II. PŘIROZENÁ ČÍSLA, INDUKCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "II. PŘIROZENÁ ČÍSLA, INDUKCE"

Transkript

1 1 II. PŘIROZENÁ ČÍSLA, INDUKCE 1. Dobré uspořádání, indukce Představa přirozených čísel jako nikde nekončícího procesustále dál a dál jdoucích milníků, nekonečného průvodu, nekončícího stromořadí je v příkrém kontrastu s konečností lidské aktivity, veškerého lidského konání a snažení a je jedním z prvních, ne-li vůbec prvním okamžikem, kdy se nám matematika představuje jako plod něčeho nadpozemského, dokonalého, něčeho, co nás přesahuje. Role oboru přirozených čísel, jejich sčítání, násobení jež není v podstatě nic víc a nic méně než opakované přičítání téhož čísla a lineární uspořádání, je pro matematiku zcela fundamentální. Formálně je základní struktura množiny N všech přirozených čísel výstižně popsána tzv. Peanovými axiomy: 1. Číslo1jepřirozené,tj.1 N.. Každé přirozené číslo n má následníka sn N. 3. Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem je číslo 1.. Následníci dvou různých přirozených čísel jsou různí: jestliže m n, potom sm sn.. Princip matematické indukce: jsou-li pro podmnožinu X množiny N splněny dvě podmínky, 11 X, jestliže n X,pak sn X, potomje Xmnožinouvšechpřirozenýchčísel,tj. X= N. Na množině N jsou zavedeny dvě binární operace, sčítání a násobení, které značímesymboly+,resp..dálejenamnožině Ndánouspořádáníznačené symbolem <. Princip matematické indukce lze nahradit následujícím požadavkem na toto uspořádání, který většinou považujeme za axiom. Princip dobrého uspořádání. Každá neprázdná podmnožina množiny N všech přirozených čísel obsahuje nejmenší prvek. Okamžitým důsledkem tohoto principu je následující věta: Věta.Nechť S 1, S,...,S n,... jeposloupnostnějakýchtvrzení,kterájsou indexována přirozenými čísly. Jestliže některé z těchto tvrzení neplatí, pak existujeprvnítvrzení,kteréneplatí. 1 1 Prvnímtvrzením,kteréneplatí,rozumímetvrzení S i snejmenšímmožnýmindexem i.

2 Důkaz.Nechť Ajemnožinavšechpřirozenýchčísel n,proněžtvrzení S n neplatí. Podle předpokladu je množina A neprázdná. Podle principu dobrého uspořádáníexistujevmnožině Anejmenšípřirozenéčíslo i,atedy S i jeprvní tvrzení, které neplatí. Princip matematické indukce patrně znáte v jiné formulaci, která je vhodnější pro konkrétní použití. Princip matematické indukce. Nechť je pro každé přirozené číslo n N dánotvrzení S n.předpokládáme,že 1 S 1 platíprvníkrok, jestližeplatí S n,pakplatíi S n+1 indukčníkrok. Potom S n platíprovšechnapřirozenáčísla n N. Na závěr dokážeme ekvivalenci těchto dvou axiomů. Věta. Princip dobrého uspořádání a princip matematické indukce jsou ekvivalentní. Důkaz. Nejprve dokážeme, že princip matematické indukce vyplývá z axiomu dobrého uspořádání. Nechť Ajemnožinavšechpřirozenýchčísel n,proněžtvrzení S n neplatí. Předpokládejme, že je množina A neprázdná. Podle předchozí věty existuje nejmenšípřirozenéčíslo i A,proněž S i neplatí.zvlastnosti1plyne, že i 1.Tedyexistujepředchůdce i 1čísla i,proněž S i 1 platí.podle předpodkladuvšak S i musíplatit,cožjespor.prototedymusíbýtmnožina A prázdná. Tím je princip matematické indukci dokázán. Nyní dokážeme, že princip dobrého uspořádání vyplývá z axiomu matematické indukce. Předpokládejme, že A je neprázdná podmnožina množiny N, která nemá nejmenší prvek. Označme C množinu všech přirozených čísel, která nenáleží množině Atj. C= N \A.Prokaždépřirozenéčíslo noznačme S n následující tvrzení {1,,...,n} C. Tvrzení S 1 zřejměplatíjinakbyčíslo1bylonejmenšímprvkemmnožiny A. Platí-litvrzení S n,musíplatittakétvrzení S n +1,jinakbyčíslo n+1bylo nejmenším prvkem množiny A. Podle principu matematické indukce je C = N, tj. A=,cožjevesporuspředpokladem.Protomusímnožina Aobsahovat nejmenší prvek.

3 3 Důležitá cvičení 1. Pro libovolná čísla a, b a libovolné přirozené číslo n dokažte rovnost a+b n = [ Nápověda:Připomeňme,že n k k=0 a n k b k. k = n! n k! k! a n k + n k+1 = n+1 ].. Pro libovolná čísla a, b a libovolné přirozené číslo n dokažte rovnost n 1 a n b n =a b a k b n k Pro libovolné číslo a a libovolné přirozené číslo n dokažte rovnost k=1 k=0 k a k 1 = 1 n+1an + na n+1 1 a.. Binetova formuleznámá již Eulerovi. Fibonacciho posloupnost {F n }=1,1,,3,,8,13,1,3,,... popsaná dříve v Indii je definována následujícím rekurentním vztahem: F 1 =1, F =1, F n+ = F n+1 + F n pro n N. Dokažte,žeprovšechna n Nje k+1 Dále ukažte, že F n < n a F n = 1+ n 1 n n. F n = 1 [ G n G n], kde G= 1+ F jetzv.zlatéčíslo.ukažterovněž,že lim n+1 n F n = G,že F n = [ n 1 ] k=0 k 1 ailustrujtetentosoučetvpascalovětrojúhelníku. Symbolem x značímeceloučástčísla x,tj.např.[π]=3a[ π]=. k

4 Je důležité si uvědomit, že některá tvrzení platí pro mnoho přirozených čísel, ale neplatí pro všechna. Uvedeme dva příklady..polynom fn=n n+1dávápropřirozenáčísla n=1,...,0samá prvočísla:je f1=1, f=3, f3=7,...,f10=131,...,f0= 1601.Pro n=1však f1=1 =1681neníprvočíslo. 6.Promnohopřirozenýchčísel nneníčíslo991n +1čtvercempřirozeného čísla. Nejmenším číslem, pro něž to nastane, je n= =1, Tatoskutečnostvyplývázřešenítzv.Pellovyrovnice991x +1=y.. Součty mocnin přirozených čísel Téměř v každé učebnici, v níž se nachází odstavec týkající se matematické indukce, nalezneme cvičení požadující ověření vzorce pro součet druhých či třetích mocnin prvých n přirozených čísel. Důkaz užitím matematické indukce je rutinní, přímo triviální. Jakým způsobem však ke vzorcům t=1 t = nn+1n+1, 6 t=1 t 3 = n n+1, či dokonce k vzorci t=1 t = nn+1 6n 3 +9n + n 1 30 dospět, učebnice obvykle nenapoví. Zatímco užití matematické indukce k porozumění mnoho nepřidá, otázka zvídavého studenta: A odkud se ten vzorec vzal? jevelicepřirozená.tupomůžejednoduchýnápad:zvolíme-livrovnosti 1+x 3 =1+3x+3x + x 3 postupně x=0,1,...,n 1,naprovšechnytytohodnotypříslušnérovnosti sečteme, dostáváme n+1 3 = =n n n n 3. Odtud aposnadnéúpravě n+1 3 =n+1+3 nn n, n = nn+1n+1. 6

5 Existuje tedy jednoduchý rekurentní návod, jak odvodit vzorce pro součty Vše spočívá na binomické větě tedy d+1 1+x d+1 =1+ x+ 1 S t n= x t. x=1 d+1 d+1 1+x d+1 = x t, t d+1 t=0 x + + d+1 t d+1 x t + + x d+1. d+1 Sečteme-litytorovnostipro x=0,1,,...,n,dostávámesečtenímpříslušných sloupců tj. Odtud S d+1 n+1+n d+1 = d+1 d+1 = 1+S 0 n+ S 1 n+ S n+ + 1 d+1 d+1 d+1 + S t n+ + S d n+ S d+1 n, t d d+1 S d+1 n=1 1+n d+1 + S d n= 1 d+1 Pro d=tedydostáváme S n= 1 3 apro d=3 S 3 n= 1 d d+1 S t n+s d+1 n. t t=0 [ d 1 d+1 1+n d+1 1 t t=0 S t n ]. 1+3n+3n + n 3 1 n 3 nn+1 = 1 6 nn+1n+1 1+n+6n +n 3 +n 1 n nn+1 = 1 n n+1. 6 nn+1n+1 6 =

6 6 Atakmůžemepokračovat.Pro d=dostávámevýšeuvedenourovnost S n= 1 1+n+10n +10n 3 +n + n 1 n nn+1 10 nn+1n n n+1 = = n +1n +10n 3 n= 1 30 nn+16n3 +9n + n 1. Snadnopaknaleznemevzorcepro S n,s 6 n,... Sečtělýčtenářvšakbudepřivyčíslení S t npostupovatjinak.ihnedsiuvědomí, že posloupnost {1 t, t,...,n t,...} je aritmetická posloupnost řádu t. Označíme-li první členy postupných diferenčníchposloupností d r, r=1,,...,pak r 1 r 1 d r = 1 k r k t, k k=0 přičemž d 1 d...d t+1 0 a d t+ =0.Odtudpro r=t+dostaneme t+1 t+1 d t+ = 1 k t+ k t =0. k k=0 Odvozenítěchtovztahůnaleznemevpráci[D]. 3 Ilustrujmetentopostupnaspeciálníchpřípadech t=3at=.pro t=3 dostáváme d 1= d = d 3= d = d = [D] VlastimilDlab,Aritmeticképosloupnostivyššíchřádů,

7 7 atedy S 3 n= = = n +1n 1+8n n+16+n 3 6n +11n 6= 1 n n+1. Pro t=je d 1= d = d 3= d = d =...; d 6=0... atedy S n= = = n n +0n 70n+00+7n 3 0n +8n 0+ +6n 60n 3 +10n 300n+1= nn n 3 +9n + n 1. Pro t=dostáváme d 1 =1, d =31, d 3 =180, d =390, d =360, d 6 =10, d 7 =0.Použitímdanéhopředpisučtenářsnadnoodvodí,že S n= n n+1 1 n +n 1. Podobně lze nalézt S 6 n= nn+1 6n +1n +6n 3 6n n+1. Vevýšezmíněnépráci[D]jetéžuvedenjednoduchýtvarsoučtu S t n,totiž S t n= d d + + n n d t + d t+1 = t t+1 t+1 k=1 d k. k

8 8 3. Ještě jednou součty mocnin přirozených čísel Označmesymbolem S d nsoučet d-týchmocninprvních npřirozenýchčísel: S d n= t d =1 d + d + +n d. t=1 Nejprvevyjádřímedvěmazpůsobysoučet S d+1 n+1: S d+1 n+1=s d+1 n+n+1 d+1, S d+1 n+1=1+ t+1 d+1 =1+ t=1 r=1 d+1 t=1 r=0 d+1 r t r = d 1 =1+n+ d+1 r Sr n+d+1s d n+s d+1 n. Porovnáním pravých stran nyní získáme rovnost Pro d=1,,3jetedy: S d n= 1 n+1 d+1 n 1 d+1 d 1 r=1 d+1 r Sr n. S 1 n= 1 n +n+1 n 1 = nn+1, S n= 1 n 3 +3n +3n+1 n 1 3 nn+1 = nn+1n+1, S 3 n= 1 n +n 3 +6n +n+1 n 1 nn+1 nn+1n+1 = 1 n n+1. Obdobným způsobem můžeme vytvořit vzorce pro součty d-tých mocnin prvních npřirozenýchčíselpro d=,,.... Každý má svou posloupnost Tato poznámka se týká rekurentníchněkdy se říká též rekurzivních posloupností typu {X n 1 n}, kde X n+ = AX n+1 + BX n sdanými X 1,X,A,B. Zájem vzbuzují především posloupnosti celočíselné, tj. případ, kdy volba počátečníchpodmínek jeceločíselná.skoroneuvěřitelnýjezájemoposloupnost,

9 proniž A=B= X 1 = X =1,totižoposloupnostčísel,kterýmdalFrançois- Edouard-Anatole Lucas v květnu 1876 název Fibonacciho čísla. Tato posloupnost byla popsána Leonardem Pisánským-Fibonaccim v knize Liber abaci v roce 10 v příkladě, který se týkal růstu hypotetické populace králíků za idealizovaných předpokladů. V Indii byla známa pod jménem maatraameru už v šestém století. Vyskytuje se v prozodickém studiu Pingaly nazvaném Chandas Shastra, později byla zevrubně popsána Hemachandrou. Jeho popis je dán počtem rytmických vzorů a připomíná často užívaný příklad, kolika způsoby je možno vystoupit schodiště, stoupáme-li po jednom či dvou schodech. Rekurentní předpis je nadmíru jasný: počet možností vystoupit n schodů se rovná součtu počtu možnostívystoupit n 1schodůtj.případ,kdyjsmezvoliliprvníkrokojeden schod a počtu možností vystoupit n schodůtj. případ, kdy jsme zvolili první krok o dva schody. Zájem o Fibonacciho posloupnost souvisí do značné mírysjejímblízkýmvztahemkezlatémuřezu,kterýsejevíjižvtakzvaném Binetově vzorci pro n-té Fibonacciho číslo: F n = 1+ n 1 n n. Tato formule byla patrně známa již Johannesu Keplerovi. Její důkaz podal roku 1730 Abraham de Moivre, později též Daniel Bernoulli, v roce 176 ji dokázal Leonhard Euler. Poznámka. Některá odvození Binetova vzorce byla náročná. Uvažujte vytvořující funkci fx= F n x n 1 =1+x+x +3x 3 +x + n=1 Fibonaccihoposloupnosti {F n 1 n}aukažte,žepro x < 1 je fx= 1 x + x 1. Vyjádříme-li příslušné parciální zlomky ve tvaru A 1 x B 1 a A x B jako nekonečné řady a výslednou řadu porovnáme s původní řadou pro fx, dostaneme Binetovu formuli. V této poznámce chceme ukázat podstatu těchto obecných posloupností aodvoditobecnývzorecpro n-týčlenmetodou,kterámásvéstopyuabrahama de Moivrea. Zvolmetedyčísla AaBadefinujmerekurentněposloupnost X 1, X,... volbou X 1, X avztahem X n+ = AX n+1 + BX n pro n 1. 9

10 10 Úloha.Naleznětevýrazpro X n podobnýbinetovuvzorciprofibonacciho čísla. Řešení. Přiřaďte číslům A a B kvadratickou rovnici x = Ax+B, nechť α, βjsoujejíkořeny;tedy, A=α+β, B= αβ. Pro libovolně zvolená reálná čísla a, b položme Snadno vidíme, že X n = aα n + bβ n. AX n+1 + BX n =α+βaα n+1 + bβ n+1 αβaα n + bβ n = = aα n+ + bβ n+ = X n+. Koeficienty a, b určíme pomocí vztahů aα+bβ= X 1, aα + bβ = X. Tedy Potom a= 1 αα β X 1 X 1 β, b= ββ α X X 1 α. X n = 1 [ ] α n 1 X X 1 β β n 1 X X 1 α. α β Ilustrace 1. Nejprve uveďme ve výše uvedeném označení některé posloupnosti vyskytující se v literatuře: Fibonacci: F 1 = F =1, A=B=1,atedy α= 1+, β= 1, a= 1, b= 1 : F n = 1 1+ n 1 n n ; Lucas: L 1 =, L =1, A=B=1,atedy α= 1+, β= 1, a= 1+, b= 1 : L n = 1+ n 1 +1 n 1 n 1 ;

11 Pell: P 1 =1, P =, A=, B=1,atedy α=1+, β=1, a=, b= : P n = 1+ n 1 n ; Pell-Lucas: Q 1 =1, Q =3, A=, B=1,atedy α=1+, β=1, a= 1, b= 1 : Q n = 1+ n 1 n ; Jacobsthal: J 1 = J =1, A=1, B=,atedy α=, β= 1, a= 1 3, b= 1 3 : J n = n 1 n ; 3 11 Jacobsthal-Lucas: K 1 =, K =1, A=1, B=,atedy α=, β= 1, a= 1, b= 1: K n = n 1 1 n ; Pell-Jacobsthal: R 1 =, R =1, A=1, B=,atedy α= 1+ 17, β= 1 17, a= , b= : R n = n n 1 n 1 ; Čebyšev: C 1 =, C =11, A=11, B= 1,atedy α= , β= , a= , b= : C n = n n 1 n 1 ; Pisot: T 1 =, T =3, A=3, B=,atedy α=, β=1, a= 1, b=1: T n = n 1 +1;.Nechť S 1 =, S =, A=, B=9,atedy α=1+ 10, β=1 10, a=b=1: S n = n n; 3.Nechť X 1 = A, X = A +B, B= A,dostáváme a+b=ařadu X n = 1 n 1 An.

12 1.Nechť X 1 =1, X =ax n+ =X n+1 6X n.potom, α=3, β=a X n = [ 3 n 1 n 1 3 ] = n 1. Obecněji:Nechť X 1 =1, X = aax n+ =a+1x n+1 aa+1x n. Potom, α=a+1, β= aa X n = [ a+1 n 1 a a a n 1 a a 1 ] = a n 1..Všimněmesi,žekoeficienty AaBatéž X 1, X nemusíbýtceláčísla, tj. celý postup lze aplikovat na libovolné, ne nutně celočíselné posloupnosti. Zvolmenapř. A=1+i, B= i,tj. α=1aβ=i.potompro X 1 = C, X = C,je X n = Cprovšechna n 1; X 1 =1, X =ije X n =i n 1 provšechna n 1; X 1 =i, X =1je X k 1 =+i, X k =1+i, X k+1 =i, X k+ =1pro všechna k 1. Aplikace. Míšení dvou kapalin obsahující daná procenta alkoholu Dvě nádoby, každá o obsahu C litrů, obsahují lihoviny s daným procentem alkoholu. První nádoba obsahuje A litrů p-procentního alkoholu a druhá nádoba B litrů q-procentního alkoholu. Předpokládáme dále, že A + B > C. Popišme proces přelévání lihovin z jedné nádoby do druhé: Prvníkrok.Pišme q= p 1.Lihovinouzdruhénádobydoplnímeprvnínádobu. Vprvnínádoběbudetedy Clitrů p -procentnílihoviny,kde p = Ap+C Aq, C zatímcovdruhénádobězbylo D=A+B Clitrů p 1 -procentnílihoviny. Druhý krok. Lihovinou z první nádoby dolijeme nádobu druhou. Přelijeme tedy E=C A+Blitrůkapaliny.Druhánádobajenyníplná p 3 -procentní lihoviny, kde p 3 = Dp 1+ Ep. C Třetí krok. Opakujme předchozí postup, tentokrát doplníme první nádobu lihovinou z nádoby druhé. První nádoba bude tedy po třetím kroku obsahovat Clitrů p -procentnílihoviny,kde p = Dp + Ep 3. C

13 Pokračujeme-li dále stejným způsobem, dostáváme rekurentně definovanou posloupnost {p n 1 n},kde 13 p 1 = q, p = Ap+C Aq C a p n+ = D C p n+ E C p n+1 pro n 1. Cvičení. Ukažte, že pro každé n je a tedy, jak jsme očekávali, p n = Ap+Bq AA+B C n 1 p q A+B + 1n A+BC n 1 lim n p n= Ap+Bq A+B.

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Lineární algebra : Lineární zobrazení

Lineární algebra : Lineární zobrazení Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

4. Kombinatorika a matice

4. Kombinatorika a matice 4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Principy indukce a rekursivní algoritmy

Principy indukce a rekursivní algoritmy Principy indukce a rekursivní algoritmy Jiří Velebil: A7B01MCS 19. září 2011: Indukce 1/20 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.

Více

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Principy indukce a rekurentní rovnice

Principy indukce a rekurentní rovnice Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m. 13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.

Více

Vytvořující funkce. Zuzka Safernová

Vytvořující funkce. Zuzka Safernová Vytvořující funkce Zuzka Safernová Definice Nechť(a 0 a a 2 jeposloupnostreálnýchčíselpotomvytvořující funkcí posloupnosti rozumíme mocninnou řadu a(x= a i x i = a 0 + a x+a 2 x 2 + Operace s posloupnostmi

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1

Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b)

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Co Fibonacci ani Ludolf netušili. aneb

Co Fibonacci ani Ludolf netušili. aneb Co Fibonacci ani Ludolf netušili aneb Jak souvisí čísla Fibonacciho s číslem π Doc. RNDr. Emil Calda, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

O dělitelnosti čísel celých

O dělitelnosti čísel celých O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

10. Vektorové podprostory

10. Vektorové podprostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Charakteristika tělesa

Charakteristika tělesa 16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním

Více

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - IV Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008 Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Teorie množin Pavel Podbrdský

Teorie množin Pavel Podbrdský Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více