Čtyři body na kružnici

Transkript

1 Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

2 Problematika čtyř bodů na kružnici důkazové úlohy matematické soutěže nedostatečná metodika v učebnicích Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

3 Dostupné prostředky analytická geometrie syntetická geometrie vlastnosti obvodových úhlů mocnost bodu ke kružnici Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

4 Dostupné prostředky analytická geometrie syntetická geometrie vlastnosti obvodových úhlů mocnost bodu ke kružnici Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

5 Vlastnosti obvodových úhlů Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

6 Věta 1 Konvexnímu čtyřúhelníku CD lze opsat kružnici, právě když platí C = D. C D Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

7 Věta 2a Konvexnímu čtyřúhelníku CD lze opsat kružnici, právě když platí D + DC = DC + C = 180. C D Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

8 Věta 2b Konvexnímu čtyřúhelníku CD lze opsat kružnici, právě když velikost vnitřního úhlu při kterémkoliv jeho vrcholu je shodná s velikostí vedlejšího úhlu u vrcholu protějšího. C D Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

9 Příklad 1 Nechť CD je rovnoramenný lichoběžník se základnami a CD, P průsečík jeho úhlopříček a O střed kružnice jemu opsané. Dokažte, že body, C, P, O leží na téže kružnici. D C P O Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

10 Příklad 2 Je dán pravoúhlý trojúhelník C s pravým úhlem při vrcholu C, bod M jako pata kolmice z vrcholu C na stranu c a body K, L ležící po řadě na stranách C, C, přičemž platí 2 K = CK a 2 CL = L. Dokažte, že body K, C, L a M leží na téže kružnici. 1. způsob: C L K M Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

11 Příklad 2 Je dán pravoúhlý trojúhelník C s pravým úhlem při vrcholu C, bod M jako pata kolmice z vrcholu C na stranu c a body K, L ležící po řadě na stranách C, C, přičemž platí 2 K = CK a 2 CL = L. Dokažte, že body K, C, L a M leží na téže kružnici. 2. způsob: C L K M Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

12 Mocnost bodu ke kružnici Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

13 Věta 3 Nechť je dán konvexní čtyřúhelník CD a předpokládejme, že se přímky a CD protínají v bodě M. Čtyřúhelníku CD lze opsat kružnici, právě když platí M M = MD MC. D C M Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

14 Věta 4 Nechť P je průsečík úhlopříček konvexního čtyřúhelníku CD. Čtyřúhelníku CD lze opsat kružnici, právě když platí P PC = P PD. C D P Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

15 Příklad 3 Nechť L je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku C kružnice opsané čtverci CD. Označme K průsečík přímek L a CD, M průsečík přímek D a CL a N průsečík přímek MK a C. Dokažte, že body, L, M a N leží na téže kružnici. M L D K C P N Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

16 Příklad 4 Jsou dány kružnice k, l, které se protínají v bodech,. Označme K, L po řadě dotykové body jejich společné tečny zvolené tak, že bod je vnitřním bodem trojúhelníku KL. Na kružnicích k a l zvolme po řadě body N a M tak, aby bod byl vnitřním bodem úsečky MN a MN KL. Dokažte, že pokud přímka MN je tečnou kružnice opsané trojúhelníku KL, je čtyřúhelník KLMN tětivový. Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

17 N k l M K L P m Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

18 Příklad 5 uď CD tětivový čtyřúhelník. Nechť jsou I 1, I 2 středy kružnic vepsaných po řadě trojúhelníkům C a D. Dokažte, že také čtyřúhelník I 1 I 2 je tětivový. D C I 2 I 1 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

19 Děkuji za pozornost. Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19

20 Literatura ndreescu, T. Rolínek, M. Tkadlec, M.: 107 Geometry Problems From the wesomemath Year-Round Program. Plano: XYZ Press, Monk, D.: New Problems in Euclidean Geometry. Leeds: United Kingdom of Mathematics Trust, Pomykalová, E.: Matematika pro gymnázia. Planimetrie. 4., upravené vydání. Praha: Prometheus, Učebnice pro střední školy. Ponarin, J. P.: Elementarnaja geometrija. Tom 1: Planimetrija, preobrazovanija ploskosti (rusky). 1. vyd. Moskva: MCNMO, Švrček, J.: Gradované řetězce úloh v práci s matematickými talenty. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, Švrček, J.: Jak provádět důkazy v planimetrii? Olomouc, Shrnutí příspěvku k výjezdnímu soustřední matematických talentů, Karlov pod Pradědem, únor Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu / 19