10 Lineární elasticita

Transkript

1 1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí na velikosi deformace, její rychlosi a průběhu jak znázorňuje Obr Obr. 1.1: Vzah mezi napěím a deformací viskoelasické láky Z fenomenologické eorie linearní viskoelasiciy vyplývá obecné vyjádření přímé úměry mezi izochronickým napěím a deformací pro libovolně zvolený čas : = G( ) (1.1) ( ) kde: G() je časově závislý relaxační modul pružnosi ve smyku. Veličiny charakerizující viskoelasickou deformační odezvu v lineární oblasi jsou edy časově závislé: časově závislý modul G(), popř. poddajnos 1/G(), předsavující elasickou (ermodynamicky vranou) čás a časově závislá viskozia η(), kerá reprezenuje viskózní (ermodynamicky nevranou) čás deformace. 1.1 Přehled a definice viskoelasických funkcí časově závislá krípová poddajnos ve smyku:

2 J ( ) ( ) = (1.2) časově závislý krípový modul pružnosi ve smyku: ( ) = ( ) (1.3) GC časově závislý krípový modul pružnosi v ahu: ( ) = ε ( ) (1.4) EC časově závislý relaxační modul pružnosi ve smyku: ( ) ( ) = (1.5) G časově závislý relaxační modul pružnosi v ahu: E ( ) ( ) = (1.6) ε 1.2 Relaxační a readační spekra Přesný vzah mezi relaxačním modulem G() a krípovou poddajnosí vyjadřuje konvoluční inegrál. V praxi je eno vzah sanovován nejčasěji nepřímo - pomocí relaxačních a reardačních speker. Kelvinův či Maxwellův model je vhodný pro popis deformačního savu polymerních láek pro kráké přechody. Pro delší přechody (více než 3 řády) je nuno použí generalizovaný model. Generalizované modely jsou sesaveny na Bolzmanově principu superpozice Bolzmanův princip superpozice Podle Bolzmanova principu superpozice je celkový důsledek řady příčin je roven souču důsledků jednolivých příčin. Jeho fungování si vysvělíme na příkladě polymerní láky s časově závislou poddajnosí J(), kerou budeme lineárně elasicky deformova, Obr Na láku je v čase λ 1 vloženo napěí (λ 1 ), deformační odezva začne v čase = λ 1 : = ( λ ). J ( λ ) (1.7) V čase λ 2 vložíme další podně (λ 2 ), kerému bude odpovída deformační odezva:

3 ( ) = λ.j ( λ ) (1.8) 2 2 Celkovou deformaci pak vyjádříme superpozicí: 2 ( ) = ( λ ).J ( λ ) + ( λ ).J ( λ ) (1.9) j ( ) = ( λ ).J ( λ ) i 1 i i (1.1) ( ) = ( λ ).J ( λ ) dλ (1.11) Obr. 1.2: Relaxační experimen V případě, že by podněem byla naopak deformace vkládaná posupně, jak je znázorněno na Obr. 1.3, lze napěťovou odezvu vyjádři obdobně vzahem: ( ) = ( λ ).G ( λ ) dλ (1.12)

4 Obr. 1.3: Krípový experimen Generalizovaný Maxwellův a Kelvinův model Generalizovaný Maxwellův model je schémaicky znázorněn na Obr. 1.4.

5 Pro eno model plaí: Obr. 1.4: Generalizovaný Maxwellův model pro j prvků ( ) = Ge + G j i = 1 G.e i / λ i (1.13) kde: j poče Maxwellových prvků i ý prvek má paramery G i, λ i G i relaxační funkce (spekrum), G i = f(λ i ). Pro nekonečně mnoho prvků je suma nahrazena inegrálem a funkce G i předsavuje spekrum relaxačních dob (Obr 1.5).

6 Obr. 1.5: Maxwellův model pro nekonečně mnoho prvků 1.3 Superpozice eploa -čas Realizace dlouhodobých pokusů je značně časově omezená a u krákodobých esů jen sěží provedielná, přeso je důležié urči časový průběh viskoelasických veličin v co možná nejširším časovém rozmezí. Řešení poskyuje spojení časové a ep1oní závislosi modulu popř. poddajnosi. oo časově-eploní spojení je možné, jelikož křivky časové závislosi v logarimických souřadnicích mají podobný, vzájemně posunuý var, jak znázorňuje Obr Čas a eploa se při viskoelasických pokusech chovají jako ekvivalenní paramery a vhodným posunuím kerékoliv křivky v horizonálním a verikálním směru můžeme uo křivku zoožni s křivkou odpovídající předem zvolené eploě. Posup, při kerém zoožňujeme křivky sanovené při různých eploách, se nazývá superpozice eploa-čas a umožňuje nám zjisi chování láky při dané eploě v časech experimenálně nedosupných.

7 Obr. 1.6: Časově-eploní závislos viskoelasické funkce (časově závislého modulu pružnosi v ahu) Princip časově-eploní superpozice umožňuje vyjádři závislos viskoelasických funkcí na čase a eploě (kerá by bez jeho planosi byla obecnou funkcí dvou proměnných) pomocí dvou funkcí jedné proměnné. Jedna z ěcho funkcí je časová závislos viskoelasické funkce při dané eploě, druhá udává posuv viskoelasických funkcí s eploou. Z kineické eorie kaučukové elasiciy vyplývá, že viskoelasické funkce naměřené při určié eploě souvisí s hodnoami naměřenými při jiné eploě a ao souvislos se dá vyjádři vzahy: E ( ) = ρ ρ E ( a ) (1.14) nebo D ρ ( ) = ρ D ( a ) (1.15) kde: ρ husoa při eploě ρ husoa při eploě a posuvný (shif) fakor.

8 Obr. 1.7: eploní závislos posuvného fakoru na eploě pro experimenální hodnoy zobrazené na Obr. 1.6 Zpracování dílčích výsledků, keré naměříme při eploě a čase a chceme převés na eplou a čas a., provedeme posupně ve dvou krocích: hodnoy viskoelasických funkcí (E, D) redukujeme na referenční eplou ak, že vynásobíme (E) nebo vydělíme (D) fakorem: (ρ. )/(ρ.), a ím odsraníme změnu ěcho funkcí s eploou v kaučukovié oblasi. Velmi časo se při éo ransformaci zanedbává změna husoy polymeru s eploou, neboť je malá. ve druhé fázi se dané závislosi posouvají horizonálně podél časové osy, až se přivedou ke kryí s křivkou planou pro zvolenou referenční eplou. ím získáme posouvací fakor a. Je zřejmé, že operaci musíme provádě v grafu s logarimickými souřadnicemi, abychom násobené a. převedli na souče log + log a. Na základě ohoo posupu získáme dvě křivky: závislos posouvacího fakoru a na eploě (Obr. 1.7) generalizovanou křivku dané funkce na čase (Obr. 1.8). yo dvě funkce nám nyní popisují celé relaxační chování polymeru v oblasi lineární viskoelasiciy v přechodové a kaučukovié oblasi, a o v širokém rozmezí eplo a časů.

9 Obr. 1.8: Generalizovaná křivka sesrojená na základě experimenálních da z Obr Pro závislos posouvacího fakoru a na eploě odvodili Williams, Landel a Ferry vzah (WLF rovnice viz Kapiola 3.1), kerým lze uo závislos popsa: log a C ( ) 1 = (1.16) C2 + Určením konsan C 1 a C 2 získáme edy maemaický vzah pro posouvací fakor dané viskoelasické funkce pro referenční eplou. log a 8,86 ( = (1.17) 11,6 + ) když: referenční eploa o = g + 45 C. Williams, Landel a Ferry ak vyjádřili myšlenku, že pro viskoelasické maeriály jsou čas a eploa naolik podobné fakory, že je možné pomocí experimenálních hodno viskoelasické funkce pro jednu eplou, sanovi jejich hodnoy při jiné eploě prosým horizonálním posuvem po časové ose. Superpozice eploa-čas se obvykle používá jako čisě empirický vzah, a proo je řeba brá v úvahu i její limiy. Pro semikrysalické polymery eno vzah plaí pro eploní oblas nad eploou ání, zaímco pro amorfní polymery byly odchylky zaznamenány kolem eploy skelného přechodu. Vysoce rozvěvené polyeylény dávají jen přibližnou superpozici da. Při aplikaci superpozice pro polymery se širokou disribucí molekulárních hmonosí bylo zjišěno, že není možno dosáhnou jednoné křivky v celé časové škále. Přeso, jak dokazují výsledky pečlivých experimenů pro širokou časovou oblas, základní hypoéza časověeploní superpozice je správná.