14 Pohyb hmotného bodu v rovině je určen rovnicemi. kde Raωjsoukonstanty.Určeterychlost vazrychlení a.ukažte,že v= ωr,

Transkript

1 Kinematika 1 Dvahmotnébody AaBsezačnousoučasnězklidupohybovatstejnýmsměrem pojednépřímce.počátečnívzdálenostbodůbyla s=4m.bod Asepohybuje rovnoměrněpřímočařerychlostí v=6ms 1,bod Bsepohybujerovnoměrně zrychleněsezrychlením a=8ms 2.Zajakoudobu tsehmotnébodydostanou současně do jednoho místa? 2 Připohybuhmotnéhobodusejehopolohovývektorměnísčasemtpodlevztahu r(t)=20t i+( 5t 2 +5t+10) j.složkypolohovéhovektorujsouvmetrech,časv sekundách. Určete vektor okamžité rychlosti v, nakreslete závislost y-ové složky rychlosti v y (t)aurčetevektorokamžitéhozrychlení a. 3 Tělesosepohybujevroviněpopřímcepopsanérovnicíx=3t+2ay=4t+1tak, žejehovzdálenost sodpevnéhoboduajedanárovnicí s= 25t 2 +38t+17, čas tjevsekundách,vzdálenost sjevmetrech.určetepolohubodua. 4 Z počátku souřadné soustavy se současně začaly pohybovat po kružnicích dva hmotnébody. Hmotnýbod Amělúhlovourychlost ω A =(0,0,5)s 1 apohybovalsepokružniciopoloměru R A =15cm.Úhlovárychlosthmotnéhobodu Bbyla ω B =(0,0, 10)s 1 apoloměrjehodráhybyl R B =30cm. Nakreslete obrázek a napište, jak se v čase mění souřadnice jednotlivých hmotných bodů ajaksevčaseměníjejichvzájemnávzdálenost d(t). 5 Dokažte,žedoba tpotřebnáktomu,abymalákuličkavhomogennímtíhovém polizkliduurazilabeztřenípřímýmžlábkemnaobrázku1dráhu AB,kdebod Bležínakružnici,nezávisínaúhlu α 0,π/2). A 2R ~G B Obrázek 1 6 Vestejnýokamžikvyrazilyprotisobězestanicvzdálených lpopřímécestě dva dostavníky. Oba jedou rychlostí o stejné velikosti v d. Spolu s jedním dostavníkem vyrazila vstříc druhému i moucha, která létá nad stejnou cestou rychlostíovelikosti v m > v d.přikaždémsetkánísprotijedoucímdostavníkem se moucha otáčí a vrací zpět, dokud se dostavníky nesetkají. Jakou dráhu s moucha uletí?

2 7 Loďmápočátečnírychlostovelikosti v 1 =8ms 1 mířícíkolmonaprotější břehřeky. Proudvřecemárychlostovelikosti v 2 =4ms 1. Napříčlodíjde člověkrychlostíovelikosti v 3 =1ms 1.Určeterychlost vpohybučlověkavůči pozorovateli sedícímu na břehu. 8 Helikoptéraletínadlodí,nakteréchcepilotpřistát. Loďplujerychlostíovelikosti v 1 =12ms 1 směremnajih,vanevýchodnívítrrychlostíovelikosti v 2 =7ms 1 ahelikoptérasesnášírychlostíovelikosti v 3 =2.3ms 1. Určete velikostrychlosti v M helikoptéryvůčimořiav L vůčilodi. 9 Vestejnýokamžiksezbodů r 1 =(0,1)ma r 2 =(0, 1)mzačnourychlostmi v 1 =(2, 2)ms 1 a v 2 =(3,1)ms 1 pohybovatdvahmotnébody.pouplynutí jaké doby t bude jejich vzdálenost minimální? 10 Hmotnýbodsepohybujevrovině xypopřímcedanérovnicí y=kx+qkonstantnírychlostíovelikosti vavčase t=0mělsouřadnice(0,q).určetečasové závislosti jeho souřadnic x(t) a y(t). 11 Dvě tělesa se začala ve stejný okamžik rovnoměrně pohybovat z jednoho bodu popřímkách,kterésvírajíúhel α. Jaksevčaseměníjejichvzdálenost d(t), pokud se jedno pohybuje rychlostí v a druhé dvojnásobnou rychlostí? 12 Určete závislost souřadnic x(t) a y(t) sportovce během prvního oběhu, který se včaset=0začalpohybovatzpočátkusouřadnésoustavypooválunaobrázku2 ve směru(1, 0) rychlostí o konstantní velikosti v. y ~v x R ` R Obrázek 2 13 V čase t = 0 se do protektoru pneumatiky o poloměru R auta jedoucího rovnoměrně přímočaře po dálnici rychlostí o velikosti v vtiskl malý kamínek. Určete jeho souřadnice x(t) a y(t), složky rychlosti ẋ(t) a ẏ(t) a složky zrychlení ẍ(t)aÿ(t). 14 Pohyb hmotného bodu v rovině je určen rovnicemi x(t)=rcos(ωt) a y(t)=rsin(ωt), kde Raωjsoukonstanty.Určeterychlost vazrychlení a.ukažte,že v= ωr, a=v 2 /R, ẍ+ω 2 x=ÿ+ω 2 y=0a v a. 15 Pohybuje-li se hmotný bod po Archimédově spirále, splňují jeho souřadnice rovnice x(t)=btcos(ωt)ay(t)=btsin(ωt),kde baωjsounenulovékonstanty. Rozložte rychlost a zrychlení do směru radiálního a k němu kolmého. Určete časovézávislosti v=(v r,v t )a a=(a r,a t ).

3 16 Pohybhmotnéhobodujezadánrovnicemi x(t)=rcos(ωt), y(t)=rsin(ωt) a z(t)=kt,kde R, kaωjsoukonstanty.jakzávisívelikostjehorychlosti vna čase? 17 Hmotnýbodsepohybujepokružniciopoloměru R=10cmskonstantním tečnýmzrychleníma t tak,ženakoncipátéotáčkyodzačátkuurychlovánízklidu dosáhlavelikostjehorychlostihodnoty v =11.5cms 1. Určetenormálovou složkuzrychlení a n vokamžiku t=21sodpočátkuurychlování. 18 Těleso o hmotnosti m se pohybuje po kružnici, která leží v rovině xy, má poloměr R a střed v počátku. Velikost rychlosti tělesa v roste lineárně s časem, v= at,kde ajekonstanta.určetečasovouzávislostjehosouřadnic x(t)ay(t), jestliženazačátkupohybumělotělesopolohu(0,r). Jakámusíbýtsíla F, která působí na těleso? 19 Pohybhmotnéhobodujezadánrovnicemi x(t)=acos(ωt)ay(t)=bsin(ωt), kde a, baωjsounenulovékonstanty,kterésplňujípodmínku a b.jakýtvar májehodráhaavekterýchbodechtétodráhyjetečnézrychlenínulové? 20 Pohyb hmotného bodu v prostoru je určen rovnicemi x(t)=acos(ct), y(t)=bsin(ct), z(t)=dt 2 kde A, B, C,aDjsoukonstaty. Vypočítejtevektorrychlosti v,zrychlení a aúhelmezinimi αvčase t. 21 Pohyb hmotného bodu v rovině je určen rovnicemi x(t)=acos(ct), y(t)=asin(2ct) kde A a C jsou konstaty. Vypočítejte vektory rychlosti v, zrychlení a a úhel mezinimi αvčase t.

4 Výsledky a odpovědi 1 Bodysepotkajípouzevpřípadě,žebod Bdoháníbod A. t= v+ v 2 +2as a =2s 2 v(t)=( 10t+5) j, a(t)= 10 j 3 A=[1; 3] 4 Ležílistředkružnice,pokterésepohybujehmotnýbod) Avbodě[0;R A ],je jehopolohovývektor r A = R A (sin(ω A t),1 cos(ω A t),0. Málikružnice,pokterésepohybujehmotnýbod ( ) B,středvbodě[0;R B ],je r B = R B sin(ω B t),1 cos(ω B t),0. Jelistředtétokružnicevbodě[0; R ) B ],je r B = R B (sin(ω B t),cos(ω B t) 1,0 = r B, kdeω A =5s 1 aω B =10s 1 avzdálenostmezihmotnýmibodyje d(t)= (x A x B ) 2 +(y A y A ) 2. 5 t=2 R/g 6 s=v m l/(2v d ) 7 Zapředpokladu,žeosa xjeorientovánavesměruprouduaosa ykolmonabřeh je v= v 1 + v 2 ± v 3 =(4±1,8)ms 1. 8 v M = v 2 1 +v ms 1, v L = v 3 =2.3ms 1 9 t= (r 1x r 2x )(v 2x v 1x )+(r 1y r 2y )(v 2y v 1y ) (v 1x v 2x ) 2 +(v 1y v 2y ) 2 = 3 5 s 10 Nechť v=(v x,v y ),potom x(t)=v x t a y(t)=q+v y t. Souřadnice hmotného bodu musí v každém čase t splňovat zadanou rovnici přímky, proto q+v y t=v x tk+q azároveň v 2 x+v 2 y= v 2. Povyjádření v x a v y adosazenízískáme 11 d(t)=vt 5±4cosα x(t)=±vt/ 1+k 2 a y(t)=q±vkt/ 1+k 2.

5 12 vt, t 0,l/v); l+rsin(ω(t l/v)), t l/v,(l+πr)/v); x(t)= l v(t (l+πr/v)), t (l+πr)/v,(2l+πr)/v); Rsin(ω(t (2l+πR)/v)), t (2l+πR)/v,(2l+2πR)/v), 0, t 0,l/v); Rcos(ω(t l/v)) R, t l/v,(l+πr)/v); y(t)= 2R, t (l+πr)/v,(2l+πr)/v); Rcos(ω(t (2l+πR)/v)) R, t (2l+πR)/v,(2l+2πR)/v), kde ω= v/r 13 Vsouřadnésoustavě,vekterébylkamínekvčase t=0vpočátkuajejížosa x je rovnoběžná s vektorem rychlosti auta, platí x(t)=vt Rsin(ωt), ẋ(t)=v vcos(ωt), ẍ(t)=v 2 sin(ωt)/r, y(t)=r(1 cos(ωt)), ẏ(t)=vsin(ωt), ÿ(t)=v 2 cos(ωt)/r, kde ω= v/r. 14 v = ( ωy,ωx), v = ωr, a = ( ω 2 x, ω 2 y), a = ω 2 R = v 2 /Ra v a = ω 3 xy ω 3 yx=0. 15 Složkyrychlosti v=(ẋ,ẏ)azrychlení a=(ẍ,ÿ)jsou ẋ=bcos(ωt) btωsin(ωt), ẏ= bsin(ωt)+btωcos(ωt), ẍ= 2bωsin(ωt) btω 2 cos(ωt), ÿ=2bωcos(ωt) btω 2 sin(ωt). Průměty do radiálního a tangenciálního směru získáme pomocí skalárního součinu s jednotkovými vektory v těchto směrech, v r = v r, v t = v t, a r = a r, a t = a t, kde r=(cos(ωt),sin(ωt))a t=( sin(ωt),cos(ωt)).odtudzískáme v=(b,bωt) a a=( bω 2 t,2bω). 16 v= R 2 ω 2 +k a n = v4 t 2 400π 2 R cms 2 x(t)=rsin at2 at2, y(t)=rcos 2R 2R, F= F r + F t, kde Fr = ma2 t 2 R R 2 a Ft = ma v v 19 Dráhamátvarelipsysestředemvpočátkuaspoloosami a a b. Tečné zrychleníjenulovévbodech(±a,0)a(0,±b).

6 20 21 v(t) =( AC sin(ct), BC cos(ct), 2Dt) v= A 2 C 2 sin 2 (Ct)+B 2 C 2 cos 2 (Ct)+4D 2 t 2 a(t)= ( AC 2 cos(ct), BC 2 sin(ct),2d ) a= A 2 C 4 cos 2 (Ct)+B 2 C 4 sin 2 (Ct)+4D 2 ( C 3 (A 2 B 2 )sin(ct)cos(ct)+4d 2 ) t α=arccos av v(t) =( AC sin(ct), 2AC cos(2ct)) v= AC sin 2 (Ct)+4cos 2 (2Ct) a(t)= ( AC 2 cos(ct), 4AC 2 sin(2ct) ) a=ac cos 2 2 (Ct)+16sin 2 (Ct) α=arccos sin(ct) cos(ct) 8 sin(2ct) cos(2ct) sin 2 (Ct)+4cos 2 (2Ct) cos 2 (Ct)+16sin 2 (Ct)