STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT"

Transkript

1 TEORIE PLAZMATU STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT PETR KULHÁNEK PRAHA 8 FJFI ČVUT

2 PŘEDMLUVA O plazmatu se často hovoří jako o čtvrtém skupenství hmoty A je to oprávněné, protože vlastnosti plazmatu jsou velmi odlišné od vlastností plynů a kapalin Především zde hraje roli přítomnost volných nosičů náboje, které mohou reagovat na elektrická a magnetická pole a vzájemná interakce nábojů vede ke vzniku globálních kolektivních polí Chování plazmatu je tak především ovlivněno elektrickými a magnetickými poli Ve vesmíru je 99% veškeré hmoty ionizováno a nachází se ve formě plazmatu Plazmatem je tvořeno nitro i obálky hvězd, mlhoviny, výtrysky, atd Na Zemi se s plazmatem setkáme v kanálech blesků, v ionosféře, v podobě slunečního větru, který neustále atakuje magnetické pole Země, a samozřejmě plazma nalezneme v laboratořích výzkumných ústavů Plazma je charakteristické lineárními a plošnými útvary (pinči a stěnami) drženými vlastním magnetickým polem, které vzniká protékajícím proudem Nabité částice mohou jednak rotovat kolem magnetických silokřivek a jednak driftovat napříč magnetickému a nějakému dalšímu poli V oblastech intenzivnějšího magnetického pole se mohou odrážet, takový jev nazýváme magnetické zrcadlo V plazmatu existuje neuvěřitelné množství modů různých nízkofrekvenčních i vysokofrekvenčních vln Šíření zvukových i elektromagnetických vln přítomnost plazmatu velmi výrazně ovlivní Pro plazma je charakteristická řada nestabilit, se kterými se dlouhá léta potýkají konstruktéři termojaderných reaktorů Neméně zajímavé jsou nelineární jevy v plazmatu Z široké škály jevů v plazmatu se některými z nich budeme zabývat v tomto sylabu U takto obsažné problematiky půjde vždy jen o úzký výběr silně ovlivněný autorem Proto by text měl být především úvodem k dalšímu samostatnému studiu Přeji čtenářům rychlé pochopení probíraných jevů, v případě nejasností mě kontaktujte, neboť nemusí jít o chybu vaší úvahy, ale o chybu v textu nebo závadu v mé hlavě Části textu vznikaly od roku na půdě FEL ČVUT jako sylabus pro doktorské studenty, podnebí na FEL ale nebylo teorii příliš nakloněno V říjnu 7 jsem začal přednášet Teorii plazmatu na FJFI a text průběžně sestavovat z minulých i nových textů podle osnov této nové přednášky Ještě dvě technické poznámky na závěr 1) V textu je frekvencí dějů automaticky myšlena úhlová frekvence, která je součástí relativistického čtyřvektoru a je snadno transformovatelná do jiné souřadnicové soustavy ) V textu platí sčítací konvence pro indexy psané latinkou (i, j, k, ) Neplatí pro řecké indexy popisující druh částic v plazmatu Pokud bylo třeba psát index do horní části symbolu, je umístěný v závorce, aby se odlišil od mocniny Šikmo jsou sázeny proměnné, do kterých lze dosadit Základním řezem jsou sázeny symboly, do kterých nelze dosadit (zkratky, číselné hodnoty, jednotky) Vektory a tenzory jsou sázeny tučným řezem písma Tam, kde by čtenář mohl být zmaten, je pro jistotu nad symbolem vektoru umístěna šipka Aktuální verzi sylabu naleznete na adrese: 1 7, Petr Kulhánek wwwaldebarancz

3 OBSAH TEORIE PLAZMATU I (ÚVOD DO FYZIKY PLAZMATU) 6 1 POHYBY NABITÝCH ČÁSTIC 6 11 NERELATIVISTICKÉ POHYBY Lagrangeova a Hamiltonova funkce 6 11 Pohyb v elektrickém poli, optická analogie Pohyb v homogenním magnetickém poli Pohyb ve zkřížených polích 1 1 RELATIVISTICKÉ POHYBY Lagrangeova a Hamiltonova funkce 13 1 Pohyb v homogenním elektrickém poli ADIABATICKÉ PŘIBLÍŽENÍ První adiabatický invariant Pohyb gyračního středu Síla µ B Driftová rovnice 135 Drifty 1 14 POHYBY VE SPECIÁLNÍCH KONFIGURACÍCH Magnetické zrcadlo 3 14 Druhý adiabatický invariant, Fermiho mechanizmus Magnetický dipól Elektrický a magnetický monopól Tokamak Plazmové vlákno, souvislost s tekutinovým modelem 31 STATISTICKÝ PŘÍSTUP NEROVNOVÁŽNÁ STATISTIKA 33 1 BOLTZMANNOVA ROVNICE Různé varianty Boltzmannovy rovnice 33 1 Boltzmannův srážkový člen Rovnice přenosu (momentová rovnice) 39 PŘECHOD OD STATISTIKY KE KONTINUU 4 1 Nultý moment (zachování hmoty, náboje a počtu částic) částicová část 4 Nultý moment polní část 43 3 První moment (zachování hybnosti) částicová část 43 4 První moment (zachování hybnosti) polní část 45 5 Druhý moment (zachování energie) částicová část 47 6 Druhý moment (zachování energie) polní část 47 3 JEDNODUCHÉ TRANSPORTNÍ JEVY Transport náboje (Ohmův zákon) 49 3 Transport částic (Fickův zákon) Transport tepla (Fourierův zákon) 5 34 Ambipolární difúze Difúze v magnetickém poli Produkce entropie, Onsagerovy relace reciprocity 56 4 COULOMBICKÁ INTERAKCE Debyeova stínící vzdálenost 58 4 Coulombický rozptyl (Rutherfordova formule) Fokkerova-Planckova rovnice Rosenbluthovy potenciály Brzděná a ubíhající testovací částice Relaxační časy a srážkové frekvence 7

4 3 TEKUTINOVÝ PŘÍSTUP MAGNETOHYDRODYNAMIKA ODVOZENÍ ROVNIC NERELATIVISTICKÉ MAGNETOHYDRODYNAMIKY Rovnice pro magnetické pole a vektorový potenciál Rovnice pro hustotu Rovnice pro rychlost Uzavření soustavy 86 3 VYBRANÉ JEVY Z MAGNETOHYDRODYNAMIKY Hartmannovo řešení 88 3 Vlny konečné amplitudy 9 33 Helicita 9 34 Přepojení magnetických silokřivek Tekutinové dynamo NĚKTERÉ ROVNOVÁŽNÉ KONFIGURACE V PLAZMATU Rovnováha v plazmatu Proudové vlákno (pinč) Proudová stěna Dvojvrstva Rázové vlny 118 TEORIE PLAZMATU II (VLNY A NESTABILITY) 1 4 LINEÁRNÍ VLNY V PLAZMATU 1 41 ZÁKLADNÍ POJMY Vlnění 1 41 Rozměrová analýza (vlny na hluboké vodě) Lineární teorie (elektromagnetické vlny) Nelineární teorie (zvukové vlny) Další příklady (Jeansovo kritérium, vlnová, KG a telegrafní rovnice) 13 4 PLAZMOVÉ OSCILACE A VLNY Odvození disperzní relace Plazmové oscilace Plazmové vlny Iontové vlny Další vlivy MAGNETOAKUSTICKÉ VLNY Odvození disperzní relace Vlnoplochy magnetoakustických vln Směry vektorů v magnetoakustických vlnách ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY Odvození disperzní relace Komplex elektromagnetických vln, CMA diagram Stixovy koeficienty Faradayova rotace Hvizdy (whistlers) Tenzor permitivity pro elektromagnetické vlny v plazmatu 16 5 NĚKTERÉ NESTABILITY V PLAZMATU NEOMEZENÉ CHLADNÉ PLAZMA Základní pojmy Vícesvazková nestabilita Dva symetrické svazky Nestabilita typu svazek-plazma Další nestability (driftová, Weibelova) 168

5 5 PLAZMA S HRANICÍ Základní vztahy Navazování vektorových a skalárních polí na hranici Nestability plazmového vlákna Rayleighova-Taylorova nestabilita Kelvinova-Helmholtzova nestabilita Další nestability REZISTIVNÍ NESTABILITY Základní vztahy Ostrůvková (tearing) nestabilita Řízené rezistivní nestability Tokamakové nestability MIKRONESTABILITY Základní vztahy Landauův útlum na elektronech Landauův útlum na iontech Bernsteinovy mody Parametrické nestability Modulační nestability 193 DODATEK A UŽITEČNÉ VZTAHY 194 A1 Některé integrály a řady 194 A Vektorový součin a některé vektorové identity 195 A3 Základní vztahy z komplexní analýzy 196 A4 Některé speciální funkce 197 A5 Výpočet Rosenbluthových potenciálů pro Maxwellovo rozdělení rychlostí 1 DODATEK B ZOBECNĚNÉ FUNKCE 3 B1 Diracova distribuce 3 B Konvoluce 5 B3 Greenův operátor a Greenova funkce 6 DODATEK C KŘIVOČARÉ SOUŘADNICE, KŘIVKOVÉ, PLOŠNÉ A OBJEMOVÉ INTEGRÁLY 8 C1 Křivočaré souřadnice 8 C Křivkové, plošné a objemové integrály 9 DODATEK D PŘEHLED VZTAHŮ A DEFINIC Z PLAZMATU 1 D1 Základní vztahy 1 D Bezrozměrné charakteristiky plazmatu 1 D3 Potenciály elektromagnetického pole 13 DODATEK E MULTIPÓLOVÝ ROZVOJ 15 E1 Rozvoj potenciálu elektrického pole 15 E Rozvoj potenciálu magnetického pole 15 REJSTŘÍK NĚKTERÝCH FYZIKŮ A MATEMATIKŮ ZMÍNĚNÝCH V TEXTU 16 LITERATURA 1

6 Pohyby nabitých částic TEORIE PLAZMATU I (ÚVOD DO FYZIKY PLAZMATU) Předtím, než se pustíte do studia teorie plazmatu, měli byste se seznámit se základy teoretické mechaniky [1], umět něco málo z kvantové teorie [], termodynamiky a statistické fyziky [3] a základů teorie elektromagnetického pole [16] Nejvíce budete potřebovat Lagrangeovy a Hamiltonovy rovnice a základy rovnovážné statistické fyziky V první části teorie plazmatu se budeme zabývat nejprve pohyby jednotlivých částic, poté statistickým přístupem k plazmatu a nakonec plazmatem jako vodivou tekutinou Druhá část (Teorie plazmatu II) bude věnována vlnám a nestabilitám v plazmatu V třetí části (Teorie plazmatu III) se budeme věnovat záření plazmatu a solitonům 1 POHYBY NABITÝCH ČÁSTIC V celé této kapitole budeme počítat pohyby částic ve vnějších, předem daných polích Předpokládáme tedy, že 1 částice vzájemně neinteragují, vlastní pole částic jsou zanedbatelná Elektrická a magnetická pole můžeme popsat buď elektrickou intenzitou E a magnetickou indukcí B nebo za pomoci čtyřpotenciálu (φ, A) Převodní vztahy jsou A φ E = t x Zde předpokládáme, že φ(t, x) a A(t, x) jsou předem dané funkce, (11) B = rot A (1) 11 Nerelativistické pohyby 111 Lagrangeova a Hamiltonova funkce Problematika pohybu nabitých částic v elektromagnetických polích je dána Lagrangeovou funkcí L= Lčástice + Lint + Lpole (13) V našem přiblížení jsou pole pevně dána a nebudeme je počítat, proto je polní část Lagrangeovy funkce nulová Pokud budeme uvažovat jen elektrické pole, které je potenciální, bude Lagrangeova funkce dána vztahem 1 L= mv Qφ (14) Tvar je shodný s klasickou mechanikou [1], kde je Lagrangeova funkce dána rozdílem kinetické a potenciální energie L = T V Kinetická energie představuje Lagrangeovu funkci volné částice L částice a potenciální energie Lagrangeovu funkci interakce s elektrickým polem L int V přítomnosti magnetického pole, které není potenciální, musí mít interakční lagranžián další člen Ten bude nějakou funkcí čtyřvektoru toku náboje pro jedinou částici (charakterizuje částice) a čtyřvektoru potenciálů pole (charakterizuje pole): 6 j cρq cqδ( x x) φ/ c = = ; A = j Qvδ ( x x) A µ µ

7 Pohyby nabitých částic Lagrangeova funkce by měla být skalárem, jedinou kombinací připadající v úvahu je tedy veličina úměrná skalárnímu součinu obou čtyřvektorů integrovanému přes objem (bez integrace přes objem bychom dostali veličinu úměrnou hustotě Lagrangeovy funkce): ( ) ( ) 3 3 j A d x = Qφ+ QA v δ( x x) d x = Qφ+ QA v Z uvedeného vztahu je již jasná chybějící část ve vztahu (14), správná Lagrangeova funkce pro nerelativistický pohyb částic v elektrickém a magnetickém poli bude 1 L= mv Qφ + QA v Standardními postupy určíme zobecněnou hybnost, zobecněnou energii a po vyloučení rychlosti z obou vztahů Hamiltonovu funkci Všechny důležité vztahy jsou: 1 L= mv Qφ + QA v, (15) L p = m v + Q A, (16) v L 1 E = v L= mv + Qφ, (17) v ( p Q A) H = + Qφ (18) m Pozn 1: Energii budeme v této kapitole značit E, abychom ji odlišili od intenzity elektrického pole E Pozn : Zobecněná hybnost není součinem hmotnosti a rychlosti jako v klasické mechanice! Pozn 3: Energie nezávisí na A, magnetické pole totiž nemění energii, ale jen směr rychlosti Ukažme, že příslušné Lagrangeovy rovnice jsou totožné s Lorentzovou rovnicí pro pohyb nabité částice Ve složkách máme 1 L= mvv j j Qφ (, t x) + QAj(, t x) v j ; d L L =, dt vi xi d φ Aj ( m vi + QA i) + Q Q vj =, dt xi xi d A dx i Ai j φ Aj ( m vi) + Q + Q + Q Q vj =, dt x dt x x j i i d Ai φ Aj Ai ( m vi) = Q + vj dt x i xi x j Poslední část v hranaté závorce lze upravit pomocí Levi-Civitova tenzoru do tvaru (A18) d A φ d ( mv) = Q + rot ( m ) = Q[ + ], dt v A v E v B x dt což je známá Lorentzova pohybová rovnice 7

8 Pohyby nabitých částic 11 Pohyb v elektrickém poli, optická analogie Pokud se nabitá částice pohybuje jen v homogenním elektrickém poli, nelze situaci řešit nerelativisticky Elektrické pole by částici urychlovalo nade všechny meze, což je v rozporu se speciální relativitou Můžeme ale řešit situaci, kdy je elektrické pole nenulové jen v malé oblasti prostoru, například v nějaké stěně Idealizovaným případem je rázová vlna se skokem elektrického potenciálu (tzv dvojvrstva, podrobněji viz kapitola 334) V obou polorovinách je potenciál konstantní a tedy elektrické pole nulové Nabitá částice se proto pohybuje rovnoměrně přímočaře K jedinému urychlení dochází na rozhraní, a to ve směru osy x Složka rychlosti ve směru osy y se nemění, žádné pole v tomto směru nepůsobí Tečná složka rychlosti je proto spojitá v sinα = v sinα (19) 1 1 Při pohybu nabité částice se bude zachovávat energie (17): 1 mv1 + Qφ 1 1 = mv + Qφ = E (11) Pokud z posledního vztahu vypočteme rychlosti a dosadíme do (19), dostaneme sinα E Qφ Qφ Qφ φ φ U = = = = sinα E Qφ Qφ Qφ φ φ U (111) Uvedenému vztahu se říká optická analogie pohybu částice v elektrickém poli Svým tvarem připomíná Snellův zákon lomu 113 Pohyb v homogenním magnetickém poli 8 E = B = (,, ) (,, B) počáteční podmínky: x() = (,,), p() = (, v,) m φ = A = ( B y,, ) A = (, B x, ), nebo nebo A = 1 ( B y, B x, ) Hodnota vektorového potenciálu A plyne ze vztahu (1) Pro vektorový potenciál A budeme používat druhé z uvedených možných vyjádření Potenciály elektrických a magnetických polí pro typické konfigurace naleznete v dodatku D3 Zobecněná hybnost je v našem případě dána vztahem p = mv + QA Pro Hamiltonovu funkci platí

9 Pohyby nabitých částic x + y + z ( p Q A) p ( p QBx) p H = + Qφ = m m a Hamiltonovy rovnice jsou H p x x = =, (11) p m Z rovnic (116), (117) máme ihned py() t = py() = mv, p () t = p () = x H p y QBx y = =, (113) p m y H p z = = z, (114) p m z H QB( py QBx) p x = =, (115) x m z H p y = =, (116) y H p z = = (117) z Tyto výrazy spolu s p x vyjádřeným z (11) dosadíme do (115) a získáme tak rovnici z QB QBv x+ x = m m pro proměnnou x Po jejím vyřešení (je součtem homogenního a partikulárního) známe závislost x(t) a můžeme již přímo integrovat rovnice (113), (114) Výsledné řešení má tvar x() t = RL RLcos ωct, yt () = RLsin ωct, (118) zt () =, kde jsme označili mv QB RL ; ωc (119) QB m tzv Larmorův poloměr R L a cyklotronní frekvenci ω c Trajektorii získáme vyloučením času z (118): ( x R ) y R + = (1) L L Vidíme, že pohyb se děje po kružnici s poloměrem R L a se středem S = [ R L, ] Magnetické pole nepůsobí na pohyb částice ve směru podél pole Kolmo na směr pole působí Lorentzova síla, která zakřivuje trajektorii částice na kružnici Při nenulové počáteční 9

10 Pohyby nabitých částic rychlosti v z () je pohyb částice složen z rovnoměrného přímočarého pohybu podél pole a Larmorovy rotace (tzv gyrace), tím vzniká pohyb po šroubovici Samotné elektrické pole naopak nepůsobí na pohyb částice napříč pole (v nerelativistickém případě) nebo jen velmi málo (v relativistickém případě) Ve směru pole dochází k urychlování Poznámka : Výpočet Larmorovského pohybu lze také provést přímo z Lorentzovy pohybové rovnice m r = Qr B Složka z opět vede na volný pohyb Ve složce x a y dostáváme QB x = By, (11) m QB y = Bx (1) m Obě rovnice je možné řešit různými způsoby Asi nejrychleji k cíli vede postup Landauův postup: druhou rovnici přenásobíme komplexní jednotkou a sečteme s první Kombinaci QB/m označíme jako cyklotronní frekvenci: x + iy = iω B( x + iy ) (13) Nyní stačí zavést komplexní proměnnou ξ x + iy a řešit jednoduchou rovnici c ξ = iω B ξ (14) v komplexním oboru Po nalezení integračních konstant získáme řešení pro x a y oddělením reálné a imaginární části řešení c 114 Pohyb ve zkřížených polích Řešme nyní pohyb v homogenním magnetickém poli a na něho kolmém poli elektrickém: E = ( E,,) φ = Ex, A = ( B y,,) nebo B = (,, B) A = (, B x,) nebo A = 1 ( B y, B x,) počáteční podmínky: x() = (,,), p() = (,,) 1

11 Pohyby nabitých částic Nabitou částici vložíme do počátku souřadnicové soustavy s nulovou rychlostí Pro vektorový potenciál A budeme používat druhé z uvedených možných vyjádření Zobecněná hybnost je opět p = mv + QA Pro Hamiltonovu funkci platí x + y + z ( p QA) p ( p QBx) p H = + Qφ = QEx m m a Hamiltonovy rovnice jsou H p x x = =, (15) p m x H p y QBx y = =, (16) p m y H p z = = z, (17) p m z H QB( py QBx) p x = = + QE, (18) x m H p y = =, (19) y H p z = = (13) z Postupem zcela analogickým předešlému příkladu získáme řešení x() t = RD RDcos ωct, yt () = RDsin ωct v Dt, (131) zt () =, kde jsme označili QB E mv ω D c ; v D ; RD (13) m B QB tzv cyklotronní frekvenci ω c, driftovou rychlost v D a driftový poloměr R D Rovnice trajektorie má po částečném vyloučení času z rovnic (131) tvar ( ) x R + y+ t = R ( v ) (133) D D D Jde tedy o pohyb po kružnici s poloměrem R D, jejíž střed S = [R D, v D t] se pohybuje konstantní driftovou rychlostí v D kolmo na elektrické i magnetické pole Pro nulovou počáteční rychlost platí vztah plynoucí okamžitě z definic (13) v = ω R (134) D c D a výsledná křivka (133) se nazývá cykloida Pro nenulovou počáteční rychlost již neplatí (134) a pohyb probíhá po obecnější křivce, tzv trochoidě: 11

12 Pohyby nabitých částic kde se driftový poloměr změnil na R x() t = R R cos ω t, D D c yt () = R sin ω t v t, zt () = v t, m QB D c D z D = x + y + D (135) v ( v v ) (136) Pro v z = se pohyb opět děje po kružnici s pohybujícím se středem S [ R t ] Q > mají trochoidy tvar: =, v Pro D D V bodech trajektorie 1,, 3 má částice různou potenciální energii φ = Ex φ > φ > φ a vzhledem k zákonu zachování energie i různou rychlost const mv Qφ v 1 3 a tím i různý Larmorův poloměr: R m v = R < R < R QB L L1 L L 3 Trochoidální trajektorii částice lze tedy interpretovat jako pohyb po kružnici s proměnným poloměrem Na následujícím obrázku jsou typické stopy nabitých částic v mlžné komoře 1

13 Pohyby nabitých částic 1 Relativistické pohyby 11 Lagrangeova a Hamiltonova funkce V Lagrangeově funkci (15) je správně relativisticky zapsána interakční část Lagrangeova funkce pro volnou částici ale není ve shodě se speciální relativitou; ta by měla být nějakou funkcí relativistického invariantu v ds c dt + dx + dy + dz = c dt 1 c Je zřejmé, že by mělo být Ldt ds = c 1 v / c dt, tj Lčástice = α 1 v / c Koeficient úměrnosti α určíme tak, aby v limitě malých rychlostí výraz přešel v Lagrangeovu funkci m v / pro nerelativistickou částici (m je klidová hmotnost částice): v v Lčástice = α 1 v / c α 1 = α α α = m c c c Posunutí o konstantu není podstatné Výsledná Lagrangeova funkce pro relativistické pohyby nabitých částic v elektrických a magnetických polích tedy je 13 1 Standardním způsobem určíme hybnost a energii: L= m c v c Qφ + QA v (137) L m v p = + Q A v 1 v c, (138) E L mc = v L = + Qφ v 1 v c (139) Povšimněte si, že zavedeme-li tzv pohybovou hmotnost m m 1 v získají vztahy pro hybnost a energii jednoduchý a srozumitelný tvar c, (14) p= mv + QA; E = mc + Qφ (141) Posledním krokem bude odvození Hamiltonovy funkce Z klasické mechaniky víme, že je vždy možné nalézt Legendreovu duální transformaci, tj z výrazů (138) a (139) vyloučit rychlost Nejjednodušším postupem je ponechat na pravé straně výrazů jen odmocniny a rovnice umocnit na druhou: ( p QA) c m v = 1 v mc ( E Qφ ) 1 = 1 v c ; c

14 Pohyby nabitých částic Odečteme-li nyní obě rovnice od sebe, vykrátí se čitatel se jmenovatelem a na pravé straně zmizí závislost na rychlosti: 1 ( E φ ) ( p A) Q Q = m c c V tuto chvíli již stačí jen dopočítat energii a označit ji jako Hamiltonovu funkci: H = c m c + ( p QA ) + Qφ (14) 1 Pohyb v homogenním elektrickém poli E = ( E,,) φ = E x, B = (,,) A = ; počáteční podmínky: x() = (,, ), p() = (, p, ), kde p mv 1 v c Úlohu budeme řešit jako rovinný problém Hodnota potenciálu φ plyne ze vztahu (11) pro A = Hamiltonova funkce problému je 14 p A φ x y H = c m c + ( Q ) + Q = c m c + p + p QEx, a příslušné Hamiltonovy rovnice mají tvar H cp x = =, (143) p x m c + p + p x x y H cpy y = =, (144) p y m c + p + p x y Integrací rovnic (145), (146) dostaneme px() t = QEt, p ( t) = p () = const = p y H p x = = QE, (145) x H p y = = (146) y y Toto řešení dosadíme do rovnic (143), (144) a integrujeme: t cp t x QEt c xt () = dt = c dt = ( π ) + ( QEt) π, mc + p + p π + ( QEt ) QE x y

15 Pohyby nabitých částic t cpy t p pc QEt yt ( ) = dt = c dt = arcsh mc p p QEt QE π x y π ( ) Výsledné řešení je tedy dáno vztahy πc xt () = 1 + ( QEt/ π ) 1, QE pc yt ( ) = arcsh ( QEt/ π ), QE (147) kde jsme označili v v p m 1 c, π mc + p (148) Proveďme nyní nerelativistickou limitu v<< c (tj p mc) π mc; p = mv, tj mc QEt mc 1 QEt QE x() t = = t, QE mc QE mc m cmv QEt cmv QEt yt ( ) = arcsh = v t QE mc QE mc Vidíme, že výrazy přecházejí ve známé klasické vztahy pohyb rovnoměrně zrychlený ve směru pole a pohyb rovnoměrný napříč polem Současně rychlost ve směru pole v x neroste nade všechny meze, tak jako v klasickém případě: dx c t lim vx ( t) = lim = lim ( QE) = c t t dt t QE π QEt + ( ) V libovolném konečném čase t je vždy v x < c Vyloučíme-li z (147) čas, dostaneme trajektorii částice π c QE x = ch y 1 QE pc Rozdíl mezi funkcemi x = y / (klasická trajektorie) a x = ch(y) 1 je na obrázku: (149) 15

16 Pohyby nabitých částic 13 Adiabatické přiblížení Budeme předpokládat, že magnetické pole dominantně ovlivňuje pohyb nabitých částic a základním pohybem je tedy Larmorova rotace neboli gyrace kolem magnetických silokřivek V plazmatu mohou být samozřejmě přítomna i další pole, například elektrické a gravitační V adiabatickém přiblížení předpokládáme, že všechna pole se za jednu Larmorovu otočku změní jen málo V čase to znamená, že dojde k malé změně polí za dobu jedné otočky částice; v prostoru tato podmínka říká, že se pole změní málo na Larmorově poloměru Matematicky lze oba předpoklady vyjádřit takto: Fk F Fk F ; pro kl,, (15) T x R l kde F je jakékoli pole ovlivňující pohyb částic Pole se mohou měnit v čase i prostoru, ale jen v malé míře Za tohoto předpokladu se zachovávají některé veličiny, z nichž nejdůležitější je první adiabatický invariant Často budeme potřebovat znát projekci rychlosti částice do směru magnetického pole (ve směru pole je pohyb volný a částice se pohybuje podél silokřivek) a projekci do směru kolmého na silokřivky (odpovídá Larmorově rotaci): B B 1 v = v = ( v B ) B ; (151) B B B v v v (15) Rovnoběžnou projekci jsme standardním způsobem rozepsali jako velikost směr 131 První adiabatický invariant = Předpokládejme, že se částice pohybuje Larmorovou rotací v pomalu se měnícím magnetickém poli B () t Spočtěme změnu kinetické energie Larmorovy rotace za jednu otočku: B W = F dl = QE dl = Q (rot E) ds= Q ds= Q π RL B γ= S γ= S S S Při odvození jsme využili Stokesovu větu a Faradayův indukční zákon Vzhledem k tomu, že se pole mění za jednu otočku jen málo, můžeme derivaci pole nahradit jeho změnou za jednu otočku, tedy za periodu: B B W Q R Q R T π = L L L π/ ω π c Nyní dosadíme dříve odvozené vztahy pro Larmorův poloměr RL = mv / QB a cyklotronní frekvenci ω c = QB/ m a dostaneme relaci mv B B W B B B W B W = = W = W B µ W mv = = const B B (153) S nárůstem pole tedy úměrně poroste kolmá složka kinetické energie Veličina µ se nazývá první adiabatický invariant a je konstantní pro pomalu se měnící pole 16

17 Pohyby nabitých částic Poznámka 1: Při odvození jsme využili relaci 17 W W B = W B, B jejíž platnost pro nenulové pole snadno dokážeme diferenciací vztahu W / B= const : B W W B W B = = = B B W W B B W Poznámka : Odvozený adiabatický invariant má mnohem obecnější platnost a zůstává konstantní při jakýchkoli malých časových i prostorových změnách všech polí působících na částici V teoretické mechanice se ukazuje, že se při kvaziperiodickém pohybu pod vlivem pomalu se měnících polí zachovává integrál přes periodu pqdq= const Pokud za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel při Larmorově rotaci, potom zobecněnou hybností bude moment hybnosti a dostaneme m mrl π = const v v const B = Poznámka 3 (magnetický moment): První adiabatický invariant má několik významů: 1) mv W µ = = ; B B ) µ = IS ; 3) 1 µ = Qr v (154) Z druhého nebo třetího vyjádření vidíme, že jde o magnetický moment gyrující částice (viz dodatek E) Ekvivalentnost všech vyjádření je zřejmá z přímého dosazení: 13 Pohyb gyračního středu Q mv IS = π RL = = ; T B 1 1 mv Qr v = QRLv = = B V mnoha případech nepotřebujeme znát detailní pohyb částice v magnetickém poli Vystředujeme-li známý gyrační pohyb, můžeme se zabývat jen pohybem gyračního středu Při odvození budeme používat malý parametr ε, který bude určovat, které členy jsou podstatné a které nikoli Po vystředování provedeme limitu ε 1 Až do vystředování budeme používat dva časy: t pomalu se měnící čas ve shodě s adiabatickým přiblížením (čas, který popisuje změny polí) τ rychle se měnící čas popisující jednotlivé fáze gyrace Přes tento čas budeme středovat a budeme předpokládat, že τ t/ ε Označme R ( t) polohu gyračního středu, r ( t) skutečnou polohu gyrující částice a ρ ( t, τ ) vektor gyrace, přes který budeme středovat:

18 Pohyby nabitých částic Souřadnicový systém zavedeme tak, aby třetí osa lokálně mířila ve směru magnetického pole, tedy bude platit e3 = B /B (155) Polohový vektor částice podle obrázku bude: r(, t τ ) = R() t + ερ (, t τ), (156) Parametrem ε označujeme, že gyrace je pro nás méně podstatný jev než pohyb gyračního středu Podle (118) budeme pro gyraci v našem souřadnicovém systému mít ( ) e ( ) ρ (, t τ ) = e R ()cos t ω () t τ + R ()sin t ω () t τ (157) 1 L c L c Povšimněte si, že rychlé změny souvisící s gyrací jsou označeny časem τ, přes který budeme středovat Pohybovou rovnici částice zapíšeme ve tvaru 1 m r = Fext (, t r) + Qr B(, t r), (158) ε parametr ε koresponduje s dominantním postavením magnetického pole v problému Pohybovou rovnici také můžeme psát ve tvaru εm r = εf (, t r ) + Qr B (, t r ), (159) ext která v limitě ε přejde na rovnici r B= popisující pohyb částice podél silokřivek Nyní ve shodě s (156) vypočteme jednotlivé členy Derivaci podle času t budeme označovat standardně tečkou, derivaci podle rychlého času τ t/ ε čárkou (dτ/dt ~ 1/ε): r() t = R() t + ε ρ(, t τ ); r = R + ε ρ+ρ ; 1 r = R + ε ρ +ρ + ρ ; ε Fext() r Fext( R) + ε ( ρ ) Fext ; Br () BR ( ) + ε ( ρ ) B Po dosazení získáme pohybovou rovnici ve tvaru 1 εm R + ερ+ρ + ρ = ε[ ext( ) + ε( ) ext] + Q + ε [ ( ) + ε( ) ] ε F R ρ F R ρ+ρ B R ρ B Nyní provedeme středování přes rychle se měnící čas τ Z (157) je vidět, že ρ = ρ = ρ = ρ = ρ = ρ = (16) τ τ τ τ τ τ Nenulové zůstanou jen střední hodnoty z kvadrátu vektoru gyrace ρ V pohybové rovnici ponecháme jen členy do prvního řádu v ε: ε m R = εfext ( R ) + Q R B ( R ) + ε Q ρ ( ρ ) B τ 18

19 Pohyby nabitých částic Zbývá tedy provést středování posledního členu Za vektor gyrace dosadíme z (157), za gradient e1 x + e y + e 3 z a využijeme relace e e = e ; e e = e ; e e = e ; B= B e ; cosωτ c = sinωτ c = sinωτ c cosωτ c = ; cos ωτ c = sin ωτ c = τ τ τ τ τ Středování se netýká vektorů e k, které se mění s pomalým časem t Výsledek středování je ext ( ) ( ) m εmr = εf R + QR v B R ε B B Po provedení limity ε 1 získáme hledanou pohybovou rovnici pro gyrační střed mr = F + QR B µ B; ext m µ v (161) B Poznámka: Všechny síly v rovnici jsou fiktivní, působí v gyračním středu, kde ve skutečnosti žádná částice není 133 Síla µ B Nová síla µ B vytlačuje částice z oblastí silnějších magnetických polí Závisí jen na velikosti pole B, nikoli na jeho směru Míří z oblasti silnějšího magnetického pole do oblasti slabšího pole Koeficientem je první adiabatický invariant Síla opět působí v místě gyračního středu a jde tedy o fiktivní sílu Povšimněme si původu síly na obrázku vlevo Lorentzova síla je vždy kolmá k silokřivkám a tak má u zhušťujících se silokřivek nenulovou i složku rovnoběžnou s osou systému, která gyrující částici vytlačuje z oblasti hustého pole Předpokládejme, že původní neporušené pole mířilo v ose z: B = (,, B) Zaveďme nyní malou poruchu pole B/ z > podle pravého obrázku V tu chvíli ale nutně vzniká nenulová radiální složka pole B r (ve válcových souřadnicích) a síla F z vytlačující částici z oblasti zhuštění Nejlépe je to vidět z rovnice div B = přepsané do válcových souřadnic (B φ = ): 1 Bz ( rbr ) + =, r r z 19 r B z ( rb ) = r z, / r

20 Pohyby nabitých částic rb r r = B z r Bz r B Br = z z Tato radiální složka pole ( Br Bz B) způsobuje vznik síly v ose z: z, ωcrl c L RL B B Fz = QBrv ϕ = Q ( ω R ) = z z Podle obrázku je úhlová složka rychlosti pro kladný náboj záporná Po dosazení za úhlovou frekvenci a Larmorův poloměr z (119) dostaneme mv B B Fz = = µ B z z Sílu µ B lze tedy získat i jinak než středováním přes gyraci Postup přes středování je ovšem obecnější, protože tuto sílu získáme i v případě, kdy působí kolmo na silokřivky a pole se zhušťuje ve směru kolmém na silokřivky, tj například B / x : z 134 Driftová rovnice Násobme rovnici pro pohyb gyračního středu (161) vektorově magnetickým polem Po standardní úpravě dvojného vektorového součinu a vydělení celé rovnice QB dostaneme B B Fext B µ B B mr B R R = ; B B QB Druhý výraz na levé straně je projekcí rychlosti gyračního středu do směru magnetického pole, tedy levá strana má tvar R, což je kolmá projekce rychlosti gyračního středu: R R ext µ B m = F B B R B QB (16) Odvozená rovnice se nazývá driftová rovnice Gyrační střed se může pohybovat nenulovou rychlostí R kolmo na silokřivky magnetického pole Takový pohyb nazýváme drift a může vzniknout třemi způsoby odpovídajícími třem členům rovnice na pravé straně První příčinou mohou být další pole, například elektrické nebo gravitační Druhou příčnou může být nehomogenita magnetického pole, která vede na grad B drift Poslední příčinou může být nerovnoměrný pohyb gyračního středu Buď je způsobený změnou směru rychlosti gyračního středu způsobenou zakřivením silokřivek (drifty zakřivení) nebo změnou velikosti rychlosti gyračního středu (inerciální drifty) Driftování nabitých částic kolmo na magnetické pole je velice častým jevem v plazmatu Většinou jde o kombinaci několika driftů naráz, neboť některé drifty způsobí separaci náboje a vznik elektrického pole, které následně vede na drift v elektrickém poli Pokud se situace

2. Statistický popis plazmatu

2. Statistický popis plazmatu Statistický popis plazmatu 60 Statistický popis plazmatu Při popisu typického plazmatu je technicky nemožné popsat trajektorie všech částic Jen v řídkém plazmatu mezihvězdného prostoru nalezneme miliony

Více

STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT

STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT TEORIE PLAZMATU STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT PETR KULHÁNEK PRAHA 9/15 FJFI ČVUT PŘEDMLUVA O plazmatu se často hovoří jako o čtvrtém skupenství hmoty A je to oprávněné, protože vlastnosti plazmatu jsou velmi

Více

Úvod do teorie plazmatu

Úvod do teorie plazmatu Úvod do teorie plazmatu Petr Kulhánek AGA 013 Text Petr Kulhánek ISBN: 978-80-90458-- Obsah PŘEDMLUVA 9 ÚVOD11 1 POHYBY NABITÝCH ČÁSTIC15 11 NERELATIVISTICKÉ POHYBY 16 111 Lagrangeova a Hamiltonova funkce

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Úvod do fyziky plazmatu

Úvod do fyziky plazmatu Úvod do fyziky plazmatu Plazma Velmi často se o plazmatu mluví jako o čtvrtém skupenství hmoty Název plazma pro ionizovaný plyn poprvé použil Irwing Langmuir (1881 1957) v roce 1928, protože mu chováním

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15 Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze

LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic Tyto materiály

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

Obr. 141: První tři Bernsteinovy iontové módy. Na vodorovné ose je bezrozměrný vlnový vektor a na svislé ose reálná část bezrozměrné frekvence.

Obr. 141: První tři Bernsteinovy iontové módy. Na vodorovné ose je bezrozměrný vlnový vektor a na svislé ose reálná část bezrozměrné frekvence. Mikronestability 33 m Re( ) ( m1) m1,,3, (5.18) ci Imaginární část frekvence, která je zodpovědná za útlum, razantně roste, pokud se vlny nešíří kolmo na magnetické pole. Útlum také roste s číslem módu

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

ZÁŘENÍ V ASTROFYZICE

ZÁŘENÍ V ASTROFYZICE ZÁŘENÍ V ASTROFYZICE Plazmový vesmír Uvádí se, že 99 % veškeré hmoty ve vesmíru je v plazmovém skupenství (hvězdy, mlhoviny, ) I na Zemi se vyskytuje plazma, např. v podobě blesků, polárních září Ve sluneční

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO 1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli FYZIKA II Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli Osnova přednášky Stacionární magnetické pole Lorentzova síla Hallův jev Pohyb a urychlování nabitých částic (cyklotron,

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Theory Česky (Czech Republic)

Theory Česky (Czech Republic) Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník

STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník Magnetické pole Vytváří se okolo trvalého magnetu. Magnetické pole vodiče Na základě experimentů bylo

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití

Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití Dodatky 330 Dodatky Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití A1 Einsteinova sumační konvence Vyskytnou-li se ve výrazu dva stejné indexy, potom přes ně automaticky sčítáme. Sčítací indexy

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Hlavní body - elektromagnetismus

Hlavní body - elektromagnetismus Elektromagnetismus Hlavní body - elektromagnetismus Lorenzova síla, hmotový spektrograf, Hallův jev Magnetická síla na proudovodič Mechanický moment na proudovou smyčku Faradayův zákon elektromagnetické

Více

Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika

Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika 1 Fyzika 1, bakaláři AFY1 BFY1 KFY1 ZS 08/09 Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách Mechanika Při studiu části mechanika se zaměřte na zvládnutí následujících pojmů: Kartézská

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23 Obsah PŘEDMLUVA... 11 ÚVOD... 13 0.1. Jak teoreticky řešíme elektrotechnické projekty...13 0.2. Dvojí význam pojmu pole...16 0.3. Elektromagnetické pole a technické projekty...20 1. Základní pojmy a zákony

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Světlo jako elektromagnetické záření

Světlo jako elektromagnetické záření Světlo jako elektromagnetické záření Základní pojmy: Homogenní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti jsou ve všech místech v prostředí stejné. Izotropní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti

Více

Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární proudové

Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární proudové MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE, MAXWELLOVY ROVNICE MAGNETICKÉ VLASTNOSTI LÁTEK Magnetické vlastnosti látek (magnetik) jsou důsledkem orbitálního a rotačního pohybu elektronů. Obíhající elektrony představují elementární

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární

Více

Fyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP

Fyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP očekávané výstupy RVP témata / učivo 1. Časový vývoj mechanických soustav Studium konkrétních příkladů 1.1 Pohyby družic a planet Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon (vektorový zápis) pohyb satelitů

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV Materiál z přednášky dne 10/5/2010 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2. Coulombův zákon, orientace vektorů

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety Magnetické pole Ve starověké Malé Asii si Řekové všimli, že kámen magnetovec přitahuje podobné kameny nebo železné předměty. Číňané kolem 3. století n.l. objevili kompas. Tyčový magnet (z magnetovce nebo

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu 11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální energie

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Magnetické pole - stacionární

Magnetické pole - stacionární Magnetické pole - stacionární magnetické pole, jehož charakteristické veličiny se s časem nemění kolem vodiče s elektrickým polem je magnetické pole Magnetické indukční čáry Uzavřené orientované křivky,

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: V/2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění 1) Prázdná nenabitá plechovka je umístěna na izolační podložce. V jednu chvíli je do místa A na vnějším povrchu plechovky přivedeno malé množství náboje. Budeme-li

Více

Základní experiment fyziky plazmatu

Základní experiment fyziky plazmatu Základní experiment fyziky plazmatu D. Vašíček 1, R. Skoupý 2, J. Šupík 3, M. Kubič 4 1 Gymnázium Velké Meziříčí, david.vasicek@centrum.cz 2 Gymnázium Ostrava-Hrabůvka příspěvková organizace, jansupik@gmail.com

Více

Zapnutí a vypnutí proudu spínačem S.

Zapnutí a vypnutí proudu spínačem S. ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE Dva Faradayovy pokusy odpovídají na otázku zda může vzniknout elektrický proud vlivem magnetického pole Pohyb tyčového magnetu k (od) vodivé smyčce s měřidlem, nebo smyčkou k

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Energie, její formy a měření

Energie, její formy a měření Energie, její formy a měření aneb Od volného pádu k E=mc 2 Přednášející: Martin Zápotocký Seminář Aplikace lékařské biofyziky 2014/5 Definice energie Energos (ἐνεργός) = pracující, aktivní; ergon = práce

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 6. MAGNETICKÁ SÍLA A MOMENT SIL 3 6.1 ÚKOLY 3 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ

Více

FYZIKA II. Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce

FYZIKA II. Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce FYZIKA II Petr Praus 10. Přednáška Magnetické pole v látce Osnova přednášky Magnetické pole v látkovém prostředí, Ampérovy proudové smyčky, veličiny B, M, H materiálové vztahy, susceptibilita a permeabilita

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

6 Pohyb částic v magnetickém poli

6 Pohyb částic v magnetickém poli Pohb částic v magnetickém poli V této části si ukážeme, jak homogenní magnetické pole ovlivňuje pohb částic. Soustavu souřadnic volíme vžd tak, ab vektor magnetickéindukce Bsměřovalposměruos (obr.).. Lorentova

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

5.2.4 Rayleighova Taylorova nestabilita

5.2.4 Rayleighova Taylorova nestabilita 74 Nestability v plazmatu 5..4 Rayleighova Taylorova nestabilita Rayleighova Taylorova nestabilita (RT nestabilita) vzniká na rozhraní dvou tekutin různých hustot (například je-li v gravitačním poli hustší

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Teplota jedna ze základních jednotek soustavy SI, vyjadřována je v Kelvinech (značka K) další používané stupnice: Celsiova, Fahrenheitova

Teplota jedna ze základních jednotek soustavy SI, vyjadřována je v Kelvinech (značka K) další používané stupnice: Celsiova, Fahrenheitova 1 Rozložení, distribuce tepla Teplota je charakteristika tepelného stavu hmoty je to stavová veličina, charakterizující termodynamickou rovnováhu systému. Teplo vyjadřuje kinetickou energii částic. Teplota

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více