Vícerozměrné úlohy pružnosti

Transkript

1 Přednáška 07 Víceroměrné úlohy Rovinná napjatost a deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro úlohu rovinné napjatosti Příklady Copyright (c) 0 Vít Šmilauer Cech Technical University in Prague Faculty of Civil ngineering Department of Mechanics Cech Republic Permission is granted to copy distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License Version. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections no Front-Cover Tets and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at

2 Víceroměrné úlohy pružnosti Jednoroměrná úloha (D) prut. Přímá či akřivená střednice spojuje těžiště průřeů. Vnitřní síly a deformační parametry ávisí na poue souřadnici. Souřadnice y vystupují neávisle na průřeech. Trojroměrná úloha (3D) napětí a deformace ávisejí na souřadnicích y. Obecně 5 nenámých 3 nenámé posuny uvw 6 složek deformací y y y y y 6 složek napětí y y y y y y y K dispoici 5 rovnic: 3 statické rovnice 6 geometrických rovnic 6 fyikálních rovnic

3 Víceroměrné úlohy pružnosti Dvojroměrná úloha (D) rovinná nebo akřivená střednicová plocha. Roměr kolmý na střednicovou plochu je výraně menší než její roměry. Stěna rovinný D prvek atížený poue ve střednicové rovině. Deska rovinný D prvek atížený poue kolmo na střednicovou rovinu. Skořepina akřivená střednicová plocha. Stěna Deska Skořepina 3

4 Zvláštní případy D úlohy Rovinná napjatost stěna nosník ohýbaný okolo osy y y =0 y Stěna y 0 y = y =0 Rovinná deformace přehrada dlouhá opěrná eď emní kolektor dlouhé potrubí y 0 y = y = y =0 y =0 y 0 y = y =0 0 y = y = y =0 4

5 Napětí ve stěně Zatížení v rovině lementární dílek stěny Zatížení t d y d Podpora Nenulové složky napětí Měrné vnitřní síly (síly na jednotku plochy N/m=Pa) (síly na jednotku délky N/m = Pa m) n n Normálová napětí = Smyková napětí n q q n q=q 5

6 Napětí a vnitřní síly ve stěně Uvažujme stěnu o konstantní tloušťce. Napětí je roloženo rovnoměrně po tloušťce stěny. n = t n = t q q = = = t t t / q = dy =t t / t / t / t/ n = dy =t t / n = dy =t t / n n q = dy =t t / q q =q q 6

7 Rovnováha elementárního dílku směr 0 0 / t 0 / 0 t [00] 0 / 0 t X 0 0 t 0 0 / t Podmínka rovnováhy: 0 / 0 t 0 / 0 t 0 0 / t 0 0 / t X 0 0 t =0 : t 7

8 Rovnováha elementárního dílku směr 0 / 0 0 / / 0 0 / X 0 0 = / 0 0 0! X=0 Cauchyho (statická) rovnice rovnováhy pro rovinnou napjatost Analogické odvoení e součtové podmínky ve směru Z =0 8

9 Rovnováha elementárního dílku Momentová podmínka rovnováhy ke středu dílku 0 0 / t 0 / 0 t [00] 0 / 0 t 0 0 / t 0 0 / t : 0 0 / t 0 / 0 t 0 / 0 t =0 t : 9

10 Věta o vájemnosti smykových napětí 0 0 / 0 0 / 0 / 0 0 / 0 = / 0 0! 0 0 = 0 0 Věta o vájemnosti smykových napětí = Analogickým odvoením platí věta o vájemnosti smykových napětí i pro další komponenty ve víceosé napjatosti: y = y y = y. 0

11 Transformace složek napětí d ' ' d d' ': d d d cos d d sin =0 d=d cos d=d sin = cos sin cos sin sin cos = cos sin sin

12 Transformace složek napětí ' ' d d d' ': τ d +( σ d+ τ d) sin α (σ d + τ d ) cos α=0 d =d cos α d =d sin α τ = σ cos α sin α τ sin α +σ sin α cos α+ τ cos α σ σ τ = sin α +τ cos α Na rovnoběžném řeu s osou ' le analogicky odvodit = sin cos sin

13 Transformace složek napětí Mohrova kružnice +cos α cos α cos α= sin α= σ =σ cos α+ σ sin α+ τ sin α σ =σ (+ cos α)+ σ ( cos α)+ τ sin α σ +σ σ σ σ = + cos α + τ sin α trémní hodnoty napětí ' pro libovolnou orientaci se naývají hlavní napětí a odpovídají úhlům. d σ =0= (σ σ ) sin α+ τ cos α dα (σ σ )tan α= τ τ α = arctan σ σ α α Úhly se přiřadí k odpovídajícím napětím. 3

14 Mohrova kružnice normálová a smyková napětí σ +σ σ σ σ = + cos α +τ sin α σ σ ' τ = sin α +τ cos α Grafické vyjádření obou rovnic pomocí Mohrovy kružnice: =0 =300 0 cos ' sin cos sin 4

15 Mohrova kružnice etrémní normálová napětí σ + σ σ = ± ( σ σ + τ ) Hlavní napětí se obvykle seřadí dle velikosti ' ' ' =0 Vektory hlavních napětí jsou na sebe kolmé (ortogonální): τ α = arctan σ σ Úhly se přiřadí k odpovídajícím napětím. ' 5

16 Mohrova kružnice etrémní smyková napětí ma min =± o 34 = arctan 45 = = ' ' ma ' 4 3 Ve všech případech platí invariant = min 6

17 Složky deformace normálová deformace ve d (+ )d d směru (měna objemu) d normálová deformace ve (+ )d d d směru (měna objemu) d d = kosení v rovině smyková deformace (měna tvaru stejný objem) 7

18 Geometrické rovnice protažení u 0 / 0 [00] u 0 / 0 u u 0 / 0 u 0 / 0 u = lim = lim 0 0 u = Analogicky le odvodit = w 8

19 Geometrické rovnice kosení u 0 0 / w [00] u u u 0 0 / u 0 0 / u 0 0 / u tan = lim = lim tan 0 0 u 0 0 w 0 0 = analogicky = = u w = Celkem máme 3 geometrické rovnice pro rovinnou úlohu. 9

20 Materiálové rovnice pro lineární isotropní materiál Jednoosé namáhání ve směru a = = = = Poissonův součinitel Dvojosé namáhání v rovině = = = = Korek Beton Ocel Guma = = = = ~ ~050 0

21 Materiálové rovnice pro lineární isotropní materiál Smykové namáhání =G G= modul pružnosti ve smyku Maticové vyjádření pro rovinnou napjatost {} [ =C [ = 0 0 ]{ } { } 0 = ]{ } =D Zobecněný Hookeův ákon C matice poddajnosti elastického materiálu D matice tuhosti elastického materiálu

22 Příklad určete posuny a napětí na okrajích stěny AB: u=w=0 obecné f D C f A : =0 : =f obecné B CD: uw obecné : =0 obecné : = f t BC: uw obecné DA: uw obecné : =0 : =0 obecné

23 Řešení rovinné napjatosti pomocí metody konečných prvků Výpočet stěn pomocí MKP publikován v roce 960 Nenámé pole uw které se aproimují po prvcích Nejjednodušší prvek (CST) obsahuje lineární aproimace posunů Není předmětem koušky u u w w N N N3 u3 w3 Dělení na prvky u N u N u N 3 u 3 w N w N w N 3 w3 T r ={u u u3 w w w 3 } u N r R. W. Clough The Finite lement Method in Plane Stress Analysis. Proceedings American Society of Civil ngineers Second Conference 3 on lectronic Computation Pittsburgh 960.

24 Řešení rovinné napjatosti pomocí metody konečných prvků N N3 Aproimace deformací u N = u u u3 Není předmětem N N3 w N koušky = w w w3 u w = N N N3 N N N3 u u u3 w w w3 {} = [ N N N N N N N N N N N3 N3 ]{ } u u u3 w w w3 Maticově =B r 4

25 Metoda konečných prvků princip virtuálních posunů δ W int =δw et Princip virtuálních prací (de Lagrangeův princip virtuálních posunů) obecný princip rovnováhy δ W int = δε σ +δ ε σ +δ γ τ d Ω= δ ε T σ d Ω Ω Ω Není předmětem koušky Virtuální práce vnitřních sil δ W et = δ u f +δ w f d Γ= δ ut f d Γ Γ Γ Virtuální práce spojitého atížení na hranici další atížení neuvažováno u N r δ u N δ r Aproimace pole posunů napětí a deformací pro skutečný a virtuální stav ε B r δ ε B δ r σ =D ε D B r T T T T δ r B DB r d Ω= δ r N f d Γ Virtuální práce platí pro libovolné Ω Ω B T Γ T DB d Ω r= N f d Γ K r=f Γ virtuální posunutí. Řešení vede na soustavu algebraických rovnic. K matice tuhosti konstrukce f vektor atížení Metoda vážených reiduí s Galerkinovou metodou nebo princip minima potenciální energie poskytují stejné ávěry. 5

26 Řešení nosníku jako úlohy rovinné napjatosti 0 kn/m' /8 0 5 σ ma = =50 MPa / m 05 m tl. 0 m =0 GPa Isolinie napětí Singulární body v napětí vi dále Deformace 300 většeny 6

27 Směr Směr 7

28 m 0 kn/m tloušťka stěny = 0 m 0 0 m Deformace většeny 3000 =30 GPa =0.3. Hlavní napětí v ulech sítě 8

29 Singulární body v napětí rovinná napjatost V singulárních bodech je nekonečně velké napětí podle teorie elasticity. Při výpočtu metodou konečných prvků a při použití elastického materiálového modelu docháí k nárůstu napětí při jemňování sítě napětí diverguje. Napětí v singulárním bodě nele přímo použít pro dimenování. V reálném materiálu se díky plasticitě napětí otupí a redistribuuje se po okolí. Například v želeobetonu se okolí singulárních bodů více vytuží. >80o >80o 9

30 0.3 m m 0 kn 0 kn 0.3 m 0.6 m m Tloušťka 0. m =30 GPa =0.3 Singulární body v napětí Hlavní napětí v ulech sítě 30

31 Základní rovnice pro rovinnou napjatost [ [ ] [ ] [ ] ] u w u w X =0 u w u w Z =0 Přemístění u w Laméovy rovnice nenámé Geometrické rovnice (3) u w = = u w = Přetvoření 3 nenámé Vnější síly X Z Statické rovnice () 8 nenámých = 8 rovnic Materiálové rovnice (3) = = = X=0 Z =0 Napětí 3 nenámé 3

32 Otáky. Popište rodíl mei rovinnou napjatostí a rovinnou deformací. Jaké složky napětí a deformace jsou nulové?. Nakreslete Mohrovu kružnici pro případ tv. ryího smyku kdy = = a 0. Najděte etrémní hodnoty normálových a smykových napětí a úhly při těchto napětích. Na taženém prutu který je modelován jako stěna ukažte vliv Poissonova čísla na velikosti příčných posunů. Z jakých principů vycháí metoda konečných prvků? Které podmínky musí splňovat virtuální pole posunutí? Které nenámé hledáme? Jak se sestaví matice tuhosti prvku? Co jsou singulární body při řešení rovinné napjatosti? Uveďte příklady pro reálné nosné stěny. Nakreslete statické a kinematické okrajové podmínky na stěně. Které napětí a deformace jsou nulové na volném okraji stěny? Definujte následující konstanty/proměnné popište jejich výnam fyikální smysl a v kterých rovnicích vystupují: u G X. Vytvořeno 04/0 v OpenOffice 3. Ubuntu 0.04 Vít Šmilauer ČVUT. Poděkování patří ejména M. Jiráskovi a inspiraci jeho přednáškami. 3