Krajské kolo 2014/15, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) řešení

Transkript

1 Poštovní adresa pro zaslání vypracovaných úloh: Mgr. Lenka Soumarová, Štefánikova hvězdárna, Strahovská 205, Praha 1 Termín odeslání: nejpozději (rozhoduje datum poštovního razítka) A Přehledový test řeší se elektronicky (online) (celkem max. 30 bodů) POKYNY: Úvodní test (30 otázek) se řeší online na Přihlašovací údaje přišly úspěšným řešitelům školního kola em, nebo je dostaneš od svého učitele, který je může zjistit v sekci pro učitele na Velmi doporučujeme řešení testu neodkládat na poslední dny před uzávěrkou. U problémů s řešením testu oznámených po bohužel nemůžeme zaručit jejich včasné vyřízení. B Zemský stín (celkem max. 30 bodů) velikost astronomické jednotky 1 au = km vzdálenost Měsíce od Země r M = km průměr oběžné dráhy Země d Z = km rovníkový poloměr Slunce R S = km rovníkový poloměr Země R Z = km rovníkový poloměr Měsíce R M = km sklon zemské rotační osy vůči ekliptice i Z = Tabulka 1: Astronomické veličiny Země, osvětlovaná Sluncem, vrhá do prostoru kuželovitý plný stín. O jeho úctyhodné délce se můžeme přesvědčit při každém úplném zatmění Měsíce, kdy se do něj náš souputník ponořuje. Během řešení příkladů v této úloze předpokládej platnost hodnot astronomických konstant z Tabulky 1 (ne všechny jsou k výpočtům nutně potřeba). a) Jak přesně dlouhý zemský stín je? Spočítej jeho délku na spojnici Slunce Země od povrchu Země. Výsledek uved v astronomických jednotkách a zaokrouhli na čtyři desetinná místa. Značky délek či úhlů z tabulky nahoře, pokud je použiješ při výpočtu, vyznač do obrázku 1. Jméno: 1 / 8 Identifikátor:

2 Obrázek 1: Názorné zobrazení stínu, který vrhá Země. Obrázek není v měřítku. 1 au = r Z, délka stínu od povrchu: x, délka stínu od středu Země: x Z. Z podobnosti trojúhelníků (věta uu) plyne R S r Z + x Z = R Z x Z R S x Z = R Z (r Z + x Z ) R S x Z R Z x Z = R Z r Z x Z = R Zr Z R S R Z x Z = km 1, km Nyní odečteme poloměr Země, abychom měli skutečnou délku stínu od povrchu. x = x Z R Z = 1, km km 1, km 0,0092 au (Pozn.: Bez odečtení poloměru Země vyjde 0,0093 au.) b) Narýsuj schéma polohy Země, Slunce a Měsíce při úplném zatmění Měsíce v měřítku poloměry těles: R Z mm, R S mm, R M... 5 mm; poloměry oběžných drah: r Z mm, r M mm. Do obrázku také narýsuj a vyznač plný stín a polostín Země. Jméno: 2 / 8 Identifikátor:

3 c) S využitím předchozích výsledků spočítej šířku plného stínu Země ve vzdálenosti Měsíce. Výsledek zaokrouhli na desítky kilometrů. Šířka stínu ve vzdálenosti Měsíce je s. (Pozn.: Pokud se počítá velikost stínu kolmo na spojnici Země a Slunce, namísto šikmo jako ted, vyjde to na celé kilometry stejně.) R Z = s/2 x Z x Z r M s = 2 R Z (x Z r M ) = ( ) km = km x Z d) Spočítej maximální délku úplné fáze zatmění Měsíce. Výsledek zapiš ve formátu hodiny minuty a zaokrouhli na celé minuty. Předpokládej, že oběžná perioda Měsíce je T M = 29,5 dne, a předpokládej, že se Měsíc pohybuje stínem Země přímočaře. Rychlost obíhání Měsíce je T M = 29,5 dne s v = 2πr M T M = 2π km s = 0,946 km/s. Trajektorie, kterou urazí CELÝ KOTOUČ ve stínu je Tedy čas strávený ve stínu je d = s 2R M = km km = km. t = d v = s = s = 1 hod 41 min. 0,946 e) Podobně, jako se při zatmění Měsíce dostává Měsíc do stínu Země, se při zatmění Slunce dostává Země do stínu Měsíce. Měsíc je ale menší těleso než Země, proto se v jeho stínu nachází jen malá Jméno: 3 / 8 Identifikátor:

4 část zemského povrchu. Úplné zatmění je vidět jen tam, kam vrhá Měsíc plný stín. Důsledkem rotace Země v průběhu zatmění vzniká úzký pruh, tzv. pás totality, ve kterém je úplné zatmění možné sledovat. Narýsuj ve stejném měřítku jako v části b) polohu Země, Slunce a Měsíce při zatmění Slunce a vyznač, kam vrhá Měsíc stín. f) Vypočítej šířku pásu totality ve chvíli, kdy leží středy Země, Slunce i Měsíce na jedné přímce. Dále předpokládej, že r M je v tuto chvíli km, ostatní hodnoty vezmi z tabulky 1. Zanedbej zakřivení zemského povrchu a výsledek uved na celé kilometry. Jméno: 4 / 8 Identifikátor:

5 Jedná se o dvojité použití podobnosti trojúhelníků. Zde je ještě jednou nákres kvůli definici veličin: První podobnost je x R M = x + r Z r M R S x (R S R M ) = R M (r Z r M ) Druhý podobnost je x = R M (r Z r M ) (R S R M ) km. Tedy d = 106 km. x = x (r M R Z ) R d M 2 d 2 = R M (x r M + R Z ) x 53 km. C E.T. (celkem max. 20 bodů) Mimozemská civilizace zachytila pozemské vysílání. Po pečlivé analýze dat bylo zjištěno, že přijatý televizní dokument se týká úplných zatmění Slunce. Mimozemšt ané také mají svůj měsíc, jehož střed dokonce při každém oběhu přechází před středem domovské hvězdy. Planetu obíhá po kruhové dráze, stejně jako planeta hvězdu. Úhlový průměr měsíce je však při pohledu z planety přibližně dvakrát větší než úhlový průměr hvězdy. Pozorovatelé tak nikdy nemohou spatřit nádhernou korónu. Proto se, inspirováni zachyceným pozemským vysíláním, rozhodli přemístit svůj měsíc do dvojnásobné vzdálenosti od středu planety. Tím tento problém vyřešili. S překvapením však zjistili, že doba mezi dvěma následujícími zatměními se výrazně prodloužila. O této vzdálené soustavě také víme, Jméno: 5 / 8 Identifikátor:

6 že hmotnost měsíce je mnohem menší než hmotnost planety, a ta je mnohem menší než hmotnost hvězdy. a) Během zatmění pozorujeme několik kontaktů Měsíce se Sluncem (v tomto případě jejich měsíce s hvězdou). Napiš, kolik takových kontaktů během jednoho zatmění nastává. Ke každému případu také nakresli obrázek toho, co by pozorovatel viděl na obloze. celkem 4: I. vnější vstup, II. vnitřní vstup, III. vnitřní výstup, IV. vnější výstup b) Jak se pomocí uvedených kontaktů definuje doba částečného a úplného zatmění? Doba úplného zatmění je čas mezi II. a III. kontaktem. Doba částečného zatmění je čas mezi I. a II. kontaktem a mezi III. a IV. kontaktem. c) Vyhledej v dostupných zdrojích vztah mezi poloměrem oběžné dráhy tělesa (planety, měsíce,... ) a dobou oběhu. Napiš, co reprezentují jednotlivé značky ze vzorečku. III. Keplerův zákon: T2 2 T1 2 = a3 2, popř. a3 = konst., nebo jakoukoliv správnou variantu III. Keplerova zákona. a 3 1 T 2 T 1,2 jsou oběžné doby těles, a 1,2 jsou poloměry kruhových drah těles d) Spočítej, kolikrát se prodlouží doba oběhu měsíce kolem planety, a tedy i doba mezi následujícími zatměními. Zanedbej při tom vlastní pohyb planety kolem hvězdy doba oběhu této planety je nesrovnatelně delší. T 2 T 1 = a 3 2 a 3 1 (2a1 ) 3 = = 2 3 = 2 2 2,8 a 1 e) V předchozí části jsme zanedbali vlastní pohyb planety kolem hvězdy. Kvalitativně vysvětli, jak tento pohyb může ovlivnit výsledek předchozího příkladu. Jaké dvě různé situace mohou nastat? Nakresli odpovídající obrázky! Jméno: 6 / 8 Identifikátor:

7 měsíc obíhá ve stejném smyslu jako planeta skutečná doba mezi zatměními se prodlouží o něco více, než jsme spočetli v předchozí části. měsíc obíhá v opačném smyslu, než planeta skutečná doba mezi zatměními se prodlouží o něco méně, než jsme spočetli v předchozí části. D Pozorování na přelomu dne a noci (online) (celkem max. 20 bodů) POKYNY: Pozorovací úloha se řeší online na Přihlašovací údaje přišly úspěšným řešitelům školního kola em, nebo je dostaneš od svého učitele, který je může zjistit v sekci pro učitele na Velmi doporučujeme pozorování neodkládat na poslední dny před uzávěrkou (hlavně kvůli počasí). Navíc u problémů s řešením oznámených po bohužel nemůžeme zaručit jejich včasné vyřízení. Ač se astronomie zaměřuje hlavně na pozorování noční oblohy, ani denní pozorování není tabu. Pozorování Slunce bez patřičného vybavení není bezpečné, nebot může dojít k nevratnému poškození zraku. Proto se v této úloze zaměříme na situaci, kdy lze Slunce pozorovat i bez ochranných filtrů a dalších pomůcek. Pouze očima, případně se slunečními brýlemi, když Slunce vychází, nebo když zapadá. To, že Slunce nevychází vždy na východě a nezapadá vždy na západě, ví snad každý. Změna polohy východu Slunce se však nemění každý den o stejný díl. Tvým úkolem je najít si vhodné pozorovací místo, které má otevřený výhled na východ (od JV přes V na SV), nebo na západ (od JZ přes Z na SZ). Z tohoto místa pozoruj východ (anebo západ) Slunce ve tři dny v dostatečném časovém odstupu (alespoň 10 dní). Při pozorování urči časy východu Slunce (vždy 2 časy T 1 a T 2 čas prvního paprsku a čas vystoupání celého kotouče). V případě pozorování západu taktéž, jen úkazy budou následovat v opačném pořadí. Dále urči azimut východu (či západu) Slunce. To se provede nejsnáze tak, že si zapamatuješ (zakreslíš, zapíšeš, případně vyfotíš na to však pozor, ne každým fotoaparátem je bezpečné fotografování Slunce) místo na obzoru, nebo ve směru k danému bodu obzoru, kde Slunce vycházelo (zapadalo). Poté stačí na mapě spojit pozorovací stanoviště s tímto zjištěným místem čarou a určit její azimut. Pokud nechceš kreslit do papírové mapy, můžeš totéž provést v počítačové mapě. Většina z nich umožňuje měření dvojice bodů a kromě určení vzdálenosti lze zjistit i azimut. Namátkou lze zmínit například volně šiřitelný program Google Earth, nebo mapový portál Mapy.cz. Obdobné informace však poskytuje většina elektronických map. Kdy pozorovat: Přibližný čas, kdy úkaz nastává, můžeš zjistit z astronomické ročenky, nebo na internetu, například na webu České astronomické společnosti ( v sekci obloha/výpočty/ Slunce. Na pozorování si vyčleň dostatek času, protože mezi jednotlivými pozorováními musí být alespoň 10 dní, aby se dostatečně projevily všechny změny. Navíc je pro pozorování nutné dobré počasí, kdy je nad daným obzorem jasná obloha. Tím pádem bude výsledný interval zřejmě ještě větší. S pozorováním proto neotálej a první měření proved hned na počátku roku. Azimut určuj v astronomickém formátu, tedy J = 0, Z = 90, S = 180, V = 270. Časy uváděj ve středoevropském čase (SEČ). Používej stále stejné pozorovací stanoviště (do řešení uved adresu, popis a geografické souřadnice). Jméno: 7 / 8 Identifikátor:

8 Časy T 1 a T 2 z každého pozorování zprůměruj tím ti vyjde pro každé pozorování průměrný čas T (T A, T B, T C ). Tyto časy porovnej vůči sobě T B T A počet dní mezi A a B. Tím získáš údaj o průměrné změně časového okamžiku za jeden den. Vychází tato průměrná změna mezi měřením A a B stejná, jako průměrná změna mezi B a C? Podobný výpočet lze provést i pro hodnoty azimutu. Jméno: 8 / 8 Identifikátor: