STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT"

Transkript

1 TEORIE PLAZMATU STUDIJNÍ TEXT PRO FJFI ČVUT PETR KULHÁNEK PRAHA 8 FJFI ČVUT

2 PŘEDMLUVA O plazmatu se často hovoří jako o čtvrtém skupenství hmoty A je to oprávněné, protože vlastnosti plazmatu jsou velmi odlišné od vlastností plynů a kapalin Především zde hraje roli přítomnost volných nosičů náboje, které mohou reagovat na elektrická a magnetická pole a vzájemná interakce nábojů vede ke vzniku globálních kolektivních polí Chování plazmatu je tak především ovlivněno elektrickými a magnetickými poli Ve vesmíru je 99% veškeré hmoty ionizováno a nachází se ve formě plazmatu Plazmatem je tvořeno nitro i obálky hvězd, mlhoviny, výtrysky, atd Na Zemi se s plazmatem setkáme v kanálech blesků, v ionosféře, v podobě slunečního větru, který neustále atakuje magnetické pole Země, a samozřejmě plazma nalezneme v laboratořích výzkumných ústavů Plazma je charakteristické lineárními a plošnými útvary (pinči a stěnami) drženými vlastním magnetickým polem, které vzniká protékajícím proudem Nabité částice mohou jednak rotovat kolem magnetických silokřivek a jednak driftovat napříč magnetickému a nějakému dalšímu poli V oblastech intenzivnějšího magnetického pole se mohou odrážet, takový jev nazýváme magnetické zrcadlo V plazmatu existuje neuvěřitelné množství modů různých nízkofrekvenčních i vysokofrekvenčních vln Šíření zvukových i elektromagnetických vln přítomnost plazmatu velmi výrazně ovlivní Pro plazma je charakteristická řada nestabilit, se kterými se dlouhá léta potýkají konstruktéři termojaderných reaktorů Neméně zajímavé jsou nelineární jevy v plazmatu Z široké škály jevů v plazmatu se některými z nich budeme zabývat v tomto sylabu U takto obsažné problematiky půjde vždy jen o úzký výběr silně ovlivněný autorem Proto by text měl být především úvodem k dalšímu samostatnému studiu Přeji čtenářům rychlé pochopení probíraných jevů, v případě nejasností mě kontaktujte, neboť nemusí jít o chybu vaší úvahy, ale o chybu v textu nebo závadu v mé hlavě Části textu vznikaly od roku na půdě FEL ČVUT jako sylabus pro doktorské studenty, podnebí na FEL ale nebylo teorii příliš nakloněno V říjnu 7 jsem začal přednášet Teorii plazmatu na FJFI a text průběžně sestavovat z minulých i nových textů podle osnov této nové přednášky Ještě dvě technické poznámky na závěr 1) V textu je frekvencí dějů automaticky myšlena úhlová frekvence, která je součástí relativistického čtyřvektoru a je snadno transformovatelná do jiné souřadnicové soustavy ) V textu platí sčítací konvence pro indexy psané latinkou (i, j, k, ) Neplatí pro řecké indexy popisující druh částic v plazmatu Pokud bylo třeba psát index do horní části symbolu, je umístěný v závorce, aby se odlišil od mocniny Šikmo jsou sázeny proměnné, do kterých lze dosadit Základním řezem jsou sázeny symboly, do kterých nelze dosadit (zkratky, číselné hodnoty, jednotky) Vektory a tenzory jsou sázeny tučným řezem písma Tam, kde by čtenář mohl být zmaten, je pro jistotu nad symbolem vektoru umístěna šipka Aktuální verzi sylabu naleznete na adrese: 1 7, Petr Kulhánek wwwaldebarancz

3 OBSAH TEORIE PLAZMATU I (ÚVOD DO FYZIKY PLAZMATU) 6 1 POHYBY NABITÝCH ČÁSTIC 6 11 NERELATIVISTICKÉ POHYBY Lagrangeova a Hamiltonova funkce 6 11 Pohyb v elektrickém poli, optická analogie Pohyb v homogenním magnetickém poli Pohyb ve zkřížených polích 1 1 RELATIVISTICKÉ POHYBY Lagrangeova a Hamiltonova funkce 13 1 Pohyb v homogenním elektrickém poli ADIABATICKÉ PŘIBLÍŽENÍ První adiabatický invariant Pohyb gyračního středu Síla µ B Driftová rovnice 135 Drifty 1 14 POHYBY VE SPECIÁLNÍCH KONFIGURACÍCH Magnetické zrcadlo 3 14 Druhý adiabatický invariant, Fermiho mechanizmus Magnetický dipól Elektrický a magnetický monopól Tokamak Plazmové vlákno, souvislost s tekutinovým modelem 31 STATISTICKÝ PŘÍSTUP NEROVNOVÁŽNÁ STATISTIKA 33 1 BOLTZMANNOVA ROVNICE Různé varianty Boltzmannovy rovnice 33 1 Boltzmannův srážkový člen Rovnice přenosu (momentová rovnice) 39 PŘECHOD OD STATISTIKY KE KONTINUU 4 1 Nultý moment (zachování hmoty, náboje a počtu částic) částicová část 4 Nultý moment polní část 43 3 První moment (zachování hybnosti) částicová část 43 4 První moment (zachování hybnosti) polní část 45 5 Druhý moment (zachování energie) částicová část 47 6 Druhý moment (zachování energie) polní část 47 3 JEDNODUCHÉ TRANSPORTNÍ JEVY Transport náboje (Ohmův zákon) 49 3 Transport částic (Fickův zákon) Transport tepla (Fourierův zákon) 5 34 Ambipolární difúze Difúze v magnetickém poli Produkce entropie, Onsagerovy relace reciprocity 56 4 COULOMBICKÁ INTERAKCE Debyeova stínící vzdálenost 58 4 Coulombický rozptyl (Rutherfordova formule) Fokkerova-Planckova rovnice Rosenbluthovy potenciály Brzděná a ubíhající testovací částice Relaxační časy a srážkové frekvence 7

4 3 TEKUTINOVÝ PŘÍSTUP MAGNETOHYDRODYNAMIKA ODVOZENÍ ROVNIC NERELATIVISTICKÉ MAGNETOHYDRODYNAMIKY Rovnice pro magnetické pole a vektorový potenciál Rovnice pro hustotu Rovnice pro rychlost Uzavření soustavy 86 3 VYBRANÉ JEVY Z MAGNETOHYDRODYNAMIKY Hartmannovo řešení 88 3 Vlny konečné amplitudy 9 33 Helicita 9 34 Přepojení magnetických silokřivek Tekutinové dynamo NĚKTERÉ ROVNOVÁŽNÉ KONFIGURACE V PLAZMATU Rovnováha v plazmatu Proudové vlákno (pinč) Proudová stěna Dvojvrstva Rázové vlny 118 TEORIE PLAZMATU II (VLNY A NESTABILITY) 1 4 LINEÁRNÍ VLNY V PLAZMATU 1 41 ZÁKLADNÍ POJMY Vlnění 1 41 Rozměrová analýza (vlny na hluboké vodě) Lineární teorie (elektromagnetické vlny) Nelineární teorie (zvukové vlny) Další příklady (Jeansovo kritérium, vlnová, KG a telegrafní rovnice) 13 4 PLAZMOVÉ OSCILACE A VLNY Odvození disperzní relace Plazmové oscilace Plazmové vlny Iontové vlny Další vlivy MAGNETOAKUSTICKÉ VLNY Odvození disperzní relace Vlnoplochy magnetoakustických vln Směry vektorů v magnetoakustických vlnách ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY Odvození disperzní relace Komplex elektromagnetických vln, CMA diagram Stixovy koeficienty Faradayova rotace Hvizdy (whistlers) Tenzor permitivity pro elektromagnetické vlny v plazmatu 16 5 NĚKTERÉ NESTABILITY V PLAZMATU NEOMEZENÉ CHLADNÉ PLAZMA Základní pojmy Vícesvazková nestabilita Dva symetrické svazky Nestabilita typu svazek-plazma Další nestability (driftová, Weibelova) 168

5 5 PLAZMA S HRANICÍ Základní vztahy Navazování vektorových a skalárních polí na hranici Nestability plazmového vlákna Rayleighova-Taylorova nestabilita Kelvinova-Helmholtzova nestabilita Další nestability REZISTIVNÍ NESTABILITY Základní vztahy Ostrůvková (tearing) nestabilita Řízené rezistivní nestability Tokamakové nestability MIKRONESTABILITY Základní vztahy Landauův útlum na elektronech Landauův útlum na iontech Bernsteinovy mody Parametrické nestability Modulační nestability 193 DODATEK A UŽITEČNÉ VZTAHY 194 A1 Některé integrály a řady 194 A Vektorový součin a některé vektorové identity 195 A3 Základní vztahy z komplexní analýzy 196 A4 Některé speciální funkce 197 A5 Výpočet Rosenbluthových potenciálů pro Maxwellovo rozdělení rychlostí 1 DODATEK B ZOBECNĚNÉ FUNKCE 3 B1 Diracova distribuce 3 B Konvoluce 5 B3 Greenův operátor a Greenova funkce 6 DODATEK C KŘIVOČARÉ SOUŘADNICE, KŘIVKOVÉ, PLOŠNÉ A OBJEMOVÉ INTEGRÁLY 8 C1 Křivočaré souřadnice 8 C Křivkové, plošné a objemové integrály 9 DODATEK D PŘEHLED VZTAHŮ A DEFINIC Z PLAZMATU 1 D1 Základní vztahy 1 D Bezrozměrné charakteristiky plazmatu 1 D3 Potenciály elektromagnetického pole 13 DODATEK E MULTIPÓLOVÝ ROZVOJ 15 E1 Rozvoj potenciálu elektrického pole 15 E Rozvoj potenciálu magnetického pole 15 REJSTŘÍK NĚKTERÝCH FYZIKŮ A MATEMATIKŮ ZMÍNĚNÝCH V TEXTU 16 LITERATURA 1

6 Pohyby nabitých částic TEORIE PLAZMATU I (ÚVOD DO FYZIKY PLAZMATU) Předtím, než se pustíte do studia teorie plazmatu, měli byste se seznámit se základy teoretické mechaniky [1], umět něco málo z kvantové teorie [], termodynamiky a statistické fyziky [3] a základů teorie elektromagnetického pole [16] Nejvíce budete potřebovat Lagrangeovy a Hamiltonovy rovnice a základy rovnovážné statistické fyziky V první části teorie plazmatu se budeme zabývat nejprve pohyby jednotlivých částic, poté statistickým přístupem k plazmatu a nakonec plazmatem jako vodivou tekutinou Druhá část (Teorie plazmatu II) bude věnována vlnám a nestabilitám v plazmatu V třetí části (Teorie plazmatu III) se budeme věnovat záření plazmatu a solitonům 1 POHYBY NABITÝCH ČÁSTIC V celé této kapitole budeme počítat pohyby částic ve vnějších, předem daných polích Předpokládáme tedy, že 1 částice vzájemně neinteragují, vlastní pole částic jsou zanedbatelná Elektrická a magnetická pole můžeme popsat buď elektrickou intenzitou E a magnetickou indukcí B nebo za pomoci čtyřpotenciálu (φ, A) Převodní vztahy jsou A φ E = t x Zde předpokládáme, že φ(t, x) a A(t, x) jsou předem dané funkce, (11) B = rot A (1) 11 Nerelativistické pohyby 111 Lagrangeova a Hamiltonova funkce Problematika pohybu nabitých částic v elektromagnetických polích je dána Lagrangeovou funkcí L= Lčástice + Lint + Lpole (13) V našem přiblížení jsou pole pevně dána a nebudeme je počítat, proto je polní část Lagrangeovy funkce nulová Pokud budeme uvažovat jen elektrické pole, které je potenciální, bude Lagrangeova funkce dána vztahem 1 L= mv Qφ (14) Tvar je shodný s klasickou mechanikou [1], kde je Lagrangeova funkce dána rozdílem kinetické a potenciální energie L = T V Kinetická energie představuje Lagrangeovu funkci volné částice L částice a potenciální energie Lagrangeovu funkci interakce s elektrickým polem L int V přítomnosti magnetického pole, které není potenciální, musí mít interakční lagranžián další člen Ten bude nějakou funkcí čtyřvektoru toku náboje pro jedinou částici (charakterizuje částice) a čtyřvektoru potenciálů pole (charakterizuje pole): 6 j cρq cqδ( x x) φ/ c = = ; A = j Qvδ ( x x) A µ µ

7 Pohyby nabitých částic Lagrangeova funkce by měla být skalárem, jedinou kombinací připadající v úvahu je tedy veličina úměrná skalárnímu součinu obou čtyřvektorů integrovanému přes objem (bez integrace přes objem bychom dostali veličinu úměrnou hustotě Lagrangeovy funkce): ( ) ( ) 3 3 j A d x = Qφ+ QA v δ( x x) d x = Qφ+ QA v Z uvedeného vztahu je již jasná chybějící část ve vztahu (14), správná Lagrangeova funkce pro nerelativistický pohyb částic v elektrickém a magnetickém poli bude 1 L= mv Qφ + QA v Standardními postupy určíme zobecněnou hybnost, zobecněnou energii a po vyloučení rychlosti z obou vztahů Hamiltonovu funkci Všechny důležité vztahy jsou: 1 L= mv Qφ + QA v, (15) L p = m v + Q A, (16) v L 1 E = v L= mv + Qφ, (17) v ( p Q A) H = + Qφ (18) m Pozn 1: Energii budeme v této kapitole značit E, abychom ji odlišili od intenzity elektrického pole E Pozn : Zobecněná hybnost není součinem hmotnosti a rychlosti jako v klasické mechanice! Pozn 3: Energie nezávisí na A, magnetické pole totiž nemění energii, ale jen směr rychlosti Ukažme, že příslušné Lagrangeovy rovnice jsou totožné s Lorentzovou rovnicí pro pohyb nabité částice Ve složkách máme 1 L= mvv j j Qφ (, t x) + QAj(, t x) v j ; d L L =, dt vi xi d φ Aj ( m vi + QA i) + Q Q vj =, dt xi xi d A dx i Ai j φ Aj ( m vi) + Q + Q + Q Q vj =, dt x dt x x j i i d Ai φ Aj Ai ( m vi) = Q + vj dt x i xi x j Poslední část v hranaté závorce lze upravit pomocí Levi-Civitova tenzoru do tvaru (A18) d A φ d ( mv) = Q + rot ( m ) = Q[ + ], dt v A v E v B x dt což je známá Lorentzova pohybová rovnice 7

8 Pohyby nabitých částic 11 Pohyb v elektrickém poli, optická analogie Pokud se nabitá částice pohybuje jen v homogenním elektrickém poli, nelze situaci řešit nerelativisticky Elektrické pole by částici urychlovalo nade všechny meze, což je v rozporu se speciální relativitou Můžeme ale řešit situaci, kdy je elektrické pole nenulové jen v malé oblasti prostoru, například v nějaké stěně Idealizovaným případem je rázová vlna se skokem elektrického potenciálu (tzv dvojvrstva, podrobněji viz kapitola 334) V obou polorovinách je potenciál konstantní a tedy elektrické pole nulové Nabitá částice se proto pohybuje rovnoměrně přímočaře K jedinému urychlení dochází na rozhraní, a to ve směru osy x Složka rychlosti ve směru osy y se nemění, žádné pole v tomto směru nepůsobí Tečná složka rychlosti je proto spojitá v sinα = v sinα (19) 1 1 Při pohybu nabité částice se bude zachovávat energie (17): 1 mv1 + Qφ 1 1 = mv + Qφ = E (11) Pokud z posledního vztahu vypočteme rychlosti a dosadíme do (19), dostaneme sinα E Qφ Qφ Qφ φ φ U = = = = sinα E Qφ Qφ Qφ φ φ U (111) Uvedenému vztahu se říká optická analogie pohybu částice v elektrickém poli Svým tvarem připomíná Snellův zákon lomu 113 Pohyb v homogenním magnetickém poli 8 E = B = (,, ) (,, B) počáteční podmínky: x() = (,,), p() = (, v,) m φ = A = ( B y,, ) A = (, B x, ), nebo nebo A = 1 ( B y, B x, ) Hodnota vektorového potenciálu A plyne ze vztahu (1) Pro vektorový potenciál A budeme používat druhé z uvedených možných vyjádření Potenciály elektrických a magnetických polí pro typické konfigurace naleznete v dodatku D3 Zobecněná hybnost je v našem případě dána vztahem p = mv + QA Pro Hamiltonovu funkci platí

9 Pohyby nabitých částic x + y + z ( p Q A) p ( p QBx) p H = + Qφ = m m a Hamiltonovy rovnice jsou H p x x = =, (11) p m Z rovnic (116), (117) máme ihned py() t = py() = mv, p () t = p () = x H p y QBx y = =, (113) p m y H p z = = z, (114) p m z H QB( py QBx) p x = =, (115) x m z H p y = =, (116) y H p z = = (117) z Tyto výrazy spolu s p x vyjádřeným z (11) dosadíme do (115) a získáme tak rovnici z QB QBv x+ x = m m pro proměnnou x Po jejím vyřešení (je součtem homogenního a partikulárního) známe závislost x(t) a můžeme již přímo integrovat rovnice (113), (114) Výsledné řešení má tvar x() t = RL RLcos ωct, yt () = RLsin ωct, (118) zt () =, kde jsme označili mv QB RL ; ωc (119) QB m tzv Larmorův poloměr R L a cyklotronní frekvenci ω c Trajektorii získáme vyloučením času z (118): ( x R ) y R + = (1) L L Vidíme, že pohyb se děje po kružnici s poloměrem R L a se středem S = [ R L, ] Magnetické pole nepůsobí na pohyb částice ve směru podél pole Kolmo na směr pole působí Lorentzova síla, která zakřivuje trajektorii částice na kružnici Při nenulové počáteční 9

10 Pohyby nabitých částic rychlosti v z () je pohyb částice složen z rovnoměrného přímočarého pohybu podél pole a Larmorovy rotace (tzv gyrace), tím vzniká pohyb po šroubovici Samotné elektrické pole naopak nepůsobí na pohyb částice napříč pole (v nerelativistickém případě) nebo jen velmi málo (v relativistickém případě) Ve směru pole dochází k urychlování Poznámka : Výpočet Larmorovského pohybu lze také provést přímo z Lorentzovy pohybové rovnice m r = Qr B Složka z opět vede na volný pohyb Ve složce x a y dostáváme QB x = By, (11) m QB y = Bx (1) m Obě rovnice je možné řešit různými způsoby Asi nejrychleji k cíli vede postup Landauův postup: druhou rovnici přenásobíme komplexní jednotkou a sečteme s první Kombinaci QB/m označíme jako cyklotronní frekvenci: x + iy = iω B( x + iy ) (13) Nyní stačí zavést komplexní proměnnou ξ x + iy a řešit jednoduchou rovnici c ξ = iω B ξ (14) v komplexním oboru Po nalezení integračních konstant získáme řešení pro x a y oddělením reálné a imaginární části řešení c 114 Pohyb ve zkřížených polích Řešme nyní pohyb v homogenním magnetickém poli a na něho kolmém poli elektrickém: E = ( E,,) φ = Ex, A = ( B y,,) nebo B = (,, B) A = (, B x,) nebo A = 1 ( B y, B x,) počáteční podmínky: x() = (,,), p() = (,,) 1

11 Pohyby nabitých částic Nabitou částici vložíme do počátku souřadnicové soustavy s nulovou rychlostí Pro vektorový potenciál A budeme používat druhé z uvedených možných vyjádření Zobecněná hybnost je opět p = mv + QA Pro Hamiltonovu funkci platí x + y + z ( p QA) p ( p QBx) p H = + Qφ = QEx m m a Hamiltonovy rovnice jsou H p x x = =, (15) p m x H p y QBx y = =, (16) p m y H p z = = z, (17) p m z H QB( py QBx) p x = = + QE, (18) x m H p y = =, (19) y H p z = = (13) z Postupem zcela analogickým předešlému příkladu získáme řešení x() t = RD RDcos ωct, yt () = RDsin ωct v Dt, (131) zt () =, kde jsme označili QB E mv ω D c ; v D ; RD (13) m B QB tzv cyklotronní frekvenci ω c, driftovou rychlost v D a driftový poloměr R D Rovnice trajektorie má po částečném vyloučení času z rovnic (131) tvar ( ) x R + y+ t = R ( v ) (133) D D D Jde tedy o pohyb po kružnici s poloměrem R D, jejíž střed S = [R D, v D t] se pohybuje konstantní driftovou rychlostí v D kolmo na elektrické i magnetické pole Pro nulovou počáteční rychlost platí vztah plynoucí okamžitě z definic (13) v = ω R (134) D c D a výsledná křivka (133) se nazývá cykloida Pro nenulovou počáteční rychlost již neplatí (134) a pohyb probíhá po obecnější křivce, tzv trochoidě: 11

12 Pohyby nabitých částic kde se driftový poloměr změnil na R x() t = R R cos ω t, D D c yt () = R sin ω t v t, zt () = v t, m QB D c D z D = x + y + D (135) v ( v v ) (136) Pro v z = se pohyb opět děje po kružnici s pohybujícím se středem S [ R t ] Q > mají trochoidy tvar: =, v Pro D D V bodech trajektorie 1,, 3 má částice různou potenciální energii φ = Ex φ > φ > φ a vzhledem k zákonu zachování energie i různou rychlost const mv Qφ v 1 3 a tím i různý Larmorův poloměr: R m v = R < R < R QB L L1 L L 3 Trochoidální trajektorii částice lze tedy interpretovat jako pohyb po kružnici s proměnným poloměrem Na následujícím obrázku jsou typické stopy nabitých částic v mlžné komoře 1

13 Pohyby nabitých částic 1 Relativistické pohyby 11 Lagrangeova a Hamiltonova funkce V Lagrangeově funkci (15) je správně relativisticky zapsána interakční část Lagrangeova funkce pro volnou částici ale není ve shodě se speciální relativitou; ta by měla být nějakou funkcí relativistického invariantu v ds c dt + dx + dy + dz = c dt 1 c Je zřejmé, že by mělo být Ldt ds = c 1 v / c dt, tj Lčástice = α 1 v / c Koeficient úměrnosti α určíme tak, aby v limitě malých rychlostí výraz přešel v Lagrangeovu funkci m v / pro nerelativistickou částici (m je klidová hmotnost částice): v v Lčástice = α 1 v / c α 1 = α α α = m c c c Posunutí o konstantu není podstatné Výsledná Lagrangeova funkce pro relativistické pohyby nabitých částic v elektrických a magnetických polích tedy je 13 1 Standardním způsobem určíme hybnost a energii: L= m c v c Qφ + QA v (137) L m v p = + Q A v 1 v c, (138) E L mc = v L = + Qφ v 1 v c (139) Povšimněte si, že zavedeme-li tzv pohybovou hmotnost m m 1 v získají vztahy pro hybnost a energii jednoduchý a srozumitelný tvar c, (14) p= mv + QA; E = mc + Qφ (141) Posledním krokem bude odvození Hamiltonovy funkce Z klasické mechaniky víme, že je vždy možné nalézt Legendreovu duální transformaci, tj z výrazů (138) a (139) vyloučit rychlost Nejjednodušším postupem je ponechat na pravé straně výrazů jen odmocniny a rovnice umocnit na druhou: ( p QA) c m v = 1 v mc ( E Qφ ) 1 = 1 v c ; c

14 Pohyby nabitých částic Odečteme-li nyní obě rovnice od sebe, vykrátí se čitatel se jmenovatelem a na pravé straně zmizí závislost na rychlosti: 1 ( E φ ) ( p A) Q Q = m c c V tuto chvíli již stačí jen dopočítat energii a označit ji jako Hamiltonovu funkci: H = c m c + ( p QA ) + Qφ (14) 1 Pohyb v homogenním elektrickém poli E = ( E,,) φ = E x, B = (,,) A = ; počáteční podmínky: x() = (,, ), p() = (, p, ), kde p mv 1 v c Úlohu budeme řešit jako rovinný problém Hodnota potenciálu φ plyne ze vztahu (11) pro A = Hamiltonova funkce problému je 14 p A φ x y H = c m c + ( Q ) + Q = c m c + p + p QEx, a příslušné Hamiltonovy rovnice mají tvar H cp x = =, (143) p x m c + p + p x x y H cpy y = =, (144) p y m c + p + p x y Integrací rovnic (145), (146) dostaneme px() t = QEt, p ( t) = p () = const = p y H p x = = QE, (145) x H p y = = (146) y y Toto řešení dosadíme do rovnic (143), (144) a integrujeme: t cp t x QEt c xt () = dt = c dt = ( π ) + ( QEt) π, mc + p + p π + ( QEt ) QE x y

15 Pohyby nabitých částic t cpy t p pc QEt yt ( ) = dt = c dt = arcsh mc p p QEt QE π x y π ( ) Výsledné řešení je tedy dáno vztahy πc xt () = 1 + ( QEt/ π ) 1, QE pc yt ( ) = arcsh ( QEt/ π ), QE (147) kde jsme označili v v p m 1 c, π mc + p (148) Proveďme nyní nerelativistickou limitu v<< c (tj p mc) π mc; p = mv, tj mc QEt mc 1 QEt QE x() t = = t, QE mc QE mc m cmv QEt cmv QEt yt ( ) = arcsh = v t QE mc QE mc Vidíme, že výrazy přecházejí ve známé klasické vztahy pohyb rovnoměrně zrychlený ve směru pole a pohyb rovnoměrný napříč polem Současně rychlost ve směru pole v x neroste nade všechny meze, tak jako v klasickém případě: dx c t lim vx ( t) = lim = lim ( QE) = c t t dt t QE π QEt + ( ) V libovolném konečném čase t je vždy v x < c Vyloučíme-li z (147) čas, dostaneme trajektorii částice π c QE x = ch y 1 QE pc Rozdíl mezi funkcemi x = y / (klasická trajektorie) a x = ch(y) 1 je na obrázku: (149) 15

16 Pohyby nabitých částic 13 Adiabatické přiblížení Budeme předpokládat, že magnetické pole dominantně ovlivňuje pohyb nabitých částic a základním pohybem je tedy Larmorova rotace neboli gyrace kolem magnetických silokřivek V plazmatu mohou být samozřejmě přítomna i další pole, například elektrické a gravitační V adiabatickém přiblížení předpokládáme, že všechna pole se za jednu Larmorovu otočku změní jen málo V čase to znamená, že dojde k malé změně polí za dobu jedné otočky částice; v prostoru tato podmínka říká, že se pole změní málo na Larmorově poloměru Matematicky lze oba předpoklady vyjádřit takto: Fk F Fk F ; pro kl,, (15) T x R l kde F je jakékoli pole ovlivňující pohyb částic Pole se mohou měnit v čase i prostoru, ale jen v malé míře Za tohoto předpokladu se zachovávají některé veličiny, z nichž nejdůležitější je první adiabatický invariant Často budeme potřebovat znát projekci rychlosti částice do směru magnetického pole (ve směru pole je pohyb volný a částice se pohybuje podél silokřivek) a projekci do směru kolmého na silokřivky (odpovídá Larmorově rotaci): B B 1 v = v = ( v B ) B ; (151) B B B v v v (15) Rovnoběžnou projekci jsme standardním způsobem rozepsali jako velikost směr 131 První adiabatický invariant = Předpokládejme, že se částice pohybuje Larmorovou rotací v pomalu se měnícím magnetickém poli B () t Spočtěme změnu kinetické energie Larmorovy rotace za jednu otočku: B W = F dl = QE dl = Q (rot E) ds= Q ds= Q π RL B γ= S γ= S S S Při odvození jsme využili Stokesovu větu a Faradayův indukční zákon Vzhledem k tomu, že se pole mění za jednu otočku jen málo, můžeme derivaci pole nahradit jeho změnou za jednu otočku, tedy za periodu: B B W Q R Q R T π = L L L π/ ω π c Nyní dosadíme dříve odvozené vztahy pro Larmorův poloměr RL = mv / QB a cyklotronní frekvenci ω c = QB/ m a dostaneme relaci mv B B W B B B W B W = = W = W B µ W mv = = const B B (153) S nárůstem pole tedy úměrně poroste kolmá složka kinetické energie Veličina µ se nazývá první adiabatický invariant a je konstantní pro pomalu se měnící pole 16

17 Pohyby nabitých částic Poznámka 1: Při odvození jsme využili relaci 17 W W B = W B, B jejíž platnost pro nenulové pole snadno dokážeme diferenciací vztahu W / B= const : B W W B W B = = = B B W W B B W Poznámka : Odvozený adiabatický invariant má mnohem obecnější platnost a zůstává konstantní při jakýchkoli malých časových i prostorových změnách všech polí působících na částici V teoretické mechanice se ukazuje, že se při kvaziperiodickém pohybu pod vlivem pomalu se měnících polí zachovává integrál přes periodu pqdq= const Pokud za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel při Larmorově rotaci, potom zobecněnou hybností bude moment hybnosti a dostaneme m mrl π = const v v const B = Poznámka 3 (magnetický moment): První adiabatický invariant má několik významů: 1) mv W µ = = ; B B ) µ = IS ; 3) 1 µ = Qr v (154) Z druhého nebo třetího vyjádření vidíme, že jde o magnetický moment gyrující částice (viz dodatek E) Ekvivalentnost všech vyjádření je zřejmá z přímého dosazení: 13 Pohyb gyračního středu Q mv IS = π RL = = ; T B 1 1 mv Qr v = QRLv = = B V mnoha případech nepotřebujeme znát detailní pohyb částice v magnetickém poli Vystředujeme-li známý gyrační pohyb, můžeme se zabývat jen pohybem gyračního středu Při odvození budeme používat malý parametr ε, který bude určovat, které členy jsou podstatné a které nikoli Po vystředování provedeme limitu ε 1 Až do vystředování budeme používat dva časy: t pomalu se měnící čas ve shodě s adiabatickým přiblížením (čas, který popisuje změny polí) τ rychle se měnící čas popisující jednotlivé fáze gyrace Přes tento čas budeme středovat a budeme předpokládat, že τ t/ ε Označme R ( t) polohu gyračního středu, r ( t) skutečnou polohu gyrující částice a ρ ( t, τ ) vektor gyrace, přes který budeme středovat:

18 Pohyby nabitých částic Souřadnicový systém zavedeme tak, aby třetí osa lokálně mířila ve směru magnetického pole, tedy bude platit e3 = B /B (155) Polohový vektor částice podle obrázku bude: r(, t τ ) = R() t + ερ (, t τ), (156) Parametrem ε označujeme, že gyrace je pro nás méně podstatný jev než pohyb gyračního středu Podle (118) budeme pro gyraci v našem souřadnicovém systému mít ( ) e ( ) ρ (, t τ ) = e R ()cos t ω () t τ + R ()sin t ω () t τ (157) 1 L c L c Povšimněte si, že rychlé změny souvisící s gyrací jsou označeny časem τ, přes který budeme středovat Pohybovou rovnici částice zapíšeme ve tvaru 1 m r = Fext (, t r) + Qr B(, t r), (158) ε parametr ε koresponduje s dominantním postavením magnetického pole v problému Pohybovou rovnici také můžeme psát ve tvaru εm r = εf (, t r ) + Qr B (, t r ), (159) ext která v limitě ε přejde na rovnici r B= popisující pohyb částice podél silokřivek Nyní ve shodě s (156) vypočteme jednotlivé členy Derivaci podle času t budeme označovat standardně tečkou, derivaci podle rychlého času τ t/ ε čárkou (dτ/dt ~ 1/ε): r() t = R() t + ε ρ(, t τ ); r = R + ε ρ+ρ ; 1 r = R + ε ρ +ρ + ρ ; ε Fext() r Fext( R) + ε ( ρ ) Fext ; Br () BR ( ) + ε ( ρ ) B Po dosazení získáme pohybovou rovnici ve tvaru 1 εm R + ερ+ρ + ρ = ε[ ext( ) + ε( ) ext] + Q + ε [ ( ) + ε( ) ] ε F R ρ F R ρ+ρ B R ρ B Nyní provedeme středování přes rychle se měnící čas τ Z (157) je vidět, že ρ = ρ = ρ = ρ = ρ = ρ = (16) τ τ τ τ τ τ Nenulové zůstanou jen střední hodnoty z kvadrátu vektoru gyrace ρ V pohybové rovnici ponecháme jen členy do prvního řádu v ε: ε m R = εfext ( R ) + Q R B ( R ) + ε Q ρ ( ρ ) B τ 18

19 Pohyby nabitých částic Zbývá tedy provést středování posledního členu Za vektor gyrace dosadíme z (157), za gradient e1 x + e y + e 3 z a využijeme relace e e = e ; e e = e ; e e = e ; B= B e ; cosωτ c = sinωτ c = sinωτ c cosωτ c = ; cos ωτ c = sin ωτ c = τ τ τ τ τ Středování se netýká vektorů e k, které se mění s pomalým časem t Výsledek středování je ext ( ) ( ) m εmr = εf R + QR v B R ε B B Po provedení limity ε 1 získáme hledanou pohybovou rovnici pro gyrační střed mr = F + QR B µ B; ext m µ v (161) B Poznámka: Všechny síly v rovnici jsou fiktivní, působí v gyračním středu, kde ve skutečnosti žádná částice není 133 Síla µ B Nová síla µ B vytlačuje částice z oblastí silnějších magnetických polí Závisí jen na velikosti pole B, nikoli na jeho směru Míří z oblasti silnějšího magnetického pole do oblasti slabšího pole Koeficientem je první adiabatický invariant Síla opět působí v místě gyračního středu a jde tedy o fiktivní sílu Povšimněme si původu síly na obrázku vlevo Lorentzova síla je vždy kolmá k silokřivkám a tak má u zhušťujících se silokřivek nenulovou i složku rovnoběžnou s osou systému, která gyrující částici vytlačuje z oblasti hustého pole Předpokládejme, že původní neporušené pole mířilo v ose z: B = (,, B) Zaveďme nyní malou poruchu pole B/ z > podle pravého obrázku V tu chvíli ale nutně vzniká nenulová radiální složka pole B r (ve válcových souřadnicích) a síla F z vytlačující částici z oblasti zhuštění Nejlépe je to vidět z rovnice div B = přepsané do válcových souřadnic (B φ = ): 1 Bz ( rbr ) + =, r r z 19 r B z ( rb ) = r z, / r

20 Pohyby nabitých částic rb r r = B z r Bz r B Br = z z Tato radiální složka pole ( Br Bz B) způsobuje vznik síly v ose z: z, ωcrl c L RL B B Fz = QBrv ϕ = Q ( ω R ) = z z Podle obrázku je úhlová složka rychlosti pro kladný náboj záporná Po dosazení za úhlovou frekvenci a Larmorův poloměr z (119) dostaneme mv B B Fz = = µ B z z Sílu µ B lze tedy získat i jinak než středováním přes gyraci Postup přes středování je ovšem obecnější, protože tuto sílu získáme i v případě, kdy působí kolmo na silokřivky a pole se zhušťuje ve směru kolmém na silokřivky, tj například B / x : z 134 Driftová rovnice Násobme rovnici pro pohyb gyračního středu (161) vektorově magnetickým polem Po standardní úpravě dvojného vektorového součinu a vydělení celé rovnice QB dostaneme B B Fext B µ B B mr B R R = ; B B QB Druhý výraz na levé straně je projekcí rychlosti gyračního středu do směru magnetického pole, tedy levá strana má tvar R, což je kolmá projekce rychlosti gyračního středu: R R ext µ B m = F B B R B QB (16) Odvozená rovnice se nazývá driftová rovnice Gyrační střed se může pohybovat nenulovou rychlostí R kolmo na silokřivky magnetického pole Takový pohyb nazýváme drift a může vzniknout třemi způsoby odpovídajícími třem členům rovnice na pravé straně První příčinou mohou být další pole, například elektrické nebo gravitační Druhou příčnou může být nehomogenita magnetického pole, která vede na grad B drift Poslední příčinou může být nerovnoměrný pohyb gyračního středu Buď je způsobený změnou směru rychlosti gyračního středu způsobenou zakřivením silokřivek (drifty zakřivení) nebo změnou velikosti rychlosti gyračního středu (inerciální drifty) Driftování nabitých částic kolmo na magnetické pole je velice častým jevem v plazmatu Většinou jde o kombinaci několika driftů naráz, neboť některé drifty způsobí separaci náboje a vznik elektrického pole, které následně vede na drift v elektrickém poli Pokud se situace

Úvod do fyziky plazmatu

Úvod do fyziky plazmatu Úvod do fyziky plazmatu Plazma Velmi často se o plazmatu mluví jako o čtvrtém skupenství hmoty Název plazma pro ionizovaný plyn poprvé použil Irwing Langmuir (1881 1957) v roce 1928, protože mu chováním

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety Magnetické pole Ve starověké Malé Asii si Řekové všimli, že kámen magnetovec přitahuje podobné kameny nebo železné předměty. Číňané kolem 3. století n.l. objevili kompas. Tyčový magnet (z magnetovce nebo

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Maturitní témata fyzika

Maturitní témata fyzika Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený

Více

SLUNCE A JEHO POZOROVÁNÍ I FYZIKA PLAZMATU

SLUNCE A JEHO POZOROVÁNÍ I FYZIKA PLAZMATU POZVÁNKA NA WORKSHOP PROJEKTU SE SLUNCEM SPOLEČNĚ SLUNCE A JEHO POZOROVÁNÍ I FYZIKA PLAZMATU 28. 30. června 2013, Hvězdárna Valašské Meziříčí Milí přátelé, Hvězdárna Valašské Meziříčí, p. o. ve spolupráci

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

Fyzika II mechanika zkouška 2014

Fyzika II mechanika zkouška 2014 Fyzika II mechanika zkouška 2014 Přirozené složky zrychlení Vztahy pro tečné, normálové a celkové zrychlení křivočarého pohybu, jejich odvození, aplikace (nakloněná rovina, bruslař, kruhový závěs apod.)

Více

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013 1. a) Kinematika hmotného bodu klasifikace pohybů poloha, okamžitá a průměrná rychlost, zrychlení hmotného bodu grafické znázornění dráhy, rychlosti a zrychlení na čase kinematika volného pádu a rovnoměrného

Více

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky:

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: 1. Kinematika 2. Dynamika 3. Práce, výkon, energie 4. Gravitační pole 5. Mechanika tuhého tělesa 6. Mechanika kapalin a plynů 7. Vnitřní energie, práce,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Animovaná fyzika Top-Hit Atomy a molekuly Atom Brownův pohyb Difúze Elektron Elementární náboj Jádro atomu Kladný iont Model atomu Molekula Neutron Nukleonové číslo Pevná látka Plyn Proton Protonové číslo

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Obr. 9.1: Elektrické pole ve vodiči je nulové

Obr. 9.1: Elektrické pole ve vodiči je nulové Stejnosměrný proud I Dosud jsme se při studiu elektrického pole zabývali elektrostatikou, která studuje elektrické náboje v klidu. V dalších kapitolách budeme studovat pohybující se náboje elektrický proud.

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

Maturitní temata z fyziky pro 4.B, OkB ve školním roce 2011/2012

Maturitní temata z fyziky pro 4.B, OkB ve školním roce 2011/2012 Maturitní temata z fyziky pro 4.B, OkB ve školním roce 2011/2012 1. Kinematika pohybu hmotného bodu pojem hmotný bod, vztažná soustava, určení polohy, polohový vektor trajektorie, dráha, rychlost (okamžitá,

Více

Základní škola, Ostrava Poruba, Bulharská 1532, příspěvková organizace

Základní škola, Ostrava Poruba, Bulharská 1532, příspěvková organizace Fyzika - 6. ročník Uvede konkrétní příklady jevů dokazujících, že se částice látek neustále pohybují a vzájemně na sebe působí stavba látek - látka a těleso - rozdělení látek na pevné, kapalné a plynné

Více

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 Proč studovat hvězdy? 9 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů.... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 2 Záření a spektrum 21 2.1 Elektromagnetické záření

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A Doporučená literatura Přípravný kurz Chemie 2006/07 07 RNDr. Josef Tomandl, Ph.D. Mailto: tomandl@med.muni.cz Předmět: Přípravný kurz chemie J. Vacík a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1990,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Schválilo Ministerstvo školství mládeže a tělovýchovy dne 15. července 2003, čj. 22 733/02-23 s platností od 1. září 2002 počínaje prvním ročníkem Učební osnova

Více

POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ. (Bl) (И) ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) (SI) Int Cl* G 21 G 4/08

POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ. (Bl) (И) ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) (SI) Int Cl* G 21 G 4/08 ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ 262470 (И) (Bl) (22) přihláženo 25 04 87 (21) PV 2926-87.V (SI) Int Cl* G 21 G 4/08 ÚFTAD PRO VYNÁLEZY A OBJEVY (40)

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

6.07. Fyzika - FYZ. Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 4 Platnost učební osnovy: od 1.9.

6.07. Fyzika - FYZ. Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 4 Platnost učební osnovy: od 1.9. 6.07. Fyzika - FYZ Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 4 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu Vyučovací předmět fyzika

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

Užití mikrovlnné techniky v termojaderné fúzi. A. Křivská 1,2. Ústav fyziky plazmatu AV ČR, v.v.i., Česká republika

Užití mikrovlnné techniky v termojaderné fúzi. A. Křivská 1,2. Ústav fyziky plazmatu AV ČR, v.v.i., Česká republika Užití mikrovlnné techniky v termojaderné fúzi A. Křivská 1,2 1 Ústav fyziky plazmatu AV ČR, v.v.i., Česká republika 2 České vysoké učení technické v Praze, Fakulta elektrotechnická, katedra telekomunikační

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Vladimír Scholtz (007) Obsah KONTOLNÍ OTÁZKY A ODPOVĚDI OTÁZKA 1: VEKTOOVÉ POLE OTÁZKA : OPAČNÉ NÁBOJE OTÁZKA 3:

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

K definování pojmu plazma budeme potřebovat několik kapitol. Začneme u obyčejného plynu v krabici.

K definování pojmu plazma budeme potřebovat několik kapitol. Začneme u obyčejného plynu v krabici. 5 Plazma K definování pojmu plazma budeme potřebovat několik kapitol. Začneme u obyčejného plynu v krabici. 5.1 Rozdělení rychlostí Mějmekrabicioobjemu1m 3 avníplynopokojovéteplotě.plynjetvořenjedním druhem

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

FYZIKA II Otázky ke zkoušce

FYZIKA II Otázky ke zkoušce FYZIKA II Otázky ke zkoušce 1. Formy fyzikálního pohybu. Hmotný bod, trajektorie, dráha, zákon pohybu, vztažná soustava. Pohyb hmotného bodu podél přímky: vektor posunutí, rychlost posunutí, okamžitá rychlost,

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

2. Pro každou naměřenou charakteristiku (při daném magnetickém poli) určete hodnotu kritického

2. Pro každou naměřenou charakteristiku (při daném magnetickém poli) určete hodnotu kritického 1 Pracovní úkol 1. Změřte V-A charakteristiky magnetronu při konstantním magnetickém poli. Rozsah napětí na magnetronu volte 0-200 V (s minimálním krokem 0.1-0.3 V v oblasti skoku). Proměřte 10-15 charakteristik

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník PLYNNÉ LÁTKY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník Ideální plyn Po molekulách ideálního plynu požadujeme: 1.Rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Práce a energie, tepelné jevy, elektrický proud, zvukové jevy Tercie 1+1 hodina týdně Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika

Více

Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 Modul 3 Základy elektrotechniky

Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 Modul 3 Základy elektrotechniky Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 3.1 Teorie elektronu 1 1 1 Struktura a rozložení elektrických nábojů uvnitř: atomů, molekul, iontů, sloučenin; Molekulární struktura vodičů, polovodičů a

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích z bublinové komory.

Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích z bublinové komory. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM IV Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

elektrický náboj elektrické pole

elektrický náboj elektrické pole elektrický náboj a elektrické pole Charles-Augustin de Coulomb elektrický náboj a jeho vlastnosti Elektrický náboj je fyzikální veličina, která vyjadřuje velikost schopnosti působit elektrickou silou.

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

1. Molekulová stavba kapalin

1. Molekulová stavba kapalin 1 Molekulová stavba kapalin 11 Vznik kapaliny kondenzací Plyn Vyjdeme z plynu Plyn je soustava molekul pohybujících se neuspořádaně všemi směry Pohybová energie molekul převládá nad energii polohovou Každá

Více

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední

Více

Molekuly 1 21.09.13. Molekula definice IUPAC. Proč existují molekuly? Molekuly. Kosselův model. Představy o molekulách. mezi atomy vzniká vazba

Molekuly 1 21.09.13. Molekula definice IUPAC. Proč existují molekuly? Molekuly. Kosselův model. Představy o molekulách. mezi atomy vzniká vazba C e l k o v á e n e r g i e 1.09.13 Molekuly 1 Molekula definice IUPAC l elektricky neutrální entita sestávající z více nežli jednoho atomu. Přesně, molekula, v níž je počet atomů větší nežli jedna, musí

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS X. Faradayův indukční zákon Obsah 10 FARADAYŮV INDUKČNÍ ZÁKON 10.1 FARADAYŮV INDUKČNÍ ZÁKON 10.1.1 MAGNETICKÝ TOK 10.1. LENZŮV ZÁKON 4 10. ELEKTROMOTORICKÉ NAPĚTÍ ZPŮSOENÉ POHYEM

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu 1.7 Magnetické poe stacionárního proudu Pohybující se e. náboje (e. proud) vytvářejí magnetické poe. Naopak poe působí siou na pohybující se e. náboje. 1.7.1 E. proud, Ohmův zákon v diferenciáním tvaru

Více