Číslicové a analogové obvody

Transkript

1 Číslicové a analogové obvody doprovodný text k přednáškám předmětu BI-CAO Číslicové a analogové obvody 5. svazek z osmisvazkové edice napsal: Doc. Dr. Ing. Jan Kyncl, katedra elektroenergetiky Fakulta elektrotechnická ČVU v Praze upravil: Dr.-Ing. Martin Novotný katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVU v Praze Jan Kyncl, Martin Novotný 9- Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Jan Kyncl, Martin Novotný strana z 9

2 Obsah REZONANČNÍ OBVODY, REZONANCE 3. PARALELNÍ REZONANČNÍ OBVOD 3. SÉRIOVÝ REZONANČNÍ OBVOD 5 3 NÁHRADA PERIODICKÉHO PRŮBĚHU POMOCÍ LINEÁRNÍ KOMBINACE HARMONICKÝCH PRŮBĚHŮ. FOURIEROVY ŘADY - ŘADY V UVOZOVKÁCH, PROOŽE U NÁS O ŘADY NEBUDOU 6 Jan Kyncl, Martin Novotný strana z 9

3 Rezonanční obvody, rezonance Uvažme obvod podle Obr. 9 V notebooku CAORezonance.nb je vyřešen tento obvod pro harmonické vstupní napětí ˆ U a je vyjádřeno výstupní napětí jako impedanční dělič U ˆ ˆ Z par = U, kde Z Z Z =R a + PAR ZPAR =, tady paralelní kombinace impedance kondenzátoru a + R + C impedance sériové kombinace rezistoru a cívky. Přenos tedy můžeme vyjádřit jako Uˆ Z par U ˆ =. Z + Z PAR V notebooku CAORezonance.nb je pomocí příkazu Manipulate ukázána situace, kdy indukčnost L a kapacita C jsou pevné a odpory R a R jsou proměnné. Na průbězích si nejprve všimněme, že zvláště pro velké hodnoty R a malé hodnoty R vykazuje absolutní hodnota přenosu výrazné maximum: obvod přenáší jednu frekvenci výrazně raději (měřítko prvního grafu je logaritmické!) než frekvence ostatní. Matematicky se podíváme jen na dva idealizované případy: ideální kondenzátor a cívka paralelně a ideální kondenzátor a cívka sériově.. Paralelní rezonanční obvod Jan Kyncl, Martin Novotný strana 3 z 9

4 Schématu podle Obr. 9 více odpovídá situace ideální kondenzátor a cívka paralelně, podle Obr. 3, začněme tedy s ní a vyjádřeme impedanci: Z = == == == + C + + C C == == == + ω ω + ω ω j C j L j C L L C (49) Poslední výraz je zajímavý proto, že existuje ω =, pro který není impedance L C definovaná, dokonce nemá ani limitu, neboť lim == j a + ω ω ω C lim == j. Jsme-li od ω vlevo, je imaginární část impedance kladná (jako u ω ω ω C cívky), Jsme-li od ω vpravo, je imaginární část impedance záporná, jako u kondenzátoru, j j Im == Im Im == Im Im == Im == C j ω C j ω C j ω C j == Im ==. ω C ω C Nicméně existuje lim Abs. ω ω == ω C ˆ Pak ovšem také existuje lim U lim Abs Abs L ω ω Iˆ == ==. Je-li v reálném ω ω ω C lim Abs Iˆ ==. Paralelní kombinací obvodu konečná hodnota ( ˆ ) Abs U, musí platit ( ) kondenzátoru a cívky při napájení zdrojem napětí o tzv. rezonanční kruhové frekvenci ω tedy teče nulový proud, chová se tedy, jako by tam nebyla, pro nižší frekvence se chová jako cívka, pro vyšší jako kondenzátor. Pro jistotu připomeneme, že vše, co se týká přenosů a impedancí, platí v tomto spisku pro harmonický ustálený stav a nikde jinde. Z grafů v notebooku je vidět, že takový obvod může být vhodný, pokud nás zajímají frekvence blízko ω a jiné méně: pokud váš malý bratříček obvykle křičí o pomoc kolem 44 Hz, sestrojíte si obvod podle Obr. 9, zvolíte velké hodnoty R a R tak, aby měl přenos výrazné maximum, zvolíte hodnoty L a C tak, aby platilo == π 44 a vřadíte tento L C obvod mezi mikrofon a vaši zvukovou kartu. Křik dětí, které křičí na jiné frekvenci, než ω ω Jan Kyncl, Martin Novotný strana 4 z 9

5 komorní A vašeho bratříčka (pozn.: komorní A má frekvenci 44 Hz...), bude potlačen a nebude vás tolik rušit, křik bratříčka bude podstatně hlasitější. Jasně, tenhle příklad je hooodně divný, ale snad názorný. Ale stejně jako hlas bratříčka si potřebujeme vybrat hlas našeho rádia z hluku elektromagnetických vln vysílání moře všech možných stanic a rušení. A k tomu se hodí a používají tzv. rezonanční obvody, například jako na Obr. 9 a 3. Ale také často mnohem mnohem chytřejší rezonanční obvody, ale na ty nemáme čas a prostor.. Sériový rezonanční obvod V další části notebooku CAORezonance.nb je pomocí příkazu Manipulate ukázána situace, kdy indukčnost L a kapacita C jsou pevné a odpory R a R jsou proměnné ve schématu podle Obr. 3. Vidíme, že takto sestavený obvod zadržuje některé frekvence, byl by dobrý, pokud bychom nechtěli bratříčka slyšet, nebo kdybychom se chtěli zbavit nějaké stanice, která ruší náš příjem. Situace je obdobná uvažování situace ideální kondenzátor a cívka sériově. Pro impedanci platí: + C ω C Z = + == == j. C C ω C Poslední výraz je zajímavý proto, že existuje ω =, pro kterou je impedance nulová a L C pro kterou se tedy chová jako zkrat; pro frekvence menší se chová jako kondenzátor, pro větší jako cívka. Pro jistotu připomeneme, že vše, co se týká přenosů a impedancí, platí v tomto spisku pro harmonický ustálený stav a nikde jinde. Vlastnosti rezonančních obvodů jsou velmi zajímavé, navíc se dají použít i tzv. magneticky vázané obvody, o kterých se zmíníme později. aké je zajímavé, že potřebujeme přenášet vždy nějaký interval (říkáme mu pásmo) frekvencí: signál, který má frekvenci jen jednu, nese informace málo: o amplitudě, frekvenci a umíme-li ji měřit, i o fázi. ři čísla, nic víc. Proto potřebujeme pásma frekvencí a naše rezonanční obvody musejí být chytré. Ale na to všechno nemáme čas. Jan Kyncl, Martin Novotný strana 5 z 9

6 Poznamenejme ještě, že oficiální definice rezonance v případě elektrických obvodů říká, že v rezonanci má impedance nulovou imaginární část. Jak to je s imaginární částí a přenosem si můžete prohlédnout v notebooku CAORezonance.nb. 3 Náhrada periodického průběhu pomocí lineární kombinace harmonických průběhů. Fourierovy řady - řady v uvozovkách, protože u nás to řady nebudou V notebooku FourierCAO.nb je ukázáno, jak můžeme přibližně nahradit periodickou obecně neharmonickou funkci součtem harmonických funkcí. Zkoumejme výraz: * f ( t) = a + a cos π + a cos π + a3 cos 3 π an cos n π + + b sin π + b sin π + b3 sin 3 π bn sin n π == n == a + ai cos i π + bi sin i π i= O funkcích vyskytujících se v technické praxi, kdy tyto jsou výstupem nějakého systému, můžeme předpokládat, že jsou spojité; f * (t) je spojitá a konečné kladné číslo. Matematická analýza nám říká, že existují určité integrály, tedy konečná čísla: t = t = t = * * t * f ( t) dt, f ( t) cos i π dt, f ( t) sin i π, i =,,... n (5) Jelikož ovšem platí, že: i N, (, ), cos i π dt == == i, i N, i i, (, ), cos i π cos i π dt == == i, i N, i == i, (, ), cos i π cos i π dt == == (5) Jan Kyncl, Martin Novotný strana 6 z 9

7 A obdobně: i N, (, ), sin i π dt == == i, i N, i i, (, ), sin i π sin i π dt == == i, i N, i == i, (, ), sin i π sin i π dt == ==. (5) Předpokládejme, že máme k dispozici číslo: * Ia = f ( t) dt. Pak ovšem s uvážením (5) a (5) platí: a * Ia = f ( t) dt * ( ) (53) I = f t dt == a dt == a a == Předpokládejme, že máme i N k dispozici číslo: * Ia = f ( t) cos i π dt i. (54) Pak ovšem s uvážením (5) a (5) platí: n * Ia = f ( t) cos k dt a a cos sin cos k π == i i π bi i π k π dt + + == i= == == = * ak ak Ia f ( t) cos k π dt k A obdobně platí: (55) Jan Kyncl, Martin Novotný strana 7 z 9

8 n * Ib = f ( t ) sin k dt a a cos sin sin k π == i i π bi i π k π dt + + == t t i= = = == == = * bk bk Ib f ( t ) sin k π dt k (56) FIXME Prostě jsou integrály ze součinů nulové, pokud to není buď že tam žádný sinus ani kosinus není, nebo je integrand převoditelný na bk sin k π. Elementary, dear Watson. ak cos k π nebo Zatím jsme se zabývali jen funkcí f * (t); ve vyjádření funkční hodnoty této funkce pro konkrétní číselnou hodnotu t a není (za předpokladu, že máme k dispozici hodnotu funkce sinus pro každou číselnou hodnotu jejího parametru) žádné nekonečno, hodnotu tedy získáme v konečném počtu kroků. Předpokládejme dále, že pro t, existuje n takové, že platí: f(t) f * (t), kde přibližná rovnost znamená například, že odchylka mezi f(t) a f * (t) je pro t, pro nás akceptovatelná. Pak můžeme pro naše účely (například řešení elektrických obvodů ) nahradit funkci f(t) funkcí f * (t). Pokud by to, co jsme zde uvedli, četl matematik však pravý, ač živý tu není, jak chápu jej v srdci, bych mohl naň ukázat prstem, asi by hodně nesouhlasil s naším pojetím Fourierových řad : jenže my se můžeme úspěšně hájit tím, že se Fourierovými řadami vůbec nezabýváme: naše n bylo vždy konečné, pracovali jsme s konečnými součty a korektním způsobem. Neporozumění je v podstatě až paradigmatické: všechny problémy s funkčními řadami a stejnoměrnou konvergencí jsme schovali do tvrzení, že odchylka mezi f(t) a f * (t) je pro t, pro nás akceptovatelná. My totiž máme možnost podrobně experimentálně onu odchylku zkoumat, můžeme vyčíslovat funkce i na podintervalech z intervalu,, tisknout si grafy pochopte, v jistém smyslu je možné snadněji uchopit myšlenkově výraz n a + ai cos i π + bi sin i π i= pro n= než pro n=5. Vyčíslení výrazů je pro n=5 bez výpočetní techniky celoživotní úkol, pro n= jde chybu odhadnout extrémně chytrým trikem. Jenže takové triky nefungují obecně a nevíme, jak na ně přijít jinak než šťastnou náhodou, v ČAO na ně navíc nemáme dost času. A umíme docela dobře pracovat s výrazy pro n=5. A jak souvisejí siny a kosiny s fázory a obvody? o je jednoduché: k u b sin t Im b e e ω = ω + == t, tedy příslušný fázor je roven přímo b k. Ovšem pro ( ) ( ) k k k každé x platí cos ( x) π == sin x +. edy zřejmě: Jan Kyncl, Martin Novotný strana 8 z 9

9 π π j j ωk t u ( t) = ak cos ( ωk t) == ak sin ωk t + == Im ak e e. Fázor odpovídající tedy kruhové frekvenci ω k je tedy roven b k +j a k (věty o součtech, rovnostech fázorů atd.), Něco z toho si ukážeme na cvičení, na víc tady není bohužel čas. b Jan Kyncl, Martin Novotný strana 9 z 9