3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

Transkript

1 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly příslušné oblouu. ětšímu oblouu přísluší neonvexní středový úhel. Menšímu oblouu přísluší onvexní středový úhel. Dodate: Definice: Úhel, jehož vrcholem je střed ružnice a ramena procházejí rajními body oblouu ružnice, se nazývá středový úhel příslušný tomu oblouu, terý v tomto úhlu leží. Kromě středového úhlu můžeme oběma oblouům najít i úhly obvodové. Jejich vrcholy leží na obvodu ružnice (místo jejího středu). Obvodový úhel příslušný většímu oblouu. Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu. Dodate: Definice: Úhel, jehož vrchol je bodem ružnice a ramena procházejí rajními body oblouu ružnice (, ), se nazývá obvodový úhel příslušný tomu oblouu, terý v tomto úhlu leží. elý rozdíl:

2 středový úhel určen jednoznačně (ružnice má pouze jeden střed), obvodových úhlů je neonečně mnoho (druhý oblou má neonečně mnoho bodů. Obvodový úhel příslušný většímu oblouu. Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu. Pedagogicá poznáma: amozřejmě je daleo lepší nareslit něoli úhlů na tabuli, než promítat z dva staticé obrázy z projetoru. Př. : Doplň do obrázů naresleným středovým úhlům úhly obvodové. c) e všech případech existuje neonečně mnoho množností. Napřílad: c) Pedagogicá poznáma: ody a c) nejsou pro studenty samozřejmé. Poud mají problémy, nechte je, aby si vyznačili oblou, e terému středový úhel patří.

3 Př. : Doplň do obrázů naresleným obvodovým úhlům jejich úhly středové. c) e všech případech existuje právě jedno řešení: c) Pedagogicá poznáma: e třídě vždy žáy při následujícím příladu rozdělím a část z nich hledá úhly příslušející většímu oblouu (v opačném případě všichni rýsují úhly příslušející menšímu oblouu). Př. 3: Narýsuj ružnici, vyznač na ní dva navzájem různé body, a dvojici středový a obvodový úhel pro jeden z oblouů, terý body, na ružnici vytnou. Změř oba vyznačené úhly a najdi vztah mezi nimi. Pro úhly na obrázu platí: α = 35 β = 70 Zdá se, že středový úhel je dvarát větší než příslušný úhel obvodový. eliost středového úhlu je rovna dvojnásobu veliosti obvodového úhlu příslušného témuž oblouu. Předchozí věta má něoli zajímavých a důležitých důsledů a není samozřejmá provedeme důaz. 3

4 Pedagogicá poznáma: hodině nedoazuji na tabuli lasicy. Nechávám na žácích, aby sami hledali další roy. Nejdříve nareslím na tabuli jen ružnici se středovým úhlem a hledáme taové postavení vrcholového úhlu, ve terém by mohl být důaz nejjednodušší. Žáci většinou navrhují rozdělit středový úhel osou a tu protáhnout ta, aby její průsečí s ružnicí určil vrchol. Je zajímavé (a upozorňuji na to), že tím vlastně vytvoří dvojitou situaci, se terou později taé nědo přijde a ze teré pa doopravdy doazujeme. Nejjednodušší možnost: úhly příslušející menšímu oblouu:. střed ružnice leží na jednom z ramen obvodového úhlu. yužijeme speciální vlastnosti situace: body,, leží na ružnici jejich vzdálenost od středu ružnice je shodná označíme ji r. r r r Trojúhelní je rovnoramenný úhly a jsou shodné pro úhel ϕ platí: ϕ = 80 α. Úhle je úhel přímý platí: β = 80 ϕ = α = α Platí: β = α. ( ) Ještě nejsme hotoví. K nareslenému středovému úhlu náleží neonečně mnoho obvodových úhlů, z nichž pouze dva mají speciální polohu, pro terou jsme větu doázali. Zusíme další možnosti:. střed ružnice leží uvnitř obvodového úhlu. 4

5 Máme dvě možnosti: vymyslet celý důaz od začátu, upravit obráze ta, abychom mohli použít předchozí důaz pro speciální situaci se středem na ramenní obvodového úhlu. Polopříma rozdělí oba úhly na dvě části, střed ružnice leží na společném rameni obou vznilých obvodových úhlů platí β = α důazu), platí β = α důazu), β = β + β = α + α = α 3. střed ružnice leží vně obvodového úhlu. Opět dvě možnosti: vymyslet celý důaz od začátu, upravit obráze ta, abychom mohli použít předchozí důaz pro speciální situaci se středem na ramenní obvodového úhlu. 5

6 Polopříma vytvoří v obrázu další dvě dvojice středový a obvodový úhel, střed ružnice leží na společném rameni obou vznilých obvodových úhlů platí β = α důazu), platí β = α důazu), β = β β = α α = α Žádná další možná poloha neexistuje doázali jsme větu pro všechny úhly příslušející menšímu oblouu. Př. 4: Navrhni důaz věty o obvodovém a středovém úhlu pro větší oblou a půlružnici obou případech můžeme postupovat stejně jao v rou. důazu pro menší oblou. Př. 5: Jaé má věta o obvodovém a středovém úhlu důsledy? šechny obvodové úhly příslušné témuž oblouu jsou shodné. (všechny jsou polovinou stejného středového úhlu) Thaletova věta: šechny úhly nad průměrem ružnice jsou pravé. (Úhly nad průměrem ružnice jsou obvodové úhly e středovému úhlu o veliosti 80 ). Př. 6: Doplň věty uvádějící důsledy věty o obvodovém a středovém úhlu. Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu je Obvodový úhel příslušný většímu oblouu je c) Obvodový úhel příslušný půlružnici je Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu je ostrý. Obvodový úhel příslušný většímu oblouu je tupý. 6

7 Obvodový úhel příslušný půlružnici je pravý = Thaletova věta. hrnutí: tředový úhel je dvarát větší než příslušný obvodový úhel. 7