Délka oblouku křivky

Transkript

1 Přechodnice podle Blosse Vypočtěte délku oblouku Blossovy přechodnice na intervalu 0, L Např pro vysokorychlostní tratě mezi ČR a Německem je R 6500m, L 198m 4 1 y ) ( R 4L 5 10L ( vzdálenost bodu přechodnice od začátku přechodnice v tečně y- kolmá vzdálenost bodu přechodnice od tečny ve vzdálenosti od začátku přechodnice R- poloměr směrového oblouku L- délka průmětu přechodnice do tečny - přechodnice normovaná pro použití na železnici i v ČR - rozhodující je průběh (popř změna) křivosti přechodnice především na začátku a na konci přechodnice - výhody: pozvolný růst a pokles křivosti - je již normově upravena v ČR Řešení: Integrovanou funkci nahraďte binomickou řadou Délka oblouku Blossovy přechodnice je s m )

2 Bernoulliova lemniskata Křivku ( y ) a ( y ), a 0 je parametr, můžeme pomocí polárních souřadnic ( ) ( ) cos, y ( ) ( ) sin zapsat ve tvaru ( ) a cos 2 cos, y( ) a cos 2 sin Vypočtěte délku oblouku Bernoulliovy lemniskaty na intervalu 0, 8 - pro regulování vodních toků Nápověda: Nejdříve odvoďte vztah pro délku oblouku Bernoulliovy lemniskaty Daný integrál řešte numericky Řešení: 8 d s a a (Byla použita lichoběžníková metoda s kroky) cos2 0

3 Bernoulliova lemniskata Křivku ( y ) 2a y, a 0 je parametr, můžeme pomocí polárních souřadnic ( ) ( ) cos, y ( ) ( ) sin zapsat ve tvaru ( ) a sin 2 cos, y( ) a sin 2 sin Vypočtěte délku oblouku Bernoulliovy lemniskaty na intervalu, pro regulování vodních toků Nápověda: Nejdříve odvoďte vztah pro délku oblouku Bernoulliovy lemniskaty Daný integrál řešte numericky Řešení: 4 d s a a (Byla použita lichoběžníková metoda s kroky) sin 2 8

4 Klotoida Dokažte, že s je délka oblouku klotoidy, jež je parametrizována obloukem s 2 2 ( s) cost dt, y( s) sin t dt 0 - užívaná zejména v silničním stavitelství a u městských drah - křivost klotoidy se úměrně mění s délkou oblouku - na styku s přímkou má klotoida křivost nulovou - na styku s kruhovým obloukem má klotoida stejnou křivost jako kruhový oblouk - odpadá tak problém s bočním rázem, který se vyskytuje u ostatních přechodnic - má i zjednodušený předpis s 0

5 Přechodnice podle Nördlinga (kubická parabola) Vypočtěte délku oblouku Nördlingovy přechodnice na intervalu 0, L Např pro vysokorychlostní tratě mezi ČR a Německem volte R 6500m, L 198m 3 y( ) 6LR - vzdálenost bodu přechodnice od začátku přechodnice v tečně y- kolmá vzdálenost bodu přechodnice od tečny ve vzdálenosti od začátku přechodnice R- poloměr směrového oblouku L- délka průmětu přechodnice do tečny - užití na železnici hlavně v ČR - rozhodující je průběh (popř změna) křivosti přechodnice především na začátku a na konci přechodnice - výhoda: jednoduchý předpis, snadná údržba a opravný součinitel- proto je užitá u ČD - malá nevýhoda užití spec pro železnici: změna křivosti je konstantní- není pozvolný růst a pokles jako u přechodnice podle Kleina či Blosse Řešení: Integrovanou funkci nahraďte binomickou řadou Délka oblouku Nördlingovy přechodnice je s m

6 Řetězovka Odvoďte délku řetězovky od jejího bodu [0, a], a 0 je parametr f ( ) acosh a - v geodézii se ocelové pásmo napínané na obou koncích prověsí do řetězovky - těžké homogenní dokonale ohebné vlákno zavěšené ve dvou bodech Řešení: s( ) asinh a