Národní informační středisko pro podporu kvality

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Národní informační středisko pro podporu kvality"

Transkript

1 Národí iformačí středisko ro odoru kvality

2 Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR

3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3

4 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI Předokládá se : ormálí rozděleí N(, ) sledovaého zaku jakosti; k odskui stejého rozsahu jedotek ( k* = N ). USL 6 LSL s R/d ; s/4 ; k k sj j Průměrá směrodatá odchylka s charakterizuje variabilitu uvitř k odskui stejého rozsahu. Roztyl roztylem j-té odskuiy a odskuiách. s k k s j j s j (ij j) j ro j =,,..., k je je růměrá směrodatá odchylka v k 4

5 - roces eí zůsobilý (USL - LSL) = 4 = 0,67 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 4 0,0 0,5 0,0 0,05,8%,8% 0,00-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 5

6 = - roces je blízký zůsobilosti (USL - LSL) = 6 =,0 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 LSL 6 USL 0,0 0,05 0,3% 0,3% 0,00-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 6

7 ,33 - roces je zůsobilý (USL - LSL) = 8 =,33 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 8 0,0 0,5 0,0 0,05 3 m 3 m 0,00-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 7

8 ,67 - roces je zůsobilý (USL - LSL) = 0 =,67 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 0 0,0 0,5 0,0 0,05 0,3 m 0,3 m 0,00-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 8

9 k mi USL 3, LSL 3 s R/d ; s/4 ; k k sj j k j k j 9

10 =,67 - zůsobilé rocesy, šatě cetrovaé k = 0 ; k =,67 ; k = 0,33 0 0

11 0,45 0,40 0,35 L U 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 6-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0,33,00 0,66 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, ,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0,33,67,00 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, ,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 0,33,33,33 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, ,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 -,33,00,67 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 6-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 LSL USL -,33 0,66,00

12 UKAZATEL ZPŮSOBILOSTI eřihlíží k otázce cetrováí rocesu. harakterizuje ouze ČEHO JSME SHOPNI DOSÁHNOUT UKAZATEL ZPŮSOBILOSTI k řihlíží k dosažeému stui cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SKUTEČNĚ DOSÁHLI

13 INTERPRETAE VLASTNOSTÍ UKAZATELŮ ZPŮSOBILODSTI A VÝKONNOSTI. Všechy ukazatele zůsobilosti a výkoosti jsou bezrozměré veličiy.. Má-li áhodá veličia ormálí rozděleí N(, ) a roces robíhá za ůsobeí ouze áhodých říči variability, t.j. roces je ve statisticky zvládutém stavu z hlediska růměru rocesu je cetrová (tedy latí = (USL + LSL) / a z hlediska variability má stálou a zámou směrodatou odchylku, otom a) garace, ař. ři =, vyjadřuje, že odíl eshodých v rocesu bude v růměru 0,7 % a ikoliv, že odíl eshodých v rocesu eřesáhe 0,7 % ; b) jakost odhadu ukazatele, k závisí a jakosti odhadu říslušé směrodaté odchylky. 3

14 DOHODA MEZI ODBĚRATELEM A DODAVATELEM Při každém vyšetřováí zůsobilosti, ožadovaém zejméa odběratelem je uto staovit (dohodout): odmíky eerimetu, jako ař.: očet odskui, rozsah odskui, kotrolí iterval, zůsob odběru vzorků, secifikace, metodu statistické regulace; ostu zracováí výsledků, jako ař.: zůsob odhadu směrodaté odchylky, aalytický tvar ukazatele zůsobilosti, kofidečí úroveň -. 4

15 Hustoty rozděleí ravděodobosti odhadů koeficietů 5

16 Tvary hustot Tvar hustoty rozděleí ravděodobosti odhadu závisí a tyu odhadu arametru σ. σ je odhaduta z ozorováí. σ je odhaduta z ozorováí ve skuiách: a) a základě rozětí ve skuiách b) a základě směr. odchylky ve skuiách 6

17 ) Náhodý výběr,,..., z rozděleí zaku jakosti N(, ) s odhadem směrodaté odchylky s, s i i, ak Ĉ USL LSL 6s s. Tvar hustoty kde f Ĉ ; () e ro > 0, f Ĉ () 0 ro 0. 7

18 Nař. ro = 50, =,33 jsou kvatily : ( ) 0,0,076 0,05, 0,05,43 0,5,339 0,95,598 0,975,657 0,99,73 8

19 Tvary hustoty odhadu Ĉ ro růzé očty ozorováí; odhad s 4,0 3,5 3,0,5,0,5 =,33 ; = 75 =,33 ; = 50 =,33 ; = 5 =,67 ; = 75 =,67 ; = 50 =,67 ; = 5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 9

20 a) Výběr je rovede z odskui o rozsahu, k disozici je k odskui ozorováí ij, i =,,..., k ; j =,,...,. Směrodatá odchylka je odhadováa omocí odhadu kde, R i = ma ij - mi ij. Hustotu lze ak aroimovat tvarem: s R R d (), f Ĉ e k k ro > 0, f Ĉ 0 ro 0. Koeficiety a jsou tabelováy v závislosti a rozsahu odskuiy. Platí E R i, D R i. 0

21 Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: ( ) 0,0,045 0,05,08 0,05,5 0,5,330 0,95,649 0,975,78 0,99,830

22 Tvary hustoty odhadu odhad Ĉ ro růzé očty ozorováí; R d () 3,5 3,0,5 =,33 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5 =,67 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5,0,5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 3 3,

23 Tabulka koeficietů a,8 0,853 3,693 0,888 4,059 0,880 5,36 0,864 6,534 0,848 7,704 0,833 8,847 0,80 9,970 0, ,078 0,797 3,73 0,787 3,58 0, ,336 0, ,407 0,76 5 3,47 0, ,53 0, ,588 0, ,640 0, ,689 0, ,735 0,79 3

24 4 b) Výběr je rovede z odskui o rozsahu, k disozici je k odskui ozorováí ij,, i =,,..., k ; j =,,...,. Směrodatá odchylka je odhadováa omocí odhadu kde,. Hustotu lze ak aroimovat tvarem: ro > 0 ro 0 kde a () s s 4 s i s i k s j i ij i s b a k Ĉ k b a e f 0 f Ĉ ) ( a ) ( b,,,.

25 Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: ( ) 0,0 0,965 0,05,009 0,05,050 0,5,330 0,95,85 0,975,95 0,99,37 5

26 Tvary hustoty odhadu odhad Ĉ ro růzé očty ozorováí; s () 4,5,0,5 =,33 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5 =,67 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5,0 0,5 0,0 0,7 0,9,,3,5,7,9,,3,5,7,9 3, 3,3 3,5 3,7 3,9 6

27 Tvary hustoty odhadu ro = 5; k = 0; (tj. N = 00) a =,33; Ĉ R odhady s,, d () s 4() 4,5 4,0 3,5 3,0,5 s R d () s () 4,0,5,0 0,5 0,0,,4,6,8,,4 7

28 Hustota sti ro odhad ukazatele =,33 ři užití rozětí R, k=5, = f( ) %-kvatil =, %-kvatil=,66 8

29 Hustoty rozděleí ravděodobosti odhadů koeficietů k 9

30 Odhad je založe a výběru,,..., či a výběru seskueého do tříd získaého měřeím zaku jakosti, který lze osat ormálím rozděleím N(, ). Platí kde K USL k = (-K), LSL, = 0.5 (USL LSL), tudíž Ĉ ( Kˆ ) k Ĉ, kde Kˆ USL LSL. Důležité: veličiy Kˆ a jsou ezávislé, vycházíme-li z N(, ). Ĉ 30

31 Oět máme tři možosti jak odhadout :. je odhadut omocí s,. je odhadut omocí s R, s s ( j ) j R R d ().. 3. je odhadut omocí s s, s s s () 4. Koeficiety d () a 4 () jsou tabelováy, ař. viz ČSN ISO

32 Tvar hustoty rozděleí ravděodobosti ro veličiu Kˆ :. ro říad s : f Kˆ () 6 6 T 6 T kde T USL LSL, = 0.5 (USL LSL), t e t Uvažujeme kde f Ĉ () e ro > 0,. 3

33 . ro říad s R či s s : f Kˆ () 6 k 6 k T 6 k T kde k je očet odskui, je rozsah odskuiy. V říadě s R je f Ĉ e k k ro > 0 ; v říadě s s je f Ĉ e k a b a b k ro > 0. Uvažovaé koeficiety,, a a b byly již defiováy. Defiičí obor hustoty ravděodobosti () je ( -,. Mimo teto obor je vždy () = 0. f Kˆ f Kˆ 33

34 Obecý vzorec ro hustotu ravděodobosti odhadů Ĉ k je: f Ĉ k () u f Ĉ (u) f Kˆ u du ro > 0, f Ĉ k () 0 u f Ĉ (u)f Kˆ u du ro 0. Problém je v tom, že ěkteré vzorce ro hustotu f Ĉ k vyjádřit elicitě, roto uvedeme jejich grafické vyjádřeí. ( ) elze 34

35 Ad ) Nař. ro = 50, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0,059 0,05,094 0,05,6 0,5,30 0,95,577 0,975,635 0,99,708 35

36 Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s 4,0 3,5 3,0,5 =,33 = 5 = 50 = 75 =,67 = 5 = 50 = 75,0,5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 3 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 36

37 Ad ) Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0,08 0,05,064 0,05,098 0,5,3 0,95,66 0,975,705 0,99,806 37

38 Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s R 3,5 3,0,5 =,33 =,33 5 = 50 5 = = 75 =,67 k =,67 = = = 505 = = 7550 = 75,0,5,0 0,5 0,0 0,8,0,,4,6,8,0,,4,6,8 3,0 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 38

39 Ad 3) Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0 0,95 0,05 0,994 0,05,034 0,5,3 0,95,790 0,975,94 0,99,08 39

40 Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s s,5,0,5 =,33 = 5 = 50 = 75 =,67 = 5 = 50 = 75,0 0,5 0,0 0,5 0,7 0,9,,3,5,7,9,,3,5,7,9 3, 3,3 3,5 3,7 3,9 4, 4,3 4,5 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 40

41 Tvary hustoty odhadu ro = 5; k = 0; (tj. N = 00) a =,33; Ĉ k R odhady s,, d () s 4() 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0,5 s R d () s () 4,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4 4

42 Hustota sti ro odhad k=,064 ři užití rozětí R, k=5, =4 k=(-k) K=(μ-T)/Δ ( ) %-kvatil= 0, %-kvatil=,34 4

43 Testováí zůsobilosti výrobího rocesu 43

44 Nejjedodušší říad: jedoduchá hyotéza H : = 0 (eí zůsobilý), jedoduchá alterativa A : = (je zůsobilý), budeme ředokládat, že 0 <, ař. 0 =,33, =,67. Odhad ukazatele je získá vždy ze stejého očtu měřeí, těchto úseků měřeí je k a ředokládáme, že jsou avzájem ezávislé a ocházejí z N(, ). V každém úseku měřeí je získá jede odhad ukazatele a základě odhadu směrodaté odchylky s i (i ) i, je rozsah ozorováí v každém úseku. 44

45 45 Vyjděme z tvaru hustoty rozděleí ro odhad : (v rámci jedoho úseku). Pak sdružeá hustota (řes k úseků) má tvar Test je odvoze od logaritmu věrohodostího oměru který má elicití tvar (*) Ĉ 0 Ĉ e () f k i i Ĉ k Ĉ ) ( f ),...,, ( f H A,...,, f,...,, f l 0 k i 0 i l k,..

46 46 Kritická oblast ro zamítutí hyotézy H (a hladiě výzamosti ) má tvar: kde k je (- )% - í kvatil rozděleí testové statistiky (*) ři latosti hyotézy H. Lze sado uravit a tvar: Protože ak erovost lze vyjádřit jako k l k 0 k i 0 i k i i 0 0 k l ) k( i i s Ĉ k i 0 i 0 0 s k l ) k (,..

47 Tudíž k 0 si k( ) l k ( ) 0 0 i. Za ředokladu ormality má veličia a ravé straě erovosti (k(-)) rozděleí. Tedy hyotéza H se zamítá a hladiě výzamosti, když k i ( s ) i q (k( )) kde q (k(-)) je %-í kvatil (k(-)) rozděleí, které jsou tabelováy. Odtud ihed, k k( )l q (k( )). 47

48 Fiálí tvar kritické oblasti: kde je odhad koeficietu z i-tého úseku. Nejobvyklejší říad je k =. Hyotéza H se a základě měřeí zaku jakosti zamítá a hladiě výzamosti eboli Ĉ i ( ( ) i k, když ) Ĉ 0 q (k( Ĉ )) 0 Ĉ 0 i q ( q ( ) ).,, Nař. ři = 0,05 a = 50 se hyotéza H : = 0 zamítá, když 49 Ĉ 0 0,07 33,93 ři 0 =,33 máme rávo hyotézu H zamítout, když,5983. Ĉ 48

49 o z toho lye?. Kritická oblast ezávisí a, tz. že je stejá ro všechy hodoty > 0. Tím vlastě testujeme jedoduchou hyotézu H : = 0 roti složeé alterativí hyotéze A : > 0.. I když bude aměřeá hodota a hyotézu H : = 0 tím ezamítáme, ezameá to, že hyotéza = 0 musí již latit. Bude-li ař. 0 =,33, Ĉ =,45, = 50, = 0,05, ak je sice Ĉ =,45,5983 a hyotézu ezamítáme, ale a základě týchž dat ezamítáme ai hyotézu ař. H : 0 =,5, rotože Ĉ 0 q ( ) 49,45,5 =,50. 33,93 49

50 ožaduje, aby 3. V rai se ři ožadavku a, ař. =,33 Ĉ,33. Z ředchozího je vidět, že teto ožadavek ám ezaručuje, že skutečě =,33. Terve hodota větší ežli 0 q ( ) ám zaručuje zamítutím hyotézy =,33 (ale oět e 00%-ě), že > 0 a lze ak tvrdit, že roces má zůsobilost větší ežli je hodota koeficietu ři ulové hyotéze. 50

51 Jaké máme záruky ři zamítutí hyotézy? H: = 0? Míra záruky je dáa očtem ozorováí. Čím více ozorováí (čím větší ), tím je větší záruka, že hyotézu zamíteme, když skutečě elatí (souvisí s tzv. silou testu -, kde je tzv. ravděodobost chyby. druhu, se kterou hyotézu H ezamíteme, i když tato elatí). Na druhou strau každý test je soje i s tzv. ravděodobostí chyby. druhu (hladia výzamosti), se kterou je hyotéza H : = 0 zamítá, i když tato latí. Tedy s ravděodobostí - se očekává, že okud roces je a úroví = 0, teto stav bude a základě měřeí deteková. 5

52 Síla testu - bude vyjadřovat řáí zákazíka, aby test s touto ravděodobostí detekoval stav rocesu, ař. ři hodotě =, kde samozřejmě > 0 (tedy ař. ři 0 =,33 a =,67). Jiými slovy, když skutečě bude roces a úrovi =, aby tato úroveň byla zamítuta s ravděodobostí. Jak toho dosáhout? Odověď: Zaručeím miimálího očtu ozorováí. 5

53 Máme určeo: 0,,,. Jaký má být očet ozorováí, aby test hyotézy H : = 0 roti alterativí hyotéze A : > 0 toto slňoval? Pravděodobost chyby. druhu vyjadřuje ožadavek, aby P Ĉ 0 ( ) 0 a současě chceme, aby síla testu byla -, tj. aby, P Ĉ. ( ) 53

54 Z toho lye, že musí latit erovost čili v krajím říadě 0 ( ) ( ), 0 ( ( ) ). Z tohoto vztahu lze určit ožadovaý očet ozorováí. 54

55 Při volbě = je miimálí očet ozorováí urče jedozačě: Tabulka. = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 0,5 3, 0,73,7 30,55,87 40,46,7 50,40,6 60,36,54 = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 00,6,39 0,4,35 40,,3 60,0,30 80,9,8 00,7,6 70,33,49 80,30,45 90,8,4 55

56 Tabulka. = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 0,645,08 0,37,58 30,8,43 40,3,35 50,0,30 0,,75 40,,6 60,0,5 80,095,4 00,09,3 60,8,7 70,65,4 80,5, 90,4, 00,3,0 56

57 Příklad. Pokud chceme zajistit, aby áš roces slňoval ožadavek > 0 =,33 a hladiě výzamosti = 0,05 a se silou testu - = 0,95 ři =,67, je uté vzít ejméě (viz. Tabulka.) 0,67,33,6, čemuž odovídá = 00 ozorováí a hyotéza H: =,33 se zamítá a hladiě výzamost 0,05, okud aměřeá hodota řekročí hraici (viz Tabulka.) Ĉ,33,3,509. Terve ak lze garatovat téměř s jistotou, že skutečě zůsobilost tohoto rocesu je větší ežli,33. 57

58 Lze ostuovat ři testováí zůsobilosti výrobího rocesu i aoak, totiž tím zůsobem, že řehodíme roli hyotézy a alterativy z ředchozí aalýzy. Oět vyjdeme z jedoduché hyotézy H: =, roti jedoduché alterativě A: = 0, kde yí ale > 0. Tedy hyotéza vyjadřuje zůsobilost rocesu, ale alterativa jeho ezůsobilost. Obdobým zůsobem jako ři ředchozím testováí omocí věrohodostího oměru dosějeme k ásledujícímu tvaru kritické oblasti: Hyotéza o zůsobilosti a úrovi se zamítá, když k i q ) i (Ĉ (k( )), kde (Ĉ ) i je odhad koeficietu z i-tého úseku, je rozsah ozorováí v každém úseku, je kladia výzamosti testu a q - (k(-)) je (- ) % - í kvatil (k(-)) rozděleí. 58

59 Oět v rai bývá ejčastější říad s k =, ak hyotéza H: = se zamítá a hladiě výzamosti, když: Ĉ q ( ). Proces tedy lze ovažovat za zůsobilý a úrovi =, když bude latit oačá erovost: Ĉ q ( ). Nař. ři = 50, = 0,05 to zameá, že ři =,33 musíme odhad Ĉ dostat ad mez 49 Ĉ,33,43. 66,34 Při =,67 emáme důvod hyotézu o zůsobilosti zamítout (ři = 50, = 0,05), když bude Ĉ,

60 Oět je uté zdůrazit, že tvar kritické oblasti ezávisí a hodotě 0 v alterativě, tudíž teto test lze současě okládat za test jedoduché hyotézy H: =, roti složeé alterativě A: <. Teto ostu ři testováí zůsobilosti výrobího rocesu by se měl rovádět v rai, eboť okud je roces a úrovi zůsobilosti =, ak hodoty odhadů kolísají kolem této hodoty s jistou mírou variability, která je ředevším odvislá od očtu ozorováí, z ichž se odhad Ĉ očítá. Ĉ 60

61 Závěr. Kdy a jak vůbec hodotit zůsobilost rocesu?. Sledovaý zak jakosti musí být osatelý ormálím rozděleím.. Proces musí být statisticky zvládutý, tedy stabilizovaý a hlídaý omocí regulačích diagramů. 3. Musí být staoveo, kolik ozorováí budeme oužívat ro výočet odhadu. Ĉ 4. Musí být staoveo, jak často budeme zůsobilost odhadovat. 5. Používat statistické testy ro hodoceí zůsobilosti, rotože ouhé slěí ožadavku Ĉ 0 (ožadovaá úroveň) estačí ro garaci této úrově. 6

62 UKAZATELE VÝKONNOSTI Má smysl za ředokladu: ormálí rozděleí N(, ) sledovaého zaku jakosti; jede áhodý výběr rozsahu N. P USL 6 LSL tot tot s tot N i N i tot N tot i N i elková směrodatá odchylka s tot charakterizuje celkovou variabilitu ve výběru N ozorováí (okud je výběr rozděle do k odskui stejého rozsahu je N = k*). 6

63 UKAZATELE VÝKONNOSTI Neředokládá se : ormálí rozděleí sledovaého zaku jakosti. Uvažuje se jede áhodý výběr rozsahu N. P USL U LSL L U je 99,865 % -í kvatil L je 0,35 % -í kvatil Jedá se o kvatily aktuálího rozděleí sledovaé jakostí vlastosti. Tyto kvatily odovídají 3 u ormálího rozděleí N(, ). 63

64 P k mi USL U Me Me, Me Me LSL L Me je mediá P M 6 U USL L / 6 LSL Me T 64

65 P mi USL k 3 tot 3, LSL tot tot s tot N i N i tot N tot i N i 65

66 UKAZATELE VÝKONNOSTI VYHÁZEJÍ Z ELKOVÉ VARIABILITY PROESU ZA DELŠÍ OBDOBÍ UKAZATEL VÝKONNOSTI P eřihlíží k otázce cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SHOPNI DLOUHODOBĚ V PROESU DOSÁHNOUT UKAZATEL VÝKONNOSTI P k řihlíží k dosažeému stui cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SKUTEČNĚ DLOUHODOBĚ V PROESU DOSÁHLI 66

67 67

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národní informační středisko ro odoru jakosti Konzultační středisko statistických metod ři NIS-PJ Analýza zůsobilosti Ing. Vratislav Horálek, DrSc. ředseda TNK 4: Alikace statistických metod Ing. Josef

Více

Problémy hodnocení výkonnosti a způsobilosti řízení procesů v rámci nesplnění normality rozdělení dominantního znaku jakosti

Problémy hodnocení výkonnosti a způsobilosti řízení procesů v rámci nesplnění normality rozdělení dominantního znaku jakosti Jiří Zmatlík 1, Pavel Zdvořák Problémy hodoceí výkoosti a zůsobilosti řízeí rocesů v rámci eslěí ormality rozděleí domiatího zaku jakosti Klíčová slova: eshodý rodukt, zaky jakosti měřitelé a zaky jakosti

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A. RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

11 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Základní pojmy

11 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Základní pojmy EOVÁNÍ YPOÉZ. Základí ojmy V Kaitole jsme se sezámili s ostuem, jak odhadout ezámé arametry základího souboru oulace v říadě, že emáme k disozici všechy jeho rvky, ale je jeho část - áhodý výběr. V raxi

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evroský sociálí od Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti eto materiál vzikl díky Oeračímu rogramu Praha Adatabilita CZ..7/3../3354 Maažerské kvatitativí metody II - ředáška č.3 - Queuig theory teorie

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání VŠB - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra elektrických strojů a řístrojů Předmět: Elektrické řístroje Protokol č.5 Přechodé děje ři vyíáí Skuia: Datum: Vyracoval: - -

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekoomcká fakulta Semestrálí ráce S kua Jméa: Leka Pastorová, Davd arha, Ja Vtásek a Fl Urbačík Ročík: 0/06 Učtel: gr. Jří Rozkovec Obor: Podková ekoomka Datum:.. 06 Obsah

Více

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování 8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA P NOV PRVDĚPODOBNOT TTTK Lbor Žák P NOV Lbor Žák Vícvýběrové tsty - NOV NOV tsty s rovádí s omocí aalýzy roztylů NOV souhré tsty ro víc ěž dva výběry. NOV aramtrcká tstováí charaktrstk z zámých rozdělí

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace

Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace Etroie, relativí etroie a sdíleá vazebí iformace Pojem iformace je říliš rozsáhlý a to, abchom jej komleě osali jedoduchou defiicí. Pro libovolou distribuci ravděodobosti můžeme defiovat tzv. etroii, jež

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

6.1 Systémy hromadné obsluhy

6.1 Systémy hromadné obsluhy 6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

VaR analýza citlivosti, korekce

VaR analýza citlivosti, korekce VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd.

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd. SROVNÁVÁNÍ HODNOT STATSTCÝCH UKAZATELŮ - oisem a analýzou ekonomikýh jevů a roesů omoí statistikýh ukazatelů se zabývá hosodářská statistika - ílem je nalézt zůsoby měření ekonomiké skutečnosti (ve formě

Více

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více