EKONOMETRIE 10. přednáška Modely zpožděných proměnných

Transkript

1 EKONOMERIE 10. přednáška Modely zpožděnýh proměnnýh Časové posuny mezi působením určitýh faktorů (vyvolány např. informačními, rozhodovaími, instituionálními a tehnologikými důvody). Setrvačnost ve vývoji vysvětlujííh proměnnýh díky postupnému přizpůsobování změnám příslušnýh faktorů. Model zpožděnýh proměnnýh regresní rovnie obsahuje zpožděné hodnoty exogenníh proměnnýh, Y t = f(x t, X t 1, X t 2, ). Autoregresivní model regresní rovnie obsahuje jako vysvětlujíí proměnné i zpožděné hodnoty endogenní proměnné, Y t = f(y t 1, Y t 2, ). Záleží na déle zpoždění. Pokud ji neznáme: lze použít nekonečně rozdělené zpoždění. Lze-li odhadnout, nebo je-li známa: konečně rozdělené zpoždění. Modely nekonečně rozděleného zpoždění Předpokládáme, že vysvětlovaná proměnná závisí i na nekonečně časově zpožděnýh vysvětlujííh proměnnýh: Y t = α + β 0 X t + β 1 X t u t Koykova transformae Nejjednodušší a nejčastěji používané transformae. Převádí problém odhadu nekonečného počtu regresníh (váhovýh) koefiientů β i na odhad tří parametrů. Předpoklad: s rostouím zpožděním mají hodnoty vysvětlujííh exogenníh proměnnýh stále menší vliv na vysvětlovanou endogenní proměnnou. Předpokládejme tedy, že váhové (regresní) koefiienty β i, které mají všehny stejné znaménko, tvoří geometrikou řadu: β i = β 0 i, i = 0, 1, 2,, kde 0 < < 1. Koefiient je mírou účinku zpožděnýh hodnot nezávisle proměnné X na endogenní proměnnou Y. Hodnota 1 představuje ryhlost přizpůsobení, protože čím víe se blíží k nule, tím ryhleji klesají hodnoty vah β i. Protože se jedná o geometrikou řadu s kvoientem menším než jedna, můžeme určit součet této nekonečné geometriké řady: β i = (neboť platí, že 1 1 a i = a 0, kde q je kvoient geometriké posloupnosti). 1 q Po dosazení váhovýh koefiientů β i = β 0 i, i = 0, 1, 2,, z geometriké řady dostáváme pro období t: Y t = α + β 0 X t + β 1 X t 1 + β 2 X t u t Y t = α + β 0 X t + (β 0 )X t 1 + (β 0 2 )X t u t Y t = α + β 0 X t + β 0 X t 1 + β 0 2 X t u t Pro období t 1 pak analogiky: Y t 1 = α + β 0 X t 1 + β 0 X t 2 + β 0 2 X t u t 1 β 0

2 Vynásobíme-li obě strany této rovnie koefiientem a sečteme s rovnií pro období t, dostáváme: Y t Y t 1 = (α α) + β 0 X t + (β 0 β 0 )X t 1 + (β 0 2 β 0 2 )X t (u t u t 1 ) Y t Y t 1 = α(1 ) + β 0 X t + (u t u t 1 ) Po převedení predeterminovanýh proměnnýh na pravou stranu regresní rovnie dostáváme: Y t = (1 ) + β 0 X t + Y t 1 + (u t u t 1 ) α v t a tedy Y t = + β 0 X t + Y t 1 + v t Odhadovaný model obsahuje jen tři regresní parametry a,, β 0. Poslední tvar je autoregresivní tvar modelu rozděleného zpoždění. Průměrná délka zpoždění v Koykově autoregresivním modelu je Rozptyl délky zpoždění v Koykově autoregresivním modelu je pak. 1. (1 ) 2 Výsledný autoregresivní model však nesplňuje dva základní požadavky pro aplikai MNČ (Y t 1 je zkorelované s v t a náhodné složky nemají kovarianční matii požadovaného tvaru). Aplikae MNČ vede tedy k odhadům, které obeně nejsou nestranné, konzistentní a vydatné. Jestliže je proměnná Y t 1 nezávislá na náhodnýh složkáh v t (a platí tedy 3. GM předpoklad), zůstává odhadová funke konzistentní (viz kapitolu o porušení 2. GM předpokladu). Příklad Odvoďte numeriký tvar modelu nekonečně rozděleného zpoždění, jestliže autoregresivní tvar je zadán rovnií: Y t = 1,4 + 0,5X t + 0,6Y t 1 + v t. Určete, jak se změní hodnota proměnné Y t, jestliže proměnná X t 2 vzroste o jednotku. Určete průměrný časový posun a rozptyl časového posunu. Řešení: Z tvaru porovnání našeho konkrétního autoregresivního tvaru s obeným Y t = α(1 ) + β 0 X t + Y t 1 + (u t u t 1 ) dostáváme přímo: β 0 = 0,5 a výpočtem: α = 1,4 = 1,4 = 1,4 = 7 = 3, ,6 0,4 2 Dosazením těhto parametrů do obeného tvaru modelu

3 Y t = α + β 0 X t + β 0 X t 1 + β 0 2 X t u t dostáváme Y t = 3,5 + 0,5X t + 0,3X t 1 + 0,18X t u t Odtud je přímo patrné, že jestliže proměnná X t 2 vzroste o jednotku, proměnná Y t vzroste o 0,18. Průměrný časový posun: 1 1 0,6 0,4 = 3 2 = 1,5. Rozptyl = 60 = 15 = 3,75. (1 ) 2 (1 0,6) 2 0,4 2 0, Modely konečně rozděleného zpoždění Předpoklad: vysvětlovaná proměnná závisí na konečně časově zpožděnýh vysvětlujííh proměnnýh: Y t = α + β 0 X t + β 1 X t β X t + u t, kde je maximální délka zpoždění. Při vytváření struktury konečného zpoždění se často využívá apriorní informae o harakteru a tvaru rozděleného zpoždění. Ukážeme si dva jednoduhé modely: aritmetiké a polynomiké zpoždění. Aritmetiké zpoždění Mezi nejjednodušší postupy, které vyházejí z konepe konečně rozděleného zpoždění patří metoda aritmetikého zpoždění. Předpoklad 1: váhové (regresní) koefiienty konečně rozděleného zpoždění klesají v čase aritmetikou řadou, tj. β 0 = ( + 1)β, β 1 = ()β = β, β 2 = ( 1)β, β = (1)β = β. Předpoklad 2: zpožděný vliv na vysvětlovanou proměnnou po několika (po ) obdobíh končí. Váhové koefiienty lze tedy obeně definovat: β i = ( + 1 i)β, pro i = 0,1,2,, Dosazením do původního modelu dostáváme: Y t = α + β 0 X t + β 1 X t 1 + β 2 X t β X t + u t Y t = α + ( + 1)βX t + βx t 1 + ( 1)βX t βx t + u t a po vytknutí parametru β:

4 Y t = α + β ( + 1 i)x t i + u t Z t Jestliže zavedeme novou proměnnou Z t jako kombinai časově zpožděnýh proměnnýh, můžeme psát: Y t = α + βz t + u t Klasikou metodou nejmenšíh čtverů je pak možno odhadnout parametry s nejlepšími vlastnostmi. Polynomiké zpoždění Flexibilnější nástroj. Umožňuje formulovat nejrůznější představy o rozdělení zpoždění. Předpoklad: průběh vztahu mezi váhovými koefiienty lze aproximovat polynomem řádu, který je maximálně roven déle zpoždění (polynom r-tého řádu, kde r < ) β i = a 0 + a 1 i + a 2 i a r i r, i = 0, 1,,. Volbou řádu polynomu se vytváří flexibilní nástroj pro modelování váhovýh koefiientů. Výběr řádu je určen harakterem změn váhovýh koefiientů v čase. Jestliže váhy zpočátku rostou a později klesají nebo naopak, potom je vhodnou aproximaí polynom druhého řádu (r = 2): β i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 β 0 = a 0 β 1 = a 0 + a 1 + a 2 β 2 = a 0 + 2a 1 + 4a 2 β = a 0 + a a 2 Dosazením uvedenýh váhovýh koefiientů do obeného vztahu Y t = α + β 0 X t + β 1 X t β X t + u dostáváme Y t = α + a 0 X t + (a 0 + a 1 + a 2 )X t (a 0 + a a 2 )X t + u t Y t = α + a 0 (X t + X t 1 + X t X t ) + a 1 (X t 1 + 2X t X t ) + +a 2 (X t 1 + 4X t X t ) + u t Po přepisu pak dostáváme Y t = α + a 0 X t i + a 1 ix t i + a 2 i 2 X t i + u t Z 0t Z 1t Z 2t a tedy Y t = α + a 0 Z 0t + a 1 Z 1t + a 2 Z 2t + u t V tomto případě se problém zredukoval na odhad 3 koefiientů a j (j = 0, 1, 2) a původního parametru α.

5 Obeně je + 1 váhovýh koefiientů β i redukováno transformaí polynomem r-tého řádu na r + 1 koefiientů a j. Pokud r <, model se zjednodušuje a odhadujeme menší množství parametrů. Jestliže známe maximální délku zpoždění, potom pomoí MNČ můžeme odhadnout parametry a j a dosazením do vztahu pro β i určit odhady b i. Příklad: Předpokládejme, že největší délka zpoždění je = 4, v případě kvadratikého polynomu (r = 2) platí: β i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2, i = 1, 2, 3, 4. Odhady b i : b 0 = a 0 b 1 = a 0 + a 1 b 2 = a 0 + 2a 1 + 4a 2 b 3 = a 0 + 3a 1 + 9a 2 b 4 = a 0 + 4a a 2 Proměnné Z byhom určili jako lineární kombinae pozorování zpožděné proměnné X. Z 0t = X t + X t 1 + X t 2 + X t 3 + X t 4 Z 1t = X t 1 + 2X t 2 + 3X t 3 + 4X t 4 Z 2t = X t 1 + 4X t 2 + 9X t X t 4 Neznáme-li maximální délku zpoždění: lze použít různé délky maximálního zpoždění a vybrat tu, pro kterou je koefiient víenásobné determinae (R 2, resp. R 2) největší. Pozn.: polynomiký způsob lze aplikovat i v případě, kdy model konečně rozděleného zpoždění obsahuje zpožděné hodnoty víe exogenníh proměnnýh s různou maximální délkou zpoždění.