Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu."

Transkript

1 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie C, tj. pro první ročníky čtyřletých studijních oborů a jim odpovídající ročníky víceletých gymnázií. 1.1 Slovnílogik C I 1 Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1.Z29 dětí sbírá 12 dětí známky, 13 pohlednice. Těch, kteří sbírají známkyipohledniceješest.kolikdětísbírájenomznámkyakolik jich nesbírá nic? Jenom známky sbíralo 6 dětí, 10 dětí nesbíralo nic, viz. diagram níže. 2.Ze30žákůjednétřídybylo7žákůoprázdnináchnarekreacivŘeckua právětolikvchorvatsku;itáliinavštívilo5žáků.vžádnéztěchtotří zemínebylo16žáků,všechnytřinavštíviljedenžák.vřeckuiitáliibyli 2žáci,vItáliiivChorvatsku1žák.Kolikžákůnavštívilooprázdninách Chorvatsko nebo Řecko, Itálii nebo Chorvatsko, jen Řecko?

2 2 Načrtneme Vennův digram pro tři množiny a postupně vyznačíme počty prvků v jednotlivých jeho částech. Chorvatsko nebo Řecko navštívilo 11 studentů, Itálii nebo Chorvatsko 1student,jenvŘeckubyli3studenti. 3.ZpětirodinodebírajítřirodinydeníkDnesadvěLidovénoviny.Existuje mezi nimi rodina, která neodebírá žádný z těchto materiálů? Ano, může. Možnosti při odebírání novin vidíme na následujících diagramech.

3 3 Uveďmesipravidlahry slovnílogik.hráč Asimyslíslovosloženézpěti rúzných písmen. Hráč B vysloví libovolné slovo složené z pěti různých písmenahráč Amuprozradí,kolikpísmenuhodlnasprávnépoziciakolik na nesprávné. Písmena považujeme za různá, i když se liší jen háčkem nebo čárkou. Například: Myslíme si slovo SEŠIT, hráč B řekne slovo ŠIŠKA, hráč A zkráceněodpoví1+1,neboťjednopísmenojenasprávnépozici(š)ajedno písmeno je na nesprávné pozici(i). Nebo jiná dvojice: LOĎKA + KOLÁČ ErikaaKlárkahrályhru slovnílogik.erikasimyslelaslovozpěti různých písmen a Klárka vyslovila slova SIRUP a VODKA. Erika v danémpořadíodpověděla0+3a1+1.dokažte,ževšechnapísmena slova,kterésierikamyslela,patřídomnožiny M= {S,I,R,U,P } {V,O,D,K,A}. Slova SIRUP a VODKA nemají žádné společné písmeno. Erika si mohla myslet například slovo DOPIS, RUSKO, IRSKO nebo PRVKU. 5.ErikaaKlárkahrályhruslovnílogik.ErikasimyslelaslovoAGÁTYa Klárka vyslovila slova KABÁT a MĚSTA. Ověřte, že Erika musela odpovědět stejně jako v úloze 4. Proč nyní nepatří všechna písmena slova, která si Erika myslela, do množiny L = {K,A,B,Á,T} {M,Ě,S,T,A}?

4 4 Slova mají společné písmeno A. Proto se v množině sestavené z písmen obou slov nenachází všech pět písmen hledaného slova. 6. Erika a Klárka hrály hru slovní logik. Klárka vyslovila slova OPAVÚ a ÚLOZE, přičemž Erika odpověděla stejně jako v úloze 4. Jaké slovo sierikamyslela,kdyžvšechnajehopísmenaužpatřídomnožiny L= {O,P,A,V,Ú} {Ú,L,O,Z,E}? Vybíráme3písmenavjinépozicizprvníhoslova,jednopísmenov nesprávné pozici a jedno ve správné pozici z druhého slova. Erika si myslela slovo PAVLE. 7. Třicet maturantů jednoho gymnázia podalo přihlášku k dalšímu studiu na některou ze šesti fakult ČVUT. Využili možnost podat více přihlášek, a tak polovina žáků podala přihlášku aspoň na tři fakulty, třetina si podala přihlášku na více než tři fakulty. Na fakultu architektury se s ohledem na talentovou přijímací zkoušku nehlásil nikdo. a)dokažte,žeaspoňnajednufakultusipodalopřihláškuaspoň14 studentů. b) Dokažte, že na některou ze zbývajících pěti fakult se přihlásilo méně než dvacet studentů. a)vpřípadě,žebyneplatilotototvrzení,mohlobybýtnejvýše5 13= 65 přihlášek. Dle zadání polovina studentů podala aspoň tři přihlášky, tedy druhá polovina studentů podala jednu nebo dvě přihlášky. Z druhé poloviny 10 studentů(třetina z celkového počtu) podalo aspoň čtyři přihlášky a zbývajících 5 studentů podalo právě tři přihlášky. Minimální početpřihlášekdlepodmínekzadáníje =70 >65. Tedy aspoň na jednu fakultu podalo přihlášku aspoň čtrnáct studentů. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu si podalo přihlášku právě 14 studentů viz. tabulka níže.

5 5 b)kdybytvrzeníúlohyneplatilo,bylobyzapotřebíaspoň5 20= 100 přihlášek. Z rozboru řešení v případě a) odhadneme, že maturanti podalinejvýše =95 <100,protonemohlipodatna každou fakultu aspoň 20 přihlášek. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu studenti podali právě 19 přihlášek viz níže. 8. Honza, Jirka, Martin a Petr organizovali na náměstí sbírku na dobročinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích. PrvnídalHonzovidojehokasičky3Kč,Jirkovi2Kč,Martinovi1Kč

6 6 apetrovinic.druhýdaljednomuzchlapců8kčazbylýmtřemnedal nic.třetídaldvěmachlapcůmpo2kčadvěmanic.čtvrtýdaldvěma chlapcůmpo4kčadvěmanic.pátýdaldvěmachlapcůmpo8kča dvěma nic. Poté chlapci zjistili, že každý z nich vybral jinou částku, přičemž tyto tvoří čtyři po sobě jdoucí přirozená čísla. Který z chlapců vybral nejméně a který nejvíce peněz? Dohromady chlapci dostali od kolemjdoucích celkem 42 Kč. Číslo 42 vyjádřímejednoznačnějakosoučetčtyřposobějdoucíchčísel =42.Úvahylzeuspořádatdotabulky,přičemžuvážíme,že nemohlanijedenzchlapcůdostatdvakrát8kč.ktomunejvýšejeden mohldostat4kč,jinakbybylidvasnejvyššívybranoučástkou12kč, viz tabulka níže Σ P H Nejmnéně vybral Honza a nejvíce vybral Petr. 1.2 Přímky a pravoúhelník C I 2 1. Na list papíru tvaru obdélníku narýsujte podle obrázku pravoúhelník ABCD tak, aby jeho strany AB a AD splývaly s okrajem papíru. Pak sestrojte přímku, aby měla s pravoúhelníkem společný jen bod C a její průnik listem papíru tvořil úsečku M N, podél níž papír rozřízněte.

7 7 Vzniklý papírový model trojúhelníku AM N s narýsovaným obdélníkem ABCD přehněte podél úseček BC a DC. Tuto činnost několikrát opakujte, přitom pro tentýž pravoúhelník ABCD volte různé délky úsečky BM.Colzezvýsledkuusouditopoměruobsahůtrojúhelníku AMN a pravoúhelníku ABCD? Hypotézu dokažte. Tímto modelováním nebo užitím programů dynamické geometrie, např. Cabri,jemožnédojítkhypotéze,žeobrazempřímky MN vobou souměrnostech je jedna a táž přímka CX. Uvážíme-li souhlasné úhly při vrcholech M a C v trojúhelnících N DC a NAM,pakmůžemepsát <)NCD = <)CMB = <)DCX =α a <)MCB = <)BCX =90 α. Součetúhlůsvrcholemvbodě Cjepakroven <)NCD + <)DCX + <)MCB + <)BCX = = α+α+90 α+90 α=180, tedy obrazy přímky M N v osových souměrnostech podle přímek BC a CD splývají. Zpodobnostitrojúhelníkuů NDCa CBMplyne,že y b = a x y= ab x.

8 8 Pak obsah AM N můžeme vyjádřit takto: S AMN = 1 ( 2 (a+x)(b+y)=1 2 (a+x) b+ ab ) = x = ab+ 1 ( x 2 a x) + a 2ab. Rovnostnastane,právěkdyž x=a.vtomtopřípaděje S AMN =2ab. 2.Jedánostrýúhel KBLabod M jehovnitřku.sestrojtebodem M přímku p tak, aby vytínala z úhlu KBL trojúhelník ABC nejmenšího obsahu. Analyzujte obsah trojúhelníku ABC pro různé případy polohy bodu Mvzhledemkúsečce AC.Naobrázkujebod M,jímproloženápřímka a trojúhelník ABC. Uvažme jinou přímku procházející bodem M. Z obrázku je patrno, že nově vzniklý trojúhelník má menší obsah než původní trojúhelník.

9 Uvážíme-lipolohubodu Mtakovou,žejestředemúsečky AC,pakz obrázku níže je patrno, že libovolnou jinou přímkou vedenou bodem M nedosáhneme trojúhelníku s menším obsahem, než má trojúhelník ABC. 9

10 10 3.Jedánapřímka pavjednépoloroviněbody A,B.Najdětenapřímce pbod Xtak,abysoučetvzdálenostíodbodů A,Bbylconejmenší. Hledanýbod X získámejakoprůsečíkúsečky AB spřímkou p,kde bod B jeobrazembodu Bvosovésouměrnostidanéosou p.adále platí,že XB = XB,tedy AX + XB = AX + XB.Projinou polohubodu X,např. X,platív AX B trojúhelníkovánerovnost, tj. AX + X B > AB.Probod Xzkonstruovanýtímtozpůsobem je součet minimální. 4.Jedánostrýúhel XV Y ajehovnitřníbod C.Sestrojtenarameni V X bod Aanarameni V Y bod Btak,abyvzniklýtrojúhelníkměl ABC měl minimální obvod. Analogicky předchozímu příkladu, zobrazíme bod C v osových souměrnostech podle ramen daného úhlu, viz. obrázek. Hledané zbylé vrcholy jsoupakprůsečíkemramenúhlusúsečkou C C.

11 11 5. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla a, b platí 1 2 (a+b) ab, přičemžrovnostnastane,právěkdyž a=b. Uvažme a=u 2,b=v 2, u,v 0.Pakposubstitucidostaneme 1 2 (u2 + v 2 ) u2 v 2 = uvpronezápornáčísla.poúpravě u 2 + v 2 2uv,odkud (u v) 2 0,cožjevýrokpravdivý.Druhámocninalibovolnéhoreálného čísla je vždy nezáporná. 1.3 Celáčást x C I 3 1.Určete 0, 2,1, 2,8, 99,9, 5, 10, 2,001, 2,8, 99,9, 9. 0;2;2;99;5; 10; 3; 3; 100; 9. 2.Nechť a Zat 0;1).Určete a, a+t, a+ 1 2 t, a t, a+2t, a 2t.

12 12 a;a;a;apro t=0aa 1pro t (0;1); apro t 0; 1 2) a a+1pro t 1 2 ;1) ; apro t=0, a 1pro t ( 0; 1 2 a a 2pro t ( 1 2 ;1). 3.Načrtnětegrafyfunkcí: y= x, y= x x. 4.ŘeštevR: a) x+ x =68,5 b) x+ x =97 c) x x =68,5 d) x x =97 a)34,5;b)nemářešení;c)8 < x <9, x=8,5625;d)nemářešení. 5.Řešterovnice x R: a) 3x 5 =5x 8 b) 5+6x 8 = 15x 7 5 c) 3+2x 4 = 5 3x 2 d)soustavu x,y R:7 x +2y=117,4a5x+2 y =91,9 a)výraz5x 8jenutněceléčíslo,tedy k=5x 8,odkud x= 1(k+8). 5 Podosazení do zadání dostaneme 3 k+8 3k 1 5 = = k. 5 5 To podle definice celé části vede k nerovnostem k 3k 1 5 < k+1 3 < k 1 2, odkudpro k= 2je x 1 =1,2,nebo k= 1je x 2 =1,4. b)výraz 15x 7 = k Zatedy 15x 7 5+6x < 15x Zprvnínerovniceplyne x 9 = 81 41,zdruhénerovniceplyne x >

13 13 Dálevíme,že 15x 7 = k x= 30k+42,tedy40 <30k+42 81a 5 90 konečně 1 < k 39, k=0;1.podosazenímáme x = 7, x 15 2= 4. 5 c) Platísoučasně k 3+2x < k+1ak 5 3x < k+1.pak I 4 2 k1 = 4k 3 ) ; 4k a Ik2 = ( 3 2k; 5 2k 3 3 ahledáme,prokteráceláčísla kmají tytointervalyneprázdnýprůnik.tedy 4k+1 > 3 2k asoučasně 5 2k k 3,odkuddostanemepro kpodmínku,že 3 < k 19 k= Pro k=1apodosazení 3+2x 4 = 5 3x 2 =1,jevýslednýinterval x ( 1 2 2) ;5 1 ;1 = 1; d) Označme x x =x 0 a y y =y 0,kde x 0,y 0 0;1).Pakdaná soustava přejde na tvar 7 x +2 y = 117,4 2y 0 5 x +2 y = 91,9 5x 0. Nalevéstraněobourovnicsoustavyjesoučetcelýchčísel,tedyina pravéstraněrovnicsoustavymusíbýtceláčísla,odkudpro y 0 plynou dvěmožnosti: y 0 =0,2nebo0,7. Zprvnírovnicevyjádříme y = 117,4 2y 0 7 x,dálerovniceod 2 sebeodečteme,dostanemepro y 0 =0,2rovnici2 x =25,1+5x 0 a x y =.Protože0 5x 0 <5,je x =13,14nebo15.Z 2 důvodu y Z,musíbýt x liché.pakdostaneme x x 0 y x y 13 0, ,18 13,2 15 0, ,98 6, x Analogickyprodruhýpřípad,kdy y 0 =0,7a y =,dostanemepoodečtení2 x =24,1+5x 0.Protože0 5x 0 <5,je x =13 2 nebo14.zdůvodu y Z,musíbýt x sudé.pakdostaneme x x 0 y x y 14 0, ,78 9,7. Mámetedycelkemtřiřešení[13,18;13,2],[15,98;6,2],[14,78;9,7].

14 Mocnostbodukekružnici C I 4 1. Určete poloměry tří kružnic, jejichž středy tvoří vrcholy trojúhelníku sestranamidélek a,b,c,akaždédvěmajívnějšídotyk. Zobrázkuvidíme,že a=s+t, b=r+ t, c=r+ s.odkudsečtením prvnímdvourovniczískámerovnici a+b=r+s+2t=c+2t,zčehož plyne t= a+b c. Postupným dosazením získáme i velikosti zbývajících 2 poloměrů s= a+c b a r= b+c a Kružnice k,l,msepodvouvnědotýkajíavšechnytřimajíspolečnou tečnu.poloměrykružnic k,ljsou3cma12cm.vypočtětepoloměr kružnice m. Najděte všechna řešení. Označmepoloměrykružnic k,lpostupně r,sabodydotykunaspolečné tečně A,B,C.Vizobrázek.

15 Uvažujme lichoběžník ART C a dále vezměme pravoúhlý trojúhelník RUT, UT = AC = (r+ t) 2 (r t) 2 = 2 rt = 2 3t.Analogicky z lichoběžníků CT SB a ARSB dostaneme vztahy BC = 2sqrtst=4 3ta AB =2sqrtrs=12.Nejdříceuvažme,žebod Cleží mezibody AaB.Jepak2sqrt3t+4 3t=12,odkud t= 4 3.Jestliže bod Aležímezibody Ca B,dostanemerovnici2 3t+12=4 3t, odkud t=12.jinýpřípad,bod Bjemezibody AaC,nemářešení, viz. další obrázek. 15

16 16 Poloměr mjeroven 4 3 cmnebo12cm. 3.Kružnice k,l,msedotýkajíspolečnétečnyvetřechrůznýchbodecha jejichstředyležívpřímce.kružnice kalstejnějakokružnice lam mají vnější dotyk. Určete poloměr kružnice l, jestliže poloměry kružnic kamjsou3cma12cm. Zpravoúhlýchlichoběžníků KLV U,LMWV,KMWUplynepodlePythagorovy věty KL 2 = (r+3) 2 (r 3) 2 =12r LM 2 = (12+r) 2 (12 r) 2 =48r KM 2 = (3+2r+12) 2 (12 3) 2 =4r 2 +60r+144 a KL + LM = KM.Poúpravěpro rrovnici 4r 2 48r+144=0=4(r 6) 2. Mátatorovnicejedinéřešení r=6. Kružnice l má poloměr 6 cm.

17 17 4.Kružnice k,lsvnějšímdotykemležíoběvobdélníku ABCD,jehož obsahje72cm 2.Kružnice ksepřitomdotýkástran CD,DAaAB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k, l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. KL = (r+ s) 2 (r s) 2 =2 rsas ABCD = AD AB =2r (r+2 rs+s)=( r+ s) 2.Odkud rs=(6 r) 2 a s= (6 r)2 r. Zúlohyplyne,že s r,tj. s ra AB >2r.Dále72= AB AD 4r 2 r <4.Pak {r;s} {4,1}. Úlohamáprávědvěřešení: r=s=3cmar=4cm, s=1cm. 1.5 Algebraické nerovnosti C I 5 1.Dokažte,že a,b R:ab a2 +b 2 2. Poúpravě2ab a 2 + b 2 0 (a 2 2ab+b 2 ) 0 (a b) 2,cožje výrok pravdivý, druhá mocnina reálného čísla je vždy nezáporna.

18 18 2.Dokažte,že a,b R + : a b + b a 2. Poúpravě a2 +b 2 ab 2 a 2 + b 2 2ab (a b) Dokažte,že a,b R + : ab=1 a+b 2. Povyjádření a= 1 b adosazenímámenerovnicivetvaru 1 b + b 2 b 2 2b+1 0 (b 1) Dokažte,že a,b,c R:3(x 2 + y 2 + z 2 )=(x+y+ z) 2 x=y= z. 5.Dokažte,že a R + : a+ 1 a 2.Kdynastanerovnost? Viz.úloha3vtétopodkapitole.Rovnostnastanepro a=1. 6.Dokažte,že a R + : a a 2 2.Kdynastanerovnost? Analogickyupravímeadostanemevýraz a 4 2a 2 +1=(a 2 1) 2 0. Rovnostnastanepro a=1. 7.Najdětevšechnytrojickladnýchčísel a,b,c,prokteréplatí Poúpravě a+ 1 ( a +2 b+ 1 ) b a=b=c=1. a+2b+3c+ 1 a +2 b +3 c =12. ( +3 c+ 1 ) 12.Rovnostnatanepro c 8.Nechť a,b,c,djsoutakováreálnáčísla,že a+d=b+c.dokažtenerovnost (a b)(c d)+(a c)(b d)+(d a)(b c) 0. Zpodmínkynerovnicezískámevyjádřenípro d; d=b+c aatoto dosadímedolevéstranynerovnice.poúpravě2a 2 4ab+2b 2 =2(a b) 2. Výraz je nezáporný pro každé reálné číslo, tím je nerovnost dokázaná.

19 19 9. Dokažte, že pro libovolná různá kladná čísla a, b platí a+b 2 < 2(a2 + ab+b 2 ) 3(a+b) a2 + b < 2. 2 Nejprveupravímelevoučást,tedy3(a+b) 2 <4(a 2 + ab+b 2 ) 0< (a b) 2 pro a b.pravoučástumocníme(obéstranynerovnicejsou kladná čísla), roznásobíme a částečně upravíme na tvar 6a 2 b 2 < a 4 + b 4 +2a 3 b+2ab 3. Což můžeme chápat jako součet dvou nerovností 2a 2 b 2 < a 4 + b 4 0<(a b) 2 a 4a 2 b 2 <2a 3 b+2ab 3 0<2ab(a b) Určetevšechnakladnáčísla x,y,z,proněžsoučasněplatí: x+ 1 y 2, y+1 z 2, z+1 x 2 Sečtenímvšechtřínerovnicdostaneme x+y+ z+ 1 x +1 y +1 z 6. Provedemeodhadnazákladěúlohy5,resp.3.Tedy6 x+ 1 x + y+ 1 y + z+1 6.Tedy x=y= z=1. z 1.6 Dělitelnost C I 6 1. Trojciferné číslo je zakončeno číslicí 4. Přesuneme-li tuto číslici na první místo, dostaneme číslo, které je o 81 menší než číslo původní. Určete původní číslo.

20 20 Hledanéčíslojetvaru ab4,popřesunuposledníčíslice4ab,kde a,bjsou číslice0 < a 9,0 b 9.Rozepíšeme-lijejdorozvinutéhozápisuv desítkové sooustavě, obdržíme rovnici 100a+10b+4= a+b+81 10a+b=53. Uvážíme-li,že a,bjsoučíslice0<a 9, 0 b 9,získámejediné řešení a=5,b=3.hledanéčísloje Najděte všechna čtyřmístná čísla n, která mají následující tři vlastnosti: Vzápisečísla njsoudvěrůznéčíslice,každádvakrát.číslo njedělitelné sedmi. Číslo, které vznikne obrácením pořadí číslic čísla n, je rovněž čtyřmístné a dělitelné sedmi. Uvažmetřipřípady: aabb, ababaabba,kde0 < a,b 9. a) n=aabb=1100a+11ban = bbaa=1100b+11a.dáleplatí,že7 n a7 n,musídělitijejichsoučetarozdíl.tedy7 (n n )atéž7 (n+n ). Po úpravě máme n+n =1111(a+b), n n =1089(a b). Čísla1089,1111všaknejsoudělitelná7,tedy7musídělit a+ba a b.použijemestejnouúvahuještějednou,tedy7 (a+b)+(a b)a 7 (a+b) (a b),odkudvyplývá,že7 2aa7 b,neboli a,b {0;7}. Číslice a,bjsounavzájemrůzné,protojednaznichmusíbýt0.číslo n nebo n bypakalenebyločtyřmístné.číslo nnemůžebýttohototvaru. b) n=abab=1010a+101ban = baba=1010b+101a.podobnějako v předcházejícím případě odvodíme, že 7 n n =909(a b),7 n+n =1111(a+b) 7 a,b a,b {0;7}, tedyjednaznichopětmusíbýt0.číslo nnebo n bypakalenebylo čtyřmístné a nemůže být ani tohoto tvaru. c) n=abba=1001a+110b=n aprotože7 1001a7 110,musí 7 b b {0;7}.Vzhledemkpodmínce a {1,2,...,9}aa bje řešením17čísel1001,2002,3003,4004,5005,6006,7007,8008, 9009,1771,2772,3773,4774,5775,6776,8778,9779.

21 21 3. Klárka měla na papíru napsáno trojmístné číslo. Když ho správně vynásobila devíti, dostala čtyřmístné číslo, jež začínalo touž číslicí jako původní číslo, prostřední dvě číslice se rovnaly a poslední číslice byla součtem číslic původního čísla. Které čtyřmístné číslo mohla Klárka dostat? Hledámečíslotvaru x=abc=100a+10b+ca9x=9(100a+10b+c)= adde=1000a+100d+10d+(a+b+c),přičemž a,b,c,d,ejsoučíslice. Porovnáním posledních číslic zjistíme, že poslední číslice výrazu 9c je táž,jakovýraz a+b+c.dálevíme,že a+b+c >5a0<c<5,jinak byvýraz9ckončilčíslicínepřevyšující5;pro c=0bypakix=0. Ostatní možnosti jsou dány v tabulce. c 9c a+b+c a+b Vztah 9(100a+10b+c) = 1000a+100d+10d+(a+b+c) ještě upravíme na tvar 100(b a d)=10d+a+11b 8c. (1) Číslice a,b,c,djsounejvýšerovnydevíti,tedyhodnotapravéstranyje menšínež200aaspoň-72.jetedybuď b a d=0nebo b a d=1. Zprvníhopřípaduplyne,že d=b a,poúpravě(1)natvar8c= 3(7b 3a)vidíme,že cjenásobkemtří.ztabulkypakplyne,že c= 3,a=4 b a=b=2.tedy x=223ahledanéčtyřmístnéčísloje Druhýpřípad b a d=1jepak d=b a 1,dosadímedo(1) azjistíme,že8c+110=3(7b 3a).Výraz8c+110jetdydělitelný třemiaprotomusí cdávatzbytek2přidělenítřemi.ztabulky c=2 a b=6 adorovnice8c+110=3(7b 3a)zjistíme,že a=0,což odporuje tomu, že Klára měla na papíře napsané trojmístné číslo.

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

2. Přeneste úsečku KL na polopřímku s počátkem P a vyznačte tak úsečku PR shodnou s úsečkou KL. Vztah shodnosti mezi těmito úsečkami zapište.

2. Přeneste úsečku KL na polopřímku s počátkem P a vyznačte tak úsečku PR shodnou s úsečkou KL. Vztah shodnosti mezi těmito úsečkami zapište. Konstrukce kružítkem 1. Narýsujte kružnici se středem S a poloměrem shodným s úsečkou AB. Úsečku AB přeneste na polopřímku s počátkem M pomocí kružítka a vyznačte tak úsečku MN shodnou s úsečkou AB. 2.

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 66. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Čtverec se stranou 4 cm je rozdělen na čtverečky se stranou 1 cm jako na obrázku. Rozdělte čtverec podél vyznačených čar na dva útvary s obvodem

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie. Najděte nejmenší možnou hodnotu výrazu x xy + y, ve kterém x a y jsou libovolná celá nezáporná čísla.. Určete, kolika způsoby lze všechny

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1 1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Zajímavé matematické úlohy Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky Zajímavé matematické úlohy. V tomto čísle uvádíme zadání další dvojice úloh. Jejich řešení můžete zaslat nejpozději

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz? Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016 65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48 Matematický KLOKAN 007 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Lucka, Radek a David mají dohromady 30 míčů. Jestliže Radek dá 5 míčů Davidovi, David dá 4 míče Lucce a Lucka dá míče Radkovi, budou mít oba chlapci

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Jak by mohl vypadat test z matematiky

Jak by mohl vypadat test z matematiky Jak by mohl vypadat test z matematiky 1 Zapište zlomkem trojnásobek rozdílu, 2 Vypočtěte: 2.1 0,05: 0,001 0,7 0,3 = 2.2 : = 3 Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru: 36 3 3 16 + 1 6 = 4

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více

4.3.2 Koeficient podobnosti

4.3.2 Koeficient podobnosti 4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3 1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 66. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Najděte všechny trojice celých čísel (a, b, c) takové, že každý ze zlomků má celočíselnou hodnotu. a b + c, b c + a, c a + b 2. Je dána

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

KoMáR - Řešení 5. série školní rok 2015/2016. Řešení Páté Série

KoMáR - Řešení 5. série školní rok 2015/2016. Řešení Páté Série Řešení Páté Série Úloha 1. Máte za úkol zaplnit následující útvar čísly od 1 do 13. Součet těchto čísel musí být v každé řadě trojúhelníků stejný. Je možné útvar takto zaplnit? Zdůvodněte své tvrzení.

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Geometrie v rovině 1

Geometrie v rovině 1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova...

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 30 bodů Pro přijetí uchazečů je rozhodné umístění v sestupném pořadí uchazečů podle dosaženého bodového hodnocení. 1Základní informace k zadání zkoušky

Více

CVIČNÝ TEST 16. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 16. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 16 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Brzký ranní vlak z Prahy do Brna zastavil

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více