HARMONICKÉ KMITY MECHANICKÝCH SOUSTAV. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku

Transkript

1 HARMONICKÉ KMITY MECHANICKÝCH SOUSTAV Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Přemysl Šedivý, Ivo Volf a Radmila Horáková ÚVFO Hradec Králové Obsah 1 Kinematika harmonických kmitů 2 2 Dynamika harmonických kmitů 4 3 Torzní oscilátor 8 4 Kyvadla 11 5 Užití kyvadel při měření tíhového zrychlení 16 6 Příklady složitějších oscilátorů 17 Výsledky úloh 21 Literatura 24 1

2 1 Kinematika harmonických kmitů Harmonický kmitavý pohyb můžeme získat promítnutím rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici do některého průměru trajektorie. Z obr. 1 snadno odvodíme jeho kinematické zákony. Počátek vztažné soustavy volíme ve středu kružnicové trajektorie a pohyb po kružnici promítneme na osu y. Promítáme nejen okamžitou polohu obíhajícího bodu, ale i jeho okamžitou rychlostv0 a a v okamžité dostředivé zrychlenía0, a získáme tak okamžitou rychlostva okamžité zrychleníakmitajícího průmětu. y y v,a y v0a0 O ωt ϕ 0 x O a T 2 T t v Obr.1 Nechťpromítanýbodobíhásúhlovourychlostí ωajehoprůvodičdélky rje včase t=0otočenoprotikladnépoloose xoúhel ϕ 0.Paksouřadnicepolohy, rychlosti a zrychlení jeho průmětu do osy y závisí na čase podle následujících vztahů, kterým odpovídají grafy v pravé části obr. 1: kde y=y m sin(ωt+ϕ 0 ), (1) v=v m cos(ωt+ϕ 0 ), (2) a= a m sin(ωt+ϕ 0 ), (3) y m = r jeamplitudavýchylky, (4) v m = v 0 = ωr=ωy m jeamplitudarychlosti, (5) a m = a 0 = ω 2 r=ω 2 y m jeamplitudazrychleníkmitavéhopohybu. (6) 2

3 2p Harmonický kmitavý pohyb je stejně jako rovnoměrný pohyb po kružnici periodický.proveličinu ω= T =2pf zavádímeukmitavéhopohybunázev úhlováfrekvence.argument ϕ=ωt+ϕ 0 goniometrickýchfunkcívevztazích (1)až(3)nazývámefázekmitavéhopohybu, ϕ 0 jepočátečnífáze. Zvolíme-lipočátečníokamžiktak,žepočátečnífáze ϕ 0 jenulová,jeokamžitá výchylka kmitajícího bodu popsána jednodušším vztahem y= y m sinωt. (7) Kmityskladnoupočátečnífází ϕ 0 >0časověpředbíhají(obr.2)odobu τ= T ϕ 0 2p. (8) y y 2 y 1 y 1 = y m sinωt y 2 = y m sin(ωt+ϕ 0 ) τ T t Obr.2 Úlohy 1. Na obr. 3 jsou grafy závislostí výchylky, rychlosti a zrychlení harmonického pohybu na čase. Na vodorovné ose jsou vyneseny číselné hodnoty času v sekundách, na svislé ose pak číselné hodnoty okamžité výchylky v centimetrech. Určete: a) periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci, b) amplitudu výchylky a počáteční fázi výchylky, c) amplitudu rychlosti, d) amplitudu zrychlení, e) Na pomocné svislé ose v pravé části obrázku doplňte měřítka a jednotky rychlosti a zrychlení. Napište rovnici pro: f) okamžitou výchylku, g) okamžitou rychlost, h) okamžité zrychlení tohoto harmonického pohybu. 3

4 y cm 6 y v a 4 v a 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 t s -4-6 Obr.3 2.Pružinovýoscilátorkmitásperiodou T=1,60s.Určeteamplituduapočátečnífázikmitů,znáte-lipočátečnívýchylku y 0 =4,5cmapočáteční rychlost v 0 = 0,65m s 1. 2 Dynamika harmonických kmitů Ze vztahů(1),(3) a(6) plyne, že okamžité zrychlení harmonického pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a má opačný směr: a= a m sin(ωt+ϕ 0 )= ω 2 y m sin(ωt+ϕ 0 )= ω 2 y. (9) Podle druhého pohybového zákonaf= maje podmínkou pro vznik harmonického pohybu, aby také výslednice sil působících na kmitající hmotný bod byla přímo úměrná okamžité výchylce z rovnovážné polohy a měla opačný směr. Tuto podmínku velmi dobře splňuje pružinový oscilátor, který získáme zavěšením závaží na ocelovou pružinu(obr. 4). Předpokládejme nejprve, že hmotnostpružiny m 0 jezanedbatelnávporovnáníshmotnostízávaží m.nazávaží 4

5 působí směrem vzhůru síla pružinyfp, která je přímo úměrná prodloužení pružiny,asměremdolůtíhovásílafg.vrovnovážnépolozejsouoběsílystejně velké: F p = k l=f G = mg, (10) kde k je tuhost pružiny. Rozkmitáme-li závaží ve svislém směru, mění se velikost sílyfp, zatímco sílafg je konstantní. Nad rovnovážnou polohou převládne síla tíhová a pod ní naopak síla pružiny. Pro souřadnici výsledné silyfplatí F= F p F G = k( l y) mg=k l ky mg= ky. (11) Dostali jsme pohybovou rovnici pružinového oscilátoru F= ma= ky. (12) l 0 l l FG Fp y F F t Obr.4 Po dosazení ze vztahu(9) do pohybové rovnice(12) určíme úhlovou frekvenci, frekvenci a periodu oscilátoru: mω 2 k y= ky, ω= m, f= 1 k 2p m, T=2p m k. (13) Ke stejnému výsledku můžeme dojít také pomocí zákona zachování energie. Během kmitání pružinového oscilátoru se mění kinetická a potenciální tíhová energie závaží a také potenciální energie elastická pružiny. Kinetická energie je největší při průchodu závaží rovnovážnou polohou, kdy potenciální energii soustavy zvolíme jako nulovou. 5

6 Vzdaluje-li se závaží z rovnovážné polohy, pohybuje se proti výsledné sílefa soustava získává potenciální energii, která je rovna práci spotřebované silouf. Než dosáhne okamžité výchylky y, spotřebuje výsledná síla práci, která je číselně rovna obsahu obrazce omezenéhografemsílynaobr.5.můžemeji také vypočítat jako součin průměrné velikosti síly ky/2adráhy y: F ky 2 F =ky W Obr.5 y W= 1 2 ky2 = E p. (14) Celková mechanická energie harmonického kmitání je konstantní(obr. 6 pro jednoduchost sledujeme kmitání s nulovou počáteční fází): E c = E p + E k = 1 2 ky mv2 = 1 2 ky2 msin 2 ωt+ 1 2 mv2 mcos 2 ωt=konst.(15) y vm y m vm vm y m t E E k E c E p Obr T 1 2 T 3 4 T T t Potenciální energie v krajní poloze je stejná jako kinetická energie při průchodu rovnovážnou polohou: 1 2 ky2 m= 1 2 mv2 m, přičemž v m = ωy m. (16) 6

7 Po dosazení a úpravě opět dostáváme vztahy(13): k= mω 2 k, ω= m, f= 1 k 2p m, T=2p m k. Určení periody nebo frekvence harmonických kmitů mechanické soustavy patří k často se vyskytujícím úlohám. Na pružinovém oscilátoru jsme si ukázali dva základní způsoby řešení: a)vyjdemezpohybovérovniceapoužijemevztah a= ω 2 y. b)vyjdemezezákonazachováníenergieapoužijemevztah v m = ωy m. Řešení složitějších případů většinou provádíme druhým způsobem. Při přesnějším výpočtu periody kmitů pružinového oscilátoru musíme přihlédnoutkhmotnostipružiny m 0 v.taseuplatňujejenčástečně,neboťpouze v dolní konec pružiny kmitá se závažím. Ostatní části se pohybují pomaleji a horní konec nekmitá vůbec. Kinetickou energii pružiny, jejíž jeden konec je upevněn a druhý se pohybuje rychlostív, vypočítáme užitím integrálního počtu podle obr. 7: x dm l x dx dm=m 0 dx l Obr.7, E k = m 0 l ( 1 2 dm v x ) 2 = m 0v 2 l l 2l 3 x 2 dx= 1 m v2. (17) 0 Hmotnost pružiny se tedy uplatní jen jednou třetinou. Podle zákona zachování energie ( 1 2 ky2 m =1 m+ m ) ( 0 vm =1 m+ m ) 0 ω 2 ym 2 2 3, (18) k m+ m 0 3 ω= m+ m 0 3, T=2p k. (19) 7

8 Úloha 3 Na lehkou pružinu bylo zavěšeno závaží o neznámé hmotnosti, které po uvolnění začalo kmitat okolo rovnovážné polohy. Celý děj byl sledován pomocí elektronického siloměru, ke kterému byla pružina horním koncem upevněna. Na připojeném počítači byl získán graf, který zachycuje časový průběh velikosti síly působící na siloměr(obr. 8). Počáteční velikost síly je dána tíhou samotné pružiny. a) Určete hmotnost závaží a tuhost pružiny. b) Určete amplitudu výchylky a amplitudu rychlosti pozorovaných kmitů. F N Obr t s 3 Torzní oscilátor Dosud jsme se zabývali harmonickými kmity pružinového oscilátoru, které probíhaly ve svislém směru jako pohyb posuvný. Analogické zákony platí i pro otáčivý kmitavý pohyb osově souměrného tělesa, které je zavěšeno na drátě splývajícím s osou souměrnosti(obr. 9). Kmity jsou způsobeny pružnými silami v drátu vyvolanými jeho kroucením(torzí) při pootočení tělesa z rovnovážné polohy. 8

9 F F Ml Mv s d 2 α Obr.9 s Obr.10 Chceme-lidrátdélky lapoloměru r,kterýjevyrobenzmateriáluomodulu pružnostivesmyku G,držetzkroucenýoúhel α,musímenakonecdrátupůsobitdvojicívnějšíchsil,jejížmomentmv,jepřímoúměrnýúhlovévýchylce D (obr.10).platí Mv= pgr4 (20) 2l = Konstanta úměrnosti D se nazývá direkční moment. Moment vnějších sil je v rovnováze s momentemmpružných sil drátu působících proti deformaci: M= D (21) MomentyMvaM,úhlovouvýchylku atakéúhlovourychlost=d /dt aúhlovézrychlení =d/dtotáčejícíhosetělesazavádímejakovektorové veličiny, které umisťujeme do osy otáčení podle známého pravidla pravé ruky. Jejichsouřadnice M v, M, α,ωaεjsoukladné,pokudvektorsměřujenahoru. Působí-li dvojice vnějších silf, Fkolmo na konce vratidla délky d, mají síly velikost F= M v d = Dα d. (22) Během pootočení o úhel α se velikost sil postupně zvětšuje. Vnější síly vykonají práci a zkroucený drát získá potenciální energii elastickou E p = W=2F prům s=2 Dα 2d αd 2 =1 2 Dα2. (23) Uvedeme-li zavěšené těleso o momentu setrvačnosti J do otáčivého pohybu a přestaneme na ně působit vnějšími silami(kromě síly tíhové), rozkmitá se 9

10 působením momentumpružných sil drátu okolo rovnovážné polohy. Úhlová výchylka, úhlová rychlost a úhlové zrychlení tohoto pohybu se řídí kinematickými zákony analogickými k(1) až(6) a(9), které platily u pružinového oscilátoru: α=α m sin(ωt+ϕ 0 ), (24) Ω=Ω m cos(ωt+ϕ 0 ), Ω m = ωα m, (25) ε= ε m sin(ωt+ϕ 0 ), ε m = ω 2 α m. (26) ε= ω 2 α. (27) Pozor na rozdíl mezi souřadnicí Ω úhlové rychlosti tělesa, která se během kmitůneustálemění,aúhlovoufrekvencíkmitů ω =2p/T,kteráprodané kmity konstantní a udává přírůstek fáze za jednotku času! Dosazením z(25) do pohybové rovnice torzních kmitů M= J = D (28) a úpravou odvodíme vztah pro výpočet periody torzních kmitů: Jω 2 α= Dα, ω 2 = 4p2 T 2 = D J, T=2p J D. (29) Vidíme, že direkční moment drátu D a moment setrvačnosti zavěšeného tělesa J mají u torzního oscilátoru stejný význam jako tuhost pružiny k a hmotnost závaží m u oscilátoru pružinového. Při odvození téhož vztahu užitím zákona zachování energie vycházíme z předpokladu, že potenciální energie elastická drátu v krajní poloze je stejná jako kinetická energie tělesa při průchodu rovnovážnou polohou: 1 2 Dα2 m =1 2 JΩ2 m =1 2 Jω2 α 2 m. Ztoho ω= D J. (30) Úloha 4 Jako těleso torzního oscilátoru zvolíme vodorovnou tyč stálého průřezu odélce l = 1 mahmotnosti m = 0,20 kg,kterouzavěsímeuprostředna kus drátu. Jaký je direkční moment drátu, kmitá-li oscilátor s periodou 6,0 s? Jak by se změnila perioda oscilátoru, kdybychom tyč zkrátili na polovinu? Moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose procházející kolmo jejím středem je J= ml 2 /12. 10

11 4 Kyvadla Jako kyvadlo můžeme označit každé těleso, které se může bez tření otáčet okolo vodorovné osy neprocházející jeho těžištěm. Učebnice fyziky pro střední školy (např.[1]) se obvykle omezují jen na rozbor vlastností kyvadla tvořeného malou kuličkou o hmotnosti m zavěšenou na tenkém vlákně délky l. Hmotnost vlákna, jeho deformace a odpor vzduchu zanedbáváme. Kuličku považujeme za hmotný bod, jehož pohyb je vázán na kružnici. Takto idealizované kyvadlo nazýváme kyvadlo matematické. Změny pohybového stavu matematického kyvadla způsobuje pohybová složkaftíhové síly y FG, jejíž velikost určíme podle obr. 11: F =F G sinα= mg x. (31) l Je-li amplituda kmitů velmi malá, pohybuje se kulička téměř vodorovně a souřadnici x středu kuličky můžeme považovat za okamžitou výchylku z rovnovážné polohy. SílaFje v takovém případě přímo úměrná výchylce a má opačný směr. Jsou tedy splněny podmínky pro vznik harmonických kmitů Z pohybové rovnice x=x m sin(ωt+ϕ ). (32) O α Fx F= ma= mω 2 x= mg x, (33) Obr. 11 l kde F, ajsou x-ovésouřadnicesílyazrychlení,odvodímevztahprovýpočet periody matematického kyvadla: ω 2 = 4p2 T 2 = g l, T=2p l g. (34) Při odvození těchže vztahů užitím zákona zachování energie vycházíme z obr. 12. Potenciální energie kuličky v krajní poloze je stejná jako kinetická energie při průchodu rovnovážnou polohou, kdy rychlost kuličky dosahuje amplitudy v m : l α FG mgh= 1 2 mv2 m. (35) x F 11

12 Dále platí v m = ωx m = 2p T x m, (36) h=l l 2 x 2 m= l l 1 x2 m. = l 2 ( ). = l l 1 x2 m 2l 2 = x2 m 2l. (37) Po dosazení do(35) dostaneme mg x2 m = 1 l 2l 2 m4p2 T 2 x2 m, T=2p g. (38) x m vmh Obr. 12 l Obdobně odvodíme vztah pro výpočet doby kmitu pomocí zákona zachováníenergieiujinýchkyvadel.naobr.13jeznázorněnakrajníarovnovážná poloha kyvadla o hmotnosti m, jehož těžiště T se nachází ve vzdálenosti d od osy procházející bodem O kolmo k nákresně. Při malé amplitudě kmitů koná těžištěkyvadlaharmonickékmitysamplitudou x m ajehorychlostpřiprůletu rovnovážnoupolohumávelikost v m = ωx m. Potenciální energie kyvadla v krajní poloze závisí na výšce těžiště h: ( E p = mgh=mg d ).= d 2 x 2 x 2 m mg m 2d. (39) Stejně velká je kinetická energie kyvadla při průchodu rovnovážnou polohou: O d E k = 1 2 JΩ2 m= 1 2 J ( vm d ) 2.= 1 2 J ω2 x 2 m d 2. (40) Moment setrvačnosti J kyvadla závisí na vzdálenosti těžiště od osy podle Steinerovy věty vm h T x m T J= J 0 + md 2, (41) kde J 0 jemomentsetrvačnostivzhledemkose procházející těžištěm rovnoběžně s osou kyvadla. Obr

13 Z rovnosti energií dostaneme hledaný vztah pro výpočet doby kmitu: mg x2 m 2d =1 2 J ω2 x 2 m d 2, T=2p J mgd =2p ω 2 = 4p2 T 2 = mgd J, (42) J 0 + md 2. (43) mgd V učebnicích fyziky bývá předcházející vztah častěji odvozen na základě pohybové rovnice otáčivého pohybu, ke které dojdeme z obr. 14: M= Jε=J dω dt = Jd2 α dt 2 = mgdsinα. = mgdα= Dα. (44) Veličina D = mgd se nazývá direkční moment kyvadla. Jestliže kyvadlo vychýlíme z rovnovážné polohy v kladném smyslu(proti smyslu obíhání hodinových ručiček), je moment tíhové síly záporný, a naopak při výchylce kyvadla v záporném smyslu je moment tíhové síly kladný. Proto se v rovnici(44) objevuje záporné znaménko podobně jako v pohybové rovnici pružinového oscilátoru(12). Z analogie obou rovnic plyne, že rovnici (44) vyhovuje řešení analogické k(1) a(13): α=α m sin(ωt+ϕ 0 ), ω= 2p T = D J, J T=2p D =2p J 0 + md 2 mgd, (45) které popisuje závislost okamžité úhlové výchylky α na Obr.14 čase. Naše odvození vztahu pro výpočet doby kyvu kyvadla se neobešlo bez použití přibližných vzorců O α x FG h. = x2 m 2d, sinα. = α. (46) Proto vztahy(33),(44) platí s dostatečnou přesností jen při malých amplitudáchkmitů.(pro α m =1 jeskutečnádobakmituvětšíasio0,002%,pro α m =5 asio0,05%.)tímsekyvadlališíodtorzníchoscilátorů,kdepohybová T d 13

14 rovnice Jε = Dα platí přesně i pro velké úhlové výchylky, dokud deformace kroucením nepřekročí meze platnosti Hookova zákona. Při větších amplitudách výchylky nejsou už kmity kyvadla přesně harmonické. Jejich časový průběh a dobu kmitu můžeme dostatečně přesně určit numerickým modelováním, které je popsáno ve studijním textu[2]. Vedledobykmituseukyvadlazavádíidobakyvu τ= T/2.Jestliže τ=1s, nazývá se kyvadlo sekundové. Každémukyvadlumůžemepřiřaditredukovanoudélku l,kteroudefinujeme jako délku matematického kyvadla se stejnou dobou kyvu(obr. 15). Z rovnosti J T=2p D =2p J 0 + md 2 l =2p (47) mgd g odvodíme vztah pro výpočet redukované délky l = J md = J 0+ md 2 md = d+ J 0 > d. (48) md d l O O T l d Obr. 15 Obr. 16 T O l d O Naneseme-liodbodu Onapolopřímku OT redukovanoudélku l,dostanemebod O,kterýmmůžemevéstnovouosu,opětkolmouknákresně(obr.16). Okolotétoosybudekyvadlokývatsdoboukyvu T,kterájestejnájakodoba kyvu T okolo původní osy. Platí totiž T =2p J mg(l d) =2p J 0 + m(l d) 2 mg(l d) = 14

15 =2p ( J0 J 0 + m md mg ( J0 md ) 2 ) =2p md 2 + J 0 mgd = T. (49) Úlohy 5.Určetevztahprovýpočetdobykmituhomogennítyčehmotnosti madélky l, která kmitá kolem osy kolmé k tyči a procházející jejím koncem. 6. Kruhová homogenní deska kmitá kolem vodorovné osy kolmé k rovině desky. Osa prochází jejím obvodem(obr. 17). V jaké jiné vzdálenosti od středu deskybymohlabýtosa,anižbysedobakmituzměnila? 7. Určete dobu kmitu kotouče znázorněného na obr. 18 kolem vodorovné osy jdoucí bodem O kolmo na rovinu kotouče. Plná část kotouče je homogenní. O O R 2 S 1 R S R S Obr. 17 Obr Tenkáobručopoloměru Rzavěšenánaskoběsepomalémvychýlenízrovnovážné polohy stane kyvadlem. Určete jeho dobu kmitu a redukovanou délku. 15

16 5 Užití kyvadel při měření tíhového zrychlení Absolutní měření tíhového zrychlení v určitém místě na Zemi můžeme přesně realizovat pomocí reverzního kyvadla sestrojeného např. podle obr. 19. Těžká tyčjeopatřenadvěmazávěsnýmibřity O 1, O 2 otočenýmiostřímprotisoběa závažím, jehož vzdálenost x od konce tyče můžeme plynule měnit a regulovat takdobykmitu T 1, T 2 okolooboubřitů.naměřenéhodnotyvynesemedografu (obr. 20), ze kterého zjistíme, pro kterou polohu závaží jsou obě doby kmitu stejnéajakájejejichhodnota T 1 = T 2 = T.Vtakovémpřípadějevzdálenost břitů l rovna redukované délce kyvadla a tíhové zrychlení určíme ze vztahu g= 4pl T 2. (50) Vzdálenost břitů a doba kmitu mohou být stanoveny se značnou přesností. Tím je zajištěna i přesnost konečného výsledku. x T O 1 l T 2 T 1 O 2 Obr. 19 Obr. 20 x Známe-lihodnotutíhovéhozrychlení g A pronějakouzákladnístanici A, můžemeurčittíhovézrychlení g B nakterémkolivjinémmístě Btak,žezměříme tímtéžkyvadlemdobykmitu T A, T B naoboumístech.pakplatí T A =2p J mg A d, T B=2p J mg B d, g B= g A ( )2 TA T B. (51) 16

17 Poznámka: Před r vykonal základní měření ve sklepě České techniky v Brně fyzik B. Kladivo. Určil hodnotu tíhového zrychlení g=(9,80961 ±0,00001)m s 2. 6 Příklady složitějších oscilátorů A. Spojování pružin Na obr. 21 jsou zobrazeny tři oscilátory tvořené závažím o hmotnosti m advěmapružinamisezanedbatelnouhmotnostíoklidovýchdélkách l 1, l 2 a tuhostech k 1 a k 2.Jednotlivépřípadyproberemepostupně.Prodlouženípružin vrovnovážnépolozeoscilátorupokaždéoznačíme l 1, l 2. a) Při paralelním spojení pružin se tíha závaží rozloží na obě pružiny. V rovnovážné poloze platí mg=k 1 l 1 + k 2 l 2. (52) Vychýlíme-li závaží do výšky y, síly pružin sezmenšíanazávažípůsobívýslednásíla o souřadnici F= k 1 ( l 1 y)+k 2 ( l 2 y) mg= = (k 1 + k 2 )y. (53) Oscilátor kmitá stejně, jako kdybychom použili jedinou pružinu o tuhosti k= k 1 + k 2. (54) k 1 l1 k 2 l 2 Při paralelním spojení pružin se jejich tuhosti sčítají. a) b) c) Obr. 21 b) Sériově spojené pružiny jsou v rovnovážné poloze obě zatíženy celou tíhou závaží: mg=k 1 l 1 = k 2 l 2. (55) 17

18 Vychýlíme-lizávažídovýšky y,zkrátíseprvnípružinaoy 1,druháoy 2 aobě budou napnuty stejnou silou o velikosti F p = k 1 ( l 1 y 1 )=k 2 ( l 2 y 2 ). (56) Na závaží působí výsledná síla o souřadnici Porovnáním vztahů dostaneme: F= F p mg= k 1 y 1 = k 2 y 2. (57) y=y 1 + y 2 = F k 1 F k 2 = F k, F= k 1k 2 k 1 + k 2 y. (58) Oscilátor kmitá stejně, jako kdybychom použili jedinou pružinu, pro jejíž tuhost platí 1 k = 1 + 1, k= k 1k 2. (59) k 1 k 2 k 1 + k 2 Při sériovém spojení pružin se sčítají převrácené hodnoty jejich tuhostí. c)vetřetímpřípaděpůsobínazávažísílypružinvopačnýchsměrech.vrovnovážné poloze platí mg= k 1 l 1 k 2 l 2. (60) Vychýlíme-li závaží do výšky y, bude na ně působit výsledná síla o souřadnici F= k 1 ( l 1 y) k 2 ( l 2 + y) mg= (k 1 + k 2 )y. (61) Oscilátor kmitá stejně, jako kdybychom použili jedinou pružinu o tuhosti k=k 1 + k 2. (62) Případya)ac)jsoutedycodoperiodykmitůekvivalentní. B. Kolébání nesymetrického tělesa Setrvačníkohmotnosti mamomentusetrvačnosti J 0 jehřídelíopoloměru rpoložennavodorovnékolejnice(obr.22).vevzdálenosti r 1 odosyje ksetrvačníkupřipevněnmalýpřívažekohmotnosti m 1. m,j 0 r r 1 m1 Obr.22 18

19 Odvalíme-li setrvačník z rovnovážné polohy tak, že se otočí o malý úhel α m,budeosasetrvačníkupojehouvolněníkonatharmonickýkmitavýpohyb samplitudou x m apřiprůchodurovnovážnoupolohoubudemítrychlost v m (obr.23): x m. = rαm, v m. = ωxm = 2p T x m,. (63) Potenciální energie v krajní poloze ) E p = m 1 gh=m 1 gr 1 (1 cosα m )=m 1 gr 1 (1 1 sin 2.= α m. sin 2 α m x 2 m = m 1 gr 1 = m 1 gr 1 2 2r 2 (64) je stejná jako kinetická energie při průchodu rovnovážnou polohou, kdy se setrvačníkotáčíokolookamžitéosyprocházejícíbodem PúhlovourychlostíΩ m : Ω m = v m r, E k= 1 2 JΩ2 m, kde J= J 0 + mr 2 + m 1 (r 1 r) 2 (65) je moment setrvačnosti vzhledem k okamžité ose. Porovnáním vztahů dostaneme: m 1 r 1 g x2 m 2r 2=1 2 [J 0+ mr 2 + m 1 (r 1 r) 2 ] ω2 x 2 m r 2, (66) m 1 r 1 g ω= J 0 + mr 2 + m 1 (r 1 r) 2. (67) m,j 0 r 1 αm x m vm m 1 r 1 r h m 1 r P v1 Obr

20 C. Kývání tyče působením pružné síly Homogenní tyč stálého průřezu ohmotnosti madélce ljejejedním koncem otáčivě upevněna v bodě O. Ve vodorovné rovnovážné poloze je drženasvisloupružinouotuhosti kazanedbatelné hmotnosti, která je k tyči připevněna ve třech čtvrtinách délky (obr. 24). Tyč rozkýváme ve svislém směrutak,žebod,vekterémjepružina upevněna k tyči, koná harmonické kmitysmalouamplitudou y m.připrůchodu rovnovážnou polohou má tedy rychlost v m = ωy m. O 3 4 l m l Obr. 24 Vkrajnípolozemásoustavapotenciálníenergii E p = ky 2 m /2.Připrůchodu rovnovážnoupolohousetyčotáčíúhlovourychlostíω m amákinetickouenergii E k = JΩ 2 m/2, kde Jjemomentsetrvačnostityčevzhledemkbodu O: Ω m = v m 4ωy m =, J= l 3l 3 ml2. (68) Ze zákona zachování energie plyne 1 2 ky2 m =1 2 ml2 16ω2 ym 2 3 9l 2, ω= 3 3k 4 m. (69) k Úloha 9 Určete periodu malých kmitů homogenní kuličky o poloměru r, kterou položímenadnomiskytvarukulovéhovrchlíkuopoloměru R > ravychýlíme z rovnovážné polohy. 20

21 Řešení úloh 1.a) T=1,20s, f= 1 T =0,833Hz, ω=2p T =5,24rad s 1, b) y m =6,0cm, ϕ 0 = p 6 rad, c) v m= ωy m =0,314m s 1, d) a m = ω 2 y m =1,64m s 2. e) Měřítka na osách rychlosti a zrychlení: 1cm =0,2m s 1, 1cm =2m s 2. ( 5,24{t}+ p 6 f) {y}=0,060sin ( h) {a}= 1,64sin 5,24{t}+ p ). 6 ), g) {v}=0,314cos ( 5,24{t}+ p ), 6 2.Řešenímsoustavyrovnic y 0 = y m sinϕ 0, v 0 = ωy m cosϕ 0 dostaneme tg ϕ 0 = ωy 0 v 0 = 2py 0 Tv 0 = 0,27187 sinϕ 0 >0 ϕ 0 =2,88rad, y m = y 0 sinϕ 0 =17,2cm. 3.a)Uvolněnézávažíkmitáokolorovnovážnépolohy,vekterébysepodelší době zastavilo. Když se závaží nachází v dolní krajní poloze, působí na siloměrsílaovelikosti6,6n.kdyžsenacházívhorníkrajnípoloze,působínasiloměrsílaovelikosti2,0n.poustálenízávažívrovnovážné polozebudetedynasiloměrpůsobitsílaovelikosti4,3n.tíhasamotné pružinyjepřibližně0,2n.tíhazávažímátedyvelikost4,1nahmotnostzávažíje m = 0,42 kg.hmotnostpružinyjemalávporovnání s hmotností závaží. Proto ji zanedbáme. Zgrafuodečtemeperiodukmitů: 8T=7,0s, T=0,87s. Pružinamátuhost k=mω 2 = 4p2 m T 2. =22N m 1. b) Amplituda výsledné síly, která během kmitání působí na závaží, je F m =2,3N.Tomuodpovídajíamplitudyvýchylkyarychlosti y m = F m k =0,115m v m= ωy m = 2py m =0,76m s 1,. T 4. D= Jω 2 = 4p2 ml 2 12T 2 =0,018N m rad 1. 21

22 Momentsetrvačnostityčepolovičnídélkyje J 1 = 1 12 m ( ) 2 l 2 = J 2 8. Periodyjsouvpoměru T 1 T = J1 J = Do vztahu(43) pro výpočet doby kmitu kyvadla dosadíme d= l 2, J= J 0+ md 2 = 1 ( ) 2 l 12 ml2 + m = ml2 a dostaneme hledaný vztah T=2p ml 2 3 mgl 2 2l =2p 3g. 2l Dobakmituhomogennítyčepřidanépolozeosyje T=2p 3g. 6. Pomocí Steinerovy věty určíme moment setrvačnosti vzhledem k ose kyvadla: J= J 0 + mr 2 = mr2 + mr 2 = mr2. Doba kmitu potom je J T=2p D =2p 3mR 2 2 mgr =2p 3R 2g =2p l g a redukovaná délka l = 3 2 R. Přemístíme-liosudovzdálenosti l R=R/2odtěžištědesky,dobakmitu se nezmění. 7. Řešení rozdělíme na několik částí: a) Určení polohy těžiště útvaru kotouče s vyříznutým otvorem: Podobné úlohy jste řešili v 1. ročníku. Přesvědčte se, že těžiště kyvadla leží ve vzdálenosti R/6 pod středem kotouče S. 22

23 b) Určení momentu setrvačnosti vzhledem k ose kyvadla: Od momentu setrvačnosti plného kotouče, jehož hmotnost označíme m, odečteme moment setrvačnosti vyříznutého kotouče: J= mr2 2 + mr m 4 R2 4 m 4 R2 4 =45 32 mr2. c) Určení doby kmitu: T=2p J =2p 3m 4 gd 45mR m 4 g7r 6 =3p 5R 7g. J 2mR 8. T=2p mgd =2p 2 2R mgr =2p g, 9.Vyjdemezobr.25: h=(r r) (R r) 2 x 2 m v m = ωx m,. x 2 m = 2(R r), Ω m = v m r, J=2 5 mr2, mgh= 1 2 mv2 m+ 1 2 JΩ2 m= mv2 m, l =2R. x m vm h Obr. 25 R r r x 2 m mg 2(R r) = mω2 x 2 5g m, ω= 7(R r), T=2p 7(R r) 5g. 23

24 Literatura [1] Lepil, O.: Fyzika pro gymnázia. Mechanické kmitání a vlnění. Prometheus, Praha 1994 [2] Šedivý, P.: Modelování pohybů numerickými metodami. Knihovnička fyzikální olympiády č. 38, MAFY, Hradec Králové 1999 [3] Vybíral, B.: Řešení kmitavých soustav užitím energie. Studijní text 13. ročníku FO, 1971 [4] Košťál, R.: Jednoduchý kmitavý pohyb. Studijní text 18. ročníku FO, 1976 [5] Košťál, R.: Jednoduchý kmitavý pohyb II. Studijní text 19. ročníku FO,