Pravdìpodobnostní popis

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravdìpodobnostní popis"

Transkript

1 Pravdìpodobnostní popis 1/19 klasická mechanika { stav = { r 1,..., r N, p 1,..., p N } stavù je { hustota pravdìpodobnosti stavù ρ( r 1,..., r N, p 1,..., p N ) kvantové mechaniky { stav = stavù je koneènì mnoho, pravdìpodobnost stavu π() mikrostav makrostav soubor kongurace (mikrostav) = makrostav = zprùmìrovaný makroskopický projev v¹ech mikrostavù soubor = v¹echny mikrostavy s danou pravdìpodobností (π()) trajektorie = vývoj mikrostavù v èase ((t)) Ergodická hypotéza: soubor = trajektorie

2 [tchem/simolant1+2.sh] Mikrokanonický soubor a ergodická hypotéza 2/19 Mikrokanonický soubor = soubor mikrostavù v izolovaném systému Ozn. NVE (N = const, V = const, E = const) Ergodická hypotéza (kvantová): π( i ) = const = 1 W (W = poèet v¹ech stavù) Ergodická hypotéza (klasická): trajektorie procházejí prostorem þstejnì hustìÿ pøesnìji: fázovým prostorem Jinými slovy: Èasová støední hodnota = 1 X t = lim t t t 0 X(t) dt = souborová støední hodnota = X = 1 X() W pro velièinu X = X(), kde = (t)... ale s T = const se líp poèítá

3 Kanonický soubor: T = konst 3/19 Pravdìpodobnost stavu π() = π(e()) Dva (málo se ovlivòující systémy): π(e 1+2 ) = π(e 1 + E 2 ) = π(e 1 ) π(e 2 ) ln π(e 1 + E 2 ) = ln π(e 1 ) + ln π(e 2 ) ln π(e i ) = α i βe i π(e i ) = e α i βe i α i je aditivní (její fyzikální význam zatím odlo¾íme) β je stejná pro v¹echny systémy = vlastnost termostatu = empirická teplota. Po srovnání s ideálním plynem vyjde β = 1 k B T. Boltzmannova konstanta: k B = k = R/N A = J K 1

4 Støední hodnota 4/19 Zobecnìní støední hodnoty: X = X()π(E()) = X()e α βe() = X()e βe() e βe() Boltzmannùv faktor: e E()/k BT credit: scienceworld.wolfram.com/biography/boltzmann.html

5 Pøíklady 5/19 Arrheniova rovnice ( E ) k = A exp RT (Integrovaná) Clausiova-Clapeyronova rovnice: [ ( výp H 1 p = p 0 exp R T 1 )] ( ) výp H = const exp T 0 RT Barometrická rovnice Energie molekuly o rychlosti v je dána vztahem E = mgh m v2 p = p st exp( βmgh) = p st exp ( mgh ) k B T = p st exp ( Mgh ) RT Lze spoèítat i z podmínky mechanické rovnováhy, dp = ρgdh, kde ρ vezmeme ze stavové rovnice ideálního plynu, ρ = Mp/RT.

6 Termodynamika 6/19 Vnitøní energie U = E()π() Malá zmìna této velièiny je du = π() de() + dπ() E() de(): zmìnila se energetická hladina dπ(): zmìnila se pravdìpodobnost výskytu stavu Termodynamika: du = p dv + TdS p dv þpístÿ o plo¹e A posuneme o dx. Zmìna energie = de() = mechanická práce = Fdx = F/A d(ax) = p() dv p() = þtlak stavu ÿ, tlak = p = π()p(). TdS Zmìna π() [V] = zmìna zastoupení stavù s rùznou energií = teplo

7 Boltzmannova rovnice pro entropii [jkv pic/boltzmanntomb.jpg] 7/19 π(e) = exp(α i βe) dπ()e() =... aneb druhá polovina statistické termodynamiky E() = k B T[α i ln π()], dπ() = 0 β=1/k B T dπ()k B T[α i ln π()] = k B T = k B T d π() ln π() dπ() ln π() Porovnáním s TdS: S = k B π() ln π() { credit: schneider.ncifcrf.gov/images/ 1/W pro E = E() boltzmann/boltzmann-tomb-8.html Mikrokanonický soubor: π() = 0 pro E E() Uva¾ujeme-li pøechody Boltzmannova rovnice: S = k B ln W mezi stavy, lze odvodit i ds dt 0 (H-teorém) Vlastnost: S 1+2 = S 1 + S 2 = k B ln(w 1 W 2 ) = k B ln(w 1+2 )

8 Boltzmannùv H-teorém (2. zákon termodynamiky)+ 8/19 Fermiho zlaté pravidlo pro pravdìpodobnost pøechodu stavu φ na zpùsobenou poruchovým Hamiltoniánem H pert (v izolovaném systému): dπ(φ ) W(φ ) = 2π dt h φ H pert 2 ρ nal = W( φ) = W φ Zmìna zastoupení stavu (master equation): dπ() dt = φ π(φ)w(φ ) π() φ W( φ) = φ Rychlost zmìny entropie: ds dt = k d B π() ln π() = k dt B ln π() φ Trik: zamìníme φ a seèteme: ds dt = k B 2 W φ [π(φ) π()] W φ [π(φ) π()] W φ [ln π(φ) ln π()][π(φ) π()] 0,φ entropie izolovaného systému neklesá Loschmidtùv paradox: Irreverzibilita z reverzibilních mikroskopických zákonù

9 Termodynamika { dokonèení + 9/19 α =? a tedy S = k B π()[α βe()] = α = U TS k B T F = k B T ln ( k B α U T ) Helmholtzova (volná) energie = F k B T e βe() [...] = kanonická partièní funkce = statistická suma (Q nebo Z) Interpretace: poèet þdostupnýchÿ stavù (nizkoenergetické snadno, vysokoenergetiské nesnadno) V¹e umíme z F (df = pdv SdT): p = F V S = F T U = F + TS H = U + pv G = F + pv

10 Semiklasická partièní funkce 10/19 Hamiltonùv formalismus (viz pøí¹tì): polohy atomù = r i, hybnosti = p i : E = H = U + E kin, U = E pot = U( r 1,..., r N ), E kin = i p 2 i 2m souèty pøes stavy nahradím integrály: F = k B T ln Z Z = e βe() = 1 N!h 3N exp[ βh( r 1, r 2,..., r N, p 1,..., p N )] d r 1 d p N kde h = 2π h = Planckova konstanta. Proè faktoriál? Èástice jsou nerozli¹itelní... ale jsou v rùzných kvantových stavech Proè Planckova konstanta? Má správný rozmìr (Z musí být bezrozmìrné) Stejný výsledek dostaneme pro neinteragující kvantové èástice v krabici (viz dále)

11 Semiklasická partièní funkce 11/19 Integrály pøes polohy a hybnosti jsou separované Integrály pøes bybnosti lze spoèítat: exp( p 2 1,x /2k BTm) = 2πk B Tm Po 3N integracích dostaneme Z = Q N!Λ 3N, de Broglieova tepelná vlnová délka Λ = h 2πmkB T Λ = de Broglieova vlnová délka pøi typické rychlosti za dané teploty T po¾adavek: Λ typická vzdálenost atom{atom (V/N) 1/3 Konguraèní integrál: Q = exp[ βu( r 1,..., r N )] d r 1... d r N Støední hodnota statické velièiny (pozorovatelné): X = 1 X( r Q 1,..., r N ) exp[ βu( r 1,..., r N )] d r 1... d r N rozli¹uj: U (vnitøní energie) a U( r 1,...) (potenciál)

12 de Broglieova tepelná vlnová délka 12/19 Je-li de Broglieova tepelná vlnová délka del¹í nebo srovnatelná se vzdáleností atomù, nelze pou¾ít klasickou mechaniku Pøíklad a) Vypoètìte Λ pro helium pøi T = 2 K. b) Srovnejte s typickou vzdáleností atomù v kapalném heliu (hustota g cm 3 ). a) 6.2 A; b) 3.8 A credit: hight3ch.com/superfluid-liquid-helium/

13 Semiklasický jednoatomový ideální plyn 13/19 Q = exp[0] d r 1... d r N = V d r 1 V d r N = V N Z = Ovìøení: Q N!Λ 3N = µ = VN N!Λ 3N V N N N e N Λ 3N, ( ) F p = V T = k BTN V F = k BT ln Z = k B TN ln Ve NΛ 3 = nrt V ( ) F U = F + TS = F T = 3Nk BT T V 2 ( ) ( ) ( ) F NΛ 3 pλ 3 = k N B T ln = k T,V V B T ln k B T G = F + pv = k B TN ln NΛ3 Ve + Nk BT = Nµ Pozn.: e = Eulerova konstanta (elementární náboj = e)

14 Kvantový jednoatomový ideální plyn 14/19 Vlastní hodnoty energie bodové èástice v krabici a b c: ( ) E = h2 n 2 x 8m a 2 + n2 y b 2 + n2 z c 2 Pøedpoklad: teplota je tak vysoká, ¾e máme jen málo èástic ve stejném kvantovém stavu, tedy nemusíme rozli¹ovat fermiony vs. bosony (ekvivalentnì Λ vzdálenost èástic) Partièní funkce: Z 1 = exp( βe) n x =1 n y =1 n z = exp( βe) dn x dn y dn z = V Λ 3 N E = E i Z = 1 N! ZN 1 i=1 Ano, je to to samé volba faktoru 1/h 3N v semiklasické Z je správná

15 Izobarický soubor: p = konst 15/19 Stejný argument pro V jako pro E: π(v 1+2 ) = π(v 1 + V 2 ) = π(v 1 ) π(v 2 ) Dohromady: π = exp(α i βe γv) γ je univerzální vlastnost barostatu { urèíme z jednoatomového id. plynu V = Ve βe kine γv dvd r 1... d p N e βe kin e γv dvd r 1... d p N = V N+1 e γv dv V N e γv dv = N + 1 γ Triky pro výpoèet: d p1... d p N dává nahoøe i dole stejnou hodnotu, toti¾ Λ 3N d r1... d r N = V N toti¾ správnì: XdVd r 1... d r N = 0 [ V... V Xd r 1... d r N ]dv (tj. zále¾í na poøadí integrace { dv a¾ nakonec) taky lze substituovat V 1/3 ξ i = r i, pak d r 1... d r N = V N dξ 1... dξ N (pak nezále¾í na poøadí integrace) 0 VN e γv dv = N!/γ N+1 (rekurzivním výpoètem per partes) V se má rovnat Nk B T/p (v limitì N ) γ = p/(k B T).

16 Izobarický soubor: p = konst (pokr.) Normalizaèní konstanta α (z Boltzmannovy rov. a e α = 1/Z NpT ): S = k B π()[α βe() γv] = k B α U T p V T 16/19 k B T ln Z NpT = U TS + p V = G kde (βp zaji¹»uje bezrozmìrnost) Z NpT = βp N!h 3N e β(e+pv) d r 1... d p N dv N Dále V ( ) ln ZNpT = β V + 1 ( ) G p T p èili = V k BT p T p Pøíklad: Ovìøte poslední vztah pøímou derivací lnz NpT podle p Støední hodnota velièiny X v izobarickém souboru je k B T/p X = Xe β(e+pv) dvd r 1... d p N Z NpT

17 Grandkanonický soubor: µ = konst 17/19 Stejný argument pro N jako pro E: π(n 1+2 ) = π(n 1 + N 2 ) = π(n 1 ) π(n 2 ) Dohromady: π = exp(α i βe + δn) δ je univerzální vlastnost zdroje èástic { urèíme z jednoatomového id. plynu N h 3N N! e βe kine δn N V N d r 1... d p N N! Λ N=0 id. 3NeδN N=0 N = = 1 h 3N N! e βe kine δn 1 V N = V Λ 3eδ d r 1... d p N N! Λ 3NeδN N=0 Triky pro výpoèet: d p1... d p N = Λ 3N d r1... d r N = V N N=0 1N! x N = e x, kde x = VN Λ 3NeδN derivace dle x: 1 N! Nx N 1 = e x N=0 N N! x N = xe x Srovnáním s exp( βµ id ) = V/(Λ 3 N) dostaneme δ = βµ.

18 Grandkanonický soubor: µ = konst (pokr.) 18/19 Normalizaèní konstanta α (z Boltzmannovy rov. a e α = 1/Z µvt ): S = k B π()[α βe() + δn] = k B α U T + µ N T k B T ln Z µvt = U TS µ N = Ω kde Z µvt = e βµn h 3N e βe d r d p N N! Grandkanonický potenciál Ω = F µn = F G = pv df = SdT pdv + µdn dω = SdT pdv Ndµ

19 Grandkanonický soubor: µ = konst (pokr.) Støední hodnota velièiny X v grandkanonickém souboru je a N h 3N Xe βe d r 1... d p N N! N=0 X = a N, kde a = e βµ. h 3N e βe d r 1... d p N N! N=0 19/19 Poslední rovnici zintegrujeme pøes hybnosti; pro X = X(N, r N ) platí: a N Λ 3N Xe βu d r 1... d r N N! N=0 X = a N (1) Λ 3N e βu d r 1... d r N N! N=0 Kvocient v øadì (1) mù¾eme vyjádøit takto a Λ 3 = eβµ res ρ, ρ = N V, µ res = µ µ id (ρ) µ res je reziduální chemický potenciál = chem.pot. vzhledem ke standardnímu stavu ideální plyn za dané teploty a objemu (= hustoty), co¾ lze srovnat s tabulkami (po pøepoètu ze std. stavu p st dle stavové rov.id. pl.).

Statistická termodynamika (mechanika)

Statistická termodynamika (mechanika) Statistická termodynamika (mechanika) 1/16 Makroskopické velièiny jsou výsledkem zprùmìrovaného chování mnoha èástic Tlak ideálního plynu z kinetické teorie 1 [tchem/simplyn.sh] 2/16 Molekula = hmotný

Více

Statistická termodynamika (mechanika)

Statistická termodynamika (mechanika) Statistická termodynamika (mechanika) 1/18 Makroskopické velièiny jsou výsledkem zprùmìrovaného chování mnoha èástic Tlak ideálního plynu z kinetické teorie 1 [simolant -I0] 2/18 Molekula = hmotný bod

Více

Statistická termodynamika (mechanika) Makroskopické velièiny jsou výsledkem zprùmìrovaného chování mnoha èástic

Statistická termodynamika (mechanika) Makroskopické velièiny jsou výsledkem zprùmìrovaného chování mnoha èástic Statistická termodynamika (mechanika) 1/23 Makroskopické velièiny jsou výsledkem zprùmìrovaného chování mnoha èástic Tlak ideálního plynu z kinetické teorie 1 [simolant -I0] 2/23 Molekula = hmotný bod

Více

Termodynamika. Vnitøní energie. Malá zmìna této velièiny je

Termodynamika. Vnitøní energie. Malá zmìna této velièiny je Termodynamika 1/19 Vnitøní energie U = ψ E(ψ)π(ψ) Malá zmìna této velièiny je du = ψ π(ψ) de(ψ) + ψ dπ(ψ) E(ψ) de(ψ): zmìnila se energetická hladina dπ(ψ): zmìnila se pravdìpodobnost výskytu stavu ψ Termodynamika:

Více

Fluktuace termodynamických veličin

Fluktuace termodynamických veličin Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ

Více

Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I)

Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I) Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I) 1/16 0. zákon 1. zákon id. plyn: pv = nrt pv κ = konst (id., ad.) id. plyn: U = U(T) }{{} Carnotùv cyklus dq T = 0 2. zákon rg, K,... lim S = 0 T 0 S, ds = dq

Více

Lekce 4 Statistická termodynamika

Lekce 4 Statistická termodynamika Lekce 4 Statistická termodynamika Osnova 1. Co je statistická termodynamika 2. Mikrostav, makrostav a Gibbsův soubor 3. Příklady Gibbsových souborů 4. Souborové střední hodnoty 5. Časové střední hodnoty

Více

Termochemie { práce. Práce: W = s F nebo W = F ds. Objemová práce (p vn = vnìj¹í tlak): W = p vn dv. Vratný dìj: p = p vn (ze stavové rovnice) W =

Termochemie { práce. Práce: W = s F nebo W = F ds. Objemová práce (p vn = vnìj¹í tlak): W = p vn dv. Vratný dìj: p = p vn (ze stavové rovnice) W = Termochemie { práce Práce: W = s F nebo W = Objemová práce (p vn = vnìj¹í tlak): W = V2 V 1 p vn dv s2 Vratný dìj: p = p vn (ze stavové rovnice) W = V2 V 1 p dv s 1 F ds s.1 Diferenciální tvar: dw = pdv

Více

Opakování: Standardní stav þ ÿ

Opakování: Standardní stav þ ÿ Opakování: Standardní stav þ ÿ s.1 12. øíjna 215 Standardní stav þ ÿ = èistá slo¾ka ve stavu ideálního plynu za teploty soustavy T a standardního tlaku = 1 kpa, døíve 11,325 kpa. Èistá látka: Pøibli¾nì:

Více

Viriálová stavová rovnice 1 + s.1

Viriálová stavová rovnice 1 + s.1 Viriálová stavová rovnice 1 + s.1 (Mírnì nestandardní odvození Prùmìrná energie molekul okolo vybrané molekuly (β = 1/(k B T : 0 u(r e βu(r 4πr 2 dr Energie souboru N molekul: U = f 2 k B T + N 2 2V Tlak

Více

Molekulové modelování a simulace

Molekulové modelování a simulace Molekulové modelování a simulace c Jiří Kolafa (24. srpna 2018) mujweb.cz/kolafa Ústav Fyzikální chemie, VŠCHT Praha Tato skripta jsou určena pro následující předměty vyučované na VŠCHT Praha: Počítačová

Více

Molekulové modelování a simulace

Molekulové modelování a simulace Molekulové modelování a simulace c Jiří Kolafa (3. května 2018) mujweb.cz/kolafa Ústav Fyzikální chemie, VŠCHT Praha Tato skripta jsou určena pro následující předměty vyučované na VŠCHT Praha: Počítačová

Více

Tento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně.

Tento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně. Statistická fyzika - cvičení RNDr. Filip Moučka, Ph.D., filip.moucka@ujep.cz Tento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně. Cílem tohoto textu

Více

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno JAMES WATT 19.1.1736-19.8.1819 Termodynamika principy, které vládnou přírodě Obsah přednášky Vysvětlení základních

Více

Příklady ke zkoušce ze statistické fyziky

Příklady ke zkoušce ze statistické fyziky Příklady ke zkoušce ze statistické fyziky Tomáš Záležák. Uvažujte dvoučásticovou soustavu se třemi kvantovými stavy s energiemi E {, ε a ε}. Teplotu T soustavy udržuje termostat. a) Zapište výraz pro stavovou

Více

Fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302. 14. února 2013

Fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302. 14. února 2013 Fyzikální chemie Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302 14. února 2013 Co je fyzikální chemie? Co je fyzikální chemie? makroskopický přístup: (klasická) termodynamika nerovnovážná

Více

Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly. i = 1,..., N. r i. U = i<j. u(r ij ) du(r ji ) r ji

Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly. i = 1,..., N. r i. U = i<j. u(r ij ) du(r ji ) r ji Molekulová dynamika Síly: tuhé koule ap. { nárazy þklasickáÿ MD { integrace pohybových rovnic 1/20 Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly Pøíklad: f i =

Více

4 Term ika. D ůsledky zavedení tep lo ty a tep la Stavová r o v n i c e Stavová rovnice termická a kalorická

4 Term ika. D ůsledky zavedení tep lo ty a tep la Stavová r o v n i c e Stavová rovnice termická a kalorická Obsah Předm luva И 1 Výchozí představy term odynam iky 13 1.1 Předmět zkoumání termodynamiky... 13 1.1.1 Celkový r á m e c... 13 1.1.2 Teplo, teplota, e n tr o p ie... 14 1.1.3 Vymezení term o d y n am

Více

Termodynamika a živé systémy. Helena Uhrová

Termodynamika a živé systémy. Helena Uhrová Termodynamika a živé systémy Helena Uhrová Základní pojmy termodynamiky soustava izolovaná otevřená okolí vlastnosti soustavy znaky popisující soustavu stav rovnováhy tok m či E =0 funkce stavu - soubor

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) 1 Statistická fyzika Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Cíl statistické fyziky: vysvětlit makroskopické vlastnosti látky na základě mikroskopických vlastností jejích elementů,

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

Termodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn

Termodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Termodynamika materiálů Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Důležité konstanty Standartní podmínky Avogadrovo číslo N A = 6,023.10

Více

Cvičení z NOFY / Termodynamika. 1 Cvičení Totální diferenciál. 1.1 Totální diferenciál Teplota a tlak pro ideální plyn

Cvičení z NOFY / Termodynamika. 1 Cvičení Totální diferenciál. 1.1 Totální diferenciál Teplota a tlak pro ideální plyn Cvičení z NOFY031 2009/2010 1 Termodynamika 1 Cvičení 1.10.2008 Totální diferenciál 1.1 Totální diferenciál 1. Jsou zadány dva výrazy: df 1 (x, y) = 6xy 3 dx + 9x 2 y 2 dy, df 2 (x, y) = 6xy 2 dx + 9x

Více

Statistická termodynamika

Statistická termodynamika Statistická termodynamika Jan Řezáč UOCHB AV ČR 24. listopadu 2016 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Statistická termodynamika 24. listopadu 2016 1 / 38 Úvod Umíme popsat jednotlivé molekuly (případně jejich interakce)

Více

Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky

Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky Cvičení termodynamiky a statistické fyiky 1Nechť F(x, y=xe y Spočtěte F/ x, F/, 2 F/ x 2, 2 F/ x, 2 F/ x, 2 F/ x 2 2 Bud dω = A(x, ydx+b(x, ydy libovolná diferenciální forma(pfaffián Ukažte, ževpřípadě,žedωjeúplnýdiferenciál(existujefunkce

Více

Fáze a fázové přechody

Fáze a fázové přechody Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Fáze a fázové přechody Pojem fáze je zobecněním pojmu skupenství, označuje homogenní část makroskopického tělesa. Jednotlivé fáze v

Více

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Molekulové modelování a simulace

Molekulové modelování a simulace Molekulové modelování a simulace c Jiří Kolafa (13. března 2017) mujweb.cz/kolafa Ústav Fyzikální chemie, VŠCHT Praha Tato skripta jsou určena pro následující předměty vyučované na VŠCHT Praha: Počítačová

Více

Obsah. Chyby a nedostatky hlaste prosím autorovi. 1 Úvod 3

Obsah. Chyby a nedostatky hlaste prosím autorovi. 1 Úvod 3 Molekulové modelování a simulace c Jiří Kolafa (jiri.kolafa@vscht.cz), 23. září 214, Ústav Fyzikální chemie, VŠCHT Praha Tento text obsahuje m.j. upravené části skript Skripta Fyzikální chemie bakalářský

Více

Plyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2

Plyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 Plyny Plyn T v, K Vzácné plyny 11 plynných prvků He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn 165 Rn 211 N 2 O 2 77 F 2 90 85 Diatomické plynné prvky Cl 2 238 H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 H 2 He Ne Ar Kr Xe 20 4.4 27 87 120 1 Plyn

Více

Fenomenologická termodynamika

Fenomenologická termodynamika Atkins 1 Fenomenologická termodynamika Popisuje makroskopický stav Neuvažuje vnitřní stavbu hmoty okolí termodynamická soustava (systém) okolí Vnitřní parametry teplota T vnitřní energie U tlak p látková

Více

Molekulové modelování a simulace

Molekulové modelování a simulace Molekulové modelování a simulace c Ji í Kolafa (24. února 2019) https://web.vscht.cz/~kolafaj Ústav Fyzikální chemie, V CHT Praha Tato skripta jsou ur ena pro následující p edm ty vyu ované na V CHT Praha:

Více

Energie, její formy a měření

Energie, její formy a měření Energie, její formy a měření aneb Od volného pádu k E=mc 2 Přednášející: Martin Zápotocký Seminář Aplikace lékařské biofyziky 2014/5 Definice energie Energos (ἐνεργός) = pracující, aktivní; ergon = práce

Více

Úvodní info. Studium

Úvodní info.   Studium [mozilla le:/home/jiri/www/fch/cz/pomucky/kolafa/n4316.html] 1/16 Úvodní info Jiøí Kolafa Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, místnost 325 (zadním vchodem) jiri.kolafa@vscht.cz 2244 4257 Web pøedmìtu:

Více

Molekulové modelování a simulace

Molekulové modelování a simulace Molekulové modelování a simulace c Ji í Kolafa (24. února 2019) https://web.vscht.cz/~kolafaj Ústav Fyzikální chemie, V CHT Praha Tato skripta jsou ur ena pro následující p edm ty vyu ované na V CHT Praha:

Více

Rovnováha kapalina{pára u binárních systémù

Rovnováha kapalina{pára u binárních systémù Rovnováha kapalina{pára u binárních systémù 1 Pøedpoklad: 1 kapalná fáze Oznaèení: molární zlomky v kapalné fázi: x i molární zlomky v plynné fázi: y i Poèet stupòù volnosti: v = k f + 2 = 2 stav smìsi

Více

Exponenciální rozdìlení

Exponenciální rozdìlení Exponenciální rozdìlení Ing. Michael Rost, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích Katedra aplikované matematiky a informatiky Exponenciální rozdìlení Exp(A, λ) "Rozdìlení bez pamìti" Exponenciální

Více

Matematika II Urèitý integrál

Matematika II Urèitý integrál Matematika II Urèitý integrál RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Motivace Je dána funkce f(x) = 2 + x2 x 4. Urèete co

Více

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST KCH/P401 Ivo Nezbeda Ústí nad Labem 2013 1 Obor: Klíčová slova: Anotace: Toxikologie a analýza škodlivin, Chemie

Více

Fyzika základního kurzu I (hypertextově) seznam důležitých skutečností

Fyzika základního kurzu I (hypertextově) seznam důležitých skutečností Fyzika základního kurzu I (hypertextově) seznam důležitých skutečností kolektiv ÚFI FSI Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně Tento text obsahuje rovnice, které jsou barevně vyznačeny v textu Fyzika. Kliknutím

Více

z ruštiny, Kvasnicova monografie Statistická fyzika [7] z roku 1983, která je sice skvělým zdrojem

z ruštiny, Kvasnicova monografie Statistická fyzika [7] z roku 1983, která je sice skvělým zdrojem Předmluva Tato skripta vznikla z potřeby pokrýt českým textem výuku statistické fyziky na PřF UJEP v Ústí nad Labem. Pokud je autorovi známo existují v česky psané literatuře tři monografie věnované statistické

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

2. Statistický popis plazmatu

2. Statistický popis plazmatu Statistický popis plazmatu 60 Statistický popis plazmatu Při popisu typického plazmatu je technicky nemožné popsat trajektorie všech částic Jen v řídkém plazmatu mezihvězdného prostoru nalezneme miliony

Více

Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí Maxwellovo({Boltzmannovo rozdìlení rychlostí 1/32 Pravdìpodobnost, ¾e molekulu nalezneme v krychlièce o velikosti dxdydz se souøadnicemi v intervalech [x, x+dx, [y, y+dy a [z, z + dz a zároveò s rychlostmi

Více

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování eideální plyny b H Q(, V, T )... e dp 3... dpdr... dr! h Integrace přes hybnosti QVT (,, ) pmkt! h 3 / e dr dr dr /... U kt... eideální chování p kt r B ( T) r B ( T) r 3 3 Vyšší koeficinety velice složité

Více

PŘEDMLUVA. Praha, prosinec Anatol Malijevský

PŘEDMLUVA. Praha, prosinec Anatol Malijevský PŘEDMLUVA Tento učební text vznikl z přednášek pro studenty magisterského a doktorského studia specializace fyzikální chemie na fakultě chemicko-inženýrské Vysoké školy chemicko-technologické v Praze.

Více

Stanislav Labík. Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost

Stanislav Labík. Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost Stanislav Labík Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost 325 labik@vscht.cz 220 444 257 http://www.vscht.cz/fch/ Výuka Letní semestr N403032 Základy fyzikální chemie

Více

Termodynamika v biochemii

Termodynamika v biochemii Termodynamika v biochemii Studium energetických změn Klasická x statistická Rovnovážná x nerovnovážná lineárn rní a nelineárn rní Základní pojmy Makroskopický systém, okolí systému Termodynamický systém

Více

5.1 Základní teoretické pojmy a formalismus statistické

5.1 Základní teoretické pojmy a formalismus statistické Kapitola 5 Základy statistického popisu termodynamiky 5.1 Základní teoretické pojmy a formalismus statistické mechaniky Cílem termodynamiky je popis a pochopení chování makroskopických systémů, které jsou

Více

❷ s é 2s é í t é Pr 3 t str í. á rá. t r t í str t r 3. 2 r á rs ý í rá á 2 í P

❷ s é 2s é í t é Pr 3 t str í. á rá. t r t í str t r 3. 2 r á rs ý í rá á 2 í P ❷ s é 2s é í t é Pr 3 t str í Úst 2 t t t r 2 2 á rá t r t í str t r 3 tí t 2 2 r á rs ý í rá á 2 í P ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE I. OSOBNÍ A STUDIJNÍ ÚDAJE Příjmení: Hurský Jméno: Tomáš Fakulta/ústav: Fakulta

Více

8 Elasticita kaučukových sítí

8 Elasticita kaučukových sítí 8 Elasticita kaučukových sítí Elastomerní polymerní látky (např. kaučuky) tvoří ze / chemické příčné vazby a / fyzikální uzly. Vyznačují se schopností deformovat se již malou silou nejméně o 00 % své původní

Více

Kapitoly z termodynamiky a statistické fyziky

Kapitoly z termodynamiky a statistické fyziky Kapitoly z termodynamiky a statistické fyziky Tomáš Opatrný c 9 Obsah Obsah i 1 Úvod do termodynamiky 1 1.1 Termodynamický systém............................... 1 1. Termodynamické proměnné.............................

Více

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí Pravdìpodobnost, ¾e molekulu nalezneme 1/32 4. listopadu 2016 v krychlièce o velikosti dxdydz se souøadnicemi v intervalech [x, x + dx), [y, y + dy) a [z,

Více

Úvodní info. Studium

Úvodní info.   Studium [mozilla le:///home/jiri/www/fh/z/pomuky/kolafa/n4341.html] 1/16 Úvodní info Jiøí Kolafa Ústav fyzikální hemie V CHT Praha budova A, místnost 325 (zadním vhodem) jiri.kolafa@vsht.z 2244 4257 Web pøedmìtu:

Více

Plyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2

Plyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 Plyny Plyn T v, K Vzácné plyny 11 plynných prvků He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn 165 Rn 211 N 2 O 2 77 F 2 90 85 Diatomické plynné prvky Cl 2 238 H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 H 2 He Ne Ar Kr Xe 20 4.4 27 87 120 1 Plyn

Více

Matematika II Aplikace derivací

Matematika II Aplikace derivací Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce.

Více

Aplikovaná fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 tel. 3302

Aplikovaná fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 tel. 3302 Aplikovaná fyzikální chemie Aplikovaná fyzikální chemie Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302 1. září 2014 Aplikovaná fyzikální chemie Bylo nebylo... Bylo nebylo... Nejvzácnějšímu

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné.

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné. Zářivé procesy Podmínky vyzařování, Larmorův vzorec, Thomsonův rozptyl, synchrotronní záření, brzdné záření, Comptonův rozptyl, čerenkovské záření, spektum zdroje KZ Záření KZ Význam studium zdrojů a vlastností

Více

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární

Více

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15 Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší

Více

1141 HYA (Hydraulika)

1141 HYA (Hydraulika) ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů

Více

STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM

STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM TF3: STATISTICKÁ FYZIKA STUDIJÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM PETR KULHÁEK PRAHA 00 FEL ČVUT PŘEDMLUVA Chceme-li popisovat chování velkého souboru mnoha stejných systémů (klasickým příkladem je plyn složený

Více

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3.

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3. Vnitřní energie U Vnitřní energie U je stavová veličina U = U (p, V, T), ale závisí pouze na teplotě (experiment Gay-Lussac / Joule) U = f(t) Pro měrnou vnitřní energii (tedy pro vnitřní energii jednoho

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

ELEMENTÁRNÍ ÚVOD DO STATISTICKÉ FYZIKY

ELEMENTÁRNÍ ÚVOD DO STATISTICKÉ FYZIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UJEP katedra fyziky a katedra chemie ELEMENTÁRNÍ ÚVOD DO STATISTICKÉ FYZIKY Učební text pro bakalářské studium přírodovědných oborů prof. RNDr. Ivo NEZBEDA, DrSc. doc. RNDr. Dušan

Více

Zkušební otázky pro bakalářské SZZ Fyzika, Fyzika pro vzdělávání, Biofyzika

Zkušební otázky pro bakalářské SZZ Fyzika, Fyzika pro vzdělávání, Biofyzika Zkušební otázky pro bakalářské SZZ Fyzika, Fyzika pro vzdělávání, Biofyzika Obecná fyzika - Fyzika, Fyzika pro vzdělávání, Biofyzika (povinně pro všechny obory) 1. Trajektorie hmotného bodu, poloha, dráha,

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

A až E, s těmito váhami 6, 30, 15, 60, 15, což znamená, že distribuce D dominuje.

A až E, s těmito váhami 6, 30, 15, 60, 15, což znamená, že distribuce D dominuje. Příklad 1 Vypočtěte počet způsobů rozdělení 18 identických objektů do 6 boxů s obsahem 1,0,3,5,8,1 objektů a srovnejte tuto váhu s konfigurací, kdy je každý box obsazen třemi objekty. Která konfigurace

Více

Kovy - model volných elektronů

Kovy - model volných elektronů Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.

Více

Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH. II. Termodynamika

Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH. II. Termodynamika Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH II. Termodynamika Karel Berka Univerzita Palackého v Olomouci Katedra Fyzikální chemie karel.berka@upol.cz Termodynamika therme - teplo a dunamis - síla popis jak systémy

Více

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické Termodynamika termodynamická teplota: Stavy hmoty jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické teploty trojného bodu vody (273,16 K = 0,01 o C). 0 o C = 273,15 K T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]=

Více

Od kvantové mechaniky k chemii

Od kvantové mechaniky k chemii Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi

Více

Cvièení { 2D Clausiova-Clapeyronova rovnice

Cvièení { 2D Clausiova-Clapeyronova rovnice Cvièení { 2D Clausiova-Clapeyronova rovnice 1/12 Evropský sociální fond þpraha & EU: Investujeme do va¹í budoucnostiÿ Inovace pøedmìtu Poèítaèová chemie je podporována projektem CHEMnote (Inovace bakaláøského

Více

Transportní jevy. J = konst F

Transportní jevy. J = konst F Transportní jevy 1/23 Transportní (kinetické) jevy: difuze, elektrická vodivost, viskozita (vnitøní tøení), vedení tepla... Tok (ux) (té¾ zobecnìný tok) hmoty, náboje, hybnosti, tepla... : J = mno¾ství

Více

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky

Více

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Termodynamika: Nauka o obecných zákonitostech, kterými se se řídí transformace CELKOVÉ energie makroskopických systémů v její různé formy. Je založena na výsledcích experimentílních

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Magnetokalorický jev MCE

Magnetokalorický jev MCE Magnetokalorický jev a jeho aplikační potenciál P. Svoboda Katedra fyziky kondenzovaných látek Magnetokalorický jev MCE MCE: znám déle než 120 let renesance zájmu během posledních 35 let PROČ? Připomínka

Více

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO

Více

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace

Více

Motivace: Poissonova rovnice

Motivace: Poissonova rovnice Motivace: Poissonova rovnice Zachovává se poèet el. indukèních èar: Q = D d s, S D = ε E Integrál spoèítáme pøes povrch krychlièky dx dy dz: dq = dvρ = D d s = dydz[d x (x + dx) D x (x)] = dxdydz S ( Dx

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle

Více

Potenciální energie atom{atom

Potenciální energie atom{atom Potenciální energie atom{atom 1/16 Londonovy (disperzní) síly: na del¹ích vzdálenostech, v¾dy pøita¾livé Model uktuující dipól { uktuující dipól elst. pole E 1/r 3 indukovaný dipól µ ind E energie u(r)

Více

Tepelná vodivost. střední rychlost. T 1 > T 2 z. teplo přenesené za čas dt: T 1 T 2. tepelný tok střední volná dráha. součinitel tepelné vodivosti

Tepelná vodivost. střední rychlost. T 1 > T 2 z. teplo přenesené za čas dt: T 1 T 2. tepelný tok střední volná dráha. součinitel tepelné vodivosti Tepelná vodivost teplo přenesené za čas dt: T 1 > T z T 1 S tepelný tok střední volná dráha T součinitel tepelné vodivosti střední rychlost Tepelná vodivost součinitel tepelné vodivosti při T = 300 K součinitel

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM)

POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM) POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM) Organizace zkoušky Zkouška je ústní a má čtyři části:

Více

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Seminář z PHH 3. ročník Fakulta strojní ČVU v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Seminář z PHH - eplo U218 Ústav procesní

Více

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více

Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 3: Základní schéma disperzního modelu založeného na TRK sumačním pravidle rozdělení dielektrické funkce na elektronovou a nukleonovou část versus

Více

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/ Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální

Více

Elementární reakce. stechiometrický zápis vystihuje mechanismus (Cl. + H 2 HCl + H. ) 2 NO 2 ; radioak-

Elementární reakce. stechiometrický zápis vystihuje mechanismus (Cl. + H 2 HCl + H. ) 2 NO 2 ; radioak- Elementární reakce 1/15 stechiometrický zápis vystihuje mechanismus (Cl. + H 2 HCl + H. ) 2 NO 2 ; radioak- reakce monomolekulární (rozpad molekuly: N 2 O 4 tivní rozpad; izomerizace) reakce bimolekulární

Více