota Shapley-Shubikův index Banzhafův index 8

10 Jádro Necht v Γ. Podílový vektor x = (x 1,..., x n ) R n je Paretovsky efektivní, pokud x(n) = v(n), koaličně racionální, pokud x(a) v(a), pro každé A N. Definice Jádro hry v je množina Paretovsky efektivních a koaličně racionálních podílových vektorů: C(v) = {x R n x(n) = v(n), x(a) v(a), A N}. Jádro hry je konvexní polytop dimenze nejvýše n 1. 9

11 Jádro příklad Koňský trh Cyril vlastní koně, kterého chce prodat. Alice i Bob mají zájem koně koupit. Alice nabízí 90 a Bob 100. N = {1, 2, 3} v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) = v(n) = 100 v({i}) = v({2, 3}) = 0, i = 1, 2, 3 Zřejmě x C(v) právě tehdy, když x i 0, i = 1, 2, 3 x 1 + x 2 90 x 1 + x x 1 + x 2 + x 3 = 100 a proto C(v) = {(t, 0, 100 t) R 3 90 t 100}. 10

12 Jádro jiný příklad Rukavice Alice má levou rukavici. Bob a Cyril mají každý po jedné pravé rukavici. Užitek koalice je určen počtem párů rukavic, které dá dohromady. N = {1, 2, 3} { 1 A = {{1, 2}, {1, 3}, N}, v(a) = 0 jinak. Hra v je monotónní a superaditivní, ale není supermodulární. Platí C(v) = {(1, 0, 0)}. 11

13 Hry s prázdným jádrem Většinové hlasování Tři hráči hlasují většinovým systémem. Tedy N = {1, 2, 3} a koaliční hra je { 1 A 2, v(a) = přičemž C(v) =. 0 jinak, K analýze volebních her se hodí jiná řešení. Příklad (S. Zamir) M = N {4} a koaliční hra (M, u) je definována jako v(a) A N, u(a) = 0 A M, přičemž C(v) = {( 1 2, 1 2, 1 2, 0)}. 3 2 A = M, 12

14 Vlastnosti supermodulárních her Bud Π množina všech permutací π na množině hráčů N, přičemž číslo i N vyjadřuje pořadí hráče π(i). Definice Pro π Π definujeme maximální řetězec {A π 0, Aπ 1,..., Aπ n } jako A π 0 :=, A π i := {π(1),..., π(i)}, i N. Marginální vektor pro hru v a permutaci π je vektor x v,π R n, kde x v,π π(i) := v(aπ i ) v(a π i 1), i N. Platí x v,π (A π i ) = i j=1 x v,π π(j) = v(aπ i ). 13

15 Jádro supermodulárních her Věta Necht v Γ. Tato tvrzení jsou ekvivalentní. 1. v je supermodulární. 2. x v,π C(v) pro každé π Π. 3. C(v) = conv {x v,π π Π}. 0 A = 1, v(a) = 1 A = 2, 3 A = 3. (2, 0, 1) (1, 0, 2) (0, 1, 2) (0, 2, 1) (2, 1, 0) (1, 2, 0) 14

16 Jádro shrnutí Jádro C(v) indikuje schopnost hráčů spolupracovat. Pokud C(v) =, hráči nejsou schopni nalézt rozdělení užitku, které by bylo akceptovatelné všemi koalicemi. Pokud C(v), podílové vektory x C(v) lze interpretovat jako stabilní rozdělení užitku. Co dělat, když je jádro prázdné anebo naopak příliš velké? Jak ohodnotí nezávislý arbitr sílu hráčů? 15

17 Hodnota koaliční hry Hledáme jednoznačné řešení Γ R n, které každou koaliční hru v Γ ohodnotí právě jedním podílovým vektorem x R n. Definice Hodnota je zobrazení ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ): Γ R n takové, že vektor ϕ(v) = (ϕ i (v)) i N je dosažitelný pro všechna v Γ. Hodnota hráče i N je číslo ϕ i (v). ϕ je zobrazení mezi dvěma lineárními prostory konečné dimenze. Obvykle se snažíme vymezit hodnotu ϕ pomocí axiomů. 16

18 Různé axiomy hodnoty Definice Říkáme, že hodnota ϕ je Paretovsky efektivní, pokud pro každou hru v je ϕ i (v) = v(n), i N je aditivní, pokud ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), pro u, v Γ, je symetrická, platí-li pro každou hru v ϕ i (v) = ϕ j (v), kdykoliv hráči i, j N splňují v(a {i}) = v(a {j}), pro každou koalici A neobsahující {i, j}, splňuje vlastnost nulového hráče, platí-li pro každou hru ϕ i (v) = 0, kdykoliv i N splňuje v(a {i}) = v(a), pro všechny koalice A. 17

19 Shapleyho hodnota Věta (Shapley, 1953) Existuje právě jedna hodnota ϕ S : Γ R n, která je Paretovsky efektivní, aditivní, symetrická a splňuje vlastnost nulového hráče. Platí ϕ S i (v) = A N\{i} A!(n A 1)! n! (v(a {i}) v(a)), i N. Je snadné ukázat, že ϕ S je lineární zobrazení, které vyhoví uvedeným axiomům. Protože platí ϕ S i (v) = 1 n! (v(aπ π 1 (i) ) v(aπ π 1 (i) 1 )), π Π }{{} x v,π i číslo ϕ S i (v) je střední hodnota marginálního podílu hráče, pokud jsou všechna pořadí hráčů π stejně pravděpodobná. 18

20 K důkazu jednoznačnosti Shapleyho hodnoty Pro každou neprázdnou koalici A definujme koaliční hru { 1 A B, u A (B) = 0 A B. Lemma 1 Množina {u A A N} je báze v lineárním prostoru Γ. Lemma 2 Pokud je hodnota ϕ Paretovsky efektivní, symetrická a má vlastnost nulového hráče, pak pro každé α R a každou koalici A platí α A i A, ϕ i (α u A ) = 0 i / A. 19

21 Příklady Shapleyho hodnoty Jednoduchá většinová hra Mějme koaliční hru v(a) = { 1 A > n 2, 0 jinak, A N. Paretovská efektivita a symetrie dává ϕ S i (v) = 1 n pro každé i N. Koňský trh Cyril vlastní koně, kterého chce prodat. Alice i Bob mají zájem koně koupit. Alice nabízí 90 a Bob 100. v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) = v(n) = 100 v({i}) = v({2, 3}) = 0, i = 1, 2, 3 Snadno spočteme ϕ S (v) = 1 6 (390, 90, 120). 20

22 Shapley Shubikův index Hra v : 2 N {0, 1} je jednoduchá, pokud je monotónní a v(n) = 1. Pro každou jednoduchou hru v je Shapleyho hodnota tvaru ϕ S i (v) = A N v(a)=0 v(a {i})=1 A!(n A 1)!, i N. n! RB OSN N = {1,..., 15}, hráči 1,..., 5 stáĺı členové v(a) = 1 pokud A {1,..., 5} a A 9, v(a) = 0 jinak. Pro 6 i 15 dostaneme ϕ S i (v) = ( ) 9 3 8! 6! 15! Indexy pro 1 j 5 dopočítáme: ϕ S j (v) = 1 5 (1 10ϕS i (v))

23 Banzhafův index Shapley Shubikův index hráče i je váženým průměrem počtu β i (v) koalic A, pro něž je hráč i pivotem, β i (v) := {A N v(a {i}) v(a) = 1}. Váhy A!(n A 1)! n! jsou ovšem závislé na velikosti koalic A. Uvažujme nyní všechny váhy takových koalic stejné. Definice Necht v je jednoduchá hra. Normalizovaný Banzhafův index hráče i N je ϕ B β i (v) i (v) = i N β i(v). 22

24 Banzhafův index vlastnosti Banzhafův index je symetrický a má vlastnost nulového hráče. Lze ho jednoznačně charakterizovat pomocí dalších axiomů. Normalizační konstanta není podstatná. Často se uvažuje normalizovaný Banzhafův index ve tvaru β i (v) 2. n 1 Shapley Shubikův index i posledně uvedený normalizovaný Banzhafův index lze chápat jako střední hodnotu koaliční síly hráče i, P(A) (v(a {i}) v(a)), A N\{i} kde P(A) = A!(n A 1)! n! (Shapley) nebo P(A) = 2 1 n (Banzhaf). 23

25 Příklad RB OSN Starý (S) a nový (N) systém hlasování s 5 stálými členy (veto) S 11 členů, návrh schválen alespoň 7 hlasujícími N 15 členů, návrh schválen alespoň 9 hlasujícími Shapley Shubikovy indexy pro starý a nový systém: S ϕ S 1 (v) = , ϕs 6 (v) = poměr 90 : 1 N ϕ S 1 (v) = , ϕs 6 (v) = poměr 100 : 1 Banzhafovy indexy pro starý a nový systém: S ϕ B 19 1 (v) = 105, ϕb 6 (v) = 1 63 poměr 11 : 1 N ϕ B (v) = 635, ϕb 21 6 (v) = 1270 poměr 10 : 1 24