je dána vzdáleností od pólu pohybu πb

Transkript

1 7_kpta Tyč tvaru le obrázku se pohybuje v rohu svislé stěny tak, že bo A se o rohu (poloha A 0 ) vzaluje s konstantním zrychlením a A 1. m s. Počáteční rychlost bou A byla nulová. Bo B klesá svisle olů. Počáteční poloha tyče je svislá s boem A právě v rohu (poloha A 0 ) a boem B ve výšce Určete:. m na rohem. 1) Rychlost a zrychlení bou B v okamžiku, ky bo A narazí na zarážku ve vzálenosti b 1. m o rohu. ) Rychlost a zrychlení bou C, který je koncovým boem návarku élky 0. m na tyči (viz.obr.). Rešení pomocí pólu pohybu Rychlost všech boů tělesa v aném okamžiku je ána úhlovou rychlostí při rotaci kolem pólu pohybu. Rychlost bou je ána vzáleností o pólu pohybu πb πb b ω π πb ( 1.1) Úhlovou rychlost lze určit z obvoové rychlosti bou A πa b ω π πa ( 1.) Jelikož se bo A pohybuje pohybem rovnoměrně zrychleným, lze obvoovou rychlost bou A v ok amžiku, k y osáhne vzálenosti b, určit ze vztahu pro rovnoměrně zrychlený pohyb. b 1 a At a A t Dosazením lze eliminovat čas a rychlost lze určit jako: b a A což lze osait za úhlovou rychlost pólu pohybu 1. ω π ( 1.) πa

2 Vzálenosti o pólu pohybu lze určit i pomocí goniometrických funkcí. Nejprve určeme úhel sklonu tyče φ acos b φ Vzálenost o pólu pohybu π o bou B lze určit tey. πb cos( φ) πb 1. m Vzálenost o pólu pohybu π o bou A rovněž πa sin( φ) πa m Po osazení o 1. a 1.1 ostáváme πb v πa B m s Vzálenost πc je nutno určit složením úhlu ϕ a β, ke β atan...úhel mezi osou tyče a spojnicí boů A-C Vzálenost AC je potom tey možno určit z pravoúhlého trojúhelníku AC + Ke πc lze určit z álšího pravoúhlého trojúhelníku: πc ( ACcos( φ + β) ) + ( πa ACsin( φ + β) ) πc 0.91 m Dosazením o 1. ostaneme vzroce pro rychlost bou C: vc πa πc vc m s Pozn. Pólovou konstrukcí lze zjistit pouze rychlosti jenotlivých bou telesa!!!!! Rešení pomocí pólu pohybu Rešení záklaním rozklaem pohybu

3 Vektor rychlosti bou B lze složit vektorým součtem vektoru posunutí tělesa a rotace bou B okolo A A + A Což znamená součet ve vou kartézských souřanicích: Osa x 0 A sin( φ) Osa y A cos( φ) Oku vyplývá A sin( φ) v tan( φ) B m s Obvoová rychlost rotace bou B okolo A A je ána úhlovou rychlostí rotace bou B okolo bou A na rameni : ω A A sin( φ) (.1) Vektor rychlosti bou C je vektorým součtem posunutí a rotace okolo A - v CA v C + v CA (.) přicemž rychlost plynoucí z rotace okolo bou A lze přepocítat z úhlové rychlosti okolo bou A (.1). v CA ω A AC Vzhleem k tomu, že A z přechozího přípau (.1), můžeme v sin( φ) CA určit jako: v CA sin( φ) AC Vektorový součet. je navíc nutno rozložit o složek x a y v Cx v CA sin( φ + β) v Cx m s v Cy v CA cos( φ + β) v Cy 0.98 m s Velikost vekotru lze vypočítat opět Pythagorovou větou: v C v Cx + v Cy v C m s

4 Vektor zrychlení bou B je vektorým souctem vektoru zrychlení plynoucího z posuvu a A a složek normálového a nba a tecného zrychlení a tba plynoucí z rotace bou B okolo bou A a B a A + a nba + a tba Opet pro ve kartézské souranice platí: Osa x 0 a A a tba sin( φ) + a nba cos( φ) (.) Osa y a B 0 + a tba cos( φ) + a nba sin( φ) (.4) Normálové zrychlení plynoucí z rotace bou B okolo A je áno úhlovou rychlostí rotace okolo A a nba ω A Po osazení z.1 a nba a sin( φ) nba m s Tecné zrychlení lze urcit z vektorového souctu. a A + a nba cos( φ) a tba a sin( φ) tba.645 m s Dosazením o.4 mužeme konecne urcit velikost zrychlení bou B: a B 0 + a tba cos( φ) + a nba sin( φ) a B.004 m s Připomeňme opět, že tečné zrychlení je áno úhlovým zrychlením rotace okolo bou A ε A na rameni a tba ε A (.5) ε A a tba ε A s Vektor zrychlení bou C je obobně vektorovým součtem tří složek zrychlení a C a A + a tca + a nca (.6) Tecné zrychlení lze opet vyjárit z úhlového zrychlení tentorkát na rameni AC a tca ε A AC Doszeno z.5: a tca a tba AC a tca 1.44 m s

5 K vyjáření normálovému zrychlení můžeme opět využít úhlovou rychlost na rameni AC a nca ω A AC Vyjářeno z.1 je to: a nca AC a sin( φ) nca m s Vektorovou rovnici.6 je pak nutno rozepsat o vou kartézských souřanic: a Cx a A + a nca cos( β + φ) a tca sin( β + φ) a Cx 0.7 m s a Cy a nca sin( β + φ) + a tca cos( β + φ) a Cy 1.9 m s a C a Cx + a Cy a C 1.41 m s Rešení záklaním rozklaem pohybu Rešení analytické pomocí erivace souranic Začneme vyjářením pozic bou A a B, bo A je án pozicí x A bo B pozicí y B, ty teď nebuou uvažovány jako konstanty, ale jako proměnné v čase. Z Pythagorovy věty platí: x A + y B Oku y B x A (.1) Pozor: b je ráha rovnoměrně zrychleného pohybu: x A 1 a At (.) jejíž erivace je rychlost bou A t x A proto, erivace ráhy bou B musí být rychlost bou B: t y B

6 Po osazení z. a.1 a zerivování: 1 4 a A t Což lze zanést o grafu: t čas, ky pozice bou A osáhne vzálenosti b mužeme určit z rovnice. t b t s a A Čili rychlost bou B v čase t je m. Zrychlení bou B je áno alší erivací v čase: s a B t Po erivaci platí: a B 4 a A t a A t a A t a B 4 t Čili honota po osazení času činí a B t ( ).004 m s

7 Obě souřanice bou C lze opět vyjářit analyticky: x C x A ACcos( δ ) y C ACsin( δ ) Ke δ ( φ + β) acos Po osazení z. platí: x C x A 1 a At ACcosacos y C ACsin acos Znovu platí, že v Cx ( ) a A t + + β β a A t + β ( ) t x C v Cy t y C Po erivaci: a A t ACa A tsinβ + acos v Cx a A t v Cy ACa A tcos β + acos a A t Celková rychlost bou C v okamžiku t je tey: v C ( ) v Cy v Cx t + v C m s Zrychlení bou C lze opet urcit alší erivací: a Cx t v Cx a Cy t v Cy Po proveení erivace: ACa A sinβ + acos a Cx a A a A t ACa A t cos β + acos a A t ACa A t 4 sin β + acos 1 a A t 4 4 a A t

8 a Cy ACa A t sin β + acos a A t ACa A cos β + acos a A t ACa A t 4 cos β + acos a A t Celkové zrychlení bou C v okamžiku t je tey: a C ( ) a Cy a Cx t + a C 1.41 m s Rešení analytické pomocí erivace souranic