STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ"

Transkript

1 TF: KVANTOVÁ TEORIE STUDIJNÍ TEXT RO ZVÍDAVÉ ETR KULHÁNEK RAHA 6 FEL ČVUT

2 ŘEDMLUVA Teoreticá mechaia vychází ze zobecěých zušeostí člověa z toho ja vímáme svět olem sebe v ašich měřítách v tzv marosvětě Sažíme-li se záoy teoreticé mechaiy apliovat a tělesa malých rozměrů (atomy částice) tzv mirosvět ebudou již předpovědi ve shodě s eperimetem V mirosvětě platí jié záoy Napřílad samotý at měřeí může ovlivit objety mirosvěta Chceme-li určit polohu otbalového míče zachytíme oem otoy odražeé od míče a iormaci zpracujeme Chceme-li určit polohu eletrou odražeý oto z terého a polohu usuzujeme udělí eletrou ezaedbatelý impuls a změí jeho stav Asi ejvětší rozdíl mezi jevy v marosvětě a mirosvětě souvisí s omutativostí V marosvětě jsme si zvyli a to že jevy teré pozorujeme jsou omutativí ezáleží a pořadí Je jedo zda ejprve provedeme měřeí A a poté měřeí B ebo aopa Zráta AB = BA V mirosvětě tomu ta ale eí At měřeí ovlivňuje stav objetů a záleží a tom teré měřeí provedeme jao prví To je taé hlavím důvodem selháí teoreticé mechaiy při popisu mirosvěta Teoreticá mechaia je založea a omutujících matematicých objetech Jediou eomutující struturou jsou oissoovy závory a to avíc ještě pomocou rví jevy v mirosvětě teré byly v přírém rozporu s teoreticou mechaiou byly objevey a počátu století Jejich aalýza vedla e zrodu vatové teorie jedé ze dvou ejúspěšějších teorií v dějiách lidstva (vatová teorie obecá teorie relativity) Záladí rovice a vztahy zůstávají shodé s teoreticou mechaiou platí vša pro zcela jié objety Napřílad Lieova algebra oissoových závore je apliováa a jisté operátory představující dyamicé proměé ředpovědi deší vatové teorie se shodují s eperimetem a moho platých cier Uveďme yí záladí rozdíly světa malých rozměrů mirosvěta oproti situacím a teré jsme zvylí z ašeho oolí marosvěta: ) disrétí hladiy ěterých dyamicých proměých (apřílad eergie momet hybosti ) v daé situaci můžeme aměřit je určité hodoty u sledovaé veličiy a žádé jié V marosvětě jsou měřeé hodoty spojité ) dualismus vl a částic objety mirosvěta se mohou chovat jao vly i jao částice ) eomutativost atu měřeí při měřeí hodot dvou dyamicých proměých (apřílad polohy a rychlosti) může výslede záležet a pořadí provedeí měřeí At měřeí totiž ovlivňuje stav systému po měřeí se systém obecě achází v jiém stavu ež před měřeím 4) relace eurčitosti zvýšeí přesosti měřeí jedé dyamicé proměé v ěterých případech síží přesost měřeí jié dyamicé proměé Tato měřeí se avzájem ovlivňují a jsou eomutativí 5) edetermiismus vatové teorie dva eperimety připraveé za stejých podmíe mohou dopadout růzě ři provedeí moha pousů zjistíme že výsledy mají pravděpodobostí charater Jsme tedy schopi předpovědět je to s jaou pravděpodobostí aměříme te či oe možý jev ioli terý jev orétě astae Fyzia se ta dostala před úlohu vytvořit taovou teorii terá by souhlasila s eperimety v mirosvětě a v marosvětě přecházela v lasicou teoreticou mechaiu Kostrucí vatové teorie se budeme zabývat v této části sylabu Atuálí verzi sylabu alezete a serveru wwwaldebaracz v seci Studium Odaz a ahrávy předáše z rou 5 alezete tamtéž etr Kulháe

3 OBSAH KVANTOVÁ TEORIE 5 VZNIK A VÝVOJ KVANTOVÉ TEORIE 5 (M) OERÁTORY V KVANTOVÉ TEORII 9 UNITÁRNÍ ROSTORY (ROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM) 9 OERÁTORY ROJEKČNÍ OERÁTORY 7 4 ROZVOJ RVKU DO BÁZE 9 5 SEKTRÁLNÍ TEORIE ZÁKLADNÍ RINCIY KVANTOVÉ TEORIE 6 ZÁKLADNÍ AXIOMY A DEFINICE 6 KOMATIBILITA MĚŘENÍ A HEISENBERGOVY RELACE VLASTNÍ STAVY ENERGIE SCHRÖDINGEROVA ROVNICE 4 HARMONICKÝ OSCILÁTOR 6 4 ŘEŠENÍ OMOCÍ VLNOVÉ MECHANIKY (SCHRÖDINGER) 6 4 ŘEŠENÍ BEZ VOLBY REREZENTACE (DIRAC) 4 4 ŘEŠENÍ OMOCÍ MATICOVÉ MECHANIKY (HEISENBERG) 4 5 SFÉRICKY SYMETRICKÝ OTENCIÁL 45 5 MOMENT HYBNOSTI 47 5 ŘEŠENÍ V X REREZENTACI KULOVÉ FUNKCE 5 5 JEDNODUCHÉ SYSTÉMY: OSCILÁTOR VODÍK JÁMA 5 6 ČASOVÝ VÝVOJ 54 6 EVOLUČNÍ OERÁTOR 54 6 ČASOVÁ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE 56 6 OSCILACE NEUTRIN DVOUŠTĚRBINOVÝ EXERIMENT EHRENFESTOVY TEORÉMY VIRIÁLOVÝ TEORÉM 59 7 RELATIVISTICKÁ KVANTOVÁ TEORIE SIN 6 7 ROSTOROVÁ ROTACE A LORENTZOVA TRANSFORMACE 6 7 SIN 6 7 KLEINOVA-GORDONOVA ROVNICE DIRACOVA ROVNICE OZITRON C SYMETRIE ELEKTRON A JEHO OLE U() SYMETRIE 8 8 SOUSTAVA STEJNÝCH ČÁSTIC 85 8 OERÁTOR VÝMĚNY DVOU ČÁSTIC 85 8 BOSONY A FERMIONY AULIHO RINCI 86 8 DRUHÉ KVANTOVÁNÍ UKÁZKA DRUHÉHO KVANTOVÁNÍ RO KLEINOVO-GORDONOVO OLE 89 ŘÍLOHA ZOBECNĚNÉ FUNKCE 9 DIRACOVA DISTRIBUCE 9 KONVOLUCE 94 GREENŮV OERÁTOR A GREENOVA FUNKCE 95

4

5 Vzi a vývoj KVANTOVÁ TEORIE VZNIK A VÝVOJ KVANTOVÉ TEORIE Shrňme yí záladí eperimetálí ata terá vedla e zrodu vatové teorie: Zářeí absolutě čerého tělesa: V absolutě čerém tělese (lze za ě považovat apřílad aždou hvězdu) je v rovováze láta a zářeí při ějaé orétí teplotě T Sledujeme-li vyzařováí absolutě čerého tělesa zjistíme že a růzých revecích vyzařuje s růzou itezitou Eperimetálě pozorovaý průběh eergie di/ d IR UV vyzářeé a jedotovou reveci je a obrázu Teoreticé výpočty řivy zářeí absolutě čerého tělesa teré prováděli Rayleigh Jeas a Wie vedly odlišým závislostem Buď divergovaly v iračerveé (IR) ebo v ultraialové (UV) oblasti spetra Správou ormuli uhodl až Ma lac v srpu 9 tím že zoušel porovávat růzé uce s aměřeými údaji Jeho výslede zěl: di/d ~ ep [ cost /T ] Za další dva měsíce odvodil lac tuto závislost i teoreticy za předpoladu že eergie světla o určité reveci se eměí spojitě ale je celistvým ásobem záladího eergeticého vata E ; 5 4 Js () Veličia se azývá reduovaá lacova ostata lac původě použil předpolad o vatováí eergie pro zjedodušeí matematicých výpočtů ozději se uázalo že eergie eletromageticého zářeí určité revece je sutečě vatováa tj její pozorovaé hodoty ejsou spojité ale měí se soem o záladí eergeticé vatum Fotoeletricý jev (otoeet): zářeí eletro ři dopadu světla (eletromageticého zářeí) a povrch ovu může být z ovu vytrže eletro terý opustí povrch ovu K uvolňováí eletroů z ovu dochází při revecích světla vyšších ež prahová revece terá je pro daý ov charateristicá Máme-li dispozici světlo s revecí ižší ež ov prahovou emise eletroů eastae byť bychom použili světlo se sebevětší itezitou Teto eperimet je v rozporu s představou o světle jao eletromageticém vlěí K otoeetu by mělo docházet při aždé reveci a dostatečou eergii emisi by mělo jít zísat zvýšeím itezity dopadajícího světla Řešeí podal A Eistei v roce 95 Eletromageticé vlěí se chová při otoeetu jao částice Tyto částice azval otoy Eergie jedoho otou zářeí o reveci je právě eergie jedoho eergeticého vata () Vysvětleí otoeletricého jevu je yí velice jedoduché Na povrchu ovu dochází e srážce otou s eletroem Aby oto vyrazil eletro musí mít vyšší eergii ež je vazbová eergie eletrou v ovu: Ei rahová revece zřejmě je Ei Celová eergeticá bilace Ei mev se azývá Eisteiova rovice pro otoeet Eergie dopadlého otou se spotřebuje a vytržeí eletrou z ovu a a ieticou eergii vylétávajícího eletrou 5

6 Vzi a vývoj Eletromageticé vlěí tedy můžeme považovat za soubor otoů roto i při zářeí absolutě čerého tělesa se měí eergie zářeí o daé reveci soem teto so představuje přírůste ebo úbyte jedoho otou Comptoův jev A H Compto v roce 9 zjistil že retgeové paprsy odražeé od povrchu graitu měí svoji vlovou délu odle lasicých představ by vly měly rozmitat povrchové eletroy a ty geerovat vlu se stejou revecí Vysvětleí: Fotoy se opět chovají jao částice srážejí se s eletroy a při srážce ztrácí část eergie a proto měí svou vlovou délu Ohyb eletroů: Fotoeletricý jev uázal že vlěí se může chovat v určitých situacích jao částice Naopa ědy se částice chovají jao vly Napřílad svaze eletroů procházející štěrbiou ebo dvouštěrbiou po dopadu a stííto vytvoří typicý ohybový obrazec Nemůžeme předem říci am terý eletro dopade ale při velém možství eletroů můžeme určit pravděpodobosti dopadu do orétího místa a stíítu Vzilý ohybový obrazec je tedy typicým statisticým jevem Des jsou vlové vlastosti eletroů využíváy apřílad v eletroových mirosopech Eletroy mají výrazě ratší vlovou délu ež viditelé světlo a proto je rozlišovací schopost eletroového mirosopu podstatě vyšší ež opticého oprvé byly vlové vlastosti eletrou pozorováy C J Davissoem a L H Germerem v roce 97 Zoumali odraz eletroů od povrchu ilu o vyžíháí ilu došlo rerystalizaci a odražeé eletroy začaly vyazovat a přesých velých rystalech ohybový obrazec ozáma: Částice popisujeme čtveřicí veliči (E p) Deiice eergie E a hybosti p souvisí se symetriemi při posuutí v čase a v prostoru (teorém Noetherové) Vlěí popisujeme čtveřicí veliči ( ) Úhlová revece je deiováa jao změa áze vlěí s časem = /t a vlový vetor je změa áze vlěí s prostorovými souřadicemi = / ři periodicém ději s ostatí periodou T v čase a v prostoru (vlová déla) lze psát = / T = / Louis de Broglie vyslovil hypotézu že objety mirosvěta se chovají jao vly i jao částice (dualismus vl a částic) řevodí vztah má tvar: 6 E p () Často ás zajímá vlová déla vlěí odpovídajícího orétí částici apřílad eletrou v eletroovém mirosopu Ze vztahu () máme m v a tedy Eistece atomu: odle lasicého plaetárího modelu atomu obíhají záporě abité eletroy olem ladě abitého jádra ta jao ve Sluečí soustavě obíhají plaety olem Sluce Odstředivá síla je vyrováa přitažlivou Coulombovou silou Mezi gravitačími a eletromageticými jevy je ale podstatý rozdíl Z Mawellovy teorie eletromageticého pole plye že aždá abitá částice terá se pohybuje se zrychleím vyzařuje eletromageticé vlěí a ztrácí ta eletroy štěrbia počet eletroů stííto () mv

7 Vzi a vývoj eergii ři ruhovém pohybu eletrou olem jádra se měí směr rychlosti zrychleí dv/dt je eulové (míří do cetra atomu jde o dostředivé zrychleí) a eletro ztrácí eergii zářeím ohybuje se po spirále až dopade a jádro atomu Teto proces trvá apřílad pro vodí s odle lasicé teorie by tedy za velice rátou dobu eměly žádé atomy eistovat!! Na teto parado upozoril poprvé dásý yzi Niels Bohr Niels Bohr vytvořil tzv Bohrův model atomu a záladě tří umělých postulátů teré přidal e lasicé teorii: ) eletroy se pohybují je po tzv stacioárích drahách tj po taových drahách ve terých je odpovídající de Broglieho vlová déla ze vztahu () amotáa a oběžou dráhu tj obvod dráhy je -ásobem vlové dély! r ; mv Tato dráha eí možá Tato dráha je možá Ide čísluje možé stavy eletrou v atomu (r možý poloměr dráhy v rychlost a -té dráze E odpovídající eergie) podle počtu vlových déle eletrou a jeho oběžé dráze ) a stacioárí dráze eletro ezáří ) při přesou eletrou mezi dvěma stacioárími hladiami dojde vyzářeí otou o eergii odpovídající rozdílu eergií těchto hladi Teto jedoduchý Bohrův model atomu eí řešeím výše uvedeého paradou jde spíše o postulováí ebo ostatováí eperimetálě zámých sutečostí Navíc je teto model apliovatelý je a ejjedodušší atomy s jediým eletroem v obalu (H He + ) Teto model ale poprvé správě určil hladiy eergie eletrou v atomu vodíu a vysvětlil spetrum atomu vodíu Heisebergovy relace eurčitosti: ři měřeí polohy a hybosti objetu mirosvěta budou epřesosti měřeí p splňovat relaci (přes se esčítá) p ; (4) Čím přesěji určíme polohu objetu tím méě přesě určíme jeho hybost a aopa Samotý at měřeí ovlivňuje áš objet ale relace (4) je splěa i tehdy eprovedeme-li měřeí vůbec Jde o pricipiálí hraici daou přírodou za terou elze ahlédout Napřílad obyčejý ohyb světla a štěrbiě lze chápat jao důslede relací eurčitosti pro otoy růchod otoů štěrbiou eí ic jiého ež pous o určeí jejich polohy y s přesostí y (veliost štěrbiy) Fotoy teré prošly štěrbiou určitě měly v oamžiu průchodu souřadici y rovou souřadici y štěrbiy Zmešíme-li šířu štěrbiy y zvýšíme přesost měřeí y; podle relací (4) se ale zvýší epřesost p y určeí odpovídající ompoety hybosti Výsledem je zámý ohybový jev otoy za štěrbiou vyletují s daou pravděpodobostí do růzých směrů se středí vadraticou lutuací hybosti p y daou Heisebergovými relacemi eurčitosti 7

8 Vzi a vývoj Výčet eperimetálích atů teré jsme uvedli výše eí zdalea úplý Všechy ale přispěly e zrodu vatové teorie popisující pro ás ezvylý svět atomů a elemetárích částic odejme yí stručý přehled jejího vývoje V roce 95 ormuloval Werer Heiseberg ve svých 5 letech maticovou mechaiu aždé dyamicé proměé přiřadil čtvercovou matici (zpravidla eoečou) jejíž vlastí čísla byly měřitelé hodoty příslušé veličiy Šlo o teorii prameící z vyiající ituice a záladě teré bylo možé určit apřílad eergeticá spetra růzých atomů (eje vodíu) V roce 96 Erwi Schrödiger ormuloval vlovou vatovou mechaiu Řešeím rovice m V E (5) pro vlovou uci bylo opět možé určit hodoty eergie E pro objet v poteciálím poli V( y z) Obě ostruce Heisebergova i Schrödigerova posytovaly shodé výsledy Spíše ež o uceleou teorii šlo v té době o ávod ja určit eergeticé spetrum Obecou ostruci vatové teorie a Hilbertových prostorech provedl A M Dirac Uázalo se že Heisebergova a Schrödigerova mechaia se liší je jiou volbou příslušého Hilbertova prostoru Až doposud byla budováa erelativisticá vatová teorie Zobecěí a relativisticý případ provedli Klei a Gordo pro spi částice s = a Dirac pro spi částice s = / (Kleiova-Gordoova rovice Diracova rovice) S relativisticou vatovou teorií byla objasěa podstata spiu Dirac předpověděl eisteci pozitrou ale především byl postave zálad pro vybudováí vatové eletrodyamiy (Dirac 949) Odsud byl již je růče e vziu vatové teorie eletromageticého pole (Dirac Feyma) ve teré dochází i e vatováí samotého eletromageticého pole (tzv druhé vatováí) Výsledy vatové teorie pole lze přehledě zapisovat pomocí tzv Feymaových diagramů Na záladě růzých symetrií v přírodě se od 6 let bouřlivě vyvíjí alibračí teorie apřílad Weibergova-Salamova teorie eletroslabé iterace terá sjedocuje teoreticý pohled a iteraci eletromageticou a slabou rozvíjí se vatová chromodyamia teorie silé iterace teorie GUT sjedocující eletroslabou a silou iteraci a probíhají itezíví pousy o ormulaci Eisteiových-Diracových rovic supersymetricých teorií SUSY pooušejících se o jedotý popis všech čtyř iterací Lidstvo stále více pozává svět elemetárích částic a jeho záoitosti Následující apitolu budeme věovat matematice terou je třeba zát pro pochopeí vatové teorie Vlastí stavbou vatové teorie se budeme zabývat až v apitole a ásledujících 8

9 Operátory 9 (M) OERÁTORY V KVANTOVÉ TEORII V této apitole se budeme zabývat ejdůležitější matematiou potřebou v vatové teorii Vešeré úvahy jsou z důvodu jedoduchosti provedey pro případ dy vlastí čísla operátorů jsou avzájem růzá a tvoří spočetou možiu Obecější případy víceásobých vlastích čísel a spojitého spetra jsou rátce disutováy v závěru apitoly Uitárí prostory (prostory se salárím součiem) V apitole 4 jsme rozšířili pojem vetoru a obecější objety ež jsou uspořádaé trojice a zavedli lieárí vetorový prostor ozorě si zovu tuto pasáž přečtěte! Nyí aalogicy rozšíříme pojem salárího součiu pro růzé lieárí vetorové prostory Budeme důsledě používat Diracovu symboliu ve teré jsou prvy lieárích vetorových prostorů začey symboly a a salárí součiy b a y g atd R prostor reálých trojic ) ( ) ( souči salárí g g g g g g g g g Norma vetoru (veliost) se deiuje vztahem pro R (6) ro reálé trojice zázorěé jao úsečy opatřeé šipami je orma vetoru rova délce úsečy a platí cos g g de je úhel sevřeý oběma vetory Z tohoto vztahu plye oamžitě Schwartzovo lemma: g g (7) Výsledem operace salárího součiu je číslo v případě lieárího vetorového prostoru R reálé číslo v obecém případě bude výhodé uvažovat i o čísle ompleím Norma vetoru (veliost) musí ale vždy být ezáporé reálé číslo R N prostor reálých N-tic ; ) ( ) ( N N N l l N N g g g g g g g g g R V platosti zůstávají deiice ormy i Schwartzovo lemma C N prostor ompleích N-tic ; ) ( ) ( * * * * N N N l l N N g g g g g g g g g C Salárí souči deiujeme v jedom z argumetů ompleě sdružeý (dohodou v levém) ro ompleí číslo z = a + i b je veliost (orma) čísla dáa vztahem * z z z

10 Operátory rávě proto aby pro ompleí čísla zůstalo v platosti že orma vetoru je odmocia salárího součiu vetoru se sebou samým je v deiici salárího součiu ompleí sdružeí v jedom z argumetů ři výše uvedeé deiici salárího součiu bude výsledem sice ompleí číslo ale orma vetoru zůstae reálá ezáporá: Opět platí Schwartzovo lemma * * N N N l prostor ompleích posloupostí (N-tice s N ) l l g l l l l * * * * g g g g { } { } { g } ; g C g Tato deiovaý salárí souči má smysl je pro overgetí poslouposti Do prostoru l můžeme zahrout je taové prvy pro teré je tj požadujeme * pro l otom je g * g g eboť Schwartzovo lemma platí i v případě eoečých posloupostí pro g l L () prostor ompleích ucí reálé proměé ři dalším zobecěí prostoru l si můžeme ide představit spojitý Místo budeme psát : Výraz eí ale ic jiého ež ompleí uce reálé proměé (spojitého ideu) terou je zvyem zapisovat ve tvaru ( ) tj g ( ) g g * ( ) g( ) d g( ) ; R Aalogicy jao v l je třeba do prostoru L zahrout je prvy s otom je * ( ) ( ) d pro ( ) L g C tj g * ( ) g( ) d g pro g L a salárí souči má smysl Schwartzovo lemma platí i pro itegrály L se ědy azývá prostor ucí itegrovatelých s vadrátem Lze ho deiovat i pro jiý deiičí obor ež ( ) potom píšeme L (M) de M je deiičí obor ucí () L (M) Nyí můžeme přistoupit obecé deiici prostorů se salárím součiem

11 Operátory UNITÁRNÍ ROSTOR (prostor se salárím součiem) uitárím prostorem azveme lieárí vetorový prostor V (s operací + : V V V a operací : C V V ) a terém je deiováa další operace : V V C (tzv salárí souči) s vlastostmi ) g h g h ) ) 4) g g g g ; * ( g g ) ozámy: ) řidáím operace [ ] z lieárího vetorového prostoru zísáme Lieovu algebru přidáím operace < > zísáme uitárí prostor ) rví dvě operace v deiici zameají liearitu v pravém argumetu Z třetí operace plye atiliearita v levém argumetu (aditivost + vytutí ompleě sdružeé ostaty) ) Symbolia zápisu pochází od A M Diraca Nazývá se taé braetová symbolia ebo braety (z aglicého bracet = závora) < > bracet < bra (lze matematicy deiovat duál azačeá operace salárího součiu) > et (vetor z V ) 4) ro ompleí N-tice lze iterpretovat jao sloupcovou matici jao traspoovaou ompleě sdružeou matici: otom je salárí souči N g ; * * * g g N * * * N g deiová za pomoci maticového ásobeí ro jié prostory ež -tice eí pro aše účely třeba jedotlivé části salárího součiu g ěja iterpretovat 5) ro L * lze chápat ( ) d jao azačeou operaci salárího součiu Je je třeba doplit patřičou uci a terou operace působí odobá situace je u derivováí apíšeme-li je d /d aprse echť V je uitárí prostor jeho eulový prve aprsem atažeým a azveme možiu prvů { g ; g ; C \{} g V } N > Hilbertův prostor úplý uitárí prostor (hraice prostoru je jeho součástí) Separabilí Hilbertův prostor Hilbertův prostor se spočetou bází

12 Operátory Operátory Operátorem rozumíme zobrazeí : V V A teré prvu prostoru V přiřazuje prve g tohoto prostoru: g A V platosti zůstává běžé ázvosloví používaé pro zobrazeí (vzor obraz deiičí obor obor hodot ) řílad : R Operátorem a R může být libovolá matice apřílad obecě ; g A A A řílad : L () ) e ( e e ; g d d d d D D Jedotový operátor: ro -tice je jedotovým operátorem diagoálí matice s jedotami a diagoále (jedotová matice) ověřte! Kvadrát operátoru: Druhou mociu operátoru můžeme deiovat je-li obor učích hodot operátoru podmožiou jeho deiičího oboru potom A A A řílad : Operátor derivace )e 4 ( e e e ; d d d d d d d d D D Mocia operátoru: Aalogicy deiujeme iducí obecou mociu operátoru - A A A Fuce operátoru: Nechť () je aalyticá uce s Taylorovým rozvojem ) ( c

13 Operátory otom můžeme deiovat uci operátoru c řipomeňme si zde rozvoje ěterých důležitých ucí: 4 e si cos sh ch ) ( A A (8)!!!!! 5 5! 4 4! 5 5! 4 4!! 7 7! 6 6! 7 7! 6 6! řílad 4: Na prostoru C je zadá maticový operátor 4 4! 9 9! 8 8! 9 9! 8 8! 5 i i A i i A AA A A i A Určete ep( i  ) 4 A AA AAA A A A Nyí již sado alezeme hledaou uci matice: 4 A A A ep( A) A!! 4!! 4! 6!! 5! ch i sh ch() sh() A i sh ch 7! A Tato zísají smysl apřílad i výrazy typu si ( d/d ) a podobě ozději se aučíme uci operátoru alézt pomocí spetrálího rozvoje operátoru Jde o eetivější způsob ež je Taylorův rozvoj Iverzí operátor: Iversím operátorem  azveme taový operátor A A A A A že

14 Operátory K daému operátoru  může být alezeí iversího operátoru začě obtížé ědy iversí operátor eeistuje vůbec Sdružeý operátor: Sdružeým operátorem  azveme taový operátor Ag A g  že ůsobeí operátoru  v pravé straě salárího součiu dopade stejě jao působeí ěmu sdružeého operátoru v levé části salárího součiu Sdružeý operátor  emusí vždy eistovat řílad 5: Sutečě A i ; ; i A i A i i i A A i i i A A i i i g g ig A g i g i g ; A i i i i * * g ig * * * A g g g g i g i i * * * g * * * A g i i g i g i g g ozáma: Nalézt sdružeý operátor pro matice je velmi sadé původí matici stačí ompleě * sdružit a traspoovat (přelopit olem diagoály) tj A ( A ) T Uveďme yí velmi užitečé vztahy pro výpočet iversího a sdružeého operátoru pro souči dvou operátorů: 4 ( A B ) B A (9) ( AB) B A () Jejich důaz je triviálí přímo z deiice iversího a sdružeého operátoru: ( AB) AB / B zprava ( ) AB A B / A zprava ) ( A B B A Aalogicy postupujeme i pro sdružeý operátor: ( AB) g ABg A Bg B A g

15 Operátory Komutativita operátorů: ro operátory je obecě A B B A Říáme že operátory eomutují Míru eomutativosti můžeme posoudit za pomoci tzv omutátoru [ A B] AB BA () Je-li omutátor operátorů Â B ulový operátory omutují je-li růzý od uly eomutují Výsledem omutátoru je opět operátor Uveďme ejdůležitější vlastosti omutátorů (doažte!) ) [ A B ] [ B A ] ) [ A B C ] [ A C ] [ B C ] ) [ A B ] [ A B ] 4) [ A [ B C ]] [ B [ C A ]] [ C [ A B ]] To jsou ale právě deiičí vlastosti Lieovy algebry () až (5) Komutátory tvoří Lieovu algebru a prostoru operátorů řílad 6: Mějme a L dva operátory: tato D Určeme jejich omutátor d d 5 D d d X 5 a apřílad a prve působí X d d d d [ DX ] ( DXXD) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) [ D X ] pro L [ D X ] odobě můžeme určovat i další omutačí relace V celém tomto tetu se budeme zabývat lieárími operátory tj operátory s lieárí odezvou: A ( g ) A A g Všechy dosud uvedeé operátory byly lieárí V vatové teorii se setáme především se dvěma druhy lieárích operátorů - operátory uitárími a operátory Hermitovými Uveďme yí deiice těchto operátorů UNITÁRNÍ OERÁTORY Deiice: uitárí operátor zachovává salárí souči tj U g U g g U U g () Salárí souči se před a po působeí uitárího operátoru ezměí Věta: ro uitárí operátory je sdružeý a iversí operátor totožý tj U U () Důaz: Z deiice sdružeého operátoru víme že U Ug U U g 5

16 Operátory ro zachováí salárího součiu (deiice uitárího operátoru) je uté aby UU to ale podle deiice iversího operátoru právě zameá že U U i řílad 7: operátor U e a prostoru L je uitárí U U g HERMITOVY OERÁTORY g g( ) ( ) e i ( ) * * e i U e U g e g( ) d e i i i ( ) g( ) d g ( ) g( ) * ( )e i g( ) d Deiice: Hermitův operátor působí v obou částech salárího součiu stejě tj A g A g (4) Věta: ro Hermitův operátor je sdružeý operátor rove původímu je samosdružeý: Důaz: lye oamžitě z deiice sdružeého operátoru A A (5) ozáma: V přesé matematice se deiice samosdružeého a Hermitova operátoru epatrě liší požadavy a deiičí obor pro aše účely ebudeme samosdružeé a Hermitovy operátory rozlišovat Vzhledem tomu že Hermitův operátor působí v obou částech salárího součiu stejě často se píše A g A g A g Cetrálí pozice  azačuje že podle vlastího uvážeí můžeme operátorem zapůsobit vlevo či vpravo Tato strutura se ědy azývá sedvič d řílad 8: operátor B i a prostoru L d ( ) je hermitovsý i B g * ( ) g( ) i d i d ( ) * * g( ) d i d g( ) ( ) d d * * d ( ) g( ) d d p partes d g( ) ( ) i d B g d Výraz v hraaté závorce je ulový eboť uce z L ( ) jsou itegrovatelé s vadrátem a ( ) a proto musí být lim ( ) lim g( ) pro g L Samotý operátor derivace D d d hermitovsý eí při provedeí itegrace per partes by se zaměilo zaméo a D g D g 6

17 Operátory roječí operátory Cílem této apitoly bude aučit se acházet projece vetorů do předem zadaého paprsu Jde o úlohu terá má prvořadý výzam eje pro vatovou teorii Rozvoje do růzých typů řad (apřílad Fourierova řada) ejsou ic jiého ež hledáí projecí zadaé uce do vetorů ějaé báze teré reprezetují paprse v prostoru Z celého paprsu stačí vzít jediý vetor terý paprse zcela popíše Vybereme teto reprezetativí vetor jedotový tj ta aby a a tj a Sado představitelá je situace v R Na obrázu vidíme jedotový vetor a terý represetuje paprse a vetory g h teré do tohoto paprsu budeme promítat g > > ^ g > ^ h > a > ^ > paprse h > rojece libovolého vetoru má veliost cos a směr a a Zaméo uce cos ve veliosti projece určuje zda promítaý vetor míří ve směru a ebo ve směru opačém rojeci lze apsat jao souči její veliosti a směru: a cos a a a a a a a a a a a a a ovšiměte si že při úpravách výrazů v Diracově symbolice můžeme libovolě stěhovat čísla (ormy vetorů a salárí součiy) Výraz pro projeci se sládá z oeicietu terý určuje veliost projece a vetoru a Zapíšeme-li ormálě oeiciet až za vetor zísáme operátorový tvar: a a a a Ozačme a a a a a a (6) a a Teto výraz se azývá proječím operátorem Sám o sobě výzam emá jde o azačeou operaci salárího součiu terá musí být vyoáa Teprve zapůsobeím a ějaý vetor dostaeme smysluplý výraz projeci vetoru daou oeicietem a a a a směrem vetoru a Situace je podobá operátoru d/d taé jde je o azačeou derivaci terá musí být vyoáa a orétí uci Bude-li vetor a do terého promítáme jedotový výrazy se ještě zjedoduší: a a a a (7) Koeiciet projece je a a směr je a 7

18 Operátory 8 řílad 9: Nalezěte projeci vetoru do vetorů a a b Vetory jsou dáy tato: ; ; b a Nejprve alezeme proječí operátory: b b b b a a a a b a Nyí sado alezeme hledaé projece: b a Využijme yí tohoto příladu a vyzoušejte si že platí jedoduché a užitečé relace Výpočty jsou atoli sadé že zde uvedu je výsledy: > a > b > ; a a b b ; b b a a b a rví relace zameá že proječí operátory jsou hermitovsé ro matice je výzam jedoduchý: Matice se po přelopeí olem hlaví diagoály a ásledém ompleím sdružeí ezměí Druhá relace má taé velmi jedoduchý výzam: rojece dvarát provedeá po sobě (vadrát operátoru) je shodá s projecí provedeou jedou Obě vlastosti jsou pro proječí operátory charateristicé a většiou se považují za deiici proječího operátoru: Deiice: roječím operátorem azveme taový lieárí operátor terý je hermitovsý a platí ozáma: Sado lze uázat že obě vlastosti jsou splěy pro deiici (6) apřílad pro druhou vlastost: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a V prostředím výrazu jsme zrátili salárí souči v čitateli (uprostřed) s jedím ze salárích součiů ve jmeovateli Jde o prostá ompleí čísla terá lze vytout před výrazy a rátit

19 Operátory Výzam třetí relace je taé sado pochopitelý: Vetory a a b jsou avzájem olmé a v roviě tvoří ortogoálí bázi (bázi složeou z olmých vetorů) rojece do těchto vetorů ejsou ičím jiým ež rozladem původího vetoru do této báze Zuste si obě projece sečíst Dostaete původí vetor rávě matematicým vyjádřeím atu že součet všech projecí dá původí vetor je třetí relace: a b a b Nědy se této relaci říá relace úplosti oud je daá báze úplá (echybí v í žádý vetor) potom je součet všech proječích operátorů rove jedotovému operátoru To zameá že součet všech projecí libovolého vetoru dá původí vetor 4 Rozvoj prvu do báze Mějme v uitárím prostoru spočetou bázi (maimálí možiu lieárě ezávislých vetorů) { e } Vhodou lieárí ombiací jedotlivých prvů můžeme vždy zajistit aby prvy báze byly avzájem olmé a měly jedotovou veliost Taové prvy budeme ozačovat je pořadovým číslem: Báze složeá z vetorů má dvě záladí vlastosti: l (8) l (9) Vlastost (8) je vyjádřeím ortoormality Salárí souči dvou růzých vetorů je ulový (jsou avzájem olmé) a dvou stejých je rove jedé (vetory báze mají jedotovou veliost) Vlastost (9) je relací úplosti báze Součet všech proječích operátorů dá jedotový operátor tj součet všech projecí libovolého vetoru dá původí vetor V relaci úplosti je možé vyechat sumaci a využít Eisteiovu sumačí oveci V případě eseparabilích prostorů s espočetou bází mají obě relace tvar: y ( y ) () d () Na pravé straě relace ortoormality je místo Kroecerova symbolu Diracova distribuce a v relaci úplosti je místo sumace proječích operátorů itegrace Rozvoj prvu do báze je v Diracově symbolice mimořádě jedoduchý Stačí před prve vsuout relaci úplosti v podobě jedotového operátoru: c c () Koeiciety rozvoje jsou dáy salárím součiem rozvíjeého vetoru s prvem báze řílad : Fourierova řada Uvažujme prostor L ( ) periodicých ucí itegrovatelých s vadrátem Díy požadavu () = () tvoří v tomto prostoru úplou bázi soustava ucí (viz elemetárí učebice z matematiy ebo láta z prvích semestrů): i e Tyto uce jsou sice avzájem olmé ale ejsou jedotové: 9

20 Operátory l e i e il d e i( l) d pro l pro l Nulovost salárího součiu pro l plye z periodičosti trigoometricých ucí a itervalu < > Vydělíme-li prvy báze jejich veliostí zísáme ortoormálí bázi e i pro terou platí relace ortoormality (8) a relace úplosti (9) Rozvoj libovolé uce z ašeho prostoru je potom eboli ( ) c c c e i c e i ( ) d což jsou zámé vztahy pro Fourierovu řadu Nezapomeňte že salárí souči je v levém argumetu ompleě sdružeý proto je v oeicietu c mius Reprezetace V daé bázi můžeme sado přepsat operátorovou rovici vetor jedotový operátor A g A l l g Zísaý výraz eí ale ic jiého ež maticové ásobeí eboli l l / l  g Vložíme před zleva A l l g () A A g A Al Al A A g gg g Al l g (4) l Jestliže operátoru přiřadíme čtvercovou matici A A l A l a vetoru sloupcovou matici l l můžeme s operátorovými výrazy zacházet jao s obyčejým ásobeím matic Hovoříme o tom že jsme zvolili reprezetaci daého prostoru Ve sutečosti ejde o ic jiého ež o volbu orétí báze Má-li báze eoečý spočetý počet čleů budou vetorům odpovídat poslouposti a operátorům eoečé matice Vidíme že v libovolém separabilím Hilbertově prostoru eistuje jedozačé zobrazeí prvů a prostor posloupostí l (izomorismus) V případě eseparabilích prostorů s espočetou bází zísáme obdobou relaci:

21 Operátory A y y dy g (5) což eí ic jiého ež itegrálí trasormace A( y) ( y) dy g( ) ; A( y) A y ( y) y g( ) g s jádrem A( y) Veličiy y hrají úlohu spojitého ideu (6) řechod mezi bázemi Máme-li dispozici dvě sady bázových vetorů { } a { } bude mezi oeiciety rozvojů platit jedoduchý vztah terý opět odvodíme je vložeím relace úplosti: S S Matice S se azývá matice přechodu 5 Spetrálí teorie V teorii operátorů patří záladím úlohám alézt směry ve terých se působeí daého operátoru projevuje jao ompleí atahováí: A ; C (7) Vetor se azývá vlastím vetorem (charateristicým vetorem) operátoru  a oeiciet atahováí vlastím číslem (charateristicým číslem) Napřílad u tezoru setrvačosti leží vlastí vetory ve směru os ve terých těleso při rotaci ehází U lieárích operátorů je i aždý ásobe vlastího vetoru vlastím vetorem se stejým vlastím číslem Jde tedy o celý paprse v Hilbertově prostoru eboli vlastí směr Taových vlastích směrů a čísel může eistovat u lieárích operátorů celá řada jejich maimálí počet je rove dimezi prostoru (počtu prvů báze) U separabilích prostorů můžeme tedy úlohu alezeí vlastích čísel a vetorů ormulovat rovicemi: A ; ; C (8) Možia všech vlastích čísel { } se azývá spetrum operátoru  Nalezeme-li spetrum operátoru a jeho vlastí vetory můžeme relativě sado řešit rovice obsahující teto operátor omocí vlastích čísel a vetorů lze apřílad řešit soustavy obyčejých lieárích diereciálích rovic (viz apitola 5 prví části sylabu) Věta: Hermitovsý operátor má reálá vlastí čísla a vlastí vetory dvou růzých vlastích čísel jsou avzájem olmé Důaz: ři výpočtu salárího součiu využijeme hermitovosti a poecháme operátor ejprve působit v pravé části salárího součiu a poté v levé Výslede musí být stejý: * A * R A Vlastí čísla jsou tedy reálá V druhé části budeme postupovat obdobě ro vlastí číslo z levé části salárího součiu využijeme prví části důazu:

22 Operátory l l l l A l * A l l l l l l ( ) l l pro l l Věta: Vlastí čísla uitárího operátoru leží a ompleí jedotové ružici a vlastí vetory dvou růzých vlastích čísel jsou avzájem olmé Důaz: ři důazu vyjdeme s deiice uitárího operátoru: * U U orováím prvího a posledího výrazu je zřejmé že * Zbývá doázat olmost vetorů K tomu budeme potřebovat pomocou větu (lemma) terá říá že iverzí uitárí operátor má vlastí čísla /λ * U U U Z porováí prvího a posledího výrazu plye U Nyí již budeme postupovat aalogicy jao v případě hermitovsého operátoru V levé části salárího součiu využijeme opět prví části důazu: l l l l U l U l * l l l l l ( ) l l l pro l ozámy: Reálé vlastí hodoty hermitovsých operátorů budou v vatové teorii využity jao možé výsledy měřeí dyamicé proměé teré odpovídá operátor  Ai olmost vlastích vetorů eí bez užitu Vhodý hermitovsý operátor ám může v podobě svých vlastích vetorů porodit výhodou ortoormálí bázi v Hilbertově prostoru Uitárí operátory se v vatové teorii využívají popisu časového vývoje stavu objetu

23 Operátory řílad : Určeme vlastí čísla a vetory matice  z příladu 4: i i A i i i i A Rovice má etriviálí řešeí je poud je determiat rove ule Z této podmíy plyou dvě možé hodoty vlastího čísla ro aždou z ich potom již sado učíme příslušý vlastí vetor ozor! odmía pro determiat čií rovice pro složy vlastího vetoru závislé To je ale v pořádu řešeí rovic musí mít jede volý parametr ta aby představovalo celý paprse v prostoru K vlastím vetorům můžeme ajít ormovaé vlastí vetory a příslušé proječí operátory Výslede je: i i i i i i i i c c ovšiměte si že matice A byla hermitovsá (matice přelopeá olem diagoály a ompleě sdružeá je shodá s původí maticí) roto má reálá vlastí čísla a vlastí vetory tvoří ortoormálí soustavu: Tato soustava vetorů je úplá tvoří bázi v prostoru ompleích dvojic: Věta o spetrálím rozvoji: Nechť  je lieárí operátor s možiou vlastích vetorů terá tvoří úplou ortoormálí bázi v Hilbertově prostoru otom můžeme pro aalyticou uci operátoru deiovaou Taylorovým rozvojem (8) psát ) ( ) ( ) ( A (9) Důaz: Nejprve si povšiměme působeí moci operátoru a vlastí vetory: ) ( ) ( c c A A A A A A V další ázi důazu budeme ucí operátoru působit již a obecý vetor rovedeme ale jeho rozlad do báze složeé z vlastích vetorů de působeí záme z posledí rovosti: ) ( ) ( ) ( A A To je ale přesě rovost terou jsme chtěli doázat Vyecháme-li ve výrazech libovolý vetor a terý operátory působí dostáváme větu o spetrálím rozvoji

24 Operátory ozámy: ) Má-li operátor víceásobé vlastí číslo stupě N eí to a závadu Vlastí vetory víceásobému vlastímu číslu tvoří celý podprostor dimeze N a lze zvolit N ezávislých olmých vlastích vetorů odpovídajících tomuto víceásobému číslu ) Je-li prostor eseparabilí bude za ěterých dalších předpoladů možé větu o spetrálím rozvoji modiiovat do tvaru: ( A ) ( ) d ) ro vyjádřeí uce operátoru je často mohem jedodušší použít místo Taylorova rozvoje větu o spetrálím rozvoji říslušá řada probíhá je přes vlastí čísla operátoru 4) Záme-li spetrum operátoru a jeho vlastí vetory můžeme sado apsat jeho libovolou uci a řešit ta rovice ve terých se tato uce operátoru vysytuje Speciálě iverzí operátor je dá ormulí A Vidíme že pro jeho eisteci je romě předpoladů věty utá eulovost všech vlastích čísel řílad : Na prostoru C i je zadá maticový operátor A Určete ep( Â ) i Teto přílad jsme již řešili pomocí Taylorova rozvoje jao přílad 4 Z příladu záme vlastí čísla vetory i proječí operátory tohoto maticového operátoru Z věty o spetrálím rozvoji můžeme proto apsat: A λ i λ e e e e e i i Na rozdíl od Taylorova rozvoje má řada yí je dva čley i ch i sh i sh ch řílad : Nalezěte časový vývoj průběhu teploty tyče dély L jejíž oba oce jsou udržováy a ulové teplotě očátečí teplota tyče je dáa ucí T ( ) Úolem je ajít řešeí rovice teplotí diúze T T t s počátečími a orajovými podmíami T T ( t ) T ( t ) T ( ) T ( t) T ( t L) řeormulujme yí úlohu do Diracovy symboliy Zaveďme ejprve Hilbertův prostor H ( ) : L ( L) () ( L) Jde o prostor ucí deiovaých a itervalu < L> periodicých a itegrovatelých s vadrátem Orajová podmía původí rovice je přesuuta do deiice prostoru Kdyby byly orajové hodoty a obou straách růzé mohli bychom teplotí uci zrcadlově rozšířit (tím bychom zísali stejou hodotu teploty a obou ocích tyče) Jestliže by hodota teploty tyče a obou ocích byla eulová můžeme posuout počáte teplotí stupice Vzhledem derivacím v rovici teplotí diúze to a tvar rovice emá vliv ožadave ulové teploty a obou ocích tyče tedy eí a újmu obecosti řešeí Úloha má yí tvar: d T d κ A T T H A () d t d 4

25 Operátory 5 Z příladu 8 víme že operátor d d i B je hermitovsý (má reálá vlastí čísla a olmou soustavu vlastích vetorů) roto i vadrát tohoto operátoru B A je hermitovsý Zaméo mius zde eí podstaté je zajistí ezáporá vlastí čísla operátoru  Řešeí úlohy můžeme ormálě apsat oamžitě (!!) : ) ( e ) ( ) ( t T t T t t A () Sutečě: dosadíme-li počátečí čas dá řešeí počátečí podmíu Derivujeme-li řešeí podle času zjistíme že řešeí () splňuje výchozí rovici (): ) ( ) ( e ) ( e ) ( ) ( ) ( t T κ t T κ t T dt d t T dt d t t κ t t κ A A A A Jediý problém je že v alezeém řešeí () vystupuje uce operátoru  Abychom ji mohli určit musíme zát spetrum a vlastí vetory operátoru  a prostoru H Řešme tedy ejprve úlohu ) ( () L H A Řešeí této obyčejé lieárí diereciálí rovice s orajovými podmíami je: si si L L L c L Vlastí čísla jsou reálá (  je hermitovsý operátor) vlastí vetory jsou avzájem olmé a tvoří přirozeou bázi v H Napsat řešeí () je yí již je jedoduchou apliací věty o spetrálím rozvoji: ; e ) ( e ) ( e ) ( ) ( ) ( ) ( t t L κ t t κ λ t t κ c t T t T t T A ) ( si t T c L L Řešeí můžeme samozřejmě zapsat i stadardě bez použití Diracovy symboliy: ) ( si ; si e ) ( ( ) L t t L κ d T L L c L c L t T ro t = t máme Fourierovu řadu pro počátečí podmíu ro t t ejde o ic jiého ež o rozvoj do jedotlivých Fourierových modů Každá Fourierova ompoeta ubývá epoeciálě s časem Vidíme že věta o spetrálím rozvoji ám může být užitečá i při řešeí parciálích diereciálích rovic

26 Záladí pricipy ZÁKLADNÍ RINCIY KVANTOVÉ TEORIE Ja už víme lasicá mechaia selhala při popisu dějů mirosvěta zejméa proto že je postavea a omutujících objetech V mirosvětě děje ale eomutují Záladím cílem bude tedy místo dyamicých proměých používat eomutující objety (operátory) a alézt vztah mez operátory a reálými měřitelými veličiami Záladí aiomy a deiice I Redeiice stavu p 6 p V lasicé mechaice je stav částice urče polohou a hybostí Vzhledem tomu že v mirosvěte elze současě tyto veličiy měřit a měřeí jedé ovliví měřeí druhé je uté pojem stavu deiovat ovým způsobem Fázové trajetorie již elze v mirosvětě popsat řivami Vímáme je s přesostí daou relacemi eurčitosti p Můžeme si představit že ázovou trajetorii vidíme jao rozmazaou čáru s rozlišeím daým čtverečem o ploše (sledujeme-li jedu souřadici a jí odpovídající zobecěou hybost) Kompatibilita: Řeeme že dvě dyamicé proměé jsou ompatibilí jestliže měřeí jedé veličiy eovliví měřeí veličiy druhé říladem ompatibilích proměých jsou ( y) příladem eompatibilích proměých jsou ( p ) Kompatibilita je symetricá vlastost ale eí trasitiví (A omp B) (B omp A) (A omp B) (B omp C) / (A omp C) řílad 4: ( omp y) (y omp p ) / ( omp p ) Úplá možia pozorovatelých (ÚM): Maimálí ezávislá možia vzájemě ompatibilích dyamicých proměých Jaáoli další dyamicá proměá už s imi eí ompatibilí Napřílad v erelativisticé teorii jsou ejzámější ÚM ( y z) (p p y p z ) a pro cetrálí pole ještě eergie vadrát mometu hybosti a jeho jeda ompoeta (E L L ) Současě lze tedy změřit všechy tři souřadice ebo všechy tři složy hybostí Nelze již ale současě změřit všechy tři složy mometu hybosti Stav systému: Řeeme že záme stav systému záme-li výslede měřeí ěteré ÚM Stavem tedy azveme je to co lze ve sutečosti současě změřit Záladím rysem ové teorie musí být eomutující objety operátory Místo dyamicých proměých z lasicé mechaiy (souřadice hybost eergie momet hybosti ) budeme používat operátory (operátor souřadice hybosti ) Neomutativost těchto operátorů bude vyjadřovat eomutativost atu měřeí dyamicých proměých v mirosvětě Veličiy aměřeé přístrojem v mirosvětě jsou reálá čísla ědy spojitá (poloha částice) ědy disrétí (apřílad jedotlivé hladiy eergie eletrou vázaého v atomu) Ja zísat z operátoru dyamicé proměé sadu reálých čísel spojitého ebo disrétího charateru? Taovou sadou je právě spetrum hermitovsých operátorů Dyamicým proměým budeme tedy přiřazovat hermitovsé operátory Každý operátor působí a prvy ějaého Hilbertova prostoru H Musíme se tedy ptát jaý výzam bude v aší teorii mít sám Hilbertův prostor a taé prvy a teré operátory působí ozději uvidíme že příliš ezáleží a volbě Hilbertova prostoru odstaté jsou spíše vztahy mezi dyamicými proměými yí operátory Kvatová mechaia založeá a prostoru L ucí itegrovatelých s vadrátem je zámá Schrödigerova vlová mechaia

27 Záladí pricipy vedoucí a Schrödigerovu rovici a vlové uce Kvatová teorie založeá a prostoru l posloupostí sčitatelých s vadrátem je Heisebergova maticová mechaia Obě teorie se a prví pohled zdají aprosto odlišé řesto vlastí čísla operátorů v obou teoriích jsou stejá a obě teorie ta dávají stejé předpovědi Hilbertův prostor se všemi svými prvy a s operátory teré a prvy působí orespoduje s vlastostmi celého systému z lasicé mechaiy Místo systému budeme proto v vatové teorii hovořit o Hilbertově prostoru daého systému (apřílad Hilbertův prostor eletrou) Zbývá rozluštit posledí hádau čemu jsou prvy Hilbertova prostoru? Již v úvodu jsme si řeli že v mirosvětě sám at měřeí ovliví stav systému řed měřeím je systém v jiém stavu ež po měřeí At měřeí dyamicé proměé zastupuje v vatové teorii hermitovsý operátor této proměé ůsobeím tohoto operátoru a prve prostoru dostáváme jiý prve tohoto prostoru A to je přesě to co hledáme rvy (vetory) prostoru tedy představují stav systému At měřeí je působeí příslušého operátoru a stav (prve prostoru) a ový stav je prve terý vzil působeím operátoru Vlastí číslo operátoru prezetuje aměřeou hodotu a vypovídá ta o stavu systému Víme už že ásoby aždého vlastího vetoru jsou opět vlastím vetorem V H tedy eistuje daému vlastímu číslu celý vlastí směr (paprse) Stavu systému proto musí odpovídat celý paprse v H ioli je jede jediý vetor řicházíme ta e třem záladím aiomům vatové teorie: systému přiřadíme Hilbertův prostor H systém H stavu systému přiřadíme paprse > v H stav dyamicé proměé přiřadíme hermitovsý operátor A a H A  S liearitou budovaé teorie se pojí velmi důležitý pricip: ricip superpozice: Nechť H a H reprezetují dva růzé stavy systému otom je aždý vetor α α ψ je taé yziálě realizovatelý stav Bez tohoto požadavu by ebylo možé vybudovat lieárí teorii II Měřeí v vatové teorii At měřeí dyamicé proměé A v ějaém stavu zameá apliaci operátoru  této dyamicé proměé a daý stav Operátorem  a stavem musí tedy být zcela jedozačě dáo co je a co eí možé a systému aměřit Odpověď a tuto otázu posytují tzv iterpretačí postuláty: ostulát A Měříme-li dyamicou proměou A mohu a systému aměřit je ěterou z vlastích hodot {a j } operátoru  j a j j  této dyamicé proměé: ostulát B ozorováí dyamicé proměé A a systému terý byl připrave ve vlastím stavu j operátoru  vede zcela jistě aměřeí vlastí hodoty a j ostulát C Je-li systém připrave v obecém stavu H vede opaovaé měřeí veličiy A růzým výsledům a j Středí hodota těchto opaovaých měřeí bude rova A 7

28 Záladí pricipy ozámy: ) Opaovaá měřeí si emusíme představovat ta že bychom a stejém systému opaovali eustále tatáž měřeí V prai by to ebylo proveditelé Těžo můžeme a jedom jediém eletrou zopaovat ějaé měřeí Musíme mít připraveo velé možství systémů ve stejém stavu (apřílad svaze eletroů) a opaovat měřeí a růzých eletroech (systémech) ) Výraz pro středí hodotu je ejjedodušším možým výrazem složeým z operátoru  a stavu terý dá jao výslede reálé číslo Středí hodotu bývá zvyem ozačovat <A> ebo A ) Automaticy předpoládáme že stavové vetory jsou ormováy jedé Neí-li stavový vetor ormová musíme výraz pro středí hodotu vydělit ještě vadrátem ormy stavového vetoru: A A 4) Výraz pro středí hodotu rozepsaý v prostoru L (R ) dá: * ( ) A ( ) d A * ( ) ( ) d 5) Jsou-li všechy systémy připravey ve vlastím stavu j operátoru  dá středí hodota daá postulátem C samozřejmě příslušou vlastí hodotu podle postulátu B a všecha měřeí dají v tomto výjimečém případě stejý výslede (přes j se esčítá): j A j a j j j A a j j j j j III Statisticá iterpretace stavového vetoru Rozvieme-li stavový vetor do ortoormálí spočeté báze ebo espočeté báze resp ( ) d d azýváme oeiciety rozvoje respetive ( ) amplitudou pravděpodobosti že systém alezeme ve stavu respetive K tomu ás opravňuje at že jde o projece stavového vetoru do patřičého prvu báze Z ortoormality báze a ormovaosti stavu jedé oamžitě plye * resp * ( ) ( ) d a výrazy w * resp * w ( ) ( ) ( ) proto chápeme jao pravděpodobost realizace stavu resp hustotu pravděpodobosti alezeí systému ve stavu ravděpodobosti jsou automaticy ormalizováy jedé IV ricip orespodece osledím ze záladích pricipů vatové teorie je pricip orespodece Vymezuje teré části z teoreticé mechaiy je možé převzít v vatové teorii ricip orespodece pro záladí relace Záladí relace mezi dyamicými proměými v teoreticé mechaice a příslušými operátory v vatové mechaice se mohou lišit je pořadím operátorů ricip orespodece pro algebru oissoových závore Strutura oissoových závore v teoreticé mechaice je ideticá se struturou omutátorů v vatové teorii: 8

29 Záladí pricipy A B C A B C { A B} C [ A B] C rví část pricipu orespodece platí pro jedoduché relace mezi dyamicými proměými teré eobsahují derivace Napřílad deiice Hamiltoovy uce v poteciálím poli V y p p p H V ( y z) m přejde v deiici Hamiltoova operátoru y z H V ( X Y Z ) () m Výraz pro poteciálí eergii je typicou ucí operátoru terou jsme probírali v apitole o operátorech ro výrazy typu A = p elze vatový aalog jedozačě určit Může jím být buď A X ebo A X Operátory eomutují a proto záleží a jejich pořadí Správá variata z obou možých musí být vybráa a záladě eperimetu Stejě ta můžeme z růzých Lagrageových ucí téhož systému obdržet růzé vatové teorie a správou variatu je třeba opět vybrat a záladě eperimetu Druhá část pricipu orespodece se týá oissoových závore výrazů teré v lasicé mechaice obsahují derivace dyamicých proměých oissoovým závorám v vatové teorii odpovídají omutátory dyamicých proměých Nelze vša položit rovost mezi omutačí relací a oissoovou závorou Důvody jsou hed dva: ) rozměrový: oissoova závora obsahuje derivace teré do výrazů vášejí yziálí rozměr omutátory ioli je třeba použít rozměrový převodí oeiciet ) pricipiálí: Dyamicým proměým v vatové teorii můžeme přiřazovat je hermitovsé operátory (mají reálá vlastí čísla terá iterpretujeme jao aměřitelé hodoty) Jsou-li operátory odpovídající A a B hermitovsé musí být operátor odpovídající C taé hermitovsý To lze opět zajistit pomocí ostaty Určeme yí podmíu a ostatu terá plye z požadavu hermitovosti operátorů: [ AB ] C AB BA C / * / B A A B C O O * BAAB C * [ AB ] C orováme-li počátečý a ocový výraz musí platit * = To ale splňují je ryze imagiárí čísla řevodí ostata tedy musí mít tvar: i () Kostata je ějaé reálé číslo a je jediou udametálí ostatou vatové teorie Tato ostata se bude vysytovat ve všech předpovědích vatové teorie (apřílad v eergeticém spetru eletrou vázaého v atomech ve vztazích pro zářeí absolutě čerého tělesa v Heisebergových relacích eurčitosti atd) Její hodotu je možé změřit eperimetálě a záladě těchto předpovědí a je rova: z J s (4) 9

30 Záladí pricipy ricip orespodece pro oissoovy závory můžeme stručě zapsat jao B] A [ i } { B A (5) Tím jsme zaočili přehled záladích pricipů vatové teorie Jeliož jde o záladí eodvoditelé pricipy a terých teorii stavíme bylo by možé je stroze vypsat aiomy postuláty a pricipy ozačeé v této apitole čtverečem Doplňující tety se saží je pouázat a to že právě tato volba záladích aiomů je přirozeá a povede cíli O správosti záladích pricipů vša mohou rozhodout jediě eperimety ověřující výpovědi z těchto pricipů plyoucí Kompatibilita měřeí a Heisebergovy relace Rozhodout o tom zda se měřeí dvou dyamicých proměých ovlivňují či ioli je jedoduché Stačí zát omutátor operátorů těchto proměých Je-li teto omutátor ulový je A B B A a měřeí se eovlivňují Záladí omutátory pro souřadice a hybosti můžeme odvodit z pricipu orespodece ostatí už pa z vlastostí omutátorů ro oissoovy závory mezi souřadicemi a hybostmi platí (55): } { } { } { l l l l p p p Tomu odpovídají podle pricipu orespodece omutačí relace: [ ] [ ] [ ] i l l l l X X X (6) Z ich je zřejmé že současě lze u objetu změřit všechy tři souřadice ebo hybosti Taé se vzájemě eovliví měřeí apřílad souřadice a hybosti p y Jediá měřeí terá se vzájemě ovlivňují a u terých záleží a pořadí měřeí (eulový omutátor) je měřeí zobecěé souřadice a jí příslušé zobecěé hybosti Rovice (6) jsou záladími omutačími relacemi v vatové teorii Bylo by samozřejmě možé hledat ostatí složitější omutačí relace taé z oissoových závore Výhodější je odvozovat je ze záladích relací (6) a vlastostí Lieovy algebry omutátorů Tím se oprostíme od lasicé mechaiy a emusíme se í při aždé omutačí relaci vracet Kvatová mechaia začíá žít vlastím životem To co přebrala z lasicé mechaiy prostředictvím pricipu orespodece jsou je relace (6) Odvoďme yí omutačí relaci mezi prví a druhou ompoetou mometu hybosti: ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X L L [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X X X X X X X X X X X X X X X X XX X X X X X X X [ ] [ ] [ ] [ ] X X X X X X X i ) ( i i i ] [ ] [ L X X X X X X X X

31 Záladí pricipy Je jasé že postup je velmi zdlouhavý ale přímočarý Hledaou omutačí relaci postupě rozmělňujeme podle pravidel Lieovy algebry až a elemetárí relace mezi souřadicemi a hybostmi raticy všechy symbolicy orietovaé programy či programovací jazyy bez problémů tuto úlohu řeší za ás a obsahují balíy pro výpočet omutačích relací Aalogicým postupem můžeme alézt omutačí relace pro ostatí ompoety mometu hybosti Neí to ale uté stačí je zísat cylicou záměou souřadicových os Kompletí omutačí relace pro momet hybosti potom jsou: [ L [ L [ L L L ] i L ] i L L ] i L (7) Výsledem je že současě eí možé změřit žádé dvě ompoety mometu hybosti Měřeí aždé ompoety ovliví měřeí teréoli jié ompoety Zaveďme operátor vadrátu veliosti mometu hybosti L L L L (8) Stejým postupem jao dříve dopočteme omutačí relace vadrátu mometu s jedotlivými ompoetami Tetoráte při rozmělňováí omutačí relace postačí dostat se je relacím (7) pro momet hybosti Jejich výslede už záme o výpočtu dostaeme: [ L ] (9) L Neí tedy možé současě změřit dvě růzé ompoety mometu hybosti Vždy je ale možé změřit vadrát veliosti mometu hybosti a jedu z jeho libovolých ompoet zpravidla se používá třetí ompoeta Ze zatím provedeých úvah je zřejmé že současě můžeme měřit dyamicé proměé { y z} ebo {p p y p z } ebo {L L } V apitole 5 uvidíme že v případě séricy symetricého poteciálu je s posledí možiou ompatibilí ještě eergie Jde o záladí tři úplé možiy pozorovatelých (ÚM) pro erelativisticou částici Nalezli jsme tedy jedoduchý postup pomocí terého zjistíme teré veličiy lze současě měřit a teré e ostačí alézt omutátor odpovídajících operátorů Teto postup ám ale umoží odpověď typu ao/e V případě že dyamicé proměé spolu současě měřit elze se musíme ptát ja moc aruší at měřeí jedé proměé at měřeí proměé druhé Na tuto otázu odpovídají Heisebergovy relace eurčitosti teré si yí odvodíme ředtím si uveďme přehled záladích statisticých pojmů a jejich operátorových aalogií v vatové teorii: statistia vatová teorie a středí hodota a A středí hodota a a a odchyla A A a operátor odchyly a vztah pro a A vztah pro a

32 Záladí pricipy a a a variace A A A vztah pro a (variace) a v a a a středí vadr odchyla a v A středí vadr odchyla Zuste si doázat oba dva statisticé vztahy v lasicé statistice i v vatové teorii V obou případech stačí je dosadit z příslušých deiic Nyí již můžeme přistoupit odvozeí relací eurčitosti ředpoládejme že máme dvě eompatibilí proměé: A B A B ; [ A B ] C Nalezěme středí vadraticé chyby měřeí: ( A) ( B) A A B B a b v v (*) (*) A B A B AB (*4) ( A B B A) ( A B B A) (*5) ( ABBA) [ A B] [ AB ] C o odmocěí dostáváme oečý tvar Heisebergových relací: a v bv C (4) * ozámy odvozeí: () využití hermitovosti operátorů; () Schwartzovo lemma (7); () rozděleí a symetricou (S) a atisymetricou (D) část; (4) symetricá část S je reálá (je součtem dvou avzájem ompleě sdružeých čísel) atisymetricá část D je aopa ryze imagiárí (je rozdílem dvou avzájem ompleě sdružeých čísel) a tvoří dohromady ompleí číslo pro teré platí S+D = +iy = ( +y ) / y = D (5) jedotový operátor v deiici  omutuje s čímoli Záme-li výslede omutačí relace operátorů příslušících dvěma dyamicým proměým můžeme z Heisebergových relací určit míru ovlivěí jedoho měřeí druhým Toto vzájemé ovlivěí výsledů měřeí závisí a stavu ve terém je systém připrave Je jsouli obě dyamicé proměé ve vztahu zobecěá souřadice zobecěá hybost ezávisí vzájemé ovlivěí a stavu systému: [ X ] i p To je ejzámější tvar relací eurčitosti p (4) (*)

33 Záladí pricipy Jde o prví orétí měřitelý výslede z ámi budovaé teorie terý obsahuje jediou ostatu teorie lacovu ostatu ozáma: Operátory ieticé a poteciálí eergie zpravidla vzájemě eomutují To má za áslede že eí současě přesě zjistitelá ieticá i poteciálí eergie a částice se může (a rozdíl od lasicé yziy) přehoupout přes poteciálovou bariéru (tzv tuelový jev) Vlastí stavy eergie Schrödigerova rovice V miulé apitole jsme se aučili rozhodout teré dyamicé proměé lze společě měřit a teré e omocí Heisebergových relací eurčitosti jsme schopi i valitativě postihout míru arušeí jedoho měřeí měřeím druhým Nyí se budeme věovat druhé záladí úloze vatové mechaiy: Nalézt spetrum operátoru eergie hodoty eergie teré je možé a systému aměřit Úlohu můžeme zormulovat apřílad tato: H H E (4) y z V ( X) V ( X Y Z ) (4) m m X i X l l X l l (44) Budeme hledat vlastí hodoty operátoru eergie (Hamiltoova operátoru) ze vztahu (4) Tato rovice pro vlastí hodoty Hamiltoova operátoru se azývá Schrödigerova rovice Operátor eergie (Hamiltoův operátor) je dá vztahem (4) Záladí operátory ze terých je slože Hamiltoův operátor podléhají omutačím relacím (6) resp (44) Nezáleží příliš a tom jaý Hilbertův prostor zvolíme V příští apitole uvidíme řešeí harmoicého oscilátoru v růzých prostorech H vždy dostaeme stejé spetrum Hamiltoova operátoru Na daém prostoru je ejpodstatější zvolit Hermitovy operátory zobecěých souřadic a hybostí ta aby splňovaly omutačí relace(44) Uažme si yí přepis Schrödigerovy rovice v prostoru L (R ) ucí itegrovatelých s vadrátem a celém prostoru R Nejjedodušším operátorem a tomto prostoru je operátor ásobeí souřadicí Teto operátor ztotožíme s operátorem souřadice: X ; Y y ; Z z (45) Nyí zbývá alézt hermitovsé operátory pro hybost ta aby splňovaly omutačí relace (44) V příladu 6 jsme si uázali že operátor derivace a operátor ásobeí souřadicí splňují v jedé dimezi omutačí relaci [ D X ] eboli [ X D ] Je zřejmé že operátor i d d splňuje relaci [ X ] i a v jedé dimezi plí úlohu operátoru hybosti Sám operátor derivace eí hermitovsý ale operátor derivace vyásobeý ryze imagiárí ostatou již hermitovsý je (viz přílad 8) Aby ve třech dimezích operátor hybosti splňoval omutačí relace (44) a platila volba (45) pro operátor souřadice musí operátor hybosti mít tvar i ; i ; y z i eboli (46) y z i (47) Schrödigerova rovice (4) s operátorem eergie (4) volbou prostoru H = L (R ) a operátory (45) a (46) vede potom a slavou Schrödigerovu rovici v reprezetaci:

34 Záladí pricipy V ( ) ( ) E ( ) m (48) Řešeí této rovice pro orétí poteciál V posyte spetrum operátoru eergie {E } jaožto možiu možých měřitelých hodot eergie ozáma : Řešeí rovice (48) lze alézt pro aždou hodotu eergie Ne vždy je vša toto řešeí z prostoru L (R ) Je proto vždy třeba vybrat z možých řešeí je ta terá jsou itegrovatelá s vadrátem tj doeoeča ubývají dostatečě rychle aby zajistila itegrovatelost ozáma : Eistuje jedoduchý způsob ja odhadout typ spetra pro daý poteciál Může-li se v lasicé mechaice částice vzdálit do eoeča je spetrum operátoru eergie spojité Nemůže-li se ai v jedom směru vzdálit do eoeča je spetrum operátoru eergie disrétí V V V řipomeňme že v lasicé mechaice se částice může pohybovat tam de je její celová eergie větší ež poteciálí To plye ze vztahu E mv / V ( ) Jde vlastě o podmíu ezáporosti ieticé eergie V aresleé situaci je pro E < V spetrum eergie disrétí pro E > V spojité řílad 5: V V V 4 V V V V V 5 V V 6 V V 7 V 8 V r r r r D poteciály; ( ) Symetricá pravoúhlá jáma Disrétí spetrum pro E < V spojité pro E > V ro eoečou jámu ( V ) je spetrum je disrétí Bariéra Spojité spetrum Nesymetricá pravoúhlá jáma Disrétí spetrum pro E < V spojité pro E > V 4 Harmoicý oscilátor Disrétí spetrum 4

35 Záladí pricipy D poteciály; r > 5 Séricá jáma Disrétí spetrum pro E < V spojité pro E > V V podobém poteciálu se pohybuje apřílad eutro v atomovém jádře 6 Coulombova bariéra (séricá jáma ombiovaá s Coulombovým odpuzováím) Disrétí spetrum pro E < V spojité pro E > V Neulová pravděpodobost průiu bariérou tuelový jev (operátor ieticé a poteciálí eergie eomutuje) V podobém poteciálu se pohybuje proto ebo částice v atomovém jádře 7 Coulombův přitažlivý poteciál Disrétí spetrum pro E < spojité pro E > V podobém poteciálu se pohybuje eletro v atomárím obalu Stavy se záporou eergií jsou vázaé stavy stavy s ladou eergií jsou volé (eletro eí vázá atomovému jádru) 8 Séricý harmoicý oscilátor Disrétí stavy eergie Systém je při vychýleí do teréhooli směru vrace do počátu podle předpisu V(r) = / r Celá apitola 4 bude věováa řešeí Schrödigerovy rovice pro vlastí hodoty operátoru eergie a příladu harmoicého oscilátoru Harmoicý oscilátor je velice důležitým systémem Jedá se o parabolicé přiblížeí jaéoli poteciálí eergii s miimem a moho systémů lze považovat za harmoicý oscilátor alespoň v prvím přiblížeí Naoec i samo eletromageticé pole je soustavou otoů elemetárích harmoicých oscilátorů Mohli jsme jistě zvolit přílad jedodušší pravoúhlou jámu či bariéru V těchto příladech je poteciálí eergie po částech ostatí a řešeí Schrödigerovy rovice je víceméě triviálí Je je třeba jedotlivé části řešeí v místech změy předpisu poteciálí eergie správě avázat Tyto elemetárí úlohy jsou řešey v aždé úvodí učebici záladího ursu yziy a zvídavý čteář si je tam jistě ajde 5

36 Harmoicý oscilátor 4 HARMONICKÝ OSCILÁTOR Na příladu harmoicého oscilátoru si uážeme typicé řešeí úlohy pro vlastí hodoty operátoru eergie Naše úloha je H E H m X m X i (49) Jde o problém vlastích hodot Hamiltoova operátoru s orétím průběhem poteciálí eergie a zadaými záladími omutačími relacemi mezi operátorem polohy a hybosti V apitole 4 úlohu vyřešíme v rámci lasicé Schrödigerovy vlové mechaiy Za Hilbertův prostor zvolíme prostor L (R ) volba operátorů (45) a (46) povede a diereciálí rovici (48) v jedé dimezi Řešeí této rovice se provádí rozvojem do eoečých řad teré je třeba ořízout ta aby řešeí bylo z prostoru L (R ) tj itegrovatelé s vadrátem Odsud zísáme spetrum operátoru eergie V apitole 4 si uážeme řešeí úlohy (49) bez volby reprezetace Nebudeme vůbec volit orétí podobu Hilbertova prostoru Řešeí alezeme je z ormulace úlohy (49) Uvidíme ta že orétí volba Hilbertova prostoru eí podstatá ři tomto přístupu si zavedeme reačí a aihilačí operátory teré svým působeím posouvají eergeticé hladiy o jedu výše či íže Tyto operátory jsou v vatové teorii velmi užitečé a proto se s imi sezámíme již yí u jedoduchého příladu harmoicých oscilací V apitole 4 si uážeme řešeí úlohy (49) a prostoru l eoečých posloupostí sčitatelých s vadrátem (tzv Heisebergova maticová mechaia) Operátory zde budou eoečé matice Možá se vám zdá obtížá úloha ajít vlastí čísla eoečých matic roblém ale eí ta složitý Jestliže za vetory báze zvolíme vlastí vetory příslušého operátoru bude matice odpovídající tomuto operátoru diagoálí Vlastí čísla diagoálích matic se hledají sado Jsou to právě prvy a diagoále Třemi růzými způsoby ta uvidíte řešeí jedoho a téhož problému V vatové teorii jde totiž o vitří struturu teorie ioli o orétí reprezetaci ve teré výpočet provádíme 4 Řešeí pomocí vlové mechaiy (Schrödiger) Hamiltoova uce jedodimezioálího harmoicého oscilátoru je dáa součtem ieticé a poteciálí eergie (44) p H ( p) m (5) m Hamiltoův operátor je v prostoru L ( +) potom dá jedoduchou relací d H m (5) m d Odpovídající Schrödigerova rovice pro vlastí uci () z prostoru L ( +) má tvar 6

37 Harmoicý oscilátor d m ( ) E ( ) (5) m d Jde o obyčejou lieárí diereciálí rovici druhého řádu s elieárím oeicietem u ulté derivace Stadardí tvar této rovice (s jedotovým oeicietem u ejvyšší derivace) je: d me m (5) d Rovici budeme řešit ve čtyřech rocích: substituce ve vitří (ezávislé) proměé V ezávislé proměé budeme volit taovou substituci terá zbezrozměrí rovici řesuňme oeiciety ta aby byly symetricé u proměé a proveďme substituci d m d m E po teré Schrödigerova rovice zísá bezrozměrý tvar d d (54) m (55) E ( E) (56) substituce ve vější (závislé) proměé V závislé proměé budeme volit taovou substituci teré zohledí chováí vlové uce pro ro velá můžeme zaedbat posledí čle v rovici (56) a přibližě platí d d (řešeí stačí dosadit do původí rovice a zaedbat čley s ižšími mociami ) Kladé z alezeých řešeí evidetě eí z prostoru L itegrál z vadrátu přes celý prostor by byl eoečý Vlová uce se tedy pro velá musí chovat jao ep[ ] To ás přivádí substituci pro závislou proměou / ( ) e u( ) (57) po jejímž provedeí dostaeme rovici u u ( ) u (58) Derivace se automaticy rozumí podle ové proměé V pricipu by z matematicého hledisa bylo v pořádu říci v rovici (5) provedeme substituce (55) a (57) výsledá rovice je (58) V bodech a jsme si je uázali jaé pohuty ás těmto substitucím vedou protože postup je obdobý i u jiých průběhů poteciálu rozvoj řešeí do mocié řady Řešeí rovice (58) budeme hledat ve tvaru mocié řady e 7

38 Harmoicý oscilátor u( ) Sado alezeme prví a druhou derivaci c 8 u( ) c ; u( ) Výrazy pro u a její derivace dosadíme do rovice (58): ( ) c c ( ) ( ) c Jedotlivé čley upravíme ta aby mociy byly stejé (v prvím čleu položíme = l): l ( l )( l ) c l c l l l l cl ( ) cl l rví dva čley prvího součtu jsou ulové a proto můžeme spodí hraici posuout a l = : l l l ( l )( l ) c (l ) l c l Má-li být polyomiálí výraz ideticy ulový pro aždou hodotu musí být ulové všechy oeiciety tj výrazy v hraaté závorce Zísáváme ta reuretí relaci pro oeiciety c l aší řady: (l ) cl cl (59) ( l )( l ) Budeme-li zát oeiciety c a c budeme zát celé řešeí protože z reuretí relace můžeme spočítat c c c c c c c c Koeiciety c a c ta hrají roli dvou itegračích ostat řešeí diereciálí rovice (58) druhého řádu Sudá část řady se počítá z c a lichá z c 4 ořízutí řady Nalezeé řešeí je ve tvaru eoečé mocié řady Řeší sice původí rovici ale eí z prostoru L Aby bylo řešeí z L (itegrovatelé s vadrátem) musí být řada oečá tedy polyomiálí raticy to zameá že oeiciety řady musí být od určitého l = ulové V reuretí relaci (59) bude čitatel pro toto l = ulový a vešeré odvozeé oeiciety c l s l ulové Vidíme že ebude možé tato ořízout současě sudé i liché čley řady roto jsou možá je sudá (c c = ) ebo je lichá řešeí (c = c ) představující sudý ebo lichý polyom stupě odmía ořízutí (ulovost čitatele) v (59) je + = a plye z í po vyjádřeí spetrum eergie harmoicého oscilátoru: ozámy: ) Nezapomíejte že eergie E (vlastí hodota operátoru Ĥ) je po celou dobu výpočtu schováa v bezrozměré ostatě (vlastím číslu) ) Sama Schrödigerova rovice má řešeí pro aždou hodotu eergie Tato řešeí ale ejsou itegrovatelá s vadrátem až výběr itegrovatelých ucí (ořízutí řady) vede disrétímu spetru operátoru eergie (je pro E ( ) (6)

39 Harmoicý oscilátor ěteré vybraé hodoty eergie ubývá řešeí v dostatečě rychle aby bylo itegrovatelé s vadrátem) Tato situace je typicá pro spojité průběhy poteciálí eergie s miimem ) Záladí hladia eergie E je eulová! Ai při ulové absolutí teplotě eí harmoicý oscilátor v lidu a vyoává tzv ulové mity (apřílad oscilace rystalové mříže) ři absolutí ule se hmota achází ve stavu s ejižší možou eergií ioli vša v lidu 4) Spetrum operátoru eergie je evidistatí rozdíl dvou libovolých sousedích eergeticých hladi je E E E : To je právě zámý lacův vztah z počátu století Eergie jaýcholi mitů se emůže měit spojitě ale po socích (eergeticých vatech) E (6) 5) Zde se taé achází jeda z prvích možostí eperimetálího určeí lacovy ostaty měřeím eergeticých vat (apřílad při otoeletricém jevu: vyrážeí eletroů z povrchu ovu vaty eergie eletromageticého zářeí otoy) Zatím byla lacova ostata jediým eurčeým parametrem záladích postulátů vatové teorie 6) olyomiálí řešeí pro uci u se azývají Hermitovy polyomy a ozačujeme je H () ro daé ejprve určíme bezrozměré vlastí číslo E ( ) a z reuretí ormule (59) určíme pomocí c ebo c (podle toho zda jde o sudý či lichý polyom) ostatí oeiciety rozvoje ro c c = ebo c = c se alezeé polyomy azývají Hermitovy rvích ěoli Hermitových polyomů vychází: H ( ) c ( ) c H ( ) c H ( ) H H H 4 5 ( ) c ( ) c ( ) c ( ( 4 ( 4 ) 4 4 ) 4 5 Koeiciety c a c jsme volili rovy jedé Stupeň polyomu udává současě počet ulových bodů polyomu (počet průsečíů s osou ) 7) Hermitovy polyomy se praticy sado počítají eormovaé z reuretí ormule ro prví polyomy vychází: H H ( ) H ( ) ( ) 4 H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 8 H H 4 5 ( ) 6 ( ) Normovací oeiciety vlové uce H () ep[ /]) jsou dáy vztahem 8) Celové řešeí spetrálího problému je /! / E ( ) H( )e ; (6) Vlastí uce ( ) tvoří přirozeý úplý ortoormálí systém a prostoru L ( +) terý pro dosti rychle ubývá ule 9) Hustota pravděpodobosti že částice mitající s eergií E (oscilátor ve stavu >) se achází v poloze (resp bezrozměré poloze ) je dáa výrazem w * ro ěoli prvích stavů je vyreslea a obrázu ravděpodobost má oscilující charater a eistuje malá eulová pravděpodobost výsytu oscilátoru i za lasicými body obratu Teto obraz astává pro systémy s ízou teplotou a je zcela odlišý od lasicého řešeí ro velé eergie (vysoá ) by se měla řiva blížit lasicé pravděpodobosti výsytu oscilátoru (49) Vidíme vša že 5 ) 9

40 Harmoicý oscilátor oscilace jsou sice velmi husté ale eistuje začé možství bodů ve terých je vatová pravděpodobost ulová Nic taového vša u marosopicých systémů eměříme roč? To je dáo rozlišovací schopostí marosopicých přístrojů Žádý přístroj ebude měřit polohu s taovou přesostí aby registroval jedotlivá miima pravděpodobosti u vysoých eergeticých stavů řístroj ve sutečosti určuje polohu s oečou přesostí do teré se vejde řada miim a registruje je středí hodotu hustoty pravděpodobosti A tou je právě lasicá řiva w w w w las w las w las w w w A A A A A A 4 Řešeí bez volby reprezetace (Dirac) Úlohu (49) budeme yí řešit obecě Hamiltoův operátor ejprve přepíšeme do bezrozměrého tvaru: H m H X m X X (6) m m řevedeí do bezrozměrého tvaru aprosto eí uté vešeré další úvahy by bylo možé provádět i s rozměrovým hamiltoiáem a všechy ásledující vztahy by se lišily o ostatu terou jsme hamiltoiá vydělili Důvodem je to že vztahy zísaé z bezrozměrého hamiltoiáu jsou poěud ázorější ro omutující čísla je možé součet vadrátů odmocit pomocí vztahu a b ( a ib) ( a ib) U eomutujících objetů eí situace ta jedoduchá Zaveďme operátory: a m X i m ; a m X i m (64) Oba tyto operátory jsou pro vatovou teorii velmi důležité Nazývají se aihilačí a reačí operátory (smysl tohoto ázvu uvidíme za chvíli) Kreačí a aihilačí operátory jao jedy z mála v vatové teorii ejsou hermitovsé a epůsobí tedy v obou částech salárího součiu stejě latí pro ě ěteré důležité relace apřílad: () H a a () H aa () X a a m m (4) i a a (5) Ha a (6) Ha a (7) aa (65) 4

41 Harmoicý oscilátor Důaz všech relací je triviálí Stačí je dosadit z deiice reačích a aihilačích operátorů â â (64) a využít záladí omutačí relace [ X ] i Relace () a () jsou zobecěím relace a b ( a ib) ( a ib) pro eomutující objety a představují ormálí odmocěí hamiltoiáu Kreačí a aihilačí operátory jsou lieárí ombiací operátoru souřadice a operátoru hybosti roto je možé aopa operátor souřadice a hybosti vyjádřit jao lieárí ombiaci reačích a aihilačích operátorů viz relace () a (4) Záme-li reačí a aihilačí operátor můžeme z relací () až (4) zpětě zreostruovat hamiltoiá operátor souřadice a operátor hybosti Komutačí relace (5) až (7) vyjadřují záladí vlastosti reačích a aihilačích operátorů: Uvidíme že relace (5) zameá že aihilačí operátor posouvá stavy systému o eergeticou hladiu dolů a relace (6) zameá že reačí operátor posouvá stav o eergeticou hladiu vzhůru Relace (7) je potom vzájemou relací mezi aihilačím a reačím operátorem V ásledující větě doážeme že operátor â je reačím operátorem tj posouvá eergeticé stavy o jedotu vzhůru (reuje vytváří eergeticé vatum) Věta: Nechť Ĥ E otom a ~ Důaz: Ha (6) ( a H a Ha ) ( a E ( E a a ) a ~ ) ( E ) a Zcela aalogicy můžeme z relace (5) uázat že pro aihilačí operátor platí a ~ Zavedeme-li ormovací ostaty (požadujeme aby všechy stavy byly ormováy jedé tj ortoormálí bázi z vlastích vetorů operátoru eergie) můžeme posouváí v eergeticém spetru prováděé reačím a aihilačím operátorem jedoduše zapsat jao a (66) a Normovací ostaty určíme později Nyí aše úsilí zaměříme a alezeí spetra Hamiltoova operátoru pro harmoicý oscilátor Hamiltoův operátor je součtem vadrátů dvou Hermitových operátorů a je proto pozitivě deiití tj jeho vlastí čísla jsou ezáporá Kreačí a aihilačí operátory posouvají ve spetru eergie o ostatí hodotu (eergeticé vatum) Musí tedy eistovat stav s ejižší možou eergií terá je ezáporá Teto stav azýváme záladí stav a ozačujeme ho ZS> Zapůsobíme-li a záladí stav aihilačím operátorem musíme dostat ulový vetor > jehož veliost je ulová a etvoří paprse v Hilbertově prostoru tedy ejde o reálý yziálí stav (eí již co aihilovat jsme v záladím stavu s ejižší možou eergií) ro záladí stav tedy platí: H ZS E ZS ; a ZS Nalezěme vadrát veliosti posledí relace (salárí souči prvu se sebou samým): 4

42 Harmoicý oscilátor (65) H ZS a a ZS ZS ZS E ZS H ZS ZS ZS ZS ZS E E Záme-li hodotu záladího eergeticého stavu můžeme další hodoty eergií zísat působeím reačího operátoru te posouvá v eergii o ostatu je tedy jasé že E E E 5 E E E ; Spetrum harmoicého oscilátoru jsme zísali je z vlastostí Hamiltoova operátoru resp je z ormulace úlohy (49) Nide jsme evolili orétí reprezetaci orétí Hilbertův prostor Kreačí a aihilačí operátory se terými jsme se zde poprvé setali mají začý výzam v vatové teorii pole de pomocí podobých operátorů reujeme a aihilujeme jedotlivé částice přítomé v systému Zde u harmoicého oscilátoru je reujeme či aihilujeme eergeticé vatum a tím se dostáváme o jedu hladiu výše ebo íže Aby aše odvozeí bylo úplé určíme a závěr ormovací ostaty ve výrazu (66) Vytvořme ejprve vadrát ormy obou relací: a aa a a a (65) H E H E Z požadavu ormovaosti vlastích vetorů operátoru eergie jedé máme: E ( ) E ( ) Fázový ator při odmocňováí ompleího čísla eí podstatý (jedotovou veliost vetoru eovliví) Výsledé působeí reačího a aihilačího operátoru (66) i s ormovací ostatou tedy je: a a (67) 4

43 Harmoicý oscilátor Teto výslede si můžete sado zapamatovat: od odmociou je vždy pořadové číslo vyššího eergeticého stavu z obou stra rovice Zajímavé vlastosti má ještě jede operátor: N a a (68) Zapůsobme s tímto operátorem a -tý eergeticý stav: (67) N a a a Vlastím číslem tohoto operátoru je počet vat přítomých v daém eergeticém stavu V vatové teorii pole má teto operátor výzam operátoru počtu částic 4 Řešeí pomocí maticové mechaiy (Heiseberg) Řešme yí ještě jedou úlohu (49) o harmoicém oscilátoru a prostoru eoečých posloupostí l sčitatelých s vadrátem Na prostoru -tic jsou operátory matice Na prostoru eoečých posloupostí ( ) budou operátory eoečě rozměré matice Úol tedy je: ajít eoečě rozměré matice X H teré vyhovují úloze (49) Tyto matice emusíme hledat a zeleé louce S tím co víme o reačích a aihilačích operátorech je sado zostruujeme Tyto matice ajdeme v eergeticé reprezetaci to zameá že určíme maticové elemety operátorů X H v bázi vytvořeé z vlastích vetorů Hamiltoova operátoru Všechy tři operátory umíme zostruovat pomocí reačích a aihilačích operátorů podle relace (65) A působeí reačích a aihilačích operátorů a zvoleou bázi taé záme viz relace (67) Kostruce elemetů příslušých matic je tedy víceméě triviálí záležitostí: (65) (67) X l X l a a l m l l l l m l l l l l m (65) mω (67) i l l a a l mω i l l l l mω i l l l l l (65) (67) H l H l ω a a l l ω l l 4

44 Harmoicý oscilátor 44 Napišme si tyto matice: m X i m 5 H Ověřte si že sutečě i X a H = /m + m X / podle požadavů úlohy (49) Ze zalosti matic X a jsme již mohli Hamiltoovu matici určit přímo z této relace osledí co zbývá je alézt vlastí čísla matice H Tato úloha je mimořádě jedoduchá U diagoálí matice jsou vlastí čísla právě prvy a diagoále oud teto at evíte výpočet je jedoduchý: ( ) det ( ) 5 Ε E E Ε Ε Ε E H H H Opět tedy máme vztah (6) pro spetrum harmoicého oscilátoru

45 Séricý poteciál 5 SFÉRICKY SYMETRICKÝ OTENCIÁL Séricy symetricým (cetrálím) azýváme poteciál terý V závisí je a vzdáleosti od určitého cetrálího bodu ro () popis pohybu těles v séricy symetricém poteciálu je velmi () výhodý séricý souřadicový systém Mezi ejzámější séricé poteciály patří séricý harmoicý oscilátor séricá jáma a Coulombův poteciál Séricý oscilátor si můžete představit jao tělíso v počátu souřadic od terého r vedou pružiy a všechy stray Kdyoli ho vychýlíme bude působit vratá síla směrem do cetra růběh poteciálí eergie je vadraticý Séricá jáma přibližě odpovídá () poteciálu terý pociťuje eutro zachyceý v atomovém jádře Jaderé síly a hraici jámy (r = a) jsou začé (v idealizaci (69) dooce eoečé) a v jiých oblastech velmi slabé Coulombův poteciál se uplatí apřílad ve vodíovém atomu dy osamoceý eletro podléhá působeí jediého protou v atomovém jádře Nezapomíejte že r ( ) růběhy těchto zámých poteciálů jsou: () V ( r) r () V ( r) V r a r a (69) () V ( r) qq 4 r r V lasicé mechaice bude popsá systém Lagrageovou ucí zobecěými hybostmi a eergií a Hamiltoovou ucí ve séricém souřadicovém systému tato: L mr mr si mr V( r) pr mr p p mr si mr (7) E mr mr si mr V( r) pr p p p H V() r r L V() r m mr mr si m mr Již v lasicé mechaice jsme si uázali že zobecěé hybosti odpovídající úhlovým proměým jsou ompoety mometu hybosti Druhá část Hamiltoovy uce odpovídá rotačím stupňům volosti a lze ji zapsat pomocí vetoru mometu hybosti L vzhledem ose z od teré je odvoze séricý souřadicový systém Z předchozího již víme že jedotlivé ompoety mometu hybosti ejsou současě měřitelé a eomutují spolu (7) Současě ale můžeme měřit vadrát mometu hybosti (8) a libovolou z jeho ompoet (9) U séricy symetricého problému budeme preerovat třetí osu a třetí ompoetu Osa z má preerovaé postaveí při budováí séricého souřadicového systému ve sutečosti je vša lhostejé terou z ompoet 45

46 Séricý poteciál mometu hybosti zvolíme do úplé možiy pozorovatelých Je-li v systému přítomo vější mageticé pole volíme zpravidla souřadicový systém ta aby třetí osa mířila ve směru tohoto pole osa z je potom současě směrem vějšího mageticého pole Je-li systém séricy symetricý potom s operátory L a L ještě omutuje Hamiltoův operátor Ĥ To je vidět již z lasicého rozpisu (7) Víme totiž že zobecěé souřadice eomutují jediě se svými zobecěými hybostmi V omutátoru [ L H ] mohou tedy být jedié eulové čley s úhlovou částí hamiltoiáu tou je ale právě ásobe L Operátor sám se sebou omutuje taže výslede může být jediě ulový odobě omutátor [ L H ] může mít jedié eulové části s úhlovou částí hamiltoiáu tj ~ [ L ] L Teto omutátor je ale opět ulový podle(9) Nalezli jsme ta trojici ezávislých omutujících operátorů terá tvoří úplou možiu pozorovatelých u erelativisticého séricy symetricého problému (v relativisticé úloze těmto proměým ještě přibude spi): [ L L ] [ L H ] [ L H ] (7) U soustavy ezávislých vzájemě omutujících operátorů je možé hledat společé vlastí vetory e všem operátorům U séricy symetricého problému budeme tedy řešit soustavu tří rovic pro vlastí vetory H ν l m Eν ν l m L ν l m ν l m L ν l m l m ν l m (7) Ide čísluje eergeticé stavy ide l stavy vadrátu mometu hybosti a ide m stavy projece mometu hybosti do libovolé osy (zvolili jsme třetí) Vlastí čísla jsme ozačili E Tuto soustavu je třeba řešit současě Co by se stalo dybychom apřílad řešili je rovici pro eergii? Nalezeá vlastí čísla E by samozřejmě byla v pořádu ale e aždému vlastímu číslu (aždé hodotě eergie) by eistovalo více ezávislých vlastích vetorů (ve sutečosti se od sebe liší čísly l a m to ale evíme protože řešíme je prví rovici) Tomuto typu spetra říáme degeerovaé spetrum Zameá to je to že daému vlastímu číslu eistuje více vlastích vetorů Odlišili bychom je od sebe až pomocí dalších operátorů teré omutují s operátorem jehož spetrum právě hledáme V ásledujících dvou apitolách se budeme zabývat mometem hybosti tedy druhou a třetí rovicí v (7) Řešeí pro momet hybosti je stejé pro všechy průběhy poteciálí eergie V apitole 5 alezeme řešeí bez použití orétí reprezetace a v apitole 5 azačíme ja by se při řešeí postupovalo v reprezetaci rví rovicí v (7) se budeme zabývat v apitole 5 Řešeí pro eergii (eergeticé spetrum) již samozřejmě závisí a průběhu poteciálí eergie a je jié apřílad pro vodí a jié pro séricý oscilátor Navíc řešeí pro eergii závisí a číslech l a m To je logicé: momet hybosti souvisí s rotačími stavy systému a ty eergii přispívají Vidíme to oec oců i v hamiltoiáu (7) de je právě rotačí část eergie vyjádřea přes vadrát mometu hybosti 46

47 Séricý poteciál 5 Momet hybosti Záladími omutačími relacemi pro momet hybosti jsou vztahy (7) a (9): [ L L ] i L cylicé záměy [ L L ] Zaveďme yí tzv posuvé operátory L L i L (7) Tyto operátory budou mít podobý výzam jao reačí a aihilačí operátory u eergie harmoicého oscilátoru Budou ás totiž posouvat ve spetru mometu hybosti Napišme přehledě jejich důležité vlastosti (všechy lze sado odvodit z deiice posuvých operátorů a z omutačích relací mometu hybosti): () L L L () L L L i () L L (4) L L L L L (5) L L L L L (74) (6) L L L (7) L L L L L (8) Záme-li posuvé operátory můžeme z relací () () a (6) zreostruovat celý momet hybosti Úlohu terou budeme yí řešit lze zormulovat tato: L L Doažme ejprve že posuvé operátory posouvají vlastí vetory ve třetí ompoetě mometu hybosti o lacovu ostatu: Lemma : L ~ Důaz: Ozačme L Apliujme operátory L a (747) L a teto vetor: L L L ( L L L ) ( ) L ( ) (748) L L L L L L Vidíme že posuvé operátory spetru operátoru L edělají posuvé operátory ic mometu hybosti do zvoleé osy L posouvají ve spetru operátoru L o ostatu Ve L tedy měí je hodotu projece 47

48 Séricý poteciál Lemma : ři daém λ je spetrum operátoru L omezeé tj eistuje μ mi a μ ma Důaz: V relacích L L L L L ( ) jsou operátory a levých straách pozitivě deiití roto musí platit Zřejmě tedy musí být a proto a eistuje mi a ma Nyí již spetrum mometu hybosti odvodíme stadardím způsobem odobě jao u harmoicého oscilátoru zapůsobíme posuvým operátorem a prví (resp posledí stav) Výslede působeí musí být ulový protože další stav již eeistuje: L L ma vytvořme vadrát ormy těchto vetorů: ma L L ma mi L L mi Součiy operátorů vyjádříme z (744) a (745) mi ma L L L ma mi L L L mi o zapůsobeí operátorů máme: ( ma ma ) ma vyulováím oeicietů u obou relací dostáváme: eboli ma ma ( mi mi mi mi ) mi ) ( ) (*) ma ( ma mi mi osuvé operátory posouvají ve spetru třetí ompoety mometu hybosti o lacovu ostatu proto musí taé současě platit: zaveďme bezrozměré číslo mi mi mi mi ma m / otom mi mmi mmi mmi mma ma m m m Lemma : Ozačíme-li m ma l potom je m mi = l Důaz: Z relací (*) sado zjistíme že ll ( ) m ( m ) m m ll ( ) mi mi mi mi 4 ll ( ) ( l) l mmi mmi l rví řešeí je ve sporu s předpoladem druhé doazuje uvedeé tvrzeí Číslo m tedy může abývat celem l+ růzých hodot z možiy m { l l l l l } očet hodot l+ musí být ezáporé celé číslo a proto samo číslo l může abývat je poločíselých hodot ma 48

49 Séricý poteciál 5 l { } Vlastí číslo ma ( ma ) l ( l ) l ( l ) Závěr: Výsledy celého odvozeí můžeme zormulovat tato: L L L l m l m l m l ( l ) ~ m l m l m l m 5 l { } ; m { l l l l l } ozámy řešeí: (velmi důležité čtěte pozorěji ež samo řešeí!!!) ; (75) ) Číslo l čísluje veliost mometu hybosti a azývá se vedlejší vatové číslo (hlaví vatové číslo čísluje eergii) Číslo m čísluje projeci mometu hybosti do libovolé osy Vzhledem tomu že abitá rotující částice má eulový mageticý momet a toto číslo bylo poprvé zavedeo pro eletro v atomárím obalu vodíu azývá se mageticé vatové číslo ) Možé hodoty veliosti mometu hybosti a jeho projece do třetí osy jsou: L l( l ) ; L m m l l l l (76) ) oločíselé hodoty teré jsme odvodili pro číslo l jsou sutečě taé možé Realizují se u spiu jehož operátor má stejou omutačí struturu jao momet hybosti V Schrödigerovsé X reprezetaci (ásledující apitola) tyto hodoty edostaeme Volba reprezetace zde zameá ztrátu části řešeí To že poločíselé hodoty l jsou již součástí omutačích relací (7) bylo objeveo až relativě pozdě (v roce 968 Kaumaem) postupem podobým ašemu odvozeí 4) Z výsledu (76) respetive (75) plye sutečý výzam lacovy ostaty Jedá se o elemetárí vatum mometu hybosti ři měřeí mometu hybosti budeme vždy měřit projeci mometu do určité osy daé měřícím zařízeím Tato L z projece je vždy ásobem lacovy ostaty 5) Vidíme že stavy s orétím vedlejším vatovým číslem l jsou degeerováy eistuje více vlastích vetorů l m> teré přísluší stejému vatovému číslu l Tyto vetory se od sebe liší vatovým číslem m a jejich počet je l+ (tzv stupeň degeerace terý ozačujeme #) 6) Historicy byly ozačováy vatové stavy veliosti mometu hybosti eletrou v obalu atomu vodíu písmey s p d podle ásledující tabuly: l l l l s stav p stav d stav stav m m m m # # # 5 # 7 7) Vztah pro veliost vadrátu mometu hybosti lze dostat taé jao aritmeticý průměr všech možých hodot Napřílad pro l = jsou možé hodoty projecí L L y ebo L z rovy růměrá hodota vadrátu je proto dáa vztahem L Veliost L L y L z L L 6 přesě podle vztahu (76) z (4 8) Neí obtížé apočítat maticové elemety l m l m 4 ) 5 6 L operátoru mometu hybosti ve vlastí reprezetaci pomocí posuvých operátorů podobě jao u harmoicého oscilátoru v apitole (4) ro l = může být m i m je a proto jde o jediý prve Tato matice působí - - l = 49

50 Séricý poteciál a salárí veličiy hovoříme o salárí reprezetaci ro l = / může abývat m i m hodot / a +/ Jde o matice působící a uspořádaé dvojice teré azýváme spiory Jedá se o tzv spiorovou reprezetaci ro l = může abývat m i m hodot a + Jde o matice působící a uspořádaé trojice teré azýváme vetory Jedá se o tzv vetorovou reprezetaci Všiměte si že matice L jsou diagoálí s vlastími čísly a diagoále Spiorová reprezetace ( l = /) i L ; L ; L (77) i Vetorová reprezetace ( l = ) i L ; L i i ; L (78) i Matice pro l = / se azývají auliho matice (bez ásobících oeicietů) 9) Zámé tvrzeí Bohrova modelu že a obvod dráhy eletrou v atomárím obalu musí připadout celistvý ásobe vlových déle je možé s pomocí vztahu () přepsat tato: r r mv r mv a ejde tedy o ic jiého ež o vatováí projece mometu hybosti 5 Řešeí v reprezetaci ulové uce V reprezetaci budeme problém séricého poteciálu řešit ve séricých souřadicích (jsou ejbližší symetrii poteciálí eergie) Je třeba řešit soustavu rovic (7) terá bude mít yí tvar: H ( r ) Eν( r ) L ( r ) l ( r ) (79) L ( r ) m( r ) Operátory zapsaé ve séricých souřadicích mají tvar: H p r L V() r r () V r m I m mr L L i ; L (8) r r r r r r r r r si si si Kieticá eergie v Hamiltoově operátoru vede v Schrödigerově rovici a čle 5

51 Séricý poteciál y z r m m m r V artézsých souřadicích se Laplaceův operátor štěpí a součet druhých derivací podle jedotlivých os tomu odpovídá rozlad ieticé eergie a složy T T y a T z Ve séricých souřadicích se Laplaceův operátor dělí a radiálí a úhlovou část tomu odpovídá rozlad ieticé eergie a radiálí a úhlovou část rávě úhlová část ieticé eergie je rotačí eergie spojeá s mometem hybosti a proto vadrátu mometu hybosti odpovídá úhlová část Laplaceova operátoru Hledaé řešeí ( r ) samozřejmě závisí a vatových číslech l m Řešeí budeme hledat v separovaém tvaru ( r ) ( r) g( ) h( ) (8) Nejdříve řešme posledí z rovic (79): i ( r) gh( ) m ( r) gh( ) dg m i mg g( ) cep i d Nalezeé řešeí musí být periodicé v úhlu : g( ) g( ) m m ; m V reprezetaci jsme opět odvodili vatováí projece mometu hybosti rojece mometu hybosti může abývat je celistvých ásobů lacovy ostaty oločíselá řešeí elze v reprezetaci alézt řechodem e orétí reprezetaci přicházíme o část řešeí Hledaé řešeí má yí tvar: im ( r ) ( r) e h( ) ; m (8) Kostatu c jsme zvolili ta aby alezeé řešeí bylo ormováo jedé Jao další ro dosadíme toto řešeí do druhé rovice (79) a budeme ji řešit im im si e h( ) e ( ) si l h si d dh l m si h si d d si Výsledem je obyčejá diereciálí rovice pro uci h() terá se řeší stadardími matematicými postupy přesahujícími rámec tohoto sylabu Výsledem jsou polyomiálí uce v cos a si teré se azývají přidružeé Legedreovy polyomy l m(cos ) a jsou deiovaé vztahem m l m ( ) d l lm ( ) ( ) ; l ; m l ; m (8) l l m l! d ro m = se tyto polyomy azývají Legedreovy polyomy říslušé vlastí číslo je l l( l ) (84) Celá úhlová část řešeí se azývá ulová uce a ozačuje se 5

52 Séricý poteciál Celové řešeí druhých dvou rovic soustavy (79) tedy je ( r ) l m m; Y lm i m ( ) e lm (cos ) (85) ( r) Ylm ( ) ; l( l ) ; l m ; ( r) e m l i m lm (cos ) ; (86) Odvozeé vatováí mometu hybosti je až a abseci poločíselých hodot shodé se vztahy odvozeými jiou cestou v předchozí apitole ro radiálí uci (r) lze řešeí zísat z prví rovice (79) Toto řešeí závisí a tvaru poteciálí eergie ro ěteré záladí tvary poteciálí eergie bude řešeí disutováo v příští apitole Na závěr uveďme přílady ěterých ulových ucí: i i Y ; Y cos ; Y e si ; Y e si ; Y 5 5 ( cos ); e cos si ; 6 8 i Y 5 Jedoduché systémy: oscilátor vodí jáma Nyí zbývá řešit prví z rovic (79) rovici pro eergii Tato rovice ám posyte eergeticé spetrum a radiálí část celého řešeí (r ) Ja eergeticé spetrum ta radiálí část mohou záviset a vatových číslech l a m z předchozího řešeí a budou závislé a orétím tvaru poteciálí eergie V(r) V posledí rovici (79) záme působeí rotačí části ieticé eergie Hamiltoova operátoru a celovou vlovou uci To je dáo působeím vadrátu mometu hybosti podle druhé z rovic (79) Záme již i vlastí číslo l podle vztahu (84) o zapůsobeí rotačí části zrátíme úhlové části g() a h() a obou straách rovice a zísáme rovici pro radiálí část řešeí: d d l( l) r V() r () () l r E l r (87) m r dr dr mr ovšiměte si že v rovici vystupuje vedlejší vatové číslo l a eergeticé spetrum proto ezávisí je a radiálím čísle teré čísluje eergii ale i a vedlejším vatovém čísle l Řešeí rovice (87) se provádí stadardími metodami (rozvoj do řady hledáí asymptoticého chováí ořízutí eoečé řady) Uvedeme výsledy výpočtů pro poteciálí eergii séricého harmoicého oscilátoru prostorové jámy a Coulombův poteciál (69) Harmoicý oscilátor ro poteciálí eergii harmoicého oscilátoru vychází eergeticé spetrum V ( r) m r E l ( l ) ( ) (88) Nejmeší možá hodota eergie (ulové mity) je Radiálí vatové číslo čísluje pořadí radiálích stavů a zpravidla taé počet průsečíů radiálího řešeí s osou Většiou se zavádí tzv hlaví vatové číslo teré sutečě čísluje stavy eergie: 5

53 Séricý poteciál l ; l (89) Spetrum oscilátoru je degeerovaé (e aždé hodotě eergie přísluší více stavů aždé lze složit z více ombiací a l) Sado určíme stupeň degeerace uvědomíme-li si že e aždému vedlejšímu vatovému číslu eistuje l + hodot mageticých čísel m: # l l / / ( )( ) ( ) 4 (9) Řadu (9) jsme sečetli jao aritmeticou řadu Každá eergeticá slupa obsahuje ( + )( + )/ stavů Coulombicý poteciál ro Coulombicou poteciálí eergii vychází eergeticé spetrum me me V() r qq E l 4 r r ( l) (9) Hlaví vatové číslo číslující stavy eergie jsme zavedli vztahem l ; l (9) Stupeň degeerace bude # l l ( ) (9) Jde-li o atom vodíu může mít aždý eletro ještě dva spiové stupě volosti m s = / a celový počet stavů v jedé eergeticé slupce je proto Tyto stavy se liší hodotou vatových čísel l m m s Kvatová jáma Séricá oečá vatová jáma s poteciálem r a V ( r) (94) V r a emá aalyticé řešeí roblém lze řešit je umericy ebo graicy 5

54 Časový vývoj 6 ČASOVÝ VÝVOJ rozatím jsme se v vatové teorii zabývali stacioárími stavy tj stavy systému teré se v čase evyvíjí Sutečé vatové stavy jsou lieárími ombiacemi stacioárích stavů (prvů báze) a oeiciety těchto ombiací se měí s časem řechod stavu z jedoho času do času pozdějšího provádí tzv evolučí operátor (operátor časového vývoje) 6 Evolučí operátor Evolučí operátor převádí zámý stav čase t a stav do terého se vyvie v čase t: ( t) U ( t t ) ( t ) (95) Evolučí operátor musí splňovat ěteré podmíy a požadavy: ) počátečí podmía: vývoj z počátečího času do počátečího času eměí stav U ( t t ) ) semigrupová podmía: vývoj ze stavu t do t dopade stejě je-li provede aráz ebo přes mezičas t: t t t t t ( t ) ( ) ( ) ( ) ( ) U t t t t U t t U ( t t) ( t) orováím obou postupů zísáme semigrupovou podmíu U ( t ) ( ) t U t t U ( t t) ) uitarita: časový vývoj eměí ormováí stavu: ( t) ( t) () t () t UU UU 4) iverze: iverzí evolučí operátor má obráceé pořadí argumetů Odvodíme ze semigrupové podmíy: U ( t t) U ( t t ) U ( ) t t U ( t ) t U ( t t ) 5) spojitost: samovolý vývoj stavu (bez atu měřeí) terý popisuje evolučí operátor musí být spojitý: U ( tt ) ( t) je spojité pro t a H Nyí odvodíme záladí rovici pro evolučí operátor Vyjdeme z deiice středí hodoty dyamicé proměé (viz tabula v apitole ) a tuto středí hodotu budeme derivovat podle času: da d d d U d U A U AU AUU A dt dt dt dt dt Jiou možostí je přímo zavést operátor časové derivace dyamicé proměé vztahem da A U AU dt orováím obou postupů zísáme rovici! 54

55 Časový vývoj du dt du AUU A U AU (*) dt ve teré za časovou derivaci operátoru dyamicé proměé dosadíme časový vývoj dyamicé proměé zapsaý v oissoových závorách (5) převedeý do vatové podoby pomocí pricipu orespodece (5): A A H A i AH (96) Zísáme ta rovici ze teré se budeme sažit zísat rovici pro evolučí operátor: du du dt AU U A U dt i A H U du du AU U A U AHU U HAU (**) dt dt i Ve všech ásledujících úpravách využíváme uitaritu UU = U U = Z rovice (**) je třeba vyloučit operátor U a jeho derivaci podle času terou zísáme derivováím deiice uitarity podle času a ásobeím výsledu operátorem U zprava: du du du du UU UU U U dt dt dt dt du dt du U U dt Výslede dosadíme do rovice (**) a vyásobíme ji operátorem U zleva a U zprava: du d dt U U UAU UA dt UAHU i UHAU du d dt U UA A U dt AH i HA du A U A H dt i d dt i U U H d U i HU (97) dt rávě odvozeá rovice se azývá rovice časového vývoje Zapůsobíme-li touto operátorovou rovicí a počátečí stav > provede evolučí operátor vývoj stavu do času t a zísaá rovice pro (t)> se azývá časová Schrödigerova rovice: d ( t) i H ( t) (98) dt 55

56 Časový vývoj 6 Časová Schrödigerova rovice Řešeí časového vývoje lze ajít relativě sado eí-li Hamiltoův operátor eplicití ucí času tj závisí je a operátorech zobecěých souřadic a hybostí V taovém případě je výhodé volit v Hilbertově prostoru popisovaého systému bázi geerovaou vlastími vetory Hamiltoova operátoru (4): H E ; m ; Do těchto vetorů rozvieme hledaý stav oeiciety rozvoje budou ucemi času: m ( t ) a ( t) Řešeí v tomto tvaru dosadíme do časové Schrödigerovy rovice a zísáme lieárí rovici pro oeiciety a (t) d a i H a ( t) ; dt d a i dt d a i dt a m m ( t) c Řešeí časového vývoje tedy je: m a e m ( t) E m a ( t) E ; i Em ( t t ) ; / m zleva ( t) c e (99) i E ( t t ) oěud elegatější řešeí je alézt přímo evolučí operátor jao superpozici projetorů geerovaých Hamiltoovým operátorem pomocí věty o spetrálím rozvoji Řešeí rovice pro evolučí operátor lze ormálě zapsat jao H ( tt) E ( tt) i i U du i HU U( tt ) e ( tt ) e dt Nyí zapůsobíme alezeým evolučím operátorem a počátečí stav >: i E ( tt) ( t) e a zísáme ta oamžitě řešeí časové Schrödigerovy rovice: E ( tt) i ( t) c e ; c ; c () 56

57 Časový vývoj řílad 6: Nalezěte vývoj pravděpodobosti systému jehož počátečí stav je zadá jao reálá lieárí ombiace dvou reálých vlastích ucí Hamiltoova operátoru Napřílad může jít o dva stavy harmoicého oscilátoru ebo vatové jámy či o dvoustavový systém ožadave reálosti vlastích ucí a oeicietů je je z důvodu jedoduchosti výpočtu Řešeí: očátečí stav je ombiací dvou vlastích stavů a Hamiltoova operátoru časový vývoj je ) c ( ) c ( ) ( i E t ( t ) c e ( ) c e ( ) a výsledá hustota pravděpodobosti pro reálé vlastí uce vychází * i E t i i ( EE) t ( EE) t [ ] wt ( ) ( c) ( c ) cc e e Celová pravděpodobost je součtem pravděpodobosti že se systém achází ve stavu ve stavu a itererečího čleu terý je pro vatové procesy typicý Výslede lze jedoduše zapsat tato: w( t ) w ( ) w ( ) ( )cos( t) ; E Frevece časových oscilací pravděpodobosti odpovídá lacovu vatováí E 6 Oscilace eutri Neutria (eletroové mioové a tauoové) jsou ve sutečosti lieárí ombiací vlastích stavů hmoty V de e a Ide α popisuje geerace eutri a ide vlastí hmotostí stavy Trasormačí matice je uitárí a poprvé ji zavedli Ziro Mai Masami Naagawa a Shoichi Saata v roce 96 aby vysvětlili oscilace eutri předpovězeé Bruem otecorvem ro pochopeí pricipu oscilací předpoládejme je eisteci dvou geerací eutri a miáž ve tvaru cos si e si cos μ Uitárí matici jsme zapsali jao běžou rotačí matici za pomoci úhlu θ Za letu eutri se budou hmotostí stavy vyvíjet a miáží poměry měit Spíše ež časový vývoj ás ale bude zajímat vývoj stavu podél letící částice Vzhledem tomu že pro roviou vloplochu platí i ( ) i( p Et t) e e budeme moci vývoj hmotostích stavů podél letu eutria zapsat tato: i p ( ) e () Napřílad stav eletroového eutria se za letu bude měit podle ormule i i p p e ( ) e cos () e si () Amplituda pravděpodobosti že se eletroové eutrio bude za letu jevit pozorovateli jao čistě mioové eutrio (daé svou počátečí ombiací) bude 57

58 Časový vývoj A e μ μ () e( ) o provedeí salárího součiu (hmotostí stavy tvoří ortoormálí bázi) máme A i i cos si ep p e μ ep p Neutria mají velmi malou hmotost a relativisticé eergie a proto lze využít rozvoj E E mc p ( E/ c) mc mc / E c c E Amplitudu pravděpodobosti yí sado upravíme E i cos si e c m c m c A ep i ep i e μ E E E m i c c E m c cossi e ep i E E m i c m c c E 4 E m c cossi e ep i 4E E m i c m c c E 4 E m c icossi e si 4 E m c ep i 4 E oud jsou vlastí hmotosti růzé (stačí jeda eulová) dojde oscilacím eutri (poprvé byla pozorováa v roce 998 a detetoru Super-Kamioade) ravděpodobost že původí eletroové eutrio alezeme jao mioové je periodicou ucí vzdáleosti od zdroje * m c si si ; e A AA μ m m m 4 E Z růzých eperimetů je možé určit úhel miáže a středí vzdáleost přeměy eutri 4 E L m c ze teré plye pouze rozdíl vadrátů hmotostí eutri Sutečá eutria mají tři geerace a trasormačí matice je a obsahuje tři úhly ricip se ale eměí Z měřeí plye že platí Δm = (759 ± ) 5 ev (KamLAND 5) a Δm = (4 ± ) ev (MINOS 6) ro miáží úhly máme přibližě θ ~ θ ~ 45 θ 9 Miáží matice se ta rozhodě epodobá diagoálí matici jao je tomu v případě miáží varů 64 Dvouštěrbiový eperimet ředstavme si že a dvě štěrbiy dopadá proud částic o průchodu štěrbiami se a stíítu zazameává am terá dopadla Výsledem je lasicý itererečí vlový obrazec s maimem dopadů paradoě mezi oběma štěrbiami odobě jao v předchozí apitole se sčítají amplitudy pravděpodobostí obou možostí ioli samoté pravděpodobosti Na výsledu ic ezměí ai počet přítomých částic: bude-li to zleva velmi slabý a v průměru se bude vysytovat v oblasti eperimetu jediá částice idy ezjistíme terým otvorem prošla o dosti dlouhé době zísáme statisticý obraz dopadu částic a stííto podle obrázu Můžeme si třeba myslet že část částice prošla jedím otvorem a část druhým ebo že itererovala sama se sebou Taové úvahy emají reálý smysl ro 58

59 Časový vývoj posouzeí statisticého výsledu moha opaovaých dopadů je důležitý je souhlas eperimetálího výsledu s předpovědí daou teorií počet částic? stííto Jiý obraz se ám asyte pousíme-li se zjistit udy částice prolétla Zaryjeme-li jede z otvorů bude maimum dopadajících částic proti otevřeému otvoru Můžeme vymyslet raiovaější postup Budeme sledovat apřílad pomocí částic světla otoů udy částice prolétla Bude-li oto málo eergeticý bude mít příliš dlouhou vlovou délu a to aby určil udy částice prolétla Bude-li ale oto mít pro deteci dosti rátou vlovou délu můžeme sutečě rozhodout udy prolétla částice Ale ěco za ěco: rátovlý oto má začou eergii a silě ovliví stav prolétající částice Dooce atoli že itererečí obrazec zcela vymizí Obecě platí: epousíme-li se o deteci sčítají se amplitudy pravděpodobosti a statistia dopadů má charater itererečího jevu ousíme-li se o deteci itererece zaiá a sčítají se lasicy samoté pravděpodobosti Těžo se ám teto at přijímá Je to vlastost mirosvěta terá se ám zdá velmi podivá Naše zušeosti z marosvěta jsou založey a omutujících objetech rávě eomutativost jevů v mirosvětě vede e sládáí amplitud pravděpodobostí možostí teré jsou dispozici a itererečímu jevu počet částic detece? stííto 65 Ehreestovy teorémy viriálový teorém V této apitole si probereme tři záladí teorémy týající se časového vývoje rví Ehreestův teorém rví teorém se týá časového vývoje operátoru souřadice ro jedoduchost ho odvodíme v jedorozměrém případě vyjdeme z pricipu orespodece a časového vývoje (4): d X dt i ( ) X H X V X X X V ( X ) mi i m mi i i X X mi rví Ehreestův teorém je ta aalogií deiice hybosti z lasicé mechaiy: i m 59

60 Časový vývoj d X () dt m Druhý Ehreestův teorém Druhý Ehreestův teorém se týá časového vývoje operátoru hybosti Budeme postupovat podobě jao v předchozím případě: d dt i H V ( X) V ( X ) V ( X ) i m mi Hodotu posledího omutátoru určíme tato: Nejprve alezeme omutátor operátoru hybosti s libovolou mociou operátoru souřadice (iducí) a výslede budeme čle po čleu apliovat a operátor poteciálu rozviutý do mociého Taylorova rozvoje: X X i X X X X X i X X i X X XX X X i ( ) X ( V V X) i X Záladím předpoladem těchto úvah je samozřejmě rozviutelost poteciálí eergie do Taylorovy řady o dosazeí za vypočteý omutátor druhý Ehreestův teorém vychází: d dt V X i i () což je vlastě vatovou aalogií Newtoových pohybových rovic (záporě vzatý gradiet poteciálí eergie je působící sílou) Viriálový teorém Viriálový teorém je velmi užitečý eje v vatové teorii ale i ve statisticé yzice Určuje středí hodotu ieticé eergie obsažeé v systému z tvaru eergie poteciálí Určeme ejprve maticové elemety omutátoru dyamicé proměé A s Hamiltoovým operátorem v eergeticé reprezetaci: [ A H ] m AH HA m ( E ) m E A m ( Em E ) Am ro = m máme [ A H ] Za operátor dyamicé proměé A budeme yí volit souči souřadice a hybosti: [ X H ] [ X H ] X [ H ] d X d X dt dt Za časový vývoj souřadice a hybosti dosadíme z Ehreestových teorémů: 6

61 Časový vývoj m X V X Ve třech dimezích je výslede součtem příspěvů v jedotlivých osách Na levé straě stojí středí hodota ieticé eergie systému apravo tzv operátor viriálu: V T X X () ro jedorozměrý harmoicý oscilátor je operátor viriálu přímo rove poteciálí eergii: ) V ( X X X V X X Středí hodoty ieticé a poteciálí eergie jsou si proto v aždém stavu rovy ozáma: Již v roce 9 upozoril F Zwicy že v upě galaií ve Vlasech Bereiy je pohyb galaií větší ež by odpovídalo viriálovému teorému pro gravitačí poteciálí eergii Řešeím je eistece další eviditelé (temé) hmoty v této upě ozději byl podobý problém zjiště Verou Rubiovou i pro oběžé rychlosti hvězd v perierích oblastech samotých galaií Řešeím je opět eistece haló z temé hmoty v oolí galaie Viriálový teorém může být proto velmi užitečý i pro marosopicé evatové systémy Svítící (registrovaé) hmoty v galaiích je je asi % V roce se pomocí HST uázalo že až 5 procet hmoty Galaie může být soustředěo ve velmi starých a málo svítících bílých trpaslících teré doposud ebyly pozorovatelé atřily pravděpodobě prví geeraci hvězd před cca miliardami let a vyplňují celé haló Galaie Obdobě tomu bude asi i u ostatích galaií K řešeí problému temé hmoty ale bílí trpaslíci zdalea estačí S ejvětší pravděpodobostí jde o ezámou ormu hmoty ebaryoové povahy 6

62 Relativita a spi 6 7 RELATIVISTICKÁ KVANTOVÁ TEORIE SIN 7 rostorová rotace a Loretzova trasormace rostorová rotace ootočíme-li souřadicovým systémem olem osy z o úhel lze trasormaci zapsat jao cos si si cos z z y y y t t Časovou souřadici budeme dávat a ultou pozici při prostorové rotaci se čas eměí Celou trasormaci popíšeme pomocí rotačí matice R z odobě můžeme popsat rotace olem ostatích souřadicových os (stačí cylicy zaměit y z ): cos si si cos cos si si cos cos si si cos z y R R R Rotace patří mezi uitárí trasormace řipomeňme si že uitárí operátory zachovávají salárí souči proto platí * det det det det det UU U U U U U ro reálé matice může být determiat všech uitárích trasormací rove buď + (rotace) ebo (zrcadleí) Sado se přesvědčíme že determiat všech tří rotačích matic je rove jedé S rotačí symetrií se pojí zachováí veličiy terou azýváme momet hybosti Tato veličia je daou symetrií deiováa (viz teorém Noetherové ap ) Loretzova trasormace Velmi příbuzou trasormací rotacím je Loretzova trasormace popisující přechod mezi dvěma vzájemě se rovoměrě pohybujícími ierciálími souřadicovými systémy předpoládejme že v ose : / / / z z y y c c c t t v vt v v Tuto zámou trasormaci lze zapsat podstatě elegatěji v maticové podobě Zavedeme-li relativisticé proměé z y ct ; ; a relativisticé oeiciety / ; / c v

63 Relativita a spi budou matice Loretzovy trasormace (v ostatích osách matice zísáme cylicou záměou) mít tvar y z Determiat trasormačích matic je rove det ( ) a jde tedy opět o rotace tetorát v roviě daé časovou a jedou prostorovou osou Charater rotací lépe vyie zapíšeme-li Loretzovy matice pomocí tzv rapidity (je deiováa vztahem u arcth ( v / c) ): ch u sh u ch u sh u ch u sh u shu chu y z shu chu shu chu S Loretzovou symetrií (eperimet dopade stejě ve dvou ierciálích soustavách teré se avzájem pohybují rovoměrě přímočaře) se pojí eistece ové zachovávající se veličiy terá se azývá spi 7 Spi V miulé apitole jsme viděli že podobou úlohu jaou má prostorová rotace má i Loretzova trasormace Jde taé o rotaci ale v roviě daé časovou a jedou prostorovou souřadicí o imagiárí úhel azývaý rapidita Rotačí symetrie odpovídá symetrii systému vzhledem pootočeí Loretzova symetrie odpovídá stejému chováí systému v růzých avzájem se rovoměrě pohybujících ierciálích souřadicových systémech S oběma symetriemi se pojí odpovídající záoy zachováí: rotačí symetrie momet hybosti L Loretzova symetrie spi S Spi má velmi podobé vlastosti jao momet hybosti lze si ho vša je velmi těžo představit Začě epřesé ale přesto ilustrativí je představit si částici obíhající olem cetra a současě rotující olem vlastí osy V této lasicé představě odpovídá mometu hybosti orbitálí rotace a spiu vlastí rotace Sutečé částice ai eobíhají olem cetra ai erotují olem vlastí osy Jejich celový rotačí stav je dá dvěma veličiami mometem hybosti (orbitálím mometem) a spiem (vitřím mometem) Obě veličiy se mohou sládat potom hovoříme o spiorbitálí iteraci eboli LS iteraci či LS vazbě Operátor spiu má stejé omutačí relace jao momet hybosti (7) (9) [ S S ] i S cylicé záměy (4) [ S S ] Stejě ta jao u mometu hybosti zavádíme dvě vatová čísla popisující spi: spiové číslo eboli spi s určující veliost a mageticé spiové číslo m s určující projeci spiu do S L 6

64 Relativita a spi třetí osy ro spi lze pomocí posuvých operátorů odvodit stejě jao pro momet hybosti vztah (76) S S s( s ) ; s s ms ms s s (5) Tetorát se ale realizují i poločíselé hodoty teré jsme pro omutačí struturu (4) respetive (7) odvodili dříve Hodota spiu s je pro elemetárí částice eměou charateristiou stejě ta jao hodota eletricého áboje Q ebo lidové hmotosti m Spi ěterých částic leptoy (eletro tauo mio eutria) / vary (duscbt) / salárí mezoy ( aoy) vetorové mezoy (aoy) hadroy (eutro proto hypero) / hadroy ( ) / itermediálí bosoy ( W Z gluoy) gravitoy řítomost spiu zvyšuje stupeň degeerace eergeticých stavů Napřílad eletro v atomárím obalu terý má eergeticý stav určeý hlavím vatovým číslem již emá stupeň degeerace ale Eletro má totiž spi / a jeho stavy jsou určey čtveřicí čísel l m m s rojece spiu m s může abývat dvou hodot / a počet stavů se zdvojásobuje Částice s eulovým spiem vyazují mageticý momet aiž by měly orbitálí momet hybosti Mageticé vlastosti částic proto emusí souviset je se sutečým rotačím pohybem částic ale i s vlastím mometem spiem V přítomosti ehomogeího mageticého pole reagují částice a toto pole Stavy teré původě odpovídaly jedié eergii se štěpí a multiplety blízých eergeticých podhladi Stupeň degeerace se sižuje stavy s růzým m a m s mají růzou eergii Hovoříme o tzv sejmutí degeerace v přítomosti mageticého pole 64 ec Kolimátor Maget Stííto Spi byl poprvé pozorová ve Sterově-Gerlachově eperimetu (95) Atomy stříbra odpařující se z pícy byly olimováy do svazu procházejícího ehomogeím mageticým polem Na tyto elemetárí mageticé momety v ehomogeím poli působí síla () F = B Mageticý momet jedotlivých stavů je růzý a proto je růzá i výsledá působící síla a eergie daého stavu Kdyby eeistoval spi ebude se stav l = štěpit vůbec (m = ) stav l = se bude štěpit a tři růzé podstavy (m = ) a a stíítu se vytvoří jeda ebo tři stříbré svry (i ve vyšších stavech l půjde vždy o lichý počet svr) Na stíítu vša byly pozorováy dvě stříbré svry což svědčí o eletrou s orbitálím stavem l = a spiovým stavem s = / (mageticé vlastosti jsou určey dvěma projecemi

65 Relativita a spi m s = /) Sudý počet projecí zameá poločíselé řešeí omutačích relací (4) respetive (7) Hypotézu o eisteci vlastího mometu eletrou terý má podobé vlastosti jao orbitálí momet podali ještě před teoreticým objasěím spiu Uhlebec a Goudsmit v roce 95 Na ásledujícím obrázu je umericá simulace (Yamaashi Uiversity) Ster Gerlachova eperimetu Stavy s projecí m s = +/ jsou ozačey modře stavy m s = / červeě V malé vzdáleosti se a stíítu objeví dvě výrazé stříbré svry ve větší vzdáleosti ejsou pravděpodobosti dopadu atomů v jedotlivých stavech výrazě prostorově odděleé 7 Kleiova-Gordoova rovice Schrödigerova rovice eí relativisticá a proto emůže správě popsat spi ři jejím odvozeí jsme používali erelativisticý tvar Hamiltoovy uce Výsledem byla Schrödigerova časová rovice (98) terá má v reprezetaci tvar i ( V) t m V rovici se achází prví časová derivace a druhé prostorové derivace čas a prostor eí rovoprávý rovice zjevě eí relativisticá Relativisticou ostruci lze vytvořit ja ve druhých (Kleiova-Gordoova rovice) ta v prvích (Diracova rovice) derivacích V této apitole se budeme zabývat ostrucí správé rovice ve druhých derivacích Kleiova-Gordoova rovice Rovici poprvé odvodili Osar Klei a Walter Gordo ředpoládejme že hledáme lieárí rovici terá limitě při malých rychlostech přejde v Schrödigerovu rovici U lieárích rovic platí pricip superpozice a obecé řešeí lze vždy složit z roviých vl i[ ] i[ ] i[ t] ( ) a ( )e a ( )e a ( )e (6) Třírozměré vetory jsou ozačey tučě Složy vlového vetoru α musí být utě závislé eboť i parciálí vly (6) musí splňovat hledaou rovici Taová závislost se azývá disperzí relace a můžeme ji zapsat v implicitím tvaru ( ) (7) V ěterých případech je možé alézt eplicití závislost ω = ω() Obecá vlová uce bude superpozicí i[ ] 4 i[ t] ( ) a ( )e ( ) d a( )e d (8) Diracova distribuce zajišťuje automaticé splěí disperzí relace (7) arciálí (rovié) vly lze sado derivovat: ( ) i ( ) (9) a parciálím derivacím odpovídají algebraicé výrazy 65