Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6

Transkript

1 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii ČVUT v Praze Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II letní semestr

2 BI-SAP 6: osnova Zobrazení čísel se znaménkem Přímý, aditivní a doplňkový kód a operace sčítání a odčítání, přetečení Čísla s pohyblivou řádovou čárkou Zobrazení v řádové mřížce Provádění základních aritmetických operací Normalizovaný tvar, skrytá jednička Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 2

3 Řádová mřížka (opakování) Zobrazení čísel na počítači je limitováno (rozsahem registrů, paměť. míst, apod.) Řádová mřížka určuje formát zobrazitelných čísel (tj. definuje nejvyšší řád n a nejnižší řád - m) Příklad řádových mřížek řádová čárka n = 3, -m = 0 n = 0, -m = -3 Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 3

4 Aritmetické operace v ř.m. - chyby Někdy se lze chybám vyhnout změnou délky ř.m. rozšiřování zkracování ř.m. Př. rozšiř zkrac. Při ztrátě přesnosti můžeme velikost chyby ovlivnit způsobem zaokrouhlení zaokrouhlení nahoru/dolů zaokrouhlení s pref. sudé číslice zaokrouhlení s pref. většího čísla Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 4

5 Aritmetické operace v ř.m. (3) Zaokrouhlení dolů (oříznutí) Zaokrouhlení nahoru Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 5

6 Aritmetické operace v ř.m. Zaokrouhlení s preferencí sudé číslice Zaokrouhlení s preferencí většího čísla Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 6

7 Řádová čárka vzhledem k ř.m. Pevně definovaná pozice čísla s pevnou řádovou čárkou (fixed-point) nejpoužívanější rezervováno pro znaménko integer fractional Řádová čárka je definována posunem vůči definované pozici čísla s pohyblivou řádovou čárkou (floating-point) rezervováno pro znaménko Počáteční pozice řád. čárky, číslo ve posun vůči níž je vztažen posun. zlomkovém řád. čárky Hana Kubátová tvaru BI-SAP 6, Aritmetika II 7

8 Zobrazení čísel se znaménkem Standardní polyadické soustavy pouze nezáporná čísla Zobrazení záporných čísel číselné kódy popisují transformaci z omezené množiny celých čísel do omezené množiny nezáporných čísel Nejpoužívanější číselné kódy: přímý aditivní doplňkový Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 8

9 Přímý kód Nejvyšší řád ř.m. představuje znaménko, zbytek ř.m. je absolutní hodnota Znaménko reprezentováno číslicí: Znázornění zobrazení: P(X) M + 0, - 1 +/- absolutní hodnota ½M X < ½M ½M X ½M Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 9 0

10 Příklady přímý kód M = tzn. 3bitová čísla X P(X) kladná nula záporná nula P P ,05 10 P P , Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 10

11 Sčítání a odčítání Pracuji zvlášť se znaménkem a absolutní hodnotou Absolutní hodnota je nezáporné číslo Příklad pro 3 bitová nezáporná čísla: B=101 B=010 B + B = 111 = = M 1 B = B + 1 M A B = A + B + 1 M Aby byl výsledek správně, musí být možné odečíst modul (tj. carry)! Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 11

12 Sčítání a odčítání v přímém kódu A + B, A B, výsledek ulož do A kde A ~ (za, aa), B ~ (zb, ab) z znaménko, a absolutní hodnota Pokud nevyjde přenos, vyšel záporný výsledek, který neumíme zobrazit, proto je třeba negovat znamenko a odečíst výsledek od 0. Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 12

13 Sčítačka pro nezáporná čísla S = A + B. jen někdy A= a 2 a 1 a 0 B= b 2 b 1 b 0 S A + B Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 13

14 Sčítačka pro nezáporná čísla p i... přenos do řádu i...carry q i... přenos z řádu i M = 8 = 2 3 = =( ) 2 S = A + B je-li q* = 0 A + B M je-li q* = 1 zde: q* 2... přeplnění...overflow Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 14

15 Odčítačka pro nezáporná čísla R = B - A, je-li q* = 1 p*= 1... horká jednička hot one Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 15

16 Odčítání sčítání... přenos q*...carry odčítání... výpujčka v*...borow q* = v* q* = 1 v* = 0 A B 0 q* = 0 v* = 1 A B < 0 Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 16

17 Sčítačka-odčítačka pro nezáporná čísla složitější řízení, protože detekce přeplnění záleží na operaci sčítání... přeplnění ní (zde přenos) pro q*=1 odčítání... přeplnění (zde výpůjčka) pro v*=1, q*=0 nakreslit na tabuli Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 17

18 Aditivní kód Též označovaný jako kód s posunutou nulou Formální definice: A(X) = X + K pro -K X < M - K K vhodná konstanta často se volí: K = ½ M M K A(X) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 18 -K 0 M-K X

19 Příklady aditivní kód A A K=5000 K= ,05 10 A A ,11 2 K=1,000 K=1, Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 19

20 Doplňkový kód Definice: D(X) = X, je-li X >= 0 M + X, je-li X < 0 D(X) M Příklad napsat všechna 3 bitová čísla (M = 1000, ε = 1, l = 3) ½M X D(X) ½M ½ M X < ½ M Znaménko je určeno prvním bitem zleva, ale tento bit je organickou součástí obrazu!!! Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 20 ½M X

21 Doplňkový kód - pokračování Obraz záporného čísla X je doplňkem jeho hodnoty do modulu M řádové mřížky Př D D ,05 10 D D , Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 21

22 Odčítání v doplňkovém kódu Příklad pro 3 bitová nezáporná čísla (opakování): V doplňkovém kódu: B=101 B=010 A B = A + (-B) D(B) + D(-B) = B + (-B) + M = M B + B = 111 = = M 1 B = B + 1 M A B = A + B + 1 M Správný výsledek musím mít možnost odečíst modul, Musí vyjít přenos!! D(-B) = M - D(B) D(-B) = D(B) + 1 A B = D(A) + D(B) + 1 detekce přeplnění je stejná jako u sčítání Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 22

23 Sčítání a odčítání v doplňkovém kódu D(A) + D(B) D(A + B) 1 A 0 B 0 A + B A + B 2 A 0 B < 0 A < 0 B 0 A + B + M A + B A + B + M 3 A < 0 B < 0 A + B + M + M A + B + M D(A + B) = D(A) + D(B) D(A) + D(B) M Sečtou se obrazy a ignoruje se přenos!!! Příklady viz tabule a cvičení Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 23

24 Přeplnění Přeplnění (overflow) není přenos (carry)!!!!! D(A) + D(B) 3 2xM Přeplnění: M 1 Poznáme podle cifry v nejvyšším řádu + M 0 M 1 A + B Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 24

25 Přeplnění blok sčítačky pro a b p q s nejvyšší řád Přeplnění: Overflow = p xor q Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 25

26 Sčítačka-odčítačka v doplňkovém kódu (včetně detekce přeplnění) Přeplnění: tzn. v nejvyšším řádu sčítačky bude: a=0 b=0 s=1 nebo p=q a=1 b=1 s=0 over = p nebo také: over = abs + q abs s i a b p q S Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 26

27 Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 27

28 Sčítačka-odčítačka v doplňkovém kódu (včetně detekce přeplnění) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 28

29 Sčítačka-odčítačka v doplňkovém kódu 8 bitová S = 1... odčítej (subtract) c out... přenos (Carry) c 0... horká jednička over.. přetečení (overflow) zde není zakresleno Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 29

30 Sčítačka-odčítačka -demo simulator/add/lookahead/ arrylookahead/carrylookaheadf01.html Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 30

31 NOT-AND-OR Úplná sčítačka (full adder) NAND-NAND-NAND FA q ss s poloviční sčítačka (half adder) HA S = a xor b Q = a.b Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 31

32 Predikce přenosů NAND-NAND-NAND NOT-AND-OR s = ( a b) p q = ab + p( a b) G = ab P = a b Přenos vzniká (Generate) Přenos se šíří (Propagate) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 32

33 Predikce přenosů Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 33

34 Sčítačka-odčítačka v procesoru Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 34

35 Pohyblivá řádová čárka Čísla s pevnou řádovou čárkou mají výrazně omezený rozsah Př. z = 2, délka ř.m. l = 32 (tj. 32-bitové číslo) max. celé číslo A < 2 32 < min. zlomkové číslo A > 2-32 > Pro zvětšení rozsahu přidáme exponent e X z e odpovídá posunu řádové čárky v čísle X o e čísla s pohyblivou řádovou čárkou Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 35

36 ...pohyblivá řádová čárka Řádová mřížka má 2 části (podmřížky): mantisa (m) - informace o hodnotě čísla, často zlomkový tvar exponent (e) - informace o pozici řád. čárky, celé číslo m i e používají kódy pro zobrazení záporných čísel Ukázky možných formátů ř.m. D(M) D(e) Př. ( ) ± A(e) m Př. (0, ) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 36

37 ...pohyblivá řádová čárka Normalizovaný tvar je tvar čísla, kdy už nelze mantisu posunout více doleva zjednodušuje aritmetické operace Normalizovaný tvar operandů nezaručí normalizovaný tvar výsledku normalizace Př. tj. úprava výsledku na normalizovaný tvar nutno provádět po každé operaci nenormaliz. tvar normalizovaný tvar A = 0, Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 37

38 ...pohyblivá řádová čárka Skrytá jednička předpokl. z = 2, normaliz. tvar, M přímý kód, M 0, A(e) 0 v nejvyšším řádu mantisy bude vždy 1 tuto 1 můžeme skrýt (tj. vynechat ze zápisu čísla v ř.m.) A = 1, !!! A(e) = e !!! V případě A(e) = 0 se skrytá jednička nepoužívá!!! A = (2-3 ) A = Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 38

39 ANSI/IEEE Std znaménko exponent mantisa 32 b 1b 8b 23 (24)b exponent aditivní kód, K=127 mantisa přímý kód, M <2 64 b 1b 11b 52 (53)b 32 b: ± 8b e+127 8b 32 bitů 24b ± g f m Dvojková čárka (pro e i m) 23b Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 39

40 Pohyblivá řádová čárka e M A 0 = (-1) s M (-1) s (M + 1) 2 e = 0 (-1) s NaN (Not a Number) Skrytá jednička! Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 40

41 pohyblivá řádová čárka Např = = (-1, x ) 2 m = 1, f = e = 101 g = tzn C v little endian je tedy postupně uloženo ve slabikově organizované paměti: adr1 00 adr2 00 adr3 68 adr4 C2 Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 41

42 pohyblivá řádová čárka adr1 00 adr2 00 adr3 68 adr zn exponent mantisa se skrytou 1 f = m = 1, g = e = tzn (128+6) (+1, x ) 2 = = Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 42

43 Aritmetika v pohyblivé ř.č. Aritmetické operace: sčítání/odčítání: Srovnat exponenty a sečíst/odečíst mantisy. násobení: Sečíst exponenty a vynásobit mantisy. dělení: Odečíst exponenty a vydělit mantisy. porovnání: Srovnat exponenty a porovnat mantisy. posuv: Posunem mantisy nebo zvětš./zmenš. exponentu. Normal. tvar operandů nezaručí normal. tvar výsledku normalizace tj. úprava výsledku na normal. tvar nutno provádět po každé operaci Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 43

44 ...pohyblivá řádová čárka Poznámka spočtěte doma!!! Příklad 1: 16bitové číslo Y je obrazem čísla X v pohyblivé řádové čárce. Prvních 12 bitů (zleva) obrazu Y je obrazem D(M) mantisy M v doplňkovém kódu; modul řádové mřížky pro mantisu je roven 2, tzn.: -1 <= M < 1. Zbývající 4 bity jsou rovny exponentu E zvýšenému o 8 (aditivní kód) - jsou rovny A(E) = E+8. Princip skryté jedničky není použit! Určete hodnotu čísla X, je-li Y = 0F0A (šestnáctkově)! Má obraz Y normalizovaný tvar? Pokud nemá, najděte obraz čísla X v normalizovaném tvaru! Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 44

45 ...pohyblivá řádová čárka Poznámka spočtěte doma!!! Příklad 2: 16bitové číslo Y je obrazem čísla X v pohyblivé řádové čárce. První bit (zleva) je znaménko mantisy, následuje 4bitový exponent zvětšený o 7 (aditivní kód). Zbývajících 11 bitů je použito k uložení absolutní hodnoty mantisy při využití principu skryté jedničky. Modul řádové mřížky pro absolutní hodnotu mantisy je roven 2 tzn. -2 < M < 2. Určete hodnotu čísla X, jeli Y=ED00 (šestnáctkově). K číslu X přičtěte ,1 (dvojkově) a výsledný součet uložte ve stejném formátu jako číslo X. Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 45

46 Úloha: Zapište v normalizovaném tvaru. Poznámka spočtěte doma!!! Předpokládejte délku délku ř.m. l = 12, přitom délka podmřížky exponentu je l e = 4. Exponent v aditivním kódu, mantisa v přímém kódu, aditivní konstanta pro exponent je 8. Skrytá jednička není použita. 1. -(1010,11 2 ) 2. 7, ,C (46, ) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 46

47 Příklad: Sčítání v pohyblivé ř.č. Zapište čísla 3,5 10 a 0, v normalizovaném tvaru a pak je sečtěte. 3,5 10 = 11,1 2 = 0, , = 0, , , = 0, , = = (0, , ) 2 2 = = (1, ) 2 2 = 0, Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 47

48 Příklad: Násobení v pohyblivé ř.č. Zapište čísla 3,5 10 a 0, v normalizovaném tvaru a pak je vynásobte. 3,5 10 = 0, , = 0, , , , , , , Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 48

49 Úloha: Spočítejte v pohyblivé ř.č. Předpokládejte délku délku ř.m. l = 12, přitom délka podmřížky exponentu je l e = 4. Exponent v aditivním kódu, mantisa v přímém kódu. 1.10, , , , ,C (-0, ) (-0, ) Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 49

50 Úloha: Spočítejte v pohyblivé ř.č Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 50

51 Alfanumerické kódy Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 51

52 Hana Kubátová BI-SAP 6, Aritmetika II 52