Atom vodíku. Klasicky nestabilní, pak jsme studovali v rámci staré kvantové mechaniky
|
|
- Vítězslav Doležal
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ATOMY + MOLEKULY
2 Atom vodíku Klasicky nestabilní, pak jsme studovali v rámci staré kvantové mechaniky Teď úplně kvantově: --Bohrův model Hodnoty a vlastní stavy energie dostaneme z bezčasové Schrodingerovy rovnice ħ2 2m 2 + V r ψ r = Eψ r kde V r = e2 4πε 0 r Vidíme, že potenciální energie je radiálně symetrická: závisí jen na r---přejdeme do sférických souřadnic a použijeme výsledky získané při studiu momentu hybnosti
3 1 2m ħ2 1 r 2 r L2 e2 r + ψ r, θ, φ 2 r2 4πε 0 r ψ r, θ, φ = Eψ r, θ, φ Řešení budeme hledat ve tvaru, který separuje proměnné ψ r, θ, φ = R r Y l,m θ, φ protože, jak víme L 2 Y l,m θ, φ = ħ 2 l l + 1 Y l,m θ, φ takže v kinetické energii můžeme nahradit L 2 ħ 2 l l + 1 Y l,m θ, φ pak můžeme zkrátit z obou stran a dostaneme z parciální diferenciální rovnice pro ψ r, θ, φ obyčejnou diferenciální rovnici pro R r ħ 2 2m 1 r d 2 dr 2 r + l l + 1 r 2 R r e2 4πε 0 r R r = ER r
4 Řešení lokalizované v blízkosti jádra existuje jen tehdy, pokud E n = Ry n 2 kde Ry= 1 2 α2 mc 2 = 13,6eV je Rydbergova energie a n je přirozené číslo jako v Bohrově modelu Pro vodíku podobný atom, tj. jádro +Z, jeden elektron bude, jako v Bohrově modelu E n = Z2 Ry n 2
5 SFÉRICKÉ FUNKCE
6 Radiální funkce Ukazuje se, že závisejí na n, l: R n,l r Počet vlnek n l Na cvičení 2s
7 PRAVDĚPODOBNOST NALEZENÍ VE VZDÁLENOSTI r
8 Prostorové rozložení pravděpodobnosti výskytu nalezení elektronu v atomu popisuje orbitál
9 Více-elektronové atomy Připomínám: jedna vlnová funkce všech proměnných, antisymetrická při záměně Nejjednodušší dvou-elektronový atom helia Na cvičení základní stav v Bohrově modelu Dvou-částicová Schrodingerova rovnice pro dvou-částicovou vlnovou funkci ħ2 2m e2 4πε 0 2 r 1 2 r r 1 r 2 ψ f r 1, S z,1, r 2, S z,2 = = Eψ f r 1, S z,1, r 2, S z,2 Indexy 1,2 u Laplaciánu označují částici, na jejíž proměnné působí, tj. např 1 2 = 2 x y z 1 2 Index f označuje fermiony, tj. antisymetrii ψ f r 2, S z,2, r 1, S z,1 = ψ f r 1, S z,1, r 2, S z,2
10 Už jsme viděli, že antisymetrie může být dána spinovou částí. To se právě stane pro základní stav atomu He ψ z.s. He r 1, S z,1, r 2, S z,2 = ψ z.s. He r 1, r zatímco prostorová část ψ z.s. He r 1, r 2 je symetrická Jak jsme viděli, nejjednodušší takovou funkcí ψ z.s. He r 1, r 2 = ψ z.s. He r 2, r 1 je součin se stejnou funkcí pro obě částice: ψ z.s. He r 1, r 2 = ψ z.s. He r 1 ψ z.s. He r 2 Požadavek, aby toto bylo co nejlepší přiblížení k základnímu stavu, vede zpět na jedno-částicovou Schrodingerovu rovnici
11 ħ2 2m 2 + V r ψ r = Eψ r kde ale potenciální energie je nyní V r = e2 4πε 0 r + d3 r 1 ψ r 1 2 e 2 4πε 0 r r 1 První člen je potenciální energie od jádra. Druhý člen je působení druhého elektronu Hustota náboje druhého elektronu je e ψ r 1 2, tj. sama závisí na hledané funkci Je nutné řešit self-konsistentně Podobně taky pro další atomy: Li, Be, B,
12 Zjednodušený tvar potenciální energie V = Z σ e2 4πε 0 r + βħ2 2mr 2 Parametr σ popisuje stínění náboje jádra, druhý člen deformaci potenciálu díky ostatním elektronům Vede na energii stavů elektronů v atomu: E n,l = Z σ 2 Ry n 2 kde n = n n, l je rostoucí funkce l Použijeme na cvičení pro výpočet ionizačních energií atomů
13 ŘAZENÍ HLADIN A STRUKTURA PERIODICKÉ TABULKY NA JEDNO MÍSTO MAX 2 ELEKTRONY SPIN!
14 VÝSLEDNÁ PERIODICKÁ TABULKA
15 Vliv elektromagnetického pole V Bohrově modelu atomu, tj. ve staré kvantové mechanice: foton se emitoval nebo absorboval při přeskoku mezi hladinami s frekvencí odpovídající rozdílu energií Ovšem některé přechody se dějí často a některé zřídka Jak to? Atom a harmonické oscilátory elektromagnetického pole odděleně vlastní stavy energie, které jsme potkali, tj. daný počet fotonů pro el-mag pole a vlastní stavy atomu tady Ovšem při započtení interakce toto už nebudou vlastní stavy a musíme se podívat na jejich časový vývoj
16 Interakce elektronu v atomu a el-mag pole Začneme elektrostatikou F = QE E = φ takže potenciální energie je Qφ Ta už se uplatnila v samotné stavbě atomu viz V r = e2 4πε 0 r Pro emisi a absorpci: časová změna váže dohromady elektřinu a magnetismus -viz Maxwellův posuvný proud a Faradayova elektromagnetická indukce Když máme i magnetické pole, pak síla je F = Q E + v B a magnetické pole je dáno vektorovým potenciálem B = A který se objeví taky v elektrické intenzitě E = φ A t potenciální energie pak dostane také druhý člen Q φ v A tj. na skalární potenciál se váže samotný náboj, na vektorový pohyb náboje
17 Právě vazba rychlosti částice na vektorový potenciál dá emisi a absorpci Přepíšeme pomocí hybnosti a veličiny nahradíme operátory: Tj. interakční Hamiltonián, který přidáme k původnímu Hamiltoniánu, má tvar H I = p m A S takhle pozměněným Hamiltoniánem budeme řešit časovou Schrodingerovu rovnici Za počáteční stav zvolíme vlastní stav původního Hamiltoniánu Tento stav už nebude vlastním stavem pozměněného Hamiltoniánu už nebude stacionární, nýbrž s časem se k němu budou přidávat jiné původní vlastní stavy Růst jejich zastoupení s časem dá rychlost přechodu
18 Výsledek : Pro jednoduchost uvážíme dvě hladiny s energiemi E 1, E 2 a fotony jenom s odpovídající úhlovou frekvencí, tj. splňující E 2 E 1 = ħω = hν Pak jsou možné tři procesy, graficky: ABSORPCE EMISE SAMOVOLNÁ EMISE VYNUCENÁ
19 1. Absorpce: Matematický popis Počáteční stav: elektron ve spodním stavu a jeden foton Pak pravděpodobnost absorpce a přechodu na horní hladinu je daná tzv. Einsteinovým koeficientem B 12 Einstein zavedl fenomenologicky, před vybudováním kvantové teorie Označíme u ω hustotu energie záření n 1 pravděpodobnost, že elektron je ve spodním stavu Pak rychlost absorpce je dána B 12 n 1 u ω
20 2. Emise Naopak, když je elektron na počátku na horní hladině, pak může přeskočit na Spodní a emitovat foton a to dvojím způsobem: -vynucenou emisí, jejíž rychlost je daná Einsteinovým koeficientem B 21 jako B 21 n 2 u ω -spontánní emisí, jejíž rychlost je daná Einsteinovým koeficientem A 21 a nezáleží na hustotě energie záření A 21 n 2
21 Rovnice pro časový vývoj Zahrnutí všech tří procesů dá dn 1 dt = dn 2 dt = B 12n 1 u ω + B 21 n 2 u ω + A 21 n 2 Rovnováha 0 = dn 1 dt = dn 2 dt = B 12n 1 u ω + B 21 n 2 u ω + A 21 n 2 u ω B 12 n 1 B 21 n 2 = A 21 n 2 u ω = A 21 B 12 n 1 n 2 B 21 Potřebujeme n 1 n 2 v rovnováze Dostaneme z Boltzmannova rozdělení
22 Připomeňme Boltzmannovo rozdělení P(E) ~ exp E k B T Z úměry dostaneme rovnost, když vydělíme součtem exponenciál pro všechny stavy Z jako Zustandsumme = stavová suma Z = exp E k B T stavy aby součet pravděpodobností byl jednička, tj. jistota, že elektron je v nějakém stavu Potom P(E) = exp E k B T Z
23 Pro naše dvě hladiny n 1 = P E 1 = exp E 1 k B T Z n 2 = P E 2 = exp E 2 k B T Z Vydělení zkrátí sumu Z n 1 = exp E 1 k B T n 2 exp E 2 k B T = exp E 2 E 1 k B T = exp ħω k B T Takže u ω = A 21 B 12 n 1 n 2 B 21 = A 21 B 12 exp ħω k B T B 21
24 Rovnováha též pro fotony fotony taky splňujou Boltzmannovo rozdělení Pro danou úhlovou frekvenci je fotonová suma přes stavy s různým počtem fotonů Při odečítání energie od energie vakua má stav s n fotony energii nħω, takže suma je Z fot ω = n=0 exp n ħω k B T = 1 + exp ħω k B T ħω + exp 2 k B T + Tuto frekvenci můžou mít vlny v různých směrech. Když počet těch vln označíme N ω, pak u ω = N ω ħω n kde n je střední počet fotonů, pro který platí Tady P n = exp n ħω k B T Z fot ω n = np n je pravděpodobnost, že máme n fotonů n=0
25 Výpočet středních hodnot veličin ze stavové sumy Z fot ω se obecně provádí derivováním stavové sumy podle nějakého parametru Je to díky tomu, že je to suma exponenciál lineárních funkcí, takže derivování funguje podobně jako u časového vývoje v kvantové mechanice V kvantové mechanice máme časový vývoj Boltzmannovo rozdělení lehce přepíšeme exp i ħ Et exp E k B T = exp i ħ E i ħ k B T Takže i ħ k B T Konkrétně tady uvidíme výpočet střední hodnoty počtu fotonů se chová jako imaginární čas Stavová suma je v tomto případě geometrická řada, takže se dá sečíst: Z fot ω = n=0 exp n ħω k B T = exp ħω k B T n=0 n = 1 1 exp ħω k B T
26 Pro přehlednost označíme x = ħω k B T, takže Z fot ω = 1 1 exp x Pak n = 1 Z fot ω n=0 n exp nx Teď přijde na řadu to derivování exponenciály lineární funkce: n exp nx = d exp nx dx Takže n = 1 Z fot ω n=0 d dx exp nx = 1 Z fot ω d dx n=0 exp nx = 1 Z fot ω d dx Z fot ω
27 Derivace složené funkce d dx Z fot ω = d 1 dx 1 exp x = 1 d 1 exp x 2 dx 1 exp x = exp x 1 exp x 2 n = 1 Z fot ω d dx Z fot ω = exp x 1 exp x = 1 exp x 1 = 1 exp ħω k B T 1 A odtud u ω = N ω ħω n = N ω ħω exp ħω k B T 1
28 Porovnání s u ω = A 21 B 12 exp ħω k B T B 21 Dá B 12 = B 21 A 21 B 21 = N ω ħω Vazba mezi termodynamikou a kvantovou mechanikou Ta je velmi hluboká, jak naznačuje chování teploty jako imaginárního času i ħ k B T
29 VYNUCENOU EMISI VYUŽÍVAJÍ LASERY LIGHT AMPLIFICATION BY STIMULATED EMISSION OF RADIATION POTŘEBUJEME : Další fotony se vyzáří koherentně s původními AKTIVNÍ PROSTŘEDÍ ( TAM LZE DOSÁHNOUT INVERZNÍ POPULACI = VYŠŠÍ OBSAZENÍ HORNÍ HLADINY ) ZDROJ ENERGIE UMOŽŇUJÍCÍ ČERPÁNÍ ELEKTRONŮ DO HORNÍ HLADINY DUTINOVÝ REZONÁTOR VYBÍRÁ VLNOVOU DÉLKU ZESILOVANÉHO ZÁŘENÍ
30 ČTYŘHLADINOVÉ SCHÉMA FUNKCE REZONÁTORU
31 NEODYMOVÝ LASER DIODOVÝ LASER
32 METODY ČERPÁNÍ : ELEKTRICKÝ VÝBOJ HeNe, Ar +, CO 2 LASER ABSORPCE SVĚTLA RUBÍNOVÝ LASER ( VÝBOJKA ) NEODYMOVÉ SKLO ( VÝBOJKA ) BARVIVOVÉ LASERY ( LASER ) CHEMICKÁ REAKCE HF LASER, EXCIMERNÍ LASER ( XeF ) ELEKTRICKÝ PROUD POLOVODIČOVÝ LASER ( AlGaAs )
33 OBŘÍ MIKROVLNNÝ MASER ) * MOLEKULÁRNÍ MRAKY ČERPANÉ HORKOU MLADOU HVĚZDOU NEJBĚŽNĚJŠÍ MOLEKULY VYKAZUJÍCÍ MASEROVÁNÍ : OH, H 2 O, CH 3 OH, SiO TYPICKÉ ZESÍLENÍ 100 ŠPIČKOVÉ I 1000 ) * Maser je analogie laseru, jen pracující v mikrovlnné oblasti. Nemusí být kosmických rozměrů. Lze např. pracovat se čpavkem.
34 Molekuly Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky Nejjednodušší případ: molekulární iont H 2 +, tj. dva protony a jeden elektron Teď máme dvě těžké částice a jednu lehkou Vzájemný pohyb protonů teď bude hrát roli Proto se podíváme na pohyb dvou částic
35 Pohyb dvou částic Pro jednoduchost v 1d, začneme klasicky E = 1 2 m 1x m 2x 2 2 těžiště: x T = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Kinetická energie pohybu těžiště: E T = 1 2 m 1 + m 2 x T 2 = 1 m 1 x 1 + m 2 x 2 2 = 2 m 1 + m 2 m 1 1 = m 1 + m 2 2 m 1x m 2 1 m 1 + m 2 2 m 2x m 1 m 2 2x 2 m 1 + m 1x 2 = 2 = 1 2 m 1x m 2x m 1 m 2 x x 2 2 2x 2 m 1 + m 1x 2 2 E = E T m 1 m 2 m 1 + m 2 x 2 x 1 2 Takže energie dvou částic je energie pohybu těžiště plus energie relativního pohybu
36 Relativní pohyb 1 m 1 m 2 x 2 x 1 2 = 1 2 m 1 + m 2 2 m rx r 2 x r = x 2 x 1 m r = m 1m 2 m 1 + m 2 je tzv. redukovaná hmotnost Přehlednější formule 1 m r = 1 m m 2 Říká, že redukovanou hmotnost určuje hlavně lehčí částice To jsme viděli na cvičení při odhadu magnetické síly na elektron v atomu --elektron a proton se točily kolem společného těžiště, ale v podstatě se pohyboval jenom elektron
37 Kvantový pohyb dvou částic v 1d Transformace se dá zapsat maticově x T x r = m 2 m 1 m 1 + m 2 m 1 + m x 1 x 2 Protože je transformace lineární, tak matice je zároveň Jacobiho matice derivací m 2 m 1 m 1 + m 2 m 1 + m = x T x 1 x r x 1 x T x 2 x r x 2 Jejíž transpozice (záměna řádků a sloupců) transformuje parciální derivace x 1 = x T x 1 x T + x r x 1 x r a podobně pro index 2, takže
38 x 1 x 2 = x T x 1 x T x 2 x r x 1 x r x 2 x T x r = m 1 1 m 1 + m 2 m 2 1 m 1 + m 2 x T x r Kvantově mechanická kinetická energie = ħ2 2 = ħ2 2 ħ2 2 2m 1 x 2 ħ m 2 x 2 = ħ2 2 2 x T x T x r x r m 2 m 1 m 1 + m 2 m 1 + m m 1 + m m m 2 x 1 x 2 1 m x T x r 1 m 2 = 1 m m 2 m 1 x 1 x 2 1 m 1 + m 2 m 2 1 m 1 + m 2 = x T x r = ħ 2 2 m 1 + m 2 2 x T 2 ħ2 2m r 2 x r 2
39 Takže zase s pohybem těžiště je spojena celková hmotnost a s relativním pohybem redukovaná hmotnost Zpátky k molekulárnímu iontu Označíme relativní souřadnici protonů R a souřadnici elektronu vůči těžišti r Hmotnosti m elektronu a M protonu Pro redukovanou hmotnost protonů platí 1 M r = 1 M + 1 M takže M r = M 2
40 Hladiny energie dostaneme z bezčasové Schrodingerovy rovnice ħ2 2m r 2 4πε 0 e 2 r 1 2 R 4πε 0 e 2 r R ħ2 M R 2 + e2 4πε 0 R ψ r, R = Eψ r, R Hybnost elektronu a protonů srovnatelná, a proto energie protonů zmenšená faktorem m M Stejná hybnost taky znamená, že rychlost protonů je zmenšená stejným faktorem Jako když vyskočím na Zemi nahoru, mám já i Země stejnou hybnost, ale já mám M m krát větší energii a rychlost
41 Bornova-Oppenheimerova aproximace Řešení bude mít přibližně tvar ψ r, R = Φ R Ψ R r kde ψ R r je vlnová funkce elektronu se zafixovanými polohami protonů splňující ħ2 2m r 2 4πε 0 e 2 r 1 2 R e 2 4πε 0 r R Ψ R r = E R Ψ R r tzv. molekulární orbital Nyní R je parametr, a proto stojí jako index u ψ R r a E R, což je vlnová funkce a energie jen elektronu, když protony jsou v relativní poloze R. Energie E R pak hraje roli dodatečného potenciálu pro pohyb protonů. Schrodingerova rovnice pro pohyb protonů pak je ħ2 M R 2 + e2 4πε 0 R + E R Φ R = EΦ R
42 Zajímají nás nejnižší stavy Pokud jsou protony daleko od sebe, máme dva nezávislé atomy vodíku, takže řešení má tvar αψ 0 r 1 2 R + βψ 0 r R kde ψ 0 r je 1s základní stav atomu vodíku a α, β jsou libovolné konstanty Skutečně, pro velkou vzdálenost je vliv potenciálu od druhého protonu zanedbatelný:
43 ħ2 2m r 2 4πε 0 e 2 = ħ2 2m r 2 + ħ2 2m r 2 e 2 r 1 2 R 4πε 0 r + 1 αψ 0 r 1 2 R 2 R + βψ 0 r R = 4πε 0 4πε 0 e 2 e 2 r 1 2 R 4πε 0 r + 1 αψ 0 r 1 2 R 2 R + e 2 = ħ2 2m r 2 + ħ2 2m r 2 e 2 e 2 r 1 2 R 4πε 0 r + 1 βψ 0 r R 2 R = e 2 4πε 0 r 1 2 R αψ 0 r 1 2 R + e 2 4πε 0 r R βψ 0 r R 4πε 0 r + 1 αψ 0 r 1 e2 R 2 R 2 4πε 0 r 1 βψ 0 r R 2 R Poslední dva členy zanedbáme pro velká R
44 ħ2 2m r 2 e 2 4πε 0 r 1 2 R αψ 0 r 1 2 R + ħ2 2m r 2 e 2 4πε 0 r R βψ 0 r R = = Ryαψ 0 r 1 2 R Ryβψ 0 r R = Ry αψ 0 r 1 2 R + βψ 0 r R Proto přibližně platí ħ2 2m r 2 4πε 0 e 2 r 1 2 R e 2 4πε 0 r R αψ 0 r 1 2 R + βψ 0 r R Ry αψ 0 r 1 2 R + βψ 0 r R Takže jsme navíc dostali E R Ry
45 Když se R zmenšuje, tak pořád je αψ 0 r 1 2 R + βψ 0 r R dobrým přiblížením. Ale koeficienty už nejsou libovolné, nýbrž dvě možnosti Symetrická: Ψ S,R r = ψ 0 r 1 2 R + ψ 0 r R Značí se σ Antisymetrická: Ψ A,R r = ψ 0 r 1 2 R ψ 0 r R Značí se σ I pro složitější molekuly jsou molekulární orbitály dobře aproximované lineárními kombinacemi atomových orbitálů tzv. přiblížení LCAO (linear combination of atomic orbitals) V neutrální molekule H 2 jsou oba elektrony v tomto stavu s opačným spinem, podobně jako v atomu He
46 Příslušné energie jsou E S,R, E A,R Ty budou mít pro velké R společnou hodnotu Ry, takže je parametrizujeme E S,R = Ry + U S E A,R = Ry + U A R R Vidíme, že symetrický je vazební a antisymetrický antivazební
47 Podobnost s nejnižšími dvěma stavy v jámě A S Odtud fundamentální důvod pro chemickou vazbu: Princip neurčitosti Molekula větší než atom větší neurčitost polohy, menší neurčitost hybnosti a tím menší kinetická energie jako když jsme na cvičení odhadovali energii základního stavu atomu vodíku a harmonického oscilátoru
48 Schrodingerova rovnice pro relativní pohyb protonů ħ2 M R 2 + e2 4πε 0 R + E R Φ R = EΦ R Dá rotační a vibrační pohyb molekuly probereme na cvičení Tohle byla nejjednodušší molekula. Stejným způsobem můžeme studovat složitější.
49 KONEC NEZÁVISLÉ CHEMIE?! THE UNDERLYING PHYSICAL LAWS NECESSARY FOR THE MATHEMATICAL THEORY OF A LARGE PART OF PHYSICS AND THE WHOLE OF CHEMISTRY ARE THUS COMPLETELY KNOWN, AND THE DIFFICULTY IS ONLY THAT THE EXACT APPLICATIONS OF THESE LAWS LEADS TO EQUATIONS MUCH TOO COMPLICATED TO BE SOLUBLE. P.A.M. DIRAC
50 Pevná látka Přidáváme více a více atomů, až jich máme zhruba Avogadrovo číslo ~10 23 Pro jednoduchost 1d jako už dříve Potenciální energie pro elektrony je složena z potenciálních energií jednotlivých jader V krystalu jsou uspořádány periodicky potenciální energie je periodická funkce V x + a = V x
51 Bezčasová Schrodingerova rovnice pro vlastní stavy a vlastní hodnoty energie ħ2 2m d 2 + V x ψ x = Eψ x dx2 Podmínka V x + a = V x také platí pro V x 0 tedy pro volnou částici Tehdy, jak víme, ψ x = exp ikx E = ħ2 k 2 2m Skutečná potenciální energie je srovnatelná s kinetickou. Ale abychom získali kvalitativní představu o vlivu periodické potenciální energie, Budeme předpokládat, že potenciální energie je malá oproti kinetické Pak V x sice způsobí, že exp ikx už není vlastní stav a ħ 2 k 2 2m už není vlastní hodnota, ale obojí se změní málo
52 V x exp ikx je porucha, kterou opravíme tím, že přičteme k exp ikx opravu δψ k x a k energii opravu δe ħ 2 d 2 2m dx 2 + ħ2 k 2 2m δψ k x = V x δe exp ikx Periodická funkce V x se dá rozvést do Fourierovy řady + V x = V n exp i 2π a nx n= čímž porucha na pravé straně získá tvar + V x δe exp ikx = V n exp i k + 2π a n= n x δeexp ikx
53 Proto budeme hledat δψ k x ve tvaru stejné Fourierovy řady + δψ k x = δψ k,n exp i k + 2π a n= n x Dosazení do levé strany Schrodingerovy rovnice + ħ 2 d 2 2m dx 2 + ħ2 k 2 2m δψ k x = ħ2 2m n= k + 2π a n 2 + ħ2 k 2 2m δψ k,nexp i k + 2π a n x
54 Porovnání obou stran + n= ħ2 2m k + 2π a n 2 + = V n exp i k + 2π a n= + ħ2 k 2 2m δψ k,nexp i k + 2π a n x δeexp ikx n x = Musí se sobě rovnat jednotlivé členy, tj. δψ k,n = 2m ħ 2 V n k 2 k + 2π a n 2 Tohle platí tehdy, pokud jmenovatel není rovný nule, (což se může stát kvůli opačným znaménkům mezi nezápornými čísly) tj. pokud příslušný člen δψ k,n nevypadne ze sumy na levé straně, tj. pokud není k + 2π a n 2 = k 2 Po odmocnění dvě možnosti k + 2π a n = ±k
55 Znaménko plus n = 0 Člen n = 0 vypadne ze sumy na levé straně. Na pravé straně ho spravíme volbou δe = V 0 Nultá Fourierova komponenta periodické funkce V x je průměrná hodnota potenciální energie, která změní celkovou energii Tenhle člen ze sumy vypadne pro libovolné k. Ale je ještě znaménko mínus, pak k + 2π a n = k k = π a n n je celé číslo n = 0 už jsme uvážili Co ostatní? Co se tam děje?
56 Problém i blízko toho bodu k = π a n: δψ k,n = 2m ħ 2 V n k 2 k + 2π a n 2 má být malá oprava. Ale jmenovatel ji zvětší nade všechny meze, jak se k blíží π a n Jak to? Snaží se dát velkou váhu Fourierově složce blízké k + 2π a n = π a n + 2π a n = π a n Fyzikální důvod: rozptyl na krystalické mřížce; Matematicky: při násobení funkcí se sčítají vlnové vektory násobení funkcí dá konvoluci jejich Fourierových obrazů
57 Podíváme se podrobněji na první případ n = 1 tj. k blízko π a Jelikož tady nefunguje ta strategie, že malou opravou opravíme malou poruchu, vrátíme se zpátky k původní Schrodingerově rovnici Z potenciální energie necháme jen nejdůležitější Fourierovu složku V 1, která právě vyvolává problémy ħ2 2m d 2 ħ2 + V x exp ikx dx2 2m d 2 dx 2 + V 1exp i 2π a = ħ2 k 2 2m exp ikx + V 1exp i k + 2π a x x exp ikx = Výsledkem je součet dvou exponenciál s vlnovými vektory k a k + 2π a Takže skutečně tato složka potenciální energie nám dá též složce na k + 2π a, jak jsme čekali z růstu opravy poruchy
58 Takže se musíme podívat, co udělá Schrodingerova rovnice též se složkou k + 2π a Pro k + 2π a blízko + π a naopak problematická složka je n = 1 ħ2 d 2 2m dx 2 + V x exp i k + 2π a x ħ2 d 2 2m dx 2 + V 1exp i 2π a x exp i k + 2π a x = = ħ2 k + 2π a 2m 2 exp i k + 2π a x + V 1exp ikx Zapíšeme přehledně v maticovém tvaru
59 ħ2 d 2 2m dx2 + V x exp ikx exp i k + 2π a x ħ 2 k 2 2m V 1 ħ 2 k + 2π V a 1 2m 2 exp ikx exp i k + 2π a x Takže pro k blízko π a je Hamiltonián v dobrém přiblížení matice 2x2, jako v dvojitém LC obvodu Vlastní hodnoty energie proto jsou vlastní hodnoty této matice: ħ 2 k 2 2m V 1 ħ 2 k + 2π V a 1 2m 2 exp ikx exp i k + 2π a x = E exp ikx exp i k + 2π a x
60 Jako v LC obvodu převedem pravou stranu na levou ħ 2 k 2 2m E V 1 ħ 2 k + 2π V a 1 2m 2 E exp ikx exp i k + 2π a x = 0 což může nastat tehdy, pokud je nulový determinant matice det ħ 2 k 2 2m E V 1 ħ 2 k + 2π V a 1 2m 2 E = 0
61 Pro zjednodušení zápisu označíme energii volné částice s vlnovým vektorem k jako e k = ħ2 k 2 2m takže podmínka nulového determinantu pak má tvar det e k E V 1 V 1 e k + 2π a E = 0 a odtud E e k E e k + 2π a V 1 V 1 = 0
62 Potenciální energie V x je reálná a exp i 2π a x je komplexně sdružené s exp i 2π a x Aby bylo V 1 exp i 2π x komplexně sdružené s V a 1exp i 2π x, a musí být V 1 komplexně sdružené s V 1 V 1 = V 1 takže V 1 V 1 = V 1 V 1 = V 2 1 je kladné číslo Rovnici pro vlastní hodnoty přepíšeme E e k + e k + 2π a 2 e k e k + 2π a 2 E e k + e k + 2π a 2 + e k e k + 2π a 2 V 1 2 = 0
63 Odtud 2 2 E e k + e k + 2π a 2 = e k e k + 2π a 2 + V 1 2 což dá hladiny energie 2 E = e k + e k + 2π a 2 ± e k e k + 2π a 2 + V 1 2 Nejmenší rozdíl dvou větví je pro e k = e k + 2π a tj. pro k = π a a má hodnotu 2 V 1 Mezera ve spektru
64 Graficky: 2 V 1 Naše strategie odstranit malou poruchu malou opravou selhala blízko π a Toto selhání bylo náznakem toho, že se tam děje něco dramatického vznikne mezera ve spektru
65 Takhle to bude i pro další hodnoty n Rozsekání na pásy energie Obrázek ukazuje, že můžeme všechny vlnové vektory přesunout do intervalu π a, π a To je též vidět z tvaru řešení:
66 Předpokládali jsme opravu tvaru + δψ k x = δψ k,n exp i k + 2π a n= n x A našli jsme δψ k,n = 2m ħ 2 V n k 2 k + 2π a n 2 Ovšem když tuhle opravu dosadíme místo exp na pravou stranu rovnice ħ 2 d 2 2m dx 2 + ħ2 k 2 2m δψ k x = V x δe exp ikx tak to bude zase porucha, kterou musíme odstranit další opravou atd. Tímhle postupným opravováním poruch dostaneme tzv. poruchovou řadu. Je to další přibližná metoda řešení Schrodingerovy rovnice v případech, kde Rovnice nelze vyřešit přesně; už jsme poznali metodu pro pomalu se měnící V x.
67 Ale přesná funkce bude mít stejný tvar: + + ψ k x = u k,n exp i k + 2π n x a n= exp ikx u k x = exp ikx u k,n exp i 2π a nx n= + kde u k x = u k,n exp i 2π a nx n= je periodická funkce se stejnou periodou jako V x, a proto má stejný tvar Fourierova rozvoje Odtud vidíme, že k je určeno až na celočíselný násobek 2π a, takže můžeme hodnoty k opravdu omezit na interval π a, π a, jak naznačil obrázek Matematika: třídy ekvivalence, z reálné přímky uděláme kruh, Z roviny pneumatiku, z prostoru 3d pneumatiku Topologie topologické vlastnosti (kvantový Hallův jev, topologické izolanty)
68 V KAŽDÉM PÁSU JE N STAVŮ ( N = POČET ATOMŮ ), V KAŽDÉM MOHOU BÝT 2 ELEKTRONY ( SPIN ). PÁSY SE ZAPLŇUJÍ OD SPODA AŽ PO FERMIHO MEZ. ZCELA ZAPLNĚNÉ PÁSY A ZCELA PRÁZDNÉ PÁSY NEPŘISPÍVAJÍ K VODIVOSTI. OBSAZENÍ PÁSŮ ROZHODUJE, ZDA LÁTKA JE KOV NEBO IZOLANT, PŘÍPADNĚ POLOVODIČ.
69 JEDNODUCHÉ SCHÉMA VYSVĚTLUJE ROZDÍL VODIVOSTÍ KOVU A IZOLANTU O 20 ŘÁDŮ
Molekuly. Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky
Molekuly Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky Nejjednodušší případ: molekulární iont H +, tj. dva protony
VíceATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.
ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
Více2. Elektrotechnické materiály
. Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
VíceFyzika IV. -ezv -e(z-zv) kov: valenční elektrony vodivostní elektrony. Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VíceAtomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů.
Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů. Ion molekuly vodíku H + 2 První použití metody je demonstrováno při
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/
Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHPB1/Chemie pro biology 1 Elektronový obal Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl přednášky: seznámit posluchače se stavbou
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceLaserové technologie v praxi I. Přednáška č.1. Fyzikální princip činnosti laserů. Hana Chmelíčková, SLO UP a FZÚ AVČR Olomouc, 2011
Laserové technologie v praxi I. Přednáška č. Fyzikální princip činnosti laserů Hana Chmelíčková, SLO UP a FZÚ AVČR Olomouc, 0 LASER kvantový generátor světla Fyzikální princip činnosti laserů LASER zkratka
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.
VíceDALTONOVA TEORIE ( 1803 )
Chemická cesta od Daltona DALTONOVA TEORIE ( 1803 ) PRVKY SE SKLÁDAJÍ Z ATOMŮ. ATOMY DANÉHO PRVKU JSOU STEJNÉ. ( SPECIÁLNĚ MAJÍ STEJNOU VÁHU ) ATOMY RŮZNÝCH PRVKŮ RŮZNÉ. SLOUČENINY VZNIKAJÍ SPOJENÍM (
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie
Investice do rozvoje vzdělávání Inovace studia molekulární a buněčné biologie Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Investice do rozvoje vzdělávání
Vícepřičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen
Výběrová pravidla Absorpce/stim. emise Kde se výběrová pravidla vezmou? Použijeme semiklasické přiblížení, tzn. s nabitými částicemi (s indexy 1...N) zacházíme kvantově, s vnějším elektromagnetickým polem
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VíceFyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO
1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceObjevili Rutherford, Geiger, Marsden rozptyl alfa částic na zlaté folii. Asi krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu
Jádro Připomínám, co jsme se dozvěděli na druhé hodině: Objevili Rutherford, Geiger, Marsden rozptyl alfa částic na zlaté folii Asi 100 000krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu Víme: Skládá
VíceJádro se skládá z kladně nabitých protonů a neutrálních neutronů -> nukleony
Otázka: Atom a molekula Předmět: Chemie Přidal(a): Dituse Atom = základní stavební částice všech látek Skládá se ze 2 částí: o Kladně nabité jádro o Záporně nabitý elektronový obal Jádro se skládá z kladně
VíceFyzika atomového jádra
Fyzika atomového jádra (NJSF064) František Knapp http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~knapp/jf/ frantisek.knapp@mff.cuni.cz Slupkový model jádra evidence magických čísel: hmoty, separační energie, vazbové
VíceTeorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR
Geometrie molekul Lewisovy vzorce poskytují informaci o tom které atomy jsou spojeny vazbou a o jakou vazbu se jedná (topologie molekuly). Geometrické uspořádání molekuly je charakterizováno: Délkou vazeb
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových
VíceAtomové jádro Elektronový obal elektron (e) záporně proton (p) kladně neutron (n) elektroneutrální
STAVBA ATOMU Výukový materiál pro základní školy (prezentace). Zpracováno v rámci projektu Snížení rizik ohrožení zdraví člověka a životního prostředí podporou výuky chemie na ZŠ. Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.16/02.0018
VíceNekovalentní interakce
Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 31. října 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 31. října 2017 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii 4 Výpočty
VíceKovy - model volných elektronů
Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření optických impulsů v aktivním prostředí Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz. prosince 016 Program přednášek
VíceÚvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Látka jako soubor kvantových soustav Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze petr.koranda@gmail.com 18. září 2018 Světlo jako elektromagnetické
VíceR10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika
Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární
VíceNekovalentní interakce
Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 3. listopadu 2016 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 3. listopadu 2016 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii
Více6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207
6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceOptické spektroskopie 1 LS 2014/15
Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Martin Kubala 585634179 mkubala@prfnw.upol.cz 1.Úvod Velikosti objektů v přírodě Dítě ~ 1 m (10 0 m) Prst ~ 2 cm (10-2 m) Vlas ~ 0.1 mm (10-4 m) Buňka ~ 20 m (10-5 m)
Více37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra
445 37 MOLEKULY Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra Soustava stabilně vázaných atomů tvoří molekulu. Podle počtu atomů hovoříme o dvoj-, troj- a více atomových molekulách.
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceOddělení pohybu elektronů a jader
Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceFyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK
Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 Fyzika atomu - model atomu struktura elektronového obalu atomu z hlediska energie atomu - stavba atomového jádra; základní nukleony
VíceKvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby
Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů model těsné vazby Částice (elektron) v periodickém potenciálu- Blochův teorém Dále už nebudeme považovat elektron za zcela volný (Sommerfeld), ale připustíme
VícePLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE
KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura
VícePřehled veličin elektrických obvodů
Přehled veličin elektrických obvodů Ing. Martin Černík, Ph.D Projekt ESF CZ.1.7/2.2./28.5 Modernizace didaktických metod a inovace. Elektrický náboj - základní vlastnost některých elementárních částic
VíceE g IZOLANT POLOVODIČ KOV. Zakázaný pás energií
Polovodiče To jestli nazýváme danou látku polovodičem, závisí především na jejích vlastnostech ve zvoleném teplotním oboru. Obecně jsou to látky s 0 ev < Eg < ev. KOV POLOVODIČ E g IZOLANT Zakázaný pás
VíceZdroje optického záření
Metody optické spektroskopie v biofyzice Zdroje optického záření / 1 Zdroje optického záření tepelné výbojky polovodičové lasery synchrotronové záření Obvykle se charakterizují zářivostí (zářivý výkon
VíceDiskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.
S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
Více17 Vlastnosti molekul
17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Chemické vlastnosti atomů (a molekul) jsou určeny vlastnostmi elektronového obalu. Chceme znát energii a prostorové rozložení elektronů Znalosti o elektronovém obalu byly získány
VíceStruktura elektronového obalu
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Struktura elektronového obalu Představy o modelu atomu se vyvíjely tak, jak se zdokonalovaly možnosti vědy
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceVÍTEJTE V MIKROSVĚTĚ
VÍTEJTE V MIKROSVĚTĚ Klasická vs. Moderní fyzika Klasická fyzika fyzika obyčejných věcí viditelných pouhým okem Moderní fyzika Relativita zabývá se tím co se pohybuje rychle nebo v silovém gravitačním
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE doc. Ing. David MILDE, Ph.D. tel.: 585634443 E-mail: david.milde@upol.cz (c) -017 Doporučená literatura Černohorský T., Jandera P.: Atomová spektrometrie. Univerzita Pardubice 1997.
VíceElektromagnetické záření. lineárně polarizované záření. Cirkulárně polarizované záření
Elektromagnetické záření lineárně polarizované záření Cirkulárně polarizované záření Levotočivé Pravotočivé 1 Foton Jakékoli elektromagnetické vlnění je kvantováno na fotony, charakterizované: Vlnovou
VíceOkruhy k maturitní zkoušce z fyziky
Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky 1. Fyzikální obraz světa - metody zkoumaní fyzikální reality, pojem vztažné soustavy ve fyzice, soustava jednotek SI, skalární a vektorové fyzikální veličiny, fyzikální
VícePočátky: už jsme potkali
KVANTOVÁ MECHANIKA Počátky: už jsme potkali Záření černého tělesa Kvantování energie Fotoefekt PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 Model atomu Vlnové vlastnosti částic BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987
Vícec) vysvětlení jednotlivých veličin ve vztahu pro okamžitou výchylku, jejich jednotky
Harmonický kmitavý pohyb a) vysvětlení harmonického kmitavého pohybu b) zápis vztahu pro okamžitou výchylku c) vysvětlení jednotlivých veličin ve vztahu pro okamžitou výchylku, jejich jednotky d) perioda
VícePSK1-14. Optické zdroje a detektory. Bohrův model atomu. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka.
PSK1-14 Název školy: Autor: Anotace: Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka Optické zdroje a detektory Vzdělávací oblast: Informační a komunikační technologie Předmět:
VíceTepelná vodivost pevných látek
Tepelná vodivost pevných látek Přenos tepla vedení mřížková část tepelné vodivosti Dvouatomový lineární řetězec přiblížení např. NaCl (1) u -1 (A) u s-1 (B) u (A) u s (B) u s+1 (B) u +1 (A) Např. = příčné
VíceOperátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VíceOpakování
Slabé vazebné interakce Opakování Co je to atom? Opakování Opakování Co je to atom? Atom je nejmenší částice hmoty, chemicky dále nedělitelná. Skládá se z atomového jádra obsahujícího protony a neutrony
VíceNěco o laserech. Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 13. května 2010
Něco o laserech Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 13. května 2010 Pár neuspořádaných faktů LASER = Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Zdroj dobře
VíceÚvod do laserové techniky KFE FJFI ČVUT Praha Michal Němec, 2014. Plynové lasery. Plynové lasery většinou pracují v kontinuálním režimu.
Aktivní prostředí v plynné fázi. Plynové lasery Inverze populace hladin je vytvářena mezi energetickými hladinami některé ze složek plynu - atomy, ionty nebo molekuly atomární, iontové, molekulární lasery.
VíceAtomové jádro, elektronový obal
Atomové jádro, elektronový obal 1 / 9 Atomové jádro Atomové jádro je tvořeno protony a neutrony Prvek je látka skládající se z atomů se stejným počtem protonů Nuklid je systém tvořený prvky se stejným
VíceFyzika IV Dynamika jader v molekulách
Dynamika jader v molekulách vibrace rotace Dynamika jader v molekulách rotační energetické hladiny (dvouatomová molekula) moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm osa těžiště m2 m1 r2 r1 R moment
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VícePočátky: už jsme potkali
KVANTOVÁ MECHANIKA Počátky: už jsme potkali Záření černého tělesa Kvanta energie světla fotoefekt PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 Model atomu Vlnové vlastnosti částic BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987
VíceKvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014
F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"
VíceMaturitní témata fyzika
Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený
VíceLátkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A
Doporučená literatura Přípravný kurz Chemie 2006/07 07 RNDr. Josef Tomandl, Ph.D. Mailto: tomandl@med.muni.cz Předmět: Přípravný kurz chemie J. Vacík a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1990,
Více15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích
15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi
VícePraktikum III - Optika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 13 Název: Vlastnosti rentgenového záření Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 3. 4. 2008 Odevzdal
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceAb initio výpočty v chemii a biochemii
Ab initio výpočty v chemii a biochemii Doc. RNDr. Ing. Jaroslav Burda, CSc., jaroslav.burda@mff.cuni.cz Dr. Vladimír Sychrovský vladimir.sychrovsky@uochb.cas.cz Studijní literatura Szabo A., Ostlund N.S.
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceOPVK CZ.1.07/2.2.00/
18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceInovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ
Název projektu Číslo projektu Název školy Autor Název šablony Název DUMu Stupeň a typ vzdělávání Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0748
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Chemické vlastnosti atomů (a molekul) jsou určeny vlastnostmi elektronového obalu. Chceme znát energii a prostorové rozložení elektronů Znalosti o elektronovém obalu byly získány
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceVazby v pevných látkách
Vazby v pevných látkách Hlavní body 1. Tvorba pevných látek 2. Van der Waalsova vazba elektrostatická interakce indukovaných dipólů 3. Iontová vazba elektrostatická interakce iontů 4. Kovalentní vazba
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o. RNDr. Miroslav Štefan
Číslo projektu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Moravské gymnázium Brno s.r.o. RNDr. Miroslav Štefan Chemie ATOM 1. ročník Datum tvorby 11.10.2013 Anotace a) určeno pro
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceFyzika IV. Pojem prvku. alchymie. Paracelsus (16.st) Elektronová struktura atomů
Elektronová struktura atomů Pojem prvku alchymie Paracelsus (16.st) Elektronová struktura atomů alchymie 17.-18.století - při hoření látky ztrácí těkavou součást - flogiston. látka = flogiston + popel
Více