1 Kvadratické formy. 2 Matice kvadratické formy. Definice Necht B je bilineární forma na V. Q B : V R. Q B (x) = B(x, x), x V

Transkript

1 LA 11. cvičení matice bilineární formy, kvadratické formy Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,011 1 Kvadratické formy Definice Necht B je bilineární forma na V. Kvadratickou formou příslušnou bilineární formě B rozumíme zobrazení Q B : V R definované předpisem Q B (x) = B(x, x), x V Příklad Nalezněte kvadratickou formu příslušnou k bilineární formě B : R R R definované Tak toto bude vskutku jednoduché B([x 1, x, [y 1, y ) = x 1 y + x y 1 Q B (x) = B(x, x) = x 1 x + x x 1 = 3x 1 x Poznámka: Ne, takto jednoduchý příklad nebude na zkoušce. Matice kvadratické formy Definice.0. Necht V je vektorový prostor E je báze V B : V V R je bilineární forma Q je kvadratická forma příslušná k B (tj. x V : B(x, x) = Q(x)) Pak maticí kvadratické formy Q vzhledem k bázi E nazýváme matici symetrické části B vzhledem k bázi E. Tj. [Q E = [B S E (1)

2 Poznámka: Bla, bla, bla.. hodně slov. Ale jde v podstatě o to, že kvadratická forma je příslušná k nějaké bilineární formě. Tato bilineární forma má symetrickou část. Tato symetrická část je také bilineární formou, tedy má svoji matici. A když hovoříme o matici bilineární formy, musíme také hovořit o bázi. Nebo opačně. Máme matici symetrické části bilineární formy vzhledem k bázi E. Víme, že tuto symetrickou část lze vydolovat z předpisu kvadratické formy (viz snaha v předešlém příkladu). No a to je ono. Tato matice je maticí kvadratické formy. Příklad.0. Nalezněte matici kvadratické formy Q pokud je definováno vzhledem ke standartní bázi. Q(x) def = 4x 1 4x 1 x + 3x V prvním kroku nejdříve nalezneme symetrickou část bilineární formě odpovídající této kvadratické formě: B S (x, y) = 1 (Q(x + y) Q(x) Q(y)) Ale to uˇz máme hotovo (viz předešlý příklad) Ted standartní bázi B S (x, y) = 4x 1 y 1 x 1 y x y 1 + 3x y e 1 = [1, 0 e = [0, 1, E = (e 1, e ) A spočteme obrazy kombinací vektorů této báze (dle definice B S ) B S (e 1, e 1 ) = B S ([1, 0, [1, 0) = = 4 B 4x 1 y 1 x 1 y x y 1 +3x y S (e 1, e ) = B S ([1, 0, [0, 1) = = B S (e, e 1 ) = B S (e 1, e ) B S (e, e ) = B S ([0, 1, [0, 1) = = 3 Poznámka: Matice symetrické bilineární formy je symetrická. Vˇzdy. Matice kvadratické formy má tedy tvar [Q E = [B S E = [ 4 3 Poznámka: Matice kvadratické formy je VŽDY symetrická (je totiž rovna symetrické části bilineární formy... atd). Komu vyjde nesymetrická, tomu utrhnu uši. ()

3 Příklad.0.3 Nalezněte matici kvadratické formy Q pokud je definováno vzhledem ke standartní bázi. Příslušná bilineární forma je např. Q(x) def = x 1 x + x 3 + x 1 x x x 3 B(x, y) = x 1 y 1 x y + x 3 y 3 + x 1 y x y 3 A její matice ve standardní bázi je [B E = a matice kvadratické formy zjistíme podle vzorce Lze provést zkoušku Q E = ([B E + [B T E) = [B E = Q(x) = x 1, x, x Dopočet nechám čtenáři, který musí získat původní bilineární formu. Věta.0.1 Necht V je vektorový prostor E je bází V Q je kvadratická forma na V [Q E je maticí Q vzhledem k bázi E x 1 x x 3. Pak v V : Q(v) = [v T E[Q E [v E Poznámka: Tedy to stejné jako u bilineární formy, akorát zde Q(v) = B(v, v). Příklad.0.4 Vyuˇzijte matici z předpředešlého příkladu pro nalezení Q([1, ). (3)

4 Pro jednoduchost označme x ozn = [1,. Tedy nejdříve musíme nalézt [x E kde E je báze vzhledem ke které máme spočítanou matici Q. Toˇz to je standartní báze. Tedy našim úkolem je nalézt souřadnice x ve standartní bázi. Nikoho jistě nepřekvapí, ˇze [x E = x = [1, Pak dosazením (pouˇzitím předešlé věty) [ Q(x) = [x T 4 E[Q E [x E = [1, 3 [ 1 A skutečně, pokud dosadíme do předpisu kvadratické formy: Q(x) = 4x 1 4x 1 x + 3x = 8 = 8 3 Klasifikace bilineárních forem Definice Kvadratická forma Q nad vektorovým prostorem V se nazývá pozitivně definitní, pokud v V, x o : Q(x) > 0 pozitivně semidefinitní, pokud v V, x o : Q(x) 0 negativně definitní, pokud Q je pozitivně definitní negativně semidefinitní, pokud Q je pozitivně semidefinitní indefinitní, pokud není pozitivně ani negativně definitní ani semidefinitní (čili nesplňuje ani jedno z předešlých čtyř bodů) Poznámka: V praxi se symetrické matice často ztotožňují s maticí nějaké kvadratické formy (tj. je nám vcelku jedno, jak daná kvadratická forma vypadá). Pak lze pro symetrické matice zavést stejnou klasifikaci jako u kvadratických forem, např. Symetrická matice A R n,n se nazývá pozitivně definitní, pokud x R n, x o : x T Ax > 0 Analogicky i pro ostatní klasifikace. (4)

5 4 Klasifikace diagonálních matic Nejedná se o nic jiného, než o klasifikaci symetrických matic. Příklad Klasifikujte následující diagonální matice D = jedná se o indefinitní matici (neurčitou), nebot d 11 = 1 > 0 a d = 1 < 0. D = Jedná se o negativně semidefinitní matici (nekladnou), nebot d 11 = 4 < 0, d = 3 < 0, ale d 11 = 0. D = Jedná se o pozitivně definitní matici (kladnou), nebot d 11, d, d 11 > Diagonální matice kvadratické formy Uvažujme diagonální matici D, která je samozřejmě symetrická, tedy je maticí nějaké kvadratické formy. Připomeňme si definici positivně definitní matice (positivně definitní kvadratické formy): x R n : x T Ax > 0 a dosad me naši diagonální matici: x T Dx = [x 1,..., x n d 1... d n x 1. x n = d 1 x d n x n Předpokládáme, že všechna x 1,..., x n nejsou identicky rovna 0. Pak očividně tento součet je pro libovolnou volbu x 1,..., x n R vždy kladný, pokud d 1,..., d n > 0. Pak lze pronést větičku (5)

6 Věta 5.0. Diagonální matice je positivně definitní, pokud všechny její diagonální prvky jsou kladné, tj. i = 1,..., n : d i > 0 Poznámka: Obdobně i pro jiné klasifikace kvadratických forem. Tedy klasifikovat diagonální matici je triviální. Nebylo by pěkné, kdyby se libovolná symetrická matice dala převést na diagonální? Poznámka: Převod matice na diagonální tvar? To už tu bylo - viz. Gauss-Jordanova eliminační metoda. Ale jak to celé dát dohromady? 6 Kongruence Definice Matice A a B se nazývají kongruentní, jestliˇze existuje regulární matice R taková, ˇze A = RBR T Věta Je-li A reálná symetrická matice, pak existuje regulární matice R taková, ˇze kde D je diagonální matice. D = RAR T Poznámka: Matici R budeme hledat pomocí elementárních kongruencí, tj. elementární řádkovou operací, která je bezprostředně následována stejnou sloupcovou úpravou. Počet elementárních řádkových úprav nutných pro úpravu původní matice A na schodový tvar označme k. Necht T j, j = 1,..., k je matice elementární řádkové úpravy. Pak jelikož operace provádíme i na sloupcích a A je symetrická, platí D = T k... T 1 AT 1... T k ozn = RAR T Příklad Pomocí elementárních konguencí převed te matici A = [ 1 1 převed te na diagonální tvar a klasifikujte ji. Matici A tedy postupně pomocí elementárních řádkových úprav převádíme na schodový tvar, příčemˇz ihned po provedení úpravy provedeme sternou úpravu i na sloupcích. Výsledkem pak bude matice v diagonálním tvaru. (6)

7 [ 1 A = 1 r 1 r }{{} T [ [ s 1 s }{{} T T [ Jedná se o indefinitní matici (neurčitou), nebot a 11 = 1 > 0 a a = 3 < 0. Příklad Pomocí elementárních konguencí převed te matici A = převed te na diagonální tvar a klasifikujte ji Matici A tedy postupně pomocí elementárních řádkových úprav převádíme na schodový tvar, příčemˇz ihned po provedení úpravy provedeme sternou úpravu i na sloupcích. Výsledkem pak bude matice v diagonálním tvaru. A = r 1 r 1 + r r s 1 s 1 + s s r 1 r r 3 + r Matice A (libovolná kvadratická forma, která odpovídá matici A) je tedy positivně semidefinitní. Poznámka: Čtenáři se omlouvám, sloupcové úpravy měli být zapsány pod sloupci, ale nepovedlo se mi přijít na to, jak to tu udělat Existuje samozřejmě i jiný spůsob - zapisujme si elementární řádkové úpravy provedené na matici A při úpravě na schodový tvar: r r r 1 + r r r r 3 + r Pak matící elementárních řádkových úprav R jest R = a diagonální matici získáme aplikací sloupcových úprav na matici ve schodovém tvaru D = (RA)R T = = Matice je positivně semidefinitní. (7)

8 7 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel mezi vektory u, v R n cos φ = (u, v) u. v (u, v) = n u i v i je standartní skalární součin i=1 n u = u i i=1 je standartní eukleidovská norma (délka vektorů) Představme si, že úhel vektorů je 90 stupňů, tedy π. Pak cos π = 0. 0 = (u, v) 0 = (u, v) u. v Tedy Kosinova věta by se dala postavit i opačně - pokud skalární součin dvou vektorů je roven nule, pak jsou tyto vektory na sebe kolmé. V dalším učivu budeme uvažovat vzájemně kolmé vektory a nazývat je ortogonálními. Poznámka: Jednoduššeji řečeno vektory jsou na sebe kolmé, pokud skalární součin libovolného vektoru s jiným vektorem z dané množiny je nula a skalární součin stejných vektorů je různý od nuly. Příklad Rozhodněte, zda mnoˇzina vektorů M = {[1, 1, 0, [0, 1, 1, [1, 0, 1} je ortogonální vzhledem ke skalárnímu součinu (u, v) = u 1 v 1 + 4u v + u 3 v 3 Pro jednoduchost si nejprve označme vektory množiny f 1 = [1, 1, 0 f = [0, 1, 1 f 3 = [1, 0, 1 Jelikoˇz skalární součin je symetrická bilineární forma (tj. (u, v) = (v, u)), pak stačí pouze testovat tyto dvojice (například) (f 1, f ) = = 4 (f 1, f 3 ) = = (f, f 3 ) = = Tedy ne, vektory nejsou ortogonální, daná mnoˇzina vektorů není ortogonální. (8)

9 8 Reference [1 Z. Dostál, Lineární algebra, skriptum, Ostrava [ V. Vondrák, LA1-10. cvičení [3 V. Vondrák, LA1-11. cvičení (9)