MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek. BAKALÁRSKA PRÁCE Povrchový plasmon - optimalizace kovové vrstvy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek. BAKALÁRSKA PRÁCE Povrchový plasmon - optimalizace kovové vrstvy"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek BAKALÁRSKA PRÁCE Povrchový plasmon - optimalizace kovové vrstvy Michala Henzlová Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Eduard Schmidt, CSc. 2008

2 Ráda bych poděkovala prof. RNDr. Eduardu Schmidtovi, CSc. za odborné vedení a rady při řešení problémů. Dále bych ráda poděkovala Ing. Stanislavu Valendovi za přípravu vzorků, RNDr.Aloisi Nebojsovi za pomoc při technickém zabezpečení experimentu a Silvii Bernatové za to, že mi pomohla se s experimentem vypořádat. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne Michala Henzlová

3 Zadání bakalářské práce: Úkolem je optimalizovat parametry tenké kovové vrstvy pro konstrukci biodetektoru, který pracuje na principu povrchového plazmonu. Jedná se o variantu s konstantní vlnovou délkou a závislostí na úhlu dopadu v různých variantách.

4 Abstrakt: Tato práce se zabývá problematikou povrchového plazmonu. Jedná se o jev, který může nastat při dopadu polarizovaného světla na rozhraní dielektrika a kovu. Práce je zaměřena na výpočet parametrů takové kovové vrstvy, která bude vhodná pro aplikaci povrchového plazmonu jako biodetektoru. Výpočet je založen na výpočtu Fresnelových koeficientů. Byly určeny optimální tloušťky dostupných kovů. Dále byly vypočítány parametry teoretické optimální vrstvy. Klíčová slova: povrchový plazmon, Fresnelovy koeficienty, tenká vrstva, kov Abstract: The thesis deals with issue of surface plasmon polariton. The surface plasmon polariton is a phenomenon which may occur by an impact of polarized light into dileletric - metal interface. The thesis deals with computing of parameters of an optimal metal layer for an application as a biodetector. The calculation is based on computation with Fresnel. In the thesis the optimum thickness of real metal layers was determined. Parameters of theoretically ideal metal layer was calculated. Keywords: surface plasmon polariton, Fresnel coefficients, thin layer, metal

5 Obsah Úvod 3 1 Světlo Maxwellovy rovnice Optické rozhraní prostředí Zákon odrazu a lomu Fresnelovy koeficienty Tenká vrstva 9 2 Povrchový plazmon Povrchový plazmon jako biodetektor Citlivost polohy minima v úhlové závislosti na parametrech soustavy Výpočet Ideální tloušťka vrstvy Soustava vrstev Optimální kovová vrstva 18 4 Měření Tenká vrstva kovu proti tlusté vrstvě mědi Stříbro Hliník Zlato Měď Tenká vrstva kovu na dvou stěnách hranolu Stříbro - měď Stříbro - zlato Měď - zlato 32 1

6 Závěr 34 Literatura 35 2

7 Úvod Při dopadu polarizovaného (p - polarizace) světla na soustavu sklo - tenká kovová vrstva - prostředí za vrstvou dochází pro určité parametry soustavy k jevu, který se nazývá povrchový plazmon. Pokud má vrstva vhodné parametry (jedná se o vhodný kov, který má vhodnou tloušťku), potom lze najít v grafu závislosti intenzity odraženého světla na úhlu (p dopadu na vrstvu výrazný pokles intenzity. Vznikne tak výrazné minimum. Tomuto minimu odpovídá povrchový plazmon. Poloha minima je velmi citlivá na index lomu prostředí za vrstvou. Tohoto faktu je možné využít v biologických měřeních, kde lze povrchový plazmon použít jako biodetektor. V práci se budeme zabývat hledáním takové kovové vrstvy, která bude vhodná pro aplikaci v biodetektoru. Výpočet bude založen na hledání maximální hodnoty parciální derivace vypočítané závislosti relativní intenzity podle indexu lomu prostředí za vrstvou v bodě odpovídající danému indexu lomu prostředí. Většina teoretických výpočtů je s ohledem na aplikaci provedena pro případ, že je za vrstvou voda. Výpočet teoretické závislosti je proveden na základě výpočtů Fresnelových koeficientů při průchodu světla soustavou. V kapitole 1 si připomeneme základní vztahy pro elektromagnetické vlnění. V kapitole 2 uvedeme některé důležité vlastnosti povrchového plazmonu. V kapitole 3 budeme teoretickým výpočtem určovat nejvhodnější tloušťky vrstev reálných kovů pro měření na vzduch a ve vodě. K tomuto výpočtu budou použity programy, které vycházejí z programů napsaných jako součást práce [3]. V další části kapitoly budeme také s pomocí těchto programů výpočtem hledat takovou soustavu vrstev kovů (napařených na sobě), která je vhodnější než jakýkoli samotný kov. V poslední části této kapitoly najdeme teoreticky ideální kov pro aplikaci povrchového plazmonu jako biodetektoru. V kapitole 4 ověříme, zda se naše teoreticky vypočítané závislosti relativní intenzity (na vzduchu) shodují s experimentem. 3

8 Kapitola 1 Světlo Světlo je elektromagnetické vlnění. K jeho popisu lze tedy použít Maxwellovy rovnice, jimiž se budeme zabývat v této kapitole. V celé kapitole budou vektory vyznačeny tučným řezem. Komplexní čísla budou označena vlnovkou (ň). 1.1 Maxwellovy rovnice V homogenním, izotropním, nemagnetickém prostředí neobsahujícím náboje (p = 0) mají Maxwellovy rovnice tvar V-E = 0, (1.1) VB = 0, (1.2) db V x E ^ - ^. (1.3) VxB = <9E /li + iie, (1.4) kde E je vektor elektrické intenzity, B je vektor magnetické indukce, p je hustota náboje, ^ = (Jsč> ít> Jz)' J J e nus^ota elektrického proudu. Konstanta e je permitivata prostředí, /j, je permeabilita prostředí. Hodnoty těchto konstant jsou pro vakuum e 0 = 8, C 2 N- 1 m- 2, (1.5) Ho = 4vr- lo^tma" 1. (1.6) Zobecněný Ohmův zákon má tvar j = ae, (1.7) 4

9 kde a je měrná elektrická vodivost prostředí. Rovnici (1.17) můžeme upravit <9E V x B = fiae + ßt. (1.8) Rovnice (1.16) a (1.8) zleva vektorově vynásobíme operátorem V. Využijeme identitu V x (V x a) = V- (V-a)- Aa, (1.9) kde A = V 2 je Laplaceův operátor. Rovnice (1.16) a (1.8) přepíšeme V-(V-E)-AE = -A(VxB), (1.10) V-(V-B)-AB = ßo (V x E) + ßt^- (V x E). (1.11) Do těchto rovnic dosadíme z (1.1), (1.2), (1.16) a (1.8). Po upravení <9 2 E de AE = fie W + ßa^t ' <9 2 B db AB = " e 3r + '"ěr (L12) (1 ' 13) Tvar těchto rovnic odpovídá vlnové rovnici s tlumicím členem. Tedy vlně šířící se absorbujícím prostředím. Pro monochromatické pole s úhlovou frekvencí u můžeme řešení předpokládat ve tvaru Maxwellovy rovnice (1.16) a (1.8) můžeme potom přepsat Rovnice (1.12), (1.13) přejdou do tvaru E(r,í) = E(r,w)exp(-iwr), (1.14) B (r, ŕ) = B(r,o;)exp(-ia;í). (1.15) V x E = -ÍUJB, (1.16) VxB = n(a-\ue)e. (1.17) AB = -ßu 2 (e + i-) B, AE = -ßu 2 (e + i Označíme-li k 2 = ßu 2 (e + i-), (1.18)

10 můžeme psát AE + fc 2 E = 0, AB + fc 2 B = 0. (1.19) Rovnice (1.19) formálně odpovídají vztahům v nevodivém prostředí, tedy v prostředí, kde o = 0. V takovém prostředí má k význam vlnového čísla. Ve vodivém prostředí je k komplexní číslo, budeme jej nazývat komplexní vlnové číslo. Komplexní permitivita bude ě = e + i^. Fázová rychlost je definovaná v = -7=, komplexní index lomu můžeme napsat ň=- = J~uč=-k. (1.20) v OJ Pro komplexní index lomu bude platit (po dosazení (1.18) do (1.20)) následující vztah ;2 _ 2 a 1.2 Optické rozhraní prostředí h z = c> e + i- (1.21) Optickým rozhraním prostředí rozumíme plochu, kde se stýkají prostředí s různými optickými vlastnostmi. V této podkapitole se budeme zabývat interakcí elektromagnetického vlnění s takovým rozhraním. V části budeme definovat zákon odrazu a lomu. Tyto dva zákony jsou pro optiku velmi důležité. V části se budeme zabývat odrazivostí a propustností povrchů Zákon odrazu a lomu Elektromagnetická vlna se může od rozhraní s různými optickými vlastnostmi odrazit (zákon odrazu), nebo jím může projít (zákon lomu). Na obrázku 1.1 je zobrazen lom a odraz světelného paprsku na rozhraní materiálů o indexech lomu rii a n t. Všechny tyto paprsky (dopadající, odražený, lomený) leží ve stejné rovině - v rovině dopadu. Platí, že rovina odrazu a rovina lomu jsou totožné s rovinou dopadu. Zákon odrazu UJ ô r = ôi, (1.22) kde 6i značí úhel dopadajícího světelného paprsku a 9 r je úhel, pod kterým se paprsek od povrchu rozhraní odrazí. V optice odečítáme úhly, které svírá paprsek s kolmicí na povrch (obrázek 1.1). 6

11 Obrázek 1.1: Zákon odrazu a lomu. Snellův zákon (zákon lomu) zní rii sin [91) = nt sin [9t (1.23) kde rii je index lomu prostředí, ze kterého paprsek vstupuje do prostředí s indexem lomu ntl 9t je úhel, pod kterým se paprsek lomí Fresnelovy koeficienty Pro vektory elektrické intenzity a magnetické indukce musí na rozhraní dvou materiálů platit následující podmínky (je-li nulová plošná hustota náboje a proudů) n (eiei - e 2 E 2 ) = 0, n.(bi-b2) = 0, n x (Ei - E2) = o, n x (yuibi - ^ 2 B 2 ) = 0. (1.24) (1.25) (1.26) (1.27) Tyto podmínky jsou odvozeny např. v [6]. Na obrázku 1.2 je znázorněn odraz vlnění. Osa x je orientovaná kolmo k ploše nákresu. Vektor elektrické intenzity můžeme napsat jako součet dvou vektorů. Vektoru v rovi ně dopadu (p - polarizace) a vektroru kolmého na tuto rovinu (s - polarizace). Označíme Ei elektrickou intenzitu vstupujícího světla, Er odraženého světla a Et elektrickou intenzi tu prošlého světla. Polarizaci elektrické intenzity označíme horním indexem v závorce (E^ odpovídá 5-polarizaci, E^ odpovídá p-polarizaci). Vektor elektrické intenzity, vektor magne tické indukce a vlnový vektor jsou na sebe navzájem kolmé. Orientujeme osy dle obrázku 1.2. Potom můžeme vektory elektrické intenzity rozepsat do tvaru Ei = xe^+ Elp)(y cosier-ž smiei)), E r = xels) + E (yco8(er) + žsm(er)), (1.28) (1.29) xeís) + EÍp)(ýcos(6t)-Žsm(et)) (1.30) Et = 7,

12 Obrázek 1.2: Odraz a lom světla. Obrázek převzat z [4], str. 56 kde x, ý, ž značí jednotkové vektory v kladných směrech jednotlivých os. Musí být splněna hraniční podmínka (). Dosazením do () dostaneme n - (E, + E r - E,) = 0, (1.31) XE\S) + yelp) cos(0i) + xels) + ye^ cos(9r) - xe{ts) - ye? cos(0ť) = 0. (1.32) Protože x a ý jsou navzájem kolmé vektory, musí platit (použijeme rovnost (1.22)) «E< t 'EV p) P) + < ) cos(öi) = E\? (1.33) cos(9t). (1.34) Předpokládáme rovinou vlnu. Vektor magnetické intenzity má tvar B = B 0 exp (k r uot), (1.35) kde r je polohový vektor, k je vlnový vektor a o; je úhlová frekvence vlnění. Po dosazení do Maxwellovy rovnice (1.16) B ^ ^ i x E, U (1.36) c kde n je index lomu prostředí, k značí jednotkový vektor ve směru vlnového vektoru a c je rychlost světla ve vakuu. Vektory magnetické indukce můžeme potom zapsat -xef + E\a) (y cos(6i) - ž s i n ^ ) ) B, = Br { s) = (xe - E r {ycos{or) + žsin(0 r ))), Br = c xef?(p) + Ef?(s) (ýcos(oť) - žsin(0ť)) (1.37) (1.38) (1.39)

13 Dosadíme do hraniční podmínky (1.27) (permeabilita je na obou stranách rozhraní stejná) V± {-ÍE^ + ýe\ s) cos(^)) + ^ (xe - ýe^ cos(9 r )) - ^ {-xe^ + ýe { t s) cos(0 t )) = 0. Z toho vyplývá, že musí platit (platí rií = n r ) (1.40) ruffi-em) = n t Ef\ (1.41) TU ( ^ cos(öi) - El 8) cos(9 r )^j = n t E\ s) cos(0 t ). (1.42) Fresnelovy koeficienty jsou definovány jako podíl elektrické intenzity odraženého, resp. prošlého světla, a intenzity dopadajícího světla. Určují se zvlášť pro s-polarizaci ap-polarizaci. Fresnelovy koeficienty získáme úpravou (1.33), (1.42), (1.34) a (1.41). E { r s) Tli cos 9i - n t cos t r s = -7^ =, a, _ a > ( L43 ) Bí" 77.Í COS oj + n t cos 0 t <*> 2^Í cos t #> rii cos oj + nt cos 9t p(p) rii cos 0 t rit cosi r P =^ = r::\7::, *> rii cos 9t + n t cos oj ;i.44) a^) EÍ" _ Irii cos t tp = r^ = ň TT 5 > (1.46) p E {P) y rii cos 9 t + n t cos 9i ' kde dolní index u r a ŕ značí danou polarizaci. Tyto koeficienty budou základem našeho výpočtu Tenká vrstva Budeme se zabývat výpočtem poměru elektrické intenzity odraženého a vstupujícího světla p5i odrazu na tenké vrstvě. Prostředí, ze kterého světlo vstupuje, označíme indexem 0, prostředí tenké vrstvy indexem 1 a prostředí za vrstvou indexem 2. Indexy 01 u Fresnelových koeficientů znamenají rozhraní 0-1, indexy 10 rozhraní 1-0 a indexy 12 rozhraní 1-2. Do výpočtu je třeba zahrnout vícenásobný odraz světla na rozhraních. Elektrická intenzita odraženého světla bude E r =, ir 0 i + -E'iíoi^i2Íioexp(27ri/Ani2dcosoi) + 'iíoi^i2^io^i2íioexp(27ri/ani4dcosoi) (1.47) 9

14 Jedná se o nekonečný součet, který můžeme zapsat E r roi^i2íioexp(27ri/ani2(icos6, i) Ei 1 riori2 exp(27ri/ani2(icos6, i) kde A je vlnová délka světla a ri\ je index lomu vrstvy. 10

15 Kapitola 2 Povrchový plazmon Plazmon je označení pro kvantum kolektivních podélných excitací plynu vodivostních elek tronů v kovu. Tato definice pochází z [10], str Povrchový plazmon lze vybudit při odrazu světla na vrstvě na soustavě dielektrikum kovová vrstva - prostředí za vrstvou. Výskyt tohoto jevu je závislý na parametrech soustavy. Na indexech lomu hranolu, kovové vrstvy a indexu lomu prostředí, které je za vrstvou, na tloušťce vrstvy, vlnové délce použitého světla úhlu dopadu světla na vrstvu. Vybuzení plazmnu se projevuje prudkým poklesem intenzity světla, odraženého od daného rozhraní. Takový pokles lze pozorovat při měření spektrální závislosti odrazivosti nebo při měření závislosti na úhlu dopadu. Uhlová závislost intenzity odraženého světla je obvykle měřena v Kretschmannově kon figuraci (obrázek 2.1a). Měření v této práci bylo prováděno v konfiguraci dle obrázku 2.1b. Obrázek 2.1: Možné konfigurace pro měření závislosti odrazivosti na úhlu dopadu, a) Kretschmannova kon figurace, b) konfigurace, ve které jsme měřili. Výhodou měření v konfiguraci dle obrázku 2.1b je, že můžeme provádět měření při použití jednoho zdroje (laseru) a jednoho detektoru, aniž bychom s nimi museli pohybovat. Toho lze dosáhnout tak, že budeme měřit intenzitu světla, které hranolem prošlo dvakrát - tam a zpět. Při prvním průchodu světlo z laseru prochází hranolem, druhý průchod je po odrazu 11

16 od zrcátka. Zrcátko je nastaveno tak, že na něj světlo z hranolu dopadá kolmo po celou dobu měření. Odražený paprsek od zrcátka opíše v hranolu stejnou trajektorii. Při měření se otáčí pouze hranol. Obrázek 2.2: Znázornění chodu paprsků v hranolu. 2.1 Povrchový plazmon jako biodetektor Poloha minima je velmi citlivá na změny parametrů soustavy. Vysoká citlivost polohy maxima na změně indexu lomu prostředí za vrstvou je využívaná při aplikaci jako biodetektor. Ze změny inetnzity odraženého světla lze určit změnu indexu lomu látky a tím určit případné reakce v roztoku. Více o této problematice lze nalézt například v [12]. Na obrázku 2.3 je zobrazena poloha minima pro tři hodnoty indexu lomu n p za vrstvou. 2.2 Citlivost polohy minima v úhlové závislosti na parametrech soustavy V grafech závislostí na obrázcích 2.4 a 2.5 je zobrazeno, jak se změní poloha a tvar minima, když změníme parametry soustavy. Budeme zkoumat změnu polohy minima v závislosti na změně indexu lomu vrstvy a na změně její tloušťky. Index lomu prostředí za vrstvou je n p = 1,33. 12

17 0.6 h 0.3 h Obrázek 2.3: Změna polohy minima při změně indexu lomu prostředí za vrstvou. 13

18 Obrázek 2.4: Změna polohy minima při změně indexu lomu vrstvy (vlevo reálná část, vpravo imaginární část indexu lomu). 0 I v // Obrázek 2.5: Změna polohy minima při změně tloušťky vrstvy. 14

19 Kapitola 3 Výpočet V programu MATLAB jsme počítali parametry vrstvy, která by byly nejvhodnější pro aplikaci jako biodetektor. Princip biodetektoru je založen na tom, že sleduje změnu odrazivosti v závislosti na změně indexu lomu. Hledali jsme tedy takovou vrstvu, u které je změna odrazivosti co nejcitlivější na změnu indexu lomu prostředí za vrstvou. Odrazivost závisí na úhlu dopadu tp, na optických vlastnostech (indexu lomu n v ) a tloušťce d v kovové vrstvy, na indexu lomu prostředí za vrstvou n p, hranolu rih a na vlnové délce A použitého světla. Měli jsme k dispozici hranol ze skla BK7. Index lomu skla BK7 je rih = Použitý laser měl vlnovou délku A = 633 nm. Celý výpočet jsme prováděli pro tyto hodnoty. Všechny ostatní výše uvedené parametry zůstaly proměnné. Maximalizovali jsme citlivost odrazivosti R(íp, ň v, d v, n p ) na změnu indexu lomu n p pro vodu, tedy pro n p = 1,33. V některých výpočtech jsme provedli maximalizaci citlivosti odrazivosti i pro změnu indexu lomu vzduchu (n = 1). Takový výpočet je v části 3.1. Hledali jsme maximální hodnotu derivace funkce R(íp, ň v, d v, n p ) podle indexu lomu n p v bodě n p = 1,33. K tomuto výpočtu byla vytvořena funkce derivace.m, která vychází z funkce dvapruchody.m. Funkce dvapruchody. m provádí výpočet funkce R(íp, ň v, d v, n p ), tedy počítá, jaká část vstupující světla do hranolu se při průchodu hranolem v našem uspořádání dostane do detektoru. Výpočet je založen na výpočtu Fresnelových koeficientů pro jednotlivá materiálová rozhraní. Vstupními parametry této funkce jsou vektor indexů lomu vrstev na hranolu, vektor složený z jednotlivých tlouštěk těchto vrstev, úhel dopadu světla na hranol (ve stupních) a index lomu prostředí za vrstvou n p. Tato funkce využívá funkcí Fresnel.m, Rp.m, Rs.m, Vp.m a Vs.m. Tyto funkce byly vytvořeny jako součást práce [3]. Vstupními parametry funkce derivace.m jsou vektor indexů lomu vrstev na hranolu, vektor tlouštěk těchto vrstev a úhel dopadu světla na hranol (ve stupních). Index lomu prostředí za vrstvou, tedy bod, ve kterém je derivace počítána, je potřeba nastavit přímo ve funkci. K nalezení maxima derivace jsme vytvořili program maxder. m, který hledá lokální maximum 15

20 funkce více proměnných. V kapitole 3.1 hledáme optimální tloušťku vrstev dostupných kovů. Je to zlato, stříbro, měď a hliník. Tento výpočet provedeme zvlášť pro vodu za vrstvou, zvlášť pro vzduch. V kapitole 3.2 se zabýváme problematikou soustavy vrstev napařených na sobě a hledáme takovou kombinaci kovů, která by byla pro aplikaci plazmonu nejvíce vhodná. V kapitole 3.3 se přestáváme omezovat na reálné kovy a optimalizujeme všechny parametry funkce. Hledáme maximum parciální derivace odrazivosti podle n p v bodě n p = 1,33. Cílem této části je zjistit, jaké optické konstanty má ideální kov pro tuto aplikaci. Hodnotu maximální derivace označíme D m. V tabulce 3.1 jsou hodnoty indexu lomu kovů pro vlnovou délku světla A = 633 nm udávané v [8] a z nich vypočítané hodnoty konstant \, 2 pro tuto vlnovou délku. Tabulka 3.1: Optické konstanty kovů odpovídající vlnové délce světla A = 633 nm. kov n k 1 2 Ag 0,135 3,992-15,91 1,08 AI 1,374 7,620-56,18 20,95 Cu 0,248 3,418-11,62 1,70 Au 0,182 2,964-8,75 1, Ideální tloušťka vrstvy Pomocí programu maxder.m jsme určili polohu maximální derivace a její hodnotu pro jednotlivé kovy. V první části tabulky tabulky 3.2 jsou tyto hodnoty pro vodu, v druhé části pro vzduch. Tabulka 3.2: Úhel dopadu odpovídající maximální derivaci a optimální tloušťka vrstvy pro n p = 1, 33 a n p = 1. voda, n p = 1, 33 vzduch, rip = 1 kov J-^m,voda vv d/nm J-^m,vzduch vv á/nm Ag 60,15-35,64 61,7 124,42 3,48 61,8 AI 56,89-26,80 18,0 109,89 5,34 17,9 Cu 22,37-39,03 56,3 45,96 2,81 58,4 Au 20,82-47,61 64,2 39,22 1,62 70,4 16

21 Tloušťky dmivoda a dmivzduch se u jednotlivých kovů příliš neliší. Nejvíce se liší pro zlato, kde je rozdíl tlouštěk 6nm. Na grafech zobrazených na obrázcích 3.1 a 3.2 je zobrazeno, jak se mění relativní inten zita a derivace při změně tloušťky vrstvy pro stříbro, zlato, měď a hliník. Tyto grafy jsou vykresleny pro index lomu prostředí za vrstvou n p = 1, 33. Relativní intenzita Relativní intenzita Derivace III - ^J" 25-70, -65 '^ Obrázek 3.1: Závislost relativní intenzity a derivace na úhlu dopadu pro různé tloušťky stříbra (vlevo) a zlata (vpravo). 17

22 Relativní intenzita Relativní intenzita xf^~ 0.2 ^^^^y iii o: 0.4 Obrázek 3.2: Závislost relativní intenzity a derivace na úhlu dopadu pro různé tloušťky mědi (vlevo) a hliníku (vpravo). 3.2 Soustava vrstev Hledali jsme takovou kombinaci vrstev, která by byla lepší, než samotné kovy. Nejvyšší derivace vychází pro stříbro, hledali jsme tedy kombinaci vrstev, pro něž by byla derivace větší, než pro samotné stříbro. V tabulce 3.3 jsou hodnoty derivací pro všechny dvojice kovů. Uvedli jsme vždy maximální derivaci a ve dvou případech ještě jedno lokální maximum. Z tabulky vyplývá, že žádné dvojici kovu nepřísluší vyšší derivace, než samotnému stříbru. Vhodnou kombinaci vrstev, splňující podmínku, že maximální derivace bude větší než pro samotné stříbro, lze najít až pro tři vrstvy. Jedná se o soustavu stříbro - hliník - stříbro. Tloušťky jednotlivých vrstev jsou G?Ag,i = 12,2nm, Ú?AI = 8,3nm, G?Ag,2 = 29,5nm. Na obrázku 3.3 je porovnání úhlové závislosti odrazivosti pro tuto kombinaci se samotným stříbrem. 3.3 Optimální kovová vrstva Nyní se budeme zabývat hledáním takových parametrů vrstvy (optických konstant a tloušťky), abychom dostali co největší hodnotu parciální derivace podle indexu lomu np prostředí za vrstvou v bodě np = 1,33. K tomuto účelu byla napsána funkce opt.m. Tato funkce počítá relativní intenzitu světla po průchodu soustavou zobrazenou na obrázku 3.4. Světlo dopadá na kulovou plochu kolmo, nedochází tedy k lomu na této ploše a celý problém výpočtu se tím výrazně zjednoduší. Oproti funkci dvapruchody. m počítá tato funkce pouze s jednou 18

23 Tabulka 3.3: Kombinace dvou vrstev. kovy L>m vv di/nm (I2/11111 Ag-Al 60,15-35,637 61,7 0 58,08-26,822 4,9 16,6 Ag-Au 60,15-35,637 61,7 0 Ag-Cu 60,15-35,637 61,7 0 AI-Ag 60,15-35, ,7 55,76-33,704 14,7 23,9 Au - Ag 60,15-35, ,7 Cu-Ag 60,15-35, ,7 AI-Au 56,89-26,802 18,2 0 Al-Cu 56,89-26,802 18,0 0 Au-AI 56,94-26,803 1,2 17,8 Cu-Al 57,00-26,805 1,6 17,6 Cu -Au 22,37-39,028 56,3 0 Au- Cu 22,78-39,115 10,7 46,8 vrstvou. Počítání s maticemi malých čísel by ve výpočtu mohlo vytvářet chybu. Funkce opt. m je přepracovaný program plasmonľ.m napsaný prof. Schmidtem. K počítání derivace funkce jsme upravili program derivace.m. Název upraveného programu je derivaceopt.m. Parametry této funkce jsou reálná a imaginární část indexu lomu vrstvy, tloušťka vrstvy a úhel dopadu světla na rozhraní hranol - vrstva. K výpočtu maxima této funkce jsme upravili program maxder.m na maxderopt.m. Výstupem tohoto programu je hodnota maxima funkce derivaceopt. m a vektor hodnot jednotlivých parametrů, pro které funkce nabývá této hodnoty. Numerickou derivaci počítáme s krokem h = 10~ 5. Počítáme první centrální diferenci (viz [11], str. 63). Hodnoty funkce opt.m nabývají hodnot od nuly do jedné, tedy maximální možná hodnota numerické derivace je D m = Při výpočtu jsme dosáhli maximální možné derivace. Tato hodnota derivace vyšla pro úhel dopadu na vrstvu cp = 68, Hodnoty jednotlivých parametrů vrstvy jsou n= 1,26-10" 9, k = 4, , d =266,6. 19

24 Relativní intenzita CĹ 0.4 Derivace 100 i i Ag + Al + Ag A 9 50 """""^- ;:s! >»-^«M.. / I I -40 I Obrázek 3.3: Závislost relativní intenzity a derivace podle np v np = 1, 33 pro stříbrnou vrstvu a pro soustavu vrstev Ag+Al+Ag. Skleněná polokoule Prostředí pod vrstvou Obrázek 3.4: Průchod paprsku polokulovou plochou. Znázornění funkce čtyř proměnných by bylo poněkud nesnadné. Na obrázcích je zo brazeno, jak se mění hodnota derivace v závislosti na jednotlivých parametrech, když ostatní parametry jsou konstantní, rovny vypočítaným ideálním hodnotám. Při změně imaginární části k indexu lomu vrstvy už na devátém platném místě, dosáhneme výrazného poklesu hodnoty derivace. Pro lepší přehlednost jsme graf závislosti na k upravili 20

25 na graf závislosti derivace na k 0, kde k 0 = (k 4, 003) Ze stejného důvodu zobrazíme místo závislosti na úhlu dopadu závislost závislost na ((p 68, ) Obrázek 3.5: Závislost derivace na indexu lomu vrstvy. Vlevo na reálné části, vpravo závislost na devátém platném místě imaginární části. Obrázek 3.6: Vlevo závislost hodnoty derivace na tloušťce vrstvy, vpravo na devátém platném místě úhlu dopadu. 21

26 Z grafů na obrázcích a je zřejmé, že hodnota maxima derivace, které jsme nalezli, je velmi citlivá na změny parametrů vrstvy. Při velmi malé změně hodnoty indexu lomu nebo úhlu dopadu na vrstvu začne hodnota derivace prudce klesat. Úhel dopadu na hranol bychom museli měřit s přesností řádově (10 _7 ). To v reálných podmínkách není možné. 22

27 Kapitola 4 Měření Měřili jsme v uspořádání, které je zobrazeno na následujícím obrázku. Toto uspořádání je vhodné zejména proto, že lze změřit úhlovou závislost aniž bychom museli pohybovat s detektorem nebo zdrojem světla. Pohybuje se pouze hranol. Pohyb hranolu byl ovládán počítačovým programem, který umožňuje nastavení úhlového rozsahu měření. Používali jsme laser s vlnovou délkou A = 633 nm. Povrchový plazmon je vybuzen světlem p-polarizace. Polarizátory byly nastaveny tak, abychom měřili jen tuto polarizaci. Uspořádání experimentu je znázorněno na obrázku. Svazek byl rozdělen dělicí kostkou na dvě části. Pro nás je důležitá pouze část, která prošla přímo kostkou. Světlo se v hranolu odrazí od stěn 1, 2 a z hranolu pokračuje ve směru rovnoběžném se vstupním paprskem. Na zrcátko světlo dopadá kolmo, po odrazu od zrcátka, tedy bude trajektorie světelného svazku stejná, jako před dopadem na zrcátko. Síření bude opačné. Dělicí kostkou je svazek opět rozdělen na dvě části. Část svazku, které byl změněn směr šíření, dopadá do detektoru. Měření jsme prováděli pro různé vrstvy kovů. Vrstvy nebyly napařeny přímo na hranol, ale na sklíčka ze stejného skla, jako je hranol (BK7, n = 1,515). Ta jsme na hranol připevnili hřebíčkovým olejem, který má tu vlastnost, že má téměř stejný index lomu jako BK7 (rih.o. = 1,537). Na rozhraních (hranol-olej, olej-sklíčko) téměř nedocházelo k lomu ani odrazu světla. V následujících částech kapitoly jsou naměřené úhlové závislosti odrazivosti R(if)) pro jednotlivé kovy. Jedná se o poměr intenzity světla po průchodu soustavou a internzity před průchodem. Hodnoty R(if)) tedy nabývají hodnot od 0 do 1. Detektor snímá dopadající intenzitu světla, tu převádí na elektrickou veličinu - napětí. Naměřené závislosti jsme tedy museli normovat, abychom je mohli porovnávat s teoretickými křivkami. Naměřenými křivkami jsme prokládali funkci dvapruchody2.m. K tomu jsme využili funkce MATLABU Isqcurvef it. Parametry proložené křivky jsou index lomu vrstvy a tloušťka vrstvy. Vrstvy byly napařeny tak, aby se jejich tloušťka co nejvíce shodovala s teoreticky ideální 23

28 tloušťkou určenou v předchozí kapitole. Měřili jsme závislosti pro zlato, stříbro, měď a hliník. Výhodou konfigurace, ve které jsme měřili je mimo již zmíněné možnost použití referenčního kovu. Jak je naznačeno na obrázku 2.1b, můžeme kovovou vrstvu napařit na obě stěny hranolu. Vzniknou nám tak dvě minima, z nichž jedno můžeme použít jako referenční (za vrstvou bude konstantní index lomu) a vůči tomuto minimu sledovat změnu polohy druhého minima. Takovým způsobem můžeme sledovat změny indexu lomu látky pod druhou vrstvou. Není-li vrstva na jedné ze stěn napařena, vznikne v grafu závislosti prudký pokles intenzity, který odpovídá porušení totálního odrazu na stěně bez vrstvy. Tohoto poklesu lze též využít jako referenčního bodu. Nevýhodou této konfigurace je, že nelze měřit příliš vysoké úhly dopadu na hranol. To je způsobeno geometrií hranolu. Jak již bylo řečeno dříve, poloha minima je velmi citlivá na index lomu prostředí za vrstvou. Je-li prostředím za vrstvou vzduch s indexem lomu n p = 1, vychází poloha minima v rozmezí (1-6). Pro zlato je tento úhel dokonce menší, než 2. Dáme-li ale za vrstvu vodu (s indexem lomu n = 1,33), minimum se výrazně posune. Rozmezí úhlů pro použitelné kovy je nyní ( ). Takové úhly ale v tomto uspořádání nemůžeme naměřit. Veškerá měření v této kapitole jsou provedenana vzduchu. Nejprve jsme na stěnu 1 hranolu připevnili sklíčko s tlustou vrstvou mědi. Na stěnu 2 jsme poté přikládali postupně sklíčka s tenkými vrstvami kovů. Závislosti odrazivosti na úhlu dopadu pro tyto konfigurace jsou v části 4.1. Dále jsme na stěnu 1 i stěnu 2 přiložili sklíčka s tenkými vrstvami kovů. Měření v této konfiguraci je v části Tenká vrstva kovu proti tlusté vrstvě mědi V této kapitole jsou naměřeny závislosti R(íp, ň v, d v, n p ) pro tenkou vrstvu kovu na jedné stěně a tlustou vrstvu kovu na stěně druhé. Data, která jsou vykreslena v částech a byla naměřena jako součást práce [9] Stříbro Měřili jsme dva vzorky stříbra s různými tloušťkami. Z grafů je patrné, že vhodnější pro měření je vzorek B. To odpovídá teoretickému předpokladu, tloušťka vrstvy odpovídající proložené křivce je blíže teoreticky ideální tloušťce než u vzorku A. Pro parametry funkce zjištěné proložením jsme vykreslili teoretickou křivku a parciální derivaci podle n p (obrázek 4.4). U vzorku B je maximální derivace větší, než u vzorku A. 24

29 Laser Polarizátor Chopper Dělící kostka -Sa- Detektor Zrcátko v///////, Polarizátor Hranol Obrázek 4.1: Schéma uspořádání experimentu Hliník Měřili jsme tři hliníkové vzorky, které měly různé tloušťky. Na obrázku jsou pro určené parametry vrstev vykresleny závislosti parciální derivace podle n p na úhlu dopadu. Na prvním řádku grafů jsou závslosti odrazivostí. Na druhé řádku jsou závislosti parciální derivace. 25

30 Obrázek 4.2: Stříbrná vrstva - vzorek A, parametry vrstvy: n = 0, ,200i, d = 85 nm Obrázek 4.3: Stříbrná vrstva - vzorek B, parametry vrstvy: n = 0, ,030i, d = 78 nm 26

31 a: 0.55 / ^ í CĹ o o 10 V // l I I. I I O v // o 10 Obrázek 4.4: Nahoře teoretické křivky a dole parciální derivace, vlevo vzorek A, vpravo B Obrázek 4.5: Hliníková vrstva - vzorek A, parametry vrstvy: n = 1, ,900 i, d = 12 nm 27

32 Obrázek 4.6: Hliníková vrstva - vzorek B, parametry vrstvy: n = 0, ,996 i, d = 13 nm Obrázek 4.7: Hliníková vrstva - vzorek C, parametry vrstvy: n = 0, ,016 i, d = 15 nm 28

33 CĹ 0.4 CĹ 0.4 CĹ 0.4 Obrázek 4.8: Odrazivost (nahoře) a parciální derivace (dole) pro hliníkové vrstvy. Zleva vzorky A, B, C. 29

34 4.1.3 Zlato Obrázek 4.9: Parametry zlaté vrstvy: ň v = 0, ,071i,d = 60 nm Měď Obrázek 4.10: Parametry měděné vrstvy: ň v = 0, ,052i,d = 73 nm 30

35 4.2 Tenká vrstva kovu na dvou stěnách hranolu Vzhledem ke tvaru závislosti pro hliník jsme měřili kombinace pouze tří kovů (zlato, stříbro a měď). Naměřené závislosti jsou zobrazeny v jednotlivých částech této kapitoly. Každou naměřenou křivkou byla proložena teoretická křivka, jejíž parametry jsou u každého grafu uvedeny Stříbro - měď Na stěnu 1 jsme připevnili vzorek mědi, na stěnu 2 stříbrný vzorek B. Parametry proložené křivky jsou n Ag = 0, , 987i rc Cu = 0, ,171i (4.1) G?Ag = 79 nm d Cn = 74 nm / Obrázek 4.11: stříbro - měď 31

Zadání. Pracovní úkol. Pomůcky

Zadání. Pracovní úkol. Pomůcky Pracovní úkol Zadání 1. Najděte směr snadného průchodu polarizátoru užívaného v aparatuře. 2. Ověřte, že zdroj světla je polarizován kolmo k vodorovné rovině. 3. Na přiložených vzorcích proměřte závislost

Více

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009.

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. XXVI Název: Vláknová optika Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009 Odevzdal dne: Možný počet bodů

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška FYZIKA II Marek Procházka 1. Přednáška Historie Dělení optiky Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník VLNOVÁ OPTIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník Vlnová optika Světlo lze chápat také jako elektromagnetické vlnění. Průkopníkem této teorie byl Christian Huyghens. Některé jevy se dají

Více

Světlo jako elektromagnetické záření

Světlo jako elektromagnetické záření Světlo jako elektromagnetické záření Základní pojmy: Homogenní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti jsou ve všech místech v prostředí stejné. Izotropní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti

Více

Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem:

Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem: Truhlář Michal 3.. 005 Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8 Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem: T p 3, C 30% 97,9kPa Úkol: - Proveďte justaci hranolu a změřte

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

Název: Odraz a lom světla

Název: Odraz a lom světla Název: Odraz a lom světla Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika, Informatika) Tematický celek: Optika Ročník:

Více

5.3.3 Interference na tenké vrstvě

5.3.3 Interference na tenké vrstvě 5.3.3 Interference na tenké vrstvě Předpoklady: 530 Bublina z bublifuku, slabounká vrstva oleje na vodě, někteří brouci jasné duhové barvy, u bublin se přelévají, barvy se mění s úhlem, pod kterým povrch

Více

Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením.

Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením. Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením. Na čem závisí účinnost vedení? účinnost vedení závisí na činiteli útlumu β a na činiteli odrazu

Více

Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II

Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II Fyzika II Marek Procházka Vlnová optika II Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení složek vlnění s různou

Více

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA OPTIKA ZÁKLADNÍ POJMY Optika a její dělení Světlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla Odraz a lom světla Disperze (rozklad) světla OPTIKA

Více

Elektromagnetické vlnění

Elektromagnetické vlnění Elektromagnetické vlnění kolem vodičů elmag. oscilátoru se vytváří proměnné elektrické i magnetické pole http://www.walter-fendt.de/ph11e/emwave.htm Radiotechnika elmag vlnění vyzářené dipólem můžeme zachytit

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část Měření

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

MĚŘENÍ ABSOLUTNÍ VLHKOSTI VZDUCHU NA ZÁKLADĚ SPEKTRÁLNÍ ANALÝZY Measurement of Absolute Humidity on the Basis of Spectral Analysis

MĚŘENÍ ABSOLUTNÍ VLHKOSTI VZDUCHU NA ZÁKLADĚ SPEKTRÁLNÍ ANALÝZY Measurement of Absolute Humidity on the Basis of Spectral Analysis MĚŘENÍ ABSOLUTNÍ VLHKOSTI VZDUCHU NA ZÁKLADĚ SPEKTRÁLNÍ ANALÝZY Measurement of Absolute Humidity on the Basis of Spectral Analysis Ivana Krestýnová, Josef Zicha Abstrakt: Absolutní vlhkost je hmotnost

Více

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná.

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte tloušťku tenké vrstvy ve dvou různých místech. 2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 3. Okalibrujte

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Úkoly měření: 1. Odhad rozměrů mikro-objektů z informací uváděných výrobcem. 2. Záznam difrakčních obrazců (difraktogramů) vzniklých interakcí laserového

Více

Učební texty z fyziky 2. A OPTIKA. Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů. V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití

Učební texty z fyziky 2. A OPTIKA. Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů. V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití OPTIKA Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů Světlo je vlnění V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití Podstata světla Světlo je elektromagnetické vlnění Zdrojem světla

Více

Spektrometrické metody. Reflexní a fotoakustická spektroskopie

Spektrometrické metody. Reflexní a fotoakustická spektroskopie Spektrometrické metody Reflexní a fotoakustická spektroskopie odraz elektromagnetického záření - souvislost absorpce a reflexe Kubelka-Munk funkce fotoakustická spektroskopie Měření odrazivosti elmg záření

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Laboratorní práce č. 3: Měření vlnové délky světla

Laboratorní práce č. 3: Měření vlnové délky světla Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 3: Měření vlnové délky světla G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Gymnázium G Hranice Test

Více

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A]

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A] Pracovní úkol 1. Proměřte závislost magnetické indukce na proudu magnetu. 2. Pomocí kamery změřte ve směru kolmém k magnetickému poli rozštěpení červené spektrální čáry kadmia pro 8-10 hodnot magnetické

Více

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb 1 7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Co je to ohyb? 27.2 Ohyb Ohyb vln je jev charakterizovaný odchylkou od přímočarého šíření vlnění v témže prostředí. Ve skutečnosti se nejedná o nový jev

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

Vznik a šíření elektromagnetických vln

Vznik a šíření elektromagnetických vln Vznik a šíření elektromagnetických vln Hlavní body Rozšířený Coulombův zákon lektromagnetická vlna ve vakuu Zdroje elektromagnetických vln Přehled elektromagnetických vln Foton vlna nebo částice Fermatův

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/3.080 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 18.4.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem Abstrakt V

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. Marek Teuchner Příprava Opravy Učitel Hodnocení. 1 c p. = (ε r

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. Marek Teuchner Příprava Opravy Učitel Hodnocení. 1 c p. = (ε r FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Petr Švaňa Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 38 ID 155793 Lab. skup. Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Marek Teuchner 11. 3. 2013 25. 3.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 1.4.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Neživá příroda I. Optické vlastnosti minerálů

Neživá příroda I. Optické vlastnosti minerálů Neživá příroda I Optické vlastnosti minerálů 1 Charakter světla Světelný paprsek definuje: vlnová délka (λ): vzdálenost mezi následnými vrcholy vln, amplituda: výchylka na obě strany od rovnovážné polohy,

Více

1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge.

1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge. V1. Hallův jev Úkoly měření: 1. Změřte Hallovo napětí v Ge v závislosti na proudu tekoucím vzorkem, magnetické indukci a teplotě. 2. Stanovte šířku zakázaného pásu W v Ge. Použité přístroje a pomůcky:

Více

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky Úloha 6 02PRA2 Fyzikální praktikum II Ohniskové vzdálenosti čoček a zvětšení optických přístrojů Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky a principy optických přístrojů.

Více

Fabry Perotův interferometr

Fabry Perotův interferometr Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2 Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikum 2 Zpracoval: Markéta Kurfürstová Naměřeno: 16. října 2012 Obor: B-FIN Ročník: II Semestr: III

Více

Základním praktikum z optiky

Základním praktikum z optiky Úloha: Základním praktikum z optiky FJFI ČVUT v Praze #1 Polarizace světelného záření Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 10.3.2016 Spolupracoval: Obor / Skupina: 1. Úvod Alexandr Špaček FE / E Klasifikace:

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 25.3.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Mikrovlny Abstrakt V úloze je

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.3.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Ohniskové vzdálenosti a vady čoček a zvětšení

Více

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: V/2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných

Více

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne Příprava Opravy Učitel Hodnocení. Vlnové vlastnosti světla difrakce, laser

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne Příprava Opravy Učitel Hodnocení. Vlnové vlastnosti světla difrakce, laser FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Petr Švaňa Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 38 ID 155793 Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Lukáš Teuer 8.4.2013 22.4.2013 Příprava Opravy

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce kvadratická funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

ODRAZ A LOM SVĚTLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika

ODRAZ A LOM SVĚTLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika ODRAZ A LOM SVĚTLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika Odraz světla Vychází z Huygensova principu Zákon odrazu: Úhel odrazu vlnění je roven úhlu dopadu. Obvykle provádíme konstrukci pomocí

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Světlo 1) Světlo patří mezi elektromagnetické vlnění (jako rádiový signál, Tv signál) elmg. vlnění = elmg. záření

Světlo 1) Světlo patří mezi elektromagnetické vlnění (jako rádiový signál, Tv signál) elmg. vlnění = elmg. záření OPTIKA = část fyziky, která se zabývá světlem Studuje zejména: vznik světla vlastnosti světla šíření světla opt. přístroje (opt. soustavami) Otto Wichterle (gelové kontaktní čočky) Světlo 1) Světlo patří

Více

Fyzika aplikovaná v geodézii

Fyzika aplikovaná v geodézii Průmyslová střední škola Letohrad Vladimír Stránský Fyzika aplikovaná v geodézii 1 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění 1) Prázdná nenabitá plechovka je umístěna na izolační podložce. V jednu chvíli je do místa A na vnějším povrchu plechovky přivedeno malé množství náboje. Budeme-li

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

Měření závislosti indexu lomu kapalin na vlnové délce

Měření závislosti indexu lomu kapalin na vlnové délce Měření závislosti indexu lomu kapalin na vlnové délce TOMÁŠ KŘIVÁNEK Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno Abstrakt V příspěvku je popsán jednoduchý experiment pro demonstraci a měření závislosti

Více

Charakteristiky optického záření

Charakteristiky optického záření Fyzika III - Optika Charakteristiky optického záření / 1 Charakteristiky optického záření 1. Spektrální charakteristika vychází se z rovinné harmonické vlny jako elementu elektromagnetického pole : primární

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 18.4.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem Abstrakt V

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Elektřina a magnetismus UF/01100. Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112

Elektřina a magnetismus UF/01100. Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112 Elektřina a magnetismus UF/01100 Rozsah: 4/2 Forma výuky: přednáška Zakončení: zkouška Kreditů: 9 Dop. ročník: 1 Dop. semestr: letní Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112 Rozsah: 3/2 Forma výuky: přednáška

Více

Mikrovlny. 1 Úvod. 2 Použité vybavení

Mikrovlny. 1 Úvod. 2 Použité vybavení Mikrovlny * P. Spáčil, ** J. Pavelka, *** F. Jareš, **** V. Šopík Gymnázium Vídeňská Brno; ** Gymnázium tř. Kpt. Jaroše; *** Arcibiskupské gymnázium; **** Gymnázium Jeseník; pavelspacil@tiscali.cz; **

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Theory Česky (Czech Republic)

Theory Česky (Czech Republic) Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider

Více

Lasery základy optiky

Lasery základy optiky LASERY Lasery se staly jedním ze základních nástrojů moderních strojírenských technologií. Optimální využití laserových technologií předpokládá znalosti o jejich principech a o vlastnostech laserového

Více

5.1.3 Lom světla. vzduch n 1 v 1. n 2. v 2. Předpoklady: 5101, 5102

5.1.3 Lom světla. vzduch n 1 v 1. n 2. v 2. Předpoklady: 5101, 5102 5..3 Lom světla Předpoklady: 50, 50 Pokus s mincí a miskou: Opřu bradu o stůl a pozoruji minci v misce. Paprsky odražené od mince se šíří přímočaře ke mně, miska jim nesmí překážet v cestě. Posunu misku

Více

Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití:

Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití: Truhlář Michal 6.. 5 Laboratorní práce č.4 Úloha č. VII Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití: Úkol: Zapojte operační zesilovač a nastavte jeho zesílení na hodnotu přibližně. Potvrďte platnost

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj 2. Vlnění 2.1 Vlnění zvláštní případ pohybu prostředí Vlnění je pohyb v soustavě velkého počtu částic navzájem vázaných, kdy částice kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Druhy vlnění: vlnění příčné

Více

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Praktikum IV

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Praktikum IV Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum IV Úloha č. A13 Určení měrného náboje elektronu z charakteristik magnetronu Název: Pracoval: Martin Dlask. stud. sk.: 11 dne:

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 11: Termická emise elektronů

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 11: Termická emise elektronů FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 15.4.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Úloha 11: Termická emise elektronů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

O z n a č e n í m a t e r i á l u : V Y _ 3 2 _ I N O V A C E _ S T E I V _ F Y Z I K A 2 _ 1 4

O z n a č e n í m a t e r i á l u : V Y _ 3 2 _ I N O V A C E _ S T E I V _ F Y Z I K A 2 _ 1 4 O z n a č e n í m a t e r i á l u : V Y _ 3 2 _ I N O V A C E _ S T E I V _ F Y Z I K A 2 _ 1 4 N á z e v m a t e r i á l u : S v ě t l o j a k o v l n ě n í. T e m a t i c k á o b l a s t : F y z i k

Více

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE OPTIKA OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE - jeden z nejstarších oborů yziky - studium světla, zákonitostí jeho šíření a analýza dějů při vzájemném působení světla a látky SVĚTLO elektromagnetické vlnění λ = 380 790

Více

3.2.5 Odraz, lom a ohyb vlnění

3.2.5 Odraz, lom a ohyb vlnění 3..5 Odraz, lom a ohyb vlnění Předpoklady: 304 Odraz a lom vlnění na rozhranní dvou prostředí s různou rychlostí šíření http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=16.0 Rovinná vlna dopadá šikmo

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra optiky Jana Grézlová Obor: Digitální a přístrojová optika Optimalizace podmínek použití širokopásmových zrcadel a dichroických filtrů ve spektrometru

Více

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Měření indexu lomu kapalin a skel. obor (kruh) FMUZV (73)

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Měření indexu lomu kapalin a skel. obor (kruh) FMUZV (73) Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III. Úloha č. 24 Název: Měření indexu lomu kapalin a skel Pracoval: Lukáš Vejmelka obor (kruh) FMUZV (73) dne 17.2.2014 Odevzdal

Více

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV Materiál z přednášky dne 10/5/2010 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2. Coulombův zákon, orientace vektorů

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek

1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek 1 Pracovní úkoly 1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek (a) v zapojení s nesouhlasným směrem proudu při vzdálenostech 1, 16, 0 cm (b) v zapojení se

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký. Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený

Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký. Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený Jan Olbrecht Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený Jaký typ lomu nastane při průchodu světla z opticky

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více