Teoretická elektrotechnika FBMI

Transkript

1 i Teoretická elektrotechnika FBMI Text, který vám předkládám vznikl úpravou a redukcí textu mého skripta Elektrotechnika pro informatiky, k předmětu přednášenému do roku 2014 na elektrotechnické fakultě jako 31ELI v prvém ročníku programu Softwarové technologie a management. Text si zdaleka neklade za cíl, naučit jeho čtenáře navrhovat cokoli z oblasti konstrukce elektrických zařízení. Měl by však dát tušení o čem se hovoří při práci s elektrickým proudem a elektornickými přístroji. Výklad se na vstupu důsledně drží středoškolských znalostí fyziky [7] a matematiky a nestaví na žádných dalších znalostech. Bylo by však velmi potěšitelné, kdyby studium tohoto textu čtenáře inspirovalo k zájmu o elektrotechnické disciplíny tak aktuální v současné technice, včetně techniky zdravotnické. Zvládnutí látky velmi usnadní pravidelná účast na přednáškách. Některé obtížnější partie osvětlí přednášky lépe, než předložený text. Učební text vznikl po zkušenosti s výukou na FEL i FBMI. K jeho obsahu, rozsahu i formě výkladu významně přispěli kolegové ing. Zdeněk Horčík, ing. Václav Hanžl, CSc. a ing. Jan Havlík, Ph.D, kteří vedli semináře a cvičení na FEL. Podnětné byly poznatky kolegy ing. Pavla Máši, Ph.D., který již řadu let vede semináře a cvičení v předmětu Teoretická elektrotechnika na FBMI. Srdečně jim děkuji za spolupráci. Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Praha, květen 2017

2 Obsah 1 Úvod, základní pojmy Elektronické zařízení a jeho model Elementy elektronických obvodů Zdroje proudu a napětí Ideální pasivní elementy Řízené zdroje Elektrický obvod Orientace proudu a napětí Výkon a práce Kirchhoffovy zákony Elementární výpočty Kombinace rezistorů Sériové spojení rezistorů Paralelní spojení rezistorů Kombinace kapacitorů Paralelní spojení kapacitorů Sériové spojení kapacitorů Sériové a paralelní spojení induktorů Sériové a paralelní spojení zdrojů Odporové obvody Dělič napětí, výkon na spotřebiči Grafická konstrukce ke druhému Kirchhoffovu zákonu Věta o náhradním zdroji Theveninův teorém Nortonův teorém Trasfigurace hvězda trojúhelník Princip superpozice Obvodové rovnice Metoda uzlových napětí Metoda smyčkových proudů ii

3 OBSAH iii 3.7 Stacionární ustálený stav (SUS) Výpočty ve frekvenční oblasti Impedance Děliče napětí s impedancemi Integrační RC obvod Derivační RC obvod Obvody RL Rezonanční obvod Výkon v harmonickém ustáleném stavu Třífázová soustava Souhrnně o frekvenční oblasti Výpočty v časové oblasti Sériový RC obvod se skokem napětí Integrační obvod RC Derivační obvod RC Obvody RL Rezonanční obvod v časové oblasti Přenos impulsů, homogenní vedení Parametry impulsního signálu Přenos impulsního signálu lineárním obvodem Homogenní vedení Magnetické účinky proudu Fyzika elektromagnetických jevů Materiály magneticky měkké Konstrukce transformátoru Obvodové vlastnosti transformátoru Materiály magneticky tvrdé Permanentní magnety Magnetický záznam Přenos elektromagnetickou vlnou Elektromagnetické vlny Kmitočtové spektrum a kmitočtová pásma Využití některých kmitočtových pásem Modulace Amplitudová modulace AM Kmitočtová (frekvenční) modulace FM

4 OBSAH iv Fázová (úhlová) modulace PM Modulace digitálními daty Reprezentace binárních dat Modulace nosné vlny dvoustavová Modulace nosné vlny vícestavová Polovodičové součástky Elektrický proud v polovodičích Dioda Vlastnosti diod Diodový obvod řešení se stejnosměrným proudem Obvod s diodou dynamické vlastnosti Speciální diody Bipolární tranzistor Tranzistorový obvod kolektorové charakteristiky Tranzistorový zesilovač Unipolární tranzistor Model FETu Zesilovač s unipolárním tranzistorem Spínače Model spínače Mechanický spínač Manuálně ovládané spínače Elektromagnetické relé Jazýčkové kontakty Polovodičové spínače FET Model unipolárního spínače Spínací obvod s unipolárním tranzistorem Polovodičové spínače bipolární tranzistor Model spínače s bipolárním tranzistorem Spínací obvod s bipolárním tranzistorem Polovodičové spínače různé

5 Kapitola 1 Úvod, základní pojmy Současná zařízení výpočetní techniky jsou elektronickými přístroji plně odkázanými na napájení elektrickým proudem. V jejich konstrukci jsou použity polovodičové součástky integrované obvody, elektromagneticky ovládané pohybové mechanizmy a motory, optické zobrazovací a komunikační součástky, kabely a spojovací vedení atd. V úvodu připomeneme elementární středoškolskou látku o elektrických obvodech a jejich základních vlastnostech. [7] V dalším textu pak uvedeme nejpotřebnější znalosti pro práci v prostředí s laboratorními přístroji a moderní kancelářskou technikou. 1.1 Elektronické zařízení a jeho model Pracujeme s elektronickými zařízeními. Ta napájíme elektrickou energií a vzájemně je propojujeme. Vzájemné propojení uskutečňujeme: galvanickým spojením konektorem, elektrovodným kabelem, optickou vazbou optickým kabelem, volným prostředím, radiovým spojem WIFI, mikrovlnným pojítkem, družicovým spojem, akustickým vstupem/výstupem mikrofon, reproduktor. Obrázek 1.1 ukazuje, jak lze popsat vztah systému k jeho okolí. Náš zájem bude upřen hlavně na spojení a funkci zařízení elektronických, nicméně i optická, akustická a radiová spojení jsou založena na funkci elektronických systémů. Pro popis vnějších charakteristik systémů a nakonec i jejich vnitřní struktury musíme umět popsat: 1

6 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 2 220V~ 12V= WIFI Ethernet USB RS Obrázek 1.1: Počítač a jeho okolí vlastnosti elektrických veličin (signálů), které se v systému zpracovávají napětí, proudy, časové průběhy, podmínky vzájemného spojení vzdálenost, parametry spojovacího prostředí (vlastnosti vedení, vliv rušení, ), uvnitř zařízení pak obvodové veličiny proud, napětí, ale také rozptýlené teplo, vznik elektromagnetického rušení, apod. Abychom mohli uvedený popis vytvořit, musíme mít možnost vytvořit model elektronického systému. Model nám pak musí umožnit výše uvedené charakteristiky identifikovat. Na obrázku 1.2a je ukázka, jak výrobce popisuje model svého elektrického obvodu, použitého pro spojení prostřednictvím rozhraní USB. Detailnější popis vnitřního uspořádání elektrického zařízení, resp. jeho modelu, ukazují další tři obrázky. 1.2 Elementy elektronických obvodů Vidíme, že používáme systém schematických značek, které jsou vytvořeny pro elementy elektronických obvodů. Představují stavební prvky modelů funkčních celků. Pro jednotlivé elementy existují matematické vztahy, které umožňují analyzovat a navrhovat elektronické systémy. Na obrázku 1.3 je přehled elementárních součástí, které při modelování systémů budeme používat. [3] Povšimněme si matematických vztahů, které popisují vzájemné závislosti fyzikálních veličin na jejich svorkách a které umožní v rozsáhlejším systému najít závislosti proudů a napětí navzájem, na budicích zdrojích a na čase. [3]

7 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 3 D+ Differential Driver Xmt Dat a V1 10 D- + - Differential Receiver Force SE0 OE Rcv Data HA R2 1 R6 10K C1.01U R3 1 R1 10K R4 200 Q2 R5 25 SE0 Detect b) Single-Ended Receivers a) X1 X2 c) d) Obrázek 1.2: Schémata elektronických obvodů Zdroje proudu a napětí Zdrojem elektrické energie je většinou zařízení přeměňující jiné formy energie na elektrickou. Současné elektrárny přeměňují tepelnou energii nejprve na pohybovou a ta v generátorech vyrábí elektřinu. Pohybovou energii lze získat i z větru a tekoucí vody. Baterie pracují s energií související s chemickými reakcemi. V současné době jsou zvláště aktuální zdroje využívající světelnou energii fotovoltaické články. Připomeňme ještě, že napětí je veličina měřená ve voltech. Volt je definován ve vztahu k základním jednotkám s odkazem na práci, která je potřebná k tomu, aby byl přenesen náboj mezi dvěma místy s různým elektrickým potenciálem. Elektrické napětí 1 V (volt) je mezi dvěma místy tehdy, kdy k přenesení náboje 1 C (coulomb) mezi těmito dvěma místy je třeba práce 1 J (joule) = 1 Ws (wattsekunda) Pro modely systémů definujeme ideální zdroje: Zdroj napětí v zařízení je nejčastěji realizován baterií nebo sít ovým zdrojem blokem přeměňujícím napětí elektrovodné sítě na potřebné stejnosměrné napětí). Zdroj střídavého napětí je zásuvka na stěně, resp. elektrovodná sít. Budeme však pracovat i se zdroji různých signálů, např. impulsního signálu pro taktování procesoru, signálu pro přenos dat mezi zařízeními, apod.) Ideální zdroj napětí udržuje na svých svorkách napětí dané hodnotou u

8 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 4 Obrázek 1.3: Elementy elektrických obvodů ve voltech, a to pro všechny možné proudy odváděné (či dokonce zaváděné) z (do) jeho svorek. Veličina u představuje předpis pro napětí zdroje, a to jak co do hodnoty, tak co do časových změn. Je tedy správné popisovat zdroj napětí časovou funkcí u(t). Používané funkční předpisy poznáme v dalším výkladu. Uvedeme jen základní možnosti: zdroj konstantního napětí, zdroj skokového napětí a zdroj harmonického napětí: u(t) = U = konst. (1.1) { 0, t < 0 u(t) = U, t 0 (1.2) u(t) = U m sin(ωt + ϕ), (1.3) kde U m je amplituda sinusového signálu ve voltech, ω = 2πf je kruhová frekvence v radiánech za sekundu [rad.s 1 ], f je frekvence v hertzech [Hz] a ϕ je počáteční fáze sinusového průběhu. Zdroj proudu (v technické praxi se nesetkáváme s produktem, který by se svým chováním blížil zdroji proudu na rozdíl od elektrochemických i jiných zdrojů napětí). Existují jen elektronické obvody, které se svým chováním v určité oblasti napětí a proudů chovají přibližně jako zdroje proudu. Ideální zdroj proudu do obvodu zavádí proud předepsané hodnoty i(t), a to za všech okolností, tedy bez ohledu na velikost a polaritu napětí na jeho svorkách. Přestože není snadno konstrukčně realizovatelný (zdroje blízké svým chováním zdrojům napět ovým jsou technicky snáze dosažitelné), má v teorii elektronických obvodů významnou pozici a uvidíme některé výhody jeho použití v modelech obvodů. Časový průběh proudu lze popisovat stejně jako časový průběh napětí, jak jsme ho popsali výše.

9 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 5 V předchozím odstavci o zdrojích proudu a napětí jsme uvedli některé typy časových závislostí napětí a proudu. Pro další výklad uvedeme následující dohody: Malá písmena u a i budeme používat pro zcela obecné vyznačení napětí nebo proudu třeba tam, kde se hodnota může změnit vlivem změn hodnot obvodových elementů (odporu, indukčnosti, kapacity). Funkční předpis zapsaný malými písmeny u(t) a i(t) bude použit tam, kde budeme popisovat časový průběh příslušné obvodové veličiny. Velkými písmeny U a I vyjádříme hodnotu napětí nebo proudu, která se v čase nemění (zdroj konstantního napětí, napětí v obvodu se stejnosměrným zdrojem a konstantními hodnotami odporů). Ve speciálním případě může být u(t) = U m sin(ωt + ϕ). Je tedy vyhrazeno velké U m a I m pro označení amplitudy sinusového napětí a proudu Ideální pasivní elementy Rezistor (reálná součástka v zařízení se běžně označuje jako odpor, což není zcela správné odpor je její vlastnost, ohmická hodnota, takže málo používaný, avšak správnější by byl název odporník :-). Jde o element nesetrvačný (v popisu závislosti mezi proudem a napětím na jeho svorkách nevystupuje čas proud reaguje na napětí okamžitě a naopak. Vztah mezi napětím a proudem je popsán Ohmovým zákonem kde R je odpor v ohmech [Ω], u je napětí ve voltech [V] a i je proud v ampérech [A]. u = Ri, i = u R, R = u i, (1.4) Kapacitor (v zařízení je realizován nejčastěji kondenzátorem) je element schopný akumulovat náboj. Náboj musí být do kapacitoru dodán protékajícím proudem, což probíhá v určitém čase. Jde tedy o element setrvačný a ve vztahu mezi napětím a proudem bude vystupovat čas. Vztah mezi nábojem a napětím určuje rovnice

10 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 6 kde nově vystupuje q náboj v coulombech [C] a C kapacita ve faradech [F]. q = Cu, u = q C, C = q u, (1.5) Uvedli jsme, že náboj dopraví do kapacitoru proud i. Pokud bude proud i = I konstantní a náboj v čase t = 0 bude q(0) = 0, lze snadno pochopit, že náboje bude přibývat lineárně s časem (náboj v coulombech, proud v ampérech a čas v sekundách) q(t) = I.t, takže u(t) = I.t C. (1.6) Pokud se však bude proud v čase měnit, je nutno pro náboj nahromaděný za čas T použít zápisu pomocí integrálu (předpokládáme, že v čase t = 0 je náboj v kapacitoru q(0)) q(t ) = T 0 i(t)dt + q(0), takže u(t ) = 1 C T 0 i(t)dt + u C (0). (1.7) Také můžeme říci: do kapacitoru vtéká proud (kondenzátor se nabíjí nebo vybíjí) jen tehdy, kdy se na jeho svorkách mění napětí: i(t) = C du(t). (1.8) dt Uvedený vztah vylučuje teoreticky možnost skokové změny napětí na kapacitoru (připojení stejnosměrného zdroje, nebo zkrat svorek nabitého kapacitoru). Skoková změna napětí by vedla k vytvoření nekonečně krátkého a nekonečně velkého impulsu proudu. Platí, že napětí na svorkách kapacitoru musí být vždycky spojité. Induktor (v zařízení je realizován nejčastěji cívkou) je element vytvářející magnetický tok, ve kterém je uložena energie vytvořená elektrickým proudem, který vodičem prochází. Rovněž vznik magnetického toku je děj setrvačný. Vztah mezi magnetickým tokem a proudem popisuje rovnice Φ = L.i, i = Φ L, L = Φ i, (1.9)

11 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 7 kde nově vystupuje Φ magnetický tok ve weberech [Wb] a L indukčnost v henry [H]. Jistě nás nepřekvapí, že na koncích vinutí cívky není žádné napětí, pokud se v jejím okolí nemění magnetické pole. Avšak pokud se magnetický tok mění, vzniká na vinutí elektrické napětí (např. v každé elektrárně). Takže lze napsat u(t) = dφ(t). (1.10) dt Jestliže je magnetický tok určen procházejícím proudem, pak lze ze změn proudu určit napětí na svorkách induktoru u(t) = L di(t) dt. (1.11) Z uvedeného vztahu plyne, že na svorkách induktoru se vytvoří impuls napětí, pokud se skokem změní proud induktorem (odpojení zdroje napětí). Časová funkce popisující proud induktorem musí být spojitá. Protože nás velmi často zajímá, jaký proud poteče induktorem v čase T, pokud je na jeho svorkách určité (proměnné) napětí, lze úvahu (podobně jako u kapacitoru) obrátit i(t ) = 1 L T t 0 u(t)dt + i(t 0 ). (1.12) Zde jsme vzorec rovněž vybavili údajem o počáteční podmínce, která respektuje nenulový proud v čase t = 0. Přibližme si užití uvedených vztahů v jednoduchém případě, a to tehdy, kdy na svorky induktoru, kterým na počátku neteče žádný proud, připojíme zdroj konstantního napětí U. Pak bude proud do induktoru lineárně s časem narůstat. Pokud napětí na zdroji poklesne v čase T na nulu (zdroj nahradíme zkratem), bude obvodem dál procházet proud i(t ). Jde o podobný projev, jaký jsme pozorovali u narůstajícího napětí na kapacitoru v okamžiku odpojení zdroje proudu. 1 1 Je třeba si uvědomit, že rozpojené svorky představují ideální zdroj proudu s nulovou hodnotou a zkrat představuje ideální zdroj napětí s nulovou hodnotou proud zkratem je skutečně závislý jen na vnějším obvodu, a to při nulovém napětí.

12 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 8 i(t) = U U.T t, i(t ) = L L. (1.13) Proud v reálném obvodu samozřejmě za určitý čas zanikne, protože jsou v obvodu rezistory (odpor vinutí cívky a vnitřní odpor zdroje napětí), avšak úvaha není zcela bezpředmětná, uvážíme-li existenci supravodivých materiálů, ze kterých lze cívku vyrobit Řízené zdroje V teorii obvodů jsou používány aktivní elementy (dodávají do obvodu energii jako nezávislé ideální zdroje proudu a napětí) řízené zdroje. Shrneme je a označíme jako lineární řízené (aktivní) elementy (obr. 1.4). zdroj proudu řízený proudem parametrem je bezrozměrná konstanta, proudový činitel (označme např. α nebo β), zdroj napětí řízený napětím parametrem je bezrozměrná konstanta, napět ové zesílení (označme např. A u ), napětím řízený zdroj proudu parametrem je transkonduktance s rozměrem vodivosti v siemensech (označme např. G m ), proudem řízený zdroj napětí parametrem je transrezistance, která má rozměr odporu v ohmech (označme např. Z m ). Řízený zdroj v lineárních obvodech definuje závislost řízené veličiny na řídicí veličině s tím, že řídicí účinek je určen konstantním parametrem. Uvidíme, že při výpočtech obvodů s polovodičovými součástkami budeme muset připustit, že i řídicí účinek může být nelineárně závislý na některých obvodových veličinách. Musí tedy být popsán graficky nebo aproximující funkcí. 1.3 Elektrický obvod Již v předchozím textu jsme předpokládali, že se jednotlivé modelové elementy mohou navzájem spojovat (např. zdroj proudu připojíme na svorky kapacitoru a pozorujeme nárůst napětí). Model může popisovat vzájemné spojení desítek až milionů elementů. Máme-li analyzovat vztahy obvodových veličin, musíme vycházet z podstaty vedení elektrického proudu. Tou je skutečnost, že elektrický proud nesou elektrony uzavřené ve vodivém prostředí.

13 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 9 i 2 = α.i 1 i 2 = G.u 1 i 1 u 1 i 1 u 2 = Z.i 1 u 1 u 2 = A.u 1 x Obrázek 1.4: Řízené zdroje Orientace proudu a napětí Napětí i proud jsou obvodové veličiny, pro které musí být definována orientace směr. U stejnosměrných napětí je kladným číslem určena hodnota napětí mezi kladnou a zápornou svorkou. Proud považujeme za kladný, když protéká od kladné svorky k záporné. Číselná hodnota tedy svým znaménkem vyjadřuje shodu nebo neshodu skutečných poměrů s touto dohodou. U časově proměnných hodnot proudu a napětí musí být při zvolené orientaci napětí zřejmý směr proudu, a to v každém časovém okamžiku tak, že kladnému okamžitému napětí na svorkách rezistoru musí odpovídat kladný směr proudu (zápornému záporný). Pokud ve složitém obvodu není zřejmé, jakým směrem poteče proud, resp. jaké napětí bude na vybraných svorkách, potom můžeme orientaci zvolit a výpočtem zjistit znaménko, které reálné poměry identifikuje. To znamená, že pro obecný výpočet se rozhodneme, s jakou orientací budeme počítat (všechna znaménka v rovnicích podřídíme zvolené orientaci šipce v obrázku) a podle znaménka u výsledku konkrétního výpočtu zjistíme, zda naše volba odpovídala skutečné orientaci (kladné znaménko), nebo zda je orientace právě opačná (záporné znaménko u číselného výsledku) Výkon a práce V předchozích vztazích jsme předpokládali, že na svorkách obvodových elementů pozorujeme napětí a proudy obvodové veličiny. Proud a napětí mohou konat práci, máme k dispozici elektrickou energii. V určitém okamžiku platí, že výkon elektrického proudu je dán součinem

14 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 10 P (t) = u(t) i(t), kde výkon je ve wattech [W]. (1.14) Výkon v čase představuje práci W (T ) = T 0 P (t)dt = T 0 u(t)i(t)dt, (1.15) kde práce (energie) je v wattsekundách [Ws], které jsou ekvivalentní joulům [J] (doma platíme za kilowatthodiny [kwh] 1kWh= 3, Ws). Z předchozích definic vlastností základních obvodových prvků lze odvodit: Rezistor v obvodu rozptyluje elektrickou energii přeměňuje ji na teplo proto, že je nesetrvačným prvkem, u kterého má součin napětí a proudu stále stejné znaménko. (Jaké a proč ukážeme dále) Kapacitor je prvek akumulující energii. Ideální kapacitor energii nerozptyluje je prvkem bezeztrátovým (reálný kondenzátor vzhledem k použitým technologiím energii rozptyluje, ale čím kvalitnější kondenzátor je, tím menší má energetické ztráty). Uvážíme-li, že náboj C.U mohl v kapacitoru uložit konstantní proud I za dobu T s tím, že napětí lineárně narůstalo, pak energie nahromaděná v kondenzátoru při napětí U = IT/C je dána W (T ) = T 0 It Idt, (1.16) C W C = 1 2 C.U 2. (1.17) Induktor je analogicky bezeztrátovým prvkem (reálná cívka má odpor vinutí, takže výkon rozptyluje) a energie nahromaděná v magnetickém toku je W L = 1 2 L.I2. (1.18) V technické praxi je pro napětí a proud zaveden popis veličinou označovanou jako efektivní napětí a efektivní proud. Jejich definice vychází z požadavku, nalézt takové hodnoty napětí U ef a I ef, které při výpočtu práce vykonané časově proměnným proudem a napětím na rezistoru budou použitelné tak, jako by se jednalo o stejnosměrné veličiny. Podle vztahu (1.15) lze vypočítat

15 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 11 práci vykonanou elektrickým proudem pro jakýkoli časový průběh proudu a napětí. Lze také napsat T W = R i 2 (t)dt = R Ief 2 T 0 nebo 1 T u 2 (t)dt = 1 R 0 R U ef 2 T. (1.19) Dosadíme-li do výrazu 1.19 sinusový průběh napětí s amplitudou U m nebo proud s amplitudou I m, dostaneme při integraci přes celistvý počet period vztah mezi amplitudou a efektivní hodnotou ve tvaru 2 U ef = U m 2 2 U m = U ef 2 Ief = I m 2 2 I m = I ef 2. (1.20) Kirchhoffovy zákony Představa elektronů jako kuliček, které se mohou pohybovat pouze ve vodivém prostředí, případně se shromažd ovat v kapacitorech a nikam jinam se nemohou ztratit, plně podpoří tvrzení Kirchhoffových zákonů. [3] 1. Kirchhoffův zákon Součet všech proudů v uzlu elektrického obvodu je v každém okamžiku nulový. i 1 (t) C i 2 (t) R 1 i 4 (t) i 3 (t) u(t) R 2 Obrázek 1.5: 1. Kirchhoffův zákon N i n (t) = 0. (1.21) n=1 2 Pro napětí elektrovodné sítě se uvádí efektivní napětí 230 V. Z uvedeného vztahu plyne, že amplituda napětí v zásuvce elektrického rozvodu je rovna přibližně 325 V

16 KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 12 Povšimněme si, že jsme v obrázku 1.5 vyznačili směr proudu všech větví směrem do uzlu. Má-li být součet nulový (a jistě nejsou všechny proudy identicky rovny nule), pak některé hodnoty proudu budou záporné. Na počátku výpočtu nemusí být zřejmé, které to budou a v různých časových okamžicích se může znaménko měnit. Je-li znaménko záporné, znamená to pouze to, že skutečný směr proudu je opačný, než jsme vyznačili. Taková volba je výhodná. Chyba při formulaci rovnic popisujících obvod je méně pravděpodobná, než kdybychom spekulovali dopředu o možném fyzikálním směru proudu. 2. Kirchhoffův zákon Součet napětí podél libovolné smyčky v obvodu je v každém okamžiku nulový. n u n (t) = 0. (1.22) 1 Opět si povšimněme, že zdroj se skutečnou polaritou plus a minus má v obrázku 1.6 orientaci vyznačenou šipkou s opačným směrem. Do rovnice tedy hodnota jeho napětí vstoupí se záporným znaménkem. V případě použití stejnosměrného zdroje u 4 = U (tedy s polaritou odpovídající plus a minus v obrázku) bude platit U + u 1 + u 2 + u 3 = 0, tedy u 1 + u 2 + u 3 = U. u 2 (t) C R 1 u 1 (t) i R 2 u 4 (t) u 3 (t) Obrázek 1.6: 2. Kirchhoffův zákon

17 Kapitola 2 Elementární výpočty V přírodních a technických vědách a v technické praxi je samozřejmostí, že se vlastnosti systémů popisují matematickým aparátem (vzorci a rovnicemi, maticemi, diferenciálním počtem, statistickými charakteristikami, apod.). Prvá kapitola uvedla matematický popis vlastností elementů elektrických obvodů. To je východisko k výpočtům vlastností složitých elektrických systémů. 2.1 Kombinace rezistorů Sériové spojení rezistorů u 1 (t) u 2 (t) u x (t) R 1 R 2 R u(t) i(t) u(t) i(t) Obrázek 2.1: Sériové spojení rezistorů Hledáme hodnotu odporu R rezistoru, který je ekvivalentní sériové kombinaci R 1 a R 2, tedy takového rezistoru, který v obvodu se zdrojem u(t) nastaví proud i(t) totožný s tím, který prochází obvodem s rezistory R 1 a R 2, tak jak ukazuje obrázek 2.1. Z 2. Kirchhoffova zákona můžeme odvodit u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) = R 1 i(t) + R 2 i(t) = (R 1 + R 2 )i(t) (2.1) 13

18 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 14 u(t) = u x (t) = Ri(t) R = R 1 + R 2. (2.2) Je-li zařazeno N rezistorů v sérii, je možno je nahradit jedním rezistorem s odporem R = N R n. (2.3) n=1 Z obrázku 2.1 můžeme vytěžit ještě jednu informaci. Je-li výsledný odpor součtem odporů jednotlivých rezistorů a protéká-li všemi stejný proud, pak můžeme snadno zjistit, jaké jsou hodnoty napětí na každém z nich. i(t) = u(t) R 1 + R 2 R 1 u 1 (t) = u(t) R 1 + R 2 Obecně na n-tém rezistoru bude napětí R 2 u 2 (t) = u(t). (2.4) R 1 + R 2 i(t) = u(t) N R n n=1 u n (t) = u(t) R n (n = 1... N). (2.5) N R n n= Paralelní spojení rezistorů Úloha je obdobná. Hledáme jeden ekvivalentní rezistor (jeho hodnotu R), který odvede proud ze zdroje napětí stejný, jako ze zdroje odvádí řada paralelně spojených rezistorů (viz obr. 2.2). R i(t) i 1 (t) i 2 (t) i x (t) R 1 u(t) 2 u(t) R Obrázek 2.2: Paralelní spojení rezistorů i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = u(t) R 1 + u(t) R 2 (2.6) i x (t) = u(t) R = i(t) 1 R = 1 R R 2 R = R 1.R 2 R 1 + R 2. (2.7)

19 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 15 Převrácenou hodnotu odporu označujeme jako vodivost G = 1/R a udáváme ji v jednotkách siemens [S] (S = Ω 1 ). Je-li zařazeno N rezistorů paralelně, je možno je nahradit jedním rezistorem s odporem R nebo vodivostí G N 1 R = 1 G = R n n=1 N G n. (2.8) Jaké jsou hodnoty proudů, které každým z rezistorů procházejí zjistíme při napájení napět ovým zdrojem velmi jednoduše. Pokud však známe jen celkový proud i(t) vstupující do uzlu, z kterého jsou do společné svorky zapojeny různé rezistory, pak rozdělení proudu mezi jednotlivé rezistory vypočteme takto: n=1 i n (t) = i(t)g n (n = 1... N). (2.9) N G n n=1 2.2 Kombinace kapacitorů Paralelní spojení kapacitorů U C 1 C 2 U C Obrázek 2.3: Paralelní spojení kapacitorů Na obrázku 2.3 je zdroj stejnosměrného napětí U připojen k paralelní kombinaci kapacitorů. Pokud by se U měnilo (a muselo by se měnit spojitě, aby byl proud konečný), zavádělo nebo odvádělo by z kapacitorů proud, který by závisel na kapacitě každého z nich. V situaci, kdy je na svorkách kapacitoru konstantní napětí U je v kapacitoru C 1 uložen náboj Q 1 = C 1 U a v kapacitoru C 2 je uložen náboj Q 2 = C 2 U. V kapacitoru C je v témže okamžiku náboj Q = CU. Za ekvivalentní budeme oba obvody považovat, pokud zdroj dodal v obou obvodech týž náboj. Tedy Q = Q 1 + Q 2 C = C 1 + C 2. (2.10)

20 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 16 Je-li zařazeno N kapacitorů paralelně, je možno je nahradit jedním kapacitorem s kapacitou C = N C n. (2.11) n= Sériové spojení kapacitorů u 1 (T ) u 2 (T ) I C 1 C 2 I I I C u( Obrázek 2.4: Sériové spojení kapacitorů (u = u 1 (T ) + u 2 (T )) K výkladu použijeme na obrázku 2.4 zdroj konstantního proudu I, který nabíjí dvojici sériově spojených kapacitorů. Napětí u 1 (t) i u 2 (t) lineárně roste s časem. Za dobu T necht proud klesne k nule (obvod se rozpojí), tudíž se růst zastaví na hodnotě u 1 (T ) a u 2 (T ). Proud I uložil za čas T v kondenzátoru C 1 náboj q 1 (T ) = I.T = q(t ) = C 1.u 1 (T ). Týž proud ukládal náboj do kapacitoru C 2, takže q 2 (T ) = I.T = q(t ) = C 2.u 2 (T ) a v ekvivalentním obvodu q(t ) = I.T = C.u(T ). Platí tedy u(t ) = u 1 (T ) + u 2 (T ) q(t ) C = q(t ) C 1 + q(t ) C 2 1 C = 1 C C 2 (2.12) a pro N kapacitorů C = C 1.C 2 C 1 + C 2 (2.13) N 1 C = 1. (2.14) C n n=1 Z uvedené úvahy si již můžeme snadno odvodit, jak se na sériové kombinaci kondenzátorů rozděluje celkové napětí. Sériová kombinace kapacitorů má vždycky menší ekvivalentní kapacitu, než má nejmenší ze zapojených kapacitorů.

21 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY Sériové a paralelní spojení induktorů Poté, co jsme vysvětlili postup odvození vlastností obvodu složeného ze sériové a paralelní kombinace rezistorů a kapacitorů, ponecháváme na čtenáři, aby si s ohledem na úvahy o vytváření magnetického toku, např. zdrojem konstantního napětí dodávajícího rostoucí proud, odvodil následující vztahy, které platí jen tehdy, kdy se magnetické toky spojovaných induktorů vzájemně neovlivňují. Pro sériovou kombinaci N induktorů je možno najít jeden ekvivalentní induktor s indukčností L = N L n. (2.15) n=1 Pro paralelní kombinaci N induktorů je možno najít jeden induktor s indukčností N 1 L = 1. (2.16) L n n=1 Pro převrácenou hodnotu kapacity se v teorii obvodů používá pojem elastance a pro převrácenou hodnotu indukčnosti pojem inverzní indukčnost a lze k nim mít i obvodové modely (nemají narozdíl od vodivosti zvláštní název jednotky). My je nadále nebudeme používat. 2.4 Sériové a paralelní spojení zdrojů Zdroje napětí: S odkazem na jednoduchou fyzikální úvahu lze vyslovit závěr: zdroje napětí lze řadit do série a výsledné napětí je součtem napětí jednotlivých zdrojů u(t) = N u n (t). (2.17) n=1 Paralelní spojení ideálních zdrojů napětí nelze nikdy použít: pokud by napětí byla různá, protékal by mezi zdroji nekonečný proud (a v obvodu by nebyl element, který by rozptýlil nekonečný výkon), pokud by byla napětí stejná, dělily by se o proud dodávaný do obvodu, ale jak??, když je každý schopen dodat libovolný proud. Stačí tedy vždy jen jeden. Tento závěr platí pro paralelní spojení ideálních zdrojů napětí, tedy teoreticky. V praxi se však můžeme s paralelním spojením reálných zdrojů stejných napětí setkat. Důvody mohou být dva.

22 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 18 Prvým důvodem může být u baterií a akumulátorů jejich omezená kapacita, tedy omezená doba, po kterou mohou do obvodu dodávat určitý proud. Spojíme-li takové baterie paralelně, je zřejmé, že doba jejich vybíjení doba po kterou budou napájet obvod, bude vyšší. Podmínkou je, že obě baterie musí mít stejné napětí. Pokud by tomu tak nebylo, protékal by mezi nimi proud, který by neužitečně rozptyloval výkon na jejich vnitřních odporech. Druhý důvod může spočívat v potřebě zredukovat vnitřní odpor reálného zdroje napětí. (O vnitřním odporu zdroje se dozvíme v dalším textu). Budemeli mít dva zdroje se stejným napětím a různými vnitřními odpory, můžeme každý z nich nahradit ideálním zdrojem v sérii s jeho vnitřním odporem. Protože předpokládáme, že oba zdroje mají stejné napětí, lze je nahradit jedním. Jejich vnitřní odpory vytvoří paralelní spojení, které nahradíme jedním ekvivalentním odporem podle vztahu (2.7). Taková kombinace rezistorů má vždy menší odpor než kterýkoli ze spojovaných rezistorů, což oceníme při zatěžování zdroje proudem tekoucím do zátěže (viz další kapitola). Praktickým příkladem může být použití startovacích kabelů pro posílení nedostatečně nabité baterie automobilu. Zdroje proudu: Paralelní spojení dodá do obvodu proud daný součtem proudů jednotlivých zdrojů i(t) = N i n (t). (2.18) n=1 Sériové spojení ideálních zdrojů proudu nelze připustit, protože z definice plyne, že každý ze zdrojů generuje proud nezávislý na tom, jak je obvod zapojen. Těžko bychom si vysvětlili, jaký proud z takové kombinace vlastně poteče. Teoreticky by na každém z nich bylo nekonečné napětí, vzájemně opačné polarity.

23 Kapitola 3 Odporové obvody V této kapitole se věnujeme výpočtům obvodových veličin v obvodech se zdroji stejnosměrného napětí a proudu. Mimo náš zájem zůstanou jevy spojené s vlivem setrvačných elementů na časový průběh obvodových veličin. Pokud budou v obvodu zařazeny, budeme vždy předpokládat, že proudy a napětí jsou na jejich svorkách ustáleny a nemění se. 3.1 Dělič napětí, výkon na spotřebiči zdroj spotřebič R 0 u 0 R z u z Obrázek 3.1: Dělič napětí Uvedený obrázek 3.1 lze vyložit různě. * 1 Je to sériové spojení rezistorů v jediné smyčce se zdrojem napětí. Celkový odpor v obvodu je R = R 0 + R z. Zdroj napětí dodává do obvodu proud i = u/r. Podstatné však je, že R z u z = u 0. (3.1) R 0 + R z 19

24 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 20 Napětí u z vzniklo rozdělením napětí zdroje na dvě části, na napětí na rezistoru R 0 a na R z vytvořili jsme dělič napětí, se kterým se setkáme v nesčetném množství modelů reálných zařízení. * 2 Je to model spojení reálného zdroje napětí se spotřebičem. Uvedli jsme, že v praxi neexistuje dokonalý zdroj napětí. Každý reálný zdroj napětí je v nejjednodušším případě nutno modelovat ideálním zdrojem napětí a rezistorem reprezentujícím jeho vnitřní odpor. Baterie může mít např. napětí 12 V a vnitřní odpor 0,1 Ω. Díváme-li se na jakoukoli dvojici svorek, která nám má posloužit jako zdroj napětí (napájecího stejnosměrného nebo střídavého, či impulsního signálu), vždy za nimi musíme vidět obvod v nejjednodušším případě namodelovaný napětím u 0 a odporem R 0. Protože jde o tak významný model, uvedeme několik základních pojmů a poznatků. Napětí naprázdno je napětí, které na svorkách reálného zdroje změříme, když není připojen spotřebič, R z, i 0. Zřejmě platí u naprazdno = u 0. (3.2) Proud nakrátko je proud, který bychom naměřili, kdybychom svorky zdroje zkratovali (mnohdy lze jen na papíře). Tehdy R z 0 Použití obou údajů vede na vyjádření i nakratko = u 0 R 0. (3.3) R 0 = u naprazdno i nakratko, (3.4) které lze využít k výpočtu ve složitém obvodu nebo i k praktickému měření, pokud zkratování nevede k destrukci a měření naprázdno lze dostupnými přístroji provést. Další významná úvaha spočívá v hodnocení důsledků, které má zatěžování zdroje různými zátěžemi (pokud nám situace dává ve volbě zátěže volnost). 1. Požadujeme co největší napětí (napět ový rozkmit), např. na výstupním portu počítače. Největší možné napětí je u 0. Většinou připojené zařízení nemá nekonečný vstupní odpor, takže s rostoucím

25 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 21 proudem do zátěže s klesajícím zatěžovacím odporem napětí (rozkmit napětí) klesá. Po zatížení je na svorkách reálného zdroje vždycky menší napětí než na zdroji bez zátěže. 2. Požadujeme relativně velký proud, např. pro rozsvícení indikační LED z portu mikropočítače. Maximální proud je proud nakrátko, avšak při nulovém napětí na zátěži. V praxi není nikdy zátěž dokonalým zkratem, takže maximální dosažitelný proud je menší než proud nakrátko. 3. V některých aplikacích lze uplatnit požadavek na maximální výkon dodaný do zátěže zdrojem s daným napětím naprázdno (vnitřním napětím) a daným vnitřním odporem. Zřejmě to nebude ani při velkém odporu R z, to protéká obvodem malý proud, ani při malém odporu R z, to je na zátěži malé napětí, a my usilujeme o co největší součin proudu a napětí. Máme-li dané stejnosměrné napětí U = u 0 vnitřního zdroje a vnitřní odpor zdroje R 0, pak výkon na zátěži v závislosti na velikosti zatěžovacího odporu R z ukazuje obrázek 3.2, ve kterém platí: R z U P z = u z.i = U. = R z + R 0 R z + R 0 U 2 R z (R z + R 0 ) 2 = P zi (R z + R 0 ) 2, (3.5) kde P zi je ideální výkon, který by zdroj U dodal při nulovém vnitřním odporu zdroje R Pz/Pzi log(r z /R 0 ) Obrázek 3.2: Výkon odevzdaný do zátěže Vidíme, že největší výkon odevzdá reálný zdroj tehdy, kdy se zatěžovací odpor rovná jeho vnitřnímu odporu. Říkáme tomu výkonové přizpůsobení. Přitom toto maximum představuje čtvrtinu výkonu, který by

26 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 22 do téže zátěže dodal zdroj s nulovým vnitřním odporem (obvodem teče poloviční proud a napětí je rozděleno na dvě poloviny, takže součin je čtvrtina). Z praktického hlediska je však nutno uvést, že výkonové přizpůsobení je vyžadováno jen v omezeném množství aplikací. Např. domácí spotřebič nikdy nebudeme výkonově přizpůsobovat elektrovodné síti. U té si přejeme co nejmenší vnitřní odpor zdroje, abychom neplatili za teplo rozptýlené v domovním rozvodu. Také kapesní svítilna bude vyžadovat baterii s minimálním vnitřním odporem. S určitou dávkou zjednodušení můžeme říci, že výkonové přizpůsobení bývá potřebné ve slaboproudé technice (zesilovače, radiotechnické vysokofrekvenční obvody apod.) Grafická konstrukce ke druhému Kirchhoffovu zákonu Vrat me se k odporovému děliči na obr. 3.1 a složme ho z rezistorů R 1 a R 2. Budeme předpokládat, že je připojen ke zdroji stejnosměrného napětí U. Na děliči se toto napětí rozdělí na napětí u 1 na rezistoru R 1 a u 2 na rezistoru R 2, pro která podle Kirchhoffova zákona musí platit U = u 1 + u 2. resp. u 1 = U u 2. (3.6) Platí u 1 = R 1 i. Graficky můžeme závislost proudu i na napětí u 1 znázornit v souřadnicích u, i přímkou procházející počátkem, tak, jak je naznačeno na obr i u 2 R 2 = 25 Ω R 1 = 15 Ω U u R 1 = 15 Ω R 2 = 25 Ω U u 1 u 2 u Obrázek 3.3: Grafická konstrukce napětí na odporovém děliči Nyní hledejme graf pro pravou stranu výrazu (3.6). Pro naši konstrukci zakreslíme do souřadnicové soustavy závislost u 2 na i, tedy u 2 = U R 2 i,

27 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 23 jako přímku, která protíná vodorovnou osu v bodě U a svislou osu v bodě U/R 2. Protože jsme nakreslili grafy levé a pravé strany jedné rovnice, bude její řešení ležet v průsečíku obou čar. V grafu vidíme, jak se rozdělilo napětí U a jaký proud teče obvodem. Pro rezistor R 1 jsme závislost proudu na napětí u = f(i) zapsali vztahem u = f(i) = R 1 i a do grafu ji zakreslili uvedenou přímkou. Předpokládejme nyní, že rezistor R 1 nahradíme součástkou, pro kterou známe závislost u 1 = f(i) pouze v grafickém vyjádření, např. jako výsledek měření voltampérové charakteristiky. Do rovnice Kirchhoffova zákona již nemůžeme zapsat u 1 = R 1 i 1, ale můžeme obvodové vztahy popsat obecnou rovnicí U = f(i) + R 2 i. Pro tento obvod a tuto rovnici je grafická konstrukce analogická (viz obr. 3.4) jako pro dva rezistory a umožňuje najít hodnotu proudu v obvodu a napětí na výstupu děliče i pro případ, že není znám analytický popis voltampérové závislosti na připojeném obvodovém prvku. Navíc grafická konstrukce přináší možnost názorně zobrazit i vlastnosti obvodu při měnícím se U, nebo měnících se vlastnostech nelineárních charakteristik použitých součástek. u 2 R 2 = 20 Ω u 1 0, i [A] u 1 = f(i) R 2 = 20 Ω U u 1 = f(i) 0.05 U 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 u 1 u 2 u [V] Obrázek 3.4: Grafická konstrukce napětí na děliči s nelineárním elementem 3.2 Věta o náhradním zdroji Theveninův teorém I nadále se budeme zabývat děličem napětí. Předpokládejme, že dělič napětí je uvnitř zařízení a my se chceme dívat na jeho výstupní svorky tak, jako by v zařízení byl ideální zdroj napětí u 0 s vnitřním odporem R 0. Takový případ ukazuje obrázek 3.5. Uvedená obvodová ekvivalence je popsána tzv. Theveninovým teorémem. [3] Theveninův teorém můžeme odvodit s odkazem na skutečnost, že vlastnosti reálného zdroje lze identifikovat z napětí naprázdno a proudu nakrátko.

28 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 24 zdroj spotřebič zdroj spotřebič R 01 R 02 R z R 0 R z u 0 u z u 0 u z Obrázek 3.5: Náhrada děliče napětí Tedy R 0 = u 0 = u 0 R 02 R 01 + R 02, (3.7) R 02 u 0 R 01 + R 02 u 0 R 01 = R 01 R 02 R 01 + R 02. (3.8) Při aplikaci tohoto teorému lze jednoduše předpokládat, že nový obvod má vnitřní odpor daný paralelní kombinací obou odporů děliče a nový zdroj má redukované napětí určené napětím děliče naprázdno. Theveninův teorém je zvláštním případem obecněji platné vlastnosti obvodu pozorovatelného z jakékoli dvojice svorek libovolně složitého odporového obvodu se stejnosměrnými zdroji proudu a napětí: Každá dvojice svorek může být viděna jako zdroj napětí v sérii s vnitřním odporem pro oba elementy platí: zdroj má napětí pozorované na zvolených svorkách naprázdno, vnitřní odpor vypočteme z proudu nakrátko. 3.3 Nortonův teorém Zdroj napětí spojený v sérii s rezistorem lze nahradit zdrojem proudu s paralelním konduktorem. Zdroj proudu paralelně spojený s konduktorem lze nahradit zdrojem napětí v sérii s rezistorem. u = i/g, R = 1/G, i = u/r, G = 1/R (3.9)

29 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 25 R u > > i G Obrázek 3.6: Transformace ideálních zdrojů 3.4 Trasfigurace hvězda trojúhelník Při výpočtu obvodovývh veličin v některých uspořádáních je vhodné využít ekvivalence uvedené na obr R 01 1 R 03 0 R 02 R 13 R R 23 2 Obrázek 3.7: Transformace hvězda trojúhelník R 12 = R 01 +R 02 + R 01R 02 R 03 R 23 = R 02 +R 03 + R 02R 03 R 01 R 13 = R 03 +R 01 + R 03R 01 R 02 R 01 = R 12 R 13 R 12 + R 13 + R 23 R 02 = R 12 R 23 R 12 + R 13 + R 23 R 03 = R 23 R 13 R 12 + R 13 + R Princip superpozice v lineárním obvodu s více zdroji se účinky zdrojů superponují. Pro přehlednost uvedeme návod na aplikaci principu superpozice pro zvolenou obvodovou veličinu: 1. Zdroje napětí nahradíme zkratem a zdroje proudu nahradíme rozpojeným obvodem.

30 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY Jeden z nahrazovaných zdrojů necháme v obvodu působit. Hledanou veličinu vypočteme z působení tohoto zdroje. 3. Hledanou veličinu postupně vypočteme za podmínek uplatnění všech zdrojů, každého samostatně. Získáme tak tolik výsledků, kolik je v obvodu zdrojů. 4. Hledanou veličinu vypočteme sečtením všech dílčích výsledků. Nezbytné je respektovat orientaci obvodových veličin. R 2 = 3000 Ω u =? R 3 = 3000 Ω U 1 = 10 V i = 5 ma R 1 = 3000 Ω U 2 = 20 V Obrázek 3.8: Aplikace výpočtu pomocí principu superpozice Postup výpočtu jednotlivých příspěvků do výsledku superpozice v obr. 3.8 u = i (R 1 R 2 R 3 ) + U 1 R 1 R 3 R 2 + R 1 R 3 + U 2 R 1 R 2 R 3 + R 1 R 2 (3.10) u = /3 + 20/3 = 5 V V rovnici (3.10) je na prvém místě příspěvek k hledanému napětí vytvořený zdrojem i při zkratovaném zdroji U 1 a U 2. Druhý sčítanec je vytvořen působením zdroje U 1 při zkratovaném zdroji U 2 a odpojeném zdroji i. Třetí příspěvek k neznámému napětí vytváří zdroj U 2 při zkratovaném zdroji U 1 a odpojeném zdroji i. Takto vytvořené příspěvky se sečtou, samozřejmě s respektem k jejich znaménkům. Princip superpozice lze aplikovat jen u lineárního obvodu a nelze ho uplatnit pro výpočet rozptýleného výkonu. Problematická může být aplikace na řízené zdroje. Výpočet obvodových veličin postupnou redukcí úpravami obvodu náhrada paralelní kombinace jedním elementem náhrada sériové kombinace jedním elementem náhrada části obvodu podle Thevenina náhrada části obvodu podle Nortona náhrada trojúhelník hvězda a naopak rozdělení nebo sloučení zdrojů a princip superpozice Všechny operace lze provádět opakovaně a vzájemně je kombinovat

31 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY Obvodové rovnice Pokud je neúčinná aplikace prostředků, kterými lze obvod zjednodušovat, je třeba přistoupit k univerzálně použitelnému postupu, založenému na formulaci soustavy rovnic určených Kirchhoffovými zákony. R 5 u 1 R 3 R 4 u 2 R 2 R 6 vě tve u zly R 1 Obrázek 3.9: Obvodové schéma a graf obvodu Na obrázku 3.9 je obvodové schéma obvodu složeného z rezistorů a zdrojů napětí. Na něm vysvětlíme postup analýzy obvodů pomocí obvodových rovnic. Obecně může být schéma tvořeno i dalšími obvodovými elementy. Pro ně bychom však museli použít matematické popisy setrvačných vztahů mezi obvodovými veličinami na jejich svorkách, nevystačili bychom jen s Ohmovým zákonem tak, jak nyní ukážeme pro odporový obvod. Pro analýzu je zaveden pojem graf obvodu, který je naznačen na pravé straně obrázku. Graf se skládá z větví. Každá větev je vytvořena jedním obvodovým elementem. Větve se vzájemně setkávají v uzlech grafu. Z takto stanovených definic větví a uzlů obvodu již můžeme identifikovat počet uzlů a větví v obvodu podle obr. 3.9: Počet větví grafu v; v = 8 Počet uzlů grafu u; u = 6 Významnou roli hraje informace, kolik větví je tvořeno zdroji proudu a kolik zdroji napětí. I zde snadno zjistíme, že v našem obrázku platí: Počet zdrojů napětí N u ; N u = 2 Počet zdrojů proudu N i ; N i = 0 Obvodové rovnice lze zapsat pro různé části obvodu s využitím obou Kichhoffových zákonů. Vhodné však je vybrat pro danou úlohu využití pouze jednoho z nich. Hovoříme pak o soustavě rovnic pro uzlová napětí, pokud volíme prvý Kirchhoffův zákon, nebo soustavě rovnic smyčkovývh proudů, pokud se budeme

32 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 28 držet druhého Kirchhoffova zákona. Optimální volba typu soustavy rovnic může být závislá na uspořádání grafu obvodu. Platí totiž (a pro náš obvod speciálně): Počet obvodových rovnic pro uzlová napětí podle prvého Kirchhoffova zákona X u = u 1 N u ; X u = 3 Uzlová napětí se počítají pro tzv. nezávislé uzly a musejí být vztažena k napětí jednoho vybraného (referenčního) uzlu. Napětí v uzlech větve, kterou je zdroj napětí, jsou vzájemně závislá nezávislé může být jen jedno z nich. Proto se ve výrazu pro počet nezávislých uzlů odečítá od celkového počtu uzlů jeden referenční a jeden za každý zdroj napětí v obvodu. Počet obvodových rovnic pro smyčkové proudy podle druhého Kirchhoffova zákona X i = v u + 1 N i ; X i = 3 Podobně bychom vysvětlili i výpočet počtu nezávislých smyček pro obvod, ve kterém jsou ideální zdroje proudu. Na obr je pro obvod z obr. 3.9 ukázáno, jak lze v obvodu nalézt nezávislá uzlová napětí a nezávislé smyčky. Volba uzlů musí vyhovět požadavku nezávislosti napětí. Nelze tedy pro formulaci rovnic zvolit uzly odpovídající oběma svorkám ideálního zdroje napětí. V našem obrázku by však mohlo být považováno za nezávislé napětí uzlu, ve kterém se stýká R 5 s U A, pak by však nemohlo být považováno za nezávislé napětí v uzlu 3. Podobně existuje určitá volnost ve volbě smyček, kdy je podmínkou, aby byly smyčky vedeny tak, že každou nezávislou větví projde alespoň jedna smyčka. smyčka 3 uzel 1 uzel 2 uzel 3 smyčka 1 smyčka 2 uzel 0 (referenční) Obrázek 3.10: Nezávislé uzly a smyčky Metoda uzlových napětí Na obr je obvod se zadanými elementy a vyznačenými nezávislými napětími. Pro takto zvolené uzly budeme pro neznámá napětí počítat sumy proudů, které z každého z nich odtékají. V tuto chvíli se neznepokojujeme tím, že počítáme s napětími sousedních uzlů, i když jejich napětí neznáme. Pro všechna neznámá napětí vztvoříme soustavu rovnic. Jejím řešením pak budou napětí všech uzlů.

33 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 29 R 5 U A R 3 R 4 u 1 u 2 u 3 U B R 1 R 2 R 6 u 0 = 0 Obrázek 3.11: Určení nezávislých uzlů Pro přehlednější zápis rovnic použijeme hodnoty odporů rezistorů transformované na vodivosti: G = 1/R G 1 (u 1 U B ) + G 3 (u 1 u 2 ) + G 5 (u 1 (u 3 + U A )) = 0 G 2 u 2 + G 3 (u 2 u 1 ) + G 4 (u 2 u 3 ) = 0 G 6 u 3 + G 4 (u 3 u 2 ) + G 5 (u 3 + U A u 1 ) = 0 úprava pro vyjádření neznámých napětí u 1 (G 1 + G 3 + G 5 ) u 2 G 3 u 3 G 5 = U B G 1 + U A G 5 u 1 G 3 + u 2 (G 2 + G 3 + G 4 ) u 3 G 4 = 0 u 1 G 5 u 2 G 4 + u 3 (G 6 + G 4 + G 5 ) = G 5 U A řešení maticovým počtem s inverzí vodivostní matice (G 1 + G 3 + G 5 ) G 3 G 5 G 3 (G 2 + G 3 + G 4 ) G 4 G 5 G 4 (G 6 + G 4 + G 5 ) Postup řešení příkladu v Matlabu 1 U B G 1 + U A G 5 0 U A G 5 = u 1 u 2 u 3 R1=100; R2=200; R3=300; R4=300; R5=200; R6=100; G1=1/R1; G2=1/R2; G3=1/R3; G4=1/R4; G5=1/R5; G6=1/R6; UA=10; UB=10; G=[G1+G3+G5 -G3 -G5;-G3 G2+G3+G4 -G4;-G5 -G4 G6+G4+G5] I=[UB*G1+UA*G5 0 -UA*G5] U=inv(G)*I U =

34 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 30 G = I = Metoda smyčkových proudů Na obrázku 3.12 je schéma našeho obvodu se zvolenými smyčkami a jim přiřazenými neznámými proudy. Výsledkem výpočtu budou hodnoty takto zvolených proudů, takže např. napětí na svorkách vybraného rezistoru je třeba vypočítat s ohledem na to, jak se v dané větvi sešly proudy zvolené pro výpočet soustavy obvodových rovnic (napětí na R 2 vypočteme z rozdílu proudů i 1 i 2 ). V technické praxi je pro přehlednost výsledků oblíbenější metoda uzlových napětí. U A R 5 i 3 R 3 R 4 U B i1 R 2 i 2 R 1 R 6 Rovnice pro smyčky Obrázek 3.12: Nezávislé smyčky R 1 i 1 U B + R 3 (i 1 i 3 ) + R 2 (i 1 i 2 ) = 0 R 2 (i 2 i 1 ) + R 4 (i 2 i 3 ) + R 6 i 2 = 0 R 3 (i 3 i 1 ) + R 5 i 3 + U A + R 4 (i 3 i 2 ) = 0 úprava pro vyjádření neznámých proudů i 1 (R 1 + R 2 + R 3 ) i 2 R 2 i 3 R 3 = U B i 1 R 2 + i 2 (R 2 + R 4 + R 6 ) i 3 R 4 = 0 i 1 R 3 i 2 R 4 + i 3 (R 3 + R 4 + R 5 ) = U A řešení maticovým počtem s inverzí odporové matice (R 1 + R 2 + R 3 ) R 2 R 3 R 2 (R 2 + R 4 + R 6 ) R 4 R 3 R 4 (R 3 + R 4 + R 5 ) 1 U B 0 U A = i 1 i 2 i 3

35 KAPITOLA 3. ODPOROVÉ OBVODY 31 Postup řešení příkladu v Matlabu R1=100; R2=200; R3=300; R4=300; R5=200; R6=100; UA=10; UB=10; R=[R1+R2+R3 -R2 -R3;-R2 R2+R4+R6 -R4; -R3 -R4 (R3+R4+R5)] U=[UB 0 -UA] I=inv(R)*U I*1000 = (proudy v miliampérech) R = U = Stacionární ustálený stav (SUS) Výklad v této kapitole byl veden tak, aby formulace popisu obvodových veličin stála na výpočtech stejnosměrných napětí a proudů, v obvodech se stejnosměrnými napět ovými a proudovými zdroji a na obvodových strukturách složených z rezistorů. Výsledkem tedy je poznání obvodů ve kterých: je na svorkách obvodových elementů stejnosměrné napětí a protéká jimi stejnosměrný proud proud a napětí na svorkách rezistoru se řídí Ohmovým zákonem na svorkách všech kapacitorů je stejnosměrné napětí určené připojeným obvodem a proud je nulový (kapacitor nahradíme pro výpočet SUS rozpojeným obvodem) na svorkách induktoru je nulové napětí a protéká jím proud určený připojeným obvodem (induktory nahradíme pro výpočet SUS zkratem) proud zdrojem napětí je určen vnějším obvodem (s rozpojenými kapacitory a zkratovanými induktory) napětí na svorkách zdroje proudu je určeno vnějším obvodem (s rozpojenými kapacitory a zkratovanými induktory)

36 Kapitola 4 Výpočty ve frekvenční oblasti Pro praxi je velmi významné posouzení vlastností obvodů, ve kterých mají obvodové veličiny sinusový časový průběh. V obvodu s lineárními rezistivními i setrvačnými prvky mají všechny obvodové veličiny sinusový průběh s kmitočtem daným kmitočtem připojených zdrojů, přičemž pro více zdrojů s různými kmitočty platí princip superpozice. [3] Pro výpočty označované jako výpočty v časové oblasti tedy platí: Každý lineární model obvodu (složený ze součástí, které jsme až dosud popisovali, příp. z několika dalších, které ještě poznáme) má tu vlastnost, že všechny obvodové veličiny mají časový průběh vytvořený superpozicí sinusových signálů s frekvencemi totožnými s frekvencemi zdrojů sinusových signálů uvnitř soustavy. Od parametrů zdrojů se mohou složky obvodových veličin lišit amplitudou, fází a příp. rozměrem (např. v závislosti proudu (A) na napětí (V)). Každý nesinusový periodický signál lze rozložit na řadu signálů s frekvencemi, které jsou dány celočíselnými násobky základní (nejnižší) frekvence periodického signálu Fourierova řada. Jednotlivé složky Fourirova rozvoje působí nezávisle a jejich vliv lze posuzovat s využitím principu superpozice. Každý neperiodický signál (má-li určité často splnitelné vlastnosti) můžeme charakterizovat tak, že k němu získáme hodnoty kmitočtů, které musí být vzaty v úvahu, aby bylo možno posoudit vliv parametrů obvodu na časový průběh obvodových veličin v obvodu s tímto signálem Fourierova transformace. Metoda, kterou uvedeme neřeší časové průběhy obvodových veličin při přechodných dějích, které provázejí okamžik připojení sinusových zdrojů k obvodu nebo náhlé změny amplitud a kmitočtů. Nebudeme počítat ani s žádnými počátečními podmínkami na setrvačných prvcích. Výpočty budou platit pro tzv. harmonický ustálený stav HUS, tj. pro obvodové veličiny se sinusovými časovými průběhy, 32

37 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 33 jejichž amplitudy a fáze se v čase nemění, pokud se nemění vlastnosti připojených zdrojů napětí a proudů. Kapacitor se sinusovým zdrojem napětí řešení fyzikálního modelu i(t) u(t) = U m sin(ωt) C Obrázek 4.1: Kapacitor se zdrojem sinusového napětí Budeme nyní předpokládat, že u(t) = U m sin(ωt). (4.1) Pak s využitím derivace (i = C du dt ) dostaneme výraz pro proud i(t) i(t) = U m ωc sin(ωt + π/2). (4.2) Odtud lze najít vztah mezi amplitudou napětí a proudu tak, že platí Pokud by v obvodu byl rezistor, vztah by měl tvar I m = U m ωc. (4.3) I m = U m R, (4.4) takže při hledání analogie bychom mohli říci, že se kapacitor chová jako rezistor s odporem 1/ωC. Vztah amplitud tak lze v tomto případě popsat, ale vztah napětí a proudu, včetně jejich časových průběhů, rozhodně ne. Proud, na rozdíl od proudu protékajícího rezistorem, je u kapacitoru fázově posunut o π/2. To zásadním způsobem určuje vliv kapacitoru na obvodové veličiny v jakémkoli obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Musí to tak být, protože kapacitor je bezeztrátový element, takže integrál součinu napětí a proudu musí být nulový přes libovolný celistvý počet period sinusového napětí a proudu. Vzniká otázka, jak takový vliv na fázi obvodových veličin matematicky popsat. Matematika dokázala vstoupit do druhého rozměru vytvořením oboru komplexních čísel. Výpočet vlastností obvodů v HUS obor komplexních čísel využívá. Jestliže se v popisu signálu pracuje stále s jedním kmitočtem, lze údaj o veličině s fází otočenou o ±π/2 zapsat jako ryze imaginární číslo. Jestliže v obvodu takovou situaci vytváří setrvačný obvodový element, pak může být právě jeho parametr

38 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 34 zapsán jako imaginární číslo. To umožní popsat vztah mezi proudem a napětím na jeho svorkách formálně analogicky jako pro rezistor, kde platí Ohmův zákon. 4.1 Impedance Aparát komplexní aritmetiky nám pak poskytne i prostředek, jak popsat obvodové veličiny s fází libovolně pootočenou zřejmě jako komplexní čísla s reálnou i imaginární složkou. Taková komplexní čísla se v aplikacích s harmonickým ustáleným stavem označují jako fázory. Mají zvláštní symboly a vždy za sebou skrývají popis ustáleného sinusového signálu o daném kmitočtu. Aplikaci fázorů pro náš jednoduchý obvod lze demonstrovat následujícím vztahem: Î = Û = jωcû, (4.5) Ẑ C který vyjadřuje vztah mezi proudem a napětím ryze imagináním číslem (fázový posuv π/2) a kde jsme ve vzorci analogickém s Ohmovým zákonem použili fázorový obraz kapacitoru Ẑ C = 1 jωc. (4.6) Veličina Ẑ se označuje jako (komplexní) impedance a v oblasti výpočtů harmonického ustáleného stavu s pomocí fázorů se s ní zapisují obvodové rovnice podle Kirchhoffových zákonů stejně jako v obvodech s rezistory, avšak s respektem k výpočtům s komplexními čísly. Bez důkazu a rozboru uvedeme impedanci induktoru Ẑ L = jωl. (4.7) Libovolné uspořádání rezistorů, induktorů a kapacitorů může vytvořit dvojpól, který popisuje hodnota jeho impedance, kterou vypočteme podobně jako když jsme hledali hodnoty odporu dvojpólu libovolně složeného z rezistorů. Hodnotu odporu jsme získali kombinací výpočtů pro jejich sériové a parelelní spojení. R 1 Ẑ R 2 C L Obrázek 4.2: Obvod pro výpočet impedance

39 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 35 Na obrázku 4.2 je obvod složený z rezistorů, induktoru a kapacitoru. Pro impedanci, kterou vidíme na jeho svorkách platí Ẑ = R 1 + jωl + R 2 jωcr (4.8) (ve zlomku popisujícím kombinaci rezistoru a kapacitoru, zapsaném pro paralelní kombinaci dvou impedancí, byl čitatel i jmenovatel vynásoben jωc). Výpočet obvodu s fázory (závislost mezi dvěma napětími, závislost proudu na napětí a naopak) se většinou snažíme dovést ke vztahu, který má obecně tvar Ŷ 2 = ĤŶ 1. (4.9) Takové vyjádření platí v prostoru fázorů, avšak velmi jednoduše lze dosadit a získat představu o časovém průběhu. Vždycky bude kde y 1 (t) = Y 1m sin(ωt + ϕ 1 ) a y 2 (t) = Y 2m sin(ωt + ϕ 2 ), (4.10) ( ) 2 ( 2 Y 2m = Y 1m Ĥ = Y 1m Re(Ĥ) + Im(Ĥ)) (4.11) a ϕ 2 = ϕ 1 + arctg ( ) Im(Ĥ). (4.12) Re(Ĥ) Snadno se přesvědčíme, že úvodní výklad o vztahu napětí a proudu na kapacitoru se zdrojem napětí jsme uvedli v souladu s uvedeným obecným výkladem: ϕ 1 = 0, Im(Ĥ) = ωc, Re(Ĥ) = 0, ϕ 2 = π/2, Ĥ = ωc a Ŷ 1 = Û, Ŷ 2 = Î. Důležité: Svět tučných symbolů se stříškami fázorový, je jiný svět než svět časových průběhů u(t) a i(t) a jim odpovídajících derivací a integrálů. My však víme, že se dá jedno z druhého vypočítat, ale do jedné rovnice nikdy tyto různé symboly nenapíšeme. 4.2 Děliče napětí s impedancemi Při výpočtech v HUS pracujeme s impedancemi jako s odpory a obvodové veličiny reprezentujeme fázory. Takže v následujících odstavcích využijeme znalostí o odporovém děliči napětí.

40 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI Integrační RC obvod Uspořádání obvodu, který označujeme jako integrační, nebo jako dolnofrekvenční propust, je na obr. 4.3, R C Û 1 Û 2 Zápis v HUS má tvar Obrázek 4.3: RC integrační obvod Ẑ C 1/jωC Û 2 = Û 1 = Û 1 R + Ẑ C R + 1/jωC = Û jωrc. (4.13) Z uvedeného vztahu můžeme zapsat pro Ĥ Ĥ = jωrc = 1 jωrc 1 + (ωrc) 2. (4.14) Protože se jedná o matematické vyjádření poměru fázoru výstupního napětí k fázoru vstupního napětí, tedy o popis jak se vstupní napětí obvodem ovlivní, je-li přeneseno na výstup, nazývá se Ĥ (napět ovým) přenosem obvodu. Jde o bezrozměrnou komplexní funkci kmitočtu ω, což bývá někdy vyjádřeno zápisem Ĥ H(jω). Součin RC = τ se označuje jako časová konstanta obvodu a čtenář se snadno přesvědčí, že tento součin má rozměr času. Vlastnosti obvodů ve frekvenční oblasti popisujeme pomocí analýzy přenosové funkce Ĥ. Ukážeme to na uvedeném integračním obvodu. První významná informace se týká vlivu obvodu na amplitudu výstupního napětí. Uvedli jsme, že U 2m = U 1m Ĥ, takže U 2m = U 1m (ωrc) 2. (4.15) Vidíme, že amplituda sinusového průběhu je závislá na kmitočtu a s rostoucím kmitočtem bude klesat. Je zvykem tuto závislost zobrazit v grafu funkce Ĥ, ve kterém nezávisle proměnnou (vodorovná osa) je kmitočet v logaritmickém měřítku a na svislé ose je A, kde A = 20 log Ĥ. (4.16)

41 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 37 Takto vyjádřená absolutní hodnota přenosu je sice bezrozměrná, ale pro její hodnoty se uvádějí jednotky decibely [db], graf s takto zvolenými měřítky na osách se v literatuře uvádí jako Bodeho charakteristika a pro integrační obvod je na obrázku A [db] K f [Hz] Obrázek 4.4: Amplitudová frekvenční charakteristika integračního RC obvodu (R = 100 kω a C =10 nf) Předmětem analýzy je dále fázový posuv. Podíváme-li se na časové průběhy na obr. 4.5, zjistíme, že se napětí na výstupu fázově neshoduje s napětím vstupním. (Obrázek ukazuje vztah vstupního a výstupního napětí v harmonickém ustáleném stavu. To jsme zdůraznili tím, že časová osa nezačíná nulovou hodnotou, ale obrázek zachycuje stav v průběhu času.) V ustáleném stavu těžko zjistíme, zda se výstup předbíhá nebo zpožd uje. Pokud jde obecně o obvod s jediným setrvačným prvkem, může se fázový úhel měnit jen v intervalu ϕ = ±π/2, resp. ϕ = ±90. Pro integrační obvod zjistíme, že výstupní napětí se opožd uje za napětím vstupním. 1,5 u 1 (t) 1,0 0,5 u 2 (t) 0,0 u [V] -0,5-1,0 4,0 6,0 8,0 10,0 t [ms] Obrázek 4.5: Časový průběh ustáleného harmonického stavu integračního RC obvodu Na obrázku je fázový posun odhadem 60. Jistě lze očekávat, že bude závislý na kmitočtu. Z výrazu pro přenos plyne při ϕ 1 = 0

42 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 38 ϕ 2 = arctg ( ) Im(Ĥ) = arctg (ωrc). (4.17) Re(Ĥ) ϕ [ ] K f [Hz] Obrázek 4.6: Fázová frekvenční charakteristika integračního RC obvodu Když se podíváme na oba obrázky, amplitudovou a fázovou charakteristiku, zjistíme, že při nízkých kmitočtech je amplituda výstupního napětí téměř shodná s amplitudou vstupního napětí a fáze je téměř nulová. S rostoucím kmitočtem klesá amplituda a fázový posun se zvětšuje. Kvalifikovaněji tuto úvahu vyjádříme, když oba výrazy, pro amplitudu a pro fázi, ještě podrobíme diskusi, která umožní zavést určité termíny a objasní obecnější vlastnosti frekvenčních charakteristik. Amplitudová frekvenční charakteristika: Ĥ = (ωτ) 2. (4.18) ω 0. Pro nízké kmitočty (ωτ 1) se přenos obvodu blíží k jedničce. Pomalé změny okamžité hodnoty střídavého napětí vedou k tomu, že se kondenzátor nabíjí a vybíjí malými okamžitými hodnotami proudu a na rezistoru se vytváří malý úbytek napětí. Napětí na kapacitoru stíhá sledovat vstupní napětí. V grafu přenosové charakteristiky se její průběh asymptoticky blíží k vodorovné přímce odpovídající hodnotě 0 db. Obvod propouští nízké kmitočty, říkáme mu dolnofrekvenční propust. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) klesá přenos obvodu s rostoucím kmitočtem Ĥ 1/ωτ. V této oblasti kmitočtů lze pro přenosovou charakteristiku v decibelech napsat A = 20log(2πf τ), což znamená, že každé zvýšení kmitočtu na desetinásobek vede k poklesu přenosu o 20 db (tedy desetkrát). Je-li v grafu i kmitočet zobrazen logaritmicky, blíží se průběh charakteristiky asymptoticky k přímce se sklonem -20 db na dekádu kmitočtu. Vysoké kmitočty jsou zadržovány hornofrekvenční zádrž. Uvedené dvě asymptoty se protnou na ose kmitočtu v bodě ωτ = 1 resp. ω = 2πf = 1 τ. (4.19)

43 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 39 Tomuto kmitočtu se říká mezní kmitočet a skutečný průběh charakteristiky se na něm nejvíce vzdaluje od asymptot. Dosazením zjistíme, že na mezním kmitočtu je Fázová frekvenční charakteristika Ĥ = 1 2 = 0, 707, resp. A 3 db. (4.20) 2 2 ϕ = arctg(ωτ). (4.21) ω 0. Pro nízké kmitočty (ωτ 1) se fáze přenosu obvodu blíží k nule. Již jsme uvedli, že napětí na kapacitoru stíhá sledovat vstupní napětí. V grafu přenosové charakteristiky se průběh fáze asymptoticky blíží k vodorovné přímce s hodnotou ϕ = 0. Časový průběh výstupního napětí zdaleka nereprezentuje integrál z časového průběhu napětí vstupního. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) klesá přenos obvodu proto, že pomalý kapacitor nestačí reagovat na rychlé změny okamžité hodnoty vstupního napětí. Protože jde o harmonický ustálený stav, je napětí na kapacitoru sinusové, ale pomalost, s jakou kapacitor dovoluje měnit na svých svorkách napětí, způsobí, že se fáze zpožd uje. Pro rostoucí kmitočty se asymptoticky blíží k 90 resp. π/2. Čím vyšší bude kmitočet, tím nižší bude odchylka fáze od 90 a tím lépe bude možno obvod považovat za integrátor. Dosazením do výše uvedeného vztahu zjistíme, že na mezním kmitočtu je ϕ = arctg(ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4. (4.22) Povšimněme si, že vše zmíněné je relativní. Hodnocení jsme vázali k součinu ωτ, což znamená, že popsané jevy mohou v závislosti na časové konstantě obvodu nastávat při nejrůznějších kmitočtech Derivační RC obvod Přehledně uvedeme matematický popis vlastností derivačního obvodu na obr. 4.7 a jeho charakteristiky na obr R R Û 2 = Û 1 = Û 1 R + Ẑ C R + 1, (4.23) jωc Ĥ = jωrc 1 + jωrc, (4.24)

44 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 40 C R Û 1 Û 2 Obrázek 4.7: RC derivační obvod A [db] K f [Hz] ϕ [ ] K f [Hz] Obrázek 4.8: Frekvenční charakteristiky derivačního RC obvodu Ĥ = ωrc 1 + (ωrc) 2 ( ) 1 ϕ = arctg. (4.25) ωrc Derivační obvod ve frekvenční oblasti má následující asymptotické vlastnosti: ω 0. Směrem k nízkým kmitočtům (ωτ 1) absolutní hodnota přenosu klesá. Asymptota má sklon +20 db na dekádu kmitočtu a fáze přenosu obvodu se blíží k +90, tedy výstupní napětí předbíhá napětí vstupní. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) se absolutní hodnota přenosu obvodu asymptoticky blíží k jedničce a fáze k nule. Na mezním kmitočtu (τ = 1/ω) je ϕ = arctg(1/ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4. (4.26)

45 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 41 O derivačním působení obvodu tedy lze hovořit tehdy, kdy je kmitočet relativně nízký (relativně k převrácené hodnotě časové konstanty). Amplituda je sice malá, ale fázový posun téměř odpovídá derivaci sinu časového průběhu vstupu Obvody RL L R R L Û 1 Û 2 Û 1 Û 2 integrační obvod derivační obvod Obrázek 4.9: RL obvody Pro přenos RL obvodů na obr 4.9 platí následující vztahy integrační H(jω) = jω L R, derivační H(jω) = jω L R 1 + jω L. (4.27) R 4.3 Rezonanční obvod Mějme obvod se dvěma setrvačnými elementy induktorem a kapacitorem, které v obvodu uspořádáme tak, že jsou zapojeny v sérii se zdrojem harmonického signálu a rezistorem tak, jak je uvedeno na obr Û Î R L 2,53 H C 1 µf Obrázek 4.10: Sériový rezonanční obvod

46 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 42 V sériovém obvodu platí 2. Kichhoffův zákon, takže můžeme vypočítat fázor proudu pomocí součtu fázorů napětí na svorkách jednotlivých elementů. Î = Û R + jωl + 1 jωc jωc = Û (1 ω 2 LC) + jωrc, (4.28) kde lze odvodit podmínku, za které je proud reálný, s nulovým fázovým posunem vůči napětí. Ta je splněna na rezonančním kmitočtu: 1 LC = ω2 r,... ω r = 1 = 2πf r. (4.29) LC Nyní můžeme odvodit údaje pro vyjádření proudu ve tvaru časové funkce. Û U m sin ωt (4.30) Î I m sin(ωt + ϕ) (4.31) ωc I m = Î = U m (4.32) (1 ω 2 LC) 2 + (ωrc) 2 Když bude obvod naladěn do rezonance: ( 1 ω 2 ) LC ϕ = arctg. (4.33) ωrc ω = ω r = 1 LC, (4.34) ωc I m = Î = U m (1 ω 2 LC) 2 + (ωrc) = U m 2 R (4.35) ( 1 ω 2 ) LC ϕ = arctg = 0 ωrc (4.36) Je-li obvod naladěn na rezonanční kmitočet, přestane se projevovat přítomnost induktoru a kapacitoru a v obvodu určuje proud jen rezistor. Fáze proudu je shodná s fází napětí zdroje. Podívejme se, co se děje v rezonanci na svorkách induktoru a kapacitoru. Popíšeme napětí na induktoru, nejprve pro libovolně zvolený kmitočet Při rezonanci pak dostaneme ω 2 LC Û L = jωlî = Û (1 ω 2 LC) + jωrc Û L = jû 1 ω r RC 1 = jq Û, Q = ω r RC = 1 L R C (4.37) (4.38)

47 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 43 kde Q je činitel jakosti obvodu, který ukazuje kolikrát větší je napětí na induktoru než je napětí budicího zdroje U Lm = U m Q ϕ = π/2. (4.39) Podobně bychom odvodili napětí na kapacitoru. Mělo by však opačnou fázi. Vidíme, že přestože se kombinace LC chová při rezonanci jako zkrat, je na obou prvcích možno pozorovat mnohdy velmi veliké napětí vzniklé tím, že si oba ideální setravačné prvky vzájemně předávají energii, aniž dochází k energetickým ztrátám. Tato energie se v obvodu nahromadí v přechodném ději po připojení zdroje, který však výpočet harmonického ustáleného stavu nedokáže popsat. Nárůst napětí v okolí rezonančního kmitočtu ukazuje frekvenční charakteristika na obr Postupný nárůst napětí na induktoru při zapnutí zdroje harmonického napětí ukazuje obr Q = R = Q = R = 160 Q = 0,5... R = V(3) (V) F (Hz) Obrázek 4.11: Napětí na induktoru R1 60 RLC-HUS.cir u C V L m 100m 200m 300m 400m 500m v(3) (V) T (Secs) Obrázek 4.12: Napětí na induktoru přechodný děj V radiotechnických aplikacích se setkáme s pojmem šířka pásma. Jedná se o určení intervalu frekvencí mezi dvěma body na frekvenční chrakteristice, pro něž platí stejné pravidlo jako pro již známé mezní kmitočty, tedy ϕ = ±45, U Rm /U m = 3dB Graficky to znázorňuje obr.4.13

48 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 44 Û R = Û ωrc jωrc ω 2 LC + 1 (4.40) ϕ = ±45 = 1 ω2 LC = ±1 (4.41) ωrc Pro kvalitní rezonátory lze nalézt užitečný vztah mezi šířkou pásma a činitelem jakosti. Pro Q > 5 ω 1,2 = ω r (1 ± 1 2Q ) = Q = U Rm [db] 7,5 0,0-7,5-15,0-22,5-30,0 98,75Hz 101,25 Hz 100 Hz Obrázek 4.13: Šířka pásma ω r ω 1 ω 2 = f r / f(3db) (4.42) =2,50 Hz -3 db f 4.4 Výkon v harmonickém ustáleném stavu Bez odvození uvedeme, že součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu reprezentuje v harmonickém ustáleném stavu fázorový obraz výkonu v obvodu se sinusovými obvodovými veličinami. Uvědomme si, že výkon jako součin proudu a napětí koná práci jen na rezistorech. Induktory a kapacitory energii s harmonickýcm signálem jen akumulují a vracejí do obvodu. Výkon je nulový, ačkoli jsou proud i napětí na jejich svorkách nenulové. Komplexní výkon vyjadřuje vztah Ŝ = 1 2ÛÎ (4.43) kde Î je komplexně sdružený fázor proudu, který prochází obvodem. Takže komplexní výkon lze také zapsat ve tvaru Ŝ = 1 2 U mi m (cos ϕ + j sin ϕ) (4.44) P = Re(Ŝ) = 1 2 U mi m cos ϕ, Q = Im(Ŝ) = 1 2 U mi m sin ϕ (4.45)

49 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 45 kde S = Ŝ = 1/2U m I m je zdánlivý výkon ve voltampérech [VA] P je činný výkon ve watech [W], Q je jalový výkon uváděný v jednotkách [var] (voltampéry reaktanční) Pro efektivní hodnoty proudu a napětí platí P = U ef I ef cos ϕ, Q = U ef I ef sin ϕ S = U ef I ef (4.46) Nejvýznamnější je uspořádání, kdy je zdroj harmonického napětí připojen ke komplexní zátěži Ẑ složené z rezistorů a setrvačných induktorů a kapacitorů. Komplexní výkon v zátěži připojené ke zdroji napětí Û (fázi napětí považujme za nulovou) lze odvodit z proudu obvodem Î = Û Ẑ = U m kde ϕ z je fáze zátěže ϕ z = arctg Potom Ẑ e jϕz, (4.47) ) ( Im(Ẑ) Re(Ẑ) Ŝ = ÛÎ = U 2 m 2 Ẑ ejϕz = U 2 ef Ẑ ejϕz = U 2 ef Ẑ (cos ϕ z + j sin ϕ z ) (4.48) Pro výkon spotřebičů (spotřebovávajících energii) je definován účiník λ = P S = cos ϕ (4.49) Účiník je ukazatelem poměru mezi činným a jalovým (v zátěži neužitečným) výkonem pozorovatelným na svorkách spotřebiče. Spotřebič je připojen k vedení, kterým prochází proud zabezpečující činný, ale i jalový výkon spotřebiče. Je-li jalový výkon spotřebiče relativně velký (účiník malý), musejí přívodní vodiče přivést do zátěže výrazně větší proud než ten, který koná v zátěži užitečnou práci (činný výkon). Proud pro jalový výkon přívod ke spotřebiči zatěžuje, koná na jeho odporu neužitečnou práci. Je proto snahou spotřebitelů připojovat k vedení spotřebiče s co největším účiníkem. Ve spotřebičích s vykazujících velkou jalovou složku výkonu (zářivky) je proto pomocnými obvody jalový výkon omezován. Hovoříme o kompenzaci účiníku. Jak se s poměry mezi hodnotami součástek mění fázový posun mezi proudem a napětím a spolu se měnící se amplitudou mění činný a jalový výkon, ukazují dva následující obrázky. Na prvém z nich 4.14 je malý fázový posun mezi proudem a napětím a odevzdaný činný výkon je veliký, blízký výkonu zdánlivému. Na druhém obrázku 4.15 je mezi proudem a napětím velký posun a činný výkon je malý ve srovnání s výkonem zdánlivým.

50 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 46. 2µF 15 ϕ = 16 Im = 96 [ma] Um = 10 [V] 10 Û 100Ω m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -I(V1)*100 V(v1) (V) ω = 1745 [rad/s] Ẑ = 100 j.28, 648 [Ω] Î = j.0, 0265 [A] Û = 10 [V] Ŝ = 0, 4621 j.0, 1324 [VA] m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -V(V1)*I(V1) PDT (W) T (Secs) P = 0, 4621 [W] S = 0, 48 [VA]. Obrázek 4.14: Napětí, proud, výkon v RC obvodu. ϕ = 70, 8 Im = 33 [ma] Um = 10 [V] 0, 2µF Û 100Ω m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -I(V1)*100 V(v1) (V) ω = 1745 [rad/s] Ẑ = 100 j.286, 48 [Ω] 240.0m 120.0m Î = j.0, 0311 [A] Û = 10 [V] Ŝ = 0, 0543 j [VA] 0.0m m 9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -V(V1)*I(V1) PDT (W) T (Secs) P = 0, 0543 [W] S = 0, 165 [VA]. Obrázek 4.15: Napětí, proud, výkon v RC obvodu

51 % KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI Třífázová soustava Každá elektrárna vyrábí elektrickou energii v generátorech třífázové soustavy napětí. Přenos energie probíhá po čtyřech vodičích, kdy jeden z vodičů je společný pro všechna fázová napětí a tři fázové vodiče přenášejí tři napětí, která jsou specifická tím, že jsou vzájemně fázově posunutá o pevně daný úhel. Obvodový model takového zdroje elektrické energie ukazuje obr R Û RS Û TR Û ST S Û R u R (t) u S (t) u T (t) T Û T Û S Obrázek 4.16: Obvodové schéma třífázové soustavy Časový průběh tří fázových napětí označených písmeny R, S, T je popsán následujícími vztahy a ukazuje je obr u R (t) = U sin(ωt) u S (t) = U sin(ωt 2π 3 ) u T (t) = U sin(ωt 2 2π 3 ) = U sin(ωt + 2π 3 ) +Um R S T 0 -Um o Obrázek 4.17: Časový průběh fázových napětí Velké U, resp. I bude označovat U ef, resp. I ef, avšak lze je vždy nahradit U m = 2Uef (I m = 2I ef )

52 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 48 Model na obr ukazuje fázorové obrazy všech tří napětí. Připojené obvody lze analyzovat fázorovou analýzou a s využitím principu superpozice. Fázory pro fázová napětí v třífázové soustavě lze zapsat následujícím způsobem: Û R = Ue j0 = U ( Û S = Ue j 2π 3 = U(cos( 2π/3) + j sin( 2π/3) = U 1 ) j 2 ( Û T = Ue +j 2π 3 = U(cos(2π/3) + j sin(2π/3) = U 1 ) 3 2 j 2 Pozoruhodný je vztah, který ukazuje, že součet napětí, pokud jsou jejich amplitudy shodné, je nulový: Û R + Û S + Û T = 0 Znamená to, že pokud je zdroj třífázového napětí s identickými amplitudami zatížen ve všech fázích stejnou zátěží (symetrické zatížení), pak společným (nulovým) vodičem nepoteče žádný proud. V třífázové soustavě lze spotřebič připojit i mezi dvojici výstupů fázových napětí, aniž je využit jejich společný vodič. Takto použitá napětí se označují jako napětí sdružená Û TR, Û ST, Û RS : ( ) 3 3 Û RS = Û R Û S = U R 2 + j U RS = U R 2 + j 2 = U R 3 Amplituda, tedy i efektivní hodnota sdruženého napětí je větší než má napětí fázové, a to 3 krát. V energetické elektrovodné síti jsou standardizována následující napětí: Fázové napětí efektivní hodnota U R = 230 V Sružené napětí efektivní hodnota U RS 400 V Fázové napětí maximální hodnota U R = 325 V Sružené napětí maximální hodnota U RS 565 V Pokud budeme zkoumat vzájemné vztahy mezi sdruženými napětími zjistíme, že jsou rovněž vzájemně časově posunutá v úhlové míře o 120. Fázorovou rovinu pootočíme a pak bude Û RS = Ue j0, pak Û ST = Û S Û T ( Û ST = Ue j 2π 3 = U(cos( 2π/3) + j sin( 2π/3) = U 1 ) j 2

53 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 49 Û TR = Û T Û R ( Û TR = Ue +j 2π 3 = U(cos(2π/3) + j sin(2π/3) = U 1 ) 3 2 j 2 kde U je nyní 3 krát větší než ve výrazech pro fázové napětí. A opět platí: Û RS + Û ST + Û TR = 0 V elektrickém rozvodu běžných spotřebitelů elektrického proudu pro jednofázové spotřebiče je používáno fázové napětí 230 V. Je tak na úrovni budovy nebo vesnice, vytvořeno zapojení třífázové soustavy do hvězdy s nulovým vodičem. Î S Û S Î N S 0 Ẑ S Û T ÛR Ẑ T Ẑ R R ÎT T Î R Obrázek 4.18: Zapojení třífázové soustavy do hvězdy s nulovým vodičem Pro sumu proudů vstupujících do společné svorky spotřebičů dostaneme: Î R + Î S + Î T + Î N = 0 Î R + Î S + Î T = Î N Proud společným vodičem při nesymetrickém zatížení tří fází pak lze vypočítat takto: Û R + ÛS + ÛT = Î N Ẑ R Ẑ S Ẑ T Jestliže je ve vzdáleném objektu vedení zatíženo nerovnoměrným příkonem v jednotlivých fázích a má-li společný vodič nezanedbatelný odpor, pak může dojít k situaci, kdy se jednotlivá fázová napětí měřená vůči společnému vodiči začnou vzájemně lišit oběma směry. Zde ukazujeme opodstatnění pro případná použití ochrany zařízení před přepětím a podpětím, a to i v případě, že elektrána vyrábí přesně daná fázová napětí. 4.6 Souhrnně o frekvenční oblasti Popis obvodu v harmonickém ustáleném stavu je prakticky významný proto, že reprezentuje vlastnosti obvodu pro širokou oblast jeho použití.

54 KAPITOLA 4. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 50 Matematický aparát pracuje s komplexními impedancemi a fázory tak, že formulace popisu obvodů je velmi jednoduchá, avšak omezená jen na harmonický ustálený stav vylučuje výpočet přechodných dějů. Výrazy s fázory (impedance, přenosy a obrazy signálu) nemohou vystupovat ve vztazích pro časové průběhy signálů. Matematický popis obvodu dovoluje formulovat komplexní funkci kmitočtu označovanou jako přenosová funkce (přenos) obvodu. Z ní lze odvodit amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku obvodu. Amplitudová charakteristika je většinou zobrazována v logaritmických souřadnicích na obou osách (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutní hodnoty přenosu v decibelech [db]) a fázová charakteristika s logaritmem frekvence a lineární stupnicí fázového úhlu. V kvalitativním odhadu vlastností obvodů s kapacitory a induktory lze na dostatečně vysokých kmitočtech považovat kapacitor za zkrat a induktor za rozpojený obvod. Na dostatečně nízkých kmitočtech lze kapacitor považovat za rozpojený obvod a induktor za zkrat.

55 Kapitola 5 Výpočty v časové oblasti V současných elektronických přístrojích a zařízeních hrají významnou roli obvody zpracovávající impulsní časové průběhy obvodových veličin. Již v úvodu jsme uvedli jako jeden často používaný časový průběh napětí nebo proudu ideálního zdroje právě zdroj skoku. Jak reagují elektronické obvody na skokové signály posuzujeme tak, že popisujeme časový průběh obvodových veličin ve vybraných obvodových uspořádáních, která považujeme za reprezentativní a na která lze mnohdy převést i velmi složitá zapojení s mnoha součástkami. Matematicky je poměrně jednoduché popsat vlastnosti obvodů, jsou-li na vstupu buzeny signálem, který má charakter skoku. Takový signál je teoretický, protože každá změna v hodnotě proudu nebo napětí se v technice může odehrát jen v určitém byt krátkém, ale ne nekonečně krátkém čase. Vždycky však můžeme najít a požadovat takovou strmost nárůstu napětí nebo proudu, že vše, co se v obvodu odehraje, bude odpovídat s dostatečnou přesností výpočtům s teoreticky nekonečně strmým skokem. Definici skokového průběhu napětí ukazuje obr u(t) U 0 u(t) = t { 0, t < 0 U, t 0 Obrázek 5.1: Skok napětí U.1(t) ȯ 5.1 Sériový RC obvod se skokem napětí Nejprve hledejme, jaký časový průběh bude mít proud, který obvodem projde v čase t 0 po uplatnění napět ového skoku. Obvod je naznačen na obr

56 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 52 u (t) R R U.1(t) u (t) C i(t) C Obrázek 5.2: RC obvod se skokem napětí Z druhého Kirchhoffova zákona dostaneme U.1(t) = u R (t) + u C (t) = Ri(t) + t 0 (i(τ)dτ + u C (0) (5.1) Řešení této rovnice lze provést s použitím tradičního postupu řešení rovnic prvého řádu s pravou stranou, s použitím Laplaceovy transformace, nebo využít všeobecně známého vzorce i(t) = U u C(0) e t τ (5.2) R kde τ = R.C je časová konstanta obvodu. Ve výkladu o fyzikálních vlastnostech kapacitoru jsme uvažovali nabíjení kapacitoru konstantním proudem tehdy napětí na jeho svorkách rostlo lineárně s časem. V integračním RC obvodu se bude kapacitor jistě také nabíjet, ale zřejmě s přibývajícím časem bude nabíjecí proud klesat, protože se bude zmenšovat napětí na svorkách rezistoru R s tím, jak poroste napětí na kapacitoru C. V čase t se přiblíží u C (t) k hodnotě skoku U. Tehdy nabíjecí proud klesne k nule a napětí na nabitém kapacitoru se vyrovná s napětím zdroje. Na obrázku 5.3 je časový průběh nabíjecího proudu v obvodu normalizovaný k i = (U u C (0))/R na svislé ose a k času t = τ na vodorovné ose. 1 0,9 0,8 % 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Obrázek 5.3: Časový průběh proudu v RC sériovém obvodu

57 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI Integrační obvod RC Na obrázku 5.4 je obvod, který se podobá známému děliči napětí, avšak s tím rozdílem, že zdroj s rezistorem dodává proud do kapacitoru, na jehož svorkách pozorujeme výstupní napětí. R C u 1 (t) u C (t). Obrázek 5.4: RC integrační obvod V literatuře je obvod označován jako integrační článek nebo dolnofrekvenční propust. Při výkladu o jeho vlastnostech poznáme, že přesně vzato nereprezentuje časový průběh jeho výstupního napětí integrál časového průběhu signálu vstupního. Takovému chování se za určitých podmínek může přiblížit. Ani o propouštění nízkofrekvenčních sinusových signálů a zadržování vysokofrekvenčních signálů, nelze hovořit, aniž bychom vytýčili podmínky platné pro hodnoty součástek a kmitočty signálů. Přesto se tohoto zjednodušeného označení budeme držet. Tento časový průběh pro t 0 a u C (0) = 0 popisuje vztah u C (t) = U ( 1 e t τ ), (5.3) Graficky průběh nabíjení ukazuje obrázek 5.5, a to pro případ, že U = 1 V a součin RC = τ = 1 s, např. R = 100 kω a C = 10 µf. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 t ab u a u b 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Obrázek 5.5: Časový průběh napětí na kapacitoru v integračním článku

58 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 54 Z obrázku lze vyčíst některé často zmiňované vlastnosti exponenciálního nárůstu napětí na kapacitoru: směrnice tečny exponenciály na počátku přechodného děje je rovna časové konstantě τ, po uplynutí doby t = τ dosáhne exponenciála přibližně 63% z ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího třem časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 95% ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího pěti časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 99% ustálené hodnoty, zvolíme-li na exponenciálním průběhu dvě libovolné úrovně napětí u a a u b, můžeme při známé velikosti ustálené hodnoty U vypočítat dobu t ab, po kterou exponenciála bude probíhat mezi napětími u a a u b ( ) U ua t ab = τ ln. (5.4) U u b Nad výrazy pro napětí na kapacitoru a proud obvodem lze uvést následující praktické úvahy: přechodný děj lze urychlit jenom zmenšením časové konstanty τ = R.C, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením kapacity C, což v praxi nemusí být vždycky možné, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením odporu R; to ale vede k většímu proudu i(0) = U/R, což nemusí snášet zdroj impulsního napětí. Dále popíšeme, co se bude v obvodu odehrávat, když zdroj napětí v čase t i skočí z hodnoty U zpět na napětí u(t i ) = 0. Takové vstupní napětí na vstupu obvodu označujeme jako buzení (osamělým) impulsem (viz obr. 5.6 nahoře). Napětí na kapacitoru zřejmě začne klesat. Jeho průběh bude popsán obecnějším vztahem ( u C (t) = u C (t i ) + [u 1 (t i ) u C (t i )] 1 e t t i τ ) = u 1 (t i ) + [u C (t i ) u 1 (t i )] e t t i τ (5.5) pro t t i. Vztah je použitelný pro všechny situace v uvedeném obvodu: u C (t i ) je napětí na kapacitoru před příchodem skoku, u 1 (t i ) je napětí odpovídající skoku v čase t = t i. Pro skok v čase t i = 0, u 1 (t i ) = U a napětí u C (t i ) = 0 v tomto čase, dostaneme výraz z počátku našeho výkladu.

59 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 55 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 t t 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t Obrázek 5.6: RC integrační obvod, průběh napětí při buzení impulsem Obrázek 5.6 ukazuje dvě situace, které mohou nastat ve vztahu mezi časovou konstantou a délkou impulsu. Na prvém grafu je časový průběh impulsu o délce 1 µs s rozkmitem 10 V. Na dalších dvou grafech je nejprve uveden časový průběh výstupního napětí pro případ, že časová konstanta τ = RC je výrazně kratší, než doba trvání impulsu (τ = 0, 1 µs). Na dalším grafu je uveden případ, kdy je časová konstanta rovna délce impulsu (povšimněme si, že náběh končí na úrovni 63% velikosti skoku). Při výpočtu musíme pro u 2 (t i ) vždy použít hodnotu, kterou získáme z výpočtu předchozího přechodného děje. Čtenář si jistě představí situaci, kdy bude časová konstanta ještě větší. Uvedený příklad má dalekosáhlé praktické důsledky. V datových přenosech se po spojích mezi zařízeními přenášejí data jako elektrické impulsy. Jestliže ke zdroji takových impulsů připojíme zařízení s velkou vstupní kapacitou (větší než předpokládal jeho konstruktér), může dojít k úplnému znehodnocení přenosu proto, že kratší impulsy za dobu svého trvání nedosáhnou požadované napět ové úrovně a přijímací zařízení datový impuls nezaznamená. Časový průběh proudu v obvodu popisuje výraz, který je opět zformulován tak, že obsahuje obecně jak počáteční napětí na kapacitoru před skokem, tak vstupní napětí po skoku. i(t) = (u 1(t i ) u C (t i )) e t t i τ pro t t i. (5.6) R Podívejme se ještě na situaci, kdy se budou impulsy z předchozího příkladu opa-

60 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 56 kovat periodicky (buzení periodickými impulsy). Obrázek 5.7 ukazuje přechodný děj při dvou možných relacích mezi časovou konstantou obvodu a periodou opakování impulsů. Na obrázku 5.7 nahoře je naznačen průběh periodického impulsního signálu o kmitočtu 1 MHz (impuls a mezera mají dohromady trvání 1 µs). Impuls má velikost 10 V, v mezeře je napětí nulové. Impulsy mají dobu trvání 700 ns, mezera je 300 ns. Poměr mezi impulsem a mezerou se označuje jako střída impulsů (v našem případě 3:7). 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 Obrázek 5.7: RC integrační obvod s periodickými impulsy napětí Na prvém grafu výstupního signálu je časový průběh na výstupu z obvodu s časovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsního průběhu), na druhém grafu je časová konstanta obvodu nastavena na 5 µs (tedy pětinásobek periody). V tomto druhém případě se chování obvodu dá interpretovat jako integrace. Povšimněme si, že výstupní napětí obvodu na konci přechodného děje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integrálu z periody vstupního průběhu (10 V a 70 % periody). Napětí se vlní, ale pokud bychom časovou konstantu zvětšili, zvlnění by se zmenšilo, avšak ustálení na hodnotě integrálu by trvalo déle. Právě uvedený princip vytváření stejnosměrného napětí závislého na šířce impulsu uvnitř známé periody periodického průběhu napětí, je využit v číslicově analogových převodnících označovaných zkratkou PWM (Pulse Width Modulation). Chceme-li z PWM výstupu počítače dostat stejnosměrné napětí, musíme impulsy PWM generátoru integrovat, např. obvodem, kterým jsme se až dosud zabývali.

61 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI Derivační obvod RC V praxi se rovněž setkáme s obvodem, který je vytvořen ze stejných elementů jako právě popsaný obvod, ale uživatel pozoruje přechodné děje na svorkách rezistoru (obr. 5.8). Jde o obvod označovaný jako derivační článek RC, nebo horní propust. O výstižnosti tohoto označení platí totéž, co jsme uvedli na počátku této kapitoly o obvodu integračním. C R u 1 (t) u R (t) Obrázek 5.8: RC derivační obvod Protože tímto obvodem prochází proud popsaný vytahem (5.2), odvodíme, za podmínky že kapacitor je na počátku přechodného děje vybitý, časovou odezvu derivačního obvodu na skok napětí ve tvaru u R (t) = Ue t τ (5.7) Zřejmě nám pro posouzení časového průběhu výstupního napětí derivačního obvodu dobře poslouží obr Podívejme se však na odezvu derivačního obvodu na osamělý impuls a na periodicky se opakující impulsy. Podobně jako u integračního obvodu ukazuje obr. 5.9 pro derivační obvod výstupní napětí s dvěma různými časovými konstantami, a to při impulsním buzení impulsem o délce 1 µs, s rozkmitem V. V prvém grafu jde o obvod s časovou konstantou 0,1 µs, druhý graf odpovídá odezvě obvodu s časovou konstantou 1 µs. Odezva na impuls se skládá ze dvou exponenciálních průběhů, u nichž pro t = 0 i t = t i je vždy skok odezvy roven velikosti rozkmitu vstupního impulsu. Vyjdemeli z nulového napětí v čase t = 0 u 1 (0) = 0, potom bude klesající exponencíála vycházet z napětí skoku. V čase t i bude okamžitá hodnota u R (t i ) dána výrazem u R (t i ) = Ue t i τ (5.8) a s koncem impulsu se napětí na rezistoru skokem změní na a pro t t i bude pokračovat odezva podle vztahu u R (t i ) = Ue t i τ U (5.9).

62 % KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 58 12,0 8,0 4,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Obrázek 5.9: RC derivační obvod při buzení impulsem u R (t) = u R (t i )e t τ (5.10) I když to není z obrázku 5.9 jasně patrno je plocha vymezená časovým průběhem nad osou napětí a pod osou napětí stejná. Pokud se vstupní impuls svou sestupnou hranou vrátí k výchozí stejnosměrné úrovni, ke které je superponován, budou obě plochy stejné a výstupní napětí se ustálí na nule, a to i pro případ, že jsme použili impulsní průběh kladné polarity U = V, i pro případ skoků U = V, nebo U = V, apod. Tato vlastnost plyne z toho, že kapacitorem nemůže trvale procházet stejnosměrný proud proud náboj do kapacitoru ukládá, náboj musí být proudem opačného směru odveden, v ustáleném stavu je proud nulový. Obecně můžeme říci, že derivační obvod odděluje stejnosměrnou složku každého vstupního signálu tak, že výstupní signál stejnosměrnou složku nemá. To se ukáže i v případě buzení derivačního obvodu periodickými impulsy. Na obrázku 5.10 je naznačena situace analogická k příkladu buzení integračního obvodu periodickými impulsy. Nejprve je uveden příklad buzení obvodu impulsy s periodou 1 µs a střídou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tím, že časová konstanta obvodu je 0,1 µs. V druhém případě je časová konstanta obvodu 5 µs. V prvém případě lze přiznat obvodu roli obvodu derivačního, protože generuje jednotlivé impulsy, které svou polaritou a krátkostí trvání připomínají derivaci skoků (derivace ideálního skoku je nekonečně krátký impuls). Kdyby skoky nebyly strmé, rozkmit impulsů by se měnil tak, že méně strmým skokům ve vstupním napětí by odpovídaly nižší impulsy na výstupu obvodu, což odpovídá představě derivace.

63 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 59 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 Obrázek 5.10: RC derivační obvod s periodickými impulsy Pro velkou časovou konstantu je činnost obvodu derivačním účinkům vzdálena. Užitek obvodu spočívá v tom, že za těchto podmínek přenáší tvarově věrně vstupní impulsy s tím, že po odeznění přechodného děje má výstupní signál nulovou stejnosměrnou složku. Vidíme, že se posunul tak, že vrcholy impulsů sahají do úrovně 3 V a paty impulsů do úrovně -7 V, což nepochybně odpovídá skutečnosti, že plocha vymezená průběhem signálu nad vodorovnou osou je stejná jako pod ní. Takto by se posunul impulsní průběh s uvedeným poměrem impuls:mezera at by byl vstupní signál superponován na jakékoli napětí, nejen k nule, jak je uvedeno. 5.4 Obvody RL Derivační a integrační článek RL ukazuje obrázek 5.11 Pro integrační článek složený z induktoru a rezistoru buzený skokem napětí v čase t = 0 platí pro t 0 u 2 (t) = u 1 (1 e t L τ ) kde τ = (5.11) R Pro derivační článek složený z induktoru a rezistoru buzený skokem napětí v čase t = 0 platí pro t 0 u 2 (t) = u 1 e t τ. (5.12)

64 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 60 L R R L u 1 ( t) u 2 ( t) u 1 ( t) u 2 ( t) INTEGRAČNÍ OBVOD DERIVAČNÍ Obrázek 5.11: RL obvody Povšimněme si, že u integračního obvodu se v okamžiku skoku vstupního napětí nezmění napětí na rezistoru R (mění se teprve s přibývajícím časem). V prvém okamžiku se induktor chová jako setrvačný prvek udržující v obvodu nulový proud. 5.5 Rezonanční obvod v časové oblasti Na obrázku 5.12 je sériový rezonanční obvod, ve kterém budeme zkoumat časový průběh proudu, když připojený zdroj napětí vytvoří napět ový skok. Konkrétní výpočty založené na odvozených rovnicích budou vycházet z parametrů uvedených na obrázku. Napět ový skok je předpokládán s hodnotou U 0 = 10 V. Hodnota indukčnosti induktoru je zvolena tak, že rezonanční kmitočet LC obvodu je 100 Hz. i(t) R U 0 L 2,533 H C 1 µf. Obrázek 5.12: Sériový rezonanční obvod Ze druhého Kirchhoffova zákona odvodíme rovnici pro výpočet obvodového proudu. Z matematického popisu vlastností jednotlivývh prvků obvodu s nulovými počátečními podmínkami získáme integrodiferenciální rovnici: Ri + L di dt + 1 C t 0 i(τ)dτ = U 0 pro t > 0 a u C (0+) = 0. (5.13) Připomeňme rezonanční kmitočet a zaved me činitel tlumení

65 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 61 1 LC = ω2 r, α = R 2L = ω r 2Q, (5.14) Hodnota rezonančního kmitočtu již byla zmíněna (ω r = 2πf r 628 [rad/s]) a α bude záviset na hodnotě odporu rezistoru R. Pro rovnici 5.13 se skokem napětí na vstupu je známo řešení ve tvaru i(t) = U ( ) 0 e λ1t e λ 2t (5.15) L(λ 1 λ 2 ) kde λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 r (5.16) Zvláštní tvar bude mít časový průběh proudu pro případ, že ω r = α. Bude to exponenciální impuls popsaný rovnicí (5.17), zobrazený na obr i(t) = U 0 L t e αt (5.17) 25mA ms Obrázek 5.13: Mezní aperiodická odezva rezonančního obvodu R = 3183Ω Pokud λ 1,2 jsou dvě reálná čísla (α > ω r ), bude časový průběh U 0 e αt i(t) = 2L α 2 ωr 2 ( e t α 2 ωr 2 e t ) α 2 ωr 2 (5.18) Průběh odezvy pro reálné kořeny rovnice (5.16) je na obr Týl impulsu je v tomto případě vždy delší, než na obr V obvodu podle obr je dvojice reálných λ 1,2 pro hodnotu R = 3500 Ω λ 1 = a λ 2 = Pokud λ 1,2 jsou dvě komplexně sdružená čísla (α < ω r ), bude i(t) = U 0 e αt ( 2jL e jt ωr 2 α2 e jt ω 2 α2) r = ωr 2 α 2 U 0e α t ( L ωr 2 α sin t ) ω 2 2 r α 2 (5.19)

66 KAPITOLA 5. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI mA t=[0:0.0001:0.02]; 1 U=10; R=3500; C=1e-6; 0.5 L=2.533; alfa=r/(2*l) 0 omegar=1/sqrt(l*c) fr=omegar/(2*pi) 0 20ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) Obrázek 5.14: Aperiodická odezva rezonančního obvodu R = 3500Ω 6mA t=[0:0.0001:0.1 ]; 0 U=10; R=400; -1 C=1e-6; -2 L=2.533; -3 alfa=r/(2*l) omegar=1/sqrt(l*c) -4mA fr=omegar/(2*pi) 100ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) Obrázek 5.15: Periodická odezva rezonančního obvodu R = 400Ω Takto popsaný přechodný děj ukazuje obr Obvod je málo tlumen tím, že rezistor má nízkou ohmickou hodnotu a výměna energie mezi induktorem a kapacitorem vytváří kmity proudu obou polarit. V obvodu podle obr je dvojice komplexně sdružených λ 1,2 pro hodnotu R = 400 Ω λ 1,2 = ± j

67 Kapitola 6 Přenos impulsů, homogenní vedení Současná technika pracuje velmi často s impulsními signály. Proto jsme v předchozí kapitole k posouzení vlastností některých obvodů použili časových průběhů s ideálními skoky napětí nebo proudu. V prvé části této kapitoly uvedeme charakteristické parametry reálných impulsních signálů a vliv lineárních obvodů popsaných frekvennčními charakteristikami na jejich časový průběh. V druhé části se vrátíme k ideálním skokovým a impulsním signálům a na nich ukážeme specifika přenosu elektrickým vedením mezi částmi elektronických systémů. 6.1 Parametry impulsního signálu Na obrázku 6.1 je uveden minimální soubor charakteristik impulsního signálu, s kterým budeme dále pracovat. Pro určité oblasti aplikací je takový soubor možno rozšířit o údaje, které postihnou vlastnosti signálu pro dané použití. t r t f u vrchol impulsu (u i ) 90%u i 50%u i t d t i u i 10%u i pata čelo týl t Obrázek 6.1: Impulsní signál 63

68 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 64 Časový průběh impulsu napětí (příp. proudu) jsme zjednodušili na čtyři intervaly. Před impulsem a po jeho zániku odpovídá napětí hodnotě označované jako velikost paty impulsu. Impuls má po odeznění přechodného děje napětí odpovídající vrcholu impulsu u i.[4] Časový průběh vytvoření a ukončení impulsu je charakterizován takto: t r je doba trvání čela (náběhu) impulsu (rise time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 10% u i a 90% u i. t f je doba trvání týlu (poklesu) impulsu (fall time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 90% u i a 10% u i. t d je doba zpoždění čela impulsu (delay time) a může být vztažena k jakémukoli časovému okamžiku, obvykle před příchodem čela. Obecně může být vztažena i k okamžiku pozdějšímu, pak má záporné znaménko. Pokud se vztahuje k jinému impulsu, bývá měřena rovněž vůči okamžiku, kdy tento impuls prochází úrovní 50% u i. t i doba trvání impulsu u periodicky se opakujících impulsů se uvádí kmitočet nebo perioda opakování impulsu střída (duty cycle), tj., poměr doby trvání impulsu k době trvání paty, opět měřeno v úrovni 50% u i 6.2 Přenos impulsního signálu lineárním obvodem Jako příklad uvedeme vlastnosti impulsů, které dostaneme na výstupu integračního obvodu (viz obr. 5.4), pokud je buzen impulsy s dostatečně strmým čelem rovnice (5.4). ( ) ui 0 t d = τ ln = τ ln2 0, 7τ (6.1) u i 0, 5u i ( ) ui 0, 1u i t r = t f = τln = τ ln9 2, 2τ (6.2) u i 0, 9u i V praxi však nejčastěji pracujeme s impulsními signály, které postupují z jednoho bloku do druhého s tím, že jak na vstupu, tak na výstupu jsou deformovány a k jejich popisu máme právě jejich časové charakteristiky reprezentované uvedenými parametry. Pro přibližné hodnocení obvodů a systémové úvahy lze použít následující postup. Mějme lineární systém uvedený na obrázku 6.2. Je charakterizován horním mezním kmitočtem ω hs = 2 πf hs, tedy kmitočtem, na kterém jeho modulová

69 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 65 frekvenční charakteristika poklesne o 3 db, pokud na nízkých kmitočtech vykazuje v určitém pásmu kmitočtů konstantní hodnotu (což bývá většinou splněno). Tento kmitočet umíme vypočítat pro jednoduchý RC obvod. Systémy však bývají složitější a potom je údaj o mezním kmitočtu nebo šířce přenášeného kmitočtového pásma informací, kterou poskytuje jeho výrobce. V praxi však může být charakterizován přímo časem t rs, tj. trváním čela impulsu, který se na jeho výstupu objeví, pokud je na jeho vstup zaveden impuls s dostatečně strmým čelem. Obrázek 6.2: Impulsní signál v lineárním obvodu Pro toto uspořádání jsou uváděny následující empirické přibližné vztahy [4]: Prvý vztah se týká průchodu ideálního skoku několikastupňovým obvodem charakterizovaným horním mezním kmitočtem (kmitočtem s poklesem amplitudové charakteristiky na přechodu mezi středním a horním pásmem kmitočtů) o -3dB. t rs 0, 35 f hs (6.3) Pro podobně specifikovaný lineární obvod (zesilovač) podle obr. 6.2 ukazuje rovnice (6.4) jakou hodnotu bude mít čas trvání čela výstupního impulsu, je-li známo trvání čela vstupního impulsu a trvání čela podle (6.3) t ro t 2 ri + t2 rs (6.4) Prvý vztah říká, že pokud zavedeme na vstup systému ideální skok napětí, bude na jeho výstupu impuls znehodnocen tak, že jeho čelo bude trvat dobu t rs. Pokud máme zesilovač, který má horní mezní kmitočet 1 MHz nemůžeme na jeho výstupu nikdy očekávat impulsy s kratším čelem než 350 ns. Nebo, pokud chceme zesílit impulsy např. z fotodiody optického spoje tak, že budou přímo odpovídat strmostí čela požadavku logického obvodu, např. t r 10 ns, pak musí mít zesilovač šířku pásma alespoň 35 MHz. To by však musela dioda produkovat čela impulsů výrazně strmější než 10 ns. Pokud bude fotodioda sama produkovat impulsy s čelem např. 10 ns, pak podle (6.4) bude mít tentýž zesilovač na výstupu impulsy s čelem t ro ( ) 14 ns. Impulsy v obvodech s logickými členy V obvodech s logickými členy je situace složitější, než jsme zatím předpokládali. Logické členy jsou obvody se spínači a dalšími nelineárními obvodovými elementy. V předchozím textu jsme nikde neuvedli žádný údaj o frekvenční charakteristice, která by popisovala logický člen, protože výpočet ve frekvenční oblasti vyžaduje

70 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 66 analýzu lineárního obvodu za podmínek harmonického ustáleného stavu. V takových podmínkách logické členy nikdy nepracují (nejsou ani lineární ani nepracují se sinusovým signálem). Výše uvedené úvahy se vztahují k obvodům, v jejichž modelech většinou rozhoduje o strmosti impulsních průběhů napětí proces nabíjení kapacitorů a strmost změn proudu určuje působení induktorů, tedy v obvodech, které lze v harmonickém ustáleném stavu analyzovat. Pro logické členy nalezneme časový údaj o zpoždění odezvy. V katalozích také nalezneme údaj o strmosti hran impulsů generovaných na výstupu logického členu. Tento údaj je možno využít ve vztahu (6.4), a to kdykoli se počítá se vstupem takového impulsu do lineární soustavy, tedy i v situaci, kdy impuls vedeme na vstupy dalších obvodů. Jedinou podmínkou je, že lze výstupní obvod logického členu reprezentovat napět ovým zdrojem s lineárním výstupním odporem a vstup následujících obvodů rovněž modelovat lineárními obvodovými prvky. Umíme si tak vysvětlit, proč se strmost čela a týlu impulsu na výstupu logického členu výrazně mění, když k jeho výstupní svorce připojujeme kondenzátory s různou kapacitou. 6.3 Homogenní vedení Zvláště v počítačích a komunikaci s nimi vystupují spojovací vedení, která přenášejí impulsy s vysokým kmitočtem. U nich začne hrát roli rychlost, s jakou je vedení mezi částmi systému přenáší. Pro kabely i paralelně vedené spoje na desce plošných spojů jsou uváděny typické hodnoty kapacity ve faradech na metr. Vodič má však charakter nejen kapacitní, ale vykazuje na jednotku délky také indukčnost (H/m), odpor (Ω/m) a ztrátovou vodivost mezi vodiči (S/m). Každý úsek vedení pak lze modelovat obvodovými prvky podle obrázku 6.3. [8] Nahoře je model vedení se ztrátami jak na sériovém odporu vedení R, tak na nedokonalé izolaci mezi vodiči G. Dole je náhradní obvod úseku vedení, ve kterém jsou zanedbány ztráty a který se obvykle používá při simulaci logických systémů. Uvedený model vystihuje jakkoli dlouhý spoj. V obvodech zpracovávajících velmi vysoké kmitočty, nebo velmi strmé časové průběhy však musíme respektovat skutečnost, že kapacita není soustředěna uprostřed vedení, ale je rozložena rovnoměrně podél celého spoje. Vedení tedy rozdělíme na řadu na sebe navazujících krátkých úseků podle obrázku 6.4. Nezbytnost takového modelování ukazuje jednak experimentální zkušenost, jednak i výsledek simulace. Následující obr. 6.5 ukazuje simulaci přenosu impulsu vedením o délce 50 cm, které má kapacitu 100 pf/m a indukčnost 250 nh/m. Na prvém obrázku je zobrazen výstupní signál pro model složený ze soustředěných parametrů (tedy podle obr. 6.3 nahoře s parametry 50 pf a L/2 = 62, 5 nh), na druhém obrázku je tentýž signál přenesen modelem s parametry rozloženými do pěti sekcí po deseti centimetrech (C = 5 pf a L/2 = 12, 5 nh, L = 25 nh)) a na třetím obrázku je simulace přenosu vedením, jehož model vychází z teoretického odvození modelu pro nekonečné množství nekonečně krátkých sekcí.

71 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 67 vedení se ztrátami R/2 L/2 L/2 R/2 C G bezeztrátové vedení L/2 L/2 C Obrázek 6.3: Model úseku vedení L/2 L L L L L L/2 C C C C C C Obrázek 6.4: Model bezeztrátového vedení s rozloženými parametry Z uvedeného popisu vlastností vedení plyne významný poznatek. Vedení, ač je charakterizováno kapacitou na jednotku délky, se nechová jako kapacitní zátěž obvodu. Přítomnost rozložené indukčnosti vytváří strukturu, která vnáší do přenosu zpoždění. Vedení, které je složeno jen z rozložené indukčnosti a kapacity je bezeztrátové, neztrácí se v něm činný výkon a pro stejnosměrné, nebo pomalu se měnící signály se chová jako dokonalý vodič. Vedení může být i velmi dlouhé a rychlé změny napětí na vstupu nemohou být ovlivněny obvody na výstupu vedení (není tam do té dálky vidět), takže na zdroj signálu působí jen vstup vedení. Z teorie vedení plyne, že se bezeztrátové vedení pro vstupující signál chová jako reálný odpor, tzv. charakteristická impedance Z 0. Na svém výstupu se vedení chová rovněž jako zdroj s vnitřním odporem odpovídajícím charakteristické impedanci. Signál však dospěje na výstup se zpožděním t d. Část napětí, které se na výstupu vedení vytvoří se může vracet zpět jako tzv. odražená vlna a po příslušném zpoždění se projeví na vstupních svorkách. Vstup se tedy něco dozví o poměrech na výstupu vedení až po uplynutí dvojnásobné doby t d. Na konci vedení se superponuje odražená vlna k příchozí napět ové úrovni a šíří se

72 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 68 Obrázek 6.5: Simulace vedení s rozloženými parametry zpět ke zdroji, kde se opět může odrazit. Na celém vedení se vytvoří podmínky odpovídající ustálenému stavu (stavu, který by tam byl, kdybychom vedení nahradili zkratem) až po odeznění všech odrazů na koncích vedení. Dlouhé vedení se chová na obou koncích jako obvod s impedancí danou Z 0. Jde však o obvod, kterým se šíří vlna, která postupně energii ukládá do bezeztrátových prvků L a C a na konci vedení ji odevzdává do zátěže. Pro charakteristickou impedanci platí L Z 0 = C, (6.5) kde L je indukčnost a C je kapacita vedení na jednotku délky. Zpoždění na jednotku délky je dáno vztahem t d = L C. (6.6) Následující tabulka ukazuje hodnoty parametrů charakterizujících některé typy vedení. Uspořádání obvodu, ve kterém se uplatňuje vliv dlouhého vedení, lze znázornit obrázkem 6.6.

73 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 69 vodič ve vzduchu kroucená dvoulinka plochý kabel koax. kabel L [nh/m] C [pf/m] Z 0 [Ω] t d [ns/m] , R 0 Z 0 t d u 0 u A u B R z Obrázek 6.6: Obvod s vedením Naznačený úsek vedení má charakteristickou impedanci Z 0 a zpoždění t d. Tyto hodnoty můžeme vypočítat ze známých parametrů vedení indukčnosti a kapacity na jednotku délky a z délky vedení. Většinou však jsou v praxi dány (z katalogu) spíše údaje o Z 0 a t d. Na vstup vedení je připojen impulsní signál ze zdroje s vnitřním odporem R 0. Signál je veden z tohoto zdroje do zátěže R s. I když je charakteristická impedance reálná, má hodnotu odporu v ohmech, jeví se nám v prvém okamžiku jako rezistor a vytvoří s vnitřním odporem zdroje reálný dělič napětí, je vedení nutno považovat za setrvačný element, jehož chování je určováno induktivním a kapacitním charakterem jeho náhradního obvodu. Funkci takového uspořádání lze chápat i tak, že se vedení nejprve nabíjí na přiložené napětí a pak svůj náboj odevzdává do zátěže. Celý proces je však provázen daným poměrem napětí a proudu (určuje ho charakteristická impedance spolu s vnitřním odporem zdroje signálu), které na vstupu vedení panují. Na zatěžovacím rezistoru zdaleka nemusí procházející proud vytvořit napětí, na které je kapacita vedení nabita. To vede k tomu, že na konci vedení můžeme pozorovat odraz přicházející vlny. Bud přicházející proud vytvoří vyšší napětí, než které jsme do vedení vyslali a tento rozdíl se projeví jako signál na výstupu vedení odeslaný zpět na vstup, nebo je přicházející napětí nižší než je napětí, které na zátěži vytvoří přicházející proud a takto vzniklý rozdíl se opět šíří po vedení zpět k jeho začátku. Pro popis chování takového obvodu můžeme zavést dva koeficienty odrazu ρ A = R 0 Z 0 R 0 + Z 0 a ρ B = R z Z 0 R z + Z 0. (6.7) Je-li na vstup v čase t = 0 zaveden impuls o velikosti U = u 0 (0) platí následující

74 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 70 vztahy Potom Z 0 u A (0) = U, u B (0) = 0. (6.8) Z 0 + R 0 u B (t d ) = u A (0)(1 + ρ B ) u A (2t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A ) u B (3t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B ) u A (4t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B + ρ B ρ A ρ B ρ A ) R z u B ( ) = u A ( ) = U. (6.9) R z + R 0 Názorně to ukazuje obrázek 6.7 pro případ, že Z 0 = 50 Ω, R 0 = 30 Ω a R z = 70 Ω. Je tedy ρ A = 0, 25 a ρ B = 0, Obrázek 6.7: Odrazy na vedení V uvedeném grafu nabývá napětí u A postupně hodnot 6,25 V, 7,03 V a 7 V, zatímco napětí u B hodnot 0 V, 7,29 V, 6,99 V, 7 V. Lze ukázat, že při vhodné volbě hodnot rezistorů R 0 a R z nedojde k žádnému odrazu, nebo odraz nenaruší tvar výstupního signálu. Jsou to případy, kdy je vedení impedančně přizpůsobeno, a to bud na začátku, nebo na konci. Impedančního přizpůsobení dosáhneme, pokud bude ρ B = 0, tedy tehdy, kdy R z = Z 0. Vedení je na svém konci impedančně přizpůsobeno a napětí se na výstupu ustálí okamžitě po uplynutí doby t d. Na vstupu je napětí odpovídající ustálenému stavu okamžitě s příchodem vrcholu vstupního impulsu a již se nezmění.

75 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 71 ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z. Vedení je impedančně přizpůsobeno ke zdroji signálu a na výstupu je naprázdno (častý případ spojení obvodů CMOS, kdy výstupní vnitřní odpor logického členu má hodnotu blízkou charakteristické impedanci a výstup vedení je zapojen na vstup izolovaných hradel). V tomto případě se na vstupu vedení vytvoří nejprve napětí poloviční než má zdroj impulsu, takový impuls se šíří vedením, na jehož konci se při odrazu zdvojnásobí na hodnotu shodnou s napětím zdroje, a když odražená vlna dorazí zpět na vstup, ustálí se vstupní napětí na vrcholu vstupního impulsu. (Nelze tedy na výstup logického členu připojit současně se vstupem vedení vstupy dalších logických členů, protože by po dobu 2t d měly na vstupu nedovolenou napět ovou úroveň). ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z = 0. Vedení je přizpůsobeno na vstupu a na konci je zkrat. Na vstupu vedení se vytvoří napětí poloviční než je napětí zdroje U. Vlna s touto výškou se šíří ke konci vedení a odrazí se s opačnou polaritou (na zkratu je nulové napětí) a za dobu 2t d se na vstupu vedení vytvoří ustálené nulové napětí. Takto lze generovat na vstupu vedení krátké, poměrně přesně časově definované impulsy. Dosavadní výklad by mohl vést k úvaze, že jsou všechny zdroje signálu trvale zatíženy charakteristickými impedancemi připojených vodičů. To však platí jen v době, kdy se ze zdroje šíří dopředná vlna a na vstupních svorkách nepůsobí odražené vlny. Pokud se napětí na vedeních mění tak pomalu, že se zpětná vlna vrátí dříve, než se vstupní signál výrazně změní, pak lze vstup vedení považovat za obvod se soustředěnými parametry a počítat s ním jako s vodičem o nulovém odporu, který nechá na výstup zdroje působit přímo připojený vstup navazujícího obvodu. Pro posouzení nutnosti řešit spoj s ohledem na odrazy a související defekty v napět ových úrovních platí empirický vztah [8] t r 2 t d l, (6.10) který říká, že vedení o délce l ovlivní významně přenos impulsů, pokud impulsy mají trvání čela kratší, než je dvojnásobek doby zpoždění. Např. pro kroucený pár se zpožděním t d = 10 ns/m a impulsy s časem t r = 2 ns, začne být vliv odrazů významný již od délky spoje 10 cm. Grafická konstrukce odrazů Na obr. 6.8 je grafická konstrukce, která představuje určitou analogii k obr Je tam vyznačeno, jak bude rozděleno napětí u 0 mezi vnitřní odpor zdroje signálu R 0 a zatěžovací odpor R z. Potud jde o shodu s uvedeným obrázkem. Na obrázku je však zakreslena situace, kdy se vytvoření výsledného rozdělení napětí na děliči R 0 R z odehraje jako postupné ustálení obvodu s odrazy čela impulsu na vedení s charakteristickou impedancí Z 0. [8] Grafická konstrukce ukazuje, jak se v prvém okamžiku rozdělí napětí mezi vnitřní odpor zdroje a charakteristickou impedanci. Tak je vytvořena vlna napětí

76 KAPITOLA 6. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 72 R 0 i u z Rz Z0 u u 0 Obrázek 6.8: Odrazy na vedení - grafická konstrukce a proudu, která na výstupu vedení narazí na zatěžovací rezistor R z a vygeneruje odraženou vlnu, která se po návratu na vstup setká s generátorem impulsu a jeho vnitřním odporem R 0. Postupnými odrazy vlny se nakonec obvod dosatne do podmínek odpovídajících stejnosměrnému řešení. Na obrázku čáry s kladným sklonem (Z 0 ) odpovídají řešení vstupního obvodu s R 0 a Z 0. Opačný sklon mají čáry, které na průsečíku s R z určují postupně se tvořící výstupní napětí. Na vodorovné ose lze odečíst v bodech odpovídajících lichým čarám (zprava doleva) vývoj napětí na vstupu vedení a v bodech odpovídajících sudýmčarám vývoj napětí na výstupu vedení, a to vždy s odpovídajícím násobkem t d na časové ose. Uvedený diagram s poněkud jinak zvolenou orientací os je znám z literatury jako tzv. Bergeronův diagram a podobně jako umožňuje obr. 3.3 odvozovat stejnosměrná řešení v nelineárních obvodech, umožňuje Bergeronův diagram v nelineárních obvodech graficky znázorňovat časové průběhy odrazů na vstupních i zatěžovacích obvodech dlouhého vedení. V předchozím textu jsme jednoznačně poukázali na to, že je třeba každé dlouhé vedení ošetřit tak, aby na něm nevznikaly odrazy. Superpozice užitečných signálů s jejich nežádoucími odrazy mohou způsobit úplné ochromení elektronických obvodů určených pro příjem a dekódování dat. Proto jsou všechny datové sítě i poměrně krátké spoje uvnitř počítačů vždy vytvořeny tak, aby bylo vyhověno požadavkům na bezodrazové vzájemné spojení.

77 Kapitola 7 Magnetické účinky proudu Magnetických jevů jsme se dotkli v úvodních kapitolách, když jsme hledali vztahy mezi obvodovými veličinami na svorkách induktoru. Tam jsme definovali magnetický indukční tok Φ. Nyní stručně shrneme další poznatky o magnetismu a o vztazích mezi elektrickým proudem, magnetickou indukcí a jevy v magnetickém poli. [7] 7.1 Fyzika elektromagnetických jevů Vektor magnetické indukce B charakterizuje silové působení magnetu na vodič protékaný proudem: F B = m (7.1) I l sin α kde F m je síla působící na vodič o délce l, kterým teče proud I a který svírá se siločarami homogenního pole úhel α. B má jednotku tesla [T] (1T=1N/A.m) Intenzita magnetického pole H [A/m] určuje magnetické účinky proudu. Intenzitu 1A/m má magnetické pole v ose kruhového závitu o poloměru 1 m, pokud jím protéká proud 1 A. Pro magnetickou indukci, kterou pole H vytvoří, platí kde µ je permeabilita prostředí. Ve vzduchu je magnetická indukce určena konstantou B = µ H (7.2) µ 0 = 1, H/m (7.3) Každý materiál v magnetickém poli vykazuje permeabilitu označovanou µ (s tímtéž rozměrem [H/m]). 73

78 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 74 B Nasycení +B r H c +H c H B r Nasycení. Obrázek 7.1: Hysterezní křivka Relativní permeabilita µ r = µ/µ 0, bezrozměrná veličina určující poměr mezi permeabilitou daného materiálu a permeabilitou vzduchu. Materiály, s kterými se setkáváme v elektrotechnice, můžeme rozdělit takto: diamagnetické látky relativní permeabilita µ r < 1, např. měd, křemík, zlato, zinek, mosaz, grafit, paramagnetické látky relativní permeabilita µ r > 1, např. platina, alkalické kovy, feromagnetika nad Curieovým bodem feromagnetické látky relativní permeabilita µ r kobalt, 1, např. železo, nikl, ferimagnetické látky chovají se jako feromagnetika, jedná se o všechny druhy feritů. Feromagnetické látky vykazují pokles relativní permeability s teplotou a nad Curieovou teplotou T C přechází feromagnetikum do paramagnetického stavu. Pro železo je T C = 768 C, pro nikl je T C = 360 C. Feromagnetické látky jsou charakterizovány magnetizační křivkou, která má tvar hysterezní smyčky. Podle tvaru hysterezní křivky se rozdělují magnetické materiály na magneticky měkké a magneticky tvrdé. Magnetický indukční tok je skalární veličina Φ = BS (7.4) kde S je plocha kolmá k siločarám a Φ indukční tok v jednotkách weber [Wb] (1Wb=T m 2 ) Vztah mezi magnetickým indukčním tokem, proudem a napětím jsme popsali v kapitole o ideálním induktoru.

79 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 75 pravoúhlý B tvrdý H měkký Obrázek 7.2: Speciální tvary hysterezních křivek 7.2 Materiály magneticky měkké Materiály magneticky měkké jsou nejčastěji používány v transformátorech a elektrických motorech. Je to proto, že principem jejich činnosti je působení feromagnetika při měnícím se magnetickém indukčním toku. Při změnách indukčního toku je se střídavou polaritou měněna veličina H na hysterezní křivce a tomu odpovídá pohyb bodu ukazujícího odpovídající B, tedy i Φ. Lze ukázat, že energetické ztráty při přemagnetování feromagnetika jsou úměrné ploše obepnuté hysterzní smyčkou. Proto je v zařízeních využívajících magnetických účinků střídavého proudu používán materiál s co nejužší magnetizační smyčkou materiálů magneticky měkkých. Napětí na svorkách induktoru (cívky) vznikne, pokud v něm budeme měnit magnetický tok pohybujícím se magnetem to je případ dynama a alternátoru. Napětí na svorkách induktoru (cívky) vznikne, pokud magnetický tok v cívce bude měnit magnetický tok jiné cívky, kterou prochází proměnlivý (střídavý) proud to je případ transformátoru, resp. vázaných induktorů. Zopakujme, že při daném proudu vodičem jsou, jak magnetický tok, tak magnetická indukce, závislé na prostředí, ve kterém je elektrický vodič s daným proudem umístěn. Bude na něm tedy závislá indukčnost cívky i přímého vodiče. Vztah mezi magnetickým tokem a proudem popisuje pro induktor rovnice Φ = L.i, i = Φ L, L = Φ i, (7.5) u = Φ/ t, nebo u(t) = dφ(t). (7.6) dt Jestliže je magnetický tok určen procházejícím proudem, pak lze ze změn proudu určit napětí na svorkách induktoru u(t) = L di(t) dt. (7.7) Napětí na svorkách induktoru (cívky) vznikne, pokud v něm budeme měnit magnetický tok pohybujícím se magnetem to je případ dynama a alternátoru.

80 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 76 Napětí na svorkách induktoru (cívky) také vznikne, pokud magnetický tok v cívce bude měnit magnetický tok jiné cívky, kterou prochází proměnlivý (střídavý) proud to je případ transformátoru, resp. vázaných induktorů Konstrukce transformátoru Transformátor je vyroben tak, že elektrický proud vytváří v navinuté cívce (primární) magnetický tok, který, prochází-li jinou cívkou (sekundární), indukuje na jejích svorkách elektrické napětí. Již víme, že magnetický tok musí být časově proměnný, má-li v sekundární cívce napětí vyvolat. Proto i primární proud musí být proměnný, a jen jeho změny mohou vyvolávat potřebné změny indukčního toku. Transformátor tedy může transformovat z primární do sekundární cívky jen střídavé napětí, případně impulsní napětí s dostatečně vysokou rychlostí změn napět ových úrovní. Vlastnosti transformátoru lze v tomto ohledu přirovnat k vlastnostem derivačního obvodu, který rovněž nepřenáší stejnosměrné napětí ani proud. Transformátor tedy bude v konkrétním zapojení obvodu možno charakterizovat dolním mezním kmitočtem. Každý transformátor bude nepochybně vykazovat i omezenou šířku pásma v oblasti vysokých kmitočtů. Základní vztah, který popisuje vlastnosti transformátoru, vychází ze vztahu mezi indukčním tokem a indukovaným napětím (u je úměrné dφ/dt). Je-li transformátor uspořádán tak, že oběma cívkami prochází společný magnetický tok, můžeme předpokládat, že každý závit primární cívky vytvoří svůj příspěvek k celkovému toku. Celkový tok tak bude N 1 -násobkem toku vytvořeného jedním závitem primární cívky. Tentýž tok bude indukovat v sekundární cívce o N 2 závitech N 2 - násobek napětí, které připadlo na jeden závit cívky primární. Takže platí u 2 = N 2 N 2 u 2 = u 1 (7.8) u 1 N 1 N 1 Při konstrukci obvodu s transformátorem je důležité nejen zajištění transformačního poměru N 2 /N 1, ale v obvodu vždy hraje velmi významnou roli i indukčnost primáru a sekundáru a energetické ztráty dané ohmickým odporem vinutí obou cívek a ztrátami, které přináší potřeba přemagnetovávat magnetické jádro, na kterém jsou cívky navinuty. Zůstaňme u modelu transformátoru bez energetických ztrát. I tak zjistíme, že transformační poměr není přesně určen poměrem závitů primární a sekundární cívky. Je to proto, že nikdy nemůže reálná konstrukce zajistit dokonalý průchod všech siločar vytvořených primárem plochou obepnutou sekundární cívkou. Může pak být užitečné zadávat transformační poměr údajem o indukčnosti L 1 primární a indukčnosti L 2 sekundární cívky a činitelem vazby K. Ten si můžeme představit jako zlomek z indukčního toku vytvořeného primárem, který projde všemi závity sekundáru. Pro indukčnost cívky o N závitech, která má plochu závitu S a délku vedle sebe nakladených závitů l platí přibližný vztah L µ N 2 S. (7.9) l

81 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 77 Ze vztahu vyplývá, že indukčnost cívky je úměrná kvadrátu počtu závitů, takže lze z měření na transformátoru usoudit na jeho přenos s využitím vztahu u 2 K u 1 L2 L 1 (7.10) i 1 i 2 N 1 N 2 u 1 Φ r1 Φ r2 u 2 L 1 L 2 Φ 1,2. Obrázek 7.3: Uspořádání transformátoru Na obrázku 7.3 je uspořádání transformátoru s parametry respektujícími realitu, stále ještě beze ztrát: N 1, N 2 počet závitů primární a sekundární cívky L 1, L 2 indukčnost primární a sekundární cívky Φ r1 a Φ r2 jsou rozptylové magnetické toky, které jdou mimo vázanou cívku Φ 1,2 je magnetický tok procházející oběma cívkami, bez ohledu na to, která jej vytváří Ideální transformátor (bez rozptylových toků a odporů vinutí) shrnutí: dφ 1,2 dφ 1,2 u 2 = N 2, u 1 = N 1 dt dt (7.11) n = u 1 u 2 = N 1 N 2 (7.12) Ideální transformátor nerozptyluje výkon, je bezeztrátovým elementem, takže u 1 i 1 = u 2 i 2 u 1 = i 2 = N 1 L1 = = n (7.13) u 2 i 1 N 2 L 2 Transformace odporu ze sekundárního vinutí na primár R z = u 2 /i 2 (7.14) R z = u 1 i 1 = nu 2 i 2 /n = n2 u 2 i 2 = n 2 R z (7.15) Model bezeztrátového transformátoru s rozptylovými toky ukazuje primární i sekundární cívku jako induktor složený ze dvou částí. Indukčnost primární, resp.

82 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 78 sekundární cívky má tedy dvě složky: hlavní indukčnost L h1, resp. L h2, vytvořenou magnetickým tokem procházejícím oběma cívkami a rozptylovou indukčnost L r1, resp. L r2 s tokem, který jde mimo protější cívku. Rozptylová a hlavní indukčnost tvoří vázané induktory. Činitel vazby k 1, resp. k 2 udává poměr napětí na hlavní a rozptylové indukčnosti. Lh1 L r1 + L h1 = L 1 k 1 = L h1 = k L 1L 2 1 (7.16) 1 Převod reálného transformátoru potom je L r1 = (1 k 2 1) L 1 (7.17) n = k 1 L1 L 2 k 1 N 1 N 2 (7.18) Pro dvoubránový popis je definována vzájemná indukčnost M M = k 1 k 2 L1 L 2 a kdy k 1 k 2 = k, pak M = k L 1 L 2 (7.19) M L r1 L r2 u 1 L 1 L 2 u 2 u 1 k1 2L 1 k2 2L u 2 2 Obrázek 7.4: Model bezeztrátového transformátoru Základní dvoubránové vztahy pro vázané induktory V časové oblasti di 1 u 1 (t) = L 1 dt ± M di 2 dt u 2 (t) = ±M di 1 dt + L di 2 2 dt Ve frekvenční oblasti (7.20) (7.21) Û 1 = jωl 1 Î 1 ± jωmî 2 (7.22) Û 2 = ±jωmî 1 + jωl 2 Î 2 (7.23) Znaménko ± je v rovnicích velmi významné. Použití plus nebo minus závisí na vzájemném vztahu mezi začátky a konci obou vinutí. Transformátor představuje významnou součástku, zabezpečující galvanické oddělení primárního a sekundárního obvodu. V praxi to znamená, že primární cívka může být součástí obvodu s jedním uzemněním a skundární cívka může pracovat

83 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 79 do obvodu, jehož uzemnění je zcela nezávislé na uzemnění v obvodu primárního. Vzniká tím příležitost oddělit přístroj od uzemnění a fázového napětí sít ového přívodu, ochránit uživatele od nebezpečí galvanického kontaktu s elektrovodnou sítí. Závěrem uvedeme bez dlouhého odvozování často používaný model respektující i činné energetické ztráty vyvolané ztrátami v jádře transformátoru (feromagnetiku) a v odporech vinutí obou cívek. R h1 je odpor, který reprezentuje ztráty v jádře transformátoru, r L1 a n 2 r L2 jsou odpory vinutí primáru a sekundáru r L r1 n 2 L L1 r2 n 2 r L2 n : 1 L u h1 R h n 2 R z u 1 2 Obrázek 7.5: Úplný fyzikální model transformátoru Obvodové vlastnosti transformátoru Povšimneme si jak frevenční charakteristiky, tak přenosu impulsního signálu. Obrázek 7.6: Frekvenční charakteristika transformátoru

84 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 80 Obrázek 7.7: Přenos impulsu transformátorem Frekvenční charakteristiku reálného transformátoru ukazuje obr Z údajů uvedených na obrázku můžeme odvodit, že N 2 /N 1 L 2 /L 1 = 10 u 2 /u 1 = A u, čemuž odpovídá v grafu zobrazený přenos ve středním pásmu kmitočtů A u = 20 db. Pokud bychom v obvodu měnili některé parametry transformátoru, platilo by, že s klesajícím K by klesal horní mezní kmitočet a s klesajícími hodnotami indukčností L 1 a L 2 (při zachování jejich poměru) by se směrem k vyšším kmitočtům posouval dolní mezní kmitočet. Uvážíme-li, že indukčnost obou cívek transformátoru závisí na počtu závitů, dostaneme vysvětlení, proč jsou transformátory na proud o kmitočtu 50 Hz výrazně objemnější a těžší, než transformátory používané např. v napájecích zdrojích počítačů, kde elektronické obvody zpracovávají proud s kmitočtem 100 khz. Při přenosu impulsního signálu se projeví skutečnost, že frekvenční charakteristika klesá směrem k nízkým kmitočtům (derivační obvod) i směrem k vysokým kmitočtům (integrační obvod). Tomu odpovídá i zkreslení pravoúhlého impulsu, jak ho ukazuje obr Materiály magneticky tvrdé Permanentní magnety Materiály magneticky tvrdé jsou charakteristické tím, že vykazují využitelnou magnetickou remanenci. Nejvýznamnější využití magneticky tvrdých materiálů je v oblasti výroby permanentních magnetů, které používáme na magnetických tabulích, ve spínačích s jazýčkovými kontakty, v bezkolektorových motorech, atd. Feritové magnety jsou nejlevnější běžné permanentní magnety a jsou typickým představitelem feromagnetických materiálů. Základ feritu tvoří ve většině případů směs oxidů železa s uhličitanem barnatým nebo strontnatým, s použitím výrobní

85 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 81 technologie práškové metalurgie. Remanence může být B r = 0, 2 0, 5 T. Koercitivita H c = 0, 1 0, 7 A/m Magnetický záznam Magneticky tvrdé vrstvy nanesené na různé pohyblivé nosiče slouží k záznamu analogových signálů i digitálních dat.[6], [1] V analogové technice jsou používány magnetofonové pásky pro záznam akustických i obrazových signálů. Magnetické médium musí umožnit reprezentovat spojitě se měnící okamžitou hodnotu zaznamenávaného signálu. Záznam je založen na schopnosti uchovat, v různých místech magneticky tvrdé vrstvy na povrchu pásky, různou úroveň magnetické remanence. Zmagnetování na potřebnou úroveň remanence zabezpečí záznamová hlava. Ta je zkonstruována tak, že magnetický obvod z magneticky měkkého materiálu tvoří ve vzduchové mezeře magnetický tok schopný zmagnetovat magneticky tvrdý materiál na povrchu pohybujícího se záznamového média. Při čtení zaznamenané informace podobná (čtecí) hlava ve vzduchové mezeře svého magnetického obvodu zachycuje okamžité změny magnetického toku na povrchu nosiče a magnetickou indukcí vytváří v navinuté cívce spojité napětí. Pro záznam binárních dat je možno použít pro povrch média materiál, u kterého se nevyžaduje spojitá reprezentace úrovně zaznamenávaného signálu. Naproti tomu se vyžaduje schopnost materiálu na malých vzdálenostech zaznamenat co nejvíce změn v orientaci remanentní indukce. Princip záznamu ukazuje obrázek 7.8. Z C Obrázek 7.8: Princip magnetického zázanamu dat na pohybující se médium Obrázek ukazuje schématicky uspořádání záznamu a čtení binárních dat, u- ložených ve stopě na povrchu pohybujícího se záznamového média. Takovým médiem může v současné době být magnetická páska, pružný disk, nebo pevný disk (harddisk). Magnetický obvod s budicí cívkou je vyroben z kvalitního magneticky měkkého materiálu. Do cívky je zaváděn impulsní signál s měnící se polaritou.

86 KAPITOLA 7. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 82 Tím je v okolí vzduchové mezery vytvářeno magnetické pole, které zmagnetovává povrch (orientuje magnetické domény) magnetického nosiče. Vznikají tak ostrovy s dvojí orientací remanence tak, jak je vyznačeno šipkami v obrázku. Pohybující se nosič záznamu je sledován čtecí hlavou. Ta může být vyrobena stejně jako hlava záznamová. Pohybující se nosič vytváří magnetickou indukcí indukční tok v magnetickém obvodu a ve čtecí cívce vznikají proudové impulsy. Impulsy uvedené na obrázku dole se objevují v okamžicích, kdy se mění orientace magnetické vrstvy záznamového média běžícího pod čtecí hlavou. V současné době bývá čtecí hlava vytvořena ze speciálního materiálu, který se chová jako magnetorezistor, tedy rezistor, jehož odpor se mění v závislosti na působícím magnetickém poli. Taková hlava by vytvářela impulsní průběh podobný průběhu záznamového proudu. Většinou je však velmi malý signál z magnetorezistoru zesilován zesilovačem, který se k signálu zachová jako derivační obvod, takže i v případě použití magnetorezistoru musíme počítat s výstupním signálem nakresleným na obrázku 7.8 dole.

87 Kapitola 8 Přenos elektromagnetickou vlnou 8.1 Elektromagnetické vlny Princip vyslání elektromagnetické vlny z elektronického systému vysílače, do vnějšího prostoru popíšeme velmi zjednodušeně. Vrátíme se k dlouhému vedení a připomeneme, že vedení je soustavou s rozloženou kapacitou a indukčností podél vodičů. Připomeneme, že jsme hovořili o šíření vlny podél vedení a o odrazech na koncích vedení. Pokud se na začátku vedení připojí zdroj signálu, který generuje sinusový signál a ve správných okamžicích podporuje rozkmit odražených vln, pak na vedení vznikne tzv. stojaté vlnění. Když vodiče takového vedení vzájemně vzdálíme, vytvoříme vysílací anténu a postupující vlna vyzáří energii do prostoru. Z uvedeného plyne, že rozměr takové antény bude muset respektovat kmitočet vyzařované vlny, protože při dané rychlosti šíření vlny bude fáze odražené vlny záviset na kmitočtu a délce vedení. [10] stojatá vlna napětí. dipól λ/2 vedení s otevřeným koncem λ/4 stojatá vlna proudu Obrázek 8.1: Dipól Na obrázku 8.2 je jedna z možností, jak vyslat elektromagnetickou vlnu do prostoru. Bude-li v místě kam se vlna prostorem dostane umístěn dipól, nebo jiné 83

88 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 84 uspořádání schopné vlnu zachytit, získáme elektrický signál, který po zesílení bude mít vlastnosti signálu, kterým byla vysílací anténa buzena. Rychlost šíření elektromagnetických vln v prostoru závisí na prostředí. Ve vakuu (a přibližně i ve vzduchu) lze počítat s rychlostí v = m/s. Délka vlny λ je dána nejkratší vzdáleností (ve směru šíření vlny) mezi dvěma místy, se stejnou okamžitou hodnotou elektrického nebo magnetického pole (viz obr. 8.2). Délku vlny můžeme vypočítat podle vztahu λ = v f (8.1) Elektromagnetická vlna má dvě navzájem neoddělitelné složky. Elektrickou charakterizuje vektor intenzity elektrického pole a magnetickou vektor magnetické indukce. Tyto vektory jsou navzájem kolmé, mají souhlasnou fázi a jejich kmity probíhají kolmo ke směru, kterým se vlna šíří. λ E H Obrázek 8.2: Vlna v prostoru Elektromagnetické vlny jsou ve fyzice charakterizovány vlastnostmi vlnovými a kvantovými: Za vlnové vlastnosti pokládáme odraz, lom, ohyb, interferenci a polarizaci vln. Za kvantovou vlastnost považujeme např. představu fotonu, který vyvolává fotoelektrické jevy.[7] Kmitočtové spektrum a kmitočtová pásma Do prostoru lze vyzářit elektromagnetické vlny ve značném rozsahu vlnových délek, resp. frekvencí. Bude tomu jistě odpovídat i velký počet typů zářičů antén. Vlny o různých délkách budou rovněž vykazovat odlišné chování při svém šíření prostorem, ale i při šíření vedením. V následující tabulce je uveden přehled kmitočtů a vlnových délek různě používaných elektromagnetických vln.

89 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 85 frekvence vlnová délka extrémně dlouhé vlny 0,3-3 khz km velmi dlouhé vlny 3-30 khz km dlouhé vlny (DV) khz 10-1 km střední vlny (SV) 0,3-3 MHz 1-0,1 km krátké vlny (KV) 3-30 MHz m velmi krátké vlny (VKV) MHz 10-1 m ultra krátké vlny (UKV) 0,3-3 GHz 1-0,1 m mikrovlny 3-30 GHz mm mikrovlny GHz 10-1 mm infračervené záření Hz 1 mm - 1 µm viditelné záření Hz nm ultrafialové záření Hz nm rentgenové záření Hz 10-0,1 nm gama záření Hz m Využití různých vlnových délek je většinou vázáno na vlastnosti vln z hlediska možnosti jejich generování, resp. vysílání do prostoru, jejich šíření, možnosti jejich zachycení, jejich účinků. Za radiové vlny pokládáme vlny od délky 1000 m do délky 0,1 m, (od DV do UKV), na kterých se šíří, kromě jiných služeb i pozemní rozhlas a televize. Pásma mikrovln GHz jsou rovněž používána pro veřejnou rozhlasovou službu, avšak jen ve velmi úzce vymezených kmitočtových pásmech. Radiové vlny jsou generovány v radiových vysílačích, které v elektronických obvodech vytvoří signál potřebné frekvence, namodulují na tento signál přenášenou informaci a signál s potřebným výkonem vyšlou pomocí vysílací antény. Dlouhé vlny se šíří do velkých vzdáleností podél zemského povrchu. Krátké vlny se odrážejí od ionosféry, která začíná ve výšce km nad zemským povrchem, obsahuje určité množství molekul vzduchu rozštěpených na ionty a volné elektrony, takže se chová podobně jako vodivá plocha. Stav ionosféry se mění vlivem slunečního záření, takže se mění i podmínky šíření krátkých vln v různých denních a nočních dobách. Krátké vlny mají díky ionosferickým odrazům velký dosah. Velmi krátké vlny se používají k přenosu televizního signálu a zahrnují též pásmo rozhlasového vysílání FM. Velmi krátké a ultra krátké vlny vyžadují přímou viditelnost mezi vysílačem a přijímačem, a pokud jsou zachyceny mimo viditelnost, jedná se o vlny odražené od překážek s velkým rizikem interferencí mezi různě odraženými vlnami. V centru zájmu současných komunikačních technologií je pásmo na horním okraji UKV a pásmo mikrovln. Ke kmitočtům některých služeb z této oblasti se ještě vrátíme.

90 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 86 Mikrovlny v pásmu mezi rádiovými vlnami a infračerveným zářením plní kromě komunikačních rolí též roli tepelného zdroje. Mikrovlnné záření může rozkmitávat molekuly vody a organických struktur, čehož se využívá např. u mikrovlnné trouby nebo v termoterapii v lékařství (mikrovlnná destrukce nežádoucích tkání). Kratší vlnové délky jsou svázány s tak vysokými kmitočty, že k jejich generaci nelze vytvořit elektronický obvod, který by generoval elektrický signál příslušné frekvence. Zdrojem vln jsou fyzikální pochody v různých materiálech a technologických strukturách, a to zcela běžných (ohřáté železo) i vysoce speciálních (polovodičový laser). Infračervené IR (infrared) záření nebo tepelné záření. Infračervené záření je podstatou šíření tepla zářením, a to i vakuem (např. i povrch Země je zahříván infračerveným slunečním zářením). Zdrojem IR záření je každé těleso, které má teplotu vyšší než je absolutní nula. Původcem IR záření jsou změny elektromagnetického pole vyvolané pohybem molekul. Pohyb molekul závisí na teplotě. Proto tělesa zahřátá na vyšší teplotu jsou původcem silnějšího IR záření než tělesa chladnější. IR záření není viditelné okem, proniká mlhou a znečištěným ovzduším, pomocí vhodných přístrojů (infrakamer) je lze zachytit, ačkoli ho ve tmě okem nevnímáme. Při pohlcování IR záření vzniká tepelná odezva - energie elektromagnetického vlnění se mění na teplo v ozářeném tělese. Praktické aplikace zahrnují: Vidění v mlze. Infralokátory, brýle pro noční vidění (lze pozorovat v naprosté tmě lidské tělo, které vyzařuje IR záření), videokamery pro noční natáčení, kdy jako osvětlení slouží IR zářiče, okem vnímáme tmu, ale kamera zachytí osvětlené předměty. V dálkových ovladačích neruší radiový signál a zároveň ho nevnímáme. Infrazářiče slouží k vytápění. Viditelné světlo může být složeno z řady vln o různé vlnové délce. Jde o světlo chromatické, např. bílé světlo může být složeno ze tří základních barev, ale také může mít téměř spojité spektrum s velmi velikým počtem složek. V případě, že jde o světlo monochromatické, pak je záření neseno jednou vlnovou délkou. Typickým zdrojem monochromatického světla je laser. U světla rozeznáváme jeho intenzitu a barvu, která závisí na vlnových délkách obsažených ve světle. Světelné spektrum je část elektromagnetického spektra, ve kterém je zobrazena závislost barev světla na vlnových délkách: střední vlnové délky se uvádějí takto: červená (650 nm), oranžová (600 nm), žlutá (580 nm), zelená (525 nm), modrá (450 nm), fialová (400 nm) Ultrafialové záření: Zdrojem jsou tělesa zahřátá na velmi vysokou teplotu: Slunce, výbojky, elektrický oblouk (sváření). Způsobuje zhnědnutí kůže a produkci vitamínu D, ve vyšších dávkách rakovinu kůže, ničí mikroorganismy. Vyvolává luminiscenci (při dopadu na luminofory se mění na viditelné světlo), je pohlcováno obyčejným sklem. Rentgenové záření (paprsky X). Rentgenové záření vzniká změnami elektromagnetického pole v atomovém obalu, což lze vyvolat ve vakuové elektronce

91 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 87 bombardováním kovového povrchu svazkem elektronů. Je pohlcováno v závislosti na protonovém čísle a v závislosti na tloušt ce látky. To je využito v lékařské rentgenologii a v defektoskopii materiálů. Záření γ: Zdrojem vlnění jsou změny elektromagnetického pole při jaderných reakcích. Podobně jako rentgenové záření je pohlcováno podle struktury používá se v defektoskopii. Způsobuje genetické změny, nemoc z ozáření (po genetických změnách buněk může dojít k rakovinnému bujení) Využití některých kmitočtových pásem Uved me některé kmitočty a kmitočtová pásma využívaná v různých aplikacích a službách: FM radiové vysílání 88,5 108 MHz Pozemní a kabelová televize MHz Satelitní televize pásmo 12 GHz Bluetooth 2,4 2,48 GHz WI-FI pásma 2,4 a 5 GHz GPS satelitní navigace 1227,6 MHz GSM mobilní telefony 900 MHz a 1800 MHz rádiem řízené modely legální pásmo pro všechny modely je 40 MHz, jen pro letecké modely je 35 MHz. civilní pásmo 27 MHz ovládání zámků a pod. 434 MHz amatérská pásma (radioamatéři je rozlišují podle vlnových délek) 160 m 1,5 MHz, 80 m 3,5 MHz, 40 m 7 MHz, 20 m 14 MHz, 15 m 21 MHz, 10 m 28 MHz 2 m 144 MHz, 70 cm 433 MHz RFID radiofrekvenční identifikace (platební karty, karty ke vtupu do chráněných prostor, identifikace a zabezpečení zboží, atd.) RFID využívá několik pásem: Nízkofrekvenční LF (124 khz, někdy 135 khz) dosah do 0,2 až 0,5 m. Vysokofrekvenční HF (13,56 MHz) dosah do cca 1 m. Ultrafrekvenční UHF např. Evropa 868 MHz, USA a Canada 915 MHz čtecí dosah do cca 3 m. Ultrafrekvenční/mikrovlnná 2,45 GHz - čtecí dosah do cca 2 m. Uvedená tabulka obsahuje přibližné a mnohdy dílčí informace, protože se využívání frekvenčního spektra stále vyvíjí. Zcela zásadní je informace o povoleném vysílacím výkonu, protože jím je dána vzdálenost pro zachycení vysílané vlny. Významnější překročení normou daných podmínek by mohlo vést ke vzájemnému rušení, až úplnému kolapsu.

92 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU Modulace Předchozí výklad se soustředil na vytvoření a vyslání vlny o určité vlnové délce, resp. vlny s určitým kmitočtem. Lze dokázat, že trvale vysílaná vlna s konstantním kmitočtem a amplitudou nepřenáší informace (jedinou informací, kterou nese, je informace o jejím kmitočtu a rozkmitu). Abychom přenesli např. hlasovou informaci, musíme mít možnost na stranu příjemce přenést signál s kmitočtem měnícím se v intervalu nejméně Hz. To jsou však kmitočty, které nejsou vhodné pro šíření elektromagnetickými vlnami. Proto se kmitočet např. krátkých vln použije jako tzv. nosná vlna a kmitočet akustického signálu se na nosnou vlnu namoduluje. Otázkou je, jak lze nosnou vlnu k takovému přenosu použít, tedy jak lze realizovat zmíněnou modulaci. Uvedeme nejprve metodu typickou pro spojitě se měnící signály. Pak se věnujeme metodám používaným pro digitální signály Amplitudová modulace AM spočívá v řízení amplitudy nosné vlny okamžitými hodnotami modulačního signálu. Takové ovlivnění nosné vlny konstantním kmitočtem ukazuje obr Obrázek 8.3: Amplitudově modulovaná nosná vlna Matematicky lze tento proces popsat následujícím vztahem y = A n (1 + m sin(ω m t)) sin(ω n t), (8.2) kde y je signál vedený do antény, m je hloubka modulace m = A m /A n, kdy A m je amplituda modulačního signálu a A n je amplituda nosného signálu, ω m je kmitočet modulačního signálu a ω n je kmitočet nosné vlny. Po úpravě goniometrickými vzorci dostaneme y = A n [sin(ω n t) + m 2 cos[(ω n ω m )t] m ] 2 cos[(ω n + ω m )t]. (8.3) Uvedený vzorec ukazuje, že vysílaný signál, má-li nést nějakou informaci (např. uloženou v měnícím se kmitočtu modulačního signálu), musí být přenášen nikoli jako signál s jediným kmitočtem, ale vysílač musí vyslat a přijímač musí zpracovat kmitočty v určitém kmitočtovém pásmu. U amplitudové modulace jde o pásmo ω n ± ω mmax, kde ω mmax je maximální kmitočet modulačního signálu. Principů, které lze použít pro modulaci nosného kmitočtu, je velké množství a pro všechny platí, že k přenosu informace si vyžádají určité frekvenční pásmo soustředěné kolem

93 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 89 nosného kmitočtu. Zmíníme se jak o principech používaných pro spojité signály, tak o principech používaných pro modulaci nosných vln signály digitálními. A n A n m 2 ωn ω n ωn + ω Obrázek 8.4: Postranní pásma při amplitudové modulaci Kmitočtová (frekvenční) modulace FM spočívá v řízení kmitočtu nosné vlny okamžitými hodnotami modulačního signálu. Matematicky je kmitočtová modulace popsána vztahem y = A n sin(ω n t + m f sin ω m t), (8.4) kde m f je index kmitočtové modulace, který určuje, jak velkou změnu kmitočtu nosné vlny vyvolá rozkmit modulačního signálu. Pro určení šířky pásma již nevystačíme s jednoduchými trigonometrickými vzorci, výpočet by bylo nutno založit na rozvoji sinu do trigonometrické řady. Potřebná šířka pásma je vždy větší než u amplitudové modulace. Výhodou frekvenční modulace je významně vyšší odolnost přenášeného signálu proti rušení. y Obrázek 8.5: Frekvenčně modulovaná nosná vlna t Fázová (úhlová) modulace PM Fázová modulace spočívá v řízení fázových posuvů v kmitočtu nosné vlny, a to okamžitými hodnotami modulačního signálu. Matematicky je fázová modulace popsána podobným vztahem jako frekvenční modulace. Rozdíl v chování obou modulací je v tom, že u frekvenční modulace se po delším čase fáze pro danou

94 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 90 okamžitou hodnotu modulačního signálu nemusí shodovat s fází v předchozím čase, kdežto u fázové modulace je v kterémkoli okamžiku fáze nosné frekvence pevně vázána na okamžitou hodnotu modulačního signálu. Velmi názorně to uvidíme v odstavci o modulaci digitálními signály. ω ωn ωn ωn ω n ωn + ωn + ωn + Obrázek 8.6: Postranní pásma při frekvenční modulaci 8.3 Modulace digitálními daty Reprezentace binárních dat Problém reprezentace binárních dat pro potřeby jejich přenosu přenosovým médiem spočívá v tom, že data v počítači mají obvykle jednoduchou reprezentaci dvěma hodnotami napět ových úrovní, které se v logických obvodech zpracovávají jako paralelní binární slova o určitém počtu bitů (paralelně vstupují do aritmetických a logických operací a jsou zaznamenávána v registrech a v pamětech). Rozložení nul a jedniček v jednotlivých binárních slovech je dáno kódováním zpracovávaných informací a nevylučuje ani dlouhé sekvence nul nebo jedniček, ani jakékoli jiné zvláštnosti. Pro přenos mezi systémy, a v poslední době stále častěji i uvnitř systému, musejí být data přenášena jako data sériová, kdy jsou po jednom vodiči data přenášena bit po bitu. Takto také data vstupují do modulátoru, pokud mají být přenesena radiovým nebo optickým spojem. Závažné je, že sériový přenos dat může vyžadovat pro sled binárních stavů na vstupu a výstupu přenosového média určitá specifika. Pak je třeba zvolit pro sled sériových dat z počítače pravidla pro to, jak budou na vstupu přenosového média data ztransformována. Na výstupu pak musejí být data identifikována a převedena do původní sekvence binárních stavů. V čem tedy mohou spočívat požadavky na přenášené binární stavy. Uvedli jsme, že pro přenos informace modulovanou vlnou je potřeba určité frekvenční pásmo. Bude nás tedy zajímat, jaké frekvenční pásmo budou sériová data pro přenos potřebovat. Budeme hledat takové impulsní průběhy, které při přenosu spotřebují co nejužší pásmo. Zhruba platí, že šíři pásma určuje kmitočet přechodů mezi napět ovými úrovněmi (čím častěji se úroveň mění, tím vyšší kmitočtové

95 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 91 pásmo musí být k dispozici, aby se po demodulaci dal signál bezchybně rekonstruovat). Tedy cílem bude ztransformovat sled nul a jedniček do dvouúrovňového (impulsního) signálu s malým počtem přechodů mezi úrovněmi. Velmi častým požadavkem také je, aby signál měl nulovou stejnosměrnou složku, tedy aby relativní četnost intervalů s jednou úrovní byla stejná jako četnost intervalů, kdy je signál ve druhé napět ové úrovni opačné polarity. Můžeme také vytvořit signál, ve kterém se bude střídat kladná, záporná a nulová úroveň (v posledně zmíněném způsobu kódování je nulová stejnosměrná úroveň dosažitelná nejsnáze) Modulace nosné vlny dvoustavová Na obrázku jsou tři základní principy dvoustavové modulace nosné vlny. Vycházejí ze zmíněných tří principů modulace: amplitudové, frekvenční a fázové. Obrázek 8.7: Modulace dvouhodnotovým signálem ASK (Amplitude-Shift Keying, Klíčování nosné) je nejjednodušší způsob modulace nosné vlny. Využívá se v optických spojích, kde modulátor mění intenzitu svitu polovodičového laseru. PSK (Phase-Shift Keying) Modulace fázovým posunem je velmi často používaným způsobem modulace. Binární signál svými logickými stavy zavádí do nosné vlny skokové fázové posuny. Skok fáze je v případě BPSK (Binary

96 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 92 PSK) roven 180. Fázovou modulaci skokem 180 lze však rovněž interpretovat jako amplitudovou modulaci bipolárním signálem. Skutečně fázová modulace je spojena s obecně definovanými skoky fáze, a to nejen dvěma. Budeme pak hovořit o vícestavové fázové, nebo fázově amplitudové modulaci. FSK (Frequency-Shift Keying). Modulace je založena na řízení nosného kmitočtu binárním signálem. Střední nosná frekvence ω n je o malý kmitočtový rozdíl zvýšena pro jeden logický stav (ω n + ) a pro druhý logický stav snížena (ω n ) Modulace nosné vlny vícestavová V obecném textu o modulacích jsme výklad začali u modulací signálem analogovým, spojitě se měnícím v intervalu hodnot, které dovolil modulační předpis. V případě binárních dat lze modulovat nosnou vlnu tak, že modulační signál bude působit na nosnou vlnu nikoli dvěma úrovněmi, ale jejich větším počtem. Úrovně nebudou reprezentovat jen dva stavy jednoho bitu, ale např. čtyři úrovně budou reprezentovat čtyři možné kombinace dvojice bitů. Pokud to systém dovolí, lze si jistě představit třeba i 64 úrovně, z nichž každá bude reprezentovat jednu z čtyřiašedesáti kombinací šestice bitů. Nalezneme pak v technických řešeních následující typy vícestavových modulací: QASK nebo též PAM. Čtyři různé amplitudy nosné vlny reprezentují čtyři kombinace dvojic přenášených bitů. Časový průběh modulované nosné ukazuje obr Obrázek 8.8: Amplitudová modulace čtyřhodnotovým signálem

97 KAPITOLA 8. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 93 QPSK je kvadraturní fázová modulace, které naznačuje cestu, kterou se rozvíjejí modulační algoritmy. Její princip spočívá v tom, že fáze signálu může být posunuta do čtyř různých hodnot, takže jedním skokem ve fázi je do nosného signálu namodulována dvojice bitů. Obrázek 8.9: Kvadraturní fázové modulace Obrázek 8.9 ukazuje často používaný způsob popisu modulačního principu. Jde o zobrazení okamžitých poloh fázoru nosného kmitočtu v závislosti na právě přenášené hodnotě vícestavového signálu. Prvé dva diagramy ukazují binární modulace dvouhodnotovým signálem. Druhé dva diagramy ukazují čtyřstavovou modulaci, nejprve signálem s proměnnou amplitudou a polaritou a nakonec signálem s konstantní amplitudou a řízenou fází. V současné době jsou často používány systémy kombinující oba vícestavové modulační principy. Lze tak modulovat signál i 64stavovým signálem, kdy každý fázor nese informaci o šesti bitech.

98 Kapitola 9 Polovodičové součástky Vyzbrojeni nástroji pro zkoumání vlastností elektronických obvodů můžeme rozšířit znalosti o popis polovodičových součástí a vyložit jejich uplatnění v elektronických systémech. [2] [9], [5]. 9.1 Elektrický proud v polovodičích Polovodiče jsou látky, jejichž elektrický měrný odpor je menší než u izolantů a větší než u kovů. V současné době nejčastěji používaný polovodivý prvek je křemík (Si) ze čtvrté skupiny periodické soustavy prvků se čtyřmi valenčními elektrony. Polovodič lze zpracovat tak, že atomy tvoří krystalickou strukturu. Valenční elektrony vytvářejí v krystalu elektronové páry. Elektrony se z vazby mohou uvolňovat, získají-li dostatečnou energii, např. zahřátím. Při nízkých teplotách má takovou energii málo elektronů a polovodivý materiál má velký měrný odpor. Při vyšších teplotách se elektrony snáze uvolňují a pohybují se uvnitř materiálu. Volné místo po elektronu se chová jako kladně nabitá částice díra. Čím více párů elektron-díra vznikne (čím vyšší je teplota), tím menší je měrný odpor. To je opak proti kovům, u nich se s teplotou odpor zvětšuje. Současně se vznikem párů elektron-díra probíhá v polovodiči rekombinace, jejich zánik. Při stálé teplotě jsou generace a rekombinace v rovnováze. Zapojíme-li vlastní polovodič do obvodu, vytvoříme v něm elektrické pole, které způsobuje uspořádaný pohyb děr k zápornému pólu zdroje a elektronů ke kladnému. Příkladem využití součástky z vlastního polovodiče je teplotně závislý rezistor termistor. Dodáním cizích atomů s nižším nebo vyšším počtem valenčních elektronů do krystalické struktury vlastního polovodiče můžeme vytvořit polovodičový materiál se dvěma typy vodivosti: Vodivost N: Dodáním atomů prvků s pěti valenčními elektrony se vytvoří situace, kdy jen čtyři se uplatní v kovalentní vazbě. Páté elektrony jsou vázány jen slabě a i při nízkých teplotách se volně pohybují krystalem. V takto upraveném krystalu je více volných elektronů než děr. Elektrony proto označujeme jako majoritní nosiče 94

99 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 95 náboje a díry jako nosiče minoritní. Vodivost P: Pokud jsou v krystalu příměsi se třemi valenčními elektrony, obsadí jen tři vazby se sousedními atomy prvku IV. skupiny. Vznikne díra, která může být snadno zaplněna přeskokem elektronu od sousedního atomu. Vytvořené díry se v polovodiči volně pohybují a tvoří zde majoritní nosiče náboje, minoritními nosiči jsou elektrony. Přechod PN: Existují technologie, které vyrobí součástku, v níž oblasti P a N vytvoří rozhraní PN přechod. V místě styku obou polovodičů vznikne dynamická rovnováha (některé elektrony přestoupí do prostoru P a naopak díry do N). V oblasti přechodu nejsou vlivem rekombinace žádné volné elektricky nabité částice a na vnějších svorkách není žádné napětí. Pokud připojíme polovodič typu P ke kladnému pólu zdroje a polovodič typu N k zápornému, z polovodiče typu P jsou vtahovány díry do prostoru polovodiče N a naopak z polovodiče N jsou do obvodu dodávány elektrony. Vnějším polem jsou nosiče náboje uvedeny do pohybu PN přechod je zapojen v propustném směru. Pokud zapojíme PN přechod obráceně, k pohybu děr a dodávání elektronů nedochází, tzn. proud neprochází. Díry přitahuje ke svému přívodu záporné napětí, proto zůstávají v P, stejně elektrony jdou ke kladnému kontaktu, a proto zůstávají v N PN přechod je zapojen v závěrném směru. To ukazuje názorně obrázek 9.1. PN přechod propouští proud pouze jedním směrem. - nevede P N + - vede P N P N Obrázek 9.1: PN přechod 9.2 Dioda Z fyzikální podstaty činnosti přechodu PN při vedení elektrického proudu vyplývá, že vztah mezi proudem a napětím na jeho svorkách je nelineární neplatí Ohmův zákon. Avšak v obvodech platí Kirchhoffovy zákony. Neplatí předpoklady pro použití fázorů ve frekvenční oblasti. Obvody, zvláště v oblasti konstrukce výpočetní techniky, většinou popisujeme jen v časové oblasti. Jestliže nelze nesetrvačné vlastnosti popsat jediným parametrem odporem rezistoru, jaké možnosti tedy máme?

100 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY Vlastnosti diod K popisu vlastností nelineárních nesetrvačných elementů používáme voltampérovou charakteristiku zobrazenou graficky, nebo vyjádřenou aproximativním funkčním předpisem 1. Grafické znázornění voltampérové charakteristiky diody ukazuje obr Na obrázku je třeba nepřehlédnout různá měřítka na osách pro kladné a záporné napětí. [5]. i D i 0,5 0,4 u D 0,3 0,2-60 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 u. Obrázek 9.2: Voltampérová charakteristika křemíkové diody Analyticky lze voltampérovou charakteristiku diody přibližně popsat rovnicí u D ) nu i D = I S (e θ 1, (9.1) kde i D je proud procházející diodou při napětí u D. Napětí u D je kladné, je-li přechod PN pólován v propustném směru. Proud I S je tzv. nasycený (saturační) proud přechodu a závisí na technologii a materiálu diody. Závisí značně na teplotě, protože je tvořen tepelně generovanými dvojicemi elektron-díra. Napětí U θ je tzv. teplotní napětí U θ = kθ q 26 mv, (9.2) kde k = 1, [J/K] (joule na kelvin) je Boltzmanova konstanta, q = 1, [C] (coulombu) je elementární náboj a θ je absolutní teplota (v Kelvinech). Emisní součinitel n se mění v rozmezí 1 < n < 2 a závisí na technologii. Napětí nu θ je tedy pro teplotu 300 K (= +27 C) v rozmezí 26 až 52 mv. Pro napětí u D U θ lze zanedbat jedničku proti exponenciále a dostaneme pro průběh voltampérové charakteristiky propustně pólované diody přibližný vztah 1 Zde je na místě uvést, že voltampérová charakteristika je graf závislosti proudu (na ose y), procházejícího obvodovým prvkem, na přiloženém napětí (na ose x). Každý tedy jistě snadno zakreslí voltampérovou charakteristiku rezistoru o odporu R, popsaného Ohmovým zákonem.

101 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 97 u D nu i D = I S e θ. (9.3) Skutečný průběh voltampérové charakteristiky diody je ovlivněn v propustném směru hlavně sériovým odporem přívodů a v závěrném směru paralelními svody. V elektronických systémech se setkáme s ohromným množstvím různých typů diod vyrobených tak, aby vyhověly požadavkům konkrétních aplikací. Diody jsou používány v silnoproudé elektrotechnice jako usměrňovače střídavého proudu pro napájení stejnosměrných motorů a pro další aplikace využívající stejnosměrný proud. Diody jsou v napájecích zdrojích počítačů a nabíječkách akumulátorů. I při takové šíři aplikací lze s určitým zjednodušením uvést hlavní statické a dynamické vlastnosti diod. Statické parametry diod I max maximální propustný proud; konstrukcí diody, okolní teplotou, způsobem chlazení je určen maximální proud, který smí diodou procházet v propustném směru; při jeho překročení je nebezpečí tepelného zničení diody. U max maximální závěrné napětí; závěrný proud diody prudce narůstá, jestliže se napětí blíží k napětí označovanému jako průrazné napětí. Při něm vzroste intenzita elektrického pole uvnitř přechodu nad mez, za níž dochází k vytrhávání nosičů náboje z krystalové mřížky polovodiče a jejich lavinovitému množení. Jde o průraz, který může vést k destrukci, je-li provázen současným přehřátím přechodu. U T prahové napětí; napětí, které musíme vložit na diodu v propustném směru, aby začal protékat znatelný proud. Pro křemíkové diody lze pracovat s U T 0, V. Při řešení statických poměrů v obvodech s diodou používáme nejčastěji numerických metod výpočtů nebo grafických konstrukcí názorně řešících nelineární obvodové rovnice. Grafickou konstrukci jsme ukázali v kapitole Při přibližných výpočtech obvykle používáme tzv. linearizace voltampérové charakteristiky pomocí několika úseků, kde je vždy pro určitý interval napětí dioda popsána hodnotou odporu, který vystihuje závislost změn proudu na změnách napětí, avšak vždy jen pro určitý interval hodnot proudu a napětí. Čím více takových úseků zvolíme, tím je náhrada přesnější, ale výpočet obtížnější. Existuje však množství úloh, kde lze k aproximaci použít jen dvou úseků (vede/nevede). Podrobnějšímu popisu řešení obvodu ve stacionárním ustáleném stavu se věnujeme dále. Dynamické parametry diod Kromě statických parametrů úbytku napětí v propustném směru a proudu v závěrném směru jsou velmi důležité i parametry dynamické, nebot ovlivňují vztah mezi časovými průběhy napětí a proudu na diodě při přechodných dějích. Zpoždění reakce, např. napětí, při náhlé změně proudu se projevuje jako nelineární kapacita přechodu PN, která je z hlediska fyzikálního složena ze dvou složek.

102 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 98 Statická (bariérová) kapacita je kapacita kondenzátoru, jehož polepy tvoří oblasti P a N a dielektrikem je vyprázdněná vrstva v okolí přechodu při závěrné polarizaci. Její tloušt ka závisí na vnějším napětí, takže pro bariérovou kapacitu platí přibližný vztah C T C T 0 ( 1 u D Uj ) m, (9.4) kde U j je tzv. difúzní potenciál (U j 0, 5 0, 9 V), u D je napětí při závěrné polarizaci záporné, C T 0 je konstanta závislá na ploše přechodu (kapacita při nulovém napětí), m je exponent závislý na typu přechodu (m 0, 3 až 0,5). Dioda zapojená tak, že v obvodu působí její bariérová kapacita, je v praxi využívána. Je vyráběna jako tzv. varikap nebo varaktor. Jedná se o elektronickou součástku, která může v závislosti na přiloženém napětí přelad ovat rezonanční obvody, např. v radiových přijímačích a vysílačích. Difúzní kapacita se uplatňuje, je-li dioda pólována v propustném směru. Není ve skutečnosti tvořena izolační vrstvou a dvěma elektrodami. Využíváme podobnosti chování kapacitoru a propustně pólované diody. Pomocí difúzní kapacity popisujeme dynamické jevy, které provázejí průchod proudu přechodem. Pro difúzní kapacitu C D platí přibližně C D τi D 1 nu θ, (9.5) kde i D je proud procházející diodou a τ je efektivní doba života menšinových nosičů. Uvedený vztah je užitečný hlavně tím, že demonstruje přímou úměru mezi propustně tekoucím proudem a nahromaděným nábojem v prostoru polovodičového přechodu. Takový náboj musí být při vypínání procházejícího proudu odveden, což může v některých aplikacích představovat závažný problém Diodový obvod řešení se stejnosměrným proudem Obvod s diodou, rezistorem a zdrojem napětí je na obr Podle druhého Kirchhoffova zákona můžeme s použitím aproximace voltampérové charakteristiky diody zapsat rovnici pro proud ve smyčce. ( ) i U 1 = Ri + u d = Ri + nu θ ln pro u d U θ (9.6) Rovnici nelze vyřešit s explicitním tvarem výsledku. Proto musíme volit některý z prakticky použitelných postupů. Možnosti dává řešení: I 0

103 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 99 R D U 1 i ud Obrázek 9.3: Dělič napětí s diodou grafické numerické aproximativní linearizace po úsecích Grafické řešení lze provést jak v grafu odvozeném z aproximační rovnice, tak v grafu závislosti proudu na napětí změřené na konkrétní součástce. Výklad k této konstrukci je v předchozím textu pod názvem Grafická konstrukce k druhému Kirchhoffovu zákonu i [ma] 8 6 Dioda (U θ = 25 mv, I 0 = A) 4 2 4,33 R = 1000 Ω 0 0 0, u [V] Obrázek 9.4: Grafické řešení se změřenou VA charakteristikou Numerické řešení lze provést různými iteračními postupy, kterými se zabývá numerická matematika. Jednou takovou metodou je např. Newtonova metoda. Vyžaduje, aby nelineární funkce byla diferencovatelná, což v případě aproximace charakteristiky diody je splněno. Postup iterací popisují následující vztahy. x n+1 = x n f(x n) f (x n ) (9.7) ( ) ( ) i i U 1 = Ri + u d = Ri + nu θ ln = U 1 Ri nu θ ln = 0 I 0 I 0 (9.8) ( ) in I0 U 1 R i n nu θ ln i n+1 = i n + R + U (9.9) θ i n

104 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 100 Postup iterací demonstruje řešení úlohy v Matlabu. Výchozí hodnota i(1) je libovolná. i(1)=1e-3; for n=1:10, i(n+1)=i(n)+ ((5-1000*i(n)-0,025*ln(i(n)/1e-14))/(1000+0,025/i(n))); end; iterace i(1) i(5) v miliampérech ud = 0,67 V Linerizace po úsecích je založena na volbě řady lineárních úseků, odvozených z tečen k voltampérové charakteristice, kdy se vždy pro určitý úsek platnosti takové náhrady hledá řešení lineárního obvodu. Pouze jedna z tečen dává v řešení lineárního obvodu napětí a proud v intervalu pro který byla zvolena. Takové řešení platí pro dané hodnoty součástek, a musí být hledáno nové, pokud se napětí nebo rezistor v obvodu změní. V praxi však mnohdy stačí aproximace dvěma úseky, jedním pro propustnou polarizaci a druhým pro napětí, při němž je proud diodou zanedbatelný. Postup je následující: Zvolíme i d podle očekávaného pracovního režimu ve vodivém stavu. Pak du d di d = nu θ i d = r d (9.10) u d = nu θ ln i d I 0 (9.11) U p = u d r d i d (9.12) Pro i d = 10 ma = r d = 2, 5 Ω a U p = 0, 665 V Aproximace dvěma úseky: pro i > 0, r d = 2, 5 Ω pro i 0, r d = i [ma] 8 6 r d Dioda (U θ = 25 mv, I 0 = A) 4 2 R = 1000 Ω 0 U p u [V] Obrázek 9.5: Aproximace lineárními úseky grafická konstrukce odpovídající výpočtu lineárního obvodu Pro výočet po úsecích lineárního obvodu platí

105 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 101 U 1 = 5V, R = 1000 Ω, r d = 2, 5 Ω, U p = 0, 665 V i = U 1 U p R + r d pokud U 1 < U p, pak r d = = 4, 324 ma, u d = U p + r d i = 0, 676 V R i r d U 1 U p u d Obrázek 9.6: Aproximace lineárními úseky ekvivalentní obvod Na obr. 9.7 je názorně naznačen postup, kterým lze vytvořit lineární model nelineární součástky platný pro analýzu obvodů se signálem, který svým rozkmitem nezasahuje do těch částí voltampérových charakteristik nelineárních elementů, které nelze s požadovanou přesností nahradit lineárními závislostmi. K obrázku je třeba připomenout, že linearizovaný model je výrazně závislý na stejnosměrném nastavení bodu, kolem kterého se charakteristika nahrazuje rezistorem (viz rov. (9.10)). Dále vidíme, že v situaci, kdy je stejnosměrný (klidový) bod nastaven, nemá zdroj stejnosměrného napětí vliv na poměry mezi vstupem a výstupem malého signálu a pro přenos a případné další analýzy obvodu ve vztahu k malému signálu, můžeme použít známých algoritmů analýzy lineárních obvodů např. dělič napětí. U 1k + u 1s D U 2k + u 2s 5V 0,7V i R Linearizovaný model pro obě napětí R U 1k + u 1s i r d u 2 Linearizovaný model pro malý signál R U p u 1s i l r d u 2s u 2 = U p + (U 1k U p + u 1s) rd R+ rd u 2s = u 1s rd R+ rd Obrázek 9.7: Ekvivalentní obvod pro malý signál

106 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY Obvod s diodou dynamické vlastnosti I v obvodech s polovodičovými součástkami je prostředkem jejich zkoumání a hodnocení použitelnosti v praktických aplikacích, řešení obvodů s impulsními signály. Nejjednodušší obvod je na obrázku 9.8. Ukazuje obvod s diodou, která stojí v cestě impulsu zaváděnému na svorky rezistoru. Prametry impulsu jsou následující { +5 V t < 0, 5µ s a t > 2 µs u 1 (t) = 5 V t = 0, 5 2µ s (9.13) D R 5kΩ u 1 u 2 10,0 +5 V u1 [V] 0,0-10,0 10,0 0,0 vliv C T +4,2 V -5 V 0 V u2 [V] t rr vliv C D -10,0 0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 t [µs] Obrázek 9.8: Diodový obvod s impulsním buzením Na obrázku 9.8 je možno nejprve identifikovat napět ové úrovně odpovídající ustálenému stavu před vznikem a po odeznění přechodných dějů { 0 V t < 0, 5µ s a t 2 µs u 2 (t) = (9.14) +4, 2 V t 0, 7 2µ s Při záporném napětí na vstupu je na výstupu nulové napětí proto, že dioda nepropouští do obvodu žádný proud. Při kladném napětí na vstupu je na výstupu napětí zmenšené o úbytek napětí na diodě (cca 0,8 V). Velmi důležitý je popis přechodných dějů, které mají odlišný charakter při spínání proudu a při jeho vypínání. Při spínání diody je analogie s derivačním obvodem zcela na místě, protože se uzavřená dioda chová jako kvalitní závěrným napětím nabitý kondenzátor C T,

107 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 103 který se musí do zátěže v přechodném ději vybít. Časovou konstantu však nelze definovat, protože se kapacita PN přechodu v průběhu přechodného děje mění. Při vypínání proudu uzavírání vodivé diody závěrným napětím, dochází k zotavení (na obrázku zotavení začíná v čase t = 2 µs). Zotavení lze chápat velmi dobře jako vybíjení difúzní kapacity, ale protože se jedná o přechodný děj v nelineárním obvodu, nelze analogii s derivačním obvodem jednoduše použít. Zotavení bývá v mnoha případech nejdůležitější pro praktickou použitelnost diody. Při propustné polarizaci diody jsou v oblastech přilehlých k přechodu PN v každém okamžiku volné nezrekombinované nosiče. Změní-li se náhle polarita vnějšího napětí, objeví se na přechodu bariéra proti přechodu majoritních nosičů, avšak volné minoritní nosiče mohou ještě po určitou dobu uzavírat proud procházející v závěrném směru můžeme říci, že se vybíjí difúzní kapacita. Teprve po vyčerpání těchto volných nosičů klesne závěrný proud na velikost danou statickou voltampérovou charakteristikou (na našem obrázku trvá zotavení cca 200 ns). Náboj, který projde přechodem v závěrném směru po přepólování, je závislý na proudu, který původně procházel v propustném směru. Zotavovací dobu lze zkrátit přiložením velkého závěrného napětí. Proud, který se uzavírá v obvodu po dobu zotavování diody, je totiž omezen pouze odpory zařazenými v obvodu, je tedy při vyšším závěrném napětí větší, a náboj je rychleji odveden. 9.3 Speciální diody Dioda s přechodem kov-polovodič (Schottkyho dioda) Dioda může být zhotovena jako přechod kov-polovodič. Technologie výroby je obtížnější než u diod s přechodem PN. Statická voltampérová charakteristika je podobná voltampérové charakteristice diody s přechodem PN, má však menší prahové napětí U T = mv. Protože u diod tohoto typu je přenos uskutečňován většinovými nosiči, nedochází zde k hromadění menšinových nosičů a dosažitelná doba zotavení dosahuje jednotek pikosekund (u rychlých křemíkových PN diod ps). Zenerova a lavinová dioda Zenerovy diody jsou diody, které jsou navrženy tak, že je výrobní technologií zajištěna žádaná hodnota průrazného napětí v rozmezí od jednotek do stovek voltů. V obvodech se pak předpokládá, že chlazením je zajištěno, že proud procházející za mezí průrazu nezpůsobí tepelnou destrukci. Voltampérová charakteristika Zenerovy diody je uvedena na obrázku 9.9. Zenerových diod se využívá hlavně ve stabilizátorech napětí, ve zdrojích referenčních napětí, v omezovačích napět ových úrovní apod. Tunelová dioda

108 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 104 i D u D i D I Zn U Z U Zn u D I Zn Obrázek 9.9: Voltampérová charakteristika Zenerovy diody Tunelová dioda je rovněž součástka tvořená přechodem PN. U tunelové diody však existují nosiče náboje, které přechodem mohou procházet ( tunelují ) při napětí nižším než je napětí prahové. Voltampérová charakteristika (obr. 9.10) strmě stoupá již od nulového napětí. Strmost se s rostoucím napětím postupně zmenšuje, až při napětí U p a proudu I p charakteristika dosáhne lokálního maxima. Při dále rostoucím napětí na přechodu již přestávají působit podmínky pro vznik tunelového jevu a proud klesá, až při napětí U v dosáhne lokálního minima I v. Potom se dioda začne chovat podobně jako PN dioda v propustném směru. i D I p I v U p U v ud Obrázek 9.10: Voltampérová charakteristika tunelové diody Fotodioda fotovoltaika Fotodioda je vytvořena jako PN přechod vystavený vnějšímu osvitu. Energie fotonů prohání přechodem nosiče náboje a fotodioda se tak stává zdrojem proudu nebo napětí. Hodnota zkratového proudu (na svislé ose grafu) je úměrná osvitu. V elektronickém obvodu může obvod se sériovým odporem indikovat např. světelné impulsy přenášející binární informace ve světlovodných kabelech, nebo sledovat venkovní světlo při automatickém

109 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 105 rozsvěcení veřejného osvětlení. Tentýž princip je pak uplatněn v článcích fotovoltaických elektráren. i D 5m 4m 3m 2m 1m 0 lx 0m 1000 lx -1m 2000 lx -2m 3000 lx -3m 4000 lx -4m 5000 lx -5m u D Obrázek 9.11: V-A charakteristika fotodiody, resp. fotovoltaického elementu LED Svítivá dioda (Light Emitting Diode) Svítivé diody jsou v osvětlovací technice nejprogresivnějším zdrojem světla. Oproti žárovkám vykazují významně větší účinnost ve vztahu světelný tok vs. elektrický příkon. Z obvodového hlediska jde opět o PN přechod provozovaný v propustném směru. Světlo tvoří fotony vytvořené v oblasti přechodu, kde je generuje procházející proud. Technologicky jsou struktury vytvořeny tak, aby generované světlo mělo určitou barvu. S tím souvisí skutečnost, že LED s různými barvami mají různá napětí v ohybu propustně pólované části voltampérové charakteristiky. Obrázek 9.12: Svítivá dioda různé barvy

110 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 106 Kapacitní dioda (varicap a varactor) Varicap je vytvořen jako polovodičová dioda určená pro použití při závěrné polarizaci. Pracuje jako napětím řízený kapacitor. Využívá se převážně pro elektronické ladění rezonančních obvodů. Obrázek 9.13: Varikapy v obvodu rezonančního RLC obvodu

111 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY Bipolární tranzistor Tranzistor je polovodičová součástka se dvěma PN přechody. V současné době je tranzistor nejčastěji vyráběn pomocí tzv. planární technologie. Strukturu takto vyrobeného tranzistoru ukazuje schematicky následující obrázek Obrázek 9.14: Struktura tranzistoru PN přechody je jistě možno používat jako dvě diody. Avšak na rozdíl od dvou různých diod je v tranzistoru místo dvou anod (tranzistor NPN) jedna společná. Je to velmi tenká polovodičová vrstva báze, která tvoří společnou anodu pro obě diody v tranzistoru NPN (společnou katodu v tranzistoru PNP). Podstatou činnosti tranzistoru je využití schopnosti závěrně polarizovaného přechodu kolektor-báze, odvádět nosiče náboje z oblasti báze, pokud jsou tam dodány propustně pólovaným přechodem báze-emitor. (Přechod kolektor-báze se tedy v podstatě nechová jako uzavřená dioda, i když mu řada vlastností závěrně pólované diody zůstává, např. bariérová kapacita.) Uvedené chování struktury s tenkou bází se nazývá tranzistorový jev i C B C E + i B N N P i C C i B B u BE E i E βi B u CE. Obrázek 9.15: Nosiče náboje ve struktuře tranzistoru Na obrázku 9.15 je názorně ukázáno, jak se celkový proud emitoru rozvětví na proud tekoucí do báze a proud uzavřený přes kolektorový přívod (čtyři kuličky

112 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 108 z emitoru = jedna do báze, tři do kolektoru). Vpravo je pak nejjednodušší model bipolárního tranzistoru. Platí v něm při propustné polarizaci přechodu báze-emitor a nepropustné polarizaci přechodu kolektor-báze i E = i B + βi B, i C = βi B, β = i C i B, i C i E = β = α, (9.15) β + 1 kde β je proudový zesilovací činitel tranzistoru v zapojení se společným emitorem (když přepočítáme kuličky na obrázku dostaneme, že by uvedený tranzistor měl β = 3) a α je proudový zesilovací činitel v zapojení se společnou bází (s uvedenými kuličkami je α = 0, 75) Poznamenejme však, že běžné tranzistory mají výrazně vyšší zesilovací činitele. Pro vytvoření modelu tranzistoru jsme použili proudový zdroj řízený proudem. Jde o zdroj s vlastnostmi shodnými s vlastnostmi zdroje proudu (na jeho svorkách je napětí určené vnějším obvodem, do kterého je proud zdrojem zaváděn). Rozdíl je jen v tom, že proud zdroje je předepsán vztahem, který jeho okamžitou hodnotu určuje v závislosti na velikosti proudu v jiné části obvodu. Takový řízený zdroj umožňuje namodelovat schopnost tranzistoru zesilovat proud malým proudem do báze řídíme velký proud v obvodu nepropustně pólovaného kolektoru Tranzistorový obvod kolektorové charakteristiky i B i C u C E i C 200 [ma] 160 5,0 [ma] 4,0 i B 120 3,0 u B E 80 2,0 1,5 1,0 1,25 [V] 1,0 u B E 0,75 0,50 0, ,50 0, u C E [V] 3 4,50 0,5-5V 0 u C E 6 [ma] 7,50 i B Obrázek 9.16: Charakteristiky tranzistoru řízeného proudem báze V nejjednodušším tranzistorovém obvodu budíme bázi zvoleným proudem a v kolektorovém obvodu pozorujeme procházející proud v závislosti na kolektorovém

113 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 109 napětí. Zachytíme-li pozorování graficky, půjde o zobrazení parametrické soustavy charakteristik tranzistoru v zapojení se společným emitorem (emitor je společnou svorkou jak vstupního, tak výstupního obvodu). Obr zachycuje soustavu charakteristik pro změny kolektorového napětí u CE v mezích 0 až 10 V, a pro změny proudu báze zdrojem proudu i B v mezích 0 až 5 ma. Jde o dvě soustavy charakteristik. Vlevo je soustava voltampérových charakteristik přechodu báze-emitor, kterou ovlivňuje (parametrizuje) napětí kolektor-emitor (posouvá ji směrem k vyššímu napětí u BE pro rostoucí napětí kolektoru). Vpravo je soustava voltampérových charakteristik pozorovaná na svorkách kolektor-emitor. Parametrem soustavy těchto křivek je proud i B. Na charakteristikách můžeme pozorovat, že kolektorový obvod není dokonalým zdrojem proudu (to by musely být charakteristiky rovnoběžné s osou x). Dále pozorujeme, že kolektorový proud zanikne, pokud se napětí na kolektoru přiblíží k nule. To je názorným dokladem toho, že tranzistor sám do obvodu žádnou energii nedodává, jen velmi účinně ovládá proud dodávaný z vnějšího zdroje v závislosti na napětí báze. Na obr je soustava charakteristik, ve kterých je parametrem kolektorových charakteristik proud báze. Při konstantním kroku i B, roste proud kolektoru rovnoměrně. Ukazuje to na skutečnost, že proudový zesilovací činitel β = i C / i B je v oblasti dostatečně velikých kladných napětí kolektoru přibližně konstantní. V literatuře se můžeme setkat také s kolektorovými charakteristikami, které mají jako parametr uvedeno napětí u BE. Snadno zjistíme, že nelinearita vstupní charakteristiky způsobí výraznou změnu rozestupu kolektorových charakteristik, pokud by byl krok u BE konstantní Tranzistorový zesilovač Na obrázku 9.17 je zapojení, které pracuje jako zesilovač napětí. [5] C 1 V2 1u R 2 R 1 10k 800k 622mV 5,7uA 10V 5,2V 0.48mA Q1 V m 623.4m 622.8m 622.2m 621.6m 621.0m 95m 96m 97m 98m 99m 100m 95m 96m 97m 98m 99m 100m Obrázek 9.17: Zesilovač Vysvětlíme postupně, jak obvod svou roli zesilovače plní: Aby obvod s tranzistorem zesiloval malý signál, musí být nastaveny stejnosměrné klidové podmínky pracovní bod. Tranzistor na obrázku

114 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 110 vede stejnosměrný proud přibližně 0,5 ma. To je podmíněno stejnosměrným proudem do báze, který určuje rezistor R 2. Protéká jím proud 5,7 µ A. Rezistor je připojen k napětí kolektoru. To přináší efekt určité stabilizace klidových stejnosměrných podmínek v obvodu. Proud procházející do kolektoru vytváří na rezistoru R 1 v kolektorovém přívodu stejnosměrný úbytek cca 4,8 V, takže vůči společné svorce je na kolektoru 5,2 V. Za těchto stejnosměrných podmínek může zdroj vstupního střídavého napětí s amplitudou 1 mv působit na bázi tranzistoru. Kapacitor C 1 zabezpečí, že zdroj signálu neovlivní stejnosměrné nastavení klidových podmínek (pracovního bodu) připomeňme významnou vlastnost derivačního obvodu, schopnost oddělit stejnosměrnou složku proměnného napětí. Vstupní střídavé napětí je tedy superponováno ke stejnosměrnému předpětí báze (cca 622 mv). Kolektorový proud je vlivem vstupního střídavého napětí řízen tak, že klesající napětí na vstupu ho zmenšuje a kolektorové napětí roste (zmenšuje se úbytek na kolektorovém rezistoru) a rostoucí napětí na vstupu proud zvětšuje a napětí klesá. Napětí na kolektoru má sinusový průběh s amplitudou cca 180 mv a s opačnou fází než má napětí na vstupu. Rozkmit sinusové složky kolektorového napětí je cca 180krát větší než rozkmit napětí na vstupu napětí bylo zesíleno. Pokud bychom chtěli využít sinusové napětí z obvodu kolektoru tak, aby mělo nulovou stejnosměrnou složku, museli bychom i výstup obvodu oddělit kondenzátorem, abychom neovlivnili obvodem na výstupu zesilovače stejnosměrné napětí na kolektoru. Takto pracující zesilovač může bez zkreslení sinusového průběhu zpracovávat jen takové signály, které nebudou pracovní podmínky tranzistoru posouvat do oblastí charakteristik, kde nelze nalézt alespoň přibližně konstantní diferenciální parametry. Hovoříme o tranzistorovém zesilovači malých signálů. Pokud by se napětí na vstupu zvětšilo tak, že by okamžité hodnoty napětí na bázi probíhaly výrazně zakřivenou částí vstupní charakteristiky, napětí na výstupu by nemělo sinusový časový průběh zesilovač by vykazoval velké nelineární zkreslení. Podobně jako v případě diody, můžeme pro tranzistor vytvořit lineární model, který umožní pro malé signály analyzovat vstupní a výstupní odpor, přenos, mezní kmitočty a další vlastnosti, a to prostředky známými pro lineární obvody. Na rozdíl od diody je tranzistor součástka dvoubránová má vstupní a výstupní bránu (obvod báze a obvod kolektoru při zapojení se společným emitorem). Pro dvoubránové lineární obvody existují v teorii obvodů metody, které plně popisují, jak vztahy mezi obvodovými veličinami na obou bránách, tak i vztahy popisující vzájemné působení obou bran. Rovnice, které tyto vztahy reprezentují, se označují jako rovnice dvoubránové. Označíme-li proud a napětí vstupní brány indexem jedna a proud a napětí výstupní brány indexem dva, lze naříklad napsat: u 1 = h 11 i 1 + h 12 u 2 (9.16) i 2 = h 21 i 1 + h 22 u 2 (9.17)

115 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 111 Je zřejmé, že vzájemné vazby ve dvojbranu lze popsat i jinými dvojicemi rovnic, např. tak, že na levé straně jsou obě napětí a na pravé straně oba proudy Z- parametry, nebo oba proudy vlevo a obě napětí vpravo Y-parametry a další kombinace (celkem 6 možností). Pro bipolární tranzistory velmi dobře vyhovují hybridní H-parametry. Pro jednotlivé konstanty v rovnicích (9.16) a (9.17) můžeme uvést jejich role v obecném popisu dvojbranu, jehož schéma je na na obr. 9.18: h 11 je odpor, který uvidíme na vstupních svorkách dvojbranu, když je výstupní napětí nulové, h 12 je parametr zdroje napětí řízeného napětím u 2, který je zapojen v sérii se vstupním odporem, ukazuje tedy, jak výstupní napětí posune vstupní napětí, když je vstupní proud nulový h 21 je parametr zdroje proudu, který je připojen paralelně k výstupním svorkám a je řízen vstupním proudem, h 22 je vodivost, kterou uvidíme na výstupu dvojbranu, když je vstupní proud nulový. i 1 i 2 h 12 u 2 u 1 u h h 21 i h 22 Obrázek 9.18: Lineární dvojbran popsaný H-parametry Pro zapojení tranzistoru se společným emitorem ještě doplníme indexy písmenem e a můžeme pro jednotlivé H-parametry hledat jejich místo v popisu tranzistoru pracujícího s malým signálem: h 11e je diferenciální odpor přechodu báze-emitor v okolí klidového bodu, h 12e je parametr zdroje napětí řízeného napětím u ce. Ve většině praktických úloh s bipolárním tranzistorem je účinek tohoto zdroje zanedbatelný, což plyne ze skutečnosti, že vstupní charakteristiky tranzistoru nejsou kolektorovým napětím větším než 1 V ovlivňovány, a proto ho vnásledujícím popisu zesilovače neuvedeme, h 21e je parametr zdroje proudu, který je připojen paralelně ke svorkám kolektoremitor tj. výstupním svorkám a je řízen proudem báze h 21e β. Je to nejvýznamnější parametr ve výpočtech tranzistorových zesilovačů. h 22e je diferenciální vodivost, kterou uvidíme na svorkách kolektor-emitor, když je vstupní proud ze zdroje zesilovaného signálu nulový. Je určena odklonem (stoupáním) kolektorové charakteristiky od rovnoběžky s vodorovnou osou. Na obrázku 9.19 je uveden úplný lineární model tranzistrového zesilovače z obr s odpovídajícími parametry platnými pro klidový bod a malý signál. Jádrem modelu je proudem řízený zdroj proudu, který reprezentuje tranzistorový jev (zesílení proudu báze v obvodu kolektor-emitor). Pro náš zesilovač je

116 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 112 R p R c C v C cb dynamický statický u 2 u 1 h 11e C be h 21e h 22e model tranzistoru Obrázek 9.19: Model zesilovače malých signálů h 21e 100. Pro působení tranzistoru v obvodu zesilovače je dále významný parametr h 11e 5kΩ (derivace tečna k charakteristice přechodu báze-emitor v okolí klidového bodu). Parametr h 22e 10µS lze identifikovat v kolektorových chrakteristikách. Tento statický (nesetrvačný) model umožňuje potvrdit simulační výpočet, ve kterém jsme uvedli pro konkrétní tranzistor 2N2222A napět ové zesílení A 180. Uvedený model je možno doplnit dvěma nejvýznamnějšími kapacitory, které reprezentují difuzní kapacitu propustně pólovaného přechodu báze-emitor a bariérovou kapacitu závěrně pólovaného přechodu kolektor-báze. Takto doplněný model lze využít pro výpočet frekvenční charakteristiky zesilovače. Dolní mezní kmitočet bude jistě dán časovou konstantou, která je určena vazebním kondenzátorem C v a vstupním odporem, který je tvořen paralelní kombinací h 11e a odporu, kterým se na vstupu projeví rezistor R p = 800kΩ jeho působení na vstupu obvodu je ovlivněno zpětnovazebním účinkem kolektorového napětí, ke kterému je rezistor R p připojen. Hodnota, kterou na vstupních svorkách působí je cca 3 kω. Horní mezní kmitočet ovlivňují kapacitory C be a C cb. Amplitudová frekvenční chrakteristika je na obrázku A db K 10K 100K 1M 10M f [Hz] Obrázek 9.20: Amplitudová frekvenční charakteristika zesilovače

117 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY Unipolární tranzistor Další významnou polovodičovou součástkou je unipolární tranzistor tranzistor řízený elektrickým polem (FET Field Effect Tranzistor). Strukturu a model tranzistoru FET ukazuje obrázek. S G D B Obrázek 9.21: Vnitřní struktura FETu V polovodičovém materiálu typu P je vytvořena dvojice oblastí s dotací typu N. Předpokládáme, že obě tyto oblasti, označené S (source) a D (drain), jsou vůči substrátu B (bulk) pólovány tak, že jimi neteče proud v propustném směru. To také musíme zabezpečit ve všech praktických obvodových aplikacích. Na povrchu substrátu je izolační vrstva (oxid, nitrid,..) a na ní je vytvořena vodivá elektroda G (gate). Proto se takový tranzistor označuje jako MOS FET (Metal Oxid Semiconductor). Podstatou činnosti tranzistorů řízených elektrickým polem je ovládání vodivosti vrstvy substrátového materiálu, která leží bezprostředně pod řídicí elektrodou gatem. Elektrostaticky ovládaná tzv. inverzní vrstva tvoří vodivý kanál spojující dvě oblasti stejného typu vodivosti. V případě FETu se substrátem typu P spočívá řídicí účinek gatu v tom, že kladným napětím jsou z povrchové vrstvy odtlačeny díry a převládne v ní elektronová vodivost indukuje se kanál typu N. Do takového kanálu mohou volně vstupovat majoritní nosiče (elektrony) z obou oblastí D i S. Celá cesta, kterou prochází proud, je tedy vytvořena polovodičem jednoho typu vodivosti (v našem případě typu N). Proto se také tyto tranzistory označují jako unipolární. Vnitřní struktury FETů se mohou lišit typem vodivého kanálu, tedy mohou být s N kanálem, nebo s P kanálem. Dále rozlišujeme FETy s vestavěným a indukovaným kanálem. To, co jsme až dosud uvedli, platilo pro MOSFET s indukovaným kanálem cesta mezi sourcem a drainem byla při nulovém napětí na gatu nevodivá. Lze však pod řídicí elektrodou technologicky vytvořit vodivou vrstvu, takže kanál vede proud i při nulovém řídicím napětí. Záporným napětím na gatu u tranzistoru s N kanálem je možno kanál uzavřít, kladným napětí otvírat více, než odpovídá vestavěné vodivosti. U tranzistoru s vestavěným P kanálem lze naopak kanál uzavřít kladným napětím na gatu a více otvírat napětím záporným. Řídicí elektrodu lze vytvořit i přechodem PN, který musí být vůči kanálu nevodivý. Napětím na přechodu lze ovládat tloušt ku vyprázdněné vrstvy, která vestavěný kanál přehrazuje. Tyto FETy se označují jako JFETy (Junction FET).

118 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 114 typ kanálu drain indukovaný zabudovaný PN přechod gate source vodivost kanálu P N P N P N Obrázek 9.22: Schematické značky FETů Obrázek 9.22 naznačuje, jak se ve schématech odlišují jednotlivé typy FETů. Je však třeba mít na paměti, že v literatuře je rozšířeno velké množství systémů značení, takže se nelze spolehnout na obrázek a je nutno v textu nebo z funkce obvodu usoudit o jaký typ se jedná Model FETu Řízení proudu mezi drainem a sourcem se uskutečňuje zvětšováním a zmenšováním tloušt ky inverzní vrstvy pomocí napětí řídicí elektrody. Pro malá napětí drainu je řídicí elektrodou ovládán odpor cesty mezi drainem a sourcem. Tento odpor je lineární jen do určitého napětí, za nímž dojde k vyčerpání nosičů, které jsou v kanálu k dispozici. Tím je omezeno další zvětšování proudu. Proto je v modelu na obr tento rezistor vyznačen neobvyklým symbolem s vlnovkou. D u gd r d u db u ds u gb D G B G i ds B S i ds = f ( u gb, u ds ) u gs r s S u sb Obrázek 9.23: Nelineární model FETu Další podrobnosti k modelu a k vlastnostem MOSFETů uvedeme s poukazem na voltampérové charakteristiky na obr [5]. V přívodech ke kanálu jsou v modelu zařazeny rezistory, které reprezentují odpor přívodů a odpor polovodivého materiálu mimo kanál.

119 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 115 oblasti charakteristik lineární saturační ugs i ds u ds i ds ugb ubs uzavřená u gbt uds. Obrázek 9.24: Výstupní charakteristiky MOS FETu V mnoha praktických aplikacích jsou spojeny svorky B a S, takže se často předpokládá u bs = 0 u gb = u gs. Prahové napětí u FETů je takové napětí, při kterém se objevuje inverzní vrstva vzniká kanál a je uznačováno jako u gbt. Pro tranzistory s indukovaným kanálem N je prahové napětí kladné, pro tranzistory s vestavěným kanálem je záporné, a v obou případech se kanál otvírá růstem řídicího napětí směrem ke kladným hodnotám. U tranzistoru s kanálem typu P je tomu naopak. Z charakteristik plyne, že v oblasti označené jako lineární je nutno v modelu počítat s odporem, jehož hodnota je ovládána napětím u gb. V oblasti, kde jsou nosiče náboje vyčerpány a proud drainem se mění s napětím velmi málo, je možno v modelu vodivého kanálu použít napětím řízený zdroj proudu. Podmínkou je, že napětí drainu přesahuje hranici mezi lineární a saturační oblastí. Z charakteristik je zřejmé, že proudový zdroj je napětím řízený zdroj proudu (charakteristiky jsou téměř rovnoběžné s vodorovnou osou). Řídicí účinek není v celém rozsahu proudů drainu konstantou (rzestupy mezi charakteristikami s konstantním krokem napětí gatu mají rostoucí rozestup), tedy musíme počítat s obecnou funkční závislostí. Jen pro velmi malé změny obvodových veličin malé signály, lze najít náhradní obvod s lineárně řízeným zdrojem. i ds = G(u gb ) příp. i ds = G(u gs ). Voltampérovou charakteristiku (indukovaného) kanálu D-S pro různá napětí na řídicí elektrodě ukazuje obr. 9.25

120 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 116 u gs u i ds ds i ds 2.0m 1.5m 1.0m 0.5m x o x ugs 3,64V 3,62V 3,6V 3,58V 3,56V 0.0m u ds Obrázek 9.25: Výstupní charakteristiky MOS FETu Zesilovač s unipolárním tranzistorem Na obrázku 9.26 je schéma zesilovače s MOS tranzistorem, jehož charakteristiky byly na předchozím obrázku Jedná se o tranzistor IRF710 s indukovaným kanálem typu N R R2 5k m 0.4m 0.8m 1.2m 1.6m 2.0m Cv 6,4M 5V 10V ~ 20mV 1uF 3,6V m 0.4m 0.8m 1.2m 1.6m 2.0m t (Secs) R3 3,6M Obrázek 9.26: Zesilovač s MOS FETem Dělič napětí (vytvořený rezistory R 3 a R 2 ) v přívodu gatu nastavuje napětí do oblasti charakteristik, ve které se superponované signálové napětí uplatní v posilovíní proudu i ds při kladné půlvlně vstupního signálu a zeslabování tohoto proudu při záporné půlvlně. Proud i ds, protéká rezistorem R 1 a na výstupu obvodu vidíme zesílený signál. V obr je ukázáno nastavení klidového bodu a vyznačen rozkmit napětí na drainu (kroužek klidový bod, znaky X a čárkované svislice ukazují interval napětí na drainu, ve kterém se pohybuje řešení obvodu pro rozkmit vstupu ±20mV). Podrobnějším zkoumáním obrázků bychom zjistili, že rozkmit kladné půlvlny na výstupu obvodu je nepatně menší než rozkmit půlvlny záporné. Znamená to, že se pohybujeme na mezi přijatelnosti tvrzení, že tranzistor pracuje s malým signálem a je možno ho linearizoat. Dále z obrázku zjistíme, že napět ové zesílení A 60 (1.2V / 20mV). Na obr je lineární model MOS FETu pracujícího v zesilovači z obr Platí samozřejmě pouze pro nastavený klidový bod a malý signál. Z charakteristik na obr lze identifikovat vodivost g ds = 5µ S = i ds / u gs, tedy z nárůstu

121 KAPITOLA 9. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 117 G i g = 0 i ds D u gs g m u gs g ds u ds S(B) Obrázek 9.27: Lineární model MOS FETu proudu na charakteristice s parametrem u gs = 3, 6 V. Parametr g m = 12 ms, a to z přírůstku proudu i ds / u ds. Vstupní odpor v modelu tranzistoru je nekonečný. V úplném zapojení zesilovače je vstupní odpor dán paralelní kombinací R 2 a R 3, rezistorů nezbytných pro stejnosměrného nastavení pracovního napětí na gatu. Vazební kondenzátor zabrání ovlivnění klidového bodu zdrojem signálu. K drainu modelu je připojen zatěžovací rezistor 5 kω, na němž pozorujeme zesílený signál. Klidové napětí je z hlediska posuzování malého signálu nepodstatné. Lineární model celého zesilovače je na obr C v u R R G D g u u gs ds 1 m gs g R u 2 S(B) Obrázek 9.28: Lineární model zessilovače s MOS FETem

122 Kapitola 10 Spínače Spínače hrají v elektrotechnice významnou roli, protože umožňují ovládání celých funkčních bloků jediným povelem zapnout/vypnout (on/off). V elektronice je další významné použití tam, kde chceme vytvořit ze stejnosměrného napětí střídavé a naopak. Stejnosměrné napětí můžeme pomocí spínačů měnit na impulsní a impulsní časové průběhy napětí pak mohou reprezentovat binární informace v logických a výpočetních systémech. Znamená to, že spínače představují kategorii obvodových elementů s ohromným rozsahem možných požadavků, od spínačů, které odpojí elektrárnu od elektrovodné sítě, až po spínače, které v počítači vytvoří ze stejnosměrného napájecího napětí signál pro sběrnici USB. Přesto se pokusíme ukázat, jaké parametry lze pro spínače definovat a jakými hledisky se spínače posuzují Model spínače Vlevo na obr je naznačen plovoucí spínač. Jako plovoucí se označuje proto, že obě jeho svorky mohou mít v rozpojeném stavu různá (nenulová) napětí vůči společné svorce (v okamžiku spojení by ovšem mělo být napětí obou svorek shodné, ale může být nenulové). Jako uzemněný (neplovoucí) označujeme spínač, který spíná proud z určité svorky obvodu k nulovému (zemnímu, společnému) potenciálu. Ze základních funkčních požadavků je třeba uvést potřebu kvalitního spoje v sepnutém stavu, tedy nulového (co nejmenšího) napětí na spínaných svorkách a schopnost vést potřebný, mnohdy velký spínaný proud. Naproti tomu je základním požadavkem na rozpojený spínač zachování dobré izolace mezi spínanými svorkami při požadovaném napětí na svorkách spínače. Platí tedy v ideálním případě, že sepnutý spínač musí představovat zkrat nulové napětí, rozpojený spínač otevřený obvod s požadovaným napět ovým rozdílem na obou svorkách. To je názorně vidět na obr Elementární požadavky na spínač doplňují prvky modelu spínače na obr a jejich vlastnosti. V modelu na obr je zakreslen především ideální spínač SP, který má v roz- 118

123 KAPITOLA 10. SPÍNAČE 119 u 0 u R u R i=0 i=u/r 0 Obrázek 10.1: Rozpojený a sepnutý ideální spínač v elektrickém obvodu on/off r on u in u 2 u 1 u 1 u 2 g off SP i off Obrázek 10.2: Model spínače pojeném stavu nekonečný odpor a v sepnutém stavu odpor nulový. Reálné spínače nemají vlastnosti ideálního spínače. Proto jsou v modelu naznačeny elementy, které mohou nedokonalosti spínače reprezentovat. Jsou to tyto elementy: Rezistor (vodivost) v rozpojeném stavu g off Rušivý proud procházející rozpojeným spínačem i off Odpor v sepnutém stavu r on Rušivé napětí vzniklé na sepnutém spínači u in 1 K vlastnostem spínačů v sepnutém stavu se v technických popisech spínacích součástek uvádí další parametr u on, který je platný pro danou hodnotu sepnutého proudu. Udává celkové napětí vzniklé součtem napětí u in a napětí vytvořeného procházejícím proudem na rezistoru r on Izolace vůči okolí (dalším spínačům) Ovládání mechanické, elektrické Vliv ovládacího obvodu na spínaný obvod Rychlost sepnutí a vypnutí Rychlost sepnutí a vypnutí není nesetrvačný parametr. Věnujeme se mu zvláště u elektronických spínačů. 1 Předpokládá se, že 1/g off r on, takže na model sepnutého spínače mají paralelně připojené součásti modelující vlastností rozpojeného spínače zanedbatelný vliv.

124 KAPITOLA 10. SPÍNAČE Mechanický spínač Mechanické spínače jsou vyrobeny jako dvojice kontaktů, jejichž spojení je ovládáno manuálně nebo jinou vnější silou. Pro kvalitní mechanický spínač, s kontakty ze speciálních kovových slitin platí: Odpor v sepnutém stavu r on může být v řádu tisícin ohmu a záleží na materiálu kontaktů a na stavu jejich povrchu. Rušivé napětí na sepnutém spínači u in vzniká převážně termoelektrickým jevem, pokud spoje mezi různými materiály nemají shodnou teplotu. Jedná se o napětí řádu zlomků milivoltů. Odpor v rozpojeném stavu 1/g off = r off závisí na konstrukci a kvalitě materiálu, na kterém jsou kontakty namontovány. Může dosahovat terraohmů. Rušivý proud vytvořený rozpojeným spínačem i off = 0. Izolace vůči okolí (dalším spínačům) závisí na konstrukci a použitých materiálech. Většinou je působení okolních elektrických obvodů zanedbatelné. Rychlost sepnutí a rozpojení závisí na setrvačných hmotách kontaktů a mechanické konstrukci. Bývá v řádu milisekund až sekund. Specifickým problémem mechanických spínačů jsou tzv. odskoky kontaktů. Jedná se o jev, který souvisí se setrvačným chováním pružného materiálu, z kterého bývají kontakty vyrobeny. V okamžiku sepnutí může dojít ke krátkému (i opakovanému) rozpojení a spojení, které se teprve po čase ustálí v sepnutém stavu. V závislosti na mechanických vlastnostech kontaktu mohou odskoky trvat několik jednotek až desítek milisekund. Tento jev musí být ošetřen všude tam, kde se mechanickým kontaktem ovládá elektronické zařízení vybavené rychle reagujícími obvody, např. ve vstupních obvodech počítačů. Pokud zařízení reaguje velmi rychle (požadavek na přerušení v programu počítače), hrozí nebezpečí, že se odskakujícím kontaktem vyvolá požadovaná reakce vícekrát, než si uživatel přeje Manuálně ovládané spínače Nejběžnější představa spínače se váže ke spínačům v elektrovodné síti (rozsvěcejí a zhasínají osvětlení), tlačítkům domovních zvonků, vypínačům na panelech přístrojů, apod. Ve většině z nich je uplatněn mechanický princip mžikového spínání, kdy předepnutá pružina ( žabka ) v určité poloze ovládacího prvku (páčky, hmatníku) vyvolá rychlý přeskok kontaktu z jedné polohy do druhé s tím, že v sepnutém stavu pružina vyvíjí na kontakt určitý tlak a tím zmenšuje přechodový odpor, případně mechanicky prorazí vrstvu koroze. Zvláštním případem mechanických spínačů jsou klávesy dálkových ovladačů a různých dětských her, u nichž je spínání obvodu zabezpečeno vodičem, který je přitlačen k dvojici kontaktů na desce plošných spojů. Kontakt může být kovový (dobře ošetřený proti korozi), nebo také z vodivé pryže, která tvoří pružnou membránu (obr. 10.3). Odpor v sepnutém stavu může být u takových klávesnic v řádu jednotek až stovek ohmů. Sepnutí je vyhodnoceno elektronickým obvodem.

125 KAPITOLA 10. SPÍNAČE 121 U mobilních telefonů a tabletů jsou klávesy zobrazeny na dotykovém zobrazovači. Program mikropočítače vyhodnocuje polohu dotyku uživatele s povrchem zobrazovače. Se spínacími technologiemi, které zde popisujeme, nemají nic společného. Klávesnice počítačů musí identifikovat velký počet spínaných bodů. Jedná se o identifikaci polohy dvou vzájemně se křížících vodičů v poli na povrchu dvou plošných spojů. Uživatel tlakem na povrch jednoho z plošných spojů umístěných na pružné fólii protlačí vodič otvorem v izolační fólii k povrchu druhé fólie s křížícím se plošným spojem (viz obr. 10.3) dole. Tloušt ka všech tří fólií je v řádu desetin milimetru. PRUŽNÝ KONTAKT VODIVÁ PRYŽ PLOŠNÝ SPOJ NA FÓLII IZOLAČNÍ FÓLIE S OTVORY Obrázek 10.3: Uspořádání spínačů Obrázek 10.4: Spínače Elektromagnetické relé Z hlediska spínaného obvodu je možno elektromagnetické relé považovat po všech stránkách za mechanický spínač, který jsme již popsali. Do úvah vstupuje řídicí elektrický obvod, který může být zcela izolovaný od obvodu spínaného. Je však třeba počítat s možností ovlivnění spínaného obvodu rušivými signály vytvořenými elektromagnetickým polem a kapacitními vazbami.

126 KAPITOLA 10. SPÍNAČE 122 Obrázek 10.5: Klasické relé Relé je sestaveno z elektromagnetu, který pohybuje kotvou a ta mechanicky ovládá spínání, vypínání a přepínání kontaktů. Jedním elektromagnetem lze ovládat větší množství kontaktů s různými funkcemi. Rychlost spínání a vypínání je určována dvěma zpožd ujícími činiteli přechodným dějem ve vinutí cívky induktoru a setrvačnými hmotami kotvy a pérového svazku nesoucího kontakty. Doba přítahu a odpadu kotvy se pohybuje v mezích od desítek milisekund do zlomků sekund. Existují i relé s uměle zpožd ovaným sepnutím nebo rozpojením Jazýčkové kontakty Jazýčkové kontakty představují mechanický spínač s kovovými kontakty obdobných vlastností, jaké jsme popsali v předešlém odstavci. Lze ho ovládat elektricky jako relé, manuálně, nebo působením pohyblivých částí různých zařízení. Jazýčkové kontakty mají kontaktní pružiny vyrobené z feromagnetického materiálu zatavené ve skleněné trubičce. Vnější dostatečně velké magnetické pole zmagnetuje kontaktové pružiny, které se vzájemně přitáhnou a tím se kontakty spojí. V jazýčkovém relé jsou kontakty vloženy do jádra budicí cívky, kde procházející proud vytvoří magnetické pole potřebné k sepnutí. Obrázek 10.6: Jazýčkové relé Rychlá jazýčková relé dosahují spínací a vypínací doby v řádu jednotek až desetin milisekund. Samotný jazýčkový kontakt lze také spínat permanentním magnetem. Může pak sloužit jako indikátor polohy (koncový spínač) a indikátor pohybu. Používá se v zabezpečovacích systémech pro hlídání zavřených oken a dveří bytů. Využívá se i u tlačítek, u kterých je hmatník vybaven pohyblivým permanentním magnetem.