Zobrazení. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Transkript

1 Zobrazení prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 2. přednáška BI-ZMA ZS 2009/2010 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

2 Zobrazení Definice Zobrazení množiny A do množin B je relace f A B, splňující dodatečnou podmínku, že pro každý prvek x A existuje jediný prvek y B tak, že xfy. To, že f je zobrazení množiny A do množiny B, zapisujeme f : A B. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

3 Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

4 Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

5 Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

6 Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f a také značí D f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

7 Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f a také značí D f. Množina obrazů při zobrazení f se nazývá obor hodnot zobrazení f a značí H f. Obor hodnot lze také formálně zapsat H f = { y B x A, y = f (x) }. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

8 Funkce z R do R Funkce budou nejčastěji zadávané předpisem, jak k číslu x určit jeho obraz, číslo y. Např. x 1 y = x 2 Nevymezíme-li hodnoty x, kterým předpis má přiřadit obraz, budeme automaticky za přirozený definiční obor považovat všechna x, pro která má použití předpisu smysl. V našem případě je D f = 1, 2) (2, + ). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

9 Příklad f 1 (x) = x, f 2 (x) = x. Přirozeným definičním oborem D f1 je interval 0, + ), kdežto D f2 = R. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

10 Zúžením zobrazení Definice Zobrazení h : M A B je zúžením zobrazení f : A B na množinu M, když f (x) = g(x) pro každé x M A. Symbolicky zapisujeme h = f / M Pro funkce z příkladu platí f 1 = f 2 / 0,+ ) (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

11 Obraz množiny Obraz množiny M A při zobrazení f : A B je množina f (M) = { y B ( x M) (y = f (x)) }, což lze taky zapsat f (M) = { f (x) x M}. Obor hodnot tedy není nic jiného, než obraz definičního oboru při zobrazení f, tj. H f = f (D f ) Je-li množina M = ( 2, 1, pak f 1 (M) = a f 2 (M) = 1, 2). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

12 Vzor množiny Vzor množiny M B při zobrazení f : A B je f 1 (M) = { x A ( y M) (y = f (x)) }, což lze taky zapsat f 1 (M) = { x A f (x) M }. Pro M = (2, 3) je f 1 1 (M) = (4, 9) a f 1 2 (M) = ( 9, 4) (4, 9). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

13 Složené zobrazení Jsou-li f : A B, g : B C zobrazení, potom můžeme definovat nové zobrazení h : A C předpisem h(x) = g(f (x)). Toto zobrazení se nazývá složení zobrazení g a f a značí se g f. Platí tedy ( g f ) (x) = g(f (x)). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

14 . Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

15 . Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

16 . Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. Skládání zobrazení tedy není komutativní. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

17 . Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. Skládání zobrazení tedy není komutativní. Je asociativní, t.j. f (g h) = (f g) h pro každé tři zobrazení s definičními obory umožňujícími toto skládání. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

18 Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

19 Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), surjektivní zobrazení (neboli zobrazení na B), jestliže pro každé y B existuje x A splňující f (x) = y, (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

20 Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), surjektivní zobrazení (neboli zobrazení na B), jestliže pro každé y B existuje x A splňující f (x) = y, bijektivní (neboli vzájemně jednoznačné) zobrazení, jestliže f je injektivní a surjektivní. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

21 Identické zobrazení Definice Zobrazení množiny A do stejné množiny A, které prvku x přiřazuje sama sebe, nazýváme identické zobrazení na množině A, nebo identita na A a značíme Id A. Identita je zřejmě zobrazení, které je bijektivní. Id A : A A, Id A (x) = x. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

22 Inverzní zobrazení Definice Je-li f : A B prosté zobrazení, pak každému prvku x z oboru hodnot H f lze přiřadit právě jedno y z množiny A tak, že x = f (y). Takto získané zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení f. Píšeme také y = f 1 (x), aniž by docházelo k omylům. Vlastnosti inverzního zobrazení: D f 1 = H f, H f 1 = D f. f 1 f = Id Df, f f 1 = Id Hf. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

23 Literatura: Edita Pelantová, Jana Vondráčková: Matematická analýza 1 - skriptum FJFI Jiří Kopáček Matematická analýza pro fyziky MATFYZPRESS Vydavatelství MFF UK Praha 1997 Vladimír Souček Mat. analýza pro fyziky, přednáška pro 1 semestr na www strance: soucek/ (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

24 Obrázek: Giuseppe Peano (27. srpna 1858, Spinetta, Piemont, Itálie 20. dubna 1932, Turín) (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

25 Obrázek: Richard Dedekind (* 6. října 1831 Braunschweig 12. února 1916 Braunschweig) (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

26 Obrázek: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3. března 1845 Petrohrad, 6. ledna, 1918 Halle) (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18

27 Wolfram-Mathematica N[Sqrt[2], 100] N[1/7, 100] Rudin : Principles of Mathematical Analysis (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/ / 18