CAPM atd. Martin Šmíd, listopad 2005

Transkript

1 CAPM atd. Martin Šmíd, ÚTIA AV ČR listopad 2005

2 Obsah 1. Výběr portfolia 2. CAPM s bezrizikovým aktivem 3. Empirické ověření CAPM Domácí úkol

3 Literatura E. Barucci. Financial Markets Theory. Springer, London, K. Cuthbertson. Quantitative Financial Economics. John Wiley & sons, New York, J. Dupačová, J. Hurt, and J. Štěpán. Stochastic Modelling in Economics and Finance. Kluwer, Dodrecht, 2002.

4 Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely?

5 Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely? Paul Krugman říká In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models.

6 Motto Má vůbec smysl zabývat se (matematickými) modely? Paul Krugman říká In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models. Jinými slovy: rozhodujeme se bud vědomě nebo nevědomě, výběr je na nás!

7 1. Výběr portfolia Předpoklady Agenti M agentů Wi - současné bohatství i-tého agenta ui (W) - užitek i-tého agenta z bohatství W

8 1. Výběr portfolia Předpoklady Agenti M agentů Wi - současné bohatství i-tého agenta ui (W) - užitek i-tého agenta z bohatství W Aktiva N aktiv ri náhodný normalizovaný výnos i-tého aktiva

9 1. Výběr portfolia Předpoklady Agenti M agentů Wi - současné bohatství i-tého agenta ui (W) - užitek i-tého agenta z bohatství W Aktiva N aktiv ri náhodný normalizovaný výnos i-tého aktiva i-tý agent řeší (předpokládejme existenci řešení) max Eu i (r w) (1) w R N,w 1=W i

10 Portfoliová hranice (PH) Střední výnos a směrodatné odchylky všech možných portfolíı tvoří tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola)

11 Portfoliová hranice (PH) Střední výnos a směrodatné odchylky všech možných portfolíı tvoří tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eu i (z) klesající s rostoucím Dz (D označuje rozptyl), pak optimální portfolio každého agenta leží na tzv. portfoliové hranici (PH).

12 Portfoliová hranice (PH) Střední výnos a směrodatné odchylky všech možných portfolíı tvoří tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eu i (z) klesající s rostoucím Dz (D označuje rozptyl), pak optimální portfolio každého agenta leží na tzv. portfoliové hranici (PH). 2. Je-li navíc Eu i (z) rostoucí s rostoucím Ez, jsou-li indiferenční křivky K x = {(Ez, Dz) : z je n.v., u i (z) = x} striktně konvexní a je-li Dr regulární, pak je optimální portfolio určeno jednoznačně.

13 Portfoliová hranice (PH) Střední výnos a směrodatné odchylky všech možných portfolíı tvoří tvar viz obrázek (položená odmocněná parabola) 1. Je-li Eu i (z) klesající s rostoucím Dz (D označuje rozptyl), pak optimální portfolio každého agenta leží na tzv. portfoliové hranici (PH). 2. Je-li navíc Eu i (z) rostoucí s rostoucím Ez, jsou-li indiferenční křivky K x = {(Ez, Dz) : z je n.v., u i (z) = x} striktně konvexní a je-li Dr regulární, pak je optimální portfolio určeno jednoznačně.

14 Poznámky Předpoklady (1) a (2) jsou splněny například když ui je kvadratická rostoucí konkávní (tj. pokud u i (z) = az bz 2, a, b > 0) r má normální rozdělení a ui je rostoucí konkávní diferencovatelná platí jiné omezující podmínky na rozdělení r a/nebo užitkovou funkci u i, viz [Barucci(2003)]

15 Poznámky Předpoklady (1) a (2) jsou splněny například když ui je kvadratická rostoucí konkávní (tj. pokud u i (z) = az bz 2, a, b > 0) r má normální rozdělení a ui je rostoucí konkávní diferencovatelná platí jiné omezující podmínky na rozdělení r a/nebo užitkovou funkci u i, viz [Barucci(2003)] Pro optimální portfolio se předepsaným střidním výnosem Existuje analytický vzorec.

16 Poznámky Předpoklady (1) a (2) jsou splněny například když ui je kvadratická rostoucí konkávní (tj. pokud u i (z) = az bz 2, a, b > 0) r má normální rozdělení a ui je rostoucí konkávní diferencovatelná platí jiné omezující podmínky na rozdělení r a/nebo užitkovou funkci u i, viz [Barucci(2003)] Pro optimální portfolio se předepsaným střidním výnosem Existuje analytický vzorec. Předpokládali jsme možnost krátkých prodejů, analogická tvrzení však platí i pokud je zakážeme

17 Poznámky Předpoklady (1) a (2) jsou splněny například když ui je kvadratická rostoucí konkávní (tj. pokud u i (z) = az bz 2, a, b > 0) r má normální rozdělení a ui je rostoucí konkávní diferencovatelná platí jiné omezující podmínky na rozdělení r a/nebo užitkovou funkci u i, viz [Barucci(2003)] Pro optimální portfolio se předepsaným střidním výnosem Existuje analytický vzorec. Předpokládali jsme možnost krátkých prodejů, analogická tvrzení však platí i pokud je zakážeme Regularita matice Dr není omezující. Singularita totiž implikuje replikaci výnosů (tj. stejný výnos dosáhneme i po vyžazení replikovaných veličin) nebo arbitráž (tj není co řešit, stačí nakoupit nekonečné množství arbitřážního portfolia a máme nekonečný zisk).

18 Předpoklady Aktiva Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulární každé portfolio na eficientní hranici (horní půlka PH) má větší střední výnos než b.a. 1 Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd zní: skrývá se ve výnosu - r j = R j/p j kde R j výnos z jednotky aktiva)

19 Předpoklady Aktiva Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulární každé portfolio na eficientní hranici (horní půlka PH) má větší střední výnos než b.a. Agenti agenti jsou averzní k riziku ( ui je konkávní 1 i M) 1 Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd zní: skrývá se ve výnosu - r j = R j/p j kde R j výnos z jednotky aktiva)

20 Předpoklady Aktiva Existuje bezrizikové aktivum ((ozn. rf jeho výnos a r vektor aktiv včecně b.a., indexovaného nulou) rozptylová matice rizikových aktiv V = Dr je regulární každé portfolio na eficientní hranici (horní půlka PH) má větší střední výnos než b.a. Agenti agenti jsou averzní k riziku ( ui je konkávní 1 i M) Dále platí jedna z podmínek zaručující, že optimální portfolio každého agenta leží na PH (viz 1) existuje tržní rovnováha (ekvilibrium), t.j. existuje vektor p R N+1 tak, že (i) portfolia všech agentů jsou optimální ve smyslu (1) 1 (ii)èm i=1 wi = wm kde w i je portfolio i-tého agenta a w m je tržní portfolio všech aktiv na trhu (včetně bezrizikového) (např. pokud u i jsou striktně konkávní spojité + technické předpoklady, viz [Barucci(2003), kpt. 1]) 1 Asi se ptáte, kde se v (1) objevuje cena? Odpověd zní: skrývá se ve výnosu - r j = R j/p j kde R j výnos z jednotky aktiva)

21 Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht µ r f. Lze předpokládat W i = 1 (stačí použít jiné měřítko). Úloha min D( w r), (+) w R N+1, w 1=1,E( w r)=µ

22 Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht µ r f. Lze předpokládat W i = 1 (stačí použít jiné měřítko). Úloha je zjevně ekvivalentní min D( w r), (+) w R N+1, w 1=1,E( w r)=µ min w Vw (++). w R N, w 1=1,E(w r+(1 w 1)r f )=µ

23 Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht µ r f. Lze předpokládat W i = 1 (stačí použít jiné měřítko). Úloha je zjevně ekvivalentní min D( w r), (+) w R N+1, w 1=1,E( w r)=µ min w Vw (++). w R N, w 1=1,E(w r+(1 w 1)r f )=µ Řešení(++): w µ = (µ r f )V 1 (Er r f 1) Arf 2, 2Br f + C A = 1 V 1 1,B = 1 V 1 (Er),C = (Er) V 1 (Er). (pomocí Lagrangeových multiplikátorů, viz literatura)

24 Separace do dvou fondů (s b. a.) Necht µ r f. Lze předpokládat W i = 1 (stačí použít jiné měřítko). Úloha je zjevně ekvivalentní min D( w r), (+) w R N+1, w 1=1,E( w r)=µ min w Vw (++). w R N, w 1=1,E(w r+(1 w 1)r f )=µ Řešení(++): w µ = (µ r f )V 1 (Er r f 1) Arf 2, 2Br f + C A = 1 V 1 1,B = 1 V 1 (Er),C = (Er) V 1 (Er). (pomocí Lagrangeových multiplikátorů, viz literatura) řešení (+): w µ = ( δ, (1 δ)w t), δ = 1 (µ r f )(B Ar f ) Ar 2 f 2Br f + C, wt = V 1 (Er r f 1) B Ar f.

25 Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešením (+) (pro µ = µ t = (C Br f )/(B Ar f )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientní portfolio (tj. ležící na EH) sestává s určitého množství b.a. a určité váhy w t.

26 Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešením (+) (pro µ = µ t = (C Br f )/(B Ar f )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientní portfolio (tj. ležící na EH) sestává s určitého množství b.a. a určité váhy w t. Důsledek: w m = (c,dw t ) pro nějaká c,d 0

27 Separace do dvou fondů (pokr.) Protože w t je řešením (+) (pro µ = µ t = (C Br f )/(B Ar f )), máme: Větu o separaci do dvou fondů: Každé eficientní portfolio (tj. ležící na EH) sestává s určitého množství b.a. a určité váhy w t. Důsledek: w m = (c,dw t ) pro nějaká c,d 0 viz [Dupačová et al.(2002)dupačová, Hurt, and Štěpán]

28 CAPM Na čem závisí prémie za riziko? Po úpravách dostaneme Er r f } {{ 1 = ρ t } σ 2 (µ t r f ) t riz prémie kde σ 2 t = D(w t r) = µ t r f B Ar f, ρ t = cov(r r f 1,wt r) = Er r f 1 B Ar f

29 Dodatky Exisutje CAPM pro případ pouze rizikových aktiv.

30 Dodatky Exisutje CAPM pro případ pouze rizikových aktiv. + další modifikace.

31 Dodatky Exisutje CAPM pro případ pouze rizikových aktiv. + další modifikace. Místo výnosů w t se bere akciový index.

32 Dodatky Exisutje CAPM pro případ pouze rizikových aktiv. + další modifikace. Místo výnosů w t se bere akciový index. Za r f se obyčjeně berou státní pokladniční poukázky

33 Dodatky Exisutje CAPM pro případ pouze rizikových aktiv. + další modifikace. Místo výnosů w t se bere akciový index. Za r f se obyčjeně berou státní pokladniční poukázky Koeficienty β i se odhadují pomocí regrese.

34 Test CAPM Z předchozího máme Er = β(µ t r f ) + 1 r f, β R N neboli kde r t je výnos w t r = β(r t r f ) + 1 r f + ǫ, β R N, Eǫ = 0,

35 Test CAPM Z předchozího máme Er = β(µ t r f ) + 1 r f, β R N neboli r = β(r t r f ) + 1 r f + ǫ, β R N, Eǫ = 0, kde r t je výnos w t Označme r τ f,rτ,r τ t,ǫτ - hodnoty příslušných veličin v čase τ, 1 τ T. Jsou-li ǫ 1,ǫ 2,... nezávislé (nebo platí-li jiná podobná hypotéza), pak jsou historické průměry výnosů jsou konzistentními odhady středních hodnot.

36 Test CAPM Z předchozího máme Er = β(µ t r f ) + 1 r f, β R N neboli r = β(r t r f ) + 1 r f + ǫ, β R N, Eǫ = 0, kde r t je výnos w t Označme r τ f,rτ,r τ t,ǫτ - hodnoty příslušných veličin v čase τ, 1 τ T. Jsou-li ǫ 1,ǫ 2,... nezávislé (nebo platí-li jiná podobná hypotéza), pak jsou historické průměry výnosů jsou konzistentními odhady středních hodnot. Test má dva kroky 1. Odhad β 2. Zjištění, zda β vyhovují CAPM

37 Přesněji Testujeme platnost modelu r i = β(r t r f ) + r f + ǫ i, 1 i N

38 Přesněji Testujeme platnost modelu r i = β(r t r f ) + r f + ǫ i, 1 i N 1. Pro každé 1 i N z rovnic r τ i r t = α i + β i (r τ t r τ f ) + rτ f + ǫ τ i, 1 τ T odhadneme α i,β i (za r t vezmeme hodnotu burzovního indexu, za r f SPP nebo třeba nějaký úrokový index). Pokud některé α i vyjde významně nenulové, svědčí to proti modelu.

39 Přesněji Testujeme platnost modelu r i = β(r t r f ) + r f + ǫ i, 1 i N 1. Pro každé 1 i N z rovnic r τ i r t = α i + β i (r τ t r τ f ) + rτ f + ǫ τ i, 1 τ T odhadneme α i,β i (za r t vezmeme hodnotu burzovního indexu, za r f SPP nebo třeba nějaký úrokový index). Pokud některé α i vyjde významně nenulové, svědčí to proti modelu. 2. Z rovnic r i = ψ 0 + ψ 1 ˆβi + υ i, 1 i N, kde ˆβ i je odhad β i z prvního kroku, odhadneme ψ 0,ψ 1 a sledujeme, zda ψ 0. = rf, ψ 1. = rt r f, kde x znamená časový průměr x.

40 Ekonometrické poznámky

41 Ekonometrické poznámky Ad 1. Jak odhadovat β? Standardní předpoklad, že covǫ i,(r t,r f ), neplatí. Rovnice z kroku 1. však lze transformovat tak, že se tento probém nevyskytne [Barucci(2003)]

42 Ekonometrické poznámky Ad 1. Jak odhadovat β? Standardní předpoklad, že covǫ i,(r t,r f ), neplatí. Rovnice z kroku 1. však lze transformovat tak, že se tento probém nevyskytne [Barucci(2003)] Ad 2. Spíše heuristika (bereme zde odhady parametrů místo jejich skutečných hodnot).

43 Zadání semestrální práce Odhadněte β i u některé akcie z trhu SPAD (každý student jiné). Pro odhad použijte alespoň 100 pozorování. Za bezrizikový výnos vezměte příslušnou hodnotu indexu PRIBOR, za tržní (tangenciální) portfolio vezměte index PX50. Vyhodnot te výsledky regrese (R 2, F-statistiku a obě t-statistiky) a jejich implikace pro platnost modelu CAPM. Výsledky zašlete alespoň týden před termínem zkoušky na adresu martin@klec.cz.