Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu."

Transkript

1 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie C, tj. pro první ročníky čtyřletých studijních oborů a jim odpovídající ročníky víceletých gymnázií. 1.1 Slovnílogik C I 1 Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1.Z29 dětí sbírá 12 dětí známky, 13 pohlednice. Těch, kteří sbírají známkyipohledniceješest.kolikdětísbírájenomznámkyakolik jich nesbírá nic? Jenom známky sbíralo 6 dětí, 10 dětí nesbíralo nic, viz. diagram níže. 2.Ze30žákůjednétřídybylo7žákůoprázdnináchnarekreacivŘeckua právětolikvchorvatsku;itáliinavštívilo5žáků.vžádnéztěchtotří zemínebylo16žáků,všechnytřinavštíviljedenžák.vřeckuiitáliibyli 2žáci,vItáliiivChorvatsku1žák.Kolikžákůnavštívilooprázdninách Chorvatsko nebo Řecko, Itálii nebo Chorvatsko, jen Řecko?

2 2 Načrtneme Vennův digram pro tři množiny a postupně vyznačíme počty prvků v jednotlivých jeho částech. Chorvatsko nebo Řecko navštívilo 11 studentů, Itálii nebo Chorvatsko 1student,jenvŘeckubyli3studenti. 3.ZpětirodinodebírajítřirodinydeníkDnesadvěLidovénoviny.Existuje mezi nimi rodina, která neodebírá žádný z těchto materiálů? Ano, může. Možnosti při odebírání novin vidíme na následujících diagramech.

3 3 Uveďmesipravidlahry slovnílogik.hráč Asimyslíslovosloženézpěti rúzných písmen. Hráč B vysloví libovolné slovo složené z pěti různých písmenahráč Amuprozradí,kolikpísmenuhodlnasprávnépoziciakolik na nesprávné. Písmena považujeme za různá, i když se liší jen háčkem nebo čárkou. Například: Myslíme si slovo SEŠIT, hráč B řekne slovo ŠIŠKA, hráč A zkráceněodpoví1+1,neboťjednopísmenojenasprávnépozici(š)ajedno písmeno je na nesprávné pozici(i). Nebo jiná dvojice: LOĎKA + KOLÁČ ErikaaKlárkahrályhru slovnílogik.erikasimyslelaslovozpěti různých písmen a Klárka vyslovila slova SIRUP a VODKA. Erika v danémpořadíodpověděla0+3a1+1.dokažte,ževšechnapísmena slova,kterésierikamyslela,patřídomnožiny M= {S,I,R,U,P } {V,O,D,K,A}. Slova SIRUP a VODKA nemají žádné společné písmeno. Erika si mohla myslet například slovo DOPIS, RUSKO, IRSKO nebo PRVKU. 5.ErikaaKlárkahrályhruslovnílogik.ErikasimyslelaslovoAGÁTYa Klárka vyslovila slova KABÁT a MĚSTA. Ověřte, že Erika musela odpovědět stejně jako v úloze 4. Proč nyní nepatří všechna písmena slova, která si Erika myslela, do množiny L = {K,A,B,Á,T} {M,Ě,S,T,A}?

4 4 Slova mají společné písmeno A. Proto se v množině sestavené z písmen obou slov nenachází všech pět písmen hledaného slova. 6. Erika a Klárka hrály hru slovní logik. Klárka vyslovila slova OPAVÚ a ÚLOZE, přičemž Erika odpověděla stejně jako v úloze 4. Jaké slovo sierikamyslela,kdyžvšechnajehopísmenaužpatřídomnožiny L= {O,P,A,V,Ú} {Ú,L,O,Z,E}? Vybíráme3písmenavjinépozicizprvníhoslova,jednopísmenov nesprávné pozici a jedno ve správné pozici z druhého slova. Erika si myslela slovo PAVLE. 7. Třicet maturantů jednoho gymnázia podalo přihlášku k dalšímu studiu na některou ze šesti fakult ČVUT. Využili možnost podat více přihlášek, a tak polovina žáků podala přihlášku aspoň na tři fakulty, třetina si podala přihlášku na více než tři fakulty. Na fakultu architektury se s ohledem na talentovou přijímací zkoušku nehlásil nikdo. a)dokažte,žeaspoňnajednufakultusipodalopřihláškuaspoň14 studentů. b) Dokažte, že na některou ze zbývajících pěti fakult se přihlásilo méně než dvacet studentů. a)vpřípadě,žebyneplatilotototvrzení,mohlobybýtnejvýše5 13= 65 přihlášek. Dle zadání polovina studentů podala aspoň tři přihlášky, tedy druhá polovina studentů podala jednu nebo dvě přihlášky. Z druhé poloviny 10 studentů(třetina z celkového počtu) podalo aspoň čtyři přihlášky a zbývajících 5 studentů podalo právě tři přihlášky. Minimální početpřihlášekdlepodmínekzadáníje =70 >65. Tedy aspoň na jednu fakultu podalo přihlášku aspoň čtrnáct studentů. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu si podalo přihlášku právě 14 studentů viz. tabulka níže.

5 5 b)kdybytvrzeníúlohyneplatilo,bylobyzapotřebíaspoň5 20= 100 přihlášek. Z rozboru řešení v případě a) odhadneme, že maturanti podalinejvýše =95 <100,protonemohlipodatna každou fakultu aspoň 20 přihlášek. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu studenti podali právě 19 přihlášek viz níže. 8. Honza, Jirka, Martin a Petr organizovali na náměstí sbírku na dobročinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích. PrvnídalHonzovidojehokasičky3Kč,Jirkovi2Kč,Martinovi1Kč

6 6 apetrovinic.druhýdaljednomuzchlapců8kčazbylýmtřemnedal nic.třetídaldvěmachlapcůmpo2kčadvěmanic.čtvrtýdaldvěma chlapcůmpo4kčadvěmanic.pátýdaldvěmachlapcůmpo8kča dvěma nic. Poté chlapci zjistili, že každý z nich vybral jinou částku, přičemž tyto tvoří čtyři po sobě jdoucí přirozená čísla. Který z chlapců vybral nejméně a který nejvíce peněz? Dohromady chlapci dostali od kolemjdoucích celkem 42 Kč. Číslo 42 vyjádřímejednoznačnějakosoučetčtyřposobějdoucíchčísel =42.Úvahylzeuspořádatdotabulky,přičemžuvážíme,že nemohlanijedenzchlapcůdostatdvakrát8kč.ktomunejvýšejeden mohldostat4kč,jinakbybylidvasnejvyššívybranoučástkou12kč, viz tabulka níže Σ P H Nejmnéně vybral Honza a nejvíce vybral Petr. 1.2 Přímky a pravoúhelník C I 2 1. Na list papíru tvaru obdélníku narýsujte podle obrázku pravoúhelník ABCD tak, aby jeho strany AB a AD splývaly s okrajem papíru. Pak sestrojte přímku, aby měla s pravoúhelníkem společný jen bod C a její průnik listem papíru tvořil úsečku M N, podél níž papír rozřízněte.

7 7 Vzniklý papírový model trojúhelníku AM N s narýsovaným obdélníkem ABCD přehněte podél úseček BC a DC. Tuto činnost několikrát opakujte, přitom pro tentýž pravoúhelník ABCD volte různé délky úsečky BM.Colzezvýsledkuusouditopoměruobsahůtrojúhelníku AMN a pravoúhelníku ABCD? Hypotézu dokažte. Tímto modelováním nebo užitím programů dynamické geometrie, např. Cabri,jemožnédojítkhypotéze,žeobrazempřímky MN vobou souměrnostech je jedna a táž přímka CX. Uvážíme-li souhlasné úhly při vrcholech M a C v trojúhelnících N DC a NAM,pakmůžemepsát <)NCD = <)CMB = <)DCX =α a <)MCB = <)BCX =90 α. Součetúhlůsvrcholemvbodě Cjepakroven <)NCD + <)DCX + <)MCB + <)BCX = = α+α+90 α+90 α=180, tedy obrazy přímky M N v osových souměrnostech podle přímek BC a CD splývají. Zpodobnostitrojúhelníkuů NDCa CBMplyne,že y b = a x y= ab x.

8 8 Pak obsah AM N můžeme vyjádřit takto: S AMN = 1 ( 2 (a+x)(b+y)=1 2 (a+x) b+ ab ) = x = ab+ 1 ( x 2 a x) + a 2ab. Rovnostnastane,právěkdyž x=a.vtomtopřípaděje S AMN =2ab. 2.Jedánostrýúhel KBLabod M jehovnitřku.sestrojtebodem M přímku p tak, aby vytínala z úhlu KBL trojúhelník ABC nejmenšího obsahu. Analyzujte obsah trojúhelníku ABC pro různé případy polohy bodu Mvzhledemkúsečce AC.Naobrázkujebod M,jímproloženápřímka a trojúhelník ABC. Uvažme jinou přímku procházející bodem M. Z obrázku je patrno, že nově vzniklý trojúhelník má menší obsah než původní trojúhelník.

9 Uvážíme-lipolohubodu Mtakovou,žejestředemúsečky AC,pakz obrázku níže je patrno, že libovolnou jinou přímkou vedenou bodem M nedosáhneme trojúhelníku s menším obsahem, než má trojúhelník ABC. 9

10 10 3.Jedánapřímka pavjednépoloroviněbody A,B.Najdětenapřímce pbod Xtak,abysoučetvzdálenostíodbodů A,Bbylconejmenší. Hledanýbod X získámejakoprůsečíkúsečky AB spřímkou p,kde bod B jeobrazembodu Bvosovésouměrnostidanéosou p.adále platí,že XB = XB,tedy AX + XB = AX + XB.Projinou polohubodu X,např. X,platív AX B trojúhelníkovánerovnost, tj. AX + X B > AB.Probod Xzkonstruovanýtímtozpůsobem je součet minimální. 4.Jedánostrýúhel XV Y ajehovnitřníbod C.Sestrojtenarameni V X bod Aanarameni V Y bod Btak,abyvzniklýtrojúhelníkměl ABC měl minimální obvod. Analogicky předchozímu příkladu, zobrazíme bod C v osových souměrnostech podle ramen daného úhlu, viz. obrázek. Hledané zbylé vrcholy jsoupakprůsečíkemramenúhlusúsečkou C C.

11 11 5. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla a, b platí 1 2 (a+b) ab, přičemžrovnostnastane,právěkdyž a=b. Uvažme a=u 2,b=v 2, u,v 0.Pakposubstitucidostaneme 1 2 (u2 + v 2 ) u2 v 2 = uvpronezápornáčísla.poúpravě u 2 + v 2 2uv,odkud (u v) 2 0,cožjevýrokpravdivý.Druhámocninalibovolnéhoreálného čísla je vždy nezáporná. 1.3 Celáčást x C I 3 1.Určete 0, 2,1, 2,8, 99,9, 5, 10, 2,001, 2,8, 99,9, 9. 0;2;2;99;5; 10; 3; 3; 100; 9. 2.Nechť a Zat 0;1).Určete a, a+t, a+ 1 2 t, a t, a+2t, a 2t.

12 12 a;a;a;apro t=0aa 1pro t (0;1); apro t 0; 1 2) a a+1pro t 1 2 ;1) ; apro t=0, a 1pro t ( 0; 1 2 a a 2pro t ( 1 2 ;1). 3.Načrtnětegrafyfunkcí: y= x, y= x x. 4.ŘeštevR: a) x+ x =68,5 b) x+ x =97 c) x x =68,5 d) x x =97 a)34,5;b)nemářešení;c)8 < x <9, x=8,5625;d)nemářešení. 5.Řešterovnice x R: a) 3x 5 =5x 8 b) 5+6x 8 = 15x 7 5 c) 3+2x 4 = 5 3x 2 d)soustavu x,y R:7 x +2y=117,4a5x+2 y =91,9 a)výraz5x 8jenutněceléčíslo,tedy k=5x 8,odkud x= 1(k+8). 5 Podosazení do zadání dostaneme 3 k+8 3k 1 5 = = k. 5 5 To podle definice celé části vede k nerovnostem k 3k 1 5 < k+1 3 < k 1 2, odkudpro k= 2je x 1 =1,2,nebo k= 1je x 2 =1,4. b)výraz 15x 7 = k Zatedy 15x 7 5+6x < 15x Zprvnínerovniceplyne x 9 = 81 41,zdruhénerovniceplyne x >

13 13 Dálevíme,že 15x 7 = k x= 30k+42,tedy40 <30k+42 81a 5 90 konečně 1 < k 39, k=0;1.podosazenímáme x = 7, x 15 2= 4. 5 c) Platísoučasně k 3+2x < k+1ak 5 3x < k+1.pak I 4 2 k1 = 4k 3 ) ; 4k a Ik2 = ( 3 2k; 5 2k 3 3 ahledáme,prokteráceláčísla kmají tytointervalyneprázdnýprůnik.tedy 4k+1 > 3 2k asoučasně 5 2k k 3,odkuddostanemepro kpodmínku,že 3 < k 19 k= Pro k=1apodosazení 3+2x 4 = 5 3x 2 =1,jevýslednýinterval x ( 1 2 2) ;5 1 ;1 = 1; d) Označme x x =x 0 a y y =y 0,kde x 0,y 0 0;1).Pakdaná soustava přejde na tvar 7 x +2 y = 117,4 2y 0 5 x +2 y = 91,9 5x 0. Nalevéstraněobourovnicsoustavyjesoučetcelýchčísel,tedyina pravéstraněrovnicsoustavymusíbýtceláčísla,odkudpro y 0 plynou dvěmožnosti: y 0 =0,2nebo0,7. Zprvnírovnicevyjádříme y = 117,4 2y 0 7 x,dálerovniceod 2 sebeodečteme,dostanemepro y 0 =0,2rovnici2 x =25,1+5x 0 a x y =.Protože0 5x 0 <5,je x =13,14nebo15.Z 2 důvodu y Z,musíbýt x liché.pakdostaneme x x 0 y x y 13 0, ,18 13,2 15 0, ,98 6, x Analogickyprodruhýpřípad,kdy y 0 =0,7a y =,dostanemepoodečtení2 x =24,1+5x 0.Protože0 5x 0 <5,je x =13 2 nebo14.zdůvodu y Z,musíbýt x sudé.pakdostaneme x x 0 y x y 14 0, ,78 9,7. Mámetedycelkemtřiřešení[13,18;13,2],[15,98;6,2],[14,78;9,7].

14 Mocnostbodukekružnici C I 4 1. Určete poloměry tří kružnic, jejichž středy tvoří vrcholy trojúhelníku sestranamidélek a,b,c,akaždédvěmajívnějšídotyk. Zobrázkuvidíme,že a=s+t, b=r+ t, c=r+ s.odkudsečtením prvnímdvourovniczískámerovnici a+b=r+s+2t=c+2t,zčehož plyne t= a+b c. Postupným dosazením získáme i velikosti zbývajících 2 poloměrů s= a+c b a r= b+c a Kružnice k,l,msepodvouvnědotýkajíavšechnytřimajíspolečnou tečnu.poloměrykružnic k,ljsou3cma12cm.vypočtětepoloměr kružnice m. Najděte všechna řešení. Označmepoloměrykružnic k,lpostupně r,sabodydotykunaspolečné tečně A,B,C.Vizobrázek.

15 Uvažujme lichoběžník ART C a dále vezměme pravoúhlý trojúhelník RUT, UT = AC = (r+ t) 2 (r t) 2 = 2 rt = 2 3t.Analogicky z lichoběžníků CT SB a ARSB dostaneme vztahy BC = 2sqrtst=4 3ta AB =2sqrtrs=12.Nejdříceuvažme,žebod Cleží mezibody AaB.Jepak2sqrt3t+4 3t=12,odkud t= 4 3.Jestliže bod Aležímezibody Ca B,dostanemerovnici2 3t+12=4 3t, odkud t=12.jinýpřípad,bod Bjemezibody AaC,nemářešení, viz. další obrázek. 15

16 16 Poloměr mjeroven 4 3 cmnebo12cm. 3.Kružnice k,l,msedotýkajíspolečnétečnyvetřechrůznýchbodecha jejichstředyležívpřímce.kružnice kalstejnějakokružnice lam mají vnější dotyk. Určete poloměr kružnice l, jestliže poloměry kružnic kamjsou3cma12cm. Zpravoúhlýchlichoběžníků KLV U,LMWV,KMWUplynepodlePythagorovy věty KL 2 = (r+3) 2 (r 3) 2 =12r LM 2 = (12+r) 2 (12 r) 2 =48r KM 2 = (3+2r+12) 2 (12 3) 2 =4r 2 +60r+144 a KL + LM = KM.Poúpravěpro rrovnici 4r 2 48r+144=0=4(r 6) 2. Mátatorovnicejedinéřešení r=6. Kružnice l má poloměr 6 cm.

17 17 4.Kružnice k,lsvnějšímdotykemležíoběvobdélníku ABCD,jehož obsahje72cm 2.Kružnice ksepřitomdotýkástran CD,DAaAB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k, l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. KL = (r+ s) 2 (r s) 2 =2 rsas ABCD = AD AB =2r (r+2 rs+s)=( r+ s) 2.Odkud rs=(6 r) 2 a s= (6 r)2 r. Zúlohyplyne,že s r,tj. s ra AB >2r.Dále72= AB AD 4r 2 r <4.Pak {r;s} {4,1}. Úlohamáprávědvěřešení: r=s=3cmar=4cm, s=1cm. 1.5 Algebraické nerovnosti C I 5 1.Dokažte,že a,b R:ab a2 +b 2 2. Poúpravě2ab a 2 + b 2 0 (a 2 2ab+b 2 ) 0 (a b) 2,cožje výrok pravdivý, druhá mocnina reálného čísla je vždy nezáporna.

18 18 2.Dokažte,že a,b R + : a b + b a 2. Poúpravě a2 +b 2 ab 2 a 2 + b 2 2ab (a b) Dokažte,že a,b R + : ab=1 a+b 2. Povyjádření a= 1 b adosazenímámenerovnicivetvaru 1 b + b 2 b 2 2b+1 0 (b 1) Dokažte,že a,b,c R:3(x 2 + y 2 + z 2 )=(x+y+ z) 2 x=y= z. 5.Dokažte,že a R + : a+ 1 a 2.Kdynastanerovnost? Viz.úloha3vtétopodkapitole.Rovnostnastanepro a=1. 6.Dokažte,že a R + : a a 2 2.Kdynastanerovnost? Analogickyupravímeadostanemevýraz a 4 2a 2 +1=(a 2 1) 2 0. Rovnostnastanepro a=1. 7.Najdětevšechnytrojickladnýchčísel a,b,c,prokteréplatí Poúpravě a+ 1 ( a +2 b+ 1 ) b a=b=c=1. a+2b+3c+ 1 a +2 b +3 c =12. ( +3 c+ 1 ) 12.Rovnostnatanepro c 8.Nechť a,b,c,djsoutakováreálnáčísla,že a+d=b+c.dokažtenerovnost (a b)(c d)+(a c)(b d)+(d a)(b c) 0. Zpodmínkynerovnicezískámevyjádřenípro d; d=b+c aatoto dosadímedolevéstranynerovnice.poúpravě2a 2 4ab+2b 2 =2(a b) 2. Výraz je nezáporný pro každé reálné číslo, tím je nerovnost dokázaná.

19 19 9. Dokažte, že pro libovolná různá kladná čísla a, b platí a+b 2 < 2(a2 + ab+b 2 ) 3(a+b) a2 + b < 2. 2 Nejprveupravímelevoučást,tedy3(a+b) 2 <4(a 2 + ab+b 2 ) 0< (a b) 2 pro a b.pravoučástumocníme(obéstranynerovnicejsou kladná čísla), roznásobíme a částečně upravíme na tvar 6a 2 b 2 < a 4 + b 4 +2a 3 b+2ab 3. Což můžeme chápat jako součet dvou nerovností 2a 2 b 2 < a 4 + b 4 0<(a b) 2 a 4a 2 b 2 <2a 3 b+2ab 3 0<2ab(a b) Určetevšechnakladnáčísla x,y,z,proněžsoučasněplatí: x+ 1 y 2, y+1 z 2, z+1 x 2 Sečtenímvšechtřínerovnicdostaneme x+y+ z+ 1 x +1 y +1 z 6. Provedemeodhadnazákladěúlohy5,resp.3.Tedy6 x+ 1 x + y+ 1 y + z+1 6.Tedy x=y= z=1. z 1.6 Dělitelnost C I 6 1. Trojciferné číslo je zakončeno číslicí 4. Přesuneme-li tuto číslici na první místo, dostaneme číslo, které je o 81 menší než číslo původní. Určete původní číslo.

20 20 Hledanéčíslojetvaru ab4,popřesunuposledníčíslice4ab,kde a,bjsou číslice0 < a 9,0 b 9.Rozepíšeme-lijejdorozvinutéhozápisuv desítkové sooustavě, obdržíme rovnici 100a+10b+4= a+b+81 10a+b=53. Uvážíme-li,že a,bjsoučíslice0<a 9, 0 b 9,získámejediné řešení a=5,b=3.hledanéčísloje Najděte všechna čtyřmístná čísla n, která mají následující tři vlastnosti: Vzápisečísla njsoudvěrůznéčíslice,každádvakrát.číslo njedělitelné sedmi. Číslo, které vznikne obrácením pořadí číslic čísla n, je rovněž čtyřmístné a dělitelné sedmi. Uvažmetřipřípady: aabb, ababaabba,kde0 < a,b 9. a) n=aabb=1100a+11ban = bbaa=1100b+11a.dáleplatí,že7 n a7 n,musídělitijejichsoučetarozdíl.tedy7 (n n )atéž7 (n+n ). Po úpravě máme n+n =1111(a+b), n n =1089(a b). Čísla1089,1111všaknejsoudělitelná7,tedy7musídělit a+ba a b.použijemestejnouúvahuještějednou,tedy7 (a+b)+(a b)a 7 (a+b) (a b),odkudvyplývá,že7 2aa7 b,neboli a,b {0;7}. Číslice a,bjsounavzájemrůzné,protojednaznichmusíbýt0.číslo n nebo n bypakalenebyločtyřmístné.číslo nnemůžebýttohototvaru. b) n=abab=1010a+101ban = baba=1010b+101a.podobnějako v předcházejícím případě odvodíme, že 7 n n =909(a b),7 n+n =1111(a+b) 7 a,b a,b {0;7}, tedyjednaznichopětmusíbýt0.číslo nnebo n bypakalenebylo čtyřmístné a nemůže být ani tohoto tvaru. c) n=abba=1001a+110b=n aprotože7 1001a7 110,musí 7 b b {0;7}.Vzhledemkpodmínce a {1,2,...,9}aa bje řešením17čísel1001,2002,3003,4004,5005,6006,7007,8008, 9009,1771,2772,3773,4774,5775,6776,8778,9779.

21 21 3. Klárka měla na papíru napsáno trojmístné číslo. Když ho správně vynásobila devíti, dostala čtyřmístné číslo, jež začínalo touž číslicí jako původní číslo, prostřední dvě číslice se rovnaly a poslední číslice byla součtem číslic původního čísla. Které čtyřmístné číslo mohla Klárka dostat? Hledámečíslotvaru x=abc=100a+10b+ca9x=9(100a+10b+c)= adde=1000a+100d+10d+(a+b+c),přičemž a,b,c,d,ejsoučíslice. Porovnáním posledních číslic zjistíme, že poslední číslice výrazu 9c je táž,jakovýraz a+b+c.dálevíme,že a+b+c >5a0<c<5,jinak byvýraz9ckončilčíslicínepřevyšující5;pro c=0bypakix=0. Ostatní možnosti jsou dány v tabulce. c 9c a+b+c a+b Vztah 9(100a+10b+c) = 1000a+100d+10d+(a+b+c) ještě upravíme na tvar 100(b a d)=10d+a+11b 8c. (1) Číslice a,b,c,djsounejvýšerovnydevíti,tedyhodnotapravéstranyje menšínež200aaspoň-72.jetedybuď b a d=0nebo b a d=1. Zprvníhopřípaduplyne,že d=b a,poúpravě(1)natvar8c= 3(7b 3a)vidíme,že cjenásobkemtří.ztabulkypakplyne,že c= 3,a=4 b a=b=2.tedy x=223ahledanéčtyřmístnéčísloje Druhýpřípad b a d=1jepak d=b a 1,dosadímedo(1) azjistíme,že8c+110=3(7b 3a).Výraz8c+110jetdydělitelný třemiaprotomusí cdávatzbytek2přidělenítřemi.ztabulky c=2 a b=6 adorovnice8c+110=3(7b 3a)zjistíme,že a=0,což odporuje tomu, že Klára měla na papíře napsané trojmístné číslo.

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

II. kolo kategorie Z6

II. kolo kategorie Z6 Z6 II 1 Pat napsal na tabuli příklad: 62. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z6 589+544+80=2013. Mat chtěl příklad opravit, aby se obě strany skutečně rovnaly, a pátral po neznámém čísle,

Více

Geometrie v rovině 1

Geometrie v rovině 1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova...

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd 005 MA0Z9 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI A Testový sešit obsahuje 7 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Při řešení konstrukční úlohy užívejte rýsovací potřeby. V průběhu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

8. Slovní úlohy na extrémy

8. Slovní úlohy na extrémy 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

MATEMATIKA 9 M9PZD15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky

MATEMATIKA 9 M9PZD15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky MATEMATIKA 9 M9PZD15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový

Více

MATEMATIKA 7 M7PID15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky

MATEMATIKA 7 M7PID15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky MATEMATIKA 7 M7PID15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 4. Časová dotace: 4 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Provádí písemné početní operace Zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje

Více

1BMATEMATIKA. 0B9. třída

1BMATEMATIKA. 0B9. třída BMATEMATIKA 0B. třída. Na mapě v měřítku : 40 000 je vyznačena červená turistická trasa o délce cm. Za jak dlouho ujde tuto trasu turista, který se pohybuje stálou rychlostí 4 km/h? (A) za minut (B) za

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Sbírka úloh z matematiky. 6. - 9. ročník

Sbírka úloh z matematiky. 6. - 9. ročník Sbírka úloh z matematiky 6. - 9. ročník Pro základní školy srpen 2011 Vypracovali: Mgr. Jaromír Čihák Ing. Jan Čihák Obsah 1 Úvod 2 2 6. ročník 3 2.1 Přirozená čísla.................................. 3

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 4. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace využívá při pamětném a písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

Matematika pro 9. ročník základní školy

Matematika pro 9. ročník základní školy Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Číselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou?

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 2. V růžovém království se platí mincemi v hodnotě 3 a 7. Určete největší částku, která se nedá pomocí

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Trojúhelník má jeden úhel tupý,

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

MATEMATIKA. základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGZD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Didaktický test obsahuje 20 úloh.

MATEMATIKA. základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGZD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Didaktický test obsahuje 20 úloh. MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MAGZD0C0T0 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 20 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA 7 M7PZD15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

DOVEDNOSTI V MATEMATICE

DOVEDNOSTI V MATEMATICE Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd ZŠ 2006 MA1ACZZ906DT DOVEDNOSTI V MATEMATICE didaktický test A Testový sešit obsahuje 13 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Všechny odpovědi pište do záznamového

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd 005 MA04Z9 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI B Testový sešit obsahuje 7 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Při řešení konstrukční úlohy užívejte rýsovací potřeby. V průběhu

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!!

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! ZS1MP_PDM2 Didaktika matematiky 2 Katedra matematiky PedF MU v Brně Růžena Blažková, Milena Vaňurová OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! Text vychází

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI Hodnocení výsledků vzdělání žáků 9. tříd 005 MA05Z9 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI C Testový sešit obsahuje 15 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Při řešení konstrukční úlohy užívejte rýsovací potřeby. V průběhu

Více

( ) Zadání SPORT 2014. 1. Kolik % z 2,5 Kč je 0,5 Kč? a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% 2. Žák popleta v písemce napsal: ( x 1) x 1

( ) Zadání SPORT 2014. 1. Kolik % z 2,5 Kč je 0,5 Kč? a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% 2. Žák popleta v písemce napsal: ( x 1) x 1 Zadání SPORT 0. Kolik % z,5 Kč 0,5 Kč? a) 5% b) 0% c) 0% d) 5%. Žák popleta v písemce napsal: ( x ) x =. Pro která x ho výpočet správný? a) x = b) x = c) x = 0 d) pro žádné x. Určete délku x podle údajů

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více