NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

Transkript

1 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí: Skupia: [4] 1. Vyšetřete průběh fukce F (b) daé předpisem F (b) = + 1 e bx dx. x e x Diskutujte defiičí obor fukce F, spojitost fukce F, ity v krajích bodech defiičího oboru, derivaci fukce F, ity derivace v krajích bodech defiičího oboru. Najděte if, sup a (lokálí) max, mi (pokud existují). Načrtěte graf. Nápověda: + e ax = π a Řešeí: Fukce F (b) daá přepisem F (b) = + 1 e bx dx x e x má dva rizikové body x = a x = + (měřitelost itegradu je zřejmá ebot fukce f(x, b) je pro libovolé b spojitá fukce proměé x). V okolí uly je ( ) 1 e bx ( bx ) 1! + ( bx)! + = x e x x e x, z čehož okamžitě vidíme, že pro b lze fukci pohodlě dodefiovat itou a itegrál bude (a okolí uly) zcela jistě koečý. Pro b = je samozřejmě F (b) =. (Dokoce platí, že fukce F (b) je v tomto bodě spojitá.) Zbývá zjistit, jak se itegrad chová v druhém rizikovém bodě, a sice v +. Pro všecha b 1 + ε, kde ε je libovolé kladé číslo zřejmě platí 1 e bx (1 + e(1 ε)x )e x x e x x = e x + e εx x a itegrál bude (zajímáme-li se o chováí v + ) zcela jistě koečý. Defiičí obor tedy je [ 1, + ). K výpočtu fukce F (b) využijeme větu o derivaci itegrálu podle parametru, která říká Bud f(x, b) : I J R, kde I R a J R. Necht platí Fukce f(x, b) jakožto fukce proměé b je diferecovatelá pro skoro všecha x I.

2 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Fukce f(x, b) jakožto fukce proměé x je lebesgueovsky měřitelá pro všecha b J. Existuje lebesgueovsky itegrovatelá fukce g : I R taková, že pro skoro všecha b J platí d dbf(x, b) g(x). Existuje b J tak, že fukce f(x, b ) jakožto fukce proměé x je lebesgueovsky itegrovatelá a I. Pak je pro každé b J fukce f(x, b), jakožto fukce x, lebesguovsky itegrovatelá a I, fukce F (b) = f(x, b)dx je diferecovatelá a I a platí df db = I I d f(x, b)dx. db V ašem případě volme I = (, + ), J = ( 1 + ε, + ), kde ε je libovolé kladé číslo. Diferecovatelost fukce f(x, b) = 1 e bx podle proměé b je zřejmá, měřitelost x e podle proměé x jsme diskutovali v úvodu, x bod b J, ve kterém má být fukce f(x, b ) jakožto fukce proměé x je lebesgueovsky itegrovatelá a I, epochybě existuje, protože výše jsme dokoce zjistili, že f(x, b) je lebesgueovsky itegrovatelá pro libovolé b z defiičího oboru. Zbývá ajít itegrovatelou majoratu pro derivaci což je sadé ebot platí d f(x, b) = e (b+1)x, db x I, b ( 1 + ε, + ) : e (b+1)x e ɛx kde fukce a pravé straě je ovšem lebesgueovsky itegrovatelá. Pro fukci F (b) jsme tedy obdrželi df db = + e (b+1)x dx, z čehož plye (užíváme zámého vztahu + e ax df db = 1 π b + 1, odkud itegrováím podle proměé b dostaeme F (b) = π(b + 1) + C, = π a ), že kde C je itegračí kostata. Hodota fukce F (b) v bodě b = je zřejmě F () =, odkud C = π, celkem tedy F (b) = ( b ) π + 1 1,

3 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 odkud F (b) = 1 π a + 1, π F 1 (b) =. 4 (b + 1) 3 Limity fukce a její derivace v krajích bodech defiičího oboru jsou jasé F (b) = π, b 1+ F (b) = +, b + b 1+ F (b) = +, F (b) =. b + Fukce je zřejmě a svém defiičím oboru rostoucí, emá maximum, má miimum (v bodě b = 1), má supremum a ifimum, Průběh fukce je azače a obrázku 1. if b ( 1,+ ) F (b) = π, sup F (b) = +. b ( 1,+ ) [1]. Spočtěte itu + + l(x + ) e x cos x dx. Použijete-li při výpočtu ějakou větu, pečlivě odůvoděte, že jsou splěy patřičé předpoklady. Řešeí: Zjevě platí, že + l(x + ) e x cos x =. Pokud tedy ukážeme, že je možé zaměit itu a itegrál, můžeme sado spočíst původí itu, + + l(x + ) e x cos xdx = + ( + ) l(x + ) e x cos x dx =. Záměu ity a itegrálu lze odůvodit apříklad podle Lebesgueovy věty, která říká: Necht platí:

4 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Posloupost {f } + =1 je posloupost měřitelých fukcí a možiě. Posloupost {f } + =1 koverguje pro skoro všecha x k fukci f, aeb pro skoro všecha x platí + f (x) = f(x). Existuje lebesgueovsky itegrovatelá fukce g, taková, že pro všecha N pro skoro všecha x platí f (x) g(x). Pak platí: Fukce f lebesgueovsky itegrovatelá fukce a možiě. Lze zaměit itu a itegrál, f (x) dx = + f (x) dx = f(x) dx. + Fukce g se azývá itegrovatelá majorata fukce f. Posloupost f je v ašem případě tvořea fukcemi l(x + ) f (x) = def e x cos x. Tyto fukce jsou a itervalu = (, + ) spojité a tudíž měřitelé. Prví předpoklad Lebesgueovy věty je tedy splě. Druhý předpoklad je rověž splě, itu jsme spočetli pro libovolé x. Zbývá ajít itegrovatelou majoratu. (Třetí předpoklad Lebesgueovy věty.) Pro libovolé platí l(x + ) e x cos x l(x + ) e x x + e x (x + 1)e x, kde fukce (x + 1)e x je lebesgueovsky itegrovatelá a. (Fukce (x + 1)e x je spojitá a jakémkoliv uzavřeém itervalu [, K], je tedy Lebesgueovsky itegrovatelá a (, K). Navíc K (x+1)e x dx + (x+1)e x dx, kde druhý z itegrálů je chápá jako Newtoův itegrál. Limití přechod K + a Leviho věta pak zaručují lebesgeovskou itegrovatelost a.) Stačí tedy volit g(x) = def (x + 1)e x. Všechy předpoklady Lebesgueovy věty jsou splěy a lze proto provést záměu ity a itegrálu. [3] 3. Spočtěte plošý obsah možiy R zadaé jako průik moži A a B a C, kde A = { x R x + y R }, B = { x R x + y Ry }, C = { x R x }.

5 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Řešeí: ožia A je kruh se středem v bodě x = [ ] o poloměru R. ožia B je kruh se středem v bodě x = [ R ] o poloměru R. To je zřejmé pokud přepíšeme jako x + y Ry = x + (y R) R =. Pro lepší představu si akreslíme Obrázek. Cílem je spočítat Povšimeme si toho, že možiu lze rozdělit a kruhovou výseč T 1 a kruhovou úseč U 1, Itegrál lze proto přepsat jako dλ = dλ + T 1 dλ. U 1 Pro parametrizaci moži T 1 a U 1 bude vhodé použít polárí souřadice, dλ. x = r cos ϕ, y = r si ϕ. Determiat Jacobiho matice je [ ] cos ϕ r si ϕ det = r. si ϕ r cos ϕ Výpočet plošého obsahu možiy T 1 je jedoduchý, R π dλ = r drdϕ = π T 1 3 r= ϕ= π 6 Pro výpočet plošého obsahu možiy U 1 je uté odpovídajícím způsobem upravit itegračí meze. Dosazeím do vzahu x + y Ry = zjistíme, že oblouk kružice ohraičující možiu U je dá vztahem a proto platí U 1 dλ = Celkem tedy π 6 ϕ= R si ϕ r= dλ = R r = Rr si ϕ, r drdϕ = R π 6 ϕ= ( π 3 + R π 3 R. si ϕ dϕ = R π 6 = R [ ϕ si(ϕ) 4 ) 3 = R ] π 6 ϕ= ϕ= ( π 3 1 cos(ϕ) dϕ ( ) = R π 3 3. ) 3.

6 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 [] 4. Spočtěte x dλ, kde možia R 3 je čtyřstě ohraičeý roviami x =, y =, z =, x + y + z = 1. (Zápis x dλ je je jié začeí pro x dxdydz.) Řešeí: Nakreslíme si Obrázek 3. Použijeme Fubiiho větu, x dλ = N ( 1 x y z= ) 1 x dz dxdy = x= [ 1 x y= ( 1 x y z= ) ] x dz dy dx, kde N začí podstavu čtyřstěu ležící v roviě z =. Zbývá postupě spočíst jedotlivé itegrály, dále 1 x y= ( 1 x y z= a koečě [ 1 1 x x= y= 1 x y z= x dz = x (1 x y), ) 1 x x dz dy = y= x (1 x y) dy ( 1 x y z= ) ] 1 x(1 x) x dz dy dx = dx x= 4 [ x = [ x ( y yx y )] 1 x x(1 x) = y= 4 = 1 4 x3 3 + x3 4 ] 1 x= = 1 48.

7 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 F (b) 1 b π Obrázek 1: Průběh fukce F (b). y R r T 1 ϕ U 1 x R Obrázek : ožia.

8 NAF61, ZS Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 z 1 y 1 y = 1 x x 1 Obrázek 3: ožia.