Identifikace materiálových parametrů Vybraných modelů plasticity

Transkript

1 Teorie plasticity 1. VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 17.listopadu 15, Ostrava - Poruba Identifikace materiálových parametrů Vybraných modelů plasticity 1) POPIS EXPERIMENTÁLNÍCH DAT 2) STANOVENÍ KOEFICIENTŮ PRO MODEL ARMSTRONG FREDERICKA 3) STANOVENÍ KOEFICIENTŮ PRO CHABOCHEŮV MODEL PLASTICITY 4) SROVNÁNÍ VYPOČTENÝCH DAT S EXPERIMENTÁLNÍMI DATY Ing. Josef Sedlák doc. Ing. Radim Halama, Ph.D. 2012

2 1. EXPERIMENTÁLNÍ DATA Pro určení materiálových konstant bylo využito několik získaných souborů experimentálních dat jak se zatěžováním s řízenou amplitudou napětí (měkké zatěžování), tak i zatěžování s řízenou amplitudou poměrné deformace (tvrdé zatěžování). U kterých byly provedeny nejen dopočty napětí a celkové deformace, ale také dopočty plastické deformace, akumulované plastické deformace a šířka hysterezní smyčky. Na počátku byl stanoven modul pružnosti materiálu a Poissonovo číslo (u oceli ). Pro vypočtení plastické deformace byl využit aditivní a Hookeův zákon: Výpočet akumulované plastické deformace a to buď přímo z experimentálních dat nebo vzorcem. (1.1) ( ) (1.2) ( ) ( ) (1.3) (1.4) (1.5) Kde: ( ) akumulovaná plastická deformace v N-tém cyklu rozkmit plastické deformace (šířka hysterezní smyčky) amplituda plastické deformace amplituda celkové deformace amplituda napětí číslo cyklu 1

3 2. IDENTIFIKACE KONSTANT PRO MODEL ARMSTRONG FREDERICKA Armstrong Frederickův kinematický model vkombinaci s nelineárním izotropním pravidlem zpevnění vyžaduje znalost několika parametrů a to,, a. Při určování konstant je dodržována doporučená metodika z literatury (J. L. Chaboche, 1990). Při stanovování konstant jsou využity experimentální data z deformačně řízené zkoušky s rozkmitem deformace 1%. A také ze silově řízené zkoušky s amplitudou napětí 500 MPa a středním napětím 40 MPa. Uvedená ukázka identifikace parametrů umožňuje zachycení ratchetingu i cyklického zpevňování/změkčování materiálu, přičemž uvedený model plasticity lze nalézt v software Ansys, Abaqus i MSc.Nastran/Marc STANOVENÍ KONSTANTY První se zaměříme na získání konstanty. Vycházíme ze souboru experimentálních dat s řízenou amplitudou poměrné deformace a z rovnice pro cyklické zpevňování / změkčování popisující změnu amplitudy napětí s počtem cyklů. Také možno napsat zjednodušeně ( ) (2.1) ( ) (2.2) Pro naladění konstanty byly použity hodnoty: je vždy brána aktuální hodnota ze souboru experimentálních dat. Po vyčíslení a vykreslení do grafu se ukázala jako nejlepší hodnota. Platnost izotropního pravidla zpevnění Voce, zahrnutého v kombinovaném modelu zpevnění Armstronga a Fredericka byla ověřena např. Chabochem a Lemaitrem, viz Obr. 3 2

4 Obr. 1 Normovaná změna amplitudy napětí s počtem cyklů pro experiment a Armstrong-Frederickův model Obr. 2 Ověření vývoje vztahu izotropního zpevnění (osa p je v logaritmickém měřítku) 3

5 Obr. 3 Ověření evolučního vztahu izotropního zpevnění pro ocel 316 (J. L. Chaboche, 1990) 2.2. URČENÍ KONSTANT, A Dále budeme stanovovat konstanty, a. Zde budeme vycházet ze souboru experimentálních dat s řízenou amplitudou napětí (měkké zatěžování). Hodnota byla vypočtena pomocí experimentálních dat ze zkoušek nízkocyklové únavy při konstantním rozkmitu deformace, které jsou dány dvojicemi hodnot amplituda napětíamplituda deformace odpovídajícími vrcholům hysterezních smyček v polovině životnosti, tak aby výsledná pseudo statická křivka měla co nejmenší odchylku a byla shodná s hodnotou v polovině životnosti. ( ) (2.3) Dále je však nutné zmínit, že cílem kalibrace je naladění modelu pro správný popis ratchetingu. Pak tedy musí být dodržena podmínka rovnosti vypočteného a experimentálně stanoveného rozdílu deformací ve vrcholech stabilizovaných otevřených hysterezních smyček (2.4) 4

6 Přičemž dle (J. L. Chaboche, 1990) pro Armstrong-Frederickovo kinematické pravidlo zpevnění platí (bez izotropního zpevnění) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] (2.5) Obr. 4 Ratcheting Zde bereme a to znamená, že amplituda napětí je. V polovině životnosti (tj. při 500 cyklu) je a. Pro lepší orientaci ve veličinách je vhodné odkázat na Obr. 4. Hodnota byla kontrolována tak, aby bylo dodrženo a. Při volbě a bylo dosaženo: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Srovnání predikce naladěného Armstrong-Frederickova modelu s cyklickou deformační křivkou je patrné z Obr. 5. Výčet všech stanovených parametrů modelu je uveden v Tab. 1. 5

7 Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] ,000 0,002 0,004 Plastická deformace [-] E PS 500 cykl Obr. 5 Ověření vývoje vztahu pro amplitudu napětí ve srovnání s experimentálními daty Tab. 1 Konstanty pro Armstrong Frederickův model Název konstanty Hodnota 250 MPa 500 MPa ,69 2,5-250 MPa 30 Je vhodné podotknout, že Armstrong-Frederickův model je schopen zachytit pouze konstantní ratcheting a při naladění na reálný materiál se chová téměř bilineárně. Ke stejným závěrům došel také (Magnus Ekh, 2000). 3. STANOVENÍ KOEFICIENTŮ PRO CHABOCHEŮV MODEL PLASTICITY Pro výpočet konstant Chabocheova modelu plasticity je využita cyklická deformační křivka materiálu a jediná silově řízená jednoosá zkouška s nenulovým středním napětím. Chabocheův nelineární kinematický model zpevnění umožňuje lépe zachytit tvar hysterezní smyčky resp. cyklické deformační křivky. Rovnice byly získány z literatury (Halama & al., 2007). Chceme-li optimalizovat parametry související s cyklickou deformační křivkou pomocí metody nejmenších čtverců, budeme potřebovat počáteční odhad parametrů. 6

8 3.1. POČÁTEČNÍ ODHAD PARAMETRŮ Statická deformační křivka, resp. cyklická deformační křivka (Halama & al., 2007). ( ) (3.1) a) Nejprve je nutné převést deformační křivku na závislost napětí plastická deformace (nikoliv celková) užitím aditivního a Hookeova zákona. b) Potom se zvolí parametr tak, aby tato hodnota přibližně odpovídala okamžiku vzniku plastické deformace Obr. 6. c) Konstanta je dána směrnicí tečny v bodě na konci dané křivky, stačí tedy provést přímkovou interpolaci posledních dvou bodů ze sady experimentálních dat. d) Konstanta je dána směrnicí tečny v bodě, kde je plastická deformace nulová, stačí tedy provést přímkovou interpolaci prvních dvou bodů ze sady experimentálních dat (uvažují-li se jen body s nenulovou plastickou deformací a bod odpovídající hodnotě ). e) Poměr lze odečíst ze vzdálenosti zakótované na Obr. 6, odtud následně získat. Obr. 6 Počáteční volba parametrů ze statické (cyklické) deformační křivky (Halama, 2009) 3.2. OPTIMALIZACE PARAMETRŮ Zpřesnění Y, C1, C2 a 1 [MPa] Chabocheova modelu plasticity provedeme pomocí nelineární metody nejmenších čtverců s využitím programu MathCad. 1) V rovnici (3.1) byly parametry C1, C2, 1 a Y nahrazeny konstantami b 1, b 2, b 3 a b 4, následně byla rovnice derivována 7

9 Tab. 2 Rovnice pro optimalizaci Levenberg-Marquardtovou metodou nejmenších čtverců b 1 Nederivováno b 4 tanh b p b 3 3 b p 2 Podle C1 1 tanh b p b 3 3 Podle C2 p Podle 1 b 1 b 3 tanh b 2 3 p b 1 1 tanh b p b p Podle Y 1 2) Počáteční volba vektor tvořený prvotním odhadem parametrů, tedy ( ) 3) Využití funkce genfit - metoda nejmenších čtverců založená na algoritmu Levenberg- Marquardtově 4) Ověření získané aproximace grafickou formou Parametry získané po využití funkce genfit (Levenberg-Marquardtova metoda) v programu MathCad jsou uvedeny v Tab. 3. Kvalita aproximace (s použitím optimalizovaných parametrů) je zřejmá z Obr. 7. Tab. 3 Zpřesněné konstanty pro Chabocheův model Konstanta Hodnota Y 180 C C

10 Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] E CH ,002 0,004 0,006 Plastická deformace [-] Obr. 7 Grafické srovnání bodů z experimentu (modré body) a zpřesněných výsledků (červeně) 3.3. CHABOCHEŮV KOMBINOVANÝ MODEL ZPEVNĚNÍ Chování materiálu je komplexně popsáno Chabocheovým kombinovaným modelem zpevnění, který superponuje vlastnosti nelineárního kinematického a nelineárního isotropního modelu zpevnění. Zavedením nenulové složky γ2 do tohoto modelu je pak možno simulovat i cyklické tečení materiálu. Tento model zpevnění lze nalézt v software Ansys a Abaqus. Pro cyklickou deformační křivku platí ( ) (3.2) Pro stanovení koeficientu můžeme využít dříve získaného, které jsme stanovovali pro model Armstrong Fredericka. U uvažovaného Chabocheova kombinovaného modelu zpevnění lze psát vztah pro statickou deformační křivku ve tvaru: Kde ( ) ( ) (3.3) (3.4) pak plyne ( ) (3.5) 9

11 V našem případě je možné vypočítat přímo z. Kde je vypočtená hodnota z předešlého výpočtu a a je hodnota amplitudy napětí. Z daných vztahů a po uvážení výsledných výpočtů bylo zvoleno K naladění Chabocheova modelu s ohledem na ratcheting je nutné dopočítat koeficient, například s využitím vztahu. (3.6) Tab. 4 Konstanty pro Chabocheův kombinovaný model zpevnění Konstanta Hodnota Y 180 C C , SROVNÁNÍ DAT V software Ansys byla provedena simulace nízkocyklové zkoušky s nenulovým středním napětím 40MPa a amplitudou napětí 500MPa (měkké zatěžování) tak i zatěžování s řízenou amplitudou poměrné deformace (tvrdé zatěžování). Při modelování zkušební části (délka 10mm, průměr 5mm) byl použit prvek LINK180 jemuž byl přiřazen plošný průřez ( ). MKP síť tvoří jediný prvek s dvěma uzly. Okrajové podmínky byly zadány na levém konci tak, že jsou odebrány všechny stupně volnosti: UX,UY,UZ, na pravém uzlu byly odebrány posuvy UY,UZ. Na uzel na pravém konci je aplikována síla F (v axiálním směru prutu) u zkoušky měkkého zatěžování a poměrná deformace (v axiálním směru prutu) u tvrdého zatěžování. Pro zadávání byla použita harmonická funkce dána funkčním vztahem: ( ) (4.1) 10

12 Deformace celková [-] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] Jak lze poznat z funkčního předpisu je perioda T= 4 [jednotka času]. Pro výpočet síly a poměrné deformace je třeba přepočítat hodnoty pomocí Hookeova zákona. Materiálové vlastnosti byly definovány dle vypočtených hodnot jak pro Chabocheho model, tak i pro Armstrong - Frederickův model plasticity VÝPOČET PRO MĚKKÉ ZATĚŽOVÁNÍ Výsledky predikce ratchetingu u nízkocyklové únavové zkoušky s blokových zatěžováním (500 cyklů pro =40MPa a =500MPa, 100 cyklů pro =70MPa a =500MPa, 100 cyklů pro =100MPa a =500MPa, 100 cyklů pro =310MPa a =310MPa) jsou pro oba materiálové modely zřejmé z Obr VYPOČTENÁ DATA PRO MĚKKÉ ZATĚŽOVÁNÍ 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 E AF CH 0, Počet cyklů N Obr. 8 Srovnání výsledku experimentů a simulací jednoosého ratchetingu Z Obr. 8 je patrné dosažení optimálního dodržení trendu stabilizace deformační odezvy. Lze tedy usoudit, že materiálové konstanty výpočtových modelů jsou dostatečně naladěny pro výpočty ratchetingu. 11

13 Napětí [MPa] Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] 650,00 450,00 Chaboche 250,00 50,00-0,005 0, ,00 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0, ,00-550,00 Deformace celková [-] Obr. 9 Vybrané hysterezní smyčky pro Chabocheův kombinovaný model zpevnění 650,00 450,00 Armstrong - Frederick 250,00 50,00-0,005 0, ,00 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0, ,00-550,00 Deformace celková [-] Obr. 10 Vybrané hysterezní smyčky pro Armstrong - Frederickův kombinovaný model zpevnění 12

14 Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] Experiment ,005 0, ,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0, Deformace celková [-] Obr. 11 Vybrané hysterezní smyčky z experimentálních dat Chybné zachycení ratchetingu v počátečních cyklech lze při predikci tisíců cyklů považovat za přijatelné. Výsledky predikce jsou lépe patrné ze závislostí napětí-deformace uvedených na Obr. 9 až Obr. 11. Pro srovnání použitelnosti vybraných modelů pro výpočet Ratchetingu (převzato z literatury (Magnus Ekh, 2000)) Model A Armstrong Frederick s kombinovaným kinematickým a isotropickým zpevňováním ( isottropní je důležité pro simulaci klesajícího ratchetingu) Model J-S Jiang and Sehitoglu pouze kinematické zpevňování 13

15 Obr. 12 Cyklické zatěžování napěťově deformační odezva pro model A po kalibraci (Magnus Ekh, 2000) Obr. 13 Cyklické zatěžování napěťově deformační odezva pro model A po kalibraci s využitím naměřených bodů cyklu (Magnus Ekh, 2000) 14

16 Obr. 14 Cyklické zatěžování napěťově deformační odezva pro model J-S s M=3 po kalibraci (Magnus Ekh, 2000) Na modelu A jde vidět, že i tak jednoduchý model dokáže dostatečně zachytit průběh ratchetingu. Bohužel ale nedokáže zachytit přesný tvar hysterezní smyčky Obr. 12. To je možné zachytit pouze v tom případě, že bude model naladěn pomocí dat z posledního cyklu zkoušky. Tímto ale vzniknou veliké chyby v prvotních cyklech Obr. 12. Pro srovnání uveden model J-S, který dokáže zachytit i prvotní cykly, což je vykoupeno vyšším počtem identifikovaných konstant VYPOČTENÁ DATA PRO TVRDÉ ZATĚŽOVÁNÍ Simulace zkoušky s konstantním rozkmitem deformace 1% je prezentována formou závislostí napětí-deformace na Obr. 11, kde je patrné zachycení cyklického změkčování materiálu v počátečním stadiu. Podobně bylo zachyceno také cyklické změkčování u silově řízených testů na Obr. 9 a Obr. 10, kde je vidět, že v prvních cyklech se oba modely chovají také téměř elasticky. 15

17 Napětí [MPa] Napětí [MPa] Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] 800 Chaboche ,006-0,004-0, ,002 0,004 0, Celková deformace [-] Armstrong - Frederic ,006-0,004-0, ,002 0,004 0, Celková deformace [-] Experiment ,006-0,004-0, ,002 0,004 0, Celková deformace [-] Obr. 15 Vybrané hysterezní smyčky 16

18 Napětí [MPa] Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] E AF CH Počet cyklů N Obr. 16 Srovnání vývoje závislosti napětí na počtu cyklů Na Obr. 16 je patrné ustálení výpočtů s použitými modely již při 20 cyklech, avšak hodnota z experimentálních dat je o něco nižší. Toto je způsobeno tím, že jsou zobrazeny data pouze po 100-tý cyklus a materiálové konstanty modelů jsou laděny na polovinu životnosti. Na Obr. 17 je vidět, že materiál nejprve cyklicky změkčuje a přibližně okolo 100 cyklů dochází k pozvolnému zlomu. Následně pak začne materiál cyklickyzpevňovat přibližně až do poloviny životnosti Počet cyklů N Obr. 17 Průběh napětí v závislosti na počtu cyklů u experimentálních dat získaných ze zkoušky s tvrdým zatěžováním 17

19 Napětí [MPa] [IDENTIFIKACE MATERIÁLOVÝCH PARAMETRŮ] ,006-0,004-0, ,002 0,004 0, Celková deformace [-] E CH AF Obr. 18 Srovnání hysterezních smyček v polovině životnosti Na Obr. 18 jde vidět velmi dobrá shoda hysterezních smyček v polovině životnosti. Hysterezní smyčka z experimentálních dat je brána pro 2916-tý cyklus. 18

20 5. ZÁVĚR Výsledky výpočtů ukazují, že použité kombinované modely zpevnění umožňují zachytit cyklické změkčování v počátečních cyklech zatěžování a poměrně dobře zachytí trend akumulace plastické deformace (ratcheting) při jednoosém namáhání. Materiál vykazoval u silově řízených zkoušek po odeznění cyklického změkčování postupné zmenšování míry ratchetingu, což lze popsat správně pouze implementací robustnějšího modelu cyklické plasticity do konečnoprvkového software. 19

21 6. LITERATURA Halama, R., Experimentální poznatky a fenomenologické modelování cyklické plasticity kovů. Ostrava: VŠB-TUO. Halama, R. & al., e., Parameter Identification of Chaboche Nonlinear Kinematic Hardening Model. Ostrava: VŠB-TUO. Halama, R. & Lenert, J., Řešení bodového kontaktu pomocí MKP s ohledem na únavu materiálu. Sborník pro Workshop. J. L. Chaboche, J. L., Mechanics of Solid Materials. Cambridge: Cambridge University Press. Magnus Ekh, A. J., Models for cyclinc ratcheting plasticity - integration and calibration. Journal of Engineering Materials and Technology. Skrzypek, J. J., PLASTICITY and CREEP, Theory, Examples and Problems. Florida: CRC Press. 20