Úlohy k pøedná¹ce NMAG 102: Lineární algebra a geometrie 2, 2016

Transkript

1 Úlohy k øedná¹ce NMG : Lineární algebra a geometrie, Verze ze dne kvìtna Toto je seznam øímoèarých øíkladù k øedná¹ce Úlohy z tohoto seznamu je nezbytnì nutné umìt øe¹it Oakování Nech» = ; ; a = rostoru R ; ; jsou oslounosti vektorù lineárního (a) Ovìøte, ¾e jsou a báze, (b) soèítejte souøadnice [u] a [u] ro u =, (c) najdìte souøadnice [v] vektoru v, víte-li, ¾e [v] = (d) najdìte matici vùèi kanonickým bázím lineárního zobrazení ', ro nì¾ '([v] ) = [v] (Pozor na mo¾nost zmatku mezi bázemi: [v] je oìt vektor, který mù¾eme vyjadøovat v souøadnicích vùèi rùzným bázím) Pro lineární oerátor ' : V! V a bázi rostoru V oznaème ['] := ['] Je-li [f ] M 5 K = je matice lineárního zobrazení f : Z 7! Z 7 5 vzhledem k bázi M = ; a kanonické bázi K rostoru Z 7, soèítejte matice [f ] M a [f ] K (Pøiomeòte si dva zùsoby, jak invertovat matici øádu ) Pro lineární oerátor g na rostoru Z 5 daný vztahy g( ) = a g( ) = (Najdìte rùzné zùsoby øe¹ení úlohy a) Jak nejsnáze najít g( )? Jak souvisí s maticí [g] K? urèete matici [g] K b) Vzhledem ke kterým bázím doká¾ete matici g nasat bez oèítání? Jaká volba bází je vhodná ro øe¹ení úlohy? Jak vyjde [g] K, kde = ; ) Jestli¾e [h] = je matice lineárního oerátoru h na rostoru R vzhledem bázi z øíkladu, najdìte matici [h] K a jádro h (Lze vidìt jádro zobrazení h u¾ z matice [h]? Pøiomeòte si øíslu¹né tvrzení (Ker [h] D = [Ker h] ) Jak by se ostu hledání jádra li¹il, kdybychom mìli matici [h] K?)

2 Dolòující úlohy 5 Poi¹te lineární zobrazení ' a, ro nì¾ '() = a () = (s ohledem na oøadí vektorù) (b) [u] =, [u] =, (c) [u] =, (d) ['] K K = [Id] = [f ] M = [g] K = a [f ] K = [h] K = 5 5, Ker (h) = h i 5 Pokud slouce matic a jsou vektory øíslu¹ných bazí, ak ['] K K =, [ ] K K =

3 Skalární souèin : kolmost Uva¾ujme standardní skalární souèin na reálném rostoru R a nech» u =, v = R (a) Soèítejte k u k, k v k a úhel, který svírají vektory u a v, (b) najdìte odrostor v¹ech vektorù rostoru R, které jsou kolmé na u, (c) najdìte odrostor v¹ech vektorù rostoru R, které jsou kolmé na v, (d) najdìte v¹echny vektory rostoru R kolmé zároveò na u i na v Najdìte bázi ortogonálního dolòku odrostoru U = h(; ; ; ; ) T ; (; ; ; ; ) T i reálného vektorového rostoru R 5 se standardním skalárním souèinem V komlexním vektorovém rostoru se standardním skalárním souèinem urèete ortogonální dolnìk roviny ( + i; i; ) T ; ( i; ; ) T Skalární souèin na R je dán øedisem hu jv i = u T 5 v : Soèítejte normu vektorù vektory u = (; ) T a v = (; ) T a úhel mezi nimi 5 V rostoru R se skalárním souèinem h ji je = ((; ) T ; (; ) T ) ortonormální báze Urèete (a) (; ) T (; ) T, (b) ortogonální dolnìk øímky (; ) T Skalární souèin na je dán øedisem hu jv i = u 5 v : Najdìte (a) v¹echny vektory kolmé na vektor u = (; i) T, (b) nìjakou ortonormální bázi 7 Jsou-li b = ; b = R se standardním skalárním souèinem, ; b = (a) ovìøte, ¾e = (b ; b ; b ) je ortonormální báze R, vektory v reálném aritmetickém vektorovém rostoru (b) soèítejte souøadnice vektorù (; ; ) T, (; ; ) T a (; ; ) T vzhledem k ortonormální bázi, (c) urèete ortogonální rojekce vektorù (; ; ) T, (; ; ) T do odrostoru U = hb ; b i Dolòující úlohy 8 Je-li =, denujme zobrazení h ji, které dvojici vektorù u a v z komlexního lineárního rostoru i øiøadí hodnotu hu jv i = u v

4 (a) Doka¾te, ¾e je h ji skalární souèin, (b) soèítejte ke k, ke k, k k, he i je i a i, i (c) najdìte bázi odrostoru v¹ech vektorù rostoru, které jsou kolmé na e souèinu h ji, vzhledem ke skalárnímu (d) najdìte ortonormální bázi vzhledem ke skalárnímu souèinu h ji, 9 Soèítejte normu olynomu ix + (i ) vzhledem ke skalárnímu souèinu hf jg i = R fg (a) k u k =, j v k =, ' = (b) h ; i, (c) h ; i, (d) h i Naøíklad (( ; ; ; ; ) T ; ( ; ; ; ; ) T ; ( 5; ; ; ; ) T ) h(; + i; i) T i k u k = j v k = 5, ' = 5 (a), (b) (; ) T + i (a) h i, (b) Naøíklad 5 + i 7 (b),, ; nebo ; q q, (c), i i 8 (b), 5, 5, i, 7, (c) (d) (, ) Skalární souèin : ortogonální rojekce a ortogonalizace V rostoru R se standardním skalárním souèinem urèete ortogonální rojekci vektoru (; ; ) T na øímku (; 5; ) T V rostoru R se standardním skalárním souèinem urèete nejle¹í aroximaci vektoru (; ; ) T v rovinì (; ; ) T ; (; ; ) T a chybu této aroximace 5 V rostoru R uva¾ujme skalární souèin hu jv i = u T v a vektory u = (; ; ) T ; u = (; ; ) T Soèítejte (a) nejle¹í aroximaci vektoru u v øímce hu i a chybu této aroximace, (b) Grammovu matici (hu i ju j i) ro oslounost (u ; u ), (c) nejle¹í aroximaci vektoru (; ; ) v odrostoru hu ; u i Metodou nejmen¹ích ètvercù najdìte nejle¹í aroximaci øe¹ení soustav (a) ; (b) :

5 5 V rostoru R se standardním skalárním souèinem ortogonalizujte bázi M a k nalezené ortogonální bázi urèete øíslu¹nou ortonormální, jestli¾e M = (a) ((; ; ) T ; (; ; ) T ; (; ; ) T ), (b) ((; ; ) T ; (; ; ) T ; (; ; ) T ) Najdìte QR rozklady reálných matic: (a), (b), (c) 7 V rostoru R se standardním skalárním souèinem najdìte ortonormální bázi odrostoru W = h((; ; ; ) T, (; ; ; ) T, (; ; ; ) T i 8 Pro soustavy rovnic soèítejte øe¹ení s nejmen¹í normou Dolòující úlohy: 9 V rostoru R se souèinem hu jv i = u T v uka¾te, ¾e se jedná o skalární skalárním a ortogonalizujte a normalizujte kanonickou bázi Nai¹te matici ortogonální rojekce reálného vektorového rostoru R se standardním skalárním souèinem na øímku h i vzhledem ke kanonickým bázím (; 5; )T 77 aroximace = (; ; ) T a chyba = (; ; ) T (a) aroximace = (; ; )T a chyba = ( ; 8; 5)T, (b), (c) (9; ; )T (a), (b) 5 (a) ( (; ; ) T ; ( ; ; ) T ; (; ; ) T ), ( ; ; ) T ; ( ; ; ) T ) (b) ( (; ; ) T ;! (a) ; (b) (c) 7 Naøíklad ( 5 (; ; ; ) T ; 8 (; ; ; ) T (; ; ; ) T ; (; ; ; ) T 5 9 ON báze ( (; ; ) T ; ( ; ; ) T ; (; ; ) T, 5 5

6 Vlastní èísla a vlastní vektory : výoèet a diagonalizace Je-li ortogonální rojekce reálného vektorového rostoru R se standardním skalárním souèinem na rovinu h(; ; ) T ; (; ; ) T i, najdìte v¹echna vlastní èísla a v¹echny vlastní vektory a najdìte bázi, aby matice [ ] byla diagonální Urèete vlastní èísla (i s algebraickými násobnostmi) a vlastní vektory lineárního oerátoru f na reálném vektorovém R a rozhodnìte, zda je diagonalizovatelný, jestli¾e x (a)f x = x x x x x x x x x x x x + x x ; (b)f x = x + x ; (c)f x = x + x ; x + x + x x x x x Urèete koecienty u, a konstantní koecient charakteristického olynomu reálné matice = Najdìte v¹echna vlastní èísla a v¹echny vlastní vektory reálné matice a rozhodnìte, zda je diagonalizovatelná, jestli¾e = (a) ; (b) 5 ; (c) ; (d) 5 ; (e) : 5 Pro diagonalizovatelné matice z øedchozí úlohy najdìte regulární matici R a diagonální matici D, aby D = R R Mìjme matici = nad tìlesem Z 5 (a) Najdìte (nad Z 5 ) v¹echna vlastní èísla a v¹echny vlastní vektory matice, (b) doka¾te, ¾e je matice diagonalizovatelná a najdìte regulární matici P nad Z 5, ro ni¾ je P P diagonální (c) Soèítejte 7 Matice lineárního oerátoru na Z vhledem k bázi je Urèete vlastní èísla (i s algebraickými násobnostmi) a øíslu¹né vlastní vektory oerátoru f, jestli¾e = ; = ; 8 Najdìte vzorec ro a n v následující oslounosti reálných èísel ; a = ; a = ; a n = a n 5a n ro n 9 Vyøe¹te ro oèáteèní odmínky u () = a u () = soustavu diferenciálních rovnic, kde neznámé jsou reálné funkce reálné romìnné: u = u + u u = u + u

7 Dolòující úlohy: Oerátor f na Z 7 slòuje f ((; )T ) = (; 5) T ; f ((; ) T ) = (; ) T : Urèete jeho charakteristický olynom a vlastní èísla Matice lineárního oerátoru f na rostoru Z 5 vzhledem k bázi = ; je Zjistìte, zda je f diagonalizovatelný Pokud ano, najdìte bázi takovou, ¾e [f ] je diagonální, a urèete [f ] Kolik bází, ro nì¾ je [f ] diagonální existuje? Vyøe¹te diferenèní rovnici (diskrétní lineární dynamický systém) x k+ = x k s oèáteèním vektorem x R = ; x = : Je-li ' (bijektivní) lineární oerátor na reálném rostoru R s maticí [f ] K = vzhledem ke kanonické bázi K, najdìte v¹echna vlastní èísla a v¹echny vlastní vektory lineárních oerátorù f a f a existují-li, najdìte báze a, vùèi nim¾ mají lineární oerátory f a f diagonální matici vlastní èísla: a, vlastní vektory: h(; ; ) T ; (; ; ) T i [ h( ; 5; ) T i (a) vlastní èísla": ; ; (v¹echna algnásobnosti ), vlastní vektory: h(; ; ) T i [ h(; ; ) T i [ h(; ; ) T i (b) vlastní èísla: (algnás ) a (algnás ), vlastní vektory: h(; ; ) T ; (; ; ) T i [ h( ; ; ) T i (c) vlastní èíslo: (algnásobnosti ), vlastní vektory: h(; ; ) T i (a), (b) jsou diagonalizovatelné, (c) není,, (a) vlastní èísla: ;, vlastní vektory: h( ; 5) T i [ h(; ) T i, diagonalizovatelná, (b) vlastní èísla: ;, vlastní vektory: h(; ) T i [ h(; ) T i, diagonalizovatelná, (c) vlastní èísla: ; 7, vlastní vektory: h( ; ) T i [ h(; ) T i, diagonalizovatelná, (d) vlastní èíslo:, vlastní vektory: h(; ) T i, není diagonalizovatelná, (e) vlastní èísla: ;, vlastní vektory: h(; ; ) T ; (; ; ) T i [ h(; ; ) T i, diagonalizovatelná 5 (a) R =, D =, (b) R =, D =, (c) R =, D =, 5 7 (e) R = D = (a) vlastní èísla: ;, vlastní vektory: h(; ; ) T ; (; ; ) T i [ h(; ; ) T i, (b) P =, (c) = I 7 vlastní èíslo: (algnásobnosti ), vlastní vektory: h(; ; ) T i 8 a n = +5n 9 u = e t + e t, u = e t + e t + 5 = ( )( ), vlastní èísla: ; naøíklad ro = ; je, rùzných bází je x k = n vlastní èísla f jsou ;, vlastní èísla f jsou ;, vlastní vektory obou jsou rávì h ; i [ h i 7

8 Vlastní èísla a vlastní vektory : Jordanùv kanonický tvar Vyoèítejte ro reálnou matici = uï = 5, =, = matice nad tìlesem reálných èísel (a) Najdìte Jordanùv kanonický tvar matic i a rozhodnìte, které dvojice matic jsou si odobné (b) najdìte regulární matice P i, aby Pi i P i byly Jordanovy matice, (c) ro dvojice odobných matic najdìte regulární matici S ij, aby S ij is ij = j Uva¾ujme nad tìlesem Z 5 matice D =, D =, D = Existuje-li, najdìte Jordanùv kanonický tvar matic D i ro i = ; ; a regulární matice P i, aby Pi D i P i ro i = ; ; byly Jordanovy, Kolik existuje takových matic P? Uva¾ujme matice = a = nad tìlesem racionálních èísel Existuje-li, najdìte jejich Jordanùv kanonický tvar matic a a rozhodnìte, zda jsou si odobné 5 Mìjme lineární oerátor ' na s maticí ['] K = vzhledem ke kanonické bázi K (a) Najdìte bázi, vùèi ní¾ bude mít ' Jordanovu matici, (b) soèítejte [' 5 ] ro bázi z (a), (c) olo¾íme-li = ['] K, soèítejte mocninu 5 Mìjme komlexní matice G =, H = (a) Najdìte Jordanùv kanonický tvar matic G a H, (b) soèítejte G 5, (c) existuje-li, najdìte nejmen¹í øirozené n, ro které H n = 7 Vyøe¹te diferenèní rovnici x k = f (x k ) ro oèáteèní vektor x = (; ) T, kde oerátor f : R! R je dán vztahem x x + y f = y x + 5y 8 Najdìte vzorec ro n-tý èlen reálné oslounosti a n a = ; a = ; a = ; a n+ = 5a n+ 8a n+ + a n 8

9 9 O reálné matici øádu víme, ¾e má charakteristický olynom (x) = ( x) 9 ( x), dim(ker ( I )) =, dim(ker ( I )) =, dim(ker (( I ) )) = 7, dim(ker (( I ) )) = 9 Urèete matici J v Jordanovì kanonickém tvaru odobnou matici Je-li lineární oerátor na reálném rostoru R daný øedisem ((x; y; z) T ) = (x + y + z; x y + z; y) T, ovìøte, ¾e je odrostor U = h(; ; ) T ; ( ; ; ) T i jeho invariantním odrostorem Oznaème lineární oerátor na U, který vznikne zú¾ením na U (tedy (u) = (u)) Najdìte matice: (a) [] a [ ] ro bázi = ((; ; ) T ; ( ; ; ) T ), (b) [] a [ ] ro bázi = ((; ; ) T ; ( ; ; ) T ) Dolòující úlohy: Matice oerátoru f na R vzhledem k bázi je Najdìte bázi, aby [f ] byla v Jordanovì kanonickém tvaru = ; ; = Najdìte bázi rostoru R slo¾enou z Jordanových øetízkù oerátoru f a matici f vzhledem k této bázi = Najdìte bázi rostoru Z 7, ro kterou je [f ] v Jordanovì kanonickém tvaru a urèete [f ], jestli¾e = 5 5 Uva¾ujme lineární oerátor f na reálném vektorovém rostoru R s maticí [f ] K K = vzhledem ke kanonické bázi K Najdìte v¹echny invariantní odrostory lineárního oerátoru f 5 Najdìte v¹echny invariantní odrostory matice = nad tìlesem Z 5 Kolik jich celkem je? : = 9 (a), (b) P =, P =, P = (c) S = P P = 9

10 D, D, D, P =, P =, P =, existuje rávì 5 5 = rùzných matic P 5 (a) = ( ; ; ), (b) ; (c) (a) G ; H , (b) 5 5 5, (c) n = 7 x k = k k k 8 a n+ = n+ (n + ) (a) [] =, [ ] =, (b) [] =, [ ] = = ; = ; ;, [f] = = ; ; ;, [f] = fg, h(; ; ) T i, he ; e i, R 5 fg, h i, hvi, h ; vi ro v h ; i, Z5, celkem odrostorù

11 5 Ortogonální diagonalizovatelnost 5 Zjistìte, zda je komlexní matice normální + i i = i i 5 Najdìte ortonormální bázi rostoru R se standardním skalárním souèinem, vzhledem ke které je matice oerátoru f diagonální a najdìte [f ] x x + y + z f y z = x + y + z x + y + 5z 5 Najdìte ortogonální matici Q a takovou diagonální matici D, ¾e = QDQ T, jestli¾e 5 (a) = ; (b) = 5 : Najdìte singulární rozklad reálné matice = 55 Zjistìte, zda je reálná matice = ozitivnì (semi)denitní Dolòující úlohy: i 5 Jestli¾e = + i i, najdìte komlexní unitární matici U, ro ní¾ je D = U T U + i diagonální a soèítejte D =, roto není normální = ( (; ; ) T ; (; ; ) T ; (; ; )) T a [f ] = (a) Q =, D = = 8, (b) Q = 5 je ozitivnì semidenitní a není ozitivnì denitní D = +i, U = + i i 7, D = 9 :

12 ilineární formy Najdìte matici bilineární formy f na Z 5 vzhledem k bázi = ( vzhledem ke kanonické bázi f ( x x ; y y ) = x y + x y + x y + x y ; ) znáte-li její analytické vyjádøení Najdìte matici bilineární formy g na Q vzhledem k bázi D znáte-li její matici vzhledem k bázi, jestli¾e = ; ; ; D = ( ; ; ) ; [g] = Nech» f, g jsou formy a a báze z úloh a a uva¾ujme symetrické bilineární formy f s a g s a antisymetrické bilineární formy f a a g a slòující ro které f = f s + f a, g = g s + g a Najdìte matice [f s ], [f a ], [g s ], [g a ] Je-li g bilineární forma daná analytickým vyjádøením g((x ; x ; x ) T ; (y ; y ; y ) T ) = x y + x y x y + x y + x y x y vzhledem ke kanonické bázi na racionálním vektorovém rostoru Q, urèete analytické vyjádøení symetrické g s a antisymetrické g a èásti g vzhledem ke kanonické bázi 5 Najdìte ro symetrickou bilineární formu f na vektorovém rostoru V nìjakou f-ortogonální bázi a matici f vzhledem k této bázi, jestli¾e (a) V = Q, [f ] K =, kde K je kanonická báze, (b) V = Z 5 s analytickým vyjádøením f ( x ; (c) V = Z 5, [f ] = x y y kde = ((; ); (; )), ) = x y + x y + x y vzhledem ke kanonické bázi, (d) V = R s analytickým vyjádøením f ((x ; x ; x ) T ) = x x x x vzhledem ke kanonické bázi, (e) V = Z 7 s analytickým vyjádøením f ((x ; x ; x ) T ) = x + 5x x + x + x x + x = ((; ; ) T ; (; ; ) T ; (; ; ) T ) Urèete signaturu bilineární formy f, znáte-li matici [f ] K = : 5 vzhledem k bázi 7 Urèete signaturu reálné kvadratické formy f ((x ; x ; x ) T ) = x x x x x + x + 5x : 8 Najdìte bázi R, která je f-ortogonální a zároveò ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu souèinu ro f ((x ; x ; x ) T ) = 5(x + x + x ) + (x x + x x + x x ): 9 nalyzujte následující útvar v R : U = f(x ; x ) T R : x x x + 5x + x + x 5 = g Dolòující úlohy: Pro kvadratickou formu g = x x x + x najdìte nenulový vektor v R, ro který (a) g (v) >,

13 (b) g (v) <, (c) g (v) =, Nech» h je symetrická bilineární forma na reálném vektorovém rostoru R s maticí [h] = 5 vzhledem k nìjaké bázi Rozhodnìte, zda je h skalární souèin na R Rozlo¾te matici = na souèin LDL T, kde L je dolní trojúhelníková s jednièkami na diagonále a D je diagonální [f ] = [g] D = [f s] = ; [f a] = = [g s] = ; [ga] = : = g s((x ; x ; x ) T ; (y ; y ; y ) T ) = x y + xy + xy + xy xy xy, g a((x ; x ; x ) T ; (y ; y ; y ) T ) = xy xy xy + xy + xy xy: 5 (a) P = ( ; ), [f ] P =, (b) P = ( ; ), [f ] P = I (c) P = ( ; ), [f ] P = (d) P = ((; ; ) T ; ( ; ; ) T ; (; ; ) T ), [f ] P =, (e) P = ((; ; ) T ; (; ; ) T ; (5; ; 5) T ), [f ] P = (; ; ) 7 (; ; ) 8 = ( ; ; ) 9 Pro = ( y ; ) je [U ] 5 5 = f j y 5 y + 5 (y + 5 ) = g, tedy jde tedy o elisu se støedem 5 a s délkami oloos a 5 ve smìru vektorù báze 7 + Naøíklad (a) g ( ) =, (b) g ( ) = 7, (c) g ( ) = 7 no, h je skalární souèin = 5 5

14 7 nní rostory 7 Nech» S = ; rostoru Z 5 a ; a R = (a) soèítejte souøadnice bodu b = (b) najdìte bod c, ro který [c] S = ; : Ovìøte, ¾e se jedná o souøadné soustavy anního vzhledem k soustavì souøadnic S, vzhledem k soustavì souøadnic S, (c) ro bod a anního rostoru najdìte [a] S, jestli¾e [a] R = 7 Uva¾ujme oslounost bodù = ; ; ; anního rostoru s body i vektory = V = Q Ovìøte, ¾e je barycentrická soustava souøadnic anního rostoru a (a) soèítejte barycentrické souøadnice bodu b = vzhledem k soustavì, (b) najdìte bod c s barycentrickými souøadnicemi ( ; ; ; )T vzhledem k soustavì, (c) soèítejte barycentrické souøadnice bodu b = vzhledem k soustavì = ; ; ; 7 V anním rostoru s body i vektory = V = Z 5 uva¾ujme odrostory D = h ; ; i; D = + h i; D = fa j a = g: (a) Najdìte soustavu souøadnic S i a barycentrickou soustava souøadnic i anních rostorù D i, (b) urèete arametrické vyjádøení odrostorù D a D, (c) urèete rovnicové vyjádøení odrostorù D a D, (d) soèítejte rùnik a vzájemnou olohu odrostorù D i a D j ro i = j 7 Soèítejte vzdálenost øímek P = (; ; ; ; ) T + h(; ; ; ; ) T i a Q = (; ; ; ; ) T + h(; ; ; ; ) T i v anním eukleidovském rostoru R 5 se standardním skalárním souèinem 75 Urèete obraz bodu (; ; ) T R øi anním zobrazení F : R! R slòujícím F = ; F = ; F = ; F = a obraz vektoru (; ; ) T øi øíslu¹ném lineárním zobrazení f

15 7 Lineární oerátor f : R! R vytvoøený anním zobrazením F má vzhledem k bázi matici Navíc F ((; ) T ) = (5; 8) T Urèete F ((; ) T ) = ; 5 ; = Dolòující úlohy: 77 anním eukleidovském rostoru R 5 se standardním skalárním souèinem R uva¾ujme øímky P = + h i a Q = + h i (a) Urèete vzájemnou olohu øímek P a Q, (b) najdìte øímku rùznobì¾nou a zároveò kolmou na obì øímky P a Q, (c) soèítejte vzdálenost P a Q (a) [b] S =, (b) c =, (c) [a] S = (a), (b) 7 7, (c) (a) naøíklad S = ; ;, = ; ;, S = ;, = ;, S = ; ;, = ; ; (b) D = + h ; i; D = + h ; i: (c) Øe¹ení soustavy???? je D a øe¹ení soustavy?????? je D (d) D \ D = f(; ; ; ) T g, D \ D = D \ D = ;, D a D jsou rovnobì¾né, D a D jsou rùznobì¾né, D a D jsou mimobì¾né 5 5 (; 8) T, (; ) T F ((; ) T ) = (5; 8) T + ( ; ) T = ( 7; 8) T 7 (a) P a Q jsou mimobì¾né, (b) + h i, (c) dist(p; Q) = 5